Gambar8.1. Contoh Graf

Transkripsi

1 MATERI 10

2 Definisi Graf Diagram yang memuat informasi tertentu dan dilambangkan dengan suatu keterhubungan antar titik. Menggambarkan berbagai macam struktur yang ada, misalnya: struktur organisasi, rute jalan, bagan alir pengambilan mata kuliah, dan lain-lain. Tujuannya untuk menggambarkan obyekobyekagar lebih mudah dimengerti.

3 Komponen Graf Himpunan simpul/verteks/titik/node yang dilambangkandengan V = V(G) = {v 1, v 2,..., v n }, yang berhingga dan tidakkosong. Himpunan ruas/garis/edge yang dilambangkan dengan E = E(G) = {e 1, e 2,..., e m }, yang berhingga dan boleh kosong. Setiap ruas menghubungkan dua simpul. Suatu graf dinyatakan dengan G(V, E), dimana simpul dinyatakan dengan titik dan ruas dinyatakan dengan garis.

4 Gambar8.1 Contoh Graf

5 Jenis Graf Dua simpul dikatakan berdekatan (adjacent) jika terdapat ruas yang menghubungkan langsung kedua simpul tersebut. Setiap ruas merupakan 2 himpunan bagian dari himpunan semua simpul. Graf yang tidak mempunyai ruas dinamakan graf kosong (null graph). Gambar 8.1 (f) merupakan contoh graf kosong.

6 Jenis Graf Graf yang mempunyai simpul yang dihubungkan dengan lebih dari satu ruas dinamakan multiple graph (multigraph)., sedangkan Gambar 8.1 (e) merupakan contoh multigraph.

7 Jenis Graf Graf yang semua ruasnya tidak berarah dinamakan graftakberarah(undirected graph). Contoh Gambar 8.1 (a), (b), (c) Graf yang semua ruasnya berarahdinamakan grafberarah(directed graph ataudigraph). Contoh Gambar 8.1 (d), (e). Dalam bab ini, jika hanya disebutkan graf saja, maka yang dimaksud adalah graftak berarah.

8 Jenis Graf Graf yang setiap simpulnya dihubungkan ke simpul yang lain disebut graflengkap (complete graph). Gambar 8.1 (b) merupakan contoh graflengkap.

9 Jenis Graf Graf yang tidak mempunyai gelang atau ruas ganda dinamakan graf sederhana (simple graph). (a), (b), (d), merupakan contoh graf sederhana. Graf yang mempunyai gelang atau ruas ganda dinamakan graf tidak sederhana (unsimple graph). (c), (e) merupakan contoh graf tidak sederhana.

10 Graf Graf G mempunyai 7 simpul, yaitu v 1, v 2,, v 7 dan 10 ruas, yaitu e 1, e 2,, e 10. Ruas-ruas pada graf G dinyatakan oleh: e 1 = {v 1, v 5 }, e 2 = {v 1, v 2 }, e 3 = {v 2, v 6 }, e 4 = {v 2, v 3 }, e 5 = {v 3, v 6 }, e 6 = {v 3, v 4 }, e 7 = {v 4, v 7 }, e 8 = {v 4, v 5 }, e 9 = {v 4, v 5 }, e 10 = {v 5, v 5 }.

11 Graf Ruas yang mempunyai simpul ujung sama dinamakan ruas ganda (parallel edges atau multiple edges). Ruas ganda adalah e 8 dan e 9. Jika suatu ruas menghubungkan simpul yang sama, maka ruas tersebut dinamakan gelang (loop). Gelang adalah e 10.

12 Graf Titik yang tidak mempunyai garis yang berhubungan dengannya disebut titik terasing (isolating point). Titik terasing adalah v 7.

13 Derajat Graf Banyaknya simpul dalam grafdisebut order, dinyatakan dengan V. Banyaknya ruas dalam grafdisebut size, dinyatakan dengan E. Jika v adalah suatu simpul dalam graf G, maka derajatsimpul v yang dinyatakan dengan d(v ) adalah banyaknya ruas yang terhubung pada simpul tersebut. Simpul gelang mempunyai derajat2.

14 Derajat Graf Derajattotal G adalahjumlahderajat semuasimpuldalam G. Jumlahderajatsemuasimpulsuatugraf adalahduakali banyaknyaruasgraf, karenasetiap ruasdihitungduakali.

15 Derajat Graf Berapakah jumlah simpul dan ruas dari graf tersebut? Berapakah derajat masing-masing simpulnya? Berapa derajat totalnya?

16 Subgraf Graf G dikatakan subgraf G jika semua simpul dan ruas G juga merupakan simpul dan ruas dalam G. Dengan kata lain jika G = (V, E) dan G = (V, E ), maka G merupakan subgraf G jika dan hanya jika V himpunan bagian V dan E himpunan bagian E.

17 Contoh Subgraf

18 Isomorfisma Konsep isomorfisma sama dengan konsep kongruen dalam geometri. Dua graf disebut isomorfis jika keduanya menunjukkan "bentuk" yang sama. Kedua graf hanya berbeda dalam hal pemberian label titik dan garisnya saja.

19 Isomorfisma Jika G = (V, E } dan G = (V, E ), maka G dikatakan isomorfis dengan G (ditulis G G ) jika dan hanya jika terdapat korespondensi satu-satu sedemikian sehingga: Setiap simpul di G mempunyai tepatsatu nama. (v i, v j ) G jika dan hanya jika (v i, v j ) G v i dihubungkan oleh k (k > 1) ruas dengan v j jika dan hanya jika v i dihubungkan oleh k (k > 1) ruas dengan v j.

20 Contoh Isomorfisma

21 Contoh Isomorfisma Pasangan manakah yang isomorfisma?

22 Komplemen Graf Komplemen (complement) dari suatu graf sederhana G = (V, E ) adalah graf sederhana H= (V, E ) dimana ruas-ruas di H secaratepat adalah ruas-ruas yang tidak ada di G.

23 Contoh Komplemen Graf

24 Contoh Komplemen Graf Bagaimana komplemennya?

25 Walk (Lintasan) Lintasan adalah urutan simpul dan ruas yang bergantian tidak kosong dan berhingga yang dimulai dan diakhiri dengan simpul, dimana setiap ruas menghubungkan dua simpul (sebelum dan sesudah ruas tersebut). Dalam lintasan, simpul dan ruas bisa diulang. Lintasan dengan panjang n dari simpul u ke w dituliskan sebagai: v 1, e 1, v 2, e 2,..., v n-1, e n-1, v n, e n dengan v 1 = u, v n = w, v j-i dan v i adalah simpulsimpul ujung ruas e i.

26 Trail (Tapak) Tapak merupakan lintasan dimana semua ruasnya berlainan (tidak diulang), sedangkan simpulnya boleh diulang. Tapak dengan panjang n dari simpul u ke w dituliskan sebagai: v 1, e 1, v 2, e 2,..., v n-1, e n-1, v n, e n dengan v 1 = u, v n = w, e i e j untuk i j.

27 Path (Jalur) Jalur merupakan tapak dimana semua simpulnya berlainan, kecuali jika jalur tersebut merupakan jalur tertutup sehingga simpul awal sama dengan simpul akhir. Jalur dengan panjang n dari simpul u ke w dituliskan sebagai: v 1, e 1, v 2, e 2,..., e n-1, v n-1, e n, v n dengan v 1 = u, v n = w, e i e j untuk i j dan v k v m untuk k m.

28 Sirkuit Sirkuit adalah jalur yang tertutup. Sirkuit dengan panjang n dari simpul u kembali ke u lagi dituliskan sebagai: v 1, e 1, v 2, e 2,..., e n- 1, v n-1, e n, v n dengan v 1 = v n = u, e i e j untuk i j dan v k v m untuk k m.

29 Contoh Cari beberapa walk, trail, path, sirkuitnya

30 Graf Bipartite Suatugraf G yang simpul-simpulnya dapat dipisahkan menjadiduahimpunan V 1 dan V 2 yang salingasing, sedemikian sehinggajika x adalah ruas dari G dan x menghubungkan suatusimpul di V 1 dengan simpuldi V 2. sedangkansimpul V 1 maupun V 2 tidakadayang berdekatan, maka G disebut grafbipartit. Apabila padagrafbipartit, setiapsimpuldi V 1 berhubungan dengan setiapsimpuldi V 2, maka graftersebutdisebut grafbipartitlengkap.

31 Contoh Graf Bipartite

32 Contoh Graf Bipartite Tentukan graf berikut merupakan graf bipartit tidak lengkap, graf bipartit lengkap, atau bukan graf bipartit

33 Pohon Pohonmerupakan graf tak berarahyang tidak mempunyai sirkuit dan terhubung, yang merupakan salah satu contohgraf planar. Sifat-sifat pohon : Setiap pasang simpul di dalam graf G terhubung dengan lintasan tunggal. Graf G mempunyai (n-1) buah ruas.

34 Contoh Pohon dan Bukan Pohon Gambar 8.17 (a), (b), (c), (d) merupakan pohon karena graf tersebut terhubung dan tidak mempunyai sirkuit. Gambar 8.17 (e) bukan merupakan pohon karena dari graf tersebut dapat dibentuk sirkuit. Gambar 8.17 (f) bukan merupakan pohon karena graf tersebut tidak terhubung.