ANALISIS KUALITATIF GEJALA CHAOS PADA GERAK PENDULUM SEDERHANA NONLINIER TEREDAM DAN TERKENDALI SKRIPSI SITI UTARI RAHAYU

Transkripsi

1 ANALISIS KUALITATIF GEJALA CHAOS PAA GERAK PENULUM SEERHANA NONLINIER TEREAM AN TERKENALI SKRIPSI SITI UTARI RAHAYU EPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEAN 010

2 ANALISIS KUALITATIF GEJALA CHAOS PAA GERAK PENULUM SEERHANA NONLINIER TEREAM AN TERKENALI SKRIPSI iajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains SITI UTARI RAHAYU EPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEAN 010

3 PERSETUJUAN Judul : ANALISIS KUALITATIF GEJALA CHAOS PAA GERAK PENULUM SEERHANA NONLINIER TEREAM AN TERKENALI Kategori : SKRIPSI Nama : SITI UTARI RAHAYU NIM : Program Study : SARJANA (S1) FISIKA epartemen Fakultas : FISIKA : MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA iluluskan di Medan, 04 esember 010 iketahui/disetujui oleh epartemen Fisika FMIPA USU Ketua, Pembimbing, r. Marhaposan Situmorang r. Mester Sitepu, M.Sc, M.Phil NIP: NIP:

4 PERNYATAAN ANALISIS KUALITATIF GEJALA CHAOS PAA GERAK PENULUM SEERHANA NONLINIER TEREAM AN TERKENALI SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya Medan, 04 esember 010 SITI UTARI RAHAYU

5 PENGHARGAAN Puji dan Syukur penulis persembahkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan kasih sayang serta karunia-nya kepada penulis hingga skripsi yang berjudul: Analisis Kualitatif Gejala Chaos Pada Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam dan Terkendali berhasil diselesaikan dengan baik dan tepat pada waktu yang telah ditetapkan. Shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sebagai suri teladan terbaik di muka bumi. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada r. Mester Sitepu, M.Sc, M.Phil, selaku pembimbing yang telah memberikan panduan, bantuan, serta segenap perhatian dan dorongan kepada penulis dalam menyempurnakan skripsi ini. Paduan ringkas dan padat serta profesional telah diberikan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terimakasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris epartemen Fisika r. Marhaposan Situmorang dan ra.justinon, M.Si, serta ekan dan Pembantu ekan Fakultas MIPA USU. Ucapan terimakasih jugadiberikan kepada r. Kerista Tarigan, M.Eng.Sc, rs. Takdir Tamba, M.Eng.Sc, dan rs. Luhut Sihombing, MS, selaku dosen pembanding yang telah banyak memberikan saran dan masukan dalam penyempurnaan skripsi ini. Kemudian ucapan terimakasih kepada Bapak rs. Setia Sembiring selaku dosen wali yang telah memperhatikan kemajuan studi penulis, serta Bapak dan Ibu Staf Pengajar epartemen Fisika FMIPA USU terima kasih atas ilmu yang diberikan selama ini, semoga menjadi ilmu yang bermanfaat, dan tak lupa pula kepada seluruh staff pegawai pada departemen Fisika FMIPA USU. Ucapan terimakasih terbesar penulis sampaikan kepada Ibunda tercinta Siti Maryam atas segala cinta kasih dan do a yang selalu dihadiahkan kepada penulis tanpa henti, juga tak lupa kepada saudara terbaik penulis Edi Sucipto yang selalu memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Tak lupa pula terimakasih kepada sahabat-sahabat terbaik penulis Vika, Tika, Kak Aisyah, Kak ewi, Kak Lili, Kak Novi, Ulan (Terima kasih atas pinjaman buku-bukunya), Winda, ian, Farida, Nova, Muti, Linda, Yuni, Fuji, Mutia, Laila, Gina, Imah, iah, Kata, Mey, erlina, Heber, Trisno, Kiki, Eva dan semua rekan-rekan fisika angkatan 006, abang kakak senior dan juga adik-adik junior departemen Fisika. Tak lupa pula terima kasih kepada saudara-saudara seperjuangan di UKMI AL-FALAK FMIPA USU. Semoga Allah SWT akan membalasnya. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas apa yang dikehendaki-nya.

6 ABSTRAK Telah dibuat program untuk simulasi dan animasi gerak pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali dengan perangkat lunak Mathematica versi 6. Persamaan gerak pendulum diperoleh dari analisis gaya-gaya yang bekerja pada sistem. Persamaan diselesaikan secara numerik dengan metode Runge Kutta orde 4. Hasil perhitungan numerik diplot berupa grafik lintasan, diagram ruang fasa, belahan Poincarè dan perbandingan grafik lintasan untuk dua kondisi awal yang berbeda. Keempat grafik ini dipakai untuk menganalisis keadaan sistem yaitu periodik, kuasiperiodik atau chaos secara kualitatif. Animasi dari sistem diberikan untuk memperjelas bagaimana keadaan chaos terjadi pada gerak pendulum sederhana. ari pengujian program dan eksplorasi terhadap dinamika gerak sistem dapat dikatakan bahwa program ini sudah baik untuk mempelajari karakteristik gejala chaos secara kualitatif.

7 QUALITATIVE ANALYSIS OF CHAOS BEHAVIOUR ON AMPE RIVEN NONLINEAR SIMPLE PENULUM MOTION ABSTRACT A program for dynamics simulation and animation of damped driven nonlinier simple pendulum by using Mathematica version 6 was composed. Equation of motion is derived by analyzing all forces working on the system. The equation is solved by using the fourth-order Runge-Kutta method. The result of numerical integration was plotted in trajectory graphic, phase-space diagram, Poincarè section, and the comparison of trajectories derived by two different initial conditions. All of these graphics are used to observe whether of the system is periodic, quasiperiodic or chaotic by qualitative analysis. Animation of this system is given in order to show chaos case in its motion clearly. From the experiment of this program and the exploration of dynamics in the system, it can be said that this program works well to learn chaos qualitatively.

8 AFTAR ISI Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract aftar isi aftar Tabel aftar Gambar ii iii iv v vi vii ix x Bab 1 Pendahuluan Latar Belakang 1 1. Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Batasan Masalah Sistematika Penulisan 4 Bab Tinjauan Pustaka 6.1 Teori Chaos Studi Chaos Secara Numerik Ruang Fasa Belahan Poincaré Penggandaan Perioda 1.1. Chaos dan Pengaruhnya alam Sains 13. Pendulum Sederhana Pendulum Sederhana Linier 18.. Pendulum Sederhana Nonlinier 0..3 Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam..4 Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam dan Terkendali 4.3 Metode Runge-Kutta 6 Bab 3 Analisis Masalah dan Perancangan Program Analisis Masalah Persamaan Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam dan Terkendali Penyelesaian dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat Penentuan Ruang Fasa dan Belahan Poincarè 3 3. Perancangan Program Perancangan iagram Alir (Flowchart) Algoritma Program Bantu 39 Bab 4 Hasil dan Pembahasan Keadaan Periodik 44

9 4. Keadaan Kuasiperiodik Keadaan Chaos Perbandingan Keadaan Sistem Untuk Variasi Nilai Beberapa Parameter 55 Bab 5 Kesimpulan dan Saran Kesimpulan Saran 59 aftar Pustaka 60 Lampiran A: Listing Program Simulasi Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier 61 Lampiran B: Listing Program Animasi Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier 64

10 AFTAR TABEL Halaman Tabel.4.1. Hasil Pengujian Keadaan Sistem Untuk Variasi Nilai Koefisien Redaman, q dan Amplitudo Gaya Pengendali Eksternal, a 56 Tabel.4.. Hasil Pengujian Keadaan Sistem Untuk Variasi Nilai Panjang Tali, l dan Amplitudo Gaya Pengendali Eksternal, a 57

11 AFTAR GAMBAR Halaman Gambar.1. Ruang fasa dari rotor dengan kondisi batas periodik. 10 Lintasan fasa bergerak dari kanan ke kiri dan menghilang pada θ = π dan muncul kembali pada θ =- π. Gambar. Ilustrasi Belahan Poincaré. Lintasan fasa Г memotong 1 bidang S ( engan x 3 < 0) pada titik-titik yang berurutan P 0, P 1, P,. Titik-titik ini merupakan Belahan Poincaré dari Г pada bidang S. Gambar.3 Gaya-gaya yang bekerja pada pendulum, tegangan tali 16 dan gaya berat, gaya peredam, dan gaya pengendali eksternal. Gambar.4 Grafik θ Vs t untuk θ o = π/4 dan L = 0,5 m. 19 Gambar.5 Grafik θ Vs θ dari pendulum sederhana merupakan 19 gambar fasa pendulum dengan bentuk elips. Gambar.6 Perbandingan Grafik θ Vs t untuk θ o = π/4 dan θ o = π/3.5 0 Gambar.7 Grafik θ Vs t untuk θ o = 0 dan θ = 1.95 rad/s. 1 Gambar.8 Grafik θ Vs θ dari pendulum sederhana nonlinier 1 merupakan gambar fasa pendulum nonlinier Gambar.9 Perbandingan Grafik θ Vs t untuk θ o= 1.95 rad/s dan θ o = 1.9 rad/s Gambar.10 Grafik θ Vs t untuk kondisi awal θ o = 0; q=0.08; θ o = 3 rad/s 3 Gambar.11 Grafik θ Vs θ untuk pendulum nonlinier teredam dengan 3 orbit yang berpilin menuju satu titik. Gambar.1 Perbandingan Grafik θ Vs t untuk kondisi awal q= dan q=0.081 Gambar 3.1 iagram Alir Simulasi persamaan gerak pendulum 35 sederhana nonlinier teredam dan terkendali dengan metode Runge-Kutta Orde 4. Gambar 3.. iagram Alir Animasi persamaan gerak pendulum 37 sederhana nonlinier teredam dan terkendali. Gambar 4.1 Hasil eksekusi Program Simulasi Gerak Pendulum 43 Sederhana Nonlinier Teredam an Terkendali pada Lampiran A Gambar 4. Hasil eksekusi program Animasi Gerak Pendulum 44 Sederhana Nonlinier pada Lampiran B Gambar 4.3 Grafik θ Vs t dengan a = 0,3, q = 0,4, = 1, = 3 45 pada kondisi awal ω 0 = 0,8, dan θ 0 = 0.8. Gambar 4.4 Grafik θ Vs t dengan a = 0,3, q = 0,4, = 1, pada dua kondisi awal ω 0 = 0,8, dan θ 01 = 0.8 dan θ 01 = 0.81 berjalan selaras. = 3 46

12 Gambar 4.5 Ruang fasa dengan a = 0,3, q = 0,4, = 1, pada kondisi awal ω 0 = 0,8, dan θ 0 = 0.8. Gambar 4.6 Belahan Poincarè dengan a = 0,3, q = 0,4, = 3 Gambar 4.7 Grafik θ Vs t dengan a = 1,3, q = 0,4, = 3 pada kondisi awal ω 0 = 0,8, dan θ 0 = 0.8. = pada kondisi awal ω0 = 0,8, dan θ 0 = = 1, 47 = 1, 48 Gambar 4.8 Grafik θ Vs t dengan a = 1,3, q = 0,4, = 1, 49 = 3 pada dua kondisi awal ω 0 = 0,8, dan θ 01 = 0.8 dan θ 01 = 0.81 masih berjalan selaras. Gambar 4.9 Ruang fasa dengan a = 1,3, q = 0,4, = 1, 49 = 3 pada kondisi awal ω 0 = 0,8, dan θ 0 = 0.8. Gambar 4.10 Belahan Poincarè dengan a = 1,3, q = 0,4, = 1, 50 = 3 pada kondisi awal ω 0 = 0,8, dan θ 0 = 0.8. Gambar 4.11 Grafik θ Vs t dengan a = 1,36, q = 0,4, = 1, 51 = 3 pada kondisi awal ω 0 = 0,8, dan θ 0 = 0.8. Gambar 4.1 Grafik θ Vs t dengan a = 1,36, q = 0,4, = 1, 5 = pada dua kondisi awal ω0 = 0,8, dan 3 θ 01 = 0.8 (Hitam) dan θ 01 = 0.81 (Hijau). Gambar 4.13 Ruang fasa dengan a = 1,36, q = 0,4, = 1, 53 = pada kondisi awal ω0 = 0,8, dan θ 0 = Gambar 4.14 Belahan Poincarè dengan a = 1,36, q = 0,4, = 1, 54 = 3 pada kondisi awal ω 0 = 0,8, dan θ 0 = 0.8.