PENDEKATAN REGRESI KUADRAT TERKECIL PARSIAL KEKAR UNTUK PENANGANAN PENCILAN PADA DATA KALIBRASI ENNY KERISTIANA SINAGA

Transkripsi

1 PENDEKATAN REGRESI KUADRAT TERKECIL PARSIAL KEKAR UNTUK PENANGANAN PENCILAN PADA DATA KALIBRASI ENNY KERISTIANA SINAGA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pendekatan Kuadrat Terkecil Parsial Kekar untuk Penanganan Pencilan pada Data Kalibrasi adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi dimana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Mei 2011 Enny Keristiana Sinaga NIM G

3 ABSTRACT ENNY KERISTIANA SINAGA. Partial Least Squares Robust Regression Approach to Handle Outliers in Calibration Data. Under direction of ANIK DJURAIDAH and AJI HAMIM WIGENA. The serious problems in the calibration multivariate estimation are multicollinearity and outliers. Partial Least Squares (PLS) is one of the statistical method used in chemometrics, to handle high or perfect multicollinearity in independent variables. Straightforward Implementation Partial Least Squares (SIMPLS) is the extension of PLS regression proposed by De Jong (1993). The SIMPLS algorithm is based on the empirical cross-variance matrix between the independent variables and the regressors. This method does not resistant toward outlier observations. Robust PLS method is used to handle the multicollinearity and outliers in the data sets. This method can be classified in two groups, there are iteratively reweighting technique and robustication of covariance matrix. Partial Regression-M (PRM) method is one of the robust PLS methods used the idea of iteratively reweighting technique that proposed by Serneels et al. (2005). Robust SIMPLS (RSIMPLS) method is one of the robust PLS methods used the idea of robustication of covariance that proposed by Huber and Branden (2003). A modified RSIMPLS used M estimator with the Huber weight function called RSIMPLS-M was proposed by Ismah (2010). These two methods (RSIMPLS-M and PRM) are applied to Fish data (Naes, 1985) to know their performances. The research results indicated that the values of R 2 and RMSEP of RSIMPLS-M are higher than those of PRM method. Whereas based on the confidence interval estimation of the regression coefficients by jackknife method, estimation of PRM is narrower than that RSIMPLS-M method. Therefore RSIMPLS-M method is better than PRM method for prediction, whereas PRM method is better than RSIMPLS-M method for estimation. Keywords : Partial least squares regression robust (PLSRR), partial robust M- regression (PRM), straightforward implementation partial least squares robust (RSIMPLS)

4 RINGKASAN ENNY KERISTIANA SINAGA. Pendekatan Kuadrat Terkecil Parsial Kekar untuk Penanganan Pencilan pada Data Kalibrasi. Dibimbing oleh ANIK DJURAIDAH dan AJI HAMIM WIGENA. Pada pendugaan kalibrasi ganda permasalahan serius akan muncul jika diantara peubah bebas (X) saling berkorelasi (multikolinieritas) dan pengamatan yang jauh dari pusat data (pencilan). Ada dua tipe pengamatan pencilan yakni pencilan sisaan dan pengamatan berpengaruh (leverage point). Pencilan sisaan adalah pengamatan pencilan yang mempunyai sisaan baku yang besar, sedangkan pengamatan berpengaruh merupakan pencilan berganda (multivariate outliers) yang terdapat dalam ruang peubah bebas (Liebmann et al. 2009). Sebuah teknik prediktif yang mampu mengatasi masalah multikolinieritas adalah Regresi Kuadrat Terkecil Parsial (Partial Least Squares/PLS). Salah satu algoritma pendugaan PLS adalah Implementasi Langsung Kuadrat Terkecil Parsial (Straightforward Implementation Partial Least Squares/SIMPLS) yang dapat diterapkan dalam mengatasi multikolinieritas, tetapi tidak resisten terhadap pencilan. Pengembangan dari metode PLS dengan menggunakan algoritma SIMPLS sebagai alternatif untuk mengatasi pencilan adalah dengan menggunakan regresi kekar. Secara umum, PLS kekar (PLS Robust) dapat dibagi kedalam dua kelompok yaitu menggunakan teknik memboboti kembali secara iteratif dan penggunaan matriks peragam kekar (Turkmen, 2008). Salah satu metode yang termasuk dalam kelompok pertama adalah Regresi-M Kekar Parsial (Partial Robust M-Regression/PRM) yang diperkenalkan oleh Serneels et al. (2005) dan salah satu metode yang termasuk dalam kelompok kedua adalah RSIMPLS-M (Robust SIMPLS-M) yang diperkenalkan oleh Huber dan Branden (2003). Dalam regresi kekar terdapat beberapa metode pendugaan parameternya, diantaranya adalah penduga-m. Penduga-M merupakan generalisasi dari metode kemungkinan maksimum, yaitu penduga yang meminimumkan fungsi objektif tertentu dalam data. Fungsi pembobot dari penduga-m telah banyak tersedia, diantaranya adalah fungsi pembobot Huber dan fungsi pembobot Fair. Metode PRM merupakan pendekatan PLS kekar berdasarkan penduga-m dengan fungsi pembobot Fair. Pembobot yang dibutuhkan agar pendugaan PRM resisten terhadap pencilan sisaan dan pengamatan berpengaruh adalah dengan mengalikan bobot pencilan sisaan dan bobot untuk setiap pengamatan berpengaruh dengan pembobotan kembali secara iteratif dan memberikan bobot kecil (downweighting) pada pengamatan berpengaruh. Sedangkan metode RSIMPLS-M merupakan pendekatan PLS kekar dengan memodifikasi pembobot RSIMPLS berdasarkan penduga-m dengan fungsi pembobot Huber. Besarnya bobot tergantung pada jarak ortogonal dan jarak skor setiap pengamatan yaitu antara 0 dan 1. Dalam penelitian ini diusulkan metode PRM dan metode RSIMPLS-M untuk penanganan pencilan. Fungsi pembobot yang digunakan pada metode PRM yaitu fungsi pembobot Fair dan Huber. Bobot yang dibutuhkan agar pendugaan PRM resisten pencilan sisaan dan pengamatan berpengaruh ditentukan dengan dua cara yakni, (1) mengalikan bobot pencilan sisaan dengan bobot untuk setiap pengamatan berpengaruh dan (2) mengambil nilai minimum dari bobot pencilan sisaan dan bobot untuk setiap pengamatan berpengaruh.

5 Untuk melihat performansi dari metode PRM dan RSIMPLS-M, dalam penelitian ini kedua metode tersebut diterapkan pada data kalibrasi dengan satu peubah respon. Analisis data dilakukan dengan 3 langkah : (1) analisis menggunakan seluruh data pengamatan, (2) validasi model, dan (3) pendugaan selang kepercayaan parameter dengan metode Jackknife. Dalam validasi, data sebanyak n dibagi kedalam dua kelompok. Kelompok yang pertama sebanyak n 1 = 32 (70% dari jumlah data) digunakan untuk membentuk model dan kelompok kedua sebanyak n 2 = 13 (30% dari jumlah data) untuk validasi model. Pemilihan n 1 dan n 2 dilakukan secara acak sebanyak 20 pengambilan tanpa pemulihan. Berdasarkan kriteria R 2 dan nilai rata-rata RMSEP, dengan metode RSIMPLS-M diperoleh nilai R 2 terbesar (90.8%) dan nilai rata-rata RMSEP terkecil (2,168). Sedangkan berdasarkan pendugaan selang kepercayaan parameter pada taraf 5% mengunakan metode Jackknife, selang kepercayaan parameter dengan metode PRM lebih sempit dari pada RSIMPLS-M. Sehingga dapat disimpulkan bahwa metode RSIMPLS-M lebih baik dibanding metode PRM untuk prediksi, sedangkan metode PRM lebih baik dibanding metode RSIMPLS- M untuk pendugaan dalam kasus data lemak ikan yang berkorelasi tinggi dan adanya pencilan.

6 Hak Cipta Milik IPB, tahun 2011 Hak Cipta dilindungi Undang-undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar bagi IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

7 PENDEKATAN REGRESI KUADRAT TERKECIL PARSIAL KEKAR UNTUK PENANGANAN PENCILAN PADA DATA KALIBRASI ENNY KERISTIANA SINAGA Tesis Sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Statistika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Erfiani, M.Si

9 Judul Tesis Nama NIM : Pendekatan Kuadrat Terkecil Parsial Kekar untuk Penanganan Pencilan pada Data Kalibrasi : Enny Keristiana Sinaga : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Anik Djuraidah, M.S. Ketua Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Statistika Dekan Sekolah Pasca Sarjana IPB Dr. Ir. Erfiani, M.Si. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc. Agr. Tanggal Ujian: 18 April 2011 Tanggal Lulus:

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga tesis ini dapat diselesaikan. Judul tesis ini adalah Pendekatan Kuadrat Terkecil Parsial Kekar untuk Penanganan Pencilan pada Data Kalibrasi. Terima kasih yang sedalam-dalamnya penulis sampaikan kepada Dr. Ir. Anik Djuraidah, M.S selaku pembimbing I dan Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc selaku pembimbing II yang senantiasa memberikan bimbingan, arahan dan waktu yang sangat berarti bagi penulis dalam menyelesaikan tesis ini. Disamping itu penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Dr. Ir. Erfiani, M.Si selaku penguji luar komisi dan Dr. Ir. Hari Wijayanto selaku perwakilan Program Studi Statistika pada ujian tesis dan seluruh staf Program Studi Statistika. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak, Mama, Kakak, Abang dan Adik serta seluruh keluarga atas doa, dukungan dan kasih sayangnya. Terima kasih kepada teman-teman Statistika dan Statistika Terapan, terkhusus buat angkatan 2008 dan Ismah M.Si, terima kasih atas bantuan dan kebersamaannya. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan tesis ini, oleh karena itu kritik, saran dan masukan sangat penulis harapkan demi penyempurnaan dan perbaikan tulisan ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat untuk semua pembaca. Bogor, Mei 2011 Enny Keristiana Sinaga

11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Aeknabara, Sumatera Utara pada tanggal 27 Oktober 1983 sebagai anak keempat dari enam bersaudara, anak dari pasangan Bapak D.M. Sinaga dan Ibu H. Hombing. Pada tahun 2002 penulis masuk program sarjana di Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Riau (UR) melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) dan lulus pada tahun Pada tahun 2008 penulis diterima di Program Studi Statistika, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.

12 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... vii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN Latar Belakang... 1 Tujuan Penelitian... 3 TINJAUAN PUSTAKA Kalibrasi Ganda... 5 Regresi Kuadrat Terkecil Parsial (Partial Least Squares/PLS)... 4 Regresi Penduga-M... 8 Regresi-M Kekar Parsial (Partial Robust Regression-M/PRM) Implementasi Langsung Kuadrat Terkecil Parsial M Kekar (Robust Straightforward Implementation Partial Least Square-M/RSIMPLS- M) Validasi Model Pendugaan Parameter dengan Jackknife METODOLOGI PENELITIAN Data Metode Analisis HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi Data Penentuan Jumlah Peubah Laten Identifikasi Pecilan Validasi Model Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter dengan Metode Jackknife.. 31 SIMPULAN Simpulan DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vi

13 DAFTAR TABEL Halaman 1. Korelasi antar peubah penjelas Hasil validasi silang untuk menentukan banyaknya komponen k Perbandingan identifikasi pencilan dan pendugaan model data lemak ikan Rata-rata RMSE dan RMSEP dari 10 kombinasi pengambilan contoh Bias dan simpangan baku koefisien regresi menggunakan metode PRM dengan fungsi pembobot Fair (minimum) Bias dan simpangan baku koefisien regresi menggunakan metode PRMdengan fungsi pembobot Huber (minimum) Bias dan simpangan baku koefisien regresi menggunakan metode RSIMPLS-M... 32

14 DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Fungsi pembobot penduga-m Huber Fungsi pembobot penduga-m Fair Diagram alur penelitian Diagram kotak-garis Nilai RMSECV pada beberapa jumlah komponen... 26

15 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Tabel konsentrasi lemak (%) dan 9 absorban dari 45 contoh ikan Tabel konsentrasi lemak (%) dan 9 absorban dari 45 contoh ikan yang sudah dipusatkan Gambar plot antara w y dan w x dari 45 contoh ikan dengan metode PRM menggunakan (a) fungsi pembobot Fair (perkalian) untuk k = 3, (b) fungsi pembobot Fair (perkalian) untuk k = 6, (c) fungsi pembobot Fair (minimum) untuk k =3, (d) fungsi pembobot Fair (minimum) untuk k = Nilai bobot pencilan sisaan (w y ) dan bobot pengamatan berpengaruh (w x ) untuk k = 3 dan k = 6 dengan fungsi pembobot Fair (perkalian) Nilai bobot pencilan sisaan (w y ) dan bobot pengamatan berpengaruh (w x ) untuk k = 3 dan k = 6 dengan fungsi pembobot Fair (minimum) Gambar plot antara w y dan w x dari 45 contoh ikan dengan fungsi pembobot Huber (perkalian) (a) k =3 dan c = 1,345, (b) k = 6 dan c = 1,345, (a) k = 3 dan c = 2, (d) k = 6 dan c = 1, Gambar plot antara w y dan w x dari 45 contoh ikan dengan fungsi pembobot Huber (minimum) (a) k =3 dan c = 1,345, (b) k = 6 dan c = 1,345, (a) k = 3 dan c = 2, (d) k = 6 dan c = 1, Nilai bobot pencilan sisaan (w y ) dan bobot pengamatan berpengaruh (w x ) untuk k = 3 dan k = 6 dengan fungsi pembobot Huber(perkalian) dimana c = 1, Nilai bobot pencilan sisaan (w y ) dan bobot pengamatan berpengaruh (w x ) untuk k = 3 dan k = 6 dengan fungsi pembobot Huber(perkalian) dimana c = Nilai bobot pencilan sisaan (w y ) dan bobot pengamatan berpengaruh (w x ) untuk k = 3 dan k = 6 dengan fungsi pembobot Huber (minimum) dimana c = 1, Nilai bobot pencilan sisaan (w y ) dan bobot pengamatan berpengaruh (w x ) untuk k = 3 dan k = 6 dengan fungsi pembobot Huber (minimum) dimana c = Gambar plot antara jarak ortogonal (OD) dan Jarak skor (D) dari 45 contoh ikan dengan metode RSIMPLS-M (a) k =3 dan (b) k =

16 13. Nilai jarak ortogonal (OD) dan Jarak skor (D) serta bobot (w) pada setiap pengamatan dengan metode RSIMPLS-M untuk k = Nilai jarak ortogonal (OD) dan Jarak skor (D) serta bobot (w) pada setiap pengamatan dengan metode RSIMPLS-M untuk k = Replikasi Jackknife ke-i dari b dengan metode PRM menggunakan metode PRM dengan fungsi pembobot Fair (minimum) Replikasi Jackknife ke-i dari b dengan metode PRM menggunakan fungsi pembobot Huber (minimum) c = Replikasi Jackknife ke-i dari b dengan menggunakan metode RSIMPLS-M... 53

17 PENDAHULUAN Latar Belakang Analisis regresi merupakan bagian dalam analisis yang digunakan untuk memodelkan hubungan peubah tak bebas (Y) dengan satu atau beberapa peubah bebas (X). Bila dalam analisisnya hanya melibatkan sebuah peubah bebas, maka analisis yang digunakan adalah analisis regresi sederhana. Sedangkan bila dalam analisisnya melibatkan dua atau lebih peubah bebas, maka analisis yang digunakan adalah analisis regresi berganda. Permasalahan dalam analisis regresi berganda adalah terjadinya korelasi yang tinggi antar dua atau lebih peubah bebas (multikolinieritas). Adanya masalah multikolinieritas mengakibatkan ketidakstabilan pendugaan parameter (Myers, 1990). Selain masalah multikolinieritas pada analisis regresi linier berganda juga sering muncul masalah pencilan. Pencilan adalah pengamatan yang jauh dari pusat data. Adanya pencilan dapat menyebabkan sisaan yang besar dari model yang diperoleh, ragam pada data menjadi lebih besar dan taksiran interval memiliki rentang yang lebar. Pengamatan pencilan mungkin saja mempengaruhi pendugaan parameter, tetapi memberikan informasi penting yang diperlukan. Sehingga keputusan untuk menghilangkan pencilan harus dilandasi alasan yang kuat. Menurut Liebmann et al. (2009), ada dua tipe pengamatan pencilan yakni pencilan sisaan dan pengamatan berpengaruh (leverage point). Pencilan sisaan adalah pengamatan pencilan yang mempunyai sisaan baku yang besar, sedangkan pengamatan berpengaruh merupakan pencilan berganda (multivariate outliers) yang terdapat dalam ruang peubah bebas. Dalam bidang kimia yaitu kemometrik, sering dijumpai data dengan kondisi adanya multikolinieritas antar peubah bebas dan masalah pencilan. Masalah multikolinieritas dapat diatasi dengan beberapa metode, antara lain metode Regresi Komponen Utama (Principal Component Analysis/PCA), metode Regresi Gulud (Ridge Regression), dan metode Regresi Kuadrat Terkecil Parsial (Partial Least Squares/PLS). Menurut Wigena dan Aunuddin (1997), PLS memberikan hasil yang lebih baik daripada metode lainnya dalam mengatasi masalah multikolinieritas. Salah satu algoritma pendugaan PLS adalah

18 2 Implementasi Langsung Kuadrat Terkecil Partial (Straightforward Implementation Partial Least Square/SIMPLS). Algoritma SIMPLS tidak resisten terhadap pengamatan pencilan, dikarenakan perhitungannya didasarkan pada matriks peragam contoh yang peka terhadap pencilan. Untuk mengatasi pencilan pada pendugaan SIMPLS dapat diatasi dengan menggunakan metode pendugaan yang resisten terhadap pencilan yang dikenal dengan regresi kekar (robust). Secara umum, PLS kekar dapat dibagi kedalam dua kelompok, yaitu menggunakan teknik memboboti kembali secara iteratif dan penggunaan matriks peragam kekar (Turkmen, 2008). Salah satu metode yang termasuk kelompok pertama adalah Regresi-M Kekar Parsial (Partial Robust Regression-M/PRM) yang dikenalkan oleh Serneels et al. (2005). Metode PRM merupakan pendekatan PLS kekar berdasarkan penduga-m dengan pembobotan kembali secara iteratif dan memberikan bobot terkecil (downweighting) pada pengamatan berpengaruh. Sedangkan salah satu metode yang termasuk kelompok kedua adalah SIMPLS kekar (Robust SIMPLS/RSIMPLS) yang dikenalkan oleh Huber dan Branden (2003). RSIMPLS merupakan pendekatan PLS kekar berdasarkan penduga-m dengan menduga matriks kovarian menggunakan MCD (minimum covariance determinant) dan konsep projection pursuit. Dalam regresi kekar terdapat beberapa metode pendugaan parameternya, antara lain adalah penduga-r (R-estimators), penduga-l (L-estimators) dan penduga-m (M-estimators). Penduga kekar yang dikaji dalam penelitian ini adalah penduga-m. Penduga-M merupakan generalisasi dari metode kemungkinan maksimum, yaitu penduga yang meminimumkan fungsi objektif tertentu dalam data (Huber, 1981). Metode ini banyak digunakan dalam praktiknya dibandingkan metode lainnya. Hal ini disebabkan karena dalam pendugaan parameter regresi sifat penduga-m sama dengan metode kuadrat terkecil. Perbedaan diantara kedua metode terletak pada fungsi pembobotnya. Dalam metode kuadrat terkecil semua pengamatan akan mendapat bobot yang sama yaitu 1, sedangkan metode penduga- M setiap pengamatan tidak selalu mendapat pembobot yang sama tergantung dari perilaku datanya. Jika datanya termasuk pencilan maka akan mendapat bobot yang kecil. Fungsi pembobot dari metode penduga-m telah banyak tersedia, diantaranya adalah fungsi pembobot Huber dan fungsi pembobot Fair.

19 3 Ismah (2009) telah melakukan kajian mengenai RSIMPLS dan RSIMPLS- M. RSIMPLS-M merupakan pendekatan PLS kekar dengan memodifikasi pembobot RSIMPLS berdasarkan penduga-m dengan fungsi pembobot Huber. Hasil analisis yang diperoleh oleh Ismah (2009) menunjukkan bahwa RSIMPLS- M lebih baik daripada RSIMPLS untuk satu peubah tak bebas dan jumlah pencilan yang dideteksi RSIMPLS-M lebih kecil atau sama dengan jumlah pencilan yang dideteksi RSIMPLS. Metode PRM yang dikaji oleh Serneels et al. (2005) merupakan pendekatan PLS kekar dengan fungsi pembobot Fair. Bobot yang digunakan pada pendugaan PRM agar resisten terhadap pencilan sisaan dan pengamatan berpengaruh adalah dengan mengalikan bobot pencilan sisaan dan bobot untuk setiap pengamatan berpengaruh. Pada penelitian ini akan dilakukan kajian mengenai metode RSIMPLS-M dan metode PRM untuk penanganan pencilan pada data kalibrasi. Fungsi pembobot yang digunakan pada metode PRM yaitu fungsi pembobot Fair dan Huber. Bobot yang dibutuhkan pada pendugaan PRM agar resisten terhadap pencilan sisaan dan pengamatan berpengaruh ditentukan dengan dua cara yakni, (1) mengalikan bobot pencilan sisaan dengan bobot untuk setiap pengamatan berpengaruh dan (2) mengambil nilai minimum dari bobot pencilan sisaan dan bobot untuk setiap pengamatan berpengaruh. Menilai baik tidaknya hasil dugaan pada kedua metode (PRM dan RSIMPLS-M) akan dilakukan pendugaan selang kepercayaan parameter dengan menggunakan pendekatan nonparametrik yaitu dengan metode Jackknife. Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini yaitu: 1. Mengkaji metode RMKP dengan fungsi pembobot Huber 2. Membandingkan metode RMKP dan metode RSIMPLS-M dalam menangani pencilan pada data kalibrasi.

20 4

21 TINJAUAN PUSTAKA Kalibrasi Ganda Kalibrasi adalah suatu fungsi matematik dengan data empirik dan pengetahuan untuk menduga informasi pada Y yang tidak diketahui berdasarkan informasi pada X yang tersedia (Martens dan Naes, 1989). Dalam bidang kimia, model kalibrasi merupakan suatu fungsi hubungan antara absorban (X) dari spectrometer dengan konsentrasi (Y) larutan unsur atau senyawa yang akan dianalisis (Nur dan Adijuwana, 1989). Dengan kalibrasi, konsentrasi larutan contoh dapat diketahui berdasarkan absorbannya. Pendugaan model kalibrasi tergantung pada jenis spektrometer yang digunakan. Spektrometer UV-VIS menghasilkan spektrum yang berbentuk satu puncak absorban, sehingga model kalibrasinya adalah model peubah tunggal. Spektrometer NIR (Near Infrared) menghasilkan spektrum dengan banyak puncak absorban, sehingga terbentuk suatu model kalibrasi peubah ganda. Model kalibrasi suatu senyawa lebih tepat menggunakan spektrum dengan banyak puncak daripada satu puncak absorban (Nur dan Adijuwana, 1989). Pada pendugaan model kalibrasi ganda sering timbul masalah kolinieritas diantara peubah absorban (Naes, 1985), sehingga metode baku seperti Metode Kuadrat Terkecil tidak dapat digunakan. Salah satu metode yang mampu mengatasi masalah kolinieritas diantara peubah absorban adalah Regresi Kuadrat Terkecil Parsial (PLS) (Martens dan Naes, 1989). Regresi Kuadrat Terkecil Parsial (Partial Least Squares/PLS) 1. Model PLS PLS adalah salah satu metode di kemometrik, dengan proses pembentukan model melalui struktur keragaman peubah bebas (X) dan struktur keragaman peubah tak bebas (Y) yang dilakukan secara iterasi. Menurut Skokes dan Rodriguez (1998), prosedur PLS mencari kombinasi linier dari peubah bebas (yang disebut faktor atau komponen) yang menjelaskan secara optimal keragaman peubah bebas ataupun keragaman peubah tak bebas. Proses penentuan model dilakukan secara iteratif dimana struktur ragam dalam Y mempengaruhi perhitungan komponen kombinasi linier dalam X dan sebaliknya struktur ragam

22 6 dalam X berpengaruh terhadap kombinasi linier dalam Y. Pemodelan dilakukan tanpa asumsi sebaran (Wigena dan Aunuddin, 1997). PLS mendekomposisikan matrik X dalam bentuk faktor bilinier : X = t 1 p 1 ' + t 2 p 2 ' + + t A p A ' + E A dimana t a adalah vektor skor yang berdimensi n, t a saling ortogonal di ruang R n. Sedangkan p a adalah vektor loading yang berdimensi k, saling ortogonal di ruang R k. Matriks E A adalah matriks sisaan yang berukuran n x k. Dasar dari PLS adalah hubungan antara X dan Y melalui peubah internal t sehingga : Y = t 1 q 1 + t 2 q t A q A + f A dengan q a, a = 1,2,,A skalar dan f A vektor sisaan. Matriks X dengan vektor-vektor kolomnya x 1,x 2,,x k masing-masing berdimensi n seperti halnya dengan vektor Y, yang berkaitan dengan n buah pengamatan. Vektor skor t a, vektor loading p a maupun skalar q a diperoleh secara iteratif. 2. Algoritma PLS Salah satu algoritma pendugaan regresi kuadrat terkecil parsial adalah SIMPLS (Straightforward Implementation Partial Least Square). Algoritma SIMPLS ini dikemukakan oleh De Jong pada tahun 1993(Norliza, 2006). Algoritma ini didasarkan pada matriks peragam empiris antara peubah tak bebas dan peubah bebas pada regresi linier. Metode SIMPLS mengasumsikan peubah-peubah X dan Y dihubungkan dalam model bilinier seperti berikut ini : (1) (2) Dalam model tersebut, dan merupakan rata-rata dari peubah X dan Y. t i adalah skor berdimensi k, dengan k < p dan i = 1,,n. P adalah matriks loading X berdimensi pxk, sedangkan sisaan dalam model ini dinotasikan dengan g i dan f i. Matriks A direpresentasikan sebagai matriks koefisien regresi (2) berdimensi qxk. Berdasarkan struktur model bilinier (1) dan (2), algoritma SIMPLS adalah sebagai berikut (Norliza, 2006) : 1. Pusatkan data peubah dan

23 7 2. Untuk setiap a = 1,2,,k vektor bobot SIMPLS r a dan q a, didefinisikan sebagai vektor yang memaksimumkan, dimana adalah matriks peragam antara peubah X dan Y, dengan normalisasi r a dan q a terdapat restriksi bahwa komponen tidak berkorelasi (ortogonal) agar diperoleh solusi lebih dari satu dan menghindari multikolinieritas antara peubah-peubah bebas. 3. Hitung skor SIMPLS: dengan skor pertama SIMPLS yaitu : 4. Periksa restriksi: dimana komponen ortogonal agar diperoleh solusi lebih dari satu dan menghindari multikolinieritas antara peubah-peubah bebas. 5. Hitung loading-x yaitu p j yang menggambarkan hubungan linier antara peubah X dan komponen ke-j. dimana merupakan matriks ragam peragam dari peubah X dan j = 1, k. 6. Langkah 5 terpenuhi ketika untuk a > j. 7. Hitung sebuah basis ortonormal {v 1,,v a-1 } terhadap loading-x {p 1,,p a-1 } untuk 2 a k Basis,

24 8 8. Hitung matriks peragam silang dan, untuk 2 a k 9. Tentukan vektor bobot SIMPLS r a dan q a, untuk 2 a k Vektor-vektor bobot SIMPLS yang pertama, q 1 adalah vektor ciri dari S yx S xy dan r 1 adalah vektor ciri dari S xy S yx. Sedangkan sepasang vektor bobot SIMPLS (r a,q a ) dengan 2 a k adalah vektor ciri dan. 10. Hitung skor SIMPLS berikutnya untuk 2 a k 11. Ulangi langkah 3 untuk 2 a k 12. Regresikan skor SIMPLS dengan peubah tak bebas. Model regresi secara matematis diberikan seperti berikut : Penduga koefisien regresi diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. 13. Hitung pendugaan algoritma SIMPLS dimana S y dan S t merupakan matriks peragam peubah y dan t 14. Hitung koefisien regresi SIMPLS terhadap peubah asli (penduga paremeter untuk regresi linier y i = β 0 + q B' p x i + e i ) Proses untuk menentukan banyaknya komponen (peubah laten) yang diperlukan (k) digunakan validasi silang. Pada setiap iterasi kumpulan data dibagi ke dalam M kelompok. Sebuah kelompok dihapus dan dilakukan kalibrasi terhadap (M-1) kelompok sisanya. Kemudian dilakukan pendugaan terhadap titik data dalam kelompok yang dihapus. Jumlah kuadrat dari selisih Y dan (dugaan y) dari titik-titik data yang dihapus disebut PRESS (Prediction Sum of Squares). Langkah berikutnya kelompok data ke-dua dihapus, lakukan seperti langkah

25 9 sebelumnya, jumlah kuadrat selisih Y dan dalam langkah ke-dua ini ditambahkan pada PRESS sebelumnya, demikian seterusnya sampai kelompok data ke-m dihapus (Wold et al. 1984). Banyaknya komponen k sesuai dengan iterasi yang memberikan PRESS minimal (Geladi dan Kowalski, 1986). Regresi Penduga-M Model analisis regresi berganda yang melibatkan p peubah bebas adalah y = Xβ + ε (3) dengan y adalah vektor berukuran n x 1 yang unsur-unsurnya merupakan nilainilai amatan peubah tak bebas. X adalah matriks berukuran n x p yang unsurunsurnya merupakan peubah bebas, β adalah vektor berukuran p x 1 yang elemenelemennya berupa parameter regresi yang tidak diketahui dan ε adalah vektor galat berukuran n x 1, dengan asumsi bahwa galat menyebar normal dengan E(ε) = 0 dan Var(ε) = Iσ 2 untuk i = 1,2,,n. Salah satu metode yang digunakan untuk menduga parameter regresi dalam analisis regresi berganda adalah Metode Kuadrat Terkecil (OLS). Konsep dasar dari OLS adalah menduga parameter regresi dengan meminimumkan kuadrat sisaan Akan tetapi, jika galat menyebar tidak normal, sekalipun sebarannya mirip dengan normal namun memiliki ekor lebih panjang, maka OLS tidak tepat digunakan untuk menduga parameter regresi. Masalah ini, dapat diatasi dengan menggunakan metode pendugaan yang bersifat kekar yaitu penduga-m. Penduga-M diperoleh dengan mengganti fungsi kuadrat dalam (4) dengan fungsi kerugian (loss function) ρ sebagai berikut : dengan fungsi kerugian ρ simetrik dan merupakan fungsi tidak turun. Dengan mengambil ρ(u) = u 2, untuk u sembarang fungsi, maka kriteria meminimumkan akan sama dengan persamaan (4), sehingga penduga kuadrat terkecil tampak

26 10 sebagai kasus khusus. Untuk mengurangi pengaruh sisaan yang besar dipilih fungsi kerugian ρ tertentu sehingga menghasilkan penduga yang lebih kekar dari kuadrat terkecil. Misalkan r i = y i - x i β merupakan sisaan model dan w y adalah bobot dari sisaan yang didefinisikan sebagai berikut: Persamaan (5) dapat ditulis kembali sebagai Pendugaan koefisien regresi dengan penduga-m dilakukan dengan metode pendugaan kuadrat terkecil dengan pembobot yang dilakukan secara iteratif (Lu 2004). Nilai w y akan berubah pada tiap iterasinya sehingga diperoleh. Penduga-M hanya resisten terhadap pencilan sisaan. Oleh karena itu, agar resisten terhadap tipe pencilan lain yaitu pengamatan berpengaruh (leverage point) maka bobot pada persamaan (6) akan dikalikan dengan bobot pengamatan berpengaruh w x (Serneels et al. 2005), yaitu : Pengamatan berpengaruh adalah pengamatan yang menyebabkan terjadinya perubahan koefisien regresi bila pengamatan tersebut disisihkan dari pemodelan data, sehingga suatu pencilan belum tentu menjadi pengamatan berpengaruh. Pengamatan berpengaruh dapat didiagnosa berdasarkan nilai leverage, yakni pencilan ditinjau dari nilai-nilai peubah bebas. Semakin besar nilai leverage-nya, pengamatan tersebut semakin berpotensi berpengaruh dalam pendugaan parameter regresi. Pengamatan berpengaruh (pengamatan peubah bebas) yang berada dekat dengan pusat data akan diberi bobot w x mendekati atau sama dengan satu, dan sebaliknya untuk data yang jauh dari pusatnya akan diboboti mendekati nol. Dengan demikian penduga parameter pada persamaan (8) akan resisten terhadap pencilan sisaan dan pengamatan berpengaruh. Penduga ini selanjutnya disebut Penduga-M kekar.

27 11 Regresi-M Kekar Parsial (Partial Robust Regression-M/PRM) Jika terdapat masalah multikolinieritas pada kalibrasi ganda, maka model yang sesuai adalah model Regresi Kuadrat Terkecil Parsial (Serneels et al. 2005). Idenya adalah bahwa cukup meregresikan peubah bebas pada jumlah peubah laten k terbatas. Nilai peubah laten ini ditempatkan bersama dalam matriks skor T n,k, yang mempunyai vektor t i sebagai kolom, dengan 1 i n. Model regresi laten diberikan sebagai berikut: dengan mengasumsikan bahwa Y dan X telah dipusatkan. Karena dimensi A rendah, yakni k, vektor A dapat diduga sama dengan sebelumnya yaitu dengan meregresikan peubah bebas terhadap peubah laten dengan bantuan penduga-m kekar. Perbedaan utamanya adalah bahwa bobot w y dihitung dari sisaan, yaitu dan bobot w x untuk pengamatan berpengaruh akan dihitung dari skor t i, sebagai ganti dari peubah bebas asli. Pembobot yang dibutuhkan agar resisten terhadap pencilan sisaan dan pengamatan berpengaruh, adalah : w i = w y *w x atau w i = min (w y,w x ) dan menghasilkan penduga yang disebut dengan Penduga-M Kekar Parsial. Selanjutnya adalah untuk memperoleh matriks T n,k yang tidak dapat diamati secara langsung. Matriks T n,k diperoleh dengan menggunakan algoritma SIMPLS. Sewaktu dihasilkan, maka akhir pendugaan bagi β adalah. PLS tampak sebagai kasus khusus jika semua bobot w i yang diambil sama, sehingga menghasilkan penduga tak kekar. Dengan menganggap bahwa bobot telah ditetapkan, maka tidak akan sulit untuk mendapatkan yang merupakan penduga PLS yang dihitung dari amatan berbobot. 1) Beberapa fungsi pembobot yang dapat digunakan, antara lain : 1, untuk, untuk

28 12 w y u Gambar 1. Fungsi Pembobot Penduga-M Huber fungsi pembobot f disebut fungsi pembobot Huber dan konstanta c disebut tuning constant dan u adalah pengukur simpangan relatif dari Huber. 2) w y u Gambar 2. Fungsi Pembobot Penduga-M Fair fungsi pembobot f disebut fungsi pembobot Fair, adalah penduga skala sisaan, c disebut tuning constant dan u adalah pengukur simpangan relatif dari Fair. Cummins dan Andrews (1995) telah melakukan kajian bahwa penduga-m Fair akan efektif digunakan ketika c = 4, penduga-m Huber akan efektif digunakan ketika c = (Kuzmic et al. 2004) dan sebagai pembanding akan digunakan c = 2. Pengukur simpangan relatif u pada persamaan (10) dan (11) dihitung dari standar sisaan (standardized residuals) yaitu sisaan dibagi dengan penduga skala agar prosedur regresi mempunyai skala ragam yang sama (scale equivariant). Salah satu penduga skala yang paling kekar dan sederhana adalah MAD (Median Absoblute Deviation) yang diperkenalkan oleh Hampel pada tahun MAD dapat dihitung sebagai berikut : A

29 13 Bobot w x setelah dilakukan penskalaan setiap vektor skor t i dihitung sebagai berikut : dimana merupakan norm vektor dan pembobot f sama seperti persamaan (10) dan (11). T merupakan median-l 1 yang dihitung dari vektor skor {t 1,,t n }, yaitu penduga kekar dari pusat data awan dari vektor skor berdimensih. Median-L 1 merupakan median contoh berganda, juga disebut spatial median. Implementasi Langsung Kuadrat Terkecil Partial M Kekar (Robust Straightforward Implementation Partial Least Square-M/RSIMPLS-M) Kajian mengenai RSIMPLS-M terdiri dari Analisis Komponen Utama Kekar (Robust Principal Component Analysis/ROBPCA) dengan menggabungkan konsep projection pursuit (PP) dengan penduga ragam kekar, yaitu Determinan Peragam Minimum (Minimum Covariance Determinant, MCD) (Ismah, 2010). MCD merupakan penduga yang sangat kekar untuk menduga parameter nilai tengah dan matriks peragam dengan konsep menentukan subhimpunan yang memiliki nilai determinan peragam minimum. Dengan kata lain, MCD bertujuan untuk mendapatkan h pengamatan dari n pengamatan yang memiliki determinan peragam terkecil. Misalkan X = {x 1, x 2,, x n,} merupakan suatu contoh dari n pengamatan dalam R k dan h, dengan sedemikian hingga: dimana = det, cari subhimpunan J* berukuran h adalah matriks peragam berdasarkan pada pengamatan x i dengan (Notiragayu, 2008). Penduga MCD diberikan sebagai berikut : dan Metode MCD yang lebih efisien adalah dengan menggantikan rataan dan matriks peragam klasik dengan penduga pusat dan ragam MCD terboboti. dan

30 14 dimana masing-masing x i diberikan bobot w i, w i = 1 apabil dan untuk lainnya (Rousseeuw et al. 2004). Metode PP bertujuan untuk mendapatkan struktur data peubah ganda dengan memproyeksikan pada subhimpunan berdimensi rendah (Huber, 1985). PP tepat digunakan untuk menganalisis data dengan jumlah peubah yang besar. Subhimpunan berdimensi rendah dipilih dengan memaksimumkan indeks proyeksi tertentu. Untuk menghasilkan komponen utama yang kekar, indeks proyeksi diganti dengan penduga peragam yang kekar. Metode MCD diterapkan ke dalam jumlah komponen yang terbentuk, untuk memperoleh penduga pusat kekar dari dan peragamnya, dimana dapat didekomposisikan sebagai berikut : dengan vektor ciri Z yaitu dan akar ciri Z yaitu diag(l k,k ). Langkah-langkah dalam metode RSIMPLS-M adalah sebagai berikut: 1. Pembentukan skor kekar RSIMPLS-M Pembentukan skor-skor kekar, berdimensi k, berdasarkan penduga pusat kekar dan ragamnya yang diperoleh menggunakan metode ROBPCA. Vektor bobot RSIMPLS-M, r a dan q a diperoleh menggunakan metode SIMPLS, tetapi matriks peragam S diganti dengan. Sedangkan vektor loading X didefinisikan, kemudian diperoleh serupa pada tahap SIMPLS. Dan pada masing-masing tahap skor kekar dihitung. 2. Pendugaan model regresi Sama seperti pada SIMPLS dimana skor-skor kekar yang diperoleh pada langkah 1 diregresikan dengan peubah tak bebas. Model regresi secara matematis ditulis sebagai berikut : dimana penduga pusat μ dan peragam dari peragam terboboti yaitu rataan dan matriks

31 15 dengan w i = 1 apabila pengamatan ke-i tidak didentifikasi sebagai pencilan dengan metode ROBPCA dalam (x,y) dan w i 0 untuk lainnya. Fungsi pembobot pada metode RSIMPLS-M adalah sebagai berikut: jika dimana jika jika jika jika jika (18) dimana (jarak kekar) (jarak ortogonal) dan adalah penduga rataan dan ragam dengan MCD (Ismah, 2010). Setelah dan diperoleh, proses selanjutnya penduga koefisien regresi diperoleh menggunakan metode kuadrat terkecil. Penentuan jumlah komponen k menggunakan kriteria RMSECV (Root Mean Squared Error Cross Validation). Jumlah komponen ditentukan dari komponen k yang memiliki nilai RMSECV minimum. Validasi Model Salah satu jenis validasi model yaitu dengan menghitung nilai Root Mean Squared Error of Prediction (RMSEP) dengan rumus: n p 1 2 RMSEP ŷi yi (19) n p i 1 dimana y i menyatakan nilai pengamatan ke-i pada kelompok data validasi, menyatakan nilai dugaan pengamatan ke-i dan n p menyatakan banyak sampel yang digunakan dalam model validasi. ŷ i

32 16 Pendugaan Parameter dengan Jackknife Pendekatan jackknife diperkenalkan oleh Maurice Henry Quenouille pada tahun 1949 untuk mengoreksi bias suatu penduga. Kemudian pada tahun 1958, John Wilder Tukey mengusulkan penduga ragam. Ide dasar metode jackknife dengan menghapus pengamatan ke-i untuk i = 1,..,n dan melakukan pendugaan parameter. Misalkan X 1,,X n merupakan contoh acak berukuran n pengamatan yang menyebar secara bebas stokastik dan identik dari suatu sebaran peluang F yang tidak diketahui. Dari contoh tersebut dilakukan penarikan contoh kembali (resample) sebanyak n kali dimana setiap resample terdiri dari n-1 pengamatan (terhapus 1 pengamatan secara berturut-turut). Misalkan penaksir β yang diperoleh dengan menyisihkan data ke-i dan diperoleh penduga b(i), yang disebut statistik jackknife, untuk i = 1,..,n (Dudewicz dan Mishra, 1988). Penduga bias Jackknife dihitung dengan menggunakan persamaan berikut : Bias jack = (n - 1) (b(i) b) dan ataan ias (20) b adalah dugaan dari parameter β dan b(i) adalah dugaan dari parameter β yang dihitung dari penghapusan pengamatan ke-i (statistik jackknife). Selanjutnya penduga bias Jackknife ini digunakan untuk menghasilkan bias terkoreksi penduga Jackknife (b j )yang disebut sebagai penduga Pseudo, didefinisikan dengan : ias sedangkan penduga Jackknife (b J ) didefinisikan sebagai : (21), dengan (22) Penduga ragam Jackknife dengan mengapus pengamatan ke-i berdasarkan pada nilai pseudo, didefinisikan sebagai berikut :

33 17 Selang kepercayaan untuk (1 - α)% bagi koefisien regresi adalah : (24) dimana adalah sebaran t dengan derajat bebas n 1.

34 18

35 METODOLOGI Data Data yang digunakan dalam penelitian ini berasal dari Journal Technometrics (Naes, 1985), mengenai konsentrasi lemak ikan. Data ini berisi hasil pengukuran konsentrasi lemak 45 contoh ikan dan absorbsinya dari 9 panjang gelombang yang diukur dengan spektrometer NIR. Konsentrasi lemak ikan (%) sebagai peubah respon dan absorban-absorbannya sebagai peubah penjelas (Tabel Lampiran 1). Menurut Naes (1985), tujuh pengamatan ektrim terletak pada bagian akhir, yakni dari pengamatan ke-39 sampai 45. Metode Penelitian Langkah-langkah analisis data yang dilakukan berkaitan dengan tujuan penelitian sebagai berikut : I. Analisis menggunakan seluruh data pengamatan 1. Algoritma Regresi-M Kekar Parsial (PRM) dengan fungsi pembobot Fair dan Huber a. Menentukan data terpusat peubah dan dengan menggunakan b. Menentukan bobot kekar awal, yaitu w i = w y *w x dan w i = min(w y,w x ) dengan menggunakan penduga-m Huber dan penduga-m Fair., c = 4 (fungsi pembobot Fair) (fungsi pembobot Huber) dengan, c = 1,345 dan c = 2, untuk 1 i n.

36 20 dengan merupakan norm vektor, fungsi pembobot f sama seperti fungsi pembobot Huber dan Fair dan merupakan median-l 1 yang dihitung dari vektor skor {x 1,,x n }. c. Lakukan analisis regresi dengan algortitma SIMPLS pada matriks data dan terboboti yang diperoleh dengan mengalikan setiap kolom dan dengan. c1. Menentukan vektor bobot X (r a ) dan Y (q a ), untuk a = 1. c2. Menghitung skor SIMPLS ( ta ) : dengan, untuk untuk a = 1 yang didefinisikan sebagai t c3. Menghitung loading-x, c4. Menghitung sebuah basis ortonormal {v 1,,v a-1 } terhadap loading-x {p 1,,p a-1 } untuk 2 a k c5. Menghitung matriks peragam silang dan, untuk 2 a k c6. Menghitung vektor bobot X (r a ) dan Y (q a ), untuk 2 a k c7. Menghitung skor SIMPLS (t a ), untuk 2 a k c8. Ulangi tahap c3. d. Periksa skor SIMPLS (t a ) dengan membagi (t a ) dengan. e. Regresikan skor SIMPLS dengan peubah respon (y) : f. Menghitung g. Uji kekonvergenan h. Jika kekonvergenan tidak tercapai, hitung kembali bobot w i = w y *w t dan w i = min(w y,w t ) dengan menggunakan penduga-m Huber dan penduga-m Fair, dimana i. Kembali ke langkah 3 sampai konvergen. Konvergensi tercapai apabila perbedaan relatif (relative difference) dalam norm antara dua berturut-turut perkiraan lebih kecil daripada ambang batas yang ditentukan yaitu 10-5

37 21 j. Pendugaan akhir dari secara langsung diperoleh dari langkah RKTP terboboti terakhir. k. Menghitung koefisien regresi SIMPLS terhadap peubah asli (penduga paremeter untuk regresi linier y i = β 0 + q B' p x i + e i ) l. Menghitung PRESS (Prediction Sum of Squares). 2. Algoritma Robust Straightforward Implementation Partial Least Square-M (RSIMPSL-M). a. Menentukan data terpusat peubah dan dengan menggunakan b. Pembentukan skor kekar b1. Menentukan matriks peragam kekar menggunakan metode AKUK b2. Menentukan vektor bobot kekar X (r a ) dan Y (q a ), untuk a = 1. Vektor bobot RSIMPLS-M, r a dan q a diperoleh menggunakan metode SIMPLS, tetapi matriks peragam S diganti dengan. b3. Menghitung skor SIMPLS ( ta ) : dengan, untuk untuk a = 1 yang didefinisikan sebagai t b4. Menghitung loading-x, b5. Menghitung sebuah basis ortonormal {v 1,,v a-1 } terhadap loading-x {p 1,,p a-1 } untuk 2 a k b6. Menghitung matriks peragam silang dan, untuk 2 a k b7. Menghitung skor RSIMPLS-M untuk 2 a k b8. Menentukan vektor bobot kekar X (r a ) dan Y (q a ), untuk 2 a k b9. Ulangi tahap b3 untuk 2 a k

38 22 c. Pembentukan regresi kekar : hitung, dimana penduga pusat μ dan peragam dari terboboti yaitu rataan dan matriks peragam dengan w i = 1 apabila pengamatan ke-i tidak didentifikasi sebagai pencilan dengan metode AKUK dalam (x,y) dan untuk lainnya. Fungsi pembobot pada metode RSIMPLS-M adalah sebagai berikut: jika jika dimana jika jika jika jika dengan, D = jarak kekar dan OD = jarak orogonal. dan adalah penduga rataan dan ragam dengan MCD (Ismah, 2010) d. Menghitung koefisien regresi RSIMPLS-M terhadap peubah asli (penduga paremeter untuk regresi linier y i = β 0 + q B' p x i + e i ) e. Menghitung RMSECV (Root Mean Squared Error Cross Validation). II. Validasi Model 1. Lakukan pemilihan data (n 1 ) untuk membentuk model dan kelompok data (n 2 ) untuk validasi model secara acak. 2. Lakukan analisis data n 1 seperti pada langkah I bagian 1 dan bagian Menghitung RMSE.

39 23 4. Lakukan prediksi nilai y pada kelompok data validasi n 2 dengan menggunakan model yang dihasilkan pada langkah II bagian 2. Selanjutnya validasi model dengan kriteria RMSEP. 5. Ulangi langkah 2 tahap a sebanyak 20 kali dengan memilih kelompok data n 1 dan n 2 yang berbeda dari sebelumnya. 6. Menghitung rata-rata RMSE dari langkah 3 dan RMSEP dari langkah 4. III. Pendugaan selang kepercayaan parameter dengan metode jackknife. Ide dasar metode jackknife dengan menghapus pengamatan ke-i untuk i = 1,..,n dan melakukan pendugaan parameter. Penduga bias Jackknife : Bias jack = (n - 1) (b(i) b) dan ataan ias. b adalah dugaan dari parameter β dan b(i) adalah dugaan dari parameter β yang dihitung dari penghapusan pengamatan ke-i (statistik jackknife). Penduga Jackknife (b J ) didefinisikan sebagai :, dengan. Penduga ragam Jackknife dengan mengapus pengamatan ke-i didefinisikan sebagai berikut :. Selang kepercayaan u (1 - α)% bagi koefisien regresi adalah : dengan derajat bebas n 1., dimana adalah sebaran t Analisis data untuk metode PRM dan RSIMPLS-M diimplementasikan dengan program MATLAB.

40 24 Mulai PRM Fungsi Pembobot Fair dan Huber Deteksi pencilan Analisis dengan n Pengamatan (Seluruh Data Pengamatan) Pemilihan Jumlah Komponen k RSIMPLS-M Fungsi Pembobot Huber Deteksi Pencilan Pemberian Bobot Pemberian Bobot Identifikasi Pencilan Identifikasi Pencilan Pemilihan Kelompok Data Uji dan Model Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter dengan Metode Jackknife RMSE Pemodelan RMSEP Uji Model Selesai Gambar 3 Diagram alur penelitian

41 Konsentrasi lemak ikan (%) Kandungan zat aktif (absorban) HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi Data Berdasarkan data yang digunakan dalam penelitian ini, akan dilakukan pengidentifikasian multikolinieritas. Nilai korelasi antar peubah bebas yang cukup tinggi dengan nilai p > 0.1 tertera pada Tabel 1. Tabel 1 Korelasi (r) antar peubah bebas data ikan Korelasi X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X2 0,906 X3 0,998 0,905 X4 0,998 0,905 1,000 X5 0,993 0,896 0,997 0,998 X6 0,987 0,890 0,988 0,991 0,995 X7 0,988 0,891 0,989 0,992 0,995 1,000 X8 0,990 0,896 0,991 0,993 0,996 1,000 1,000 X9 0,973 0,871 0,976 0,979 0,989 0,995 0,995 0,994 Adanya data pencilan sering kali memperbesar nilai ragam bagi model, sehingga menyebabkan dugaan bagi selang kepercayaannya makin lebar. Pengidentifikasian pencilan berdasarkan diagram kotak-garis pada data pengamatan Y menunjukkan bahwa pencilan pada pengamatan ke-1. Sedangkan pengidentifikasian pencilan berdasarkan data pengamatan X menunjukkan terdapat beberapa pengamatan yang merupakan pencilan yaitu pengamatan ke-8, 39, 40, 42, 43, 44, dan 45. Deteksi pengamatan pencilan berdasarkan diagram kotak-garis ditunjukkan pada Gambar x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 (a) (b) Gambar 4 Diagram kotak-garis (a) Pengamatan Y dan (b) Pengamatan X

42 RMSECV 26 Penentuan Jumlah Peubah Laten Jumlah peubah laten (komponen) k ditentukan berdasarkan analisis menggunakan metode PRM terhadap data tertera pada Tabel 2. Tabel 2 Hasil Validasi Silang untuk menentukan banyaknya komponen k Banyak Pengaruh Model Peubah Bebas Peluang > Peubah PRESS PRESS Persentase Kumulatif Persentase Kumulatif Laten Dari hasil perhitungan PRESS diperoleh model kalibrasi dengan 4 peubah laten (komponen) dengan akar rataan PRESS terkecil, yakni Model terkecil dengan nilai peluang > 0.1, yaitu model dengan 3 peubah laten akan dipilih. Model ini memiliki akar rataan PRESS Tiga komponen tersebut dapat menjelaskan keragaman peubah. Pengaruh model dijelaskan sebesar 99.89% dan untuk peubah bebas dijelaskan sebesar 81.53%. Hal ini menunjukkan kecukupan variasi dari model yang dapat dijelaskan dengan 3 komponen. Sedangkan jumlah peubah laten k ditentukan berdasarkan analisis menggunakan RSIMPLS-M terhadap data tampak pada Gambar 5. Dari hasil perhitungan nilai RMSECV diperoleh model kalibrasi dengan 6 komponen dengan nilai RMSECV minimum, yakni dan R 2 = Selanjutnya, untuk melakukan analisis data akan digunakan jumlah peubah laten (komponen) sebanyak k = 3 dan k = Jumlah Komponen Gambar 5 Nilai RMSECV pada beberapa jumlah komponen

43 27 Identifikasi Pencilan Analisis metode PRM yang terdiri dari k = 3 dan k = 6 dan fungsi pembobot Fair dan Huber menggunakan data yang sudah dipusatkan, tercantum pada Lampiran 2. Bobot akhir w ditentukan dengan dua cara yakni, (1) mengalikan bobot pencilan sisaan dengan bobot untuk setiap pengamatan berpengaruh (w i = w y *w x ) dan (2) mengambil nilai minimum dari bobot pencilan sisaan dan bobot untuk setiap pengamatan (w i = min[w y,w x ]). Deteksi pengamatan pencilan berdasarkan plot antara w y dan w x dengan metode PRM menggunakan fungsi pembobot Fair (perkalian) dan fungsi pembobot Fair (minimum) untuk k = 3 dan k = 6, masing-masing ditunjukkan pada Lampiran 3. Pada Lampiran 3, pengamatan yang diidentifikasi sebagai pencilan berdasarkan nilai w y dari terletak pada kuadran III dan IV. Sedangkan pengamatan yang diidentifikasi sebagai pencilan berdasarkan nilai w x terletak pada kuadran II dan III. Nilai bobot sisaan (w y ) dan dan bobot pengamatan berpengaruh (w x ) serta bobot akhir (w i ) yang diberikan untuk setiap pengamatan dengan metode PRM menggunakan fungsi pembobot Fair (perkalian) dan fungsi pembobot Fair (minimum) tertera pada Lampiran 4 dan Lampiran 5. Setiap pengamatan akan diberikan nilai bobot < 0.5 jika sisaan baku besar (pencilan sisaan) dan peubah bebas (pengamatan berpengaruh) yang jauh dari pusat data, dan nilai bobot 0.5 untuk lainnya. Selanjutnya, deteksi pengamatan pencilan berdasarkan plot antara w y dan w x dengan metode PRM menggunakan fungsi pembobot Huber (perkalian) dan fungsi pembobot Huber (minimum) untuk k = 3 dan k = 6, dimana c = dan c = 2, masing-masing ditunjukkan pada Lampiran 6 dan Lampiran 7. Nilai bobot sisaan (w y ) dan dan bobot pengamatan berpengaruh (w x ) serta bobot akhir (w i ) yang diberikan untuk setiap pengamatan dengan metode PRM menggunakan fungsi pembobot Huber (perkalian) dan fungsi pembobot Huber (minimum) tertera pada Lampiran 8, Lampiran 9, Lampiran 10 dan Lampiran 11.Setiap pengamatan akan diberikan nilai bobot mendekati nol jika sisaan baku besar (pencilan sisaan) dan peubah bebas (pengamatan berpengaruh) yang jauh dari pusat data, dan nilai bobot sama dengan satu untuk lainnya. Analisis metode RSIMPLS-M untuk k = 3 dan k = 6 menggunakan data data asli, tercantum pada Lampiran 1. Deteksi pengamatan pencilan berdasarkan

44 28 plot AKUK antara jarak skor dan jarak ortogonal dengan metode RSIMPLS-M untuk k = 3 dan k = 6, masing-masing ditunjukkan pada Lampiran 12. Nilai jarak ortogonal (OD) dan jarak skor (D) serta bobot (w) yang diberikan untuk setiap pengamatan dengan metode RSIMPLS-M, untuk k = 3 dan k = 6, masing-masing tertera pada Lampiran 13 dan Lampiran 14. Setiap pengamatan akan diberikan nilai bobot mendekati nol jika jarak skor dan jarak ortogonal pengamatan ke-i melebihi nilai batas yang ditentukan, dan nilai bobot sama dengan satu untuk lainnya. Pada Lampiran 12 (a) tampak bahwa pengamatan yang dideteksi sebagai pencilan yaitu pengamatan dengan nilai jarak yang melebihi nilai batas yang ditentukan yaitu untuk jarak skor dan untuk jarak ortogonal. Sedangkan pada Lampiran 12 (b) tampak bahwa pengamatan yang dideteksi sebagai pencilan yaitu pengamatan dengan nilai jarak yang melebihi nilai batas yang ditentukan yaitu untuk jarak skor dan untuk jarak ortogonal. Setelah dilakukan pengindetifikasian pencilan pada 45 contoh ikan dengan metode PRM dan RSIMPLS-M, dilakukan juga pendugaan model. Hasil identifikasi pencilan pada 45 contoh ikan berdasarkan bobot dan pendugaan model metode PRM dan RSIMPLS-M terdapat pada Tabel 3. Pada Tabel 3 terlihat bahwa jumlah pencilan yang dideteksi oleh RSIMPLS-M lebih kecil daripada jumlah pencilan yang dideteksi oleh PRM. Hal ini disebabkan karena RSIMPLS-M merupakan metode pendugaan parameter yang didasarkan pada Analisis Komponen Utama Kekar (Robust Principal Component Analysis/ROBPCA). ROBPCA melakukan perhitungan matriks peragam tidak dari semua data, tetapi dari h pengamatan dengan nilai keterpencilan terkecil. Sedangkan PRM merupakan metode pendugaan parameter yang menggunakan metode Iterative Reweighted Partial Least Squares (IRPLS), Setiap iterasi metode PRM melibatkan keragaman baik pada peubah tak bebas maupun pada peubah bebas dari semua data. Secara umum, berdasarkan nilai w y (sejajar sumbu vertikal/ Y) dan nilai w y (sejajar sumbu horizontal/ X) pada seluruh metode PRM untuk k = 3, pengamatan ke-39, 40, 41, 42, 43, 44, dan 45 yang dianggap pengamatan ekstrim menurut Naes (1985), terdeteksi sebagai pencilan. Demikian halnya untuk k = 6, berdasarkan nilai w y (sejajar sumbu vertikal/ Y) dan nilai w y (sejajar sumbu horizontal/ X) pada seluruh metode PRM, pengamatan ke-39, 40, 41, 42, 43, 44,