Bab 2 Konsep Relativitas

Transkripsi

1 Bab 2 Konsep Relativitas 2.1 Deskripsi Teori relativitas memeriksa bagaimana pengukuran kuantitas fisis bergantung pada pengamat seperti juga pada peristiwa yang diamati. Dari relativitas muncul mekanika baru yang menyiratkan kaitan yang sangat erat antara ruang dan waktu, massa dan energy, kelistrikan dan kemagnetan, tanpa kaitan itu kita tidak mungkin mengerti dunia fisika. Untuk keseluruhannya konsep relativitas dijelaskan dengan menerapkan matematika sederhana, yaitu dengan memilih suatu kerangka acuan (kerangka inersia) sebagai perbandingan pengamatan dengan peristiwa sebenarnya. Konsep relativitas meliputi gerak relative, transformasi Galileo, postulat relativitas khusus, postulat relativitas umum, eksperimen Michelson- Morley, konsekuensi relativitas khusus : dilatasi waktu, kontraksi panjang, paradoks anak kembar ; transformasi Lorentz, momentum relativistik, energi relativistik, massa sebagai ukuran energi, hukum kekekalan momentum relativistik, massa dan energi. 2.2 Relevansi Bab ini merupakan kajian paling dasar mengawali fisika kuantum sebagai pengembangan fisika klasik, serta sebagai perkenalan kajian teori kuantum modern. Keterkaitan antara bab ini dengan bab-bab selanjutnya adalah sebagai landasan atau dasar konsep kajian relativistic. 2.3 Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Setelah mempelajari Bab ini mahasiswa diharapkan dapat: 1. Menjelaskan konsep kerangka inersia dan gerak relatif 2. Menjelaskan rumusan-rumusan prinsip relativitas khusus, serta fenomenanya meliputi pemuaian waktu, pengerutan panjang, efek Doppler, paradox kembar. 3. Memahami menurunkan transformasi Lorentz dan transformasi baliknya serta akibatakibat dari trasformasi Lorentz. 4. Memahami momentum relativisttik dan hukum kekekalannya. 19

2 2.4 Uraian Materi Gerak Relatif Suatu benda dikatakan bergerak bila kedudukan benda itu berubah terhadap suatu titik acuan atau kerangka acuan. Seorang penumpang kereta api yang sedang duduk di dalam kereta api yang bergerak meninggalkan stasiun dikatakan diam bila titik acuannya adalah kereta api, sedangkan bila titik acuannya adalah stasiun penumpang tersebut dikatakan bergerak. Pengertian diam dan bergerak di sini bersifat relatif tergantung titik acuannya. Stasiun kita anggap diam, padahal stasiun bersama bumi bergerak mengelilingi matahari, matahari bersama bumi bergerak terhadap galaksi, bintang, dan seterusnya. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa tidak ada benda yang bergerak mutlak, yang ada hanyalah gerak relatif. Relativitas merupakan subjek yang penting berkaitan dengan pengukuran (pengamatan) tentang di mana dan kapan suatu kejadian terjadi dan bagaimana kejadian tersebut dianalisa (diukur) menurut suatu kerangka acuan yang bergerak relative terhadap kerangka yang lain. Topik tentang relativitas sebenarnya ada 2 bagian yaitu Relativitas Khusus (Special Relativity) dan Relativitas Umum (General Relativity). Dalam Teori Relativitas Khusus subjek yang menjadi fokus adalah kerangka acuan yang inersial. Ingat pengertian tentang kerangka acuan yang inersial, yaitu kerangka acuan yang padanya hukum gerak Newton berlaku. Sedangkan Teori Relativitas Umum berkaitan dengan situasi yang lebih rumit dimana kerangka acuan mengalami percepatan gravitasi. Teori Relativitas Khusus didasari pada postulat Einstein, yang mengubah pemahaman klasik tentang relativitas. Pemahaman klasik tentang relativitas didasari konsep Galileo (ingat kembali pembahasan tentang relativitas gerak) RELATIVITAS NEWTON Kajian kinematika dari partikel didasarkan pada teori medan kuantum (teori relativitas khusus dan mekanika kuantum). Teori medan kuantum adalah alat untuk mempelajari partikel yang didasarkan atas obyek-obyek yang dapat menciptakan partikel dan merusak partikel. Obyek tersebut adalah medan-medan dari teori medan kuantum. Medan-medan kuantum adalah obyek-obyek yang menyerap dimensi ruang-waktu. Partikel-partikel dapat dihasilkan atau dirusak dimana-mana dan pada setiap waktu. Sebagai contoh, sebuah elektron atau foton 20

3 dapat tampak atau tidak tampak dimana-mana di dalam ruang, sesuai dengan tafsiran probabilistik. Proses-proses kuantum mengijinkan sejumlah partikel-partikel bermuatan di alam semesta untuk berubah melalui penciptaan atau perusakan partikel. Masing-masing partikel diciptakan atau dirusak oleh medan-medan. Berbeda dengan teori elektromagnetik, dalam teori medan kuantum gaya dan interaksinya digambarkan dalam ungkapan medan-medan yang terjadi pada setiap titik dalam ruang-waktu. Konsep ruang-waktu, ruang dan waktu tidak dapat ditinjau secara bebas, berasal dari perumusan relativitas khusus Einstein untuk menggambarkan kecepatan, energi dan momentum dari partikel yang sangat tinggi, kecepatannya mendekati kecepatan cahaya. Meskipun ruang dan waktu tidak sama, ruang dan waktu jelas berbeda, pengukuran kedua besaran tersebut berdasarkan pada kecepatan dimana sistem bergerak relatif satu sama lain. Sebagai contoh, dalam dilatasi waktu (time dilation), waktu yang dialami oleh obyek-obyek yang bergerak cepat adalah berbeda. Pengukuran dilatasi waktu digunakan untuk mempelajari partikel-partikel elementer yang dihasilkan ketika bertumbukan dan bergerak pada kecepatan relativistik. Hukum pertama Newton (hukum Inersia) tidak membedakan antara partikel yang diam dan partikel yang bergerak dengan kecepatan konstan. Jika tidak terdapat gaya luar-bersih yang bekerja, partikel tersebut tetap akan berada pada keadaan awalnya-diam atau bergerak dengan kecepatan awalnya (lembam). Sebuah koin dijatuhkan oleh seseorang yang berada dalam sebuah mobil yang sedang bergerak. Pada kerangka acuan S (pengemudi mobil), ketika koin dijatuhkan terlihat kion jatuh vertikal ke bawah. Sedangkan dalam kerangka acuan S (Pengamat yang diam diluar mobil) koin mengikuti suatu kurva lintasan parabola karena koin tersebut memiliki kecepatan awal V ke kanan. Berdasarkan ilustrasi tersebut dapat disimpulkan bahwa Hukum Newton baerlaku untuk kerangka acuan S dan S. Kerangka acuan dimana hukum Newton berlaku disebut kerangka acuan Inersia. Kerangka acuan inersia adalah suatu kerangka acuan yang berada dalam keadaan diam atau bergerak terhadap acuan lainya dengan kecepatan konstan pada suatu garis lurus. Kerangka acuan inersia tidak mengalami percepatan dan tidak berotasi. Jika kita memiliki kerangka acuan inersia yang bergerak dengan kecepatan konstan relatif terhadap yang lainya seperti S dan S, tidak ada percobaan mekanika yang dapat memberitahu kita bagian mana yang diam dan bagian mana yang sedang bergerak atau 21

4 keduanya bergerak. Hasil ini dikenal dengan prinsip relativitas Newton, yaitu hukum-hukum Newton tentang gerak dan persamaan gerak sutu benda tetap sama dalam semua kerangka acuan inersia, sedangkan kecepatan benda tidak mutlak tapi bersifat relatif. Prinsip ini dikenal oleh Galileo, Newton dan yang lainya pada abad ke 17. Akan tetapi, pada akhir abad ke 19. Pandangan ini telah berubah. Sejak itu umumnya dipikirkan bahwa relativitas Newton tidak berlaku lagi dan gerak mutlak dapat dideteksi dalam prinsip pengukuran kecepatan cahaya. Kegagalan Relativitas Klasik Pandangan tentang alam, yang berasal dari Galileo mengatakan bahwa : Ruang dan waktu adalah mutlak Setiap percobaan yang dilakukan dalam kerangka acuan (pengamatan) kita barulah bermakna fisika apabila dapat dikaitkan dengan percobaan serupa yang dilakukan dalam kerangka acuan.mutlak, yaitu suatu sistem koordinat kartesius semesta yang padanya tercantumkan jam-jam mutlak. Contoh pada azas kelembaman (inersia) Galileo, mengatakan bahwa sebuah benda yang diam cenderung diam kecuali jika padanya dikenakan gaya luar. Bila kita mencoba menguji asas ini dalam sebuah kerangka acuan yang mengalami percepatan, seperti sebuah mobil yang berhenti secara mendadak, atau sebuah komidi putar yang berputar dengan sangat cepat, kita akan dapati bahwa azas ini tidak berlaku (dilanggar). Jadi hukum I Newton (kelembaman), tidak berlaku dalam kerangka acuan yang mengalami percepatan, kecuali dalam kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan konstan. Kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan konstan disebut kerangka acuan lembam (inersial). Peristiwa-peristiwa yang diamati dari berbagai kerangka lembam dapat tampak berbeda bagi masing-masing pengamat dalam tiap kerangka itu. Perbandingan pengamatan-pengamatan yang dilakukan dalam berbagai kerangka lembam memerlukan sebuah perumusan yang disebut transformasi Galileo, yang mengatakan bahwa kecepatan (relatif terhadap tiap kerangka lembam) mematuhi aturan jumlah yang paling sederhana. 22

5 2.4.3 Transformasi Galileo Dalam membahas teori relativitas diperlukan suatu kerangka acuan inersial yaitu kerangka acuan di mana hukum pertama Newton berlaku. Kerangka acuan inersial adalah suatu kerangka acuan yang berada dalam keadaan diam atau bergerak terhadap acuan lainnya dengan kecepatan konstan pada suatu garis lurus. Misalkan kejadian fisika berlangsung di dalam sebuah kerangka acuan inersial, maka lokasi dan waktu kejadian dapat dinyatakan dengan koordinat (x, y, z, t) dengan t adalah waktu. Kita dapat memindahkan koordinat ruang dan waktu suatu kejadian yang berlangsung di dalam sebuah kerangka acuan inersial ke dalam kerangka acuan lain yang bergerak dengan kecepatan relatif yang konstan melaui transformasi Galileo. Pada gambar 2.1 terdapat dua kerangka acuan inersial S dan S. S diam dan S bergerak dengan kecepatan v terhadap S sepanjang sumbu x positif. Gambar 2.1 kerangka acuan inersial S dan S. S diam dan S bergerak dengan kecepatan v terhadap S 1 Bayangkanlah S sebagai stasiun dan S sebagai kereta api yang bergerak dengan kecepatan konstan v. Mula-mula S dan S berimpit lalu setelah t sekon, S sudah menempuh jarak d = vt. Seorang penumpang P di dalam kereta api terhadap kerangka acuan S bergerak dengan kecepatan tetap u x searah dengan v. Pada saat t sekon, P mempunyai koordinat P(x, y, z) terhadap kerangka acuan S dan mempunyai koordinat P(x, y, z ) terhadap kerangka acuan S dengan hubungan : ; ; ; (2.1) Persamaan (2.1) disebut sebagai transformasi Galileo. Untuk menentukan kecepatan, Persamaan (2.1) diturunkan terhadap waktu t. karena menurut transformasi Galileo, t = t, maka diperoleh : 23

6 Bentuk adalah kecepatan P terhadap S dan bentuk adalah kecepatan P terhadap S. Dengan demikian, Persamaan (2.1) menjadi : ; ; (2.2) Untuk mendapatkan percepatan, Persamaan (2.2) diturunkan terhadap waktu. Karena v konstan, maka 0, sehingga berlaku hubungan : ; ; (2.3) Menurut Persamaan (2.3), jika a = a sedangkan massa P di kerangka acuan S sama dengan massa P di kerangka acuan S. Dengan demikian, hukum Newton, adalah sama atau F = F. F=ma dengan F =ma, Teori Relativitas Khusus Teori relativitas muncul sebagai hasil analisis konsekuensi fisis yang tersirat oleh ketiadaan kerangjka acuan universal. Teori relativitas khusus yang dikembangkan oleh Einstein tahun 1905 adalah salah satu teori sangat penting yang merupakan deviasi dramatik dari fisika klasik dan sangat esensial dalam perkembangan teori relativitas umum dan teori medan kuantum yang mempersoalkan kerangka acuan universal. Kerangka acuan ini bergerak dengan kecepatan tetap (yaitu, kecepatan tetap dan arah tetap) terhadap kerangka lainnya. Teori ini didasarkan atas dua postulat : (1) Hukum-hukum fisika adalah sama dalam semua kerangka inersia. (2) Laju cahaya, c, adalah sama dalam setiap kerangka inersia. Pada postulat pertama dinyatakan ketiadaan kerangka acuan yang universal. Bila hukum-hukum fisika berbeda untuk kerangka acuan yang berbeda dalam keadaan gerak relatif, maka kita dapat menentukan mana yang dalam keadaan diam dan mana yang bergerak dari perbedaan tersebut. Namun, karena tidak terdapat kerangka acuan universal, perbedaan tersebut tidak terdapat, sehingga muncul postulat di atas. Postulat ini mengikuti konsep intuitif mengenai ruang dan waktu yang kita bentuk dalam kehidupan sehari-hari. 24

7 Teori relativitas umum, diusulkan oleh Einstein sepuluh tahun kemudian, mempersoalkan kerangka yang dipercepat satu terhadap yang lainnya. Seorang pengamat dalam laboratorium yang terisolasi dapat mendeteksi percepatan. Setiap orang yang pernah naik elevator atau komedi putar dapat membuktikan pernyataan tersebut dari pengalamannya. Contoh yang sederhana, kita mempunyai dua buah kapal, A dan B. Kapal A diam di atas air sedangkan kapal B bergerak dengan kecepatan tetap v r. daerah tersebut diliputi kabut sehingga kedua pengamat pada masing-masing kapal tidak bisa mengetahui kapal mana yang bergerak. Pada saat B berdampingan dengan A, api dinyalakan untuk sesaat. Menurut postulat kedua dari relativitas khusus, cahaya api akan merambat ke segala arah dengan kelajuan tetap. Pengamat pada masing-masing kapal mendapatkan bola cahaya dengan ia sebagai pusat, walaupun salah satu pengamat berubah kedudukannya terhadap tempat padamnya api tersebut. Jadi, kalau kita menempatkan kerangka acuan pada masing-masing kapal maka pengamat pada kedua kapal akan melihat peristiwa yang sama karena kelajuan cahaya sama dalam kedua kerangka acuan tesebut. Dua postulat Einsten tersebut kemudian menjadi dasar dari teori relativitas khusus. Jika kita menyakini atau setuju dengan kedua postulat tersebut, ada beberapa akibat dari postulat tersebut: 1. Waktu tidak universal. 2. Simultanitas adalah relatif. 3. Dilatasi waktu: gerak jam berjalan lambat. 4. Kontraksi panjang: benda yang bergerak akan mengkerut dalam arah geraknya. 5. Massa dan energi adalah ekuivalen Percobaan Michelson-Morley Menurut teori gelombang Huygens, cahaya memerlukan medium untuk merambat. Jadi, cahaya dapat mencapai Bumi dari Matahari karena di ruang hampa yang dilalui cahaya ada medium perambatan gelombang cahaya yang disebut eter. Namun, belum ada bukti langsung akan keberadaan eter tersebut. Pada tahun 1887, Michelson dan Morley, ilmuwan fisika berkebangsaan Amerika melakukan percobaan untuk mengukur kelajuan eter dengan alat yang dinamakan interferometer. Percobaan itu berdasarkan prinsip penjumlahan vector kecepatan. Pada gambar 25

8 2.2 perahu A dan B bergerak dengan kecepatan c terhadap Bumi sedangkan kecepatan aliran air terhadap Bumi adalah u. Kita akan membandingkan waktu yang diperlukan perahu A bergerak bolak-balik memotong arus sungai dengan waktu yang diperlukan perahu B bolakbalik searah arus sungai untuk jarak yang sama, d, seperti pada gambar. Gambar 2.2 Prinsip Penjumlahan KecepatanPerahu dengan Kecepatan Air Sungai Agar resultan kecepatan perahu A tegak lurus pada aliran sungai, maka saat berangkat kecepatan perahu harus sesuai dengan diagram dan saat kembali juga harus sesuai dengan diagram seperti yang tampak pada gambar 2.2. Besar kecepatan resultannya adalah sama, yaitu v 2 = c 2 u 2 sehingga waktu bolak-balik perahu A adalah : / / (2.4) Untuk perahu B, kelajuan saat pergi adalah v 1 = c + u dan kelajuan saat kembali adalah v 2 = c u. waktu bolak-balik yang dibutuhkan oleh perahu B adalah : / / (2.5) Perbandingan t A dengan t B adalah : 1 / (2.6) Bila kecepatan c sama dengan kecepatan cahaya dan perbandingan waktu t A /t B dapat diukur, maka kecepatan aliran sungai u dapat dihitung. Michelson dan Morley menggunakan prinsip di atas untuk percobaan yang menggunakan interferometer seperti pada gambar 2.3. Andaikan eter itu ada, maka gerak Bumi mengelilingi Matahari mengakibatkan gerak eter 26

9 relatif terhadap Bumi sama dengan kecepatan Bumi mengelilingi Matahari yaitu 3 x 10 4 m/s. Gerak eter ini analog dengan aliran air sungai pada ilustrasi gerak perahu. Gambar 2.3 Bagan Percobaan Michelson-Morley Sinar Matahari yang jatuh pada gelas setengah cermin, sebagian diteruskan ke cermin I dan sebagian dipantulkan ke cermin II hingga akhirnya sinar itu sampai di layar pengamat seperti pada gambar. Sinar yang menuju cermin I segaris dengan aliran eter sehingga analog dengan perahu B. Sedangkan sinar yang menuju cermin II tegak lurus dengan aliran eter sehingga analog dengan perahu A. Hasil pengamatan yang telah dilakukan berkali-kali untuk posisi dan waktu yang berbeda menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan waktu antara t A dan t B. Persamaan (2.6) tidak dipenuhi. Dengan demikian dapat disimpulkan : 1) hipotesis tentang eter tidak benar; ternyata eter tidak ada, 2) kecepatan cahaya adalah besaran mutlak, tidak bergantung pada kerangka acuan inersial Transformasi Lorentz Transformasi Galileo, yaitu Persamaan (2.1) dan (2.2) hanya berlaku untuk kecepatankecepatan yang jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya, c. Untuk peristiwa yang lebih luas hingga kecepatan yang menyamai kecepatan cahaya diperlukan suatu transformasi baru sehingga diperoleh bahwa kecepatan cahaya adalah vakum merupakan besaran mutlak. Untuk memasukkan konsep relativitas Einstein, maka selang waktu menurut kerangka acuan bergerak t tidak sama dengan selang waktu menurut kerangka acuan bergerak t. Karenanya, hubungan transformasi mengandung suatu pengali γ, yang disebut tetapan 27

10 transformasi. Dengan demikian bila transformasi ini dianggap linear, maka Persamaan (2.1) menjadi : (2.7) Jika kerangka acuan S terhadap kerangka acuan S bergerak ke kanan dengan kecepatan tetap v, maka kerangka acuan S terhadap S dapat dianggap bergerak relatif ke kiri dengan kecepatan v. Hubungan x terhadap x menjadi : (2.8) Substitusi nilai x dari Persamaan (2.7) ke dalam Persamaan (2.8) menghasilkan (2.9) Misalkan kecepatan P terhadap kerangka acuan S adalah kecepatan cahaya u x =c, maka menurut Einstein kecepatan cahaya terhadap kerangka acuan S sama besarnya yaitu u x =c. Dari sini diperoleh hubungan x=ct dan x =ct sehingga Persamaan (2.7) menjadi ct =γ(x vt). Kemudian dengan menggunakan nilai t dari Persamaan (2.9) diperoleh : Faktor yang mengandung x dikumpulkan di sebelah kiri sehingga : Atau : Karena x = ct maka haruslah : 1 atau atau (2.10) Akhirnya dapat kita tulis hasil transformasi Lorentz sebagai : 28

11 ; ; ; (2.11a) (2.11b) Sekarang kita perhatikan kedua persamaan di atas, persamaan (2.11a) dan (2.11b). Ada beberapa hal yang dapat kita pahami : 1. bila kita mengambil v / c cukup kecil atau c atau v 0 sehingga γ 1, maka kita akan memperoleh persamaan transformasi Galileo, 2. koordinat ruang dan waktu tidak dipisahkan (x,t), 3. persamaannya tidak berubah bentuk dari satu kerangka acuan dengan kerangka acuan yang lain. Berarti persamaannya mengikuti postulat Einstein yang pertama. 4. hanya ada kecepatan relatif. Kerangka acuan S memiliki kecepatan relatif (-v) terhadap S atau sebaliknya. Di sini kita lihat bahwa relativitas Einstein, ruang dan waktu adalah relatif sedangkan relativitas Newton, ruang dan waktu adalah mutlak. Transformasi Lorentz akan tereduksi menjadi tambahan transformasi Galileo apabila kelajuan v jauh lebih kecil dari kelajuan cahaya (v << c). Transformasi Lorentz untuk kecepatan Kecepatan dapat kita peroleh dari turunan pertama fungsi kedudukan terhadap waktu. ; ; ; ; ; Dari persamaan (2.11) diperoleh hasil diferensiasi : atau (2.12) 29

12 Persamaan (2.12) menjadi : 1 atau (2.13) Dengan cara yang sama, nilai u y dan u z adalah : (2.14a) (2.14b) Contoh 2.1 Sebuah pesawat tempur yang bergerak dengan kecepatan 0,8 c relatif terhadap bumi menembakkan roket dengan kecepatan 0,6 c. Berapakah kecepatan roket tersebut menurut pengamat yang diam di bumi? Penyelesaian : Diketahui : v = 0,8 c v x = 0,6 c Ditanyakan : v x =? Akibat-akibat dari transformasi Lorentz a. Relativitas Simultan Misalkan kita tinjau dua buah titik ruang-waktu (x 1, t 1 ) dan (x 2, t 2 ) dalam kerangka acuan S. Andaikan keduanya adalah simultan, sehingga dalam kerangka acuan S, t 1 = t 2. 30

13 Akankah keduanya teramati juga simultan dalam kerangka S? Untuk transformasi waktu dalam S, transformasi Lorentznya diberikan oleh : dan Maka interval waktu dalam S antara dua peristiwa diberikan oleh : (2.15) Sebagaimana t 1 = t 2, yakni peristiwa adalah simultan dalam S, maka simultanitas dalam S tidak mengakibatkan simultanitas dalam S. Kecuali, jika kedua peristiwa berada pada tempat yang sama, yaitu dalam kasus x 1 = x 2, maka interval waktu antara dua peristiwa adalah nol. Demikian pula, jika v / c adalah kecil, yaitu v sangat kecil dibandingkan dengan laju cahaya, dua peristiwa adalah simultan dalam kedua kerangka acuan. b. Dilatasi Waktu Sekarang kita menggunakan postulat relativitas khusus untuk menyelidiki bagaimana gerak relative mempengaruhi pengukuran selang waktu. Kita ingin mengukur waktu pada dua kerangka acuan yang berbeda. Misalkan kita menempatkan sebuah jam pada kerangka acuan S di x' dan andaikan bahwa t 1 dan t 2 adalah dua waktu berturutan (yaitu t 1 < t 2 ), diukur oleh seorang pengamat dalam kerangka acuan S. Sehingga interval waktu yang berhubungan dalam kerangka acuan S adalah : (2.16) Selanjutnya, seorang pengamat di dalam kerangka acuan S mengukur waktu tersebut sebagai t 1 dan t 2. Waktu ini dihubungkan dengan pengukuran dalam kerangka acuan S melalui transformasi balik Lorentz yaitu : (2.17) Karena itu, interval waktu menurut pengamat di S, adalah beda antara dua waktu yang diukur dalam S: atau dapat ditulis kembali menjadi, (2.18) 31

14 Jadi dapat disimpulkan bahwa sebuah jam yang bergerak pada laju v dalam kerangka acuan S berjalan lebih lambat terhadap seorang pengamat yang diam pada kerangka acuan S. Akibat dari transformasi Lorentz ini dinamakan dilatasi waktu. Sebuah lonceng yang bergerak terhadap pengamat kelihatannya berdetak lebih lambat daripada jika lonceng itu diam terhadapnya. Ini berarti, jika seorang pengamat dalam suatu roket mendapatkan selang waktu antara dua kejadian dalam roket itu t 0, orang dibumi mendapatkan bahwa selang waktu tersebut lebih panjang, yaitu t. Kuantitas t 0 yang ditentukan oleh kejadian yang terdapat pada tempat yang sama dalam kerangka acuan pengamatnya disebut selang waktu proper antara kejadian itu. Bila diamati dari bumi, kejadian yang menandai permulaan dan akhir selang waktu itu terjadi pada tempat yang berbeda, dan mengakibatkan selang waktunya kelihatan lebih panjang dari waktu proper. Efek ini disebut pemuaian waktu (memuai adalah bertambah besar). Untuk melihat asal pemuaian waktu itu, marilah kita lihat cara kerja lonceng sederhana yang terdiri dari tongkat yang panjangnya L 0 dengan cermin pada ujung dan pangkalnya. Suatu pulsa cahaya dipantulkan bolak-balik antara kedua cermin itu, dan piranti khusus dipasang pada salah satu cermin untuk menimbulkan suatu tik setiap kali pulsa cahaya menumbuknya. Piranti semacam itu dapat berbentuk permukaan fotosensitif pada cermin yang diatur untuk memberi sinyal listrik jika pulsa cahaya tiba. Satu lonceng yang diam ditempatkan dalam laboratorium di bumi sedangkan yang satu lagi dalam pesawat ruang angkasa yang bergerak dengan kelajuan relative terhadap bumi. Seorang pengamat dalam laboratorium mengamati kedua lonceng tadi, dapatkah pengamat tadi mencari tik kedua lonceng itu pada laju yang sama? Jika selang waktu antara setiap tik adalah t 0, waktu yang dibutuhkan untuk pulsa cahaya untuk menjalankan cermin dengan kelajuan cahaya c adalah t 0 /2; jadi t 0 /2=L 0 /c sehingga t 0 =(2L 0 /c). Gambar 2.4 memperlihatkan lonceng yang bergerak dengan cerminnya tegak lurus dengan arah gerak relative ke bumi. Slang waktu antara tik itu adalah t. Selama perjalanan pulang-pergi ini seluruh bagian lonceng dalam roket dalam keadaan gerak yang berarti bahwa pulsa cahaya seperti terlihat dari bumi mengikuti lintasan zigzag. Dalam perjalanannya dari cermin-bawah ke cermin-atas dalam waktu t/2, pulsa cahaya menempuh jarak horizontal vt/2 dan jarak total ct/2. Karena L 0 menyatakan jarak vertical antara cermin, 32

15 Karena t 0 =(2L 0 /c) maka dengan : t 0 = selang waktu pada lonceng yang diam relative terhadap pengamat. t = selang waktu pada lonceng dalam keadaan gerak relative terhadap pengamat v = kelajuan gerak relative c = kelajuan cahaya (3x10 8 m/s) 0 t/2 t ct/2 L 0 v v vt/2 Gambar 2.4 Lonceng cahaya dalam roket seperti yang terlihat oleh pengamat yang diam di bumi. Cerminnya sejajar dengan arah gerak roket. Dial merepresentasikan lonceng konvensional pada bumi Karena kuantitas 1 selalu lebih kecil dari 1 dan untuk benda yang bergerak, t selalu lebih besar dari t 0, lonceng yang bergerak dalam roket kelihatannya berdetak lebih lambat dari lonceng yang diam di bumi untuk pengamat yang ada di bumi. Analisis yang sama berlaku untuk pengukuran lonceng di bumi oleh pengamat dalam roket. Untuk pengamat itu, pulsa cahaya di bumi menempuh lintasan zigzag yang memerlukan waktu total t untuk pergi-pulang, sedangkan untuk loncengnya yang diam dalam roket berdetak dalam selang waktu t 0. Ia juga memperoleh waktu yang sama, sehingga efektifnya timbale balik. Setiap pengamat mendapatkan bahwa lonceng yang bergerak relative terhadapnya berdetak lebih lambat terhadap lonceng yang diam. 33

16 Dalam hal ini kita telah mengambil anggapan v lebih kecil dari c. Jika v lebih besar dari c, nilai 1 menjadi kuantitas khayal yang menyatakan bahwa loncengnya tidak bekerja baik dalam keadaan seperti itu. Sesungguhnya jika v >> c lonceng itu tidak bekerja, pulsa cahaya yang meninggalkan salah satu cermin tidak pernah sampai pada cermin lainnya. Tetapi sebetulnya keadaan seperti itu tidak pernah terjadi karena seperti yang akan diperlihatkan kemudian, tidak ada benda yang dapat bergerak lebih cepat dari cahaya atau secepat cahaya. Pembahasan kita didasarkan atas lonceng khusus yang menggunakan pulsa cahaya yang dipantulkan bolak-balik antara dua cermin. Apakah kesimpulan yang sama berlaku untuk lonceng konvensional yang memakai mesin pegas, garpu tala, vibrasi Kristal quartz, atau lainnya untuk menimbulkan tik pada selang waktu yang tetap? Jawabannya harus ya, karena jika lonceng cermin dan lonceng konvensional cocok satu dengan lainnya di bumi tetapi jika dalam roket yang bergerak tidak cocok, maka ketakcocokannya dapat dipakai untuk menentukan kelajuan roket tanpa mengacu pada benda lain ini bertentangan dengan prinsip bahwa gerak harus relative. Walaupun waktu merupakan kuantitas relative, tidak seluruh pengertian waktu yang dibentuk oleh pengalaman sehari-hari salah. Misalnya, waktu tidak berjalan mundur untuk setiap pengamat; urutan kejadian yang terjadi di suatu tempat t 2 -t 1, t 3 -t 2, antara kedua kejadian. Demikian juga, tak ada pengamat di tempat jauh, tak tergantung dari keadaan geraknya yang dapat mengamati kejadian yang belum terjadi atau tepat lagi, sebelum pengamat di tempat yang dekat melihatnya hal ini disebabkan oleh keberhinggan kelajuan cahaya dan sinyal yang memerlukan periode minimum L/c untuk menjalar sejarak L. Tidak ada cara untuk mengintip ke masa depan, walaupun perspektif waktu (dan juga ruang) dari kejadian masa lampau dapat kelihatan berbeda terhadap pengamat yang berbeda. Contoh 2.2. Berapa kelajuan pesawat ruang angkasa yang bergerak relatif terhadap bumi supaya 2 jam didalam pesawat sama dengan 1 jam di bumi. Jawab: Diketahui: t 0 = 1 jam t = 2 jam Kelajuan pesawat dapat dicari dengan menggunakan rumus (2.18) : 34

17 Jadi, kelajuan pesawat ruang angkasa adalah 0,86c. Contoh 2.3 Sebuah partikel berumur 10-7 s jika diukur dalam keadaan diam. Berapa jauh partikel itu bergerak sebelum meluruh jika kelajuannya 0.9c ketika partikel tersebut tercipta? Penyelesaian : Diketahui : t o = 10-7 s c = ms -1 v = 0,9 c Ditanyakan : x =...? (jarak yang ditempuh partikel) Jawab : Karena partikel bergerak dengan kecepatan 0,9 c maka umur partikel tersebut adalah : Jadi partikel tersebut bergerak sejauh : 35

18 c. Kontraksi Panjang Lorentz. Pengukuran panjang seperti juga selang waktu dipengaruhi oleh gerak relative. Panjang L benda bergerak terhadap pengamat kelihatannya lebih pendek dari panjang L 0 bila diukur dalam keadaan diam terhadap pengamat, gejala ini dikenal sebagai pengerutan Lorentz Fitz Gerald. Pengerutan serupa itu hanya terjadi dalam arah gerak relative. Panjang L 0 suatu benda dalam kerangka diamnya disebut panjang proper. Pengerutan Lorentz dapat diturunkan dengan berbagai cara. Pendekatan kita akan didasarkan atas pemuaian waktu dan prinsip relativitas. Kita akan meninjau apa yang terjadi pada partikel takstabil yang disebut muon yang tercipta pada tempat tinggi oleh partikel cepat dalam sinar-kosmik (sebagian besar proton) yang dating dari angkasa luar sewaktu terjadi tumbukan dengan inti atom dalam atmosfir bumi. Muon bermassa 207 kali massa electron dan dapat bermuatan e atau +e, muon meluruh menjadi electron atau positron setelah umur ratarat sekitar 2µs. Muon dalam sinar-kosmik berkelajuan sekitar 2,994x10 8 m/s (0,998 c) dan mencapai permukaan laut dalam jumlah besar muon menembus tiap satu sentimeter persegi permukaan bumi rata-rata lebih satu kali tiap menit. Tetapi dalam t 0 =2µs, umur rata-rata muon jarak yang dapat ditempuhnya sebelum meluruh hanya : 2, Sedangkan muon tercipta pada ketinggian 6000 m atau lebih. Muon yang bergerak berumur lebih panjang, sedangkan umur muon yang didapat oleh pengamat dalam keadaan diam sebesar 2µs. Umur muon memanjang terhadap kerangka acuan kita dengan pemuaian waktu menjadi :, 31,610 Muon yang bergerak mempunyai umur 16 kali lebih panjang daripada dalam keadaan diam. Dalam selang waktu 31,6µs, sebuah muon berkelajuan 0,998c dapat menempuh jarak : 2, , Walaupun umurnya hanya t 0 =2µs terhadap kerangka acuannya, muon dapat mencapai tanah dari ketinggian 9500 m karena dalam kerangka acuan diukurnya ketinggian tersebut, umur muon adalah 31,6µs. Apakah yang terjadi jika ada pengamat yang ikut dengan muon 36

19 turun dengan kelajuan v=0,998c, sehingga terhadapnya muon dalam keadaan diam? Pengamat dan muonnya sekarang beradadalam kerangka acuan yang sama, dalam kerangka ini umur muon 2µs. Terhadap pengamat ini muon hanya dapat menempuh jarak 600 m sebelum peluruhan. Satu-satunya cara untuk menerangkan pencapaian tanah oleh muon ialah dengan menyatakan bahwa jarak yang ditempunya diamati oleh pengamat dalam kerangka bergerak menjadi lebih pendek karena pergerakan itu. Prinsip relativitas menyatakan besarnya pengerutan harus sama dengan 1 sesuai dengan pemuaian waktu terhadap pengamat diam. Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa ketinggian h 0 yang kita ukur harus menjadi jauh lebih kecil dalam kerangka acuan muon, menjadi : 1 Dalam kerangka acuan kita, muon menempuh jarak h 0 =9.500 m karena pemuaian waktu. Dalam kerangka acuan muon, di mana tidak terdapat pemuaian waktu jaraknya mengerut menjadi : 95001, 600 seperti kita ketahui jarak tersebut ditempuh muon yang berkelajuan 0,998c dalam waktu 2 µs. Jika kita ingin melakukan suatu pengukuran pada panjang dari sebuah objek dalam kerangka acuan yang berbeda. Panjang yang dimaksud adalah jarak dari satu titik ujung ke titik ujung yang lainnya dari sebuah objek. Misalnya, kita tinjau sebuah batang yang diam dalam kerangka acuan lembam S, berada sejajar dengan sumbu-x. Satu ujungnya memiliki koordinat 1 (x,0,0) dan ujung yang lain dengan koordinat 2 (x,0,0). Maka dalam kerangka S, kita memiliki panjang batang adalah : disini L 0 dinamakan dengan panjang proper yaitu jarak antara dua titik yang diukur pada keadaan diam, panjang yang diukur pada kerangka acuan diam. Seorang pengamat berada dalam kerangka acuan S, akan mengamati batang bergerak dengan laju v. Pada waktu yang sama t juga akan mengamati panjang batang dengan beda koordinat (x 2 - x 1 ) antara kedua ujungnya. Koordinat-koordinat x 2 dan x 1 dihubungkan dengan x 2, x 1 dan t melalui transformasi Lorentz, adalah : 37

20 dan Maka beda koordinatnya adalah : 1 (2.19) disini L = x 2 x 1 adalah panjang batang dalam S. Jadi untuk v > 0, persamaan (2.19) memperlihatkan bahwa L < L 0. Akibat ini dinamakan dengan konstraksi panjang Lorentz. Seperti pemuaian waktu, pengerutan Lorentz merupakan efek yang timbale-balik. Terhadap orang dalam roket, benda di bumi terlihat lebih pendek dibandingkan dengan yang diamatinya jika ia berada di bumi 1 sama dengan factor memendeknya roket itu terhadap orang di bumi. Panjang proper L 0 dalam kerangka diam merupakan panjang maksimum yang dapat di amati. Sebagaimana dijelaskna sebelumnya, hanya panjang dalam arah gerak yang berlaku pada pengerutan. Jadi pengamat dalam roket pesawat tadi lebih pendek dibandingkan bila ia melihatnya dari bumi,namun tidak terlalau deteksi. Contoh 2.4. Seorang astronot yang tingginya tepat 180 cm di bumi, berbaring sejajar dengan sumbu pesawat angkasa yang bergerak dengan kelajuan 0,8c relatif terhadap bumi. Berapakah tinggi astronot jika diukur oleh pengamat dalam pesawat tersebut? Pertanyaan yang serupa, tetapi diukur oleh pengamat di bumi.? Jawab: Diketahui: L 0 = 180 cm ; v = 0,8c Menurut pengamat yang ada di pesawat angkasa astronaut itu diam jadi tingginya tetap 180 cm (panjang proper). Tetapi menurut pengamat di bumi dia bergerak dengan laju 0,8c maka Jadi, tinggi astronot menurut pengamat di dalam pesawat adalah 180 cm sedangkan tinggi astronot menurut pengamat di bumi adalah 108 cm. 38

21 Contoh 2.5 Sebuah pesawat panjangnya 10 meter dalam keadaan diam. Apabila pesawat tersebut bergerak searah dengan panjangnya dengan kecepatan 0,6c. Berapakah panjang pesawat tersebut saat bergerak? Penyelesaian : Diketahui : L o = 10 m v = 0,6 c Ditanyakan : L =...? c. Penjumlahan Kecepatan Misalkan suatu partikel bergerak pada arah x dengan laju u' terhadap S. Berapakah laju u terhadap S? Partikel tersebut menempuh jarak x =γ( x '+ v t ') dalam selang waktu t =γ[ t '+ (v / c 2 ) x'], karena x / t = u dan x '/ t ' = u ' maka (2.20) Persamaan (2.20) dinamakan hukum penjumlahan kecepatan relativistik. Apabila v/c<<1 dan u'/c<<1, maka u=u '+ v, berhubungan dengan limit klasik. Persamaan (2.20) jelas merupakan tafsiran dari postulat (ii) relativitas khusus, yaitu dengan mengambil u'=c maka u=c, laju cahaya adalah sama dalam sistem inersia. Namun bila salah satu kecepatannya mendekati c, maka penyimpangan atau koreksi relativistic kecepatan akan menjadi penting. Persamaan (2.20) dapat ditulis dalam bentuk : 1 // (2.21) Dengan ungkapan ini jelas bahwa u tidak mungkin akan sama atau lebih besar daripada c, asalkan baik v dan u' lebih kecil dari c. 39

22 2.4.8 Efek Doppler Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai bunyi yang kita dengar akan terdengar berbeda apabila antara sumber bunyi dan pendengar terjadi gerakan relatif. Misalnya pada saat kita menaiki sepeda motor di jalan raya berpapasan dengan mobil ambulan atau mobil patroli yang membunyikan sirine. Bunyi sirine yang terdengar akan makin keras saat kita bergerak saling mendekati dan akan semakin lemah pada saat kita bergerak saling menjauhinya. Peristiwa ini disebut efek Doppler yaitu peristiwa terjadinya perubahan frekuensi bunyi yang diterima oleh pendengar akan berubah jika terjadi gerakan relatif antara sumber bunyi dan pendengar. Keras dan lemahnya bunyi yang terdengar bergantung pada frekuensi yang diterima pendengar. Besar kecil perubahan frekuensi yang terjadi bergantung pada cepat rambat gelombang bunyi dan perubahan kecepatan relatif antara pendengar dan sumber bunyi. Peristiwa ini pertama kali dikemukakan oleh Christian Johan Doppler pada tahun 1942 dan secara eksperimen dilakukan oleh Buys Ballot pada tahun Cara lain untuk memikirkan efek Doppler ialah membayangkan seorang pendengar yang berjalan mendekati sumber bunyi. Semakin dekat ia mendatangi lonceng, semakin cepat muka-muka gelombang mencapainya, dan semakin tinggi nada bunyi lonceng itu dalam pendengarannya. Gambar 2.5 Perubahan muka gelombang dalam Efek Doppler Sebagai contoh sumber bunyi mengeluarkan bunyi dengan frekuensi f s dan bergerak dengan kecepatan v s dan pendengar bergerak dengan kecepatan v p dan kecepatan rambat gelombang bunyi adalah v maka frekuensi bunyi yang diterima oleh pendengar apabila terjadi gerakan relatif antara sumber bunyi dengan pendengar dapat dirumuskan : (2.22) 40

23 dengan : f p = frekuensi bunyi yang diterima pendengar (Hz) f s = frekuensi sumber bunyi (Hz) v = cepat rambat bunyi di udara (ms -1 ) v p = kecepatan pendengar (ms -1 ) v s = kecepatan sumber bunyi (ms -1 ) Aturan penulisan kecepatan : vp berharga positif jika pendengar bergerak mendekati sumber bunyi dan sebaliknya vp berharga negatif jika pendengar bergerak menjauhi sumber bunyi. vs berharga positif jika sumber bunyi menjauhi pendengar dan sebaliknya berharga negatif jika sumber bunyi bergerak mendekati pendengar. Gambar 2.6 Aturan tanda untuk sumber bunyi dan pengamat Contoh 2.6 : Sebuah mobil patroli polisi bergerak dengan kelajuan 72 km/jam sambil membunyikan sirine yang mempunyai frekuensi 800 Hz. Tentukan berapa frekuensi bunyi sirine yang diterima oleh seseorang yang diam di pinggir jalan pada saat mobil tersebut bergerak mendekatinya! Apabila diketahui cepat rambat gelombang bunyi di udara 340 m/s. Penyelesaian: Diketahui : v s = 72 km/jam = 20 m/s ; f s = 800 Hz ; v p = 0 ; v = 340 m/s Ditanyakan : f p =? Jawab : 41

24 Jadi, frekuensi bunyi sirine yang diterima pendengar adalah 850 Hz Efek Doppler untuk bunyi, jelas berubah bergantung dari apakah sumbernya, atau pengamatnya atau keduanya bergerak yang seakan-akan bertentangan dengan prinsip relativitas. Semuanya hanya bergantung dari gerak relative antara sumber dengan pengamat. Tetapi gelombang bunyi hanya terjadi dalam medium seperti udara atau air, dan mediumnya itu sendiri merupakan kerangka acuan; terhadap kerangka ini gerak sumber dan pengamat dapat diamati dan diukur. Jadi tidak ada kontradiksi. Dalam kasus cahaya, tidak berkaitan dengan medium dan hanya gerak relative antara sumber dengan pengamat saja yang berarti. Jadi efek Doppler dalam cahaya harus berbeda dengan efek tersebut dalam bunyi. Kita dapat menganalisis efek Doppler dalam cahaya dengan memandang sumber cahaya sebagai lonceng yang berdetak v 0 kali per sekon dan memancarkan cahaya pada setiap tik. Efek Doppler cahaya merupakan alat yang penting dalam astronomi. Bintang-bintang memancarkan cahaya dengan frekuensi karakteristik tertentu dan gerak bintang mendekati atau menjauhi bumi terlihat sebagai pergeseran Doppler dalam daerah frekuensi itu. Garis spectral galaksi yang jauh semuanya tergeser kea rah frekuensi rendah sehingga biasanya disebut pergeseran merah. Pergeseran semacam itu menunjukkan bahwa galaksi-galaksi menjauhi kita dan saling menjauhi satu terhadap lainnya. Kelajuan menjauhinya teramati berbanding lurus dengan jarak, hal ini menimbulkan dugaan bahwa seluruh semesta mengembang. Data yang didapat pada saat ini sesuai dengan pengembangan yang dimulai sekitar 15 biliun tahun yang lalu dengan meledaknya massa mampat dahulu kala( the big bang ), jika gaya gravitasi akan memperlambat pengembangan dan dapat berhenti. Jika hal itu terjadi semesta dapat menciut diikuti dengan big bang yang lain. Sebaliknya jika tak terhenti pengembangan akan berlangsung sepanjang jaman. 42

25 2.4.9 Paradoks Kembar Dalam fisika, paradoks kembar (bahasa Inggris: twin paradox) adalah eksperimen bayangan dalam relativitas khusus, dimana seorang dari dua orang saudara kembar yang melakukan perjalanan dengan roket kecepatan tinggi dan kemudian kembali lagi ke bumi akan menemukan bahwa saudara kembarnya yang tetap di bumi lebih tua dari dirinya sendiri. Hal ini dianggap aneh menurut dasar berikut: Masing-masing dari saudara kembar, baik yang naik roket maupun yang tinggal di bumi, bisa menganggap bahwa saudaranyalah yang melakukan perjalanan; dan menurut teori relativitas khusus, masing-masing akan melihat bahwa saudaranya yang melakukan perjalanan akan mengalami waktu yang lebih pendek daripada dirinya sendiri. Hal ini dikatakan sebagai paradoks karena sebuah efek absolut (seorang dari saudara kembar benar-benar terlihat lebih tua dari yang lainnya) bisa dihasilkan dari pergerakan relatif. Namun kenyataannya, tidak ada kontradiksi dan eksperimen bayangan tersebut dapat dijelaskan dalam lingkup dasar dari relativitas khusus. Efek ini telah dibuktikan pada Eksperimen Hafele-Keating yang menggunakan jam yang diletakkan pada pesawat terbang dan membandingkannya dengan jam yang tetap di bumi. Dimulai oleh Paul Langevin pada 1911, sudah banyak penjelasan mengenai paradoks ini, yang semuanya didasarkan pada kenyataan bahwa tidak ada kontradiksi karena tidak pernah ada kesimetrian -- hanya seorang dari saudara kembar yang mengalami percepatan dan perlambatan. Sebuah versi dari argumen asimetrsis diajukkan oleh Max von Laue pada 1913, yang menyatakan bahwa saudara kembar yang menaiki roket menggunakan dua kerangka inersia yang berbeda: ketika pergi mengarah ke atas dan ketika pulang mengarah ke bawa. Perpindahan dari satu kerangka ke kerangka lainnya inilah yang menyebabkan perbedaan, dan bukan percepatan atau perlambatan. Penjelasan lainnya menggunakan efek dari percepatan. Einstein, Born dan Møller mengajukkan Pemelaran waktu gravitasi untuk menjelaskan penuaan berdasarkan efek dari percepatan. [4] Sementara pemelaran waktu gravitasi dan relativitas khusus diperlukan untuk menjelaskan pemelaran waktu pada Eksperimen Hafele-Keating. Paradoks kembar (atau paradoks jam) adal ah satu persoalan yang cukup membingungkan dalam relativitas khusus. Kasus paradoks kembar dapat dinyatakan sebagai berikut : Misalkan kita punya dua orang kembar : John dan Mary. John diputuskan tetap 43

26 tinggal di bumi, sementara Mary menjadi astronot yang akan mengadakan perjalan ruang angkasa menuju sebuah bintang. Mary mengendarai pesawat ruang angkasa dan terbang menuju bintang tersebut dengan kecepatan V (diasumsikan agar nampak efek relativitas, nilai V dalam orde c) dan sesudah sesaat tiba di bintang, Mary kembali ke bumi dan bertemu dengan John dengan kecepatan yang sama. Teori relativitas khusus menyatakan bahwa jika Mary bergerak terhadap John, maka selang waktu dalam kerangka inersial Mary mengalami dilatasi sebesar g yang dirumuskan : 1 (2.23) Jadi pada akhir perjalanan Mary, dia lebih muda daripada John. Paradoks muncul dari kenyataan bahwa (dengan mengabaikan selang waktu saat Mary bergerak dipercepat dan diperlambat), Mary berada dalam kerangka inersial, dan selanjutnya dari prinsip relativitas, Mary dapat mengklaim bahwa Johnlah yang bergerak, bukan dia. Kalau demikian selang waktu John seharusnya yang mengalami dilatasi, bukan Mary, sehingga saat Mary kembali, ia menjumpai saudara kembarnya itu lebih muda daripadanya. Manakah yang benar? Untuk menyederhanakan kasus ini, diasumsikan perjalanan Mary terjadi saat ia lahir (yang juga berarti saat John lahir). Pada saat itu, berarti waktu lokal T=0 dan posisi X =0. Selanjutnya akan dibandingkan jarak bumi-bintang menurut kedua orang tersebut. Jarak antara bumi dan bintang diukur oleh pengamat yang stasioner di bumi (John) adalah D J. Jarak bumi - bintang yang diukur oleh Mary adalah : D M = D J / γ (2.24) Perumusan ini disebabkan oleh adanya kontraksi Lorentz. Indeks J dan M berturut-turut menunjukkan pengukuran menurut John dan Mary. Akan diukur umur relative John dan Mary. Caranya, pertama dengan melakukan penghitungan dalam kerangka John dan selanjutnya penghitungan dikerjakan dalam kerangka Mary. Nanti akan ditunjukkan bahwa dua penghitungan tersebut akan memperoleh hasil yang sama. Kesamaan ini menunjukkan tidak adanya perbedaan antara dua kerangka inersial yang ditinjau. Sekarang penghitungan dilakukan dalam kerangka John. Mary menempuh perjalanan total (menuju bintang dan kembali ke bumi) sejauh 2D J dengan kecepatan V (-V saat kembali). Perjalanan bumi-bintang bolak-baik ini memakan waktu D J V. Transformasi Lorentz untuk 44

27 waktu memberikan hubungan antara waktu yang ditunjukkan oleh jam milik John ( T J ) dan waktu yang ditunjukkan oleh Mary (T M ) sebagai (2.25) dengan X J adalah jarak antara mereka. Selama perjalanan Mary menuju ke bintang, berlaku persamaan : X J =V T J (2.26) Substitusi persamaan di atas ke dalam pers. (2.25), diperoleh Dalam bentuk penulisan selang waktu, (2.27) (2.28) Persamaan ini menunjukkan bahwa jam Mary bergerak lebih lambat daripada jam milik John dengan faktor 1/γ. Di sini perlu diingat bahwa γ >= 1. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan pula bahwa hal tersebut berlaku pula untuk perjalanan Mary pulang ke bumi. Saat kembali ke bumi dengan kecepatan yang sama, jam milik Mary juga bergerak lebih lambat dari jam milik John dengan faktor yang sama : 1/γ. Maka selama perjalanan total, umur John adalah : sedangkan umur Mary adalah : (2.29) (2.30) Tampak bahwa umur John lebih besar daripada umur Mary, atau dengan kata lain dalam kerangka John, saat Mary kembali ke bumi, John lebih tua. Selisih umur mereka adalah (2.31) Bagaimanakah penghitungan dalam kerangka Mary? Seluruh besaran yang tadinya dihitung pada kerangka John, sekarang diukur oleh Mary. Transformasi Lorentz memberikan hubungan antara waktu milik jam John dan waktu milik jam Mary sebagai : 45 (2.32)

28 dan dengan penurunan selanjutnya dapat ditunjukkan kaitan untuk selang waktu masingmasing jam sebagai : (2.33) yang berarti jam milik John bergerak lebih lambat daripada jam milik Mary dengan faktor 1/γ. Sekilas nampak adanya paradoks atau kontradiksi dengan ungkapan sebelumnya yang menyatakan bahwa jam Mary bergerak lebih lambat daripada John. Namun demikian yang sebenarnya tidak demikian, karena hal ini disebabkan relativitas khusus menyatakan bahwa kita tidak dapat menghubungkan waktu yang ditunjukkan oleh jam pada tempat yang berbeda (yang dalam hal ini umur orang kembar yang terpisah) sampai kemudian kedua orang tersebut bertemu kembali. Ketika mereka berdua bertemu kembali, baru tampaklah siapa yang lebih tua atau lebih muda dengan cara membandingkan selang waktu yang ditunjukkan oleh jam masing-masing. Menurut Mary, perjalanannya memakan waktu 2D M V/, sehingga selama perjalanan, umur Mary adalah : (2.34) Perlu diingat bahwa telah diasumsikan bahwa waktu untuk mempercepat dan memperlambat roket telah diabaikan. Karena jam John bergerak lebih lambat dengan faktor 1/γ, John berumur (2.35) Jika dilatasi waktu menjadi satu-satunya faktor dalam penghitungan, Mary dapat mengklaim bahwa dirinya berusia lebih tua dari John dengan selisih umur mereka adalah : (2.36) dan dijumpai adanya ketidakcocokan dengan hasil sebelumnya. Bagaimana caranya memecahkan masalah ini? Di sini terdapat faktor lain yang dapat menyelesaikan ketidakcocokan tersebut. Ketika Mary sampai ke bintang dan kemudian kembali, dia mengubah kerangka inersialnya. Sebelum Mary tiba di bintang, hubungan antara jam John dan jam Mary yang diukur oleh Mary adalah 46 (2.37)

29 Sesaat setelah ia meninggalkan bintang menuju bumi, relasi antara jam keduanya adalah : (2.38) Dua persamaan terakhir di atas menunjukkan adanya kontradiksi dalam waktu/jam milik John yang diukur oleh Mary, sesaat setelah Mary berganti keadaan (dari menuju bintang menjadi meninggalkan bintang). Selisih pengukuran waktu milik John ini menurut Mary adalah : (2.39) Selisih ini terjadi akibat terjadinya perubahan kerangka inersial Mary. Dengan demikian dalam kerangka Mary, selisih antara umur John dengan Mary adalah selisih umur yang telah dihitung pada pers. (2.36) ditambah dengan selisih umur mereka akibat terjadinya perubahan kerangka inersial Mary. Akhirnya selisih umur Mary dengan John adalah : Karena (2.40) Maka : (2.41) (2.42) Ternyata dalam kerangka Mary, selisih umur antara John dan Mary juga sama seperti yang telah dihitung pada kerangka John. Dari dua penghitungan tersebut ditunjukkan bahwa setelah kembali ke bumi, Mary yang menempuh perjalanan berusia lebih muda daripada saudara kembarnya, John Relativitas Massa Menurut teori fisika klasik atau mekanika Newton bahwa massa benda konstan, massa benda tidak tergantung pada kecepatan benda. Akan tetapi menurut teori relativitas Einstein, massa benda adalah besaran relatif yang besarnya dipengaruhi kecepatan benda. Massa benda 47

30 yang bergerak dengan kecepatan v relatif terhadap pengamat menjadi lebih besar daripada ketika benda itu dalam keadaan diam. Massa benda yang bergerak dengan kecepatan v secara teori relativitas dinyatakan : di mana : (2.43) m o = massa benda dalam keadaan diam m = massa relativitas v = kecepatan benda relatif terhadap pengamat c = kecepatan cahaya Dari persamaan (2.43) tersebut di atas, kecepatan benda makin besar maka makin besar pula massa kelembaman benda. Jika nilai v jauh di bawah nilai c, maka nilai akan mendekati nilai 0 sehingga nilai 1 1 maka m = m o, tetapi jika nilai v mendekati nilai c maka nilai akan mendekati nilai 1 sehingga nilai 1 mendekati 0, akibatnya nilai m menjadi tak terhingga. Akibatnya makin sulit benda itu dipercepat, sehingga kecepatan benda itu akan mencapai nilai yang konstan. Sehingga tidak ada benda/partikel yang bergerak dengan kecepatan melebihi kecepatan cahaya. Contoh 2.7 Tentukan berapa kecepatan benda bergerak ketika massa relativitasnya 25 % lebih besar dari massa diamnya! Penyelesaian : Diketahui : m = 125 % m o Ditanyakan : v =...? 48

31 Jadi kecepatan benda adalah 0,6 c Hubungan antara Massa dan Energi Relativitas Usaha yang dikerjakan oleh sebuah gaya sebesar F pada sebuah benda yang mula-mula diam sehingga menjadi bergerak dengan kecepatan v dinyatakan sama dengan perubahan energi kinetik benda tersebut atau sama dengan perubahan momentum yang terjadi pada benda. Dalam teori relativitasnya bahwa massa benda bersifat relatif, maka penulisan rumus untuk hukum Newton ke dua Newton perlu disempurnakan menjadi : (2.44) Jika F menyatakan gaya yang bekerja pada benda dalam arah perpindahan ds dan s menyatakan jarak yang ditempuh selama gaya itu bekerja, maka besarnya energi kinetik benda dapat dinyatakan : (2.45) Apabila persamaan integral tersebut diselesaikan akan mendapat : (2.46) Dengan mc 2 menyatakan energi total benda yang dilambangkan E dan m o c 2 menyatakan energi yang dimiliki benda saat diamnya yang dilambangkan E o, maka dapat dituliskan menjadi : E = E 0 + Ek Dimana : E = Energi total benda = E o = Energi diam benda = m o c 2 49

32 Ek = Energi kinetik benda Contoh 2.8 Hitunglah energi kinetik sebuah elektron yang bergerak dengan kecepatan 0,6 c, bila diketahui mo = kg, c = m/s. Penyelesaian : Diketahui : m o = kg v = m/s c = m/s Ditanyakan : Ek =...? Jadi, energy kinetic electron tersebut sama dengan 0,13 MeV. 2.5 Latihan Soal 1. Sebuah kereta api bergerak dengan kecepatan 75 mil/jam melewati sebuah stasiun pada pukul Selang 30 detik kemudian petir menyambar rel kereta api, 2 mil dari stasiun 50