PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK HIV DENGAN MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN IMPLEMENTASINYA DENGAN MATHEMATICA EMTA HARIATI SURBAKTI

Transkripsi

1 PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK HIV DENGAN MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN IMPLEMENTASINYA DENGAN MATHEMATICA EMTA HARIATI SURBAKTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011

2 ABSTRAK EMTA HARIATI SURBAKTI. Pendugaan Parameter Model Dinamik HIV dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Implementasinya dengan Mathematica. Dibimbing oleh N. K. KUTHA ARDANA dan RETNO BUDIARTI. Metode kuadrat terkecil adalah metode pendugaan parameter yang paling umum digunakan untuk menduga nilai parameter dari suatu model dengan menggunakan segugus data pengamatan yaitu dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Model yang parameternya diduga pada karya ilmiah ini adalah model dinamik HIV dengan data berupa data hipotetik yang dibangkitkan dengan menggunakan parameter-parameter pada kasus real. Keakuratan pendugaan parameter dilihat dari nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE).

3 ABSTRACT EMTA HARIATI SURBAKTI. Parameter Estimation of HIV Dynamic Model Using Least Squares Method and its Implementation with Mathematica. Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and RETNO BUDIARTI. The method of least squares is a parameter estimation method which is most commonly used to estimate the value the parameters of a model based on some observation data in a way that minimizes the error sum of squares. The data used in this work is a set of hypothetical data, which are generated by using the parameters of real cases in Cuba. The accuracy of parameter estimation can be justified by a small Mean Absolute Percentage Error (MAPE).

4 PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK HIV DENGAN MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN IMPLEMENTASINYA DENGAN MATHEMATICA EMTA HARIATI SURBAKTI G Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

5 Judul : Pendugaan Parameter Model Dinamik HIV dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Implementasinya dengan Mathematica Nama : Emta Hariati Surbakti NRP : G Menyetujui Pembimbing I Pembimbing II Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. Ir. Retno Budiarti, MS. NIP NIP Mengetahui Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP Tanggal Lulus:

6 KATA PENGANTAR Puji Tuhan, terima kasih kepada Tuhan Yesus Kristus buat setiap kasih dan anugrah-nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak. Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga: Ayah, Ibu, Bang Alex, Kak Margaret dan Kak Dewi terima kasih buat dukungan dan motivasinya. 2. Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku dosen pembimbing I, Ir. Retno Budiarti, MS. selaku pembimbing II. Terima kasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannya dalam membimbing penulis. 3. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku dosen penguji. Terima kasih atas waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis. 4. Semua pihak-pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang turut membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini. Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika. Bogor, Maret 2011 Emta Hariati Surbakti

7 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Kabanjahe (Medan-Sumatra Utara) pada tanggal 03 April 1988 sebagai anak bungsu dari empat bersaudara, anak dari Salam Surbakti dan Saripah Ginting. Tahun 0 penulis lulus dari SDN 02 Munte. Tahun 3 penulis lulus dari SLTPN 1 Munte. Tahun 6 penulis lulus dari SMAN 17 Medan dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Pada tahun 7, penulis masuk jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa PMK IPB khususnya di Komisi Pelayanan Anak.

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR TABEL... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan... 1 LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Mandiri Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Metode Kuadrat Terkecil Pendugaan Parameter Model Dinamik Analisis Galat Galat Persentase Rataan Galat Mutlak Box-Plot... 3 MODEL DAN DATA 3.1 Pemodelan Model Data... 5 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pembangkitan Data Hipotetik Pendugaan Parameter Analisis Akurasi Pendugaan... 9 SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii

9 11 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Digram alur pendugaan parameter Diagram kotak (box-and-whisker plot) Diagram model nonlinear Tebaran data untuk populasi N, X, Y dan Z Grafik dengan parameter dugaan untuk populasi N(t) Grafik dengan parameter dugaan untuk populasi X(t) Grafik dengan parameter dugaan untuk populasi Y(t) Grafik dengan parameter dugaan untuk populasi Z(t) Gabungan grafik dengan parameter dugaan N(t), X(t), Y(t) dan Z(t) Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk populasi N(t) Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk populasi X(t) Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk populasi Y(t) Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk populasi Z(t) Gabungan antara tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk populasi N(t), X(t), Y(t), dan Z(t) Diagram kotak untuk setiap state variable N, X, Y dan Z... 9 DAFTAR TABEL Halaman 1 Perbandingan nilai parameter awal dan parameter akhir Nilai MAPE untuk setiap state variable Q 1, Q 2, Q3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk setiap state variable... 9 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Pembangkitan data hipotetik Pendugaan parameter Gambar grafik model dengan parameter hasil dugaan Gambar gabungan tebaran data dan model dengan parameter hasil dugaan Pencarian galat viii

10 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam model dinamik, pembahasan seringkali hanya berkisar pada masalah titik tetap, kestabilan dan analisanya dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diberikan atau diketahui. (Gao 1995, Ackerman 1986). Pada kenyataanya, nilainilai parameter tersebut sulit diperoleh pada dunia nyata. Di sisi lain apabila terdapat sejumlah data pengamatan, belum tentu model yang dipunyai cocok dengan data tersebut. Tulisan ini membahas tentang teknik pendugaan parameter model dinamik berdasarkan segugus data pengamatan untuk suatu model yang sudah diketahui. Pendugaan parameter dapat dilakukan secara langsung ataupun tidak langsung jika segugus data diberikan beserta representasi model dinamiknya. Pendugaan parameter model dinamik secara tidak langsung dimulai dengan mencari solusi analitik dari model dinamik kemudian dilanjutkan dengan melakukan regresi. Namun tidak semua model dinamik dapat ditentukan solusi analitiknya. Oleh karena itu, diperkenalkan pendugaan secara langsung yakni dengan menggunakan metode pendugaan parameter model dinamik. Metode yang sering digunakan adalah metode kuadrat terkecil. Pendugaan parameter model dinamik dengan menggunakan metode kuadrat terkecil telah diaplikasikan pada beberapa model dinamik. Model yang digunakan dalam tulisan ini adalah model dinamik epidemik HIV/AIDS (De Arazoza 1999). Model dinamik epidemik HIV tersebut berupa model nonlinear, selanjutnya model dinamik HIV/AIDS akan diduga parameternya berdasarkan segugus data pengamatan dengan metode kuadrat terkecil. 1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan ini adalah: 1. Mengkaji metode pendugaan parameter suatu model dinamik. 2. Mengimplementasikan metode pendugaan parameter kuadrat terkecil pada model dinamik epidemik HIV ke dalam program Mathematica. II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Biasa Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang y, terhadap peubah x, yang dinyatakan sebagai : ( n) F( x, y, y', y'',..., y ) = 0 (1) (Rice 1993) 2.2 Persaman Diferensial Mandiri Persamaan diferensial mandiri didefinisikan sebagai persamaan diferensial yang secara eksplisit tidak menyertakan variabel waktu t. Misalkan diberikan persaman diferensial orde 1. dx F( x) dt = (2) Persamaan diferensial (2) adalah mandiri karena tidak menyertakan t pada ruas sebelah kanan. (Lomen 1988) 2.3 Sistem Persaman Diferensial Mandiri Bila persamaan diferensial F( x ) pada persamaan (2) adalah suatu matriks berukuran m x m, maka diperoleh sistem persamaan diferensial mandiri berikut: dxi = Fi( x1, x2,..., xm) untuk i = 1,2,..., m dt atau dx1 = F1( x1, x2,..., xm ) dt (3) dx2 = F2( x1, x2,..., xm ) dt dx dt m = F( x, x,..., x i 1 2 m) Jika pada persamaan (3) 1 2,,..., m x x x dinyatakan sebagai vektor x, maka diperoleh bentuk sistem persamaan mandiri sebagai berikut:

11 2 dx F ( ) dt = x, dengan x(0) = x 0 (Lomen 1988) Besaran x i diperoleh melalui pengamatan yang dilakukan secara diskrit pada waktu t i, i = 1, 2,..., n 2.4 Metode Kuadrat Terkecil (Least Square, LS) Misalkan xˆ( t, p ) adalah solusi dari sistem persamaan diferensial. Salah satu metode yang lazim digunakan untuk menduga parameter p adalah metode kuadrat terkecil yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Adapun persamaannya adalah sebagai berikut: min S( p) = n i 1 ( xi xˆ i( t, )) 2 = p { } 2.5 Pendugaan Parameter Model Dinamik Diketahui model dinamik yang melibatkan m buah state variable, yang mengandung parameter p. Misalkan terdapat n buah data untuk masing-masing model dinamik yang diperoleh dari pengamatan. Akan diduga parameter p tersebut, dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galat untuk masing-masing state variable. Alur untuk menduga parameter dapat dilihat pada diagram berikut. Data amatan: x ij Model: x i = fi( p, xi) Keterangan: x ij = data pengamatan state variable ke-i untuk pengamatan ke-j. x i = model dinamik dengan state variable ke- i yang mengandung parameter p. xˆ i (, t p ) = solusi numerik dari model dinamik yang masih mengandung parameter p Solusi Numerik : xˆ i (, t p ) JKG : m n ˆ 2 JKG = ( x x ) i 1 j 1 ij = = ij Minimum JKG : JKG 2 JKG = 0 dan > 0 p 2 p Analisis Akurasi pendugaan: MAPE Gambar 1 Diagram alur pendugaan parameter Langkah-langkah pendugaan secara rinci dapat diuraikan sebagai berikut: 1. Model: Model dinamik dengan state variable ke-i, x = fi( p, xi) dengan i = 1, 2,.., m 2. Data Pengamatan: Data pengamatan ditampilkan dalam bentuk matriks data X, yang berukuran n x m, dengan n buah data dan m buah state variable.

12 3 x 11 x 21 x 31 x m 1 x 12 x 22 x 32 x m 2 nxm = x 13 x 23 x 33 x m3 x 1n x 2n x 3n x mn x ij adalah data pengamatan state variable ke-i untuk pengamatan ke- j. 3. Jumlah Kuadrat Galat m n ˆ 2 JKG = ( x x ) i 1 j 1 ij = = ij dengan x ij adalah data pengamatan dan ˆx ij adalah hasil dari evaluasi model dinamik yaitu x = f i ( p, x i ) untuk state variable ke-i untuk pengamatan ke-j. 4. Minimum Jumlah Kuadrat Galat: JKG 2 JKG = 0 dan > 0 p 2 p Sehingga diperoleh parameter yang diduga ( p ˆ ). Parameter model dinamik yang diduga akan semakin baik jika memiliki jumlah kuadrat galat yang kecil. (Thornley dan Johnson 1990) 2.6 Analisis Akurasi Pendugaan Misalkan n buah data pengamatan untuk masing-masing state variable ke-i dengan pengamatan ke-j {x ij, i = 1, 2,..., m e ij = ( xij xˆ ij ); i = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n (Mathews 1992) Persentase Rataan Galat Mutlak (Mean Absolute Percentage Error) Persentase rataan galat mutlak (MAPE) untuk masing-masing state variable ke-i didefinisikan: 1 n ( x ij xˆ ij ) MAPE i = % n j = 1 x ij Keakuratan suatu penduga parameter dapat dilihat dari nilai MAPE, semakin kecil nilai yang diperoleh maka pendugaan parameter akan memiliki nilai yang semakin akurat atau semakin baik Box-Plot Cara lain untuk melihat hasil galat untuk setiap state variable adalah menggunakan diagram kotak (boxplot). Diagram kotak pada Gambar (2) menampilkan lima titik yaitu : tiga kuartil ( Q 1, Q 2, Q 3 ) dan dua batas yaitu batas atas dan batas bawah (a,b). Selisih Q 3 dan Q 1 menggambarkan tingkat keragaman suatu data. Semakin besar nilainya maka data semakin beragam. Nilainilai yang berada di atas a atau di bawah b diidentifikasi sebagai pencilan (outliers). dan j = 1, 2,..., m }, dan ˆx ij adalah solusi numerik dari model dinamik untuk masingmasing data pengamatan state variable ke-i, untuk pengamatan ke- j Galat Galat untuk masing-masing state variable ke-i pada setiap pengamatan ke-j didefinisikan: Q 2 c Q 3 Q 1 Keterangan: a= Q 3 + 1, 5( Q 3 Q 1 ) b= Q 1 1, 5( Q 3 Q 1 ) Q 1 = kuartil I Q 2 = median Q 3 = kuartil III c = outliers c Gambar 2 Diagram kotak (box-and-whisker plot).

13 4 III MODEL DAN DATA 3.1 Pemodelan Model yang digunakan dalam tulisan ini adalah model dinamik HIV dengan diagram komparteman sebagai berikut: Gambar 3 Diagram model tak linear Dengan keterangan : N : populasi orang aktif secara seksual atau rentan, X : jumlah populasi positif HIV yang Y tidak tahu bahwa mereka terinfeksi, : jumlah populasi positif HIV yang tahu bahwa mereka terinfeksi, Z : jumlah kasus AIDS, α : tingkat dimana HIV positif yang rentan tidak diketahui sebagai hasil infeksi mereka secara individual pada kelas X. k : tingkat di mana HIV positif terdeteksi, β : tingkat di mana HIV positif berkembang jadi AIDS. μ : tingkat kematian populasi yang aktif secara seksual, u : tingkat kematian akibat AIDS δ : perekrutan ke dalam kelas rentan, v : imigrasi yang tidak diketahui sebagai pengidap HIV positif. ρ δ μn : imigrasi kasus AIDS. v N αnx X kx Y μx βx Dari diagram di atas dapat dilihat bahwa model dinamik HIV teridiri dari empat kelas state variable yaitu state variable N, X, Y dan Z. Seiring dengan berjalannya waktu, laju perubahan populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N) akan bertambah sebesar δ dan akan berkurang dengan laju kematian sebesar μn. Populasi yang rentan jika terjangkit HIV tapi tidak tahu bahwa dia terkena HIV dimasukkan kedalam kelas X. Z βy μz μy ρ Laju perubahan populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV (X) akan bertambah sebesar v dan berkurang dengan laju kematian sebesar μx. Dari kelas X tedapat dua kemungkinan: Jika populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV (X) kemudian akhirnya tahu bahwa mereka terinfeksi HIV maka dimasukkan ke dalam kelas Y dengan laju kejadian sebesar kx. Populasi Y akan berkurang dengan laju kematian sebesar μy. Jika populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV (X) ternyata terkena AIDS dimasukkan ke dalam kelas Z. Laju perubahan populasi Z akan bertambah sebesar ρ dan akan bertambah juga apabila populasi Y ternyata terjangkit AIDS dengan laju sebesar βy. Populasi Z akan berkurang dengan laju kematian sebesar u. 3.2 Model Dari penjelasan di atas maka diperoleh model dinamik tak linear sebagai berikut: dn = α NX μn + δ dt dx = αnx ( k + μ+ β) X + v dt (4) dy = kx ( μ + β ) Y dt dz = β X + βy uz+ ρ dt dengan dn : laju populasi yang aktif secara dt seksual atau rentan. dx : laju populasi yang tidak tahu bahwa dt mereka terinfeksi HIV. dy : laju populasi yang tahu bahwa dt mereka terinfeksi HIV. dz : laju popolasi yang terkena AIDS. dt 3.3 Data Karena tidak adanya data pengamatan langsung, data pengamatan diperoleh secara hipotetik berdasarkan solusi numerik model dinamik dengan nilai parameter diketahui, kemudian diberi galat bilangan acak.

14 5 IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pembangkitan Data Hipotetik Data dibangkitkan dengan bantuan software Mathematica yaitu dengan cara mencari solusi numerik dari model dinamik dengan memberikan nilai parameter awal sebagai berikut: α = 0.01 k = μ = β = v = 20 u = ρ = 1 δ = 27 dan nilai awal sebagai berikut: N 0 = 50 X 0 = 230 Y 0 = 94 Z 0 = 3 Kemudian dari solusi yang diperoleh ditambahkan bilangan antara -1 sampai 1 secara acak sehingga diperoleh tebaran data seperti pada Gambar (4). Langkah-langkah membangun data hipotetik untuk model ini dapat dilihat secara rinci di Lampiran 1. Gambar (4) memperlihatkan tebaran data bangkitan model HIV epidemik. Masingmasing untuk kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan N(t), kelompok HIV positif yang tidak tahu mereka terinfeksi X(t), kelompok HIV positif yang tahu mereka terinfeksi Y(t) dan jumlah kasus AIDS Z(t). Data bangkitan yang diperoleh tersebut dianggap mewakili data pengamatan untuk masing-masing kelompok. Populasi N Populasi X Populasi Y Populasi Z Gambar 4 Tebaran data untuk populasi N, X, Y dan Z. Pada Gambar (4) terlihat bahwa tebaran data untuk populasi yang aktif secara seksual atau rentan N(t), menyebar secara acak berada di antara N = 30 sampai N = 33 dalam selang waktu dari t = 0 sampai t =. Tebaran data untuk populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV X(t) mula-mula mengalami penurunan dari X = 230 sampai X = 98, kemudian tebaran data tersebut menyebar secara acak di antara X = 84 sampai X = 81 dalam selang waktu t = 6 sampai t =. Tebaran data untuk kelompok

15 6 populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif mengalami kenaikan secara pesat dari Y = 94 sampai Y = 325 dalam selang waktu t = 0 sampai t = 32, kemudian tebaran data perlahan menaik dari Y = 327 sampai Y = 329 dalam selang waktu t = 34 sampai t =. Tebaran data jumlah kasus AIDS menaik secara pesat dari Z = 2 sampai Z = 146 dalam selang waktu t = 0 sampai t = 22. Kemudian data mengalami kenaikan secara perlahan dari Z = 148 sampai Z = 151 dalam selang waktu t = 24 sampai t =. 4.2 Pendugaan Parameter Parameter model dinamik ini akan diduga dari segugus data yang sebelumnya telah dibangkitkan. Pada kasus ini jumlah data yang digunakan adalah sebanyak 51 buah data untuk masing-masing kelompok. Parameter yang terdapat pada masingmasing kelompok dapat dirinci sebagai berikut: 1. Kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N) mengandung parameter α, μ, dan δ. 2. Kelompok populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi (X) mengandung parameter α, k, μ, β, dan v. 3. Kelompok populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi (Y) mengandung parameter k, μ, dan β. 4. Kelompok populasi jumlah kasus AIDS (Z) mengandung parameter β, u, dan ρ. Langkah-langkah untuk menduga parameter di atas dapat dilihat pada Lampiran 2. Pendugaan parameter dilakukan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat, yang diimplementasikan dengan bantuan software Mathematica. Fungsi utama yang digunakan yaitu NDSolve yang digunakan untuk menentukan solusi numerik dari sistem persamaan diferiensial pada model epidemik HIV yaitu x = f i ( p, x i ) dan FindMinimum untuk mencari nilai jumlah kuadrat galat yang paling minimum atau paling kecil. Adapun hasil yang diperoleh dari rangkaian proses di atas adalah: ˆ α = kˆ = ˆ μ = ˆ β = vˆ = uˆ = ˆ ρ = ˆ= δ Untuk lebih memperjelas perbedaan antara nilai parameter awal dan parameter yang telah berhasil diduga, maka diberikan tabel perbandingan parameter awal dan parameter akhir di bawah ini: Tabel 1 Perbandingan nilai parameter awal dan parameter akhir. Parameter Nilai Awal Nilai Akhir α k μ β v u ρ δ Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa nilai parameter awal dan parameter hasil dugaan memiliki nilai yang hampir sama kecuali untuk parameter ρ. Selanjutnya, dari hasil pendugaan parameter di atas maka persamaan (4) dapat dibuat menjadi: dn NX N dt = + dx = NX ( ) X dt (5) dy X ( ) Y dt = + dz X Y Z dt = + + +

16 7 Berikut adalah gambar grafik model dinamik epidemk HIV dengan parameter yang sudah diduga.. Populasi N Gambar 5 Grafik dengan parameter dugaan untuk kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan N(t). Pada Gambar (5) terlihat bahwa jumlah populasi yang aktif secara seksual atau rentan menurun dengan cepat dari N = 50 sampai N = 17 dalam selang waktu t = 0 sampai t = 2, kemudian menaik dari N = 24 sampai N = 29 dalam selang t = 4 sampai t = 6 dan kemudian konstan di antara N = 32 dalam selang t = 8 sampai t =. Populasi X Gambar 6 Grafik dengan parameter dugaan untuk kelompok populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi X(t). Pada Gambar (6) terlihat bahwa jumlah populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV menurun dengan cepat dari X = 230 sampai X = 81 dalam selang waktu t = 0 sampai t = 10. Kemudian jumlah populasi X(t) konstan disekitar X = 82 dari selang t = 12 sampai t =. Populasi Y Gambar 7 Grafik dengan parameter dugaan untuk kelompok poulasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif Y(t). Pada Gambar (7) terlihat bahwa jumlah populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif menaik secara linear logaritmik dari Y = 94 sampai Y = 327 dalam selang t = 0 sampai t = 42. Kemudian konstan diantara N = 328 dari dalam selang waktu t = 44 sampai t =. Populasi Z Gambar 8 Grafik dengan parameter dugaan untuk jumlah kasus AIDS Z(t). Pada Gambar (8) terlihat bahwa jumlah kasus AIDS menaik secara linear logaritmik dari Z = 3 sampai Z = 149 dalam selang t = 0 sampai t = 34. Kemudian konstan di sekitar Z = 150 dalam selang t = 36 sampai t =.

17 8 Populasi Y (t) Z (t) X (t) N (t) 0 Gambar 9 Gabungan grafik dengan parameter dugaan N(t), X(t), Y(t) dan Z(t). Pada Gambar (9) terlihat bahwa jumlah populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif Y(t) memiliki jumlah yang paling besar, diikuti oleh jumlah kasus AIDS Z(t), kemudian diikuti jumlah populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif X(t) dan yang paling kecil adalah jumlah populasi yang aktif secara seksual atau rentan N(t). Untuk lebih memperjelas hasil yang diperoleh, berikut perbandingan antara data bangkitan dengan model pada persamaan (5) yang telah menggunakan parameter dugaan. Perbandingan tersebut dapat dilihat pada Gambar (10)-(14) Populasi N Gambar 10 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk populasi N(t). Populasi X Gambar 11 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk populasi X(t). Populasi Y Gambar 12 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan populasi Y(t). Populasi Z Gambar 13 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan populasi Z(t).

18 9 P opulasi Gambar 14 Gabungan antara gafik tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk N(t), X(t), Y(t), dan Z(t). Terlihat dari Gambar (10), (11), (12) dan (13), pada kolompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N), kelompok populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi (X), kelompok populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi (Y), dan kelompok jumlah kasus AIDS (Z), gafik masing-masing kelompok berada di sekitar tebaran data. Juga terdapat sebagian data yang tepat dilalui oleh grafik dengan parameter dugaan tersebut. 4.3 Analisis Akurasi Pendugaan Untuk melihat seberapa besar galat yang diperoleh, dapat ditentukan dari persentase rataan galat mutlak (MAPE), implementasi secara lengkap dapat dilihat di Lampiran 5. Berikut akan ditampilkan tabel analisis persentase rataan galat mutlak untuk setiap state variable. Tabel 2 Nilai MAPE untuk setiap state variable. State Variable MAPE Populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N) % Populasi yang tidak tahu % mereka terinfeksi HIV (X) Jumlah kasus AIDS (Z) % Populasi yang tahu mereka terinfeksi HIV (Y) Y (t) Z (t) X (t) N (t ) 0 0.2% Nilai MAPE untuk setiap state variable secara berturut-turut dapat dilihat pada Tabel 2. Nilai MAPE yang diperoleh berkisar %. Nilai MAPE ini menyatakan seberapa besar persentase penyimpangan data pengamatan terhadap model. Kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N) memiliki persentase MAPE yang paling besar yaitu 1.62%. Ini berarti penyimpangan data pengamtan terhadap model untuk kelompok jumlah kasus AIDS memiliki persentase yang paling besar. Populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif (Y) memiliki MAPE paling kecil yaitu 0.20% yang berarti untuk data populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif memiliki rataan penyimpangan mutlak sebesar 0.20% dari model dugaan. Semakin kecil nilai MAPE maka semakin kecil tingkat penyimpangan data terhadap model. Cara lain untuk melihat hasil galat untuk setiap state variable adalah menggunakan diagram kotak (box-plot). Pada Gambar (18) diberikan diagram kotak untuk keempat state variable untuk model epidemik HIV. Selisih Q 3 dan Q 1 menggambarkan tingkat keragaman suatu data, semakin besar nilainya maka data semakin beragam. Data yang digunakan dalam diagram kotak ini adalah persentase galat mutlak dari masingmasing state variable N X Z Y Gambar 15 Diagram kotak untuk setiap state variable N, X, Y, dan Z. Untuk lebih memperjelas box-plot di atas, berikut akan diberikan tabel tentang Q 1, Q 2, Q 3, nilai maksimum, nilai minimum dan rataan dari galat untuk setiap state variable. æ

19 10 Tabel 3 Q 1, Q 2, Q 3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk setiap state variable. State variable Q 1 Q 2 Q 3 Max Min Rataan N % % % % % % X % % % % % % Y % 0.2% % % % % Z % % % % % % Dari diagram kotak dan tabel di atas dapat dilihat bahwa kesalahan relatif hasil parameter dugaan untuk metode kuadrat terkecil secara umum mempunyai tingkat keragaman yang relatif kecil yaitu berkisar antara % untuk populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N), % untuk populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV (X), % untuk populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV (Y), dan % untuk jumlah kasus AIDS (Z). Dari diagram kotak juga teridentifikasi adanya sebuah data pencilan (outlier) untuk state variable Z. V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Pendugaan parameter model dinamik dengan metode kuadrat terkecil telah dikaji melalui peminimuman jumlah kuadrat galat. Pendugaan parameter model dinamik ini diimplementasikan pada model epidemik HIV/AIDS dengan bantuan software Mathematica. Dilihat dari nilai parameter awal dan parameter parameter yang sudah berhasil diduga, didapat bahwa tidak ada perbedaan yang terlalu jauh antara kedua parameter tersebut. Dengan kata lain parameter awal dan parameter penduga memiliki nilai yang hampir sama. Nilai MAPE terbesar yang diperoleh yaitu pada kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan N(t) yaitu 1.62% dan yang terkecil yaitu pada kelompok populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV Y(t) yaitu sebesar 0.20%. 5.2 Saran Tema karya ilmiah ini masih terbuka untuk dikembangkan. Salah satunya adalah pengembangan metode untuk pembandingan dengan menggunakan metode robust. DAFTAR PUSTAKA De Arazoza H et al Modeling HIV epidemic under concact tracing-the Cuban case. Journal of Theoretical Medicine 2: Huber P Robust Statistics. Jhon Willey & Sons, New York, Gao LQ, Hethcote WH, Lorca M Four SEI Endemic Models with Periodicity and Separatrices. Math Biosci. 128: Lomen D, Mark J Differential Equations. New Jersey: Prentice-Hall, Inc. Mathews JH Numerical Methods for Mathematics, Science, and Enginering. London: Prentice-Hall. Rice BJ, Mark J Ordinary Differential Equations: with Aplications. Ed ke-3. California Pacific Grove. Thornly JHM, Johnson IR Comparison of Model with Experiment : Model Fitting in Plant and Crop Modelling. Mathematical Approach to Plant and Crop Pysiology. Oxford Univ. Press, Oxford.

20 LAMPIRAN 11

21 12 Lampiran 1 Membangkitkan Data Hipotetik Clear[modelhipotetik,stateVar,sol,data,n,x,y,z,datan,datax,datay,d ataz,gbrn,gbrx,gbry,gbrz,α,δ,k,μ,β,v,u,ρ, model,penduga,modelpenduga,solpenduga,gbrpendugan, gbrpendugax,gbrpendugay,gbrpendugaz] modelhipotetik={n'[t]==-0.01 n[t] x[t] n[t]+30, x'[t]==0.01 n[t] x[t]-( ) x[t]+20, y'[t]== x[t]-( ) y[t], z'[t]== x[t] y[t] z[t] , n[0] 50,x[0]==230,y[0] 94,z[0]==3}; statevar={n,x,y,z}; sol=flatten[ndsolve[modelhipotetik,statevar,{t,0,}]] {n InterpolatingFunction[{{0.,.}},<>], x InterpolatingFunction[{{0.,.}},<>], y InterpolatingFunction[{{0.,.}},<>], z InterpolatingFunction[{{0.,.}},<>]} Berarti menyelesaikan sistem persamaan diferensial untuk n[t], x[t], y[t], dan z[t] dengan nilai awal n[0]=50, x[0] = 230, y[0] = 94, dan z[0] = 3. Untuk jangka waktu t = 0 sampai t = yang disimpan dalam variabel sol. SeedRandom[5]; data=table[{t,(n[t]/.sol)+random[real,{-1,1}], (x[t]/.sol)+random[real,{-1,1}], (y[t]/.sol)+random[real,{-1,1}], (z[t]/.sol)+random[real,{-1,1}]},{t,0,,2}]; datan=data/.{t_,n_,x_,y_,z_}->{t,n} datax=data/.{t_,n_,x_,y_,z_}->{t,x} datay=data/.{t_,n_,x_,y_,z_}->{t,y} dataz=data/.{t_,n_,x_,y_,z_}->{t,z} Berarti: Membangun data hipotetik dengan cara menambahkan bilangan acak antara -1 sampai 1 pada n[t], menambahkan bilangan acak antara -1sampai 1 pada data x[t], menambahkan bilangan acak antara -1 sampai 1 pada y[t],dan menambahkan bilangan acak antara -1 sampai 1 pada z[t], dengan selisih dua satuan waktu. Data hipotetik inilah yang akan mewakili data pengamatan. Berikut adalah data hipotetik yang diperoleh: Data hipotetik untuk n[t]. {{0, },{2, },{4,24.85},{6, },{8, },{10, },{12, },{14, },{16, },{18,32.944},{20, },{22, },{24, },{26, },{28, },{30, },{32, },{34, },{36,33.018},{38, },{40, },{42, },{44, },{46, },{48, },{50, }, {52, },{54, },{56, },{58, },{60, },{ 62, },{64, },{66, },{68, },{70, },{7 2,33.188},{74, },{76, },{78, },{80, },{82, },{84,32.495},{86, },{88, },{90, },{92, },{94, },{96, },{98, },{, }}

22 13 Data hipotetik untuk x[t]. {{0, },{2, },{4, },{6, },{8,81.407},{10, },{12,81.136},{14, },{16, },{18, },{20, },{22, },{24, },{26, },{28, },{30, },{32, },{34, },{36, },{38,83.212},{40, },{42, },{44, },{46, },{48, },{50, },{52, },{54,81.403},{56, },{58, },{60, },{ 62, },{64, },{66, },{68, },{70, },{7 2, },{74, },{76, },{78,82.505},{80, },{82, },{84, },{86, },{88, },{90, },{92, },{94, },{96, },{98,81.631},{, }} Data hipotetik untuk y[t]. {{0, },{2,226.22},{4, },{6, },{8, },{10, },{12, },{14, },{16, },{18, },{20, },{22, },{24, },{26, },{28, },{30,325. },{32, },{34, },{36, },{38, },{40, },{42, },{44, },{46, },{48, },{50, }, {52, },{54, },{56, },{58,327.83},{60, },{6 2, },{64, },{66, },{68, },{70,328.85},{72, },{74, },{76, },{78,329.38},{80, },{82, },{84, },{86, },{88, },{90, },{92, },{94, },{96, },{98, },{, }} Data hipotetik untuk z[t]. {{0, },{2, },{4, },{6, },{8, },{10, },{12,137.16},{14, },{16, },{18, },{20, },{22, },{24, },{26, },{28, },{30, },{32, },{34, },{36, },{38, },{40, },{42,150.85},{44, },{46, },{48, },{50, },{52, },{54, },{56,150.74},{58, },{60, }, {62, },{64, },{66, },{68, },{70, },{ 72, },{74,150.12},{76, },{78,149.96},{80, },{82, },{84, },{86, },{88,150.27},{90, },{92, },{94, },{96, },{98,151.72},{, }} Berikut adalah grafik data n[t], x[t], y[t], dan z[t]. gbrn ListPlot datan, PlotStyle 1,0,0, PointSize 0.015, PlotRange,, waktu t,populasi rentan n, Populasi N

23 14 gbrx ListPlot datax, PlotStyle 1,0,0, PointSize 0.015, PlotRange,, waktu t,populasi x, 220 Populasi X gbry ListPlot datay, PlotStyle 1,0,0, PointSize 0.015, PlotRange,, waktu t,populasi y, 300 Populasi Y gbrz ListPlot dataz, PlotStyle 1,0,0, PointSize 0.015, PlotRange,, waktu t,populasi z, Populasi Z

24 15 Lampiran 2 Pendugaan Parameter leastsquare model_list, data_list, statevar_list, par_list Module datamodel, prm, peta, sumsq, hsl, sol, bnr, selang, nilaipar, penduga, datasolusipenduga, koefdet, datamodel Drop #,1 &/@ ; #,1 &/@ // ; #, # nilaipar ; hsl NDSolve model, statevar,, data 1,1, data 1,1 //Flatten; sol # 1,2 &/@ ;,, data 1,1, data 1,1, data 2,1 data 1,1 ; Plus@@Plus@@ bnr datamodel ^2 & ; #,1 &/@ ;, 2 ; model:={n'[t]==-α n[t] x[t]-μ n[t]+δ, x'[t]==α n[t] x[t]-(k+μ+β) x[t]+v, y'[t]==k x[t]-(μ+β) y[t], z'[t]==β x[t]+β y[t]-u z[t]+ρ, n[0]==50,x[0]==230,y[0]==94,z[0]==3 }; statevar={n,x,y,z}; par={ {α,0,0.5}, {k,0,0.5}, {μ,0,0.1}, {β,0,0.3}, {v,18,22}, {u,0,1}, {ρ,0,3}, {δ,0,1} }; penduga=leastsquare[model,data,statevar,par] {0.0546, , , , , , , } Berarti : menduga nilai parameter model dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, sehingga diperoleh nilai dugaan parameter sebagai berikut: α = , k = , μ = , β = , v = , u = , ρ = ,dan δ= datasolusipenduga Block #, # penduga; hsl NDSolve model, statevar,, data 1,1, data 1,1 //Flatten; sol # 1,2 &/@ ; bnr Table sol,, data 1,1, data 1,1, data 2,1 data 1,1 & ; Berarti menyelesaikan sistem persamaan diferensial untuk n[t], x[t], y[t], dan z[t] dengan nilai awal n[0]=50, x[0] = 230, y[0] =94, dan z[0] = 3. Untuk jangka waktu t = 0 sampai t = yang disimpan dalam variabel hsl dengan menggunakan parameter dugaan.

25 16 Lampiran 3 Gambar Grafik Model dengan Parameter Hasil Dugaan gbrpenduga Block #, # penduga; hsl NDSolve model, statevar,, data 1,1, data 1,1 //Flatten; sol # 1,2 &/@ ; #,, data 1,1, data 1,1, PlotStyle 0.007, 1,0,0, DisplayFunction, &/@ & ; Show gbrpenduga 1, Frame,, " ", " " Populasi N Show gbrpenduga 2, Frame,, " ", " " 220 Populasi X Show gbrpenduga 3, Frame,, " ", " " 300 Populasi Y

26 17 Show gbrpenduga 4, Frame,, " ", " " Populasi Z Gabungan antara grafik model dengan parameter dugaan n[t],x[t],y[t], dan z[t] Show gbrpenduga 1, gbrpenduga 2, gbrpenduga 3, gbrpenduga 4, Frame,, " ", ",,, " Y (t) Populasi Z (t) X (t) N (t) 0

27 18 Lampiran 4. Gambar Grafik Gabungan Tebaran Data dan Model dengan Parameter Hasil Dugaan Berikut adalah grafik perbandingan data hipotetik dengan model dugaan untuk n[t], x[t], y[t], dan z[t]. datagbr=table[{selangwaktu[[t]],#[[t]]},{t,length gbrdata=listplot[#,plotstyle ->{Hue[.7],PointSize[0.015]},DisplayFunction Show gbrpenduga 1, gbrdata 1,Frame True,Axes False,FrameLabel Waktu t,populasi n Populasi N Show gbrpenduga 2, gbrdata 2, Frame,, " ", " " 220 Populasi X

28 19 Show gbrpenduga 3, gbrdata 3, Frame,, " ", " " 300 Populasi Y Show gbrpenduga 4, gbrdata 4, Frame True, Axes False, FrameLabel "Waktu t ", "Populasi z " Populasi Z Gambar gabungan grafik tebaran data dan grafik dugaan parameter untuk x t, y t dan z t. Show gbrpenduga 1, gbrdata 1, gbrpenduga 2, gbrdata 2, gbrpenduga 3, gbrdata 3, gbrpenduga 4, gbrdata 4, Frame,, " ", ",,, " 400 Y (t) 300 Populasi Z (t) X (t) N (t) 0

29 20 Lampiran 5. Pencarian Nilai Galat Mencari nilai Persentase Galat Absolute untuk setiap state variable N, X, Y, dan Z galat Abs datamodel datasolusipenduga /datamodel {{1.1334, , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{2.6783, , , },{ , , , },{ , , , },{ , ,0.183, },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{2.1046, , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ ,1.099, , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{3.1119, , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ ,1.04, , },{ , , , },{ , , , },{ , , , },{ , , , }} Berarti mencari nilai galat mutlak untuk setiap state variable. Needs "StatisticalPlots`" BoxWhiskerPlot galat,boxlabels " "," "," "," " N X Z Y Berarti menampilkan gambar box-whisker galat untuk setiap state variable. æ

30 21 Untuk mencari nilai Q 1, Q 2, Q 3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk setiap state variable, data galat mutlak yang diperoleh dari Mathematica dimasukkan ke Excel. sehingga diperoleh hasil sebagai berikut: State variable Q 1 Q 2 Q 3 Max Min Rataan N % % % % % % X % % % % % % Y % 0.2% % % % % Z % % % % % %

31