SIMULASI NUMERIK PERPINDAHAN PANAS PADA CEROBONG SEGIEMPAT DENGAN METODE ELEMEN HINGGA DAN BEDA HINGGA

Transkripsi

1 SIMLASI NMERIK PERPINDAHAN PANAS PADA CEROBONG SEGIEMPAT DENGAN METODE ELEMEN HINGGA DAN BEDA HINGGA R. Lulus Lambang G. Hidaat, Eko Prasetya Budiana Eko Yanuarto Abstract : Numerical simulation for Heat Transfer at Chimney with variation material doneto know the conduction phenomenon that happened in chimney with convection boundary condition. Simulation done by solving governing equations of conduction with convection boundary condition using finite element approximation and finite different approximation. Finite element approximation done with makes by mesh of element, nodal coordinate and determine convection boundary condition with Galerkin formulation approximation. Finite different approximation done by solving governing equations with ADI method for calculation conduction equation of x and y direction. Finite element method and finite different method solved with Fortran Power Station 4.0 and Matlab 7. Result of simulation from both method shown as visualization happen same temperature distribution at chimney. From both method for same material at Y X happen difference equal to,6385 % and for difference material at Y X happen difference equal to,9033 %. From difference both method shown that this method can be accepted for case of heat transfer at chimney. Key word : conduction, convection boundary conditionn, chimney, finite element method, finite different method. PENDAHLAN Dalam teknologi industri proses perpindahan panas selalu ada sehingga pendalaman di bidang itu perlu ditingkatkan terutama didalam metode penyelesaiannya. Metode yang lebih cepat, akurat dengan sedikit error sangat dibutuhkan untuk mendapatkan hasil yang lebih tepat. Sehingga menuntut orang untuk dapat melakukan penelitian tanpa penguian langsung yang akan membutuhan banyak biaya. Banyak sekali penyelesaian analitis atas soal-soal perpindahan panas konduksi yang terkumpul dalam literatur. Namun demikian, dalam banyak situasi praktis dihadapi syarat-syarat atau kondisi batas dan geometri yang sedemikian rupa sehingga penyelesaian analitis untuk itu tidak bisa sama sekali dilakukan. Atau, apabila penyelesaian analitis dapat dikembangkan, hal itu sangat kompleks, sehingga evaluasi dengan angka-angka menadi sangat sulit sehingga pendekatan pendekaan yang paling berhasil adalah yang didasarkan atas teknik beda hingga dan elemen hingga. Terdapat berbagai macam metode penyelesaian persamaan atur konduksi dan konveksi secara numerik. Metode yang digunakan dalam penyelesaian persamaan atur konduksi dan konveksi adalah melalui pendekatan beda hingga dan elemen hingga. Penelitian perpindahan panas pada cerobong dengan menggunakan metode elemen hingga telah dilakukan oleh Dubravka Miuan, Ana Ziberna dan Boan Medo (004) dan David Meeker (005). staf pengaar urusan Teknik Mesin FT NS mahasiswa urusan Teknik Mesin FT NS 4 Mekanika, Vol 7 Nomor, September 008

2 Tuuan Penelitian Tuuan dari pelaksanaan penelitian yang dilakukan adalah : ntuk memprediksi temperatur pada cerobong dengan kondisi batas konveksi yang merambat pada batu bata merah tahan api secara konduksi melalui kontak -D secara numerik dengan penerapan prinsip elemen hingga dan beda hingga. Membandingkan hasil dari metode elemen hingga dan beda hingga yang berupa angka-angka atau visualisasi gambar. LANDASAN TEORI Tinauan Pustaka Dubravka Miuan, Ana Ziberna dan Boan Medo (004) telah melakukan Penelitian tentang analisis perpindahan panas melalui dinding cerobong dengan kondisi steady state menggunakan metode elemen hingga dengan material dinding dari batu bata yang mempunyai konduktivitas thermal,79 W/m. o C. bagian dalam cerobong adalah gas dengan temperatur 37,9378 o C. Pada bagian luar cerobong uga gas dengan temperatur - 7,678 o C. hasil yang ingin dicapai adalah temperatur di tengah pada dinding bagian dalam cerobong. David Meeker (005) telah melakukan penelitian dengan menggunakan analisis metode elemen hingga untuk menyelesaikan konduksi panas -D simetri dengan kondisi steady state. Penampang tersebut berebentuk buur sangkar dengan panang sisi dinding luar cerobong 4 m dan sisi dalam m dengan asumsi bahwa tinggi cerobong 0 m. Cerobong tersebut tersusun dari batu bata dan permasalahannya adalah menentukan total distribusi temperatur yang melewati dinding cerobong. Dasar Teori Kondisi Batas Konveksi ( Convection Boundary Condition ) Kondisi dengan pendinginan atau pemanasan yang teradi pada dinding (surface) yang ada kaitannya dengan proses konveksi. Keadaan ini dinyatakan dengan persamaan berikut ini: -k T h T ( 0, y) Tf X (X 0,Y) dengan : h : koefisien perpindahan panas konveksi T : variabel temperatur k : koefisien perpindahan panas konduksi Metode Beda Hingga Metode beda hingga adalah suatu metode penyelesaian persamaan differensial dengan menggunakan beda hasil bagi yang diturunkan dari deret Taylor. Pendekatan Beda Tengah Orde Kedua 4 4 u ( x) u ( x) ui+, + ui, ui, x! x 4! persamaan dapat dituliskan sebagai berikut: u ui+, u + ui, O + ( x) 3 x x Metode ADI (Alternating Direction Implicit) Metode ini akan lebih mudah ika dielaskan melalui gambar berikut : SIMLASI NMERIK PERPINDAHAN PANAS PADA CEROBONG SEGIEMPAT DENGAN 5 METODE ELEMEN HINGGA DAN BEDA HINGGA - R. Lulus Lambang G. Hidaat, dkk

3 i+, i-, + - y x n t n + ½ t x sweep n + y sweep Gambar Ilustrasi untuk metode ADI X-sweep yaitu langkah ke arah tetapi pengeraan persamaan kearah X begitu sebaliknya untuk Y-sweep. + X Y α t Maka Perhitungan untuk X-Sweep + + t ( x) ( y) α t / α t / α t / i, + + i+, ( x) ( x) ( x) α t + + y / n / / / n n n i, i+, + α + misalnya kita tulis : α t ai ( x) α t bi + ( x) α t ci ( x) n n n n ( ) ( ) + n n n ( ) n di + d + + maka bentuk persamaan 6 menadi : / / / ai i, bi ci i+, di dengan : u α t x y : fungsi lokasi : variabel temperatur dalam diskritisasi : koefisien difusivitas thermal : indeks nodal : langkah waktu : arak antar grid pada arah x : arak antar grid pada arah y 4 6 Mekanika, Vol 7 Nomor, September 008

4 Perhitungan untuk Y-Sweep / / / / + + ( ) ( ) i, i+, + α + t x y α t α t α t ( y) ( y) ( y) α t + + ( ) ( ) + x i, i, misalnya kita tulis : α t α t a, b ( y) +, α t c ( y) ( y) α t d + ( i, + i+, ) ( x) 6 maka bentuk persamaan 6 dapat ditulis kembali menadi : a + b + c + d. dimana a, b, c dan d merupakan koefisien matriks tridiagonal. Metode Elemen Hingga Elemen Segiempat Bilinear Elemen segi empat linier mempunyai sisi-sisi lurus dan nodal pada tiap sudutnya. Elemen segitiga bilinier menggunakan fungsi bentuk dan temperature nodal : Ti [ ] ( e ) T 7 T Si S Sm Sn Tm T n T n T T i T Y n T m i m l Gambar Parameter-parameter untuk Elemen Segiempat Bilinear Dimana fungsi bentuk S, i S, S m dan S n diberikan dengan persamaan berikut ini : x y x y Si, S l w l w xy y x Sm, Sn lw w l dimana : S : fungsi bentuk x : arah koordinat y : arah koordinat SIMLASI NMERIK PERPINDAHAN PANAS PADA CEROBONG SEGIEMPAT DENGAN 7 METODE ELEMEN HINGGA DAN BEDA HINGGA - R. Lulus Lambang G. Hidaat, dkk X w

5 l w T f : panang elemen arah x : panang elemen arah y : temperatur lingkungan Dari hasil penurunan kita dapatkan pesamaan elemen hingga seperti dibawah ini. Kita abaikan efek radiasi sehingga persamaannya menadi : T k h( T Tf ) 8 x Evaluasi untuk kondisi batas konveksi sepanang elemen segiempat bilinier menghasilkan persamaan : 0 0 [ ] ( e ) hl 0 0 i K 9a [ ] ( e ) hl 0 0 m K 9b [ ] ( ) e hlmn K 9c [ ] ( ) e hlni K 9d dimana l i l mn l dan l m l in w. Konduktansi matrik untuk elemen segiempat adalah sebagai berikut : [ ] ( e K ) ky l kxw 0 + 6l 6w Elemen konduktansi matrik untuk elemen segiempat bilinier terdiri dari :. Elemen konduktansi dalam arah X. Elemen konduktansi dalam arah Y PELAKSANAAN PENELITIAN Alat dan Bahan yang digunakan Bahan a. Hasil diskritisasi persamaan konduksi dengan kondisi batas konveksi Alat a. Komputer pribadi dengan spesifikasi : - Processor Pentium IV,7 GHz, - Memori 56 MB b. Software Microsoft Fortran Power Station 4.0. Software Matlab 7. R4 c. Printer HP Dekset Mekanika, Vol 7 Nomor, September 008

6 Program Dengan Analisis Metode Beda Hingga ( Finite Difference Method ) Diskritisasi Persamaan Atur Konduksi Dalam pelaksanaan penelitian in persamaan atur diselesaikan dengan metode ADI untuk penghitungan persamaan konduksi arah x dan y. Diskritisasi persamaan atur. u u u + x y α t X-Sweep ( Perhitungan ke arah X ) : Persamaan x-sweep untuk persamaan konduksi arah x adalah diskritisasi untuk tiap suku persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut: / / / n n n u u ui+, ui, + ui, x y x ( y) dikelompokkan dan didapatkan persamaan : α t / α t / α t / i, + + i+, ( x) ( x) ( x) α t + + ( ) ( ) + y n n n n bentuk di atas identik dengan bentuk persamaan / / / a i i, + bi + ci i+, di dengan komponen a i, b i, c i dan d i masing-masing adalah komponen matriks tridiagonal dimana : α t t ai b i x + α α t c, i x, x n n n ( ) n di + d + + Y-Sweep (Perhitungan ke arah y) Dari persamaan kita diskritisasi untuk tiap suku persamaan di atas dapat ditulis seperti persamaan dengan cara yang sama dengan x-sweep didapat α t α t α t ( y) ( y) ( y) 3 α t + i, + i+, x ( ) ( ) bentuk di atas identik dengan bentuk persamaan n / n / n / a + b + c d dengan komponen a, b, c dan d masing-masing adalah komponen matriks tridiagonal dimana : a α t α t α t b + c y, x, x α t d ( x) ( + ) + i, + i, Penentuan Kondisi Batas Kondisi batas yang digunakan adalah konveksi. SIMLASI NMERIK PERPINDAHAN PANAS PADA CEROBONG SEGIEMPAT DENGAN 9 METODE ELEMEN HINGGA DAN BEDA HINGGA - R. Lulus Lambang G. Hidaat, dkk

7 Persamaan - persamaan nodal dengan batas konveksi pada sudut. Sudut luar dengan batas konveksi : Y m-,n m,n m-,n h, T Dengan mendefinisikan bahwa : Perhitungan untuk X-Sweep α dt da ( dx), Gambar 3 sudut luar dengan batas konveksi h dx bi k Persamaan node untuk x y (n,m) da (n-,m) + (n,m-) + bi da -4 da bi [ ] [ ] (n,m) (,) da (,) + (,) + bi da -4 da bi [ ] (,) (,m) da (,m) + (,m-) + bi da -4 da bi [ ] (,m) (n,) da (n-,) + (n,) + bi da - 4 da bi (n,) 4.a 4.b 4.c 4.d Kondisi batas pada dinding dengan batas konveksi pada dinding Χ T,h T w T i i i Gambar 4 Kondisi batas pada dinding dengan batas konveksi pada dinding Persamaan untuk kasus diatas adalah ( T T ) ( ) k h T T x Persamaan kita kelompokkan sehingga kita dapatkan persamaan untuk X-Sweep dan Y-sweep sebagai berikut : h T T + x T h k + x k Mekanika, Vol 7 Nomor, September 008

8 Modifikasi koefisien matriks modifikasi koefisien matriks untuk Convection Boundary Condition : a b b + h + x k a h d d x u h k + x k a 0 Sehingga dapat kita analogikan untuk grid-grid yang berbatasan dengan kasus kondisi batas konveksi. Modifikasi koefisien matriks untuk material berbeda Gambar 5 Modifikasi koefisien matriks material berbeda Persamaan untuk kasus diatas adalah : k A T T T T k A i i i+ i A A B B xa xb sehingga modifikasi koefisien matriks untuk material berbeda adalah : a 0 i k bi bi + ai + k kb ci ci ai k A Material A B A Material B i- i i+ Program Dengan Analisis Metode Elemen Hingga ( Finite Element Method ) Pembuatan mesh pada cerobong material sama dengan material berbeda sama. Pembuatan mesh terbagi menadi program yaitu program mesh untuk menentukan elemen dan nodal ditulis dalam file PMESH.FOR dan program mesh untuk menentukan letak nodal ditulis pada file PDM6A.FOR. Pada penelitian ini menggunakan cerobong dengan umlah elemen 00 elemen dan umlah nodal 30 nodal. 7 SIMLASI NMERIK PERPINDAHAN PANAS PADA CEROBONG SEGIEMPAT DENGAN METODE ELEMEN HINGGA DAN BEDA HINGGA - R. Lulus Lambang G. Hidaat, dkk

9 (,4) (,3) (,) (,) 7 8 Gambar 6 contoh perhitungan mesh pada cerobong untuk umlah elemen 48 Jika elemen berapa pada elemen pertama maka perhitungan nodal-nodalnya adalah: Nodal (,) nx + ny + 7 Nodal (,) Nodal (,) + 8 Nodal (,4) Nodal (,3) Nodal (,4) + Jika elemen berada pada elemen dibawah elemen pertama dan dibawahnya sampai batas ketebalan cerobong maka : Contoh Nem 0 berada pada Nodal (Nem+,) Nodal (Nem,) + Nodal (Nem+,) Nodal (Nem,) + Nodal (Nem+,3) Nodal (Nem,) Nodal (Nem+,4) Nodal (Nem,) Persamaan diatas kita ubah dalam bentuk nodal. Nodal (,) Nodal (0,) + 4 Nodal (,) Nodal (0,) + 4 Nodal (,3) Nodal (0,) 7 Nodal (,4) Nodal (0,) 40 Jika elemen berada pada baris bawah / datar selain sudut yaitu elemen ke, 3, 4 I Nem+,Nem+nx Artinya I dapat diganti dengan NemI+, NemI+3,..., NemI+nx Atau dapat kita tulis, 3, 4, 5 dan 6 Nodal (I,) Nodal (I-,) Nodal (I,) Nodal (I-,) + Nodal (I,3) Nodal (I-,3) + Nodal (I,4) Nodal (I,3) - Nilai-nilai diatas didapatkan : Nodal (,) Nodal (,) 4 Nodal (,) Nodal (,) + 43 Nodal (,3) Nodal (,3) + 8 Nodal (,4) Nodal (,3) 7 Dari persamaan-persamaan diatas yaitu perhitungan cerobong bagian bawah maka dapat kita analogikan untuk perhitungan ketiga sisi-sisi yang lain yaitu sisi sebelah kiri dan kanan serta sisi bagian atas. Akan digunakan untuk mengeksekusi program PMESH.FOR dan PDM6A.FOR sehingga didapatkan pemodelan cerobong yang ditulis dalam file KTY.DAT dan KRD.DAT di bawah ini. Pemodelan susunan mesh cerobong tersebut menghasilkan output sebanyak 00 elemen dan 30 nodal. Kemudian langkah selanutnya adalah menulis kondisi batas konveksi ditulis dalam file BOND.DAT yang akan dielaskan dibawah ini : Mekanika, Vol 7 Nomor, September 008

10 4 3 Gambar 7 contoh elemen dengan kondisi batas konveksi Kemudian untuk penghitungan distribusi temperatur digunakan program YANP.FOR ntuk program ini dibutuhkan input berupa file-file hasil eksekusi program untuk 00 elemen dan 30 nodal yaitu program PMESH.FOR hasil eksekusi ditulis dalam file kty.dat dan program PDM6A.FOR hasil eksekusi ditulis dalam file krd.dat. file kty.dat, krd.dat, BOND.DAT, umlah elemen, umlah nodal, koefisien kalor arah x dan y serta banyaknya elemen dengan kondisi batas yang merupakan input dari hasil eksekusi program YANP.FOR Program terdiri dari 3 macam yaitu PMESH.FOR, PDM6A.FOR dan YANP.FOR. PMESH.FOR : Program untuk menentukan elemen beserta nodal-nodalnya. PDM6A.FOR : Program untuk menentukan koordinat nodal. YANP.FOR : Program untuk menghitung distribusi temperatur. HASIL DAN PEMBAHASAN Simulasi untuk kasus konduksi dengan kondisi batas konveksi pada cerobong D Simulasi kasus konduksi dengan kondisi batas konveksi pada cerobong D yang dikerakan dengan metode elemen hingga dan beda hingga ditampilkan dengan susunan grid 4 x 4 dengan x y 0., langkah waktu t 0.0 dan koefisien perpindahan panas konveksi cerobong bagian luar h W/m. o C dan bagian dalam h W/m. o C, material pertama chrome brick dengan koefisien perpindahan panas konduksi k.3 W/m. o C, material kedua common brick dengan koefisien perpindahan panas konduksi k 0.79 W/m. o C. dengan variasi material. SIMLASI NMERIK PERPINDAHAN PANAS PADA CEROBONG SEGIEMPAT DENGAN 3 METODE ELEMEN HINGGA DAN BEDA HINGGA - R. Lulus Lambang G. Hidaat, dkk

11 ( a ) ( b ) Gambar 8 ( a ) Hasil Simulasi Metode Elemen Hingga Seperempat Cerobong Material Sama dengan k 0.79 W/m. o C. ( b ) Hasil Simulasi Metode Beda HinggaSeperempat Cerobong Material Sama dengan k 0.79 W/m. o C dan t 300 s Tabel Perbandingan hasil penyelesaian numerik metode elemen hingga dan metode beda hingga pada gambar 4.4 Y X Elemen hingga ( o C) Beda Hingga ( o C) Delta (%), 39,779 35,8503,6385, 39,67 36,367,3804,3 39,738 36,6459,898,4 39,74 36,857,06,5 39,754 36,93,8,6 39,760 36,996,547,7 39,764 37,0360,378,8 39,766 37,0639,70,9 39,768 37,079,5,0 39,768 37,0839,95 4 Mekanika, Vol 7 Nomor, September 008

12 Dari tabel dapat dilihat bahwa secara kualitatif delta maksimum temperatur antara metode elemen hingga dan beda hingga adalah,6385 %. ( a ) ( b ) Gambar 9 ( a ) Hasil Simulasi Metode Elemen Hingga Seperempat Cerobong Material Beda dengan k 0.79 W/m. o C dan k 0.79 W/m. o C. ( b ) Hasil Simulasi Metode Beda Hingga Seperempat Cerobong Material Sama dengan k 0.79 W/m. o C, k 0.79 W/m. o C dan t 300 s Tabel Perbandingan hasil penyelesaian numerik metode elemen hingga dan metode beda hingga pada gambar 4.5 Y X Elemen hingga ( o C) Beda Hingga ( o C) Delta (%), 39,709 35,465,9033, 39,563 35,7354,5977,3 39,643 36,0454,50,4 39,644 36,4,48,5 39,656 36,367,389,6 39,660 36,398,3637,7 39,663 36,437,3483,8 39,665 36,455,3393,9 39,666 36,4680,3343,0 39,666 36,47,336 SIMLASI NMERIK PERPINDAHAN PANAS PADA CEROBONG SEGIEMPAT DENGAN 5 METODE ELEMEN HINGGA DAN BEDA HINGGA - R. Lulus Lambang G. Hidaat, dkk

13 Dari tabel dapat dilihat bahwa secara kualitatif delta maksimum temperatur antara metode elemen hingga dan beda hingga adalah,9033 %. Dari gambar 5 a dan b menunukkan bahwa distribusi temperatur lebih sukar dari pada gambar 4 hal ini dikarenakan perbedaan material, material bagian luar mempunyai konduktifitas termal yang lebih besar dibandingkan dengan material bagian dalam sehingga menyebabkan perambatan temperaturnya lebih lambat dari pada gambar 4. Secara umum gambar 5 a dan b menunukkan distribusi temperatur yang sama PENTP Kesimpulan Dari penelitian dan pembahasan hasil yang telah dilakukan, dapat ditarik beberapa kesimpulan yaitu : a. Metode beda hingga pada penelitian ini dimaksudkan untuk mengetahui penggunaan metode beda tengah orde kedua dan penyelesaian dengan metode ADI (Alternating Direction Implicit) untuk menyelesaikan persamaan konduksi tak tunak dengan modifikasi koefisien matriks konveksi untuk sisi-sisi cerobong yang berbatasan konveksi dan modifikasi koefisien matriks untuk material berbeda b. Metode elemen hingga pada penelitian ini dimaksudkan untuk mengetahui penggunaan mesh segiempat bilinear untuk menyelesaikan persamaan konduksi steady state dengan kondisi batas konveksi c. Metode yang digunakan dalam penelitian ini mampu memprediksikan distribusi temperatur pada cerobong. d. Simulasi cerobong menggunakan metode elemen hingga dan beda hingga dengan umlah grid yang sama 4x4 menghasilkan visualisasi yang sama. e. Metode beda hingga tampilan visualisasi beda temperatur terlihat elas sedangkan metode elemen hingga visualisasi temperaturnya halus dan bentuk mesh terlihat dengan elas. Saran ntuk lebih mengembangkan ilmu pengetahuan di bidang simulasi numerik, maka penulis memberikan saran: a. Dilakukan penelitian lebih lanut tentang simulasi perpindahan panas pada cerobong dengan bentuk melingkar, oval dan sebagainya. b. Dilakukan simulasi perpindahan panas pada cerobong 3 dimensi. c. Digunakan grid yang lebih rapat untuk memberikan hasil yang lebih akurat. d. Dikembangkan penggunaan program, sehingga dapat dilakukan simulasi dengan perbedaan material lebih dari material. DAFTAR PSTAKA Bayazitoglu, Yildiz., Ozisik, M Necati., 988, Elements of Heat Transfer, McGraw-Hill Book Company. Hoffmann, Klaus. A., 989, Computational Fluid Dynamics For Engineers, Engineering Education System.. Holman, J.P., E. Jasfi., 994, Perpindahan Kalor. Erlangga Kreith, Frank., 986, Prinsip-prinsip Perpindahan Kalor. Erlangga Incropera, Frank P., Dewitt, David P., 990, Introduction to Heat Transfer, nd edition, John Willey and Sons. Lambang, Lulus R., 005, Teori dan Penerapan Metode Elemen Hingga, NS Press Moaven Saeed., 999, Finite Element Analysis, Minnesota State niversity, Mankato, New Jersey Mekanika, Vol 7 Nomor, September 008

14 Segerlind, Larry J, 984, Applied Finite Element Analisis, nd edition, New York, John Willey and Sons. Soesianto F., Nugroho E., 994, Bahasa Fortran, 3 nd edition, Andi Offset. SIMLASI NMERIK PERPINDAHAN PANAS PADA CEROBONG SEGIEMPAT DENGAN 7 METODE ELEMEN HINGGA DAN BEDA HINGGA - R. Lulus Lambang G. Hidaat, dkk