MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Transkripsi

1 MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Oleh: Dewi Chandra Florentina NIM: PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017

2 MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RICHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Oleh: Dewi Chandra Florentina NIM: PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 i

3 ii

4 iii

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Skripsi ini penulis persembahkan untuk: Allah Bapa, Putra, dan Roh Kudus yang selalu membimbing dan menuntun langkahku, baik dalam suka maupun duka Papi Soejanto, Mami Flora, dan adikku Denny Chandra Limandaru yang sudah setia membimbing dan peduli padaku selama ini Semua kerabat dan teman yang tak dapat penulis sebutkan satu persatu Teman-teman seperjuanganku dari Pendidikan Matematika 2013 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta iv

6 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 22 Agustus 2017 Penulis, Dewi Chandra Florentina v

7 ABSTRAK Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau masalah pada dunia nyata dalam pernyataan matematis. Pemodelan lalu lintas ini menggunakan model Lighthill-Whitham-Richard atau yang biasa disebut model LWR, dengan jangkauan penelitian makroskopis dengan menggunakan tiga variabel, yaitu arus/ aliran kendaraan, kepadatan, dan medan kecepatan. Penelitian ini menggunakan metode studi pustaka dengan penerapan berupa studi kasus. Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model Lighthill-Richard- Whitham (LWR) secara umum apakah bisa diterapkan di pertigaan Janti dengan beberapa asumsi, serta membuat visualisasi data berdasarkan analisis yang telah dilakukan terhadap data yang diambil dengan menggunakan pola First Come First Serve dan memperhatikan sisa antrian pada siklus sebelumnya. Selanjutnya dibuat model simulasi menggunakaan data riil yang diperoleh langsung dari lapangan. Visualisasi dilakukan menggunakan program Matlab untuk mensimulasikan data tersebut dalam bentuk grafik dan fuzzy interference system (FIS) pada masingmasing ruas jalan. Berdasarkan pengambilan data yang dilakukan sebanyak dua kali yaitu pada jam lengang yaitu pukul dan pada jam sibuk yaitu pukul , kemacetan akan terjadi pada pukul saat jam lengang dan pukul saat jam sibuk. Dengan menggunakan model LWR, simulasi dari pertigaan Janti dapat dilakukan dan diketahui grafiknya menggunakan program FIS pada Matlab. Kata Kunci: Lalu Lintas, Matlab, Model LWR, Pertigaan Janti, Simulasi. vi

8 ABSTRACT Mathematics modelling is a part of mathematics which tries to represent and explain physical systems or real world problems by using mathematics statements. This traffic modelling is using Lighthill-Whitham-Richards model which usually called as LWR model with macroscopic scope of research and three variables such as vehicle flow, density, and group velocity. This research is using literature review method with a study case as the application. The purpose of this research is to analyze LWR model in general whether it can be applied in Janti t-junction with several assumptions and also by making data visualization based on the analysis of data gathered using First Come First Served method and also paying attention to the rest of the queue from the previous cycle, then the simulation model is made by using the real data gathered from the field. The visualization is conducted using Matlab program to simulate the data in the form of graph and fuzzy interference systems (FIS) for each roads. Based on the data collection that was conducted twice in the leisure time at and busy time at p.m., traffic jam will happen at a.m. in the leisure time and at p.m. in the busy time. Simulation for Janti t- junction can be conducted by LWR model, and use FIS program in Matlab for the graphic. Keywords: Traffic Flow, Matlab, LWR Model, Janti t-junction, Simulation. vii

9 LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertandatangan di bawah ini, penulis mahasiswa Universitas Sanata Dharma dengan: Nama : Dewi Chandra Florentina NIM : Demi pengembangan ilmu pengetahuan, penulis memberikan karya ilmiah penulis kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dengan judul: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RICHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI beserta perangkat yang diperlukan, bila ada. Dengan demikian, penulis memberikan hak untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari penulis maupun memberikan royalti kepada penulis selama tetap mencantumkan nama penulis sebagai penulis kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma. Demikian pernyataan ini penulis buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal 22 Agustus 2017 Yang menyatakan, Dewi Chandra Florentina viii

10 KATA PENGANTAR Puji syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan karunia-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul Model Matematika Lighthill-Whitham-Richards (LWR) pada Pertigaan Janti. Skripsi ini disusun untuk memenuhi persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penyusun skripsi ini tidak lepas dari adanya bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terimakasih kepada: 1. Bapak Rohandi, Ph. D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. 2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S. Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. 3. Bapak Dr. Hongki Julie, M. Si., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika. 4. Bapak Beni Utomo, M. Sc., selaku dosen pembimbing yang telah membimbing dengan penuh kesabaran, meluangkan waktu, dan pikiran selama proses penyusunan skripsi ini. 5. Ibu Dra. Haniek Sri Pratini, M. Pd., selaku dosen pembimbing akademik yang telah mendampingi dari awal perkuliahan sampai penyusunan skripsi ini. 6. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah berbagi pengalaman dan memberikan ilmu yang berguna bagi penulis. 7. Kedua orang tua penulis yaitu Soejanto dan Flora, yang senantiasa membimbing dan mendukung penulis dalam berbagai hal, khususnya dalam pembuatan skripsi ini. 8. Adik penulis, Denny Chandra Limandaru, yang sudah membuat warna dalam waktu penyelesaian skripsi ini. ix

11 9. Teman-teman terdekat penulis semasa kuliah yaitu Anbud, Thevany, Ester, Dela, dan Kress yang telah menjalani masa-masa senang dan susah bersama sejak awal perkuliahan. 10. Teman-teman terdekatku dari masa SMA yaitu Mira, Cindy, Hans, dan Michael yang walaupun berbeda kota tetap saling berbagi dan menguatkan. 11. Teman-teman satu gereja yang memberi penulis motivasi untuk terus maju walau dalam keadaan hampir menyerah. 12. Cahyo dan Totok yang selalu bersedia membantu bila penulis dalam kesulitan menuntaskan skripsi ini, serta teman satu kelompok bimbingan yang lain. 13. Teman-teman mahasiswa Pendidikan Matematika angkatan 2013 yang telah bersama-sama memulai perjuangan di program studi ini, berbagi pengalaman, ilmu, pengetahuan, dan memberikan semangat sampai penyusunan skripsi ini. 14. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dan terlibat dalam proses penyusunan skripsi ini. 15. Universitas Sanata Dharma yang memberikan ruang dan kesempatan untuk menempuh ilmu. Penulis berharap skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan dunia pendidikan pada umumnya. Yogyakarta, 22 Agustus 2017 Penulis x

12 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... v ABSTRAK... vi ABSTRACT... vii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN... viii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xi DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xiv DAFTAR LAMPIRAN... xivii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. RUMUSAN MASALAH... 7 C. PEMBATASAN MASALAH... 7 D. TUJUAN PENELITIAN... 8 E. MANFAAT PENELITIAN... 8 F. SISTEMATIKA PENULISAN... 8 xi

13 BAB II LANDASAN TEORI A. MODEL MATEMATIKA B. PENDEKATAN PADA PEMODELAN MATEMATIKA C. FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI BAB III PEMBAHASAN A. DAFTAR VARIABEL YANG DIGUNAKAN B. STUDI EMPIRIS TENTANG KARAKTER ARUS LALU LINTAS C. SIKLUS KENDARAAN BAB IV SIMULASI MODEL MATEMATIKA A. JENIS-JENIS TRANSPORTASI B. SISTEM PENGONTROLAN ARUS LALU LINTAS C. HAL-HAL YANG MEMPENGARUHI KAPASITAS SIMPANG BERSINYAL D. PENGOLAHAN DATA PADA MATLAB E. VISUALISASI DATA BAB V PENUTUP A. KESIMPULAN B. SARAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xii

14 DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Daftar Variabel yang Digunakan Tabel 4.1 Jenis-Jenis Fasilitas Transportasi Tabel 4.2 Rata-Rata Jumlah Kendaraan per Fase Tabel 4.3 Rata-Rata Arus/ Aliran Kendaraan per Fase Tabel 4.4 Kapasitas Jalan pada Masing-Masing Ruas Jalan xiii

15 DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Peta Lokasi Pertigaan Janti beserta Area Sekitarnya... 5 Gambar 2.1 Proses Pemodelan Gambar 2.2 Hubungan antara Model Simulasi Gambar 2.3 Mekanisme Pelayanan di Pelabuhan Merak Banten Gambar 2.4 Posisi Mobil 1 dan Mobil 2 saat Gambar 2.5 Daerah Integral dari Konservasi Kendaraan pada Jalan Raya Gambar 2.6 Kepadatan Lalu Lintas (kecepatan kendaraan turun ketika kepadatan meningkat) Gambar 2.7 Kecepatan Kendaraan Hanya Tergantung pada Kepadatan Lalu Lintas Gambar 2.8a Kurva Kepadatan dan Aliran Gambar 2.8b Fungsi Menurun Turunan Kepadatan dan Aliran Gambar 2.9 Kurva Kemacetan Tinggi dan Rendah Gambar 2.10 Kurva Kecepatan pada Kemacetan dan Kecepatan Kendaraan Gambar 3.1 Fungsi Medan Kecepatan dan Arus terhadap Kepadatan, (a), (b). 38 Gambar 3.2 Sebuah Jaringan Sederhana Gambar 3.3 Proses Antrian dalam Satu Siklus menurut Mc Neil (1968) Gambar 4.1 Peta Pertigaan Janti Gambar 4.2 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan ke Arah Timur pada Pukul xiv

16 Gambar 4.3 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Janti pada Pukul Gambar 4.4 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Barat pada Pukul Gambar 4.5 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan ke Arah Timur pada Pukul Gambar 4.6 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Janti pada Pukul Gambar 4.7 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Barat pada Pukul Gambar 4.8 Grafik Perbandingan Jumlah Kendaraan ke Arah Timur pada Pukul dan Gambar 4.9 Grafik perbandingan Jumlah Kendaraan dari Arah Janti pada Pukul dan Gambar 4.10 Grafik Perbandingan Jumlah Kendaraan dari Arah Barat pada Pukul dan Gambar 4.11 Grafik Kepadatan Kendaraan ke Arah Timur pada Pukul dan Gambar 4.12 Grafik Kepadatan Kendaraan dari Arah Janti pada Pukul dan Gambar 4.13 Grafik Kepadatan Kendaraan dari Arah Barat pada Pukul dan xv

17 Gambar 4.14 Grafik Aliran/ Arus Kendaraan ke Arah Timur pada Pukul dan Gambar 4.15 Grafik Aliran/ Arus Kendaraan dari Arah Janti pada Pukul dan Gambar 4.16 Grafik Aliran/ Arus Kendaraan dari Arah Barat pada Pukul dan Gambar 4.17 Hasil dari Keadaan Lalu Lintas pada Pagi Hari jika Tanpa Lampu Lalu Lintas Gambar 4.18 Hasil dari Keadaan Lalu Lintas pada Sore Hari jika Tanpa Lampu Lalu Lintas Gambar 4.19 Hasil Perhitungan Menggunakan Fuzzy Logic Gambar 4.20 Contoh Kasus Mengenai Fuzzy Logic Gambar 4.21 Visualisasi 3-D dari fuzzy logic pada gambar xvi

18 DAFTAR LAMPIRAN Lamp. 1 Peta daerah yang akan diteliti dari arah selatan/ Janti (100 m) Lamp. 2 Peta daerah yang akan diteliti dari arah barat/ Jalan Solo (200 m) Lamp. 3 Peta daerah yang akan diteliti ke arah timur/ Jalan Solo (300 m) Lamp. 4 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada jalan ke arah timur pada pukul Lamp. 5 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada jalan dari arah Janti pada pukul Lamp. 6 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada jalan dari arah barat pada pukul Lamp. 7 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada jalan ke arah timur pada pukul Lamp. 8 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada jalan dari arah Janti pada pukul Lamp. 9 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada jalan dari arah barat pada pukul Lamp. 10 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah kendaraan ke arah timur pada pukul dan Lamp. 11 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah kendaraan dari arah Janti pada pukul dan Lamp. 12 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah kendaraan dari arah barat pada pukul dan xvii

19 Lamp. 13 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan ke arah timur pada pukul dan Lamp. 14 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan dari arah Janti pada pukul dan Lamp. 15 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan dari arah barat pada pukul dan Lamp. 16 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan ke arah timur pada pukul dan Lamp. 17 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan dari arah Janti pada pukul dan Lamp. 18 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan dari arah barat pada pukul dan Lamp. 19 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perhitungan kapasitas jalan pada pagi hari Lamp. 20 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perhitungan kapasitas jalan pada sore hari xviii

20 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika adalah sebuah ilmu mengenai pola berpikir, pembuktian yang logis, dan pola mengorganisasikan sesuatu. Matematika juga merupakan suatu bahasa dengan menggunakan istilah yang dapat didefinisikan secara akurat, cermat, dan jelas representasinya dengan berbagai simbol. Matematika erat kaitannya dengan kehidupan sehari-hari, baik yang menurut manusia sendiri itu merupakan hal biasa maupun hal yang rumit. Contoh sederhananya adalah manusia menggunakan perkiraan jam untuk mengatur kegiatannya serta kegiatannya dengan orang lain. Hal itu menunjukkan bahwa matematika merupakan suatu bahasa komunikasi untuk memperlancar kehidupan. Contoh yang kompleks yaitu ketika kita akan memprediksi sesuatu, misalnya harga bensin. Dibutuhkan data-data yang spesifik tentang harga bensin pada waktuwaktu sebelumnya, lalu dianalisis pola kenaikan atau penurunan harga bensin tersebut, tentunya melihat kondisi perekonomian yang ada, apakah sedang ada faktor yang mendukung atau tidak. Penyelesaian matematis pada permasalahan harga bensin tersebut bisa dipecahkan menggunakan rantai Markov. Pemodelan Matematika merupakan salah satu tahap dari pemecahan masalah matematis yang menyederhanakan fenomena-fenomena nyata dalam bentuk matematika. Model matematika yang dihasilkan dapat berupa bentuk persamaan, pertidaksamaan, sistem persamaan, baik linear maupun non linear dan terdiri atas sekumpulan lambang yang disebut variabel atau besaran, yang kemudian di dalamnya menggunakan operasi matematika seperti penambahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian. Dengan prinsip-prinsip matematika tersebut dapat dilihat apakah model yang dihasilkan telah sesuai dengan rumusan masalah yang dihadapi. Hubungan antara komponen-komponen dalam suatu masalah yang dirumuskan dalam 1

21 2 suatu persamaan matematis yang memuat komponen-komponen itu sebagai variabel disebut model matematika. Lalu proses untuk memperoleh model dari suatu masalah dikatakan pemodelan matematika. Manfaat yang dapat diperoleh dari model matematika adalah dapat digunakan untuk memprediksi kejadian yang akan muncul dari suatu fenomena serta sebagai dasar perencanaan dan kontrol dalam pembuatan kebijakan. Langkah-langkah pembentukan model matematika yakni pertama merupakan identifikasi masalah, kedua membuat asumsi, ketiga membuat manipulasi matematis, keempat menginterpretasikan model, dan kelima adalah memvalidasi model matematika yang telah dibuat tersebut (Johnson dan Rising, 1972). Salah satu hal yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah kendaraan. Apabila kita ingin pergi ke suatu tempat, pasti kita membutuhkan setidaknya sebuah sepeda, motor, atau mobil yang akan mengantar kita sampai ke tempat tujuan. Namun jika jaraknya cukup dekat, beberapa di antara kita akan memilih menggunakan kaki kita sendiri untuk berjalan. Dalam perjalanan tersebut, pastilah kita melewati sebuah jalan, baik jalanan sepi, ataupun jalanan ramai. Jika tinggal di daerah perkotaan, maka jalan raya yang dilalui pada umumnya ramai, namun jika melewati daerah pedesaan, maka jalanan yang dilalui biasanya sepi atau bahkan jarang dilalui oleh penduduk sekitar. Lantas kita berpikir apa yang menyebabkan adanya keramaian yang ada di jalanan sebuah perkotaan. Hal yang pertama terlintas adalah banyaknya kendaraan yang melintas di jalan tersebut, kemudian beralih pada apakah itu merupakan jalan utama atau jalan pendukung. Lalu kita melihat apakah kondisi kota tersebut merupakan kota yang padat penduduknya atau tidak. Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta merupakan salah satu provinsi yang paling banyak dituju oleh orang-orang dari berbagai daerah, baik untuk menimba ilmu maupun untuk rekreasi. Memanfaatkan sektor jasa untuk memenuhi kebutuhan sektor rekreasi, banyak penduduk yang tinggal di sekitar Yogyakarta mencari nafkah di daerah wisata yang ada di Yogyakarta, hal ini mengakibatkan populasi penduduk di provinsi DIY bertambah pesat. Begitu juga dengan permintaan lahan untuk pemukiman atau tempat usaha. Di samping itu, faktor

22 3 yang tak kalah penting adalah permintaan akan kendaraan (terutama kendaraan bermotor) untuk memudahkan masyarakat menuju tempat lain sesuai yang diinginkan. Dengan berkurangnya lahan kosong, meningkatnya populasi kendaraan, serta akses atau jalan raya yang tidak berubah, maka perlu dipikirkan solusi untuk menanggulangi hal-hal yang tidak diinginkan, seperti kemacetan. Berdasarkan data Badan Pusat Statistik (BPS), pada tahun 2012 jumlah kendaraan bermotor roda dua dan roda empat di provinsi DIY mencapai 1 juta unit dengan laju pertumbuhan kendaraan bermotor untuk roda dua mencapai unit per tahun dan unit per tahun untuk roda empat. Namun berdasarkan data penerimaan pajak di Dinas Pendapatan Pengelolaan Keuangan dan Aset (DPPKA) DIY, jumlah kendaraan bermotor pada tahun 2011 mencapai unit dengan jumlah terbesar disumbang oleh Kabupaten Sleman dengan unit, tahun 2012 mencapai unit dengan jumlah terbesar disumbang oleh Kab. Sleman dengan unit, tahun 2013 mencapai unit dengan jumlah terbesar disumbang oleh Kab. Sleman dengan unit. Tahun 2015, jumlah kendaraan roda empat yang berplat AB di Provinsi DIY sudah mencapai , dan juga jumlah kendaraan bermotor yang jumlahnya hingga 4-5 kali lipat dari jumlah mobil yang ada. Hingga akhir tahun 2016, jumlah kendaraan di provinsi DIY mencapai dengan perincian ada 25,537 unit sepeda motor baru di Kabupaten Sleman, kemudian diikuti Kabupaten Bantul dan Kota Yogyakarta, masing masing 18,874 dan 12,284 unit. Untuk roda empat Sleman juga masih terbanyak, yakni berjumlah 6,018 unit, kemudian Kota Yogyakarta dengan 2,838 unit serta Bantul 2,730 unit. Dari jumlah kendaraan bermotor yang tertera, serta lebar jalan yang tidak memadai di beberapa ruas jalan di DIY, maka tak pelak lagi beberapa tahun mendatang provinsi DIY akan menjadi provinsi dengan tingkat kemacetan tinggi di Indonesia. Menurut Undang-Undang no. 38 tahun 2004 mengenai lebar jalan untuk wilayah perkotaan, lebar jalan ideal untuk jalan arteri sekunder adalah lebih dari 8 meter. Jalan arteri sekunder adalah ruas jalan yang menghubungkan antara kawasan primer (jalan raya besar/ highway) dengan kawasan sekunder (jalan raya

23 4 penghubung antara jalan raya besar yang satu dengan lainnya). Jalan arteri sekunder bisa disebut juga jalan protokol. Panjang serta lebar jalan yang tanpa adanya perubahan berarti terkadang membuat pengemudi menerobos trotoar supaya mereka bisa sampai di tujuan dengan tepat waktu. Salah satu solusi dari permasalahan kemacetan adalah dengan pengaturan rambu lalu lintas, khususnya pengaturan waktu di traffic light atau lampu lalu lintas. Dalam hal ini, yang diperhitungkan hanya lama waktu lampu berwarna merah dan hijau, sedangkan lampu berwarna kuning tidak diperhitungkan. Permasalahan yang dihadapi kali ini adalah permasalahan kepadatan lalu lintas yang sering terjadi pada perkotaan. Hal yang akan disoroti adalah banyaknya kendaraan yang melintas, kapasitas jalan tersebut dalam radius tertentu, serta kecepatan kendaraan pada jalan tersebut. Model yang akan digunakan pada penelitian ini adalah sebuah model yang dikembangkan oleh Lighthill dan Whitham. Beberapa tahun kemudian model tersebut disempurnakan oleh Richards sehingga membentuk sebuah model matematika yang representatif dengan bidang penelitian makroskopis yang hanya memperhatikan tiga variabel yaitu arus/ aliran lalu lintas, kepadatan, serta kecepatan kendaraan. Jika aliran lalu lintas tidak bisa bergerak, kepadatannya mencapai maksimum, dan kendaraan tidak bisa bergerak sama sekali atau berhenti total, maka hal itu menimbulkan kemacetan. Penelitian dilakukan di pertigaan Janti yang notabene merupakan daerah rawan kemacetan baik di pagi hari maupun di sore hari. Dengan lebar jalan hanya 7,5 meter di Jalan Solo dan 6 meter di Jalan Janti, maka bisa dikatakan lebar jalan di area pertigaan Janti tidak memenuhi kriteria batas minimal lebar jalan menurut UU no. 38 Tahun 2004 tentang lebar jalan ideal untuk jalan arteri sekunder adalah lebih dari 8 meter.

24 5 Sumber: Google Maps Gambar 1.1 Peta Lokasi Pertigaan Janti beserta area sekitarnya Terlebih lagi banyaknya kendaraan yang berputar balik dari arah Seturan yang ingin memasuki wilayah Jalan Solo menuju ke UIN Sunan Kalijaga, kemudian putar balik dari arah bandara yang ingin memasuki area UAJY Babarsari. Lalu adanya antrian panjang dari arah selatan (Ring Road Timur) yang akan naik ke flyover Janti atau melewati jalan di bawah flyover. Kendaraan yang awalnya melaju kencang hingga 1000 m/s tiba-tiba harus mengurangi kecepatannya hingga 200 m/s saat ada antrian di depannya. Hal itu juga menyebabkan kendaraan lain yang berada di belakangnya melakukan hal yang sama dengan kendaraan di depannya tersebut dan kendaraan di belakangbelakangnya pun akan berhenti total. Hal-hal seperti itulah yang menyebabkan kepadatan di pertigaan Janti, yaitu karena penumpukan kendaraan di titik-titik tertentu, terutama pada ruas jalan sebelum pertigaan Janti. Pada waktu-waktu tertentu, antrian kendaraan di pertigaan Janti dari arah barat bisa mencapai 1000 meter, dari arah selatan bisa mencapai 300 meter, dan ke arah timur bisa mencapai 500 meter di area Babarsari. Banyak kendaraan yang tidak bisa bergerak maju ataupun mundur karena tidak ada ruas jalan yang cukup untuk melakukan itu,

25 6 bahkan para pengemudi harus rela menunggu hingga bermenit-menit untuk sekadar melewati pertigaan Janti. Peneliti pun mengalami hal serupa terlebih saat waktu-waktu tertentu, waktu yang dibutuhkan untuk melewati pertigaan Janti bisa lebih dari 15 menit. Pemilihan penelitian di pertigaan Janti karena topik yang akan diteliti di sini adalah ruas jalan besar/ highway dengan 2 input dan 1 output, selain itu penelitian ini digunakan untuk memodelkan arus lalu lintas/ traffic flow yang ada di pertigaan Janti yang nantinya bisa digunakan untuk mengurai kemacetan. Masalah lain yang juga perlu dikaji dalam penelitian ini adalah apa relevansi hasil penelitian bagi para pengguna jalan? Proses pengerjaan dari penelitian ini adalah menggunakan pendekatan simulasi karena pendekatan secara analitik sulit untuk dilakukan, sehingga digunakan pendekatan secara numeris dan hasil yang didapat digunakan untuk proses simulasi. Selain itu data yang didapat untuk membuat model simulasi ini tidak harus banyak, karena data yang diperoleh walau hanya sedikit bisa mewakili situasi yang ada. Hasil yang didapat dari proses simulasi bisa dibaca, serta proses simulasi bisa dilakukan dengan berbagai kondisi kepadatan jalan raya yang memungkinkan tanpa mengeluarkan biaya yang besar. Selain itu, model simulasi dalam penelitian ini mencakup detail jumlah kendaraan, berapa kecepatan kendaraan, maupun bagaimana aliran kendaraannya, interval waktu penelitiannya juga bisa ditentukan sendiri, serta sistem eksisting tidak diperlukan. Sistem eksisting yang dimaksud di sini adalah tidak perlu diadakan uji coba pada kehidupan nyata jika memang tidak diperlukan. Pendekatan simulasi pada penelitian ini merupakan sebagian kecil dari sistem transportasi yang rumit dan dinamis. Pemilihan pendekatan menggunakan model simulasi dilakukan karena permasalahan transportasi adalah permasalahan pada suatu sistem dinamis yang bisa berubah sewaktu-waktu tanpa bisa diprediksi. Faktor-faktor yang mendukung suatu sistem transportasi dalam dunia real sangat banyak sehingga dibutuhkan penyederhanaan terhadap faktor-faktor tersebut supaya bisa memaksimalkan sistem transportasi yang ada sekarang maupun ke depannya melalui simulasi komputer. Model simulasi juga dipilih karena adanya kebutuhan untuk mengetahui kelakuan sistem transportasi guna

26 7 menjelaskan bagaimana hasil yang diperoleh untuk memutuskan langkah apa yang harus dipilih. Simulasi juga diperlukan guna menentukan ketepatan waktu terpadat sehingga bisa dilakukan prediksi untuk pengontrolan lalu lintas sebelum waktu terpadat tersebut dan membuat prediksi kondisi lalu lintas yang mungkin terjadi di pertigaan Janti. Namun kebijakan lalu lintas yang akan diambil oleh para pengambil keputusan juga melihat dari berbagai segi, tidak hanya melihat dari segi analisis matematisnya saja, bisa dari segi ekonomis maupun geografis, sehingga hasil pemodelan lalu lintas pada penelitian ini merupakan alat bantu bagi para pengambil keputusan dalam menentukan kebijakan yang akan diambil, bukan sebagai penentu kebijakan. Pada penelitian ini, simulasi dilakukan menggunakan program Matlab serta fuzzy interference system (FIS). B. Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah: 1. Bagaimana hasil analisis model matematika khususnya model Lighthill- Richard-Whitham (LWR) dan diterapkan di pertigaan Janti? 2. Bagaimana visualisasi data berdasarkan analisis yang telah dilakukan berdasarkan data, khususnya pada pertigaan Janti? 3. Apa manfaat hasil penelitian bagi masyarakat Yogyakarta dan sekitarnya? C. Batasan Masalah Tidak ada kendaraan yang salah arah atau berputar balik, tidak ada tilang atau pemberhentian mendadak dari polisi, lampu lalu lintas yang digunakan hanya lampu merah dan lampu hijau, cuaca dan kondisi jalan rusak juga tidak diperhitungkan, panjang dan lebar jalan yang diamati juga terbatas. Ruas jalan yang diteliti adalah pertigaan Jalan Janti, tepatnya pada ruas jalan sepanjang 200 m dari arah barat (Jalan Solo), 100 m dari arah Selatan (Jalan Janti), serta 300 m ke arah timur (Jalan Solo). Penelitian ini dilakukan dengan perhitungan jumlah kendaraan yang berada pada setiap jalan pada jam-jam tertentu di setiap lampu lalu lintas. Jam yang dimaksud adalah pada jam lengang yaitu pukul

27 8 dan jam sibuk yaitu pukul Gang kecil yang berada di sekitar pertigaan Janti juga diabaikan. D. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk: 1. Menentukan hasil analisis model matematika khususnya model Lighthill- Richard-Whitham (LWR) dan bisa diterapkan di pertigaan Janti. 2. Membuat visualisasi data berdasarkan analisis yang telah dilakukan berdasarkan data, khususnya pada pertigaan Janti. 3. Mengetahui relevansi antara hasil penelitian dengan masyarakat Yogyakarta dan sekitarnya. E. Manfaat Penelitian Manfaat yang bisa diambil dari penelitian ini adalah menambah pustaka atau referensi keilmuan bidang penerapan pemodelan matematika dan sebagai dasar penelitian selanjutnya. F. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan ini adalah sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab I akan membahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II LANDASAN TEORI Bab II akan membahas mengenai teori-teori yang akan digunakan dalam membuat model matematika mengenai arus/aliran lalu lintas dengan kajian makroskopis, serta

28 9 hubungan yang terjadi antara medan kecepatan, kepadatan, dan arus/ aliran lalu lintas. BAB III PEMBAHASAN Bab III akan membahas mengenai beberapa model lalu lintas yang telah ada, khususnya model LWR. BAB IV PENGOLAHAN DATA Bab IV akan membahas mengenai simulasi model LWR yang diterapkan pada pertigaan Janti. BAB V KESIMPULAN Pada Bab V akan membahas mengenai kesimpulan dan saran dari penelitian ini.

29 BAB II LANDASAN TEORI A. MODEL MATEMATIKA Pengertian model menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) adalah pola (contoh, acuan, ragam, dan sebagainya) dari sesuatu yang akan dibuat atau dihasilkan, sedangkan pengertian matematika menurut KBBI adalah ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan. Sehingga model matematika bisa diartikan sebagai pola yang terdapat pada matematika. Pemodelan matematika adalah sebuah representasi dari suatu sistem atau skenario yang digunakan untuk mendapatkan pengertian secara kuantitatif maupun kualitatif pada suatu permasalahan matematis. Pemodelan matematika berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau masalah pada dunia nyata dalam pernyataan matematis, sehingga diperoleh pemahaman dari masalah dunia nyata ini menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang dihasilkan dari proses ini dikenal sebagai model matematika. Konstruksi, analisis, dan penggunaan model matematika dipandang sebagai salah satu aplikasi matematika yang paling penting. Model matematika juga dapat diterapkan di banyak disiplin ilmu yang berbeda, seperti fisika, ilmu biologi dan kedokteran, teknik, ilmu sosial dan politik, ekonomi, bisnis dan keuangan, juga masalahmasalah pada jaringan komputer. Menurut Widowati dan Sutimin (2007), esensi proses pemodelan matematika umumnya sama dan dapat dinyatakan dalam alur diagram berikut. 10

30 11 Dunia Real Dunia Matematika Problem Dunia Real Problem Matematika Membuat Asumsi Formulasi Persamaan/ Pertidaksamaan Solusi Dunia Real Interpretasi Solusi Penyelesaian Persamaan/ Pertidaksamaan Bandingkan Data Gambar 2.1 Proses pemodelan B. PENDEKATAN PADA PEMODELAN MATEMATIKA Menurut Widowati dan Sutimin (2007), terdapat beberapa jenis model matematika yang meliputi model empiris, model simulasi, serta model deterministik dan stokastik. 1. Model Empiris Pada model empiris, data yang berhubungan dengan masalah menentukan peran yang penting. Gagasan utamanya adalah mengkonstruksi formula atau persamaan matematika yang dapat menghasilkan grafik yang terbaik untuk mencocokkan data. Salah satu contoh model empiris yaitu:

31 12 Suatu jenis bakteri di suatu wilayah membelah menjadi dua bagian setiap detik sehingga penyebaran bakteri tersebut sulit dibendung. Para peneliti berniat mengidentifikasi bakteri tersebut, namun awalnya mereka harus memodelkan bakteri tersebut terlebih dahulu, sehingga jumlah bakteri yang didapat: di mana: jumlah bakteri waktu (detik) Untuk mencari kapan bakteri mencapai jumlah tertentu adalah: 2. Model Simulasi Pendekatan lain untuk pemodelan matematika adalah konstruksi model simulasi. Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata. Hubungan yang terdapat dalam model simulasi tampak seperti pada gambar 2.2.

32 13 Laporan Hasil Masalah yang akan dikaji Model Matematis Landasan Teori Program Metode Numeris Gambar 2.2 Hubungan antara Model Simulasi Dengan menggunakan simulasi, penelitian ini bertujuan membuat model yang dapat merepresentasikan sistem tersebut serta membuat sistem alternatif yang meningkatkan optimasi dari sistem lama. (Sudradjat, Diah Chaerani, dan Farida C. Kusuma, Rancangan Model Simulasi Antrian untuk Mengurangi Kemacetan Kendaraan di Pelabuhan Merak Banten, (2012)). Langkah-langkah dalam perancangan model simulasi adalah sebagai berikut : a. Menentukan Objek Penelitian Objek penelitian ini adalah Pelabuhan Merak Banten, serta mekanisme pelayanan dalam sistem antrian yang digunakan oleh pelabuhan. b. Mekanisme Pelayanan di Pelabuhan Merak Ketentuan yang diterapkan oleh pengelola Pelabuhan Merak Banten, untuk dapat masuk ke kapal, kendaraan harus melewati beberapa titik/ gerbang pelayanan yang ada di lokasi pelabuhan, seperti dijelaskan oleh

33 14 gambar 2.3 berikut ini. Gerbang Penimbangan Tonase Gerbang Utama Masuk Pelabuhan Lokasi Pembelian Tiket Masuk Dermaga Kapal Gambar 2.3 Mekanisme Pelayanan di Pelabuhan Merak Banten c. Kajian Pustaka Kajian pustaka ini berisi tentang semua referensi yang diperlukan dalam pembahasan masalah pada penelitian ini. d. Formulasi Masalah Beberapa hal yang ditentukan dalam langkah ini adalah merancang model simulasi menggunakan program simulasi serta menentukan tingkat fasilitas pelayanan dan jumlah server optimal untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. e. Pengambilan Data Untuk menganalisis dan mensimulasikan sistem antrian agar dapat mendekati keadaaan sebenarnya, diperlukan pengambilan data melalui observasi langsung di Pelabuhan Merak Banten. f. Menentukan Model Antrian Langkah-langkah analisis yang harus dilakukan sebelum menentukan model antrian adalah menentukan rata-rata jumlah kendaraan yang datang dalam satu waktu, menentukan rata-rata waktu pelayanan

34 15 yang dibutuhkan oleh kendaraan, menentukan disiplin antrian dalam sistem, menghitung jumlah sistem pelayanan, dan menentukan notasi Kendall dari model antrian yang diperoleh. g. Pengolahan Data Pengolahan data dilakukan dalam beberapa tahapan yang didukung dengan teori antrian. Tahapan dalam pengolahan data terdiri dari analisis statistik dan analisis sistem antrian. h. Pembuatan Program Pemilihan perangkat lunak mempengaruhi keakuratan model, waktu eksekusi dan waktu penyelesaian penelitian secara keseluruhan. Maka dalam penelitian ini, penulis memilih untuk menggunakan software C#. i. Uji Coba Program Setelah program selesai dibuat, perlu dilakukan uji coba progam untuk melihat apakah program tersebut dapat berjalan dengan baik. j. Verifikasi dan Validasi Program Hasil uji coba program diteliti kembali untuk mendeteksi apakah ada kesalahan dalam program dan jika ada yang perlu dimodifikasi. k. Analisis Model Analisis model meliputi tingkat kepadatan sistem atau traffic intensity, rata-rata jumlah kendaraan dalam sistem, rata-rata waktu tunggu kendaraan dalam antrian, jumlah loket pelayanan, dan time service optimal.

35 16 3. Model Deterministik Model deterministik adalah model matematika dimana gejalagejala dapat diukur dengan derajat kepastian yang cukup tinggi. Pada model deterministik diasumsikan bahwa kejadian-kejadian yang ada memiliki peluang yang tetap, dapat pula diasumsikan pasti terjadi maupun tidak mungkin terjadi. Contoh model deterministik adalah masalah transportasi, masalah penugasan, masalah transhipment, dan model jaringan (salah satu aplikasi dari teori graf) di mana metode ini umumnya merupakan pengembangan dari metode simpleks yang merupakan metode dasar semua masalah program linear Model deterministik digunakan untuk menyatakan masalah dunia nyata yang diformulasikan berdasarkan pada hubungan dasar faktor-faktor yang terlibat. 4. Model Stokastik Metode stokastik adalah model matematika di mana gejala-gejala dapat diukur dengan derajat kepastian yang tidak stabil. Contoh model stokastik adalah teori antrian dan teori permainan, di mana ini merupakan pengembangan dari riset operasi modern. Contoh penerapan pemodelan stokastik adalah rantai Markov dengan waktu diskret, proses Poisson, rantai Markov dengan waktu kontinu, proses bercabang dan proses pembaruan dan penerapannya. Kejadian stokastik adalah kejadian yang hanya dapat ditentukan distribusi frekuensinya. jadi kejadian stokastik ini tidak dapat ditentukan fungsinya dengan pasti, namun hanya berupa kisaran fungsi yang nilainya belum dapat ditetapkan. Contoh dari kejadian stokastik adalah jumlah daun yang berguguran setiap harinya. Helai-helai daun berguguran dari hari ke hari, namun belum dapat dipastikan berapa jumlahnya dan fungsi seperti apa yang dapat menggambarkan proses bergugurnya daun-daun tersebut.

36 17 C. Faktor - Faktor yang Mempengaruhi Arus Lalu Lintas Menurut Iswanto (2012), faktor-faktor yang mempengaruhi arus lalu lintas adalah kecepatan, kepadatan, dan aliran kendaraan. 1. Kecepatan Kecepatan adalah laju gerak kendaraan pada arus kendaraan yang ada di jalan raya, sehingga dapat diketahui mengenai perpindahan posisi kendaraan yang satu dengan posisi yang lain. Sedangkan medan kecepatan adalah kumpulan dari kecepatan dengan arah yang sama. Pada arus kendaraan yang ada di jalan raya, akan dapat diketahui mengenai perpindahan posisi kendaraan yang satu dengan posisi yang lain. Jika posisi kendaraan diberikan dengan, maka laju adalah bentuk turunan pertamanya yaitu dan percepatannya merupakan turunan keduanya yaitu. Untuk mengukur medan kecepatan, setiap kendaraan yaitu dengan, dengan N jumlah kendaraan yang berbeda dalam kecepatannya, yang tergantung oleh waktu, yaitu = 1, 2, 3,... N. Dalam beberapa kasus, jumlah kendaraan di jalan raya sangat banyak sehingga kecepatannya tidak bisa stabil, dan kecepatan masing-masing individu akan menjadi kecepatan tunggal yang dinamakan kecepatan sesaat. Adanya medan kecepatan menunjukkan bahwa adalah fungsi posisi dan adalah fungsi waktu. Misal mobil 1 melaju dengan kecepatan 1200 m/s dan mobil 2 melaju dengan kecepatan 800 m/s, sedangkan untuk posisinya, mobil 1 berada pada, pada, sedangkan mobil 2 berada pada posisi pada seperti ditunjukkan pada gambar L Gambar 2.4 Posisi mobil 1 dan mobil 2 saat

37 18 Persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi: Dengan mengintegralkan kedua persamaan tersebut terhadap fungsi, kita akan mendapatkan nilai masing-masing posisi kedua mobil sebagai fungsi waktu. 2. Kepadatan Lalu Lintas Kepadatan (density) adalah jumlah kendaraan yang menempati suatu unit/ panjang jalan pada saat bersamaan. Pengukuran tingkat kepadatan sangatlah tergantung pada pemilihan interval waktu. Jika penggunaan interval waktu sangat kecil maka grafik yang dihasilkan tampak tidak memiliki pola, namun jika digunakan interval waktu yang tepat, maka akan diperoleh kurva yang lebih smoothy yang menandakan bahwa fungsi kepadatan merupakan salah satu jenis fungsi yang kontinu. Beberapa kesalahan dalam pemilihan interval waktu ini dinyatakan dengan beberapa asumsi, yaitu: a. Interval terlalu panjang sehingga terlalu banyak kendaraan yang lewat dan terekam oleh pengamat. b. Interval terlalu pendek sehingga variasi yang ada kurang mendukung, yaitu dengan adanya jarak atau rentang yang panjang pada ketegangan kendaraan yang lewat.

38 19 3. Aliran Kendaraan Aliran kendaraan adalah banyaknya kendaraan yang lewat sebuah titik di waktu/ periode yang telah ditentukan. Rumus untuk mencari aliran kendaraan adalah kepadatan dikalikan dengan medan kecepatan. Aliran kendaraan dengan kecepatan konstan disimbolkan dengan dan kepadatan konstan dilambangkan dengan. Sehingga aliran lalu lintas (traffic flow) yang dilambangkan dengan adalah aliran lalu lintas = (kepadatan) (medan kecepatan) Jika lalu lintas tergantung pada dan sedemikian sehingga dapat ditunjukkan bahwa (1) Jika terdapat sejumlah kendaraan yang lewat pada setiap selisih waktu yang sangat kecil, sedemikian sehingga dan. Pada waktu yang sangat kecil kendaraan tidak dapat bergerak jauh sehingga jika dan merupakan fungsi yang kontinu terhadap dan, maka dan dapat diaproksimasi dengan konstanta yang nilainya dan. Pada nilai waktu yang sangat kecil, kendaraan yang melaju dengan ruang yang pendek diaproksimasi dengan menggunakan. Sedangkan jumlah kendaraan yang lewat dapat dihitung seperti rumus awal yaitu. 4. Jumlah Konservasi Kendaraan Konservasi kendaraan adalah upaya untuk mempertahankan atau meminimalisir banyaknya kendaraan yang ada di jalan raya karena kondisi jalan raya yang sudah tidak memadai. Sebagaimana telah diketahui bahwa variabel utama dalam arus lalu lintas adalah dan. Variabel lalu lintas yang berupa medan kecepatan, kepadatan, dan juga aliran tidak hanya tertuju pada satu kendaraan, namun harus dipakai dalam jumlah kendaraan yang lebih dari satu.

39 20 Jika pada saat posisi dan, maka jumlah kendaraan dapat dirumuskan dengan mengintegralkan kepadatan lalu lintas. a N b ρ x t dx (2) Jika pada jalan tersebut tidak terdapat pintu, baik yang masuk maupun yang keluar, maka sejumlah kendaraan pada interval dan masih tetap dapat berubah sesuai waktu. Maka terdapat penurunan jumlah kendaraan karena terdapat kendaraan yang keluar dari posisi, sebaliknya terdapat arus peningkatan, yaitu dengan masuknya sejumlah kendaraan dari segmen. Jika diasumsikan bahwa jumlah kendaraan yang masuk dan keluar hanya dari dalam segmen dan, maka perubahan jumlah kepadatan hanya tergantung pada segmen dan. Misalnya kendaraan yang masuk ke segmen sebanyak 20 per detik, tetapi kendaraan yang keluar dari segmen sebanyak 15 per detik, sehingga jumlah peningkatan arus sebesar 5 kendaraan per detik. Menggunakan generalisasi yang sama, dapat pula ditentukan bahwa jika terdapat sejumlah aliran kendaraan pada setiap segmen yaitu segmen dan, yang diberikan dengan dan yang bukan suatu konstanta, karena tergantung oleh waktu, sehingga laju perubahan jumlah kendaraan yaitu, sama dengan jumlah unit yang ada per satuan waktu yang memotong segmen (bergerak ke kanan) dikurangi dengan jumlah unit yang ada per satuan waktu yang memotong segmen (bergerak ke kanan) dapat dirumuskan sebagai (3) Jumlah kendaraan per unit waktu dikatakan sebagai aliran (flow) yang diberikan dengan. Persamaan (3) diintegralkan terhadap waktu, kemudian disubstitusikan menggunakan perbedaan selisih waktu, selisih dimaksud adalah selisih jumlah kendaraan antara waktu dan sehingga membentuk: Misalkan dan

40 21 Pembagian persamaan dengan menggunakan dan mengambil limitnya Dengan teorema dasar Kalkulus yang menyatakan bahwa turunan dari integral adalah fungsi itu sendiri. ( ) Karena masing-masing nilai dapat berubah sesuai dengan waktu, maka variabel tersebut dapat diganti dengan menggunakan nilai sesuai keumumannya. Dengan menggunakan kombinasi dari beberapa persamaan sebelumnya, dapat diperoleh hubungan mengenai kepadatan, yaitu d dt a b ρ x t dt q a t q b t Persamaan di atas berarti kendaraan tidak ada yang keluar dari jalur tersebut. Misalkan contohnya, terdapat sebuah jalan yang sangat panjang, maka arus aliran kendaraan dimodelkan dengan panjang jalan sampai dengan tak terhingga. Jika diasumsikan bahwa kendaraan mendekati nol sepanjang mendekati keduanya (posisi dan waktu), maka dapat dirumuskan secara matematis sebagai Dari persamaan sebelumnya

41 22 Dengan mengintegrasikannya akan diperoleh Persamaan di atas menunjukkan jumlah total kendaraan adalah konstan sepanjang waktu. Konstan dapat dievaluasi jika jumlah awal kendaraan atau kepadatan awal ρ x t dx ρ x dx (4) Pada hukum konservasi integral dengan segmen jalan, yaitu dan masing-masing sebagai variabel independen, sehingga dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial biasa yaitu: t a b ρ x t dx q a t q b t (5) a. Berdasarkan integral konservasi sepanjang jalan raya dari sampai dengan, persamaan dapat dimodifikasi menjadi Dengan membagi dengan dan mengambil limitnya

42 23 Pada bagian kiri persamaan tersebut adalah definisi turunan parsial dengan tetap, atau yang lebih sering dikatakan sebagai ( ). Nilai limit di sebelah kanan pun dapat dilakukan dengan menggunakan dua buah pendekatan, yaitu 1) Integralnya adalah area di bawah kurva antara dan. Karena sangat kecil, maka integral dapat diaproksimasi dengan satu buah kotak saja (seperti tampak pada gambar 2.5). t tetap a a a Gambar 2.5 Daerah integral dari konservasi kendaraan pada jalan raya Banyaknya kendaraan antara dan dapat diaproksimasi dengan penambahan panjang suatu ruas jalan sebanyak kali dengan kepadatan lalu lintasnya ada di Sebagai hasil dari penurunan ini maka diperoleh nilai eror yang semakin baik dengan kenaikan sehingga dapat diturunkan menjadi (6) 2) Di samping itu dapat pula diberikan fungsi sebagai jumlah kendaraan yang berjalan di jalan raya antara posisi tetap dan variabel posisi Maka jumlah kendaraan per meter antara dan adalah

43 24 Jika diambil limit, sisi kanan akan menjadi ( ) Nilai dapat digantikan dengan nilai sehingga menjadi persamaan baru yaitu Atau bisa ditulis dengan bentuk yang lebih sederhana sehingga menjadi (7) Model ini merupakan salah satu bentuk persamaan diferensial parsial. Persamaan tersebut mengekspresikan mengenai hubungan antara kepadatan lalu lintas dan aliran kendaraan yang diasumsikan dengan jumlah yang tetap, karena tidak ada kendaraan yang masuk dan keluar dari jalur yang sudah ditetapkan. Semuanya berada dalam jalur untuk setiap waktu. Hal inilah yang disebut sebagai bilangan konservasi kendaraan. b) Berdasarkan hukum konservasi integral, pendekatan segmen jalan dilakukan dengan menggunakan interval, namun selanjutnya dengan mengambil nilai diferensial parsial dari sehingga Karena mewakili posisi pada jalan, maka dapat digantikan dengan.

44 25 c) Alternatif penurunan yang lain adalah dengan mengambil panjang jalan yang terbatas pada interval. Sehingga persamaan tersebut dapat menjadi a b ρ x t t q x t x (8) Persamaan tersebut menunjukkan integral pada interval sampai dengan nilai yang berbeda dan memberikan hasil berupa nol. Integral yang demikian disebut dengan integral nol. Fungsi integral yang memberikan nilai nol pada setiap pengambilan interval apapun disebut sebagai fungsi integral nol. Dari ketiga metode tersebut, dapat ditunjukkan bahwa Beberapa eksperimen menunjukkan bahwa untuk menggunakan aliran ditentukan oleh beberapa kriteria yang lain yaitu kendaraan dapat ditulis menjadi juga, sehingga konservasi yang merupakan persamaan diferensial parsial yang berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan medan kecepatan. 5. Hubungan kepadatan (density) dengan medan kecepatan (velocity) Dua variabel yakni kepadatan dan medan kecepatan kendaraan dihubungkan dalam satu persamaan yaitu ρ t ρμ x (9)

45 26 Persamaan tersebut juga dapat digunakan untuk memprediksi tingkat kepadatan masa mendatang dengan mengetahui tingkat kepadatan mula-mula. Secara teknisnya, medan kecepatan dalam kendaraan tergantung pada pengendara yang mengendarainya. Namun di lain pihak, kepadatan juga berpengaruh pada laju kendaraan. Secara umum, pengendara akan melaju kencang pada kepadatan rendah dan melaju lambat pada kepadatan tinggi. Dari pernyataan di atas, dapat diperoleh asumsi bahwa kecepatan kendaraan sepanjang jalan akan bergantung pada kepadatan kendaraan. (10) Lighthill dan Whitham (Lighthill, M.J. and Whitham, G. B., On Kinematic Waves II. A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads, Proc. Roy. Soc. A, 229, (1955)) serta Richards (Richards, P.L., Shock Waves on the Highway, Operations Researches 4, (1956)) secara independen mengusulkan mengenai model Matematika pada aliran lalu lintas yaitu jika tidak terdapat kendaraan lain atau tidak ada mobil yang ada di jalan (kepadatan rendah), maka kendaraan akan berjalan dengan kecepatan maksimum, yaitu. dikatakan sebagai kecepatan bebas yang berhubungan dengan kecepatan kendaraan yang akan bergerak jika bebas dari kendaraan lain. Namun jika terdapat peningkatan dalam jumlah kepadatan, maka dapat menyebabkan laju kendaraan semakin lambat yang dapat dituliskan menjadi Dalam perkembangannya, jika kepadatan kendaraan menjadi maksimum, maka keadaan menjadi bumper to bumper traffic, yang diberikan dengan (11)

46 27 Dalam keadaan tersebut, kendaraan tidak dapat melaju karena tidak memiliki ruang untuk bergerak dan akan saling bertabrakan jika dipaksakan, sehingga, dengan adalah panjang kendaraan. Kurva yang dijumpai untuk memberikan ilustrasi di atas adalah μ μ maxx ρ maxx ρ Gambar 2.6 Kepadatan Lalu Lintas (kecepatan kendaraan turun ketika kepadatan meningkat) Gambar 2.6 menunjukkan hubungan antara dua variabel lalu lintas, yaitu medan kecepatan dan kepadatan merupakan perbandingan terbalik sehingga membentuk kurva menurun secara kontinu yaitu. Namun dalam realita, kecepatan tidak selalu dipengaruhi oleh kepadatan dalam setiap kondisi jalan, tetapi ada beberapa faktor lain yang mempengaruhi, misalnya adanya kerusakan jalan, cuaca yang ekstrem, dll. Akan tetapi dalam penelitian ini, diasumsikan bahwa medan kecepatan hanya dipengaruhi oleh kepadatan. Sebagai tambahan, mengindikasikan bahwa jika berubah maka juga berubah secara spontan. 6. Aliran kemacetan (traffic flow) Keadaan aliran yang padat akan terjadi jika kendaraan berada dalam keadaan bumper to bumper atau. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa jalan sangat homogen sedemikian rupa sehingga kecepatan kendaraan tergantung pada kepadatan dan bukan waktu atau posisi sepanjang jalan. Secara matematisnya, diberikan dalam bentuk medan kecepatan dikalikan dengan kepadatan.

47 28 (12) μ μ maxx ρ maxx ρ Gambar 2.7 Kecepatan kendaraan hanya tergantung pada kepadatan lalu lintas Berdasarkan gambar 2.7, aliran akan memenuhi beberapa kriteria yaitu akan bernilai nol dalam dua cara; a. Jika tidak ada kemacetan b. Jika terdapat kemacetan, maka kendaraan tidak dapat bergerak sehingga Untuk nilai kepadatan yang lain, aliran kemacetan harus menjadi positif. Dalam hal ini diasumsikan bahwa hubungan antara aliran kepadatan diberikan dalam bentuk konkaf menurun, ( ), dengan kata lain diasumsikan bahwa menurun sepanjang meningkat, seperti ditunjukkan pada gambar 2.8 (a dan b). q qμ ρ dq dρ ρ maxx ρ ρ maxx ρ Gambar 2.8a Kurva kepadatan dan aliran Gambar 2.8b Fungsi menurun turunan kepadatan dan aliran

48 29 7. Tingkat kepadatan kemacetan Pada gambar 2.9 di bawah menunjukkan garis yang memisahkan antara kemacetan tinggi dengan kemacetan rendah dengan kemacetan rendah merupakan titik optimum kepadatan. q Kepadatan optimum Kemacetan rendah Kemacetan tinggi ρ Gambar 2.9 Kurva kemacetan tinggi dan rendah Kepadatan erat kaitannya dengan kapasitas jalan, terutama mengenai jumlah kendaraan yang dapat dimuat oleh badan jalan. Pada masalah kemacetan, terdapat dua jenis kecepatan, yakni kecepatan masing-masing kendaraan dan kecepatan sejauh mana kemacetan ada dan dilambangkan dengan diagram kemacetan jalan yaitu terhadap, dengan (13) q q ρ c dq dρ Gambar 2.10 Kurva kecepatan pada kemacetan ρ ρ dan kecepatan kendaraan Kemiringan garis dari titik awal terhadap titik pada kurva alirankepadatan (pada gambar 2.10) memberikan nilai kepadatan konstan adalah medan kecepatan, karena

49 BAB III PEMBAHASAN A. Daftar Variabel yang Digunakan Model matematika adalah hubungan antara komponen-komponen dalam suatu masalah yang dirumuskan dalam suatu persamaan matematis yang memuat komponen-komponen itu sebagai variabel. Variabel-variabel tersebut ada untuk mendukung terciptanya suatu model matematika dan semua variabel mempunyai makna masing-masing. Berikut ini adalah daftar beberapa variabel yang digunakan pada penelitian ini beserta artinya: No. Variabel Arti 1 posisi ) 2 waktu (sekon) 3 medan kecepatan ( ) 4 kepadatan lalu lintas ( ) 5 arus lalu lintas ( ) 6 banyak kendaraan 7 medan kecepatan arus bebas ( ) 8 kepadatan dalam kemacetan ( ) 9 kepadatan maksimum ( ) 10 flow rate 11 kepadatan yang berada pada interval ke- ( ) 12 kepadatan yang masuk ( ) 13 kepadatan yang keluar ( ) 14 aliran kendaraan dalam kemacetan ( ) 15 aliran kendaraan yang berada pada interval ke- ( ) 30

50 31 16 aliran kendaraan yang masuk ( ) 17 aliran kendaraan yang keluar ( ) 18 kapasitas pengirim pada arus masuk (sending) 19 kapasitas penerima pada arus masuk (receiving) 20 faktor prioritas 21 aliran yang dapat dicapai dalam suatu waktu tertentu 22 kapasitas pengirim dari arah Janti (selatan) 23 kapasitas pengirim dari arah barat (Jalan Solo) 24 kapasitas penerima ke arah timur (Jalan Solo) Tabel 3.1 Daftar variabel yang digunakan B. Studi Empiris Tentang Karakteristik Arus Lalu Lintas Menurut Khisty dan Lall (2005), pemodelan lalu lintas dibagi menjadi dua, yaitu pemodelan arus lalu lintas makroskopis dan pemodelan arus lalu lintas mikroskopis. Variabel yang terdapat dalam pemodelan arus lalu lintas makroskopis di antaranya yaitu arus lalu lintas, kepadatan, dan medan kecepatan. Variabel yang terdapat dalam pemodelan arus lalu lintas mikroskopis antara lain panjang kendaraan dan hal-hal lain yang berfokus pada perilaku pengemudi itu sendiri. Dalam penelitian ini, lebih difokuskan pada pemodelan arus lalu lintas makroskopis yang di antaranya terdapat model-model lain yang mendukung yaitu (Tiwari & Marsani, 2011): 1. Model Greenshields Model ini dikemukakan oleh Greenshields (1935) berdasarkan pengukuran atas kecepatan, arus, dan kepadatan, beberapa ahli mulai mengembangkan model arus lalu lintas berdasarkan pencocokan kurva dan uji statistik yang sebenarnya. Evaluasi modelnya dilakukan melalui dua jalur: a. Hubungan antara arus kecepatan, dan kepadatan dari sisi ketepatannya dengan data lapangan yang sebenarnya. b. Hubungan dianggap memenuhi kondisi batas-batas tertentu:

51 32 1) Arus sama dengan nol ketika kepadatan sama dengan nol. 2) Arus sama dengan nol ketika kepadatan maksimum. 3) Kecepatan bebas rata-rata terjadi pada waktu kepadatan sama dengan nol. 4) Kurva-kurva arus-kepadatan terbentuk cembung (dengan kata lain, terdapat sebuah titik arus maksimum) μ s μ f μ f ρ j ρ (14) dengan = kecepatan = kecepatan arus bebas = kepadatan = kepadatan dalam kemacetan Model Greenshields memenuhi keempat kondisi batas di atas, meskipun secara statistik hasilnya relatif buruk (sebagai contoh, koefisien penentuan yang rendah dan standar eror yang tinggi). 2. Model Greenberg Model ini diusulkan oleh Greenberg (1959) untuk melakukan pengukuran kecepatan, arus, dan kepadatan di terowongan Lincoln yang menghasilkan sebuah model kecepatan-kepadatan. Greenberg menggunakan analogi konsep arus fluida, dengan menggunakan bentuk berikut: μ s C ( ρ j ρ ) (15) di mana C = konstanta dan dengan mensubstitusikan untuk ( )

52 33 Dengan mendiferensiasi terhadap, kita akan memperoleh ( ( ) ) Dan agar maksimum ( ) Sehingga ( ) dan ( ) Dengan mensubstitusikan persamaan ( ) Sehingga didapatkan (16) maka adalah kecepatan ketika arus maksimum. Model Greenberg memperlihatkan tingkat ketepatan yang lebih baik daripada model Greenshields, meskipun model ini melanggar kondisi-kondisi batas karena kepadatan nol hanya akan tercapai bila nilai kecepatan tak terhingga.

53 34 3. Model Eksponensial Underwood Model ini diusulkan oleh Underwood (1961) untuk memperbaiki model Greenshields. Model Underwood berupa: ( ) (17) dengan = kepadatan maksimum Model ini memiliki tingkat ketepatan yang lebih baik daripada model Greenshields dan model Greenberg saat kondisi lalu lintas tidak terlalu padat, tetapi gagal dalam memodelkan saat kondisi lalu lintas padat. 4. Model LWR Model LWR atau model Lighthill-Whitham-Richards pertama kali dipublikasikan oleh Lighthill-Whitham pada 1955 dalam sebuah jurnal yang mendeskripsikan teori gerak gelombang kinematic yang mereka aplikasikan untuk memodelkan aliran lalu lintas pada jalur utama, kemudian pada 1956 Richards secara independen mempublikasikan hal serupa (Lighthill, M.J. and Whitham, G. B., On Kinematic Waves II. A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads, Proc. Roy. Soc. A, 229, (1955)) serta (Richards, P.L., Shock Waves on the Highway, Operations Researches 4, (1956)). Kunci utamanya adalah hubungan antara aliran lalu lintas dan kepadatan. Model ini diukur dengan menggunakan karakteristik dari jalan tersebut, seperti jumlah jalur pada suatu jalan, kecepatan, dan jenis jalan. Namun model yang dihasilkan bukan merupakan model pasti dari suatu jalan tertentu, masih ada beberapa hal yang perlu dikonfirmasi untuk diterapkan dalam suatu ruas jalan tertentu, seperti kecepatan umum kendaraan, kepadatan, maupun sebaran titik yang merupakan arus masuk dan keluar yang melalui jalur tersebut. Pada umumnya, nilai kepadatan yang ada di sebuah jalur adalah sekitar 1 kendaraan per 6,5 meter per jalur dan nilai kepadatan ketika arus maksimum

54 35 adalah 1 kendaraan per 32 meter. (Polson, Nicholas and Vadim Sokolov, Bayesian Analysis of Traffic Flow on Interstate I-55: The LWR Model, Vol. 9, No. 4, (2015)). Asumsi yang digunakan menggunakan fungsi posisi dan waktu yang dinyatakan dengan: (18) dengan = kecepatan = aliran kendaraan = kepadatan a. LWR yang berada pada single road/ jalan tunggal Untuk mencari rumus LWR yang berada pada single road/ jalan tunggal diberikan: Jumlah kendaraan ( ) berada di posisi dan ( dan ). di mana sehingga di mana dan

55 36 Kedua ruas dikali sehingga menjadi a a t a a a ρ x t dt a a q a t q a a t (19) Berdasarkan definisi dari turunan, ruas kiri merupakan turunan parsial dengan tetap, sehingga menjadi ( ) (20) Ruas kanan: = aliran lalu lintas dari ke = (21) dari persamaan (19) dan (21) menjadi Ruas kanan a N a a N a a N a t a (22) Berdasarkan definisi dari Kalkulus, persamaan sehingga N a t a ρ a t (23) sehingga

56 37 a a t a a a ρ x t dt t ρ a t (24) Persamaan (24) menjadi ( ) ( ) ( ) variabel diubah menjadi karena merupakan variabel posisi (q x t ) x t (ρ x t ) (25) atau ( ) ( ) x ρμ t ρ (26) dengan = kepadatan = medan kecepatan = aliran lalu lintas Persamaan (26) di atas disebut model LWR atau adveksi satu dimensi. Adveksi satu dimensi adalah perpindahan suatu benda yang tidak mempengaruhi bentuk atau massa dari benda tersebut. Pada model LWR, para pengemudi bereaksi terhadap kecepatan kendaraan mereka pada kepadatan sekitar, seperti tampak pada fungsi (27) Sedangkan fungsi (28)

57 38 dengan = flow rate, yaitu banyaknya kendaraan per satuan waktu yang melalui suatu fungsi posisi dalam suatu keadaan lalu lintas tertentu, sehingga fungsi menjadi x f ρ (29) Sesuai dengan observasi yang telah dilakukan sebelumnya, dapat diasumsikan bahwa hubungan kecepatan-kepadatan adalah suatu fungsi menurun t ( ) yang didefinisikan pada interval [ ] dengan : ρ : kecepatan maksimal ketika jalan sepi atau kosong : kecepatan berkurang hingga berhenti ketika kepadatan maksimal dan lalu lintas tersendat. Lalu flow rate adalah suatu fungsi yang bukan monoton dengan and di mana nilai kritis maksimum dari adalah ketika arus lalu lintas berjalan lancar dan lalu lintas tersendat yang ditunjukkan pada gambar 3.1 di bawah ini. μ ρ f ρ a b ρ max ρ σ ρ max Gambar 3.1 Fungsi medan kecepatan dan arus terhadap kepadatan, (a), (b) ρ

58 39 Masalah yang umum dipelajari untuk hukum konservasi dari bentuk adalah masalah Riemann mengenai metode penawaran dan permintaan (Daganzo, 1995) di mana kondisi ini dipengaruhi oleh dua variabel konstan yaitu: { (30) b. Model Jaringan Model LWR adalah model matematika yang digunakan untuk jalan tunggal yang searah, namun kali ini kita akan membahas tentang analisis lalu lintas yang padat pada jaringan jalan raya. Jaringan yang akan dibahas kali ini adalah sebuah pertigaan dengan dua arus masuk dan satu arus keluar yang tanpa batas. Kepadatan di setiap ruas menggunakan persamaan jalan tunggal LWR, yaitu { (31) Kondisi yang ada dapat digambarkan dalam persamaan i= f(ρ i t ) f ρ t t (32) Gambar 3.2 Sebuah jaringan sederhana Seperti model jalan tunggal yang telah dipelajari di atas adalah salah satu masalah Riemann mengenai metode permintaan dan penawaran yang kali ini diaplikasikan di jalan raya. Permintaan datang dari ruas jalur nomor 3 dan penawaran datang dari ruas jalur nomor 1 dan 2 (gambar 3.2). Masalah Riemann pada pertigaan, kita ambil sebagai kondisi awal dengan kepadatan konstan pada tiga ruas jalan: (33)

59 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40 Namun persamaan di atas tidak dapat menyajikan solusi yang tepat untuk masalah Riemann karena tampak tidak realistis. Lebih mudahnya, ambil yang selalu memiliki solusi matematika yang mungkin meskipun jelasjelas saling bertolak belakang (kecuali ada lampu merah saat akan memasuki jalan ketiga). c. Review ringkas dari beberapa model pertigaan Untuk mendeskripsikan solusi dari masalah Riemann pada pertigaan, diberikan kondisi inisial seperti persamaan (33) pada waktu, model tersebut juga mengekspresikan nilai dari kepadatan baru pada tepi pertigaan dalam waktu : Setelah memiliki nilai spesifik tentang kepadatan sebelum memasuki jalan ketiga, solusi dari masalah Riemann di pertigaan akan didasarkan pada masalah Riemann di jalan lain: { { (34) Karena gelombang dihasilkan pada jalan dengan arus keluar, maka menurut masalah Riemann pada pertigaan, kecepatannya bernilai negatif (karena tidak semua kendaraan serta merta masuk ke jalur selanjutnya) dan nilai terbatas pada [ ]. Hal ini juga berlaku pada jalan dengan arus masuk dengan, kecepatannya bernilai positif dan nilai terbatas pada [ ]. Pada jaringan sederhana yang direpresentasikan pada gambar 3.2, kondisi yang diakibatkan menghasilkan arus maksimal berupa i= f ρ i (35)

60 41 dengan, dan { (36) Jika, kita harus memberikan faktor prioritas ( ) antara arus yang akan memasuki lajur. Beberapa hal yang mungkin adalah: faktor prioritas bisa menjadi fungsi dari arus masuk faktor prioritas bisa bergantung pada koefisien yang sudah pasti tergantung dari keadaan geometris jalan = { Kemungkinan aliran yang melewati kemudian terbagi menjadi fungsi aliran masuk dari faktor prioritas yang telah ditemukan sebelumnya: { (37) Menurut Jin dan Zhang (2002), teorema berikut memperlihatkan perancangan kenyataan fraksi bebas tak terikat dari. Teorema 1. Misalkan dan adalah variabel bebas dari aliran masuk yang mensuplai sehingga persamaannya menjadi. Pembuktian. dan sehingga, kita mendapat (38)

61 42 Karena dan adalah variabel bebas dari, maka kita mendapat, serta kedua persamaan di atas harus menggunakan tanda d. Model Baru untuk Pertigaan Berdasarkan Jin dan Zhang (2002), dalam model LWR untuk setiap cabang, dinamika lalu lintas diatur oleh persamaan konservasi lalu lintas (39) dan hubungan kesetimbangan antara dan, disebut pula sebagai diagram mendasar yaitu (40) dengan adalah faktor yang tidak homogen, seperti karakteristik jalan (jumlah lajur pada ). Dari (39) dan (40), model LWR dapat diperoleh (41) di mana (dengan adalah kepadatan dalam kemacetan). Bila sehubungan dengan posisi, maka model LWR dikatakan homogen, namun jika sebaliknya maka model LWR dikatakan tidak homogen. Model LWR ini valid untuk berbagai jenis persimpangan. Untuk menyelesaikan persamaan (41), Jin dan Zhang menggunakan metode Godunov (Jin dan Zhang, 2002), di mana pada setiap jalur pada persimpangan dipartisi menjadi sel, dan ruang serta waktu dibuat menjadi bentuk diskret sesuai kaidah Courant-Friedrichs-Lewy (Courant et al., 1928) (CFL) sehingga kendaraan tidak diperkenankan untuk lewat suatu jalur pada suatu waktu tertentu. Asumsikan ruang dan waktu konstan, adalah rata-rata dari pada jalur pada waktu. Sedangkan dan adalah arus masuk dan arus

62 43 keluar dari jalur pada waktu ke, sehingga model LWR (41) bisa diaproksimasi menggunakan persamaan diferensiasi terbatas: (42) Persamaan (42) diselesaikan oleh Daganzo (1995) dan Lebacque (1996) dengan cara aliran yang melalui batas jalur adalah jumlah minimum dari pemasukan bagi jalur penerima dan keluaran dari jalur pengirim. Namun sebelum itu, kita harus mendeskripsikan variabel apa yang akan dipakai, seperti waktu yang akan dipakai adalah dari ke, kemudian pengirim adalah dan, sedangkan penerima adalah, serta berdasarkan konservasi lalu lintas,, sehingga fokus utama kita adalah untuk mengoptimasi masalah yang ada. max di mana dari persamaan di atas, kita dapat menemukan aliran totalnya q S i R (43) i=

63 44 e. Fenomena Penurunan Kapasitas Fenomena penurunan kapasitas mempunyai signifikansi ketika memperhatikan kestabilan dari strategi regulasi. Bagaimanapun juga, belum ada model yang bisa merepresentasikan fenomena penurunan kapasitas. Maka berdasarkan (Haut, dkk, 2005) disarankan untuk memaksimalkan ke sub daerah yang dibatasi oleh di mana: R R g S i i (44) 1) (jumlah dari aliran yang mengantri untuk memasuki ) 2) Fungsi mengekspresikan bahwa ketika terlalu banyak kendaraan yang mencoba untuk memasuki jalur yang sama, maka akan ada hambatan sehingga menyebabkan kapasitas dari jalur tersebut berkurang ( ) 3) min adalah suatu jaminan akan banyaknya kendaraan yang tersisa di subdaerah atau C. Siklus Kendaraan Lampu lalu lintas memainkan peran penting dalam infrastruktur di seluruh jalan, baik yang berada di perkotaan maupun di pedesaan. Pada pengaturan lalu lintas, hal yang berpengaruh pada kelancaran arus lalu lintas adalah jumlah kedatangan kendaraan, jumlah kendaraan yang mengantri, serta lamanya kendaraan pada persimpangan. Dalam satu siklus yaitu periode di mana lampu merah menyala sampai lampu hijau mati, diharapkan dapat mengatur kepadatan kendaraan di ruas jalan berikutnya, sesuai dengan kapasitas jalan yang dimiliki. Menurut Rouphail, Tarko & Li (2001), ada beberapa konsep yang harus diperhatikan saat terdapat antrian pada persimpangan lampu lalu lintas, yaitu: 1. Pada awal fase lampu hijau, seluruh kendaraan dalam antrian mulai bergerak meninggalkan antrian.

64 45 2. Adanya keseragaman dari pola rata-rata kedatangan kendaraan selama satu siklus. Pola kedatangan tidak bergantung terhadap waktu (stationary arrival pattern). 3. Adanya keseragaman dari pola keberangkatan kendaraan ketika meninggalkan antrian. 4. Kedatangan kendaraan tidak melebihi dari kapasitasnya yang ditentukan oleh batas maksimum jumlah kendaraan dalam antrian. Untuk memodelkan arus kendaraan di persimpangan lalu lintas, diasumsikan: 1. Pada persimpangan tidak ada jalur putar balik, karena dapat menimbulkan perbedaan distribusi kedatangan kendaraan. 2. Jika kendaraan sudah masuk ke dalam antrian, maka kendaraan tidak bisa keluar dari antrian. 3. Tidak memperhatikan percepatan dan perlambatan kendaraan saat membelok pada persimpangan atau terhenti karena lampu merah. 4. Tidak ada penambahan jumlah kendaraan selain dari jalur yang sudah ditetapkan. 5. Lebar jalan dari arah barat untuk Jalan Solo (sebelum pertigaan Janti) diasumsikan hanya 4 meter, sebab jalur tersebut juga digunakan untuk kendaraan yang akan masuk ke Jalan Janti, sedangkan fokusnya hanya kendaraan yang akan memasuki Jalan Solo (area Babarsari). 6. Perilaku pengguna jalan tidak dianggap/ tidak mempengaruhi. 7. Mengikuti disiplin antrian First Come First Serve (FCFS) yaitu setiap kendaraan yang datang lebih awal akan lebih awal pula. 8. Satu siklus hanya terdiri dari fase lampu merah dan hijau saja. Menurut Mc Neil (1968), beberapa faktor yang mempengaruhi waktu tunggu kendaraan dalam antrian, antara lain: 1. Lama waktu lampu merah menyala dinotasikan. 2. Lama durasi satu siklus dinotasikan.

65 46 3. Banyaknya kendaraan yang masuk ke dalam antrian pada waktu, dinotasikan. 4. Banyaknya kendaraan yang berada dalam antrian pada saat (panjang antrian) dinotasikan. Gambar 3.3. Proses antrian dalam satu siklus menurut Mc Neil (1968) Gambar 3.3 menunjukkan grafik banyaknya kendaraan dalam interval pada antrian di suatu persimpangan lampu lalu lintas yang dipengaruhi oleh waktu. Interval waktu dibagi menjadi dua fase yaitu fase lampu merah pada interval dan fase lampu hijau pada interval. Kendaraan yang datang memasuki persimpangan akan mengantri untuk melewati garis henti (pelayanan). Kendaraan dikatakan memasuki antrian apabila kendaraan tersebut sudah memasuki pendekat. Pendekat merupakan daerah dari lengan persimpangan jalan untuk kendaraan mengantri sebelum keluar melewati garis henti. Selanjutnya akan dijelaskan fase lampu merah dan fase lampu hijau sebagai berikut.

66 47 1. Fase Lampu Merah Pada fase lampu merah yaitu pada interval, saat, banyaknya kendaraan dalam antrian merupakan sisa antrian dari siklus sebelumnya yaitu. Selanjutnya, banyaknya kendaraan yang berada dalam antrian lalu lintas dinotasikan dengan. Fungsi akan bertambah secara bertahap berdasarkan penambahan dari kendaraan yang datang memasuki antrian. Sehingga bisa dituliskan: (45) dengan a. yaitu saat, banyaknya kendaraan dalam antrian di persimpangan lampu lalu lintas yang merupakan sisa antrian dari siklus sebelumnya. b. adalah banyaknya kedatangan kendaraan yang memasuki antrian di persimpangan lampu lalu lintas pada waktu. 2. Fase Lampu Hijau Pada fase lampu hijau yaitu pada interval saat seluruh kendaraan yang berada dalam antrian mulai bergerak meninggalkan antrian di persimpangan lampu lalu lintas. Pada fase lampu hijau, jumlah kendaraan yang meninggalkan antrian harus lebih banyak dibandingkan jumlah kendaraan yang masuk ke dalam antrian sehingga jumlah kendaraan dalam antrian akan terus berkurang hingga akhir fase lampu hijau. Pada akhir fase lampu hijau yaitu saat, diharapkan jumlah kendaraan yang tersisa di dalam antrian lampu lalu lintas tidak lebih banyak dari jumlah kendaraan sebelumnya, atau dengan kata lain. Banyaknya kendaraan yang melewati fase lampu hijau, tapi tidak melewati fase lampu merah disimbolkan dengan. Sehingga banyaknya kendaraan yang melewati satu siklus dapat dihitung sebagai (46)

67 48 dengan a. adalah banyaknya kendaraan dalam satu siklus. b. adalah banyaknya kendaraan yang berada pada fase lampu merah. c. adalah banyaknya kendaraan yang berada pada fase lampu hijau. Berdasarkan uraian di atas, model LWR bisa diterapkan di Indonesia karena sesuai dengan peraturan mengenai lalu lintas di Indonesia (MKJI, 1997) dan tidak melanggar aturan yang ada. Model LWR ini juga mudah untuk digunakan dalam kehidupan nyata, khususnya pada persimpangan jalan raya besar/ highway, baik pada simpang bersinyal maupun simpang tak bersinyal.

68 BAB IV SIMULASI DATA A. Jenis-Jenis Transportasi Menurut Khisty dan Lal (2003), arus kendaraan pada fasilitas-fasilitas transportasi secara umum dapat diklasifikasikan menjadi dua kategori: 1. Arus tak terhenti (uninterrupted flow) dapat terjadi pada fasilitas-fasilitas transportasi yang tidak mempunyai elemen-elemen tetap, seperti rambu lalu lintas, yang terletak di luar arus lalu lintas yang mengakibatkan berhentinya arus lalu lintas. Dengan demikian kondisi-kondisi arus lalu lintas adalah hasil dari interaksi antar kendaraan dan antara kendaraan dengan karakteristikkarakteristik geometris dari sistem jalan. Selain itu pengemudi kendaraan tidak perlu terpaksa untuk berhenti akibat factor eksternal arus lalu lintas. 2. Arus terhenti (interrupted flow) terjadi pada fasilitas transportasi yang mempunyai elemen-elemen tetap yang mengakibatkan pemberhentian secara periodik terhadap arus lalu lintas. Elemen-elemen ini meliputi rambu lalu lintas, rambu berhenti, dan berbagai rambu pengendali lainnya. Peralatanperalatan ini mengakibatkan lalu lintas berhenti (atau menjadi sangat lambat) secara periodic tidak peduli berapapun banyaknya lalu lintas yang ada. Dalam hal ini, pengemudi diperkirakan akan berhenti jika dan ketika diharuskan oleh elemen yang merupakan bagian dari fasilitas tersebut. 49

69 50 Jenis - Jenis Fasilitas Transportasi Arus tak terhenti Arus terhenti Jalan tol Jalan raya dengan lampu lalu lintas Jalan raya multi lajur Jalan raya tanpa lampu lalu lintas dengan rambu berhenti Jalan raya dua lajur Jalan arteri Transit Jalur pejalan kaki Jalur sepeda Tabel 4.1 Jenis-Jenis Fasilitas Transportasi Sedangkan jenis-jenis transportasi dapat diklasifikasikan sebagai berikut: a. Transportasi darat, yang meliputi becak, motor, mobil, bus, kereta dll. b. Transportasi laut, yang meliputi perahu, kapal, dll. c. Transportasi udara, yang meliputi balon terbang, pesawat, helikopter, dll. Dalam penelitian ini, yang akan dibahas adalah transportasi darat yang menggunakan motor, yaitu motor, mobil, dan bus/ truk. Yang dimaksud dengan motor adalah kendaraan roda dua bermotor. Sedangkan mobil adalah kendaraan roda empat bermotor yang meliputi kendaraan pribadi, mobil box, van, ambulance, dan pick up. Lalu yang dimaksud dengan bus/truk adalah bus mini, bus pariwisata, Trans Yogyakarta, truk engkel, dan colt diesel. B. Sistem Pengontrolan Lalu Lintas Menurut Ahmad Munawar (2004), sistem pengontrolan lalu lintas merupakan pengaturan lalu lintas yang berupa perintah atau larangan. Perintah atau larangan tersebut dapat berupa lampu lalu lintas, rambu-rambu lalu lintas, atau marka jalan. Sistem pengontrolan lalu lintas meliputi: 1. Pada jalan asuk atau keluar dari persimpangan a. Jalan satu arah Jalan hanya diperbolehkan untuk arus lalu lintas satu arah saja, arah yang sebaliknya menggunakan jalan yang paralel di dekatnya.

70 51 b. Ke kiri boleh terus pada lampu merah Pada persimpangan, dibuat jalur khusus untuk ke kiri yang terpisah, sehingga arus lalu lintas yang ke kiri terpisah, sehingga arus lalu lintas yang ke kiri dapat berbelok tanpa mengganggu arus lalu lintas yang lurus ataupun yang ke kanan. c. Larangan belok Untuk mengurangi konflik yang mungkin terjadi dengan arus lalu lintas dari arah yang lain, kendaraan tidak boleh belok. Akan tetapi, harus ada jalan alternatif bagi kendaraan yang menuju ke kanan atau ke kiri. d. Jalan hanya khusus untuk penduduk di daerah tersebut. Ini biasa dilakukan pada jalan-jalan di daerah pemukiman padat penduduk. 2. Penggunaan jalur a. Jalur yang dapat dibalik arah Ini dilakukan pada jalur-jalur yang pada waktu pagi hari mempunyai arus lalu lintas yang tinggi pada salah satu arah, sedangkan pada siang/sore hari mempunyai arus lalu lintas yang tinggi pada arah yang berlawanan. b. Jalur khusus untuk angkutan umum Jalur ini dibuat agar angkutan umum dapat lebih cepat dari kendaraan pribadi, sehingga dapat mempertinggi daya tarik angkutan umum. 3. Kecepatan kendaraan Pembatasan kecepatan akan berpengaruh terhadap kapasitas maupun keamanan jalan. C. Hal-hal yang mempengaruhi kapasitas simpang bersinyal Menurut Ahmad Anwar (2004), hal-hal yang turut mempengaruhi kapasitas simpang bersinyal antara lain:

71 52 1. Waktu Siklus Salah satu cara yang paling mudah untuk meningkatkan kapasitas simpang adalah dengan cara menaikkan waktu siklus. Semakin tinggi waktu siklus, akan semakin tinggi kapasitas simpang, tetapi juga akan semakin tinggi antrian dan tundaan yang terjadi. Di Indonesia, menurut Manual Kapasitas Jalan Indonesia (MKJI) 1997, waktu siklus maksimal sebesar 130 detik. Angka ini diambil untuk menghindari tundaan dan panjang antrian yang tinggi. Walaupun demikian, untuk kota-kota dengan kemacetan tinggi seperti Jakarta, waktu siklus dapat diambil lebih dari 130 detik guna menaikkan kapasitas simpang. Sedangkan waktu siklus yang terlalu kecil menyebabkan kapasitas simpang menjadi sangat rendah. 2. Fase Perlu dilakukan percobaan untuk menetapkan pola fase yang paling efisien. Semakin sedikit fase yang digunakan, semakin tinggi kapasitas simpang tersebut, tetapi semakin besar kemungkinan konflik yang dapat terjadi (dapat menimbulkan kecelakaan). Biasanya digunakan antara 2 sampai dengan 4 fase. Siklus 2 fase sering digunakan dengan disertai early cut off (pemotongan awal) atau late start (awal yang terlambat) yaitu pada suatu fase, arus lalu lintas pada salah satu lajur dihentikan lebih dahulu, atau dimulai agak terlambat yaitu pada suatu fase, arus lalu lintas pada salah satu lajur dihentikan lebih dahulu, atau dimulai agak terlambat dibandingkan dengan arus lalu lintas pada lajur yang lain. 3. Waktu antar hijau Kapasitas juga tergantung pada waktu antar hijau, guna menjamin kendaraan yang melewati simpang pada saat detik akhir hijau, agar tidak tertabrak kendaraan yang mendapat fase hijau berikutnya. Sedapat mungkin nilai waktu antar hijau ini minimum dengan membuat garis henti sedekat mungkin dekat pusat simpang.

72 53 D. Pengolahan Data Menggunakan Matlab Berdasarkan uraian pada bab pembahasan dan menyesuaikan dengan kriteria jalan yang cocok untuk diteliti menggunakan model LWR, maka dipilihlah pertigaan Janti. Alasannya yaitu di sana terdapat dua arus masuk (input) dan 1 arus keluar (output), merupakan jalan raya besar dan padat (highway), serta model LWR bisa digunakan pada simpang bersinyal maupun tak bersinyal. Asumsi yang digunakan pada penelitian ini adalah tidak adanya kendaraan yang berputar arah/ putar balik, tidak ada kendaraan yang menerobos di trotoar, dan tidak ada kendaraan yang mogok. Berikut ini adalah peta dari pertigaan Janti yang diteliti. Sumber: Google Earth Gambar 4.1 Peta Pertigaan Janti

73 54 Pada penelitian ini akan difokuskan pada pertigaan Jalan Janti, tepatnya pada ruas jalan sepanjang 200 m dari arah barat (Jalan Solo), 100 m dari arah Selatan (Jalan Janti), serta 300 m ke arah timur (Jalan Solo). Penelitian ini dilakukan dengan perhitungan jumlah kendaraan yang berada pada setiap jalan pada jam-jam tertentu di setiap lampu lalu lintas. Jam yang dimaksud adalah pada jam lengang yaitu pukul dan jam sibuk yaitu pukul

74 55 1. Banyak kendaraan pada jalan ke arah timur pada pukul Gambar 4.2 Grafik banyak kendaraan pada jalan ke arah timur pada pukul Gambar 4.2 menunjukkan banyaknya kendaraan per siklus pada ruas jalan sepanjang 300 meter ke arah timur (Jalan Solo) pada pukul (pagi hari). Siklus yang dimaksud di sini adalah satu putaran siklus (67 detik) yang terdiri dari fase lampu merah dan fase lampu hijau. Garis berwarna ungu, biru, dan hijau masing-masing menunjukkan banyaknya motor, mobil, dan bus/truk yang melintas dalam kurun waktu tersebut. Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 300 m. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

75 56 2. Banyak kendaraan pada jalan dari arah Janti pada pukul Gambar 4.3 Grafik banyak kendaraan pada jalan dari arah Janti pada pukul Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu lintas. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

76 57 3. Banyak kendaraan pada jalan dari arah barat pada pukul Gambar 4.4 Grafik banyak kendaraan pada jalan dari arah barat pada pukul Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu lintas. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 4 m.

77 58 4. Banyak kendaraan ke arah timur pada pukul Gambar 4.5 Grafik banyak kendaraan ke arah timur pada pukul Gambar 4.5 menunjukkan banyaknya kendaraan per siklus pada ruas jalan sepanjang 300 meter ke arah timur Jalan Solo pada pukul (sore hari). Siklus yang dimaksud di sini adalah satu putaran siklus (67 detik) yang terdiri dari fase lampu merah dan fase lampu hijau. Garis berwarna ungu, biru, dan hijau masing-masing menunjukkan banyaknya motor, mobil, dan bus/truk yang melintas dalam kurun waktu tersebut. Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 300 m. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

78 59 5. Banyak kendaraan dari arah Janti pada pukul Gambar 4.6 Grafik banyak kendaraan dari arah Janti pada pukul Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu lintas.. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

79 60 6. Banyak kendaraan dari arah barat pada pukul Gambar 4.7 Grafik banyak kendaraan dari arah barat pada pukul Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 200 m pada antrian lampu lalu lintas.. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 4 m.

80 61 7. Perbandingan jumlah kendaraan ke arah timur pada pukul dan Gambar 4.8 Grafik perbandingan jumlah kendaraan ke arah timur pada pukul dan Gambar 4.8 menunjukkan banyaknya kendaraan per siklus pada ruas jalan sepanjang 300 meter ke arah timur Jalan Solo. Garis berwarna biru menunjukkan banyaknya kendaraan yang melintas pada pukul (pagi hari), sedangkan garis berwarna merah menunjukkan banyaknya kendaraan yang melintas pada pukul (sore hari). Siklus yang dimaksud di sini adalah satu putaran siklus (67 detik) yang terdiri dari fase lampu merah dan fase lampu hijau. Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 300 m. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

81 62 8. Perbandingan jumlah kendaraan dari arah Janti pada pukul dan Gambar 4.9 Grafik perbandingan jumlah kendaraan dari arah Janti pada pukul dan Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu lintas.. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 6 m.

82 63 9. Perbandingan jumlah kendaraan dari arah barat pada pukul dan Gambar 4.10 Grafik perbandingan jumlah kendaraan dari arah barat pada pukul dan Keterangan: 1. Saat pagi hari, panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu lintas. Sedangkan saat sore hari, panjang jalan yang diamati adalah maksimal 200 m pada antrian lampu lalu lintas.. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 4 m.

83 Kepadatan kendaraan ke arah timur pada pukul dan Gambar 4.11 Grafik kepadatan kendaraan ke arah timur pada pukul dan Gambar 4.11 menunjukkan kepadatan kendaraan per siklus pada ruas jalan sepanjang 300 meter ke arah timur Jalan Solo. Garis berwarna hijau menunjukkan kepadatan kendaraan yang melintas pada pukul (pagi hari), sedangkan garis berwarna biru menunjukkan banyaknya kendaraan yang melintas pada pukul (sore hari). Siklus yang dimaksud di sini adalah satu putaran siklus (67 detik) yang terdiri dari fase lampu merah dan fase lampu hijau. Keterangan: 1. Perilaku pengendara tidak dipedulikan. 2. Panjang jalan yang diamati adalah 300 m. 3. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

84 Kepadatan kendaraan dari arah Janti pada pukul dan Gambar 4.12 Grafik epadatan kendaraan dari arah Janti pada pukul dan Keterangan: 1. Perilaku pengendara tidak dipedulikan. 2. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu lintas.. 3. Nilai dianggap, dan nilai dianggap 4. Ada 15 kendaraan yang tidak terkena lampu merah dan hanya melewati lampu hijau saja. 5. Lebar jalan yang diamati adalah 6 m.

85 Kepadatan kendaraan dari arah barat pada pukul dan Gambar 4.13 Grafik kepadatan kendaraan dari arah barat pada pukul dan Keterangan: 1. Perilaku pengendara tidak dipedulikan. 2. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 200 m pada antrian lampu lalu lintas. 3. Lebar jalan yang diamati adalah 4 m. 4. Nilai dianggap, dan nilai dianggap 5. Ada 15 kendaraan yang tidak terkena lampu merah dan hanya melewati lampu hijau saja.

86 Aliran/ arus kendaraan ke arah timur pada pukul dan Gambar 4.14 Grafik aliran/ arus kendaraan ke arah timur pada pukul dan Gambar 4.14 menunjukkan aliran/ arus kendaraan per siklus pada ruas jalan sepanjang 300 meter ke arah timur Jalan Solo. Garis berwarna hijau menunjukkan aliran/ arus kendaraan yang melintas pada pukul (pagi hari), sedangkan garis berwarna merah menunjukkan aliran/ arus kendaraan yang melintas pada pukul (sore hari). Siklus yang dimaksud di sini adalah satu putaran siklus (67 detik) yang terdiri dari fase lampu merah dan fase lampu hijau.

87 68 Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah 300 m. 2. Lebar jalan adalah 7,5 m. 3. Kecepatan motor adalah 4. Kecepatan mobil adalah Kecepatan bus/ truk adalah 10

88 Aliran/ arus kendaraan dari arah Janti pada pukul dan Gambar 4.15 Grafik aliran/ arus kendaraan dari arah Janti pada pukul dan Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah 100 m pada antrian lampu lalu lintas. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 6 m. 3. Kecepatan motor adalah 4. Kecepatan mobil adalah Kecepatan bus/ truk adalah Ada 13 motor yang hanya melewati fase lampu hijau. 7. Ada 2 mobil yang hanya melewati fase lampu hijau.

89 Aliran/ arus kendaraan dari arah barat pada pukul dan Gambar 4.16 Grafik aliran/ arus kendaraan dari arah barat pada pukul dan Keterangan: 1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 200 m pada antrian lampu lalu lintas. 2. Lebar jalan yang diamati adalah 4 m. 3. Kecepatan motor adalah 4. Kecepatan mobil adalah Kecepatan bus/ truk adalah Ada 13 motor yang hanya melewati fase lampu hijau. 7. Ada 2 mobil yang hanya melewati fase lampu hijau.

90 71 E. Visualisasi Data 1. Menentukan rata-rata arus lalu lintas Pada pertigaan Janti, lamanya lampu lalu lintas dari warna merah hingga hijau adalah 67 detik, sehingga satu fasenya bernilai 67 detik. Kemudian menentukan rata-rata jumlah kendaraan per fase, dengan cara. di mana adalah rata-rata jumlah kendaraan per fase, sedangkan adalah banyaknya kendaraan yang lewat. Penelitian dilakukan pada pukul (pagi hari) dan (sore hari). Rata-rata jumlah kendaraan per fase dapat dilihat pada tabel 4.1 berikut: Dari arah Janti Dari arah barat Ke arah timur Pagi Sore Tabel 4.2 Rata-rata jumlah kendaraan per fase Kemudian, karena 1 fase terdiri dari 67 detik, maka hasilnya menjadi Dari arah Janti Dari arah barat Ke arah timur Pagi Sore Tabel 4.3 Rata-rata arus/ aliran kendaraan per fase 2. Menentukan Kapasitas Jalan Untuk menentukan kapasitas jalan, diasumsikan: a. Semua kendaraan adalah sejenis, dengan panjang kendaraan 1,5 m, dan lebar kendaraan 2 m, sehingga luasnya 3 m 2.

91 72 b. Panjang jalan yang diamati adalah 100 m dari arah selatan (Jalan Janti) dengan lebar jalan 6 m, 200 m dari arah barat (Jalan Solo) dengan lebar jalan 4 m, serta 300 m ke arah timur (Jalan Solo) dengan lebar jalan 7,5 m. Kapasitas jalan dapat dihitung melalui: Kapasitas jalan = Maka dapat diketahui Kapasitas jalan dari arah selatan (Jalan Janti) = Kapasitas jalan dari arah barat (Jalan Solo) = Kapasitas jalan dari arah selatan (Jalan Janti) = kendaraan. kendaraan. kendaraan. Menurut Manual Kapasitas Jalan Indonesia (MKJI, 1997), kapasitas jalan dibagi menjadi tiga kategori yaitu lengang, sedang, dan padat dengan konsentrasi maksimum masing-masing dari total kapasitas kendaraan yang dapat ditampung dalam radius tertentu. Simbol pewarnaannya adalah hijau/ green untuk lengang, kuning/ yellow untuk sedang, dan merah/ red untuk padat. Pembagian kapasitas jalan tampak pada tabel di 4.3 berikut. Jalan Janti (dari arah selatan) Jalan Solo (dari arah barat) Jalan Solo (ke arah timur) Hijau/ Green Kuning/ Yellow Merah/ Red Total Tabel 4.3 Kapasitas jalan pada masing-masing ruas jalan Tabel 4.3 menjelaskan bahwa total kapasitas jalan pada masing-masing ruas, seperti Jalan Janti adalah 200 kendaraan, sedangkan total kapasitas Jalan Solo (dari arah barat) ada 267 kendaraan, dan total kapasitas Jalan Solo (ke arah timur)

92 73 ada 250 kendaraan. Lalu cara menghitung apakah sudah termasuk kategori hijau, kuning, atau merah, adalah dengan cara: Jalan Janti (daerah selatan) = Hijau =, artinya ruas jalan tersebut masih dalam kategori hijau jika ada 0-67 kendaraan yang berada di sana. Kuning =, artinya ruas jalan tersebut masih dalam kategori kuning jika ada kendaraan yang berada di sana. Merah =, artinya ruas jalan tersebut dalam kategori merah jika ada kendaraan yang berada di sana. Begitu pula dengan ruas jalan yang lain, dengan menggunakan rumus yang sama, maka didapat hasil seperti yang tertera pada tabel Saat Kemacetan Terjadi Kemacetan terjadi jika sebuah ruas jalan sudah mencapai kategori merah, yaitu mengalami kepadatan tinggi hingga kepadatan puncak (kendaraan sudah tidak dapat berpindah tempat sama sekali). Untuk mengetahui pada detik ke berapa kemacetan terjadi, maka diperlukan asumsi yaitu: a. Tidak ada lampu lalu lintas, sehingga sebuah fase terdiri dari 67 detik lampu hijau saja, lampu merah tidak dipedulikan. b. Untuk mempermudah penghitungan, perhitungan dilakukan pada detik kelipatan dua atau bilangan genap saja. Perhitungan dilakukan menggunakan aplikasi Matlab sebagai berikut: a. Saat pagi hari Berikut ini adalah m-file tentang keadaan pada sore hari jika tanpa lampu lalu lintas:

93 74 disp('keadaan pada pagi hari jika tanpa lampu lalu lintas'); det=2; s1=1; s2=2; r3=2; sel=s1+s2-r3; kap=750; disp('detik ke- Masukan 1 Masukan 2 Keluaran 3 Selisih Kategori'); disp([num2str(det),' ', num2str(s1),' ', num2str(s2),' ', num2str(r3), ' ', num2str(sel),' Green']); while (sel<kap) det=det+2; s1=1+s1; s2=2+s2; r3=2+r3; sel=s1+s2-r3; if sel<251 disp([num2str(det),' ', num2str(s2),' ', num2str(sel),' ', num2str(s1),' ', num2str(r3), ' Green']); elseif (sel>=251)&&(sel<501) disp([num2str(det),' ', num2str(s1),' ', num2str(s2),' ', num2str(r3), ' ', num2str(sel),' Yellow']); else disp([num2str(det),' ', num2str(s1),' ', num2str(s2),' ', num2str(r3), ' ', num2str(sel),' Red']); end; end; disp('jadi ada kemacetan parah pada detik ke-: ');det hasilnya tampak pada gambar 4.17 di bawah ini.

94 75 Gambar 4.17 Hasil dari keadaan lalu lintas pada pagi hari jika tanpa lampu lalu lintas Dari gambar 4.17, kolom pertama adalah detik ke-i, kolom kedua adalah masukan 1, kolom ketiga adalah masukan 2, kolom keempat adalah keluaran 3, kolom kelima adalah selisih, dan kolom keenam adalah kategori (berdasarkan kapasitas jalan). Sedangkan kategori dibagi menjadi tiga yaitu hijau/ green yang menandakan bahwa lalu lintas sepi, kuning/ yellow yang menandakan lalu lintas agak padat/ sedang, dan merah/ red yang menandakan bahwa lalu lintas macet. Dari perhitungan di atas, tampak kemacetan total akan terjadi pada detik ke-1500, atau pada menit ke-25. Penelitian dimulai pukul 08.45, sehingga kemacetan terjadi mulai pukul b. Saat sore hari Berikut ini adalah m-file tentang keadaan pada sore hari jika tanpa lampu lalu lintas: disp('keadaan pada sore hari jika tanpa lampu lalu lintas');

95 76 det=2; s1=1; s2=4; r3=3; sel=s1+s2-r3; kap=750; disp('detik ke- Masukan 1 Masukan 2 Keluaran 3 Selisih Kategori'); disp([num2str(det),' ', num2str(s1),' ', num2str(s2),' ', num2str(r3), ' ', num2str(sel),' Green']); while (sel<kap) det=2+det; s1=1+s1; s2=4+s2; r3=3+r3; sel=s1+s2-r3; if sel<251 disp([num2str(det),' ', num2str(s2),' ', num2str(sel),' ', num2str(s1),' ', num2str(r3), ' Green']); elseif (sel>=251)&&(sel<501) disp([num2str(det),' ', num2str(s1),' ', num2str(s2),' ', num2str(r3), ' ', num2str(sel),' Yellow']); else disp([num2str(det),' ', num2str(s1),' ', num2str(s2),' ', num2str(r3), ' ', num2str(sel),' Red']); end; end; disp('jadi ada kemacetan parah pada detik ke-: ');det hasilnya tampak pada gambar 4.18 di bawah ini.

96 77 Gambar 4.18 Hasil dari keadaan lalu lintas pada sore hari jika tanpa lampu lalu lintas. Dari gambar 4.18, kolom pertama adalah detik ke-i, kolom kedua adalah masukan 1, kolom ketiga adalah masukan 2, kolom keempat adalah keluaran 3, kolom kelima adalah selisih, dan kolom keenam adalah kategori (berdasarkan kapasitas jalan). Sedangkan kategori dibagi menjadi tiga yaitu hijau/ green yang menandakan bahwa lalu lintas sepi, kuning/ yellow yang menandakan lalu lintas agak padat/ sedang, dan merah/ red yang menandakan bahwa lalu lintas macet.dari perhitungan di atas, tampak kemacetan total akan terjadi pada detik ke-750, atau pada menit ke-12, detik ke-30. Penelitian dimulai pada pukul 16.30, sehingga kemacetan akan terjadi mulai pukul Penggunaan Fuzzy Logic pada Matlab Salah satu visualisasi data yang bisa dan mudah digunakan adalah penggunaan fuzzy interference system (FIS) pada Matlab. Sistem fuzzy atau logika fuzzy adalah salah satu bahasan soft computing yang memiliki karakteristik dan keunggulan dalam menangani permasalahan yang bersifat ketidakpastian dan

97 78 kebenaran parsial. Logika fuzzy merupakan pengembangan dari logika boolean yang hanya memiliki nilai true (1) atau false (0). Pada penelitian ini, fuzzy logic yang digunakan menggunakan dua input dan satu output. Masing-masing input serta output dibagi lagi menjadi tiga bagian lagi menurut kapasitas jalan masingmasing (seperti pada tabel 4.3). Aturan yang diterapkan pada penelitian ini menggunakan fuzzy logic: a. Jika input 1 berupa kategori hijau dan input 2 berupa kategori hijau, maka output berupa kategori hijau. b. Jika input 1 berupa kategori kuning dan input 2 berupa kategori hijau, maka output berupa kategori hijau. c. Jika input 1 berupa kategori kuning dan input 2 berupa kategori kuning, maka output berupa kategori kuning. d. Jika input 1 berupa kategori merah dan input 2 berupa kategori kuning, maka output berupa kategori kuning. e. Jika input 1 berupa kategori merah dan input 2 berupa kategori merah, maka output berupa kategori merah.

98 79 Hasil Perhitungan Menggunakan Fuzzy Logic Gambar 4.19 Hasil perhitungan menggunakan fuzzy logic Penjelasan: a. Input selalu berwarna kuning, output selalu berwarna biru. b. Nomor yang berada di kiri menunjukkan banyaknya aturan yang diterapkan pada fuzzy logic ini. c. Jika salah satu kategori terpenuhi, maka kategori yang terpenuhi tersebut memiliki warna (kuning yang melambangkan input dan biru yang melambangkan output). d. Hasil akhir ditunjukkan pada baris terakhir di kolom paling kanan.

99 80 Contoh kasus: Input 1 termasuk kategori merah, input 2 termasuk kategori kuning. Gambar 4.20 Contoh kasus mengenai fuzzy logic Penjelasan: Input 1 bernilai 190 yang termasuk kategori merah, input 2 bernilai 150 yang termasuk kategori kuning, maka menurut aturan fuzzy logic di atas yang berbunyi: Jika input 1 berupa kategori merah dan input 2 berupa kategori kuning, maka output berupa kategori kuning. Output menunjukkan angka 375, yang termasuk dalam kategori kuning. Atau kita bisa lihat dari warna yang tampak, untuk kondisi input 1 dan input 2 yang memenuhi semuanya terletak pada nomor 4, sehingga yang dipakai adalah aturan ke-4 yang berbunyi: Jika input 1 berupa kategori merah dan input 2 berupa kategori kuning, maka output berupa kategori kuning.

100 81 Untuk visualisasi secara 3-D bisa dilihat pada gambar di bawah ini. Gambar 4.21 Visualisasi 3-D dari fuzzy logic pada gambar 4.17 Fuzzy Interference System (FIS) adalah suatu perangkat yang disediakan oleh Matlab untuk membuat suatu visualisasi.fis mempunyai dua jenis, yaitu FIS Mamdani dan FIS Sugeno. FIS Mamdani diperuntukkan bagi input dan output yang berbentuk integer, sedangkan FIS Sugeno diperuntukkan bagi input yang berbentuk integer dan ouput yang berbentuk fungsi. Pada penelitian ini, jenis FIS yang digunakan adalah bentuk Mamdani. Karena input dan outputnya berbentuk integer. Gambar 4.19 merupakan visualisasi yang dihasilkan berdasarkan aturan/ rules yang ada dan ditampilkan berupa suatu daerah tertentu (dalam dimensi 2), sedangkan gambar 4.21 merupakan visualisasi dalam bentuk dimensi 3 atau hanya permukaannya saja. Pada gambar 4.21, daerah yang berwarna hijau adalah daerah yang terkena rules, atau disebut daerah benar (bernilai 1), sedangkan daerah yang berwarna biru

101 82 adalah daerah yang tidak terkena rules.lalu daerah yang berwarna kuning merupakan daerah benar yang terluar dari nilai yang sudah ditetapkan. Berdasarkan rumusan masalah yang akan diselesaikan, maka dilakukan analisis dan visualisasi data dari pengamatan yang sudah dilakukan, maka hasilnya model matematika khususnya model Lighthill-Richard-Whitham (LWR) bisa diterapkan di Indonesia, khususnya pada pertigaan Janti, dengan beberapa asumsi yang sudah dijelaskan.visualisasi dilakukan dengan menggunakan FIS jenis Mamdani dengan beberapa aturan/ rules yang sudah dijelaskan sebelumnya.

102 BAB V PENUTUP A. KESIMPULAN Penelitian ini termasuk salah satu traffic flow modelling. Model yang digunakan pada penelitian ini adalah model yang dikembangkan oleh Lighthill-Whitham-Richards yang biasa disebut model LWR dengan beberapa asumsi yang disesuaikan dengan kondisi lalu lintas di Indonesia. Berdasarkan hasil dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa: 1. Model LWR yang digunakan pada penelitian ini adalah ( ) ( ). Kemudian dengan pendekatan numeris, didapat sebuah persamaan yang bisa diterapkan langsung pada pertigaan Janti dengan 2 input dan 1 output berupa =.di mana merupakan banyaknya kendaraan yang masuk (input), serta yaitu banyaknya kendaraan yang keluar (output). Setelah dilakukan perhitungan, diketahui kepadatan akan mencapai puncak pada pukul dan Visualisasi data dilakukan menggunakan fuzzy logic interference. 83

103 84 Dari visualisasi tersebut tampak bahwa kemacetan akan terjadi pada saat kepadatan sedang hingga kepadatan puncak. Daerah yang berwarna kuning adalah input dan daerah berwarna biru adalah output. 3. Relevansi penelitian ini dengan masyarakat Yogyakarta dan sekitarnya adalah guna memberitahu pengguna jalan bahwa akan terjadi kemacetan pada pukul dan pukul sehingga disarankan untuk tidak melewati pertigaan Janti atau memutar arah lewat jalan lain yang relatif lebih lengang pada waktu-waktu tersebut supaya mengurangi jumlah kendaraan yang masuk ke daerah pertigaan Janti serta adanya sistem pengontrolan lamanya lampu hijau pada lampu lalu lintas otomatis yang akan disesuaikan dengan kondisi kepadatan pada waktu tersebut. B. SARAN Penulis menyadari masih banyak kekurangan yang ada pada penelitian ini. Saran untuk penelitian lebih lanjut adalah menganalisis model LWR secara analitik, serta penerapannya pada lalu lintas di Indonesia. Asumsi-asumsi yang akan dibuat selanjutnya juga sebisa mungkin lebih disederhanakan supaya hasil yang dicapai lebih memuaskan lebih akurat. Model yang akan dibuat selanjutnya bisa menggunakan model simulasi yang telah dibuat pada penelitian kali ini, namun perlu ditambahkan proses selanjutnya sehingga simulasi sistem transportasi tingkat tinggi pada pertigaan Janti bisa lebih tertata dan mewakili kondisi lalu lintas yang real. Kemudian membuat model untuk pengatur lampu lalu lintas otomatis sehingga jika kepadatan sudah hampir mencapai maksimum, lampu merah bisa diatur sedemikian rupa dan disesuaikan dengan kepadatan yang sedang terjadi. Hal itu membantu untuk meminimalisir kemacetan lalu lintas yang terjadi pada pertigaan Janti terutama pada waktu sibuk atau saat kepadatan mencapai puncaknya.

104 DAFTAR PUSTAKA Burghes, D.N. dan M.S. Borrie Modelling with Differential Equations. West Sussex: Ellis Horwood Limited. Coleman, Matthew P An Introduction to Partial Differential Equations with Matlab. Florida: Chapman & Hall. Daganzo, Carlos F The Cell Transmission Model Part ii: Network Traffic. Transportation Research Part B, 29(2): Direktorat Jenderal Bina Marga Direktorat Bina Jalan Kota Republik Indonesia Manual Kapasitas Jalan Indonesia (MKJI). Jakarta: Direktorat Jenderal Bina Marga Republik Indonesia. Haberman, Richard Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population Dynamics, and Traffic Flow. New Jersey: Prentice-Hall, Inc. Haut, Bastin, and Chitour A Macroscopic Traffic Model for Road Networks with a Rrepresentationof the Capacity Drop Phenomenon at the Junctions. IFAC. Holden, H. and Risebro, N.H A Mathematical Model of Traffic Flow on a Network of Unidirectional Roads. SIAM J. MATH. ANAL., 26(4): Hoppner, Frank, dkk Fuzzy Cluster Analysis: Methods for Classification, Data Analysis, and Image Recognition. New York: John Wiley & Sons, Ltd. Hunt, Brian, dkk Differential Equations with Matlab. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Iswanto, Ripno Juli Pemodelan Matematika: Aplikasi dan Terapannya. Yogyakarta: Graha Ilmu. Jin, W. L. and Zhang H. M On the Distribution Schemes for Determining Flows through a Merge. Khisty, C. Jotin dan B. Kent Lall Dasar-Dasar Rekayasa Transportasi Jilid 1 (Ed. 3). Jakarta: Erlangga. Lebacque, J.P The Godunov Scheme and What it Means for First Order 85

105 86 Traffic Flow Models. In theinternational Symposium on Transportation and Traffic Theory, Lyon, France. Lebacque, J.P. and Khoshyaran, M.M A Variational Formulation for Higher Order Macroscopic Traffic Flow Models of the GSOM Family. Procedia - Social and Behavioral Sciences 80: Lee, Kwang H First Course on Fuzzy Theory and Applications. New York: Springer-Verlag. Lighthill, M.J. and Whitham, G. B., On Kinematic Waves II. A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads. Proc. Roy. Soc. A, 229, (1955) Martin, Braun Differential Equations and Their Applications. New York: Springer-Verlag. Mesterton, Mike dan Gibbons A Concrete Approach to Mathematical Modelling. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Munawar, Ahmad Manajemen Lalu Lintas Perkotaan. Yogyakarta: Beta Offset. Preparata, Franco P Analysis of Traffic Flow on a Signalized One-Way Artery, Transportation Science 6, Riana, Mita Model Antrian Waktu Tunggu Kendaraan di Persimpangan Lampu Lalu Lintas Condong Catur dengan Compound Poisson Arrivals dan Memperhatikan Sisa Antrian Sebelumnya (Skripsi). Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta. Richards, P.L Shock Waves on the Highway. Operations Researches 4, Sridadi, Bambang Pemodelan dan Simulasi Sistem: Teori, Aplikasi, dan Contoh Program dalam Bahasa C. Bandung: Informatika. Tamin, Ofyar Z Perencanaan dan Pemodelan Transportasi. Bandung: ITB. Thomson, J. M. (1967). Speeds and Flows of Traffic in Central London: 1. Sunday Traffic Survey. Traffic Engineering and Control.Vol. 8, No. 11. Tiwari, Hemant and Anil Marsani. Calibration of Conventional Macroscopic Traffic Flow Models for Nepalese Roads:(A Case Study of Jadibuti -

106 87 Suryabinayak Section). Department of Transportation Engineering, Central Campus, Pulchowk, IOE. Widowati dan Sutimin Buku Ajar Pemodelan Matematika. Semarang: Jurusan Matematika Universias Diponegoro Semarang.

107 LAMPIRAN Sumber: Google Earth Lamp 1. Peta daerah yang akan diteliti dari arah selatan/ Janti (100 m) 88

108 89 Sumber: Google Earth Lamp 2. Peta daerah yang akan diteliti dari arah barat/ Jalan Solo (200 m)

109 90 Sumber: Google Earth Lamp 3. Peta daerah yang akan diteliti ke arah timur/ Jalan Solo (300 m)

110 91 Lamp 4. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada jalan ke arah timur pada pukul

111 92 Lamp 5. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada jalan dari arah Janti pada pukul

112 93 Lamp 6. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada jalan dari arah barat pada pukul

113 94 Lamp 7. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan ke arah timur pada pukul

114 95 Lamp 8. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan dari arah Janti pada pukul

115 96 Lamp 9. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan dari arah barat pada pukul

116 97 Lamp 10. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah kendaraan ke arah timur pada pukul dan

117 98 Lamp 11. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah kendaraan dari arah Janti pada pukul dan

118 99 Lamp 12. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah kendaraan dari arah barat pada pukul dan

119 100 Lamp 13. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan ke arah timur pada pukul dan

120 101 Lamp 14. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan dari arah Janti pada pukul dan

121 102 Lamp 15. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan dari arah barat pada pukul dan

122 103 Lamp 16. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan ke arah timur pada pukul dan

123 104

124 105 Lamp 17. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan dari arah Janti pada pukul dan

125 106