ESTIMATOR CAMPURAN KERNEL DAN DERET FOURIER DALAM REGRESI NONPARAMETRIK (Studi Kasus: Pemodelan Persentase Penduduk Miskin di Indonesia)

Transkripsi

1 TESIS SS14501 ESTIMATOR CAMPURAN KERNEL DAN DERET FOURIER DALAM REGRESI NONPARAMETRIK (Studi Kasus: Pemodelan Persentase Penduduk Miskin di Indonesia) NGIZATUL AFIFAH NRP DOSEN PEMBIMBING : Dr. Drs. I Nyoman Latra, MS Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si PROGRAM MAGISTER JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 017 1

2 (halaman ini sengaa dikosongkan) ii

3 THESIS SS14501 MIXED ESTIMATOR OF KERNEL AND FOURIER SERIES IN NONPARAMETRIC REGRESSION (Case Study: Modeling Percentage of Poor People in Indonesia) NGIZATUL AFIFAH NRP SUPERVISOR : Dr. Drs. I Nyoman Latra, MS Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si PROGRAM OF MAGISTER DEPARTMENT OF STATISTICS FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 017

4 (halaman ini sengaa dikosongkan)

5 ESTLMA TOR CAMPURAN KERNEL DAN DERET FOURIER DALAM REGRESI NONPARAMETRIK (Studi Kasus: Pemodela~ Persentase Penduduk Miskin di Indonesia) Tesis disusun untuk memenuhi sa1ah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains (M.Si) di Institut Tekno1ogi Sepuluh Nopember 01eh: NGIZATUL AFIF AH NRP Disetuui oleh: / Tanggal Uian : 9 Januari 017 Peri ode Wisuda : Maret Dr. Dis. I Nyoman Latra, MS NIP ' (Pembimbing I)../ / 1'/y. Prof Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si NIP ~~ 3. Dr. Ora. Ismaini Zain, M.Si NIP (Pembimbing II) (Pengui) 4. Dr. Bambang Widanarko Otok, M.Si NIP (Pengui) Direktur Program Pasca Sarana, Prof. Ir. Dauhar Manfaat, M.Sc., Ph.D NIP.l

6 ESTIMATOR CAMPURAN KERNEL DAN DERET FOURIER DALAM REGRESI NONPARAMETRIK (Studi Kasus: Pemodelan Persentase Penduduk Miskin di Indonesia) Nama Mahasiswa : Ngizatul Afifah NRP : Dosen Pembimbing : Dr. Drs. I Nyoman Latra, MS Prof. Dr. Drs. I. Nyoman Budiantara, M.Si ABSTRAK Terdapat tiga macam pendekatan dalam analisis regresi yaitu regresi parametrik, nonparametrik dan semiparametrik. Regresi nonparametrik memungkinkan variabel respon mengikuti kurva regresi nonparametrik yang berbeda satu variabel prediktor dengan variabel prediktor lainnya. Pada data berpasangan v1i, vi,..., vpi, t1 i, ti,..., tqi, yi, i 1,,..., n, diasumsikan mengikuti model regresi nonparametrik campuran p i, i v s ts y μ v t ε g h ε. 1 s1 dengan = (,,, ) dan =,,,. Komponen g v didekati dengan fungsi kernel dan komponen h t didekati dengan fungsi deret fourier. Error ε diasumsikan berdistribusi normal dengan mean nol dan varian konstan. Estimator diperoleh dengan menggunakan metode optimasi Penalized Least Square (PLS). Hasil estimator fungsi yang diperoleh adalah: q M aˆ λ C Φ, λ, y, ˆ v p g 1 s s i q V Φ y hˆ,,,, s M tsi S Φ λ M y dan Φ, λ, M i i M s1 Matriks C Φ, λ, M, SΦ, λ, M dan,, M μˆ v, t Z Φ, λ, y. Z Φ λ bergantung pada bandwidth, parameter penghalus dan parameter osilasi. Model regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier diterapkan pada data persentase penduduk miskin di Indonesia tahun 013, dimana variabel responnya adalah persentase penduduk miskin (y), variabel prediktor yang mengikuti kurva regresi kernel adalah rata-rata lama sekolah (v 1 ) dan Angka Melek Huruf atau AMH (v ), sedangkan variabel prediktor yang mengikuti kurva regresi deret fourier adalah Rata-rata Lama Sekolah (t 1 ). Pemodelan ini menghasilkan R sebesar 6,78 persen dan MSE sebesar 3,370. Kata kunci: Deret Fourier, Kernel, Persentase Penduduk Miskin, Regresi Nonparametrik Campuran. v

7 (halaman ini sengaa dikosongkan) vi

8 MIXED ESTIMATOR OF KERNEL AND FOURIER SERIES IN NONPARAMETRIC REGRESSION (Case Study: Modeling Percentage of Poor People in Indonesia) Name : Ngizatul Afifah NRP : Supervisor : Dr. Drs. I Nyoman Latra, MS Prof. Dr. Drs. I. Nyoman Budiantara, M.Si ABSTRACT There are three kinds of approaches in the regression analysis that is parametric, nonparametric and semiparametric regression. Nonparametric regression allows the response variable follow different nonparametric regression curve of the predictor variables with other predictor variables. In the pairs of data v, v,..., v, t, t,..., t, y, i 1,,..., n, is assumed to follow mixed 1i i pi 1i i qi i nonparametric regression model: p i, i v s ts y μ v t ε g h ε. 1 s1 where = (,,, ) and =,,,. Component g v approached by kernel functions and components h t approached by fourier series. Error ε assumed normal distribution with mean zero and constant variance. Mixed estimator is obtained using Penalized Least Square (PLS). The estimator function is: q p aˆ λ CΦ, λ, M y, ˆ v g 1 i s q s V Φ y ˆ h, M tsi SΦ, λ, M y, and Φ, λ, M i i M s1 s Matrixes (,, ), S Φ, λ, M and,, M μˆ v, t Z Φ, λ, y. Z Φ λ depends on bandwidth, smoothing parameter and oscillation parameters. The mixed estimator of kernel and fourier series in nonparametric regression applied to the data the percentage of poor people in Indonesia in 013, where the variable response is the percentage of poor people in Indonesia (y), the predictor variables that follow the curve of regression kernel is Mean Years School (v 1 ) and Adult Literacy Rate (v ), while the predictor variables that follow Fourier series is Unemployment Rate (t 1 ). This modeling produces R of 6,78 percent and MSE of Keywords: Fourier Series, Kernel, Mixed Nonparametric Regression, Percentage of Poor People. vii

9 (halaman ini sengaa dikosongkan) viii

10 KATA PENGANTAR Pui dan syukur penulis hadiratkan kepada Allah SWT, karena atas segala rahmat dan ridho-nya sehingga tesis yang diberi udul Estimator Campuran Kernel dan Deret Fourier dalam Regresi Nonparametrik (Studi Kasus: Pemodelan Persentase Penduduk Miskin di Indonesia) ini bisa terselesaikan. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan di Program Magister S Statistika ITS. Ada banyak pihak yang telah membantu dalam penulisan tesis ini, sehingga penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada 1. Bapak Dr. Drs. I Nyoman Latra, MS dan Bapak Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si selaku dosen pembimbing, yang telah bersedia meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, saran, dan ilmu yang sangat bermanfaat dalam penyelesaian tesis ini.. Ibu Dr. Ismaini Zain, M.Si. dan Bapak Dr. Bambang Widanarko Otok, M.Si. selaku dosen pengui yang telah memberikan banyak saran dan masukan agar tesis ini menadi lebih baik. 3. Bapak Dr. Suhartono, M.Sc. selaku Ketua Jurusan Statistika ITS dan Bapak Dr. rer. pol. Heri Kuswanto, M.Si. selaku Kaprodi Pascasarana Statistika FMIPA ITS. 4. Bapak /Ibu dosen pengaar di Jurusan Statistika ITS, terima kasih atas semua ilmu berharga yang telah diberikan. 5. Bapak/Ibu staf dan karyawan di Jurusan Statistika ITS, terima kasih atas segala bantuan selama masa perkuliahan penulis 6. Kedua orang tua yang sangat penulis sayangi dan hormati, Ibu Suwaebah dan Bapak M. Abdul Dalal yang tidak pernah lelah mendaokan yang terbaik untuk penulis serta selalu memberi motivasi untuk tidak pernah menyerah. Terimakasih uga untuk kakak (Tatik Farikhah) dan adik (Azizatul Khakimah) yang selalu menadi penyemangat penulis. ix

11 7. Semua teman-teman seperuangan S Statistika ITS, terima kasih atas bantuan dan kebersamaan selama ini, khususnya Pencari Ilmu (Mbak Cinti, Mbak Tutus, Titin, Rizfani, Asmita, Rani, Maman dan Surya). 8. Semua teman-teman SKC (Fery, Nenah, Erti, Sofia dan Revi), The Sister (Mia, Dewi, Mbak Atik, Efa dan Rofik), Vian dan Arini yang selalu membantu penulis dalam setiap kesulitan. 9. Lembaga Pengelolala Dana Pendidikan (LPDP) yang telah memberikan dukungan finansial melalui beasiswa BPI tahun Serta, semua pihak yang telah membantu penulis, namun tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih auh dari sempurna, sehingga kritik dan saran sangat diharapkan. Semoga tesis ini dapat memberikan manfaat guna memperluas wawasan keilmuan pembacanya. Surabaya, Januari 017 Penulis x

12 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... LEMBAR PENGESAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... i iii v vii ix xi xv xvii xix BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tuuan Penelitian Manfaat Penelitian Batasan Masalah Penelitian... 5 BAB TINJAUAN PUSTAKA Analisis Regresi Regresi Parametrik, Nonparametrik dan Semiparametrik Regresi Nonparametrik Kernel Regresi Nonparametrik Deret Fourier Generalized Cross Validation (GCV) Koefisien Determinasi R Tinauan Non Statistika Konsep dan Pengukuran Kemiskinan Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Kemiskinan xi

13 BAB 3 METODE PENELITIAN Sumber Data Variabel Penelitian Definisi Operasional Variabel Penelitian Tahapan Penelitian... 0 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Model Regresi Campuran Nonparametrik Kernel dan Deret Fourier Estimasi Kurva Regresi Nonparametrik Kernel dan Deret Fourier Sifat Estimator Kurva Regresi Pemilihan Bandwidth, Parameter Osilasi M, dan Parameter Penghalus Optimum Aplikasi pada Data Kemiskinan Analisis Deskriptif Model Regresi Nonparametrik Campuran Model dengan Komponen Deret Fourier 1 Parameter Osilasi Model dengan Komponen Deret Fourier 1 Parameter Osilasi Model dengan Komponen Deret Fourier 3 Parameter Osilasi Model dengan Komponen Deret Fourier 4 Parameter Osilasi Model dengan Komponen Deret Fourier 5 Parameter Osilasi xii

14 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran... 5 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN BIOGRAFI PENULIS xiii

15 (halaman ini sengaa dikosongkan) xiv

16 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1 Statistik Deskriptif Variabel Respon dan Variabel Prediktor Tabel 4. GCV dari Model-Model dengan Kernel dan 1 Deret Fourier Tabel 4.3 GCV dari Model-Model dengan 1 Kernel dan Deret Fourier Tabel 4.4 Variabel Prediktor dan Pendekatan yang Digunakan Tabel 4.5 Perbandingan Nilai GCV Model Komponen Deret Fourier dengan M = Tabel 4.6 Perbandingan Nilai GCV Model Komponen Deret Fourier dengan M =... 4 Tabel 4.7 Perbandingan Nilai GCV Model Komponen Deret Fourier dengan M = Tabel 4.8 Perbandingan Nilai GCV Model Komponen Deret Fourier dengan M = Tabel 4.9 Perbandingan Nilai GCV Model Komponen Deret Fourier dengan M = Tabel 4.10 Perbandingan GCV untuk Pemilihan Parameter Osilasi M Tabel 4.11 Estimasi Komponen Deret Fourier Tabel 4.1 Kab/Kota dengan Perbedaan dan yang besar xv

17 (halaman ini sengaa dikosongkan) xvi

18 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar.1 Scatter Plot Kernel... 9 Gambar. Deret Fourier Non-Tren dengan M = Gambar.3 Deret Fourier Non-Tren dengan M = Gambar.4 Deret Fourier Tren menurun dengan M = Gambar.5 Deret Fourier Tren menurun dengan M = Gambar.6 Deret Fourier Tren naik dengan M = Gambar.7 Deret Fourier Tren naik dengan M = Gambar 3.1 Langkah-langkah Tahap Analisis untuk Tuuan Pertama... Gambar 3.1 Langkah-langkah Tahap Analisis untuk Tuuan Kedua... 3 Gambar 4.1 Scatter Plot antara Persentase Penduduk Miskin (Y) dan Rata-Rata Lama Sekolah (X 1 ) Gambar 4. Scatter Plot antara Persentase Penduduk Miskin (Y) dan Tingkat Pengangguran Terbuka (X ) Gambar 4.3 Scatter Plot antara Persentase Penduduk Miskin (Y) dan Angka Melek Huruf (X 3 ) Gambar 4.4 Scatter Plot dan xvii

19 (halaman ini sengaa dikosongkan) xviii

20 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 Data yang Digunakan Lampiran Syntax R Model Nonparametrik Campuran Kernel dan 1 Fourier Lampiran 3 Syntax R Model Nonparametrik Campuran 1 Kernel dan Fourier xix

21 (halaman ini sengaa dikosongkan) xx

22 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis regresi merupakan salah satu analisis dalam Statistika yang digunakan untuk menyelidiki pola hubungan fungsional antara dua atau lebih variabel. Dalam mengestimasi kurva regresi terdapat tiga pendekatan, yaitu pendekatan regresi parametrik, regresi nonparametrik dan regresi semiparametrik (Budiantara, Mariati, Ratnasari, Zain, Ratna, Sudiarsa, Mardianto, dan Hendayanti, 015a). Identifikasi awal pola data dapat dilakukan dengan memanfaatkan pengalaman masa lalu atau menggunakan diagram pencar (scatter plot). Seringkali dalam praktek, bentuk pola hubungan fungsional antara variabel respon dan variabel prediktor tidak diketahui. Pada kondisi ini tentu model regresi parametrik kurang sesuai digunakan. Seiring dengan makin berkembangnya teknologi di bidang komputasi, model regresi nonparametrik semakin banyak digunakan. Model regresi nonparametrik baik digunakan untuk pola data yang tidak diketahui bentuknya. Regresi nonparametrik memiliki fleksibilitas yang tinggi, dimana data diharapkan mencari sendiri bentuk estimasi kurva regresinya tanpa dipengaruhi oleh subyektifitas peneliti (Eubank, 1999). Model-model pendekatan regresi nonparametrik yang dikembangkan oleh penelitian sebelumnya mempunyai dua asumsi yang mendasar. Asumsi pertama yaitu pola dari masing-masing prediktor dalam model regresi nonparametrik multivariabel prediktor dianggap mempunyai pola yang sama, sedangkan asumsi yang kedua yaitu peneliti memaksakan menggunakan satu bentuk estimator model untuk setiap variabel prediktor. Dua asumsi yang digunakan dalam model regresi nonparametrik ini pada dasarnya hanya ada secara teoritis. Pada penelitian sebenarnya sering diumpai kasus-kasus dimana teradi pola data yang berbeda dari masing-masing variabel prediktor. Selain itu dengan hanya menggunakan satu bentuk estimator dalam mengestimasi kurva regresi nonparametrik multivariabel, berakibat estimator yang diperoleh tidak akan sesuai dengan pola data. Akibatnya, estimasi model regresi yang diperoleh tidak tepat 1

23 dan cenderung mempunyai error yang besar. Berdasarkan hasil-hasil penelitian di atas, Budiantara, Ratnasari, Ratna dan Zain (015b) menyarankan penggunaan estimasi model kurva regresi yang sesuai dengan pola data. Ada banyak enis estimator dalam model regresi nonparametrik, seperti kernel, spline, polinomial lokal, wavelet dan deret fourier. Beberapa penelitian mengenai estimator kernel telah dilakukan oleh banyak peneliti seperti oleh Okumura dan Naito (006), Yao (007), Kayri dan Zirhlioglu (009) serta Cheng, Paige, Sun dan Yan (010). Penelitian mengenai estimator spline telah dilakukan oleh peneliti lain seperti Eubank (1999), Merdekawati dan Budiantara (013) serta Darmawi dan Otok (014). Penelitian tentang estimator polinomial lokal dilakukan oleh Su dan Ullah (008), He dan Huang (009), Filho dan Yao (009) serta Qingguo (010). Penelitian mengenai estimator wavelet antara lain dilakukan oleh Antoniadis, Bigot dan Sapatinas (001), Amato dan De Canditiis (001), serta Taylor (009). Penelitian untuk estimator deret fourier dilakukan oleh peneliti antara lain Bilodeau (199), Galtchouk dan Pergamenshchikov (009) serta Ratnasari, Budiantara, Zain, Ratna dan Mariati (015). Estimator kernel adalah pengembangan dari estimator histogram. Estimator ini merupakan estimator linier yang mirip dengan estimator regresi nonparametrik yang lain, perbedaannya hanya karena estimator kernel terdapat bandwidth (Eubank, 1999). Kelebihan dari estimator kernel adalah memiliki kemampuan yang baik dalam memodelkan data yang tidak mempunyai pola tertentu (Hardle, 1994). Selain itu, estimator kernel mempunyai sifat fleksibel, bentuk matematisnya mudah, dan dapat mencapai tingkat kekonvergenan yang relatif cepat. Dari segi komputasinya, metode kernel lebih mudah dilakukan dan mudah diimplementasikan. Model regresi nonparametrik yang lain adalah deret fourier. Salah satu keunggulan pendekatan regresi nonparametrik dengan menggunakan deret Fourier adalah mampu mengatasi data yang mempunyai sebaran trigonometri, dalam hal ini adalah sinus dan cosinus. Pola data yang sesuai dengan pendekatan Fourier merupakan pola data yang berulang, yaitu pengulangan terhadap nilai variabel dependen untuk variabel independen yang berbeda-beda (Prahutama, 013).

24 Model regresi nonparametrik dapat diterapkan di berbagai bidang keilmuan, salah satunya adalah bidang sosial. Pada bidang ini, model regresi nonparametrik dapat diterapkan untuk menganalisis masalah kemiskinan. Masalah kemiskinan merupakan masalah yang sangat serius yang dihadapi oleh negaranegara di dunia terutama negara-negara berkembang termasuk Indonesia. Pengentasan kemiskinan telah menadi agenda global yang tercantum dalam tuuan Sustainable Development Goals (SDGs) yang ditetapkan oleh Perserikatan Bangsa-Bangsa (PBB)(United Nations, 016). Pada tahun 013 persentase penduduk miskin di Indonesia mencapai 11,47 persen. Dari 33 provinsi di Indonesia, terdapat tuuh provinsi dengan persentase penduduk miskin yang tergolong tinggi dibandingkan provinsi-provinsi lainnya yaitu Papua, Papua Barat, Nusa Tenggara Timur, Maluku, Gorontalo, Bengkulu, dan Aceh berturut-turut yaitu 31,53 persen; 7,14 persen; 0,4 persen; 19,7 persen; 18,01 persen; 17,75 persen dan 17,7 persen (BPS, 016a). Hal ini akan menadi hal yang menarik untuk dipelaari lebih lanut, dimana ika meninau scatter plot dari variabel-variabel yang berpengaruh terhadap persentase kemiskinan di ketuuh provinsi tersebut maka akan didapatkan bahwa sebagian variabel tersebut membentuk pola regresi kernel dan sebagian yang lain membentuk pola deret fourier. Estimasi model kurva yang tepat yaitu estimasi yang sesuai dengan pola data, sehingga penelitian ini meruuk pada penggunaan model estimator campuran kernel dan deret fourier. Penelitian tentang estimasi campuran telah dilakukan oleh Sudiarsa, Budiantara, Suhartono dan Purnami, (015), dalam hal ini fokus penelitian adalah pada estimator gabungan deret fourier dan truncated spline dalam regresi nonparametrik multivariabel, dimana estimator diperoleh melalui optimasi Penalized Least Square (PLS). Rory (016) melakukan penelitian serupa mengenai regresi campuran nonparametrik spline truncated dan kernel untuk pemodelan data kemiskinan di Provinsi Papua dengan menggunakan optimasi Ordinary Least Square (OLS). Purnomo (016) melakukan penelitian terhadap estimator campuran kernel dan regresi spline truncated linier multivariabel dalam regresi nonparametrik di Provinsi Jawa Tengah. Metode optimasi yang digunakan adalah OLS. Rismal (016) melakukan penelitian mengenai estimasi campuran 3

25 spline truncated dan kernel dalam regresi nonparametrik pada data Tingkat Pengangguran Terbuka (TPT) di Provinsi Jawa Barat. Dalam penelitian tersebut, metode optimasi yang digunakan adalah metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Berdasarkan uraian di atas, pokok permasalahan dalam model regresi nonparametrik ini adalah bagaimana bentuk estimator kurva regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier. Metode optimasi yang digunakan adalah PLS, dimana dalam metode tersebut terdapat parameter penghalus yang baik digunakan untuk pada deret fourier. Pokok permasalahan selanutnya adalah penerapan estimator kurva regresi campuran nonparametrik tersebut pada data riil, yaitu data persentase penduduk miskin di Indonesia. 1. Perumusan Masalah Dengan memperhatikan latar belakang yang telah diuraikan di atas, permasalahan yang dapat dirumuskan adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana bentuk dan sifat estimator campuran kernel dan deret fourier dalam regresi nonparametrik?. Bagaimana memodelkan persentase penduduk miskin di Indonesia dengan menggunakan estimator campuran kernel dan deret fourier dalam regresi nonparametrik? 1.3 Tuuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah di atas, tuuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mengkai bentuk dan sifat estimator campuran kernel dan deret fourier dalam regresi nonparametrik.. Memodelkan persentase penduduk miskin di Indonesia dengan menggunakan estimator campuran kernel dan deret fourier dalam regresi nonparametrik. 4

26 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mengembangkan wawasan keilmuan dan pengetahuan tentang regresi nonparametrik kernel.. Mengembangkan wawasan keilmuan dan pengetahuan tentang regresi nonparametrik deret fourier. 3. Mengembangkan wawasan keilmuan dan pengetahuan tentang estimator campuran kernel dan deret fourier dalam regresi nonparametrik. 4. Mengetahui model estimasi persentase penduduk miskin dengan menggunakan estimator campuran kernel dan deret fourier dalam regresi nonparametrik yang dapat digunakan untuk memprediksi presentase kemiskinan di Indonesia. 1.5 Batasan Masalah Penelitian Dalam penelitian ini, ruang lingkup permasalahan dibatasi pada beberapa hal sebagai berikut. 1. Permasalahan persentase penduduk miskin dalam penelitian ini dibatasi pada persentase penduduk miskin di Provinsi Papua, Papua Barat, Nusa Tenggara Timur, Maluku, Gorontalo, Bengkulu, dan Aceh.. Estimator kernel yang digunakan dalam estimator campuran adalah estimator kernel Nadaraya-Watson dan fungsi kernel yang digunakan adalah Kernel Gaussian. 3. Estimator campuran kernel dan deret fourier diperoleh dengan menggunakan optimasi Penalized Least Square (PLS). 4. Metode yang digunakan dalam menentukan bandwidth optimum, parameter osilasi M dan paramater penghalus adalah metode Generalized Cross Validation (GCV). 5. Sifat estimator campuran yang akan dikai adalah sifat bias dan sifat kelas estimator linier. 5

27 (halaman ini sengaa dikosongkan) 6

28 BAB TINJAUAN PUSTAKA.1 Analisis Regresi Analisis regresi digunakan untuk mengetahui model pola hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor. Diberikan n pasangan titik (, ), = 1,..., dengan asumsi dan dihubungkan oleh model regresi y ( t ), i 1,,..., n (.1) i i i Dimana adalah error random yang diasumsikan identik, independen dan berdistribusi normal dengan mean nol dan varian. Fungsi ( ) merupakan fungsi yang tidak diketahui pada titik,,. Fungsi disebut fungsi regresi atau kurva regresi. Analisis regresi memiliki dua tuuan utama, pertama, memberikan cara mengeksplorasi hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor dan yang kedua adalah membuat prediksi (Rory, 016).. Regresi Parametrik, Nonparametrik dan Semiparametrik Model regresi umumnya dibagi ke dalam tiga pendekatan, yaitu model regresi parametrik, model regresi nonparametrik dan model regresi semiparametrik. Apabila bentuk kurva ( ) pada persamaan (.1) diketahui, maka pendekatan model regresi ini dinamakan pendekatan model regresi parametrik. Apabila bentuk kurva ( ) tidak diketahui atau tidak terdapat informasi masa lalu yang lengkap tentang bentuk pola datanya, maka pendekatan model regresi yang digunakan adalah pendekatan model regresi nonparametrik. Dalam beberapa kasus, sebagian bentuk pola data diketahui, sedangkan untuk sebagian yang lain bentuk datanya tidak diketahui. Pada kasus ini, pendekatan model regresi yang disarankan adalah pendekatan model regresi semiparametrik (Rory, 016). Dalam regresi parametrik terdapat asumsi yang sangat kaku dan kuat yaitu bentuk kurva regresi diketahui, misalnya linier, kuadratik, kubik, polinomial deraat p, eksponen, dan lain-lain. Untuk memodelkan data menggunakan regresi linier, kudrat, kubik atau yang lain-lain, umumnya dimulai dengan membuat 7

29 scatter plot. Apabila scatter plot ini terdapat kecenderungan data mengikuti pola linier maka digunakan model regrsi (parametrik) linier, sebaliknya ika scatter plot data terdapat kecenderungan pola kuadratik maka digunakan model regresi (parametrik) kuadratik, dan seterusnya. Disamping memperhatikan pola kecenderungan data melalui scatter plot, peneliti dituntut dalam regresi paramaterik memiliki informasi di masa lalu yang detail tentang pola agar data diperoleh pemodelan yang baik (Budiantara, 011). Secara umum bentuk model regresi linear berganda dengan p variabel prediktor diberikan oleh persamaan (.) : yi 0 1x1 i 1x i... p x pi i, i 1,,..., n (.) Dimana y i adalah variabel respon, 0 adalah konstanta, adalah koefisien variabel prediktor, dan εi adalah error dimana i ε ~ N 0,. Model regresi (.) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut : y Xβ ε (.3) dengan y adalah vektor dari variabel respon berukuran 1, merupakan matriks berukuran ( + 1) dan adalah vektor parameter yang akan diestimasi berukuran ( p 1) 1, ε adalah vektor error random berukuran 1 berdistribusi normal, independen dengan mean nol dan variansi lengkap matriks dan vektor-vektor tersebut diberikan oleh: 1 x11 x1 x1 p y x1 x x p y 1 y, X 1 x31 x3 x 3 p, β, dan ε y n p n 1 xn 1 xn x np I. Secara (.4) Estimator parameter-parameter model diperoleh berdasarkan berbagai metode yang telah dikenal dalam Statistika, yaitu Least Square atau Maximum Likelihood Estimator, ika digunakan metode least square didapat estimator parameter : βˆ ( XX) 1 Xy (.5) Regresi semiparametrik diperoleh dari gabungan antara komponen parametrik dan komponen nonparametrik. Dalam beberapa kasus, variabel respon 8

30 dapat memiliki hubungan linear dengan salah satu variabel prediktor, tetapi dengan variabel prediktor yang lain tidak diketahui bentuk pola hubungannya. Model regresi semiparametrik dirumuskan sebagai berikut : y xβ ( z ), i 1,,3,..., n (.6) i i i i y i adalah variabel respon ke-i, x adalah komponen parametrik, ( ) i z i adalah fungsi regresi nonparametrik, dan adalah random error, dimana ~N(0, σ )..3 Regresi Nonparametrik Kernel Diberikan pasangan pengamatan independen (, ), = 1,,..., dimana adalah variabel respon, sedangkan adalah variabel prediktor. Hubungan dan dapat dimodelkan secara fungsional dalam bentuk y g( v ), (.7) i i i dimana kurva regresi g( v i ) merupakan kurva yang tidak diketahui bentuknya seperti pada Gambar.1. Gambar.1. Scatter Plot Kernel Menurut Hardle (1994), kurva g( v i ) pada model nonparametrik dapat diestimasi dengan pendekatan kernel yang didasarkan pada fungsi densitas kernel. Kurva g( v i ) pada model (.7) dapat diestimasi menggunakan estimator kernel Nadaraya-Watson. fungsi Model regresi kernel Nadaraya-Watson diperoleh dari meminimumkan v v N y K. n i i 0 i1 9

31 Dengan demikian diperoleh v vi K n ˆ 0 yi, i1 n v vi K i1 Akibatnya: n 1 i gˆ v n y, 1 n i i1 n K v v i1 i n 1 n W i v yi i1 K v v.8 dimana gˆ ( v) adalah fungsi taksiran regresi kernel dan merupakan lebar bandwidth. Fungsi W i ( v) merupakan fungsi pembobot W i v n i 1 n i1 n K v v i1 i K v v dimana K v v i adalah fungsi kernel 1 v vi K v vi K Fungsi kernel adalah fungsi yang bernilai riil, kontinu, terbatas dan simetris dan intergralnya sama dengan satu atau K z dz 1. Fungsi kernel dapat berupa kernel uniform, kernel segitiga, kernel epanechnikov, kernel kuadrat, kernel triweight dan kernel Gaussian (Widiardi, 014) sebagai berikut: 1. Kernel uniform K z. Kernel Triangle 1, z 1 K z 1 z, z 1 3 K z 1 z, z Kernel Epanechnikov 15 K z 1 z, z Kernel Quartic 10

32 35 K z 1 z, z Kernel Triweight 3 K z 1 1 exp, z z 6. Kernel Gaussian Jika bentuk penumlahan pada persamaan (.8) diabarkan dengan lebih lengkap, maka gˆ v n W 1 v y1 n W v y... n W n v yn Karena berlaku untuk setiap = 1 sampai dengan =, maka ika persamaan untuk 1 sampai dengan digabungkan ke dalam bentuk matriks akan menadi n gˆ v n W 1 v1 n W v1... n W v 1 y gˆ v n W 1 v n W v... n W n v y gˆ v n W 1 vn n W vn... n W n vn y n n Jika dinotasikan ke dalam bentuk matriks akan menadi v gˆ V y (.9) dimana n gˆ v1 y1 n W 1 v1 n W v1... n W v gˆ v y n W 1 v n W v... n W n v gˆ v, dan y V Vektor gˆ v yn n W 1 v n W vn... n W n vn n g ˆ v berukuran 1, vektor y berukuran 1 dan matriks V berukuran. Estimator kernel sangat sensitif pada pemilihan bandwidth yang fungsinya mengontrol kemulusan kurva estimasi. Jika bandwidth diperkecil maka bias akan turun, namun varian akan membesar, sebaliknya ika bandwidth diperbesar maka varian yang akan turun, namun bias akan membesar. Oleh karena itu, perlu adanya keseimbangan antara bias dan varian melalui pemilihan bandwidth yang optimum (tidak terlalu kecil dan tidak terlalu besar). 11

33 .4 Regresi Nonparametrik Deret Fourier Estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik umumnya digunakan apabila data yang diselidiki polanya tidak diketahui dan ada kecenderungan berulang. Deret fourier merupakan polinomial trigonometri yang mempunyai fleksibelitas, sehingga dapat menyesuaikan diri secara efektif terhadap sifat lokal data. Deret Fourier baik digunakan untuk menelaskan kurva yang menunukkan gelombang sinus dan cosinus. Pendekatan regresi nonparametrik Deret Fourier diperoleh dengan meminimumkan Penalized Least Squares (PLS), yaitu kriteria pendugaan yang menggabungkan Goodness of fit dengan kemulusan kurva dimana diantara keduanya dikontrol oleh suatu parameter pemulusan. Apabila fungsi h C 0, { h; h kontinu pada (0, )} maka ukuran kesesuaian kurva terhadap data adalah ( h( )) dan ukuran kekasaran kurva adalah h (). Estimator h diperoleh dengan meminimumkan PLS sebagai berikut: n 1 Min n yi h ti h t dt hc 0, 0 i1 (.10) adalah parameter penghalus dan 0. Untuk nilai yang sangat besar akan menghasilkan estimator kurva regresi yang sangat halus. Sebaliknya untuk nilai yang kecil akan memberikan estimator kurva regresi yang sangat kasar (Tripena, 009). Karena h adalah fungsi yang kontinu maka h dapat dihampiri dengan fungsi T(t), dimana: M 1 T t bt a0 ak cos kt (.11) k1 dimana,,,, = 1,,, merupakan parameter-parameter model dan k merupakan parameter osilasi. Bentuk pada persamaan (.11) disebut deret fourier dengan tren, sedangkan persamaan (.1) berikut disebut sebagai deret fourier non-tren yaitu: M 1 T ( t) a0 ak cos kt (.1) k 1 1

34 gambar berikut: Ilustrasi dari persamaan (.11) dan persamaan (.1) dapat dilihat pada y t t Gambar. Deret Fourier Non-Tren dengan M = 1 Gambar.3 Deret Fourier Non- Tren dengan M = 3 y y Gambar.4 Deret Fourier Tren menurun dengan M = 1 t Gambar.5 Deret Fourier Tren menurun dengan M = 3 t y y y t t Gambar.6 Deret Fourier Tren naik dengan M = 1 Gambar.7 Deret Fourier Tren naik dengan M = 3 13

35 Dari ilustrasi-ilustrasi di atas terlihat bahwa semakin besar nilai M maka semakin rapat kurva deret fourier yang terbentuk dan sebaliknya. dengan Untuk menyelesaikan persamaan (.10) terlebih dahulu dicari nilai P(a) k 1 P a T t dt 0 M k a 4 k Berdasarkan persamaan (.11) diperoleh PLS: n 1 Min n yi T ti T t dt hc 0, 0 i1 n M M Min n yi bti a0 ak cos kti k ak b, a0, a1,..., ak R i1 k 1 k 1 y Xa y Xa ada Min 1 n b, a0, a1,..., ak R Min 1 n 1 n 1 n 1 n b, a0, a1,..., ak R y y a X y Min 1 n 1 n 1 n b, a0, a1,..., ak R a X y a X X D a (.13) yy axy a XX D a (.14) dalam hal ini D dan diag 0,0,1,,..., M, a b, a0, a1,..., a M t 1 cost 1 1 cos t1 cos Mt1 t 1 cost cos t cos Mt X t3 1 cost3 cos t3 cos Mt 3. tn 1 costn cos tn cos Mt n Matriks D berukuran ( M ) ( M ), vektor a berukuran ( M ) 1 dan Matriks X berukuran n ( M ). Misalkan 1 1 n n n 1 Q menurunkan secara parsial didapat: n 1 1 y y a X y a X X D a a. Dengan Qa terhadap a dan hasilnya disamakan dengan nol 1 1 aˆ X X D n Xy. (.15) 14

36 Estimator untuk kurva regresi h diberikan oleh: M 1 hˆ ˆ ˆ ˆ t b t a a cos kt (.16) i i 0 k i k1 Estimasi persamaan regresi h diberikan oleh: t ˆ hˆ Xa S y (.17) dimana n 1 1 S X X X D n 1 X (Tripena, 009)..5 Generalized Cross Validation (GCV) Perolehan regresi kernel yang optimal bergantung pada bandwidth sedangkan deret fourier bergantung pada parameter penghalus λ dan parameter osilasi M. Bandwidth maupun parameter penghalus λ dan parameter M yang terlalu kecil akan menghasilkan kurva yang under-smoothing yaitu sangat kasar dan fluktuatif, demikian uga sebaliknya. Oleh karena itu perlu dipilih bandwidth maupun parameter penghalus λ yang optimal. Salah satu metode untuk mendapatkan dan λ adalah dengan metode Generalized Cross Validation (GCV). Metode GCV merupakan modifikasi dari metode Cross Validation (CV). Metode ini mempunyai kelebihan yaitu tidak memerlukan pengetahuan tentang, 011). invarian terhadap transformasi dan bersifat optimal asimptotik (Herawati, Pemilihan bandwidth optimal pada komponen kernel menggunakan GCV adalah sebagai berikut. GCV dimana MSE MSE n 1 tr I - V, (.18) MSE pada persamaan (.6) adalah yi V I V y dan matriks 1 n V seperti pada persamaan (.9) (Eubank, 1999). Pemilihan penghalus λ yang optimal pada komponen deret fourier menggunakan GCV didefinisakan sebagai berikut: 15

37 GCV MSE n 1 trace I S 1 dengan MSE n y I S I S y dan matriks S (.19) seperti pada persamaan (.17) (Asrini dan Budiantara, 014 serta Tripena, 009). Nilai dan optimal diperoleh dari nilai GCV yang terkecil..6 Koefisien Determinasi R Salah satu tuuan analisis regresi adalah mendapatkan model terbaik yang mampu menelaskan hubungan antara variabel prediktor dan variabel respon berdasarkan kriteria tertentu. Salah satu kriteria yang digunakan dalam pemilihan model terbaik adalah dengan menggunakan koefisien determinasi R. Secara umum semakin besar nilai R, maka semakin baik pula model yang didapatkan. Koefisien determinasi didefinisikan sebagai berikut : SSE R SST dimana = ( ) dan = ( ). Besaran nilai R tidak pernah negatif dan batasannya adalah 0 1 (Guarati dan Porter, 015). (.19).7 Tinauan Non Statistika Pada bagian ini diuraikan mengenai konsep dan definisi kemiskinan, pengukuran kemiskinan serta faktor-faktor yang mempengaruhi kemiskinan..7.1 Konsep dan Pengukuran Kemiskinan Badan Pusat Statistik (BPS) menggunakan konsep kemampuan memenuhi kebutuhan dasar (basic needs approach) dalam mengukur kemiskinan. Dengan pendekatan ini, kemiskinan dipandang sebagai ketidakmampuan dari sisi ekonomi untuk memenuhi kebutuhan dasar makanan dan bukan makanan yang diukur dari sisi pengeluaran. Garis Kemiskinan (GK) merupakan penumlahan dari Garis Kemiskinan Makanan (GKM) dan Garis Kemiskinan Non Makanan (GKNM). Penduduk yang memiliki rata-rata pengeluaran perkapita per bulan di 16

38 bawah GK dikategorikan sebagai penduduk miskin, sedangkan persentase penduduk miskin adalah persentase penduduk yang berada di bawah GK (BPS, 01). Kemiskinan secara konseptual dapat dibedakan menadi dua yaitu kemiskinan relatif (relative poverty) dan kemiskinan absolut (absolute poverty). Kemiskinan relatif merupakan kondisi miskin karena pengaruh kebiakan pembangunan yang belum mampu menangkau seluruh lapisan masyarakat sehingga menyebabkan ketimpangan distribusi pendapatan. Standar minimum disusun berdasarkan kondisi hidup suatu negara pada waktu tertentu dan perhatian terfokus pada golongan penduduk termiskin, misalnya 0 persen atau 40 persen lapisan terendah dari total penduduk yang telah diurutkan menurut pendapatan/pengeluaran. Kelompok ini merupakan penduduk relatif miskin. Definisi kemiskinan absolut ditentukan berdasarkan ketidakmampuan untuk mencukupi kebutuhan pokok minimum seperti pangan, sandang, kesehatan, perumahan, dan pendidikan yang diperlukan untuk bisa hidup dan bekera. Kebutuhan pokok minimum diteremahkan sebagai ukuran finansial dalam bentuk uang (BAPPENAS, 010)..7. Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Persentase Penduduk Miskin Terdapat beberapa faktor yang mempengaruhi kemiskinan, salah satunya adalah pendidikan. Hubungan antara kemiskinan dan pendidikan sangat penting, karena pendidikan sangat berperan dalam mempengaruhi angka kemiskinan. Orang yang berpendidikan lebih baik akan mempunyai peluang yang lebih rendah menadi miskin (BPS, 01). Salah satu aspek yang dapat digunakan untuk mengukur tingkat pendidikan adalah rata-rata lama sekolah. Definisi dari rata-rata lama sekolah adalah umlah tahun belaar penduduk usia 15 tahun ke atas yang telah diselesaikan dalam pendidikan formal (tidak termasuk tahun yang mengulang). Penghitungan rata-rata lama sekolah membutuhkan informasi tentang partisipasi sekolah, enang dan enis pendidikan tertinggi yang pernah atau sedang diduduki, iasah tertinggi yang dimiliki dan tingkat atau kelas tertinggi yang pernah atau sedang diduduki (BPS, 011). Rata-rata lama sekolah 17

39 di Indonesia dari tahun 011 hingga 013 mengalami peningkatan yang relatif lambat, dimana pada tahun 011 mencapai angka 7,94 sedangkan pada tahun 013 mencapai 8,14. Rata lama sekolah yang ingin dicapai oleh pemerintah pada tahun 014 adalah 8,5 tahun, untuk itu pemerintah harus tetap konsisten dalam menalankan program-program dalam bidang pendidikan agar target yang diinginkan dapat tercapai (BPS, 013a). Angka Melek Huruf (AMH) merupakan aspek pendidikan selain rata-rata lama sekolah yang berpengaruh terhadap kemiskinan. Angka Melek Huruf (AMH) adalah proporsi penduduk usia 15 tahun ke atas yang mempunyai kemampuan membaca dan menulis huruf latin dan atau huruf lainya, tanpa harus mengerti apa yang dibaca/ditulisnya terhadap penduduk usia 15 tahun ke atas (BPS, 011). Pada periode , AMH di Indonesia meningkat dari 9,99 persen menadi 94,14 persen. Kenaikan AMH ini dapat diartikan uga sebagai penurunan Angka Buta Huruf (ABH). Hal ini berarti penduduk usia 15 tahun ke atas yang tidak memiliki kemampuan membaca dan menulis menurun menadi 5,86 persen. Padahal pada tahun 014, pemerintah menargetkan ABH dapat mencapai angka 4,18 persen (BPS, 013a). Faktor lain yang uga berpengaruh terhadap kemiskinan adalah pengangguran. Tingkat pengangguran terbuka (TPT) adalah persentase penduduk yang mencari pekeraan, yang mempersiapkan usaha, yang tidak mencari pekeraan, karena merasa tidak mungkin mendapatkan pekeraan, yang sudah mempunyai pekeraan tetapi belum mulai bekera dari seumlah angkatan kera yang ada. TPT dapat menginterpretasikan angka pengangguran terbuka, dalam hal ini mereka yang tidak bekera tidak mempunyai pekeraan dan selanutnya tidak akan mampu memenuhi kebutuhan hidupnya (BPS, 011). TPT di Indonesia pada periode mengalami penurunan yaitu dari angka 11,4 menadi 6,17 (BPS, 016b). 18

40 BAB 3 METODE PENELITIAN 3.1 Sumber Data Penelitian ini menggunakan data sekunder Tahun 013 dari publikasi yang diterbitkan oleh Badan Pusat Statistika (BPS). Unit observasi merupakan seluruh kabupaten/kota yaitu sebanyak 10 Kabupaten/Kota di Provinsi Papua, Papua Barat, Nusa Tenggara Timur, Maluku, Gorontalo, Bengkulu, dan Aceh. 3. Variabel Penelitian Berdasar pada latar belakang dan tuuan penelitian, terdapat satu variabel respon dan empat variabel prediktor yang digunakan. Variabel-variabel tersebut adalah sebagai berikut : Variabel Respon: Y : Persentase penduduk miskin Variabel Prediktor X 1 X X 3 : Rata-rata lama sekolah (RLS) : Tingkat Pengangguran Terbuka (TPT) : Angka Melek Huruf (AMH) 3.3 Definisi Operasional Variabel Penelitian Adapun definisi operasional dari variabel-variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : a. Persentase Penduduk Miskin Persentase penduduk miskin adalah persentase penduduk yang berada di bawah Garis Kemiskinan (GK). b. Rata-Rata Lama Sekolah (RLS) Rata-rata lama sekolah menggambarkan umlah tahun yang digunakan oleh penduduk usia 15 tahun ke atas dalam menalani pendidikan formal (tidak termasuk tahun yang mengulang). 19

41 c. Tingkat Pengangguran Terbuka (TPT) Tingkat pengangguran terbuka adalah persentase penduduk yang mencari pekeraan, yang mempersiapkan usaha, yang tidak mencari pekeraan, karena merasa tidak mungkin mendapatkan pekeraan, yang sudah mempunyai pekeraan tetapi belum mulai bekera dari seumlah angkatan kera yang ada. d. Angka Melek Huruf (AMH) Angka Melek Huruf (AMH) adalah proporsi penduduk usia 15 tahun ke atas yang mempunyai kemampuan membaca dan menulis huruf latin dan atau huruf lainya, tanpa harus mengerti apa yang dibaca/ditulisnya terhadap penduduk usia 15 tahun ke atas. 3.4 Tahapan Penelitian Tahap awal penelitian adalah menyelesaikan tuuan pertama penelitian yaitu melakukan kaian estimator kurva regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier dalam model regresi nonparametrik aditif. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut. 1. Diberikan variabel respon yi dengan variabel prediktornya,,, dan,,, diasumsikan mengikuti model regesi nonparametrik campuran: y ( v, t ), i 1,,..., n i i i i dimana = (,,, ) dan = (,,, ). Merancang model regresi nonparametrik aditif: ( v, t ) p q g v h t i i i s si 1 s1 dengan g ( ) merupakan komponen kernel dan h ( ) merupakan komponen deret fourier. 3. Untuk = 1 sampai dengan =, fungsi g ( ) didekati oleh ( ). 4. Fungsi h ( ) didekati oleh fungsi ( ), sehingga untuk = 1 sampai dengan =, h ( ) didekati oleh ( ). 0

42 5. Mencari bentuk estimasi kurva regresi campuran menggunakan metode Penalized Least Square (PLS) melalui optimasi : p q q 1 Min n y g v Ts ts s T 0 s ts dts a 1 s1 s1 6. Menyelesaikan optimasi Min Qa a 1 dimana a y g T p q q Q n v t T t dt 7. Mendapatkan estimasi campuran ˆ ( v, t ) p s s s 0 s s s 1 s1 s1 q ˆ gˆ v h t i i i s si 1 s1 Tuuan kedua dari penelitian ini adalah mengaplikasikan model estimasi campuran regresi kernel dan deret fourier pada regresi nonparametrik pada data persentase penduduk miskin di Indonesia. Untuk menyelesaikan tuuan kedua, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Membuat scatter plot data antara variabel respon dengan masing-masing variabel prediktor.. Melakukan analisis deskriptif data untuk mengetahui gambaran umum tentang data kemiskinan di Indonesia. 3. Menentukan variabel prediktor yang merupakan komponen-komponen nonparametrik yang didekati dengan fungsi kernel dan yang didekati dengan fungsi deret fourier. 4. Memodelkan kemiskinan di Indonesia dengan menggunakan pendekatan nonparametrik campuran kernel dan deret fourier. 5. Menentukan bandwith optimal, parameter osilasi M, dan parameter penghalus menggunakan metode GCV 6. Mendapatkan estimasi kurva regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier 7. Menghitung nilai R 8. Mengambil kesimpulan 1

43 Gambar 3.1 dan 3. menunukkan urutan tahap analisis untuk tuuan pertama dan ke dua yang dilakukan pada penelitian ini. Membentuk model regresi nonparametrik campuran y ( v, t ), i 1,,..., n i i i i Merancang model regresi nonparametrik aditif: ( v, t ) p q g v h t i i i s si 1 s1 Menghampiri g ( ) dengan ( ) untuk = 1 sampai dengan = Menghampiri h ( ) dengan ( ) dan untuk = 1 sampai dengan =, fungsi h ( ) didekati oleh ( ) Mencari bentuk estimasi kurva regresi campuran menggunakan metode PLS : p q q 1 Min n y g v T s ts s T 0 s ts dts a 1 s1 s1 Menyelesaikan optimasi Min Q a a Mendapatkan estimasi campuran : ˆ ( v, t ) p q ˆ gˆ v h t i i i s si 1 s1 Gambar 3.1 Langkah-langkah Tahap Analisis untuk Tuuan Pertama

44 Membuat plot data Analisis deskriptif data Menentukan variabel prediktor yang merupakan komponen nonparametrik kernel dan deret fourier Memodelkan data kemiskinan di Provinsi Papua, Papua Barat, Nusa Tenggara Timur, Maluku, Gorontalo, Bengkulu, dan Aceh Menentukan bandwith optimal, parameter osilasi M, dan parameter penghalus menggunakan metode GCV Mendapatkan estimasi kurva regresi Menghitung nilai R Mengambil kesimpulan Gambar 3.. Langkah-langkah Tahap Analisis untuk Tuuan Kedua 3

45 (halaman ini sengaa dikosongkan) 4

46 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Mengacu pada tuuan penelitian, bab ini akan melakukan kaian mengenai estimasi kurva regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier. Hasil kaian diaplikasikan pada data kemiskinan di Indonesia tahun 013. Bab ini terdiri dari lima subbab. Subbab 4.1 merupakan pengenalan bentuk model regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier. Subbab 4. berisi kaian estimasi kurva regresi campuran nonparametrik kernel deret fourier. Subbab 4.3 merupakan kaian mengenai sifat dari estimator kurva regresi tersebut. Subbab 4.4 berisi pembahasan mengenai pemilihan bandwidth, parameter osilasi M, dan parameter penghalus optimum. Selanutnya pada Subbab 4.5, estimasi model regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier yang telah dibahas pada subbab-subbab sebelumnya, diaplikasikan pada data persentase penduduk miskin di Indonesia. 4.1 Model Regresi Campuran Nonparametrik Kernel dan Deret Fourier Diberikan data berpasangan v1 i, vi,..., vpi, t1 i, ti,..., tqi, yi, i 1,,..., n yang memiliki hubungan diasumsikan mengikuti model regresi nonparametrik. Variabel-variabel v1 i, vi,..., vpi, t1 i, ti,..., t qi merupakan variabel-variabel prediktor dan adalah y i merupakan variabel respon. Bentuk model regresi nonparametrik tersebut y v, v,..., v, t, t,..., t i 1i i pi 1i i qi i v, t (4.1) i i i dimana = (,,, ) dan =,,,. Bentuk kurva regresi (, ) pada model (4.1) diasumsikan tidak diketahui serta kurva tersebut smooth dalam arti kontinu dan differensiabel. Error random i berdistribusi normal dengan E i 0 dan Var i. Selain itu, kurva regresi vi, t i diasumsikan bersifat additif, sehingga dapat ditulis dalam bentuk 5

47 i i g1 v1 i g vi g p vpi h1 i t1i h i ti hqi tqi v, t (4.) Bentuk pola hubungan variabel respon y i dengan masing-masing variabel prediktor v1 i, vi,..., v pi diasumsikan tidak diketahui atau tidak memiliki pola tertentu. Secara teoritis, kurva regresi 1 1i, i,..., p pi g v g v g v dapat dihampiri dengan kurva regresi kernel. Sedangkan bentuk pola hubungan variabel respon y dengan masing-masing variabel prediktor t1 i, ti,..., t qi diasumsikan i membentuk pola berulang atau musiman seingga kurva regresi,,..., h t h t h t dapat dihampiri dengan deret fourier. Dengan 1i 1i i i qi qi demikian, kurva regresi (, ) disebut dengan kurva regresi campuran nonparametrik yang dikelompokkan menadi dua komponen kurva regresi yaitu komponen kurva regresi kernel dan komponen deret fourier. Selanutnya, persamaan (4.) dapat ditulis menadi p vi, ti g v i hs tsi q 1 s1 (4.3) dimana p g v g v g v g v i i i p pi q dan hs tsi h1 i t1i h i ti hqi tqi s1 p Komponen kurva regresi g v i sedangkan komponen kurva regresi h t fourier. Komponen kurva regresi i merupakan komponen kurva regresi kernel, oleh kurva regresi kernel Nadara-Watson sebagai berikut: n 1 i i i i1 q s si merupakan komponen deret s1 g v pada persamaan (4.3) didefinisikan gˆ v n W v y. (4.4) 6

48 Parameter merupakan parameter bandwidth, sedangkan fungsi W v merupakan fungsi pembobot yang didefinisikan oleh: W v i n 1 i1 K v v i n K v v dimana K v v i adalah fungsi kernel 1 v v i K v v i K Selanutnya komponen deret fourier dengan fungsi T t 0 s s si s si s ks si k1 si i, h v pada persamaan (4.3) didekati M 1 T t b t a a cos kt. (4.5) s si i 4. Estimasi Kurva Regresi Nonparametrik Kernel dan Deret Fourier Seumlah p variabel prediktor, kurva regresinya dihampiri dengan regresi kernel sebagaimana pada persamaan (4.4) yaitu: n 1 gˆ v n W v y i i i1 n W v y n W v y... n W v y n n Karena berlaku untuk setiap v v 1 sampai dengan v v n, sehingga kumpulan persamaan-persamaan gˆ ˆ 1 ˆ v, g v,..., g v n vektor dan matriks dapat membentuk sebuah gˆ v n W v y n W v y n W n v 1 y n gˆ v n W v y n W v y n W n v y n gˆ v n n W v n y n W v n y n W n v n yn 7

49 n n n W 1 v 1 n W v 1 n W v 1 y n W 1 v n W v n W v y n W yn 1 v n n W v n n W n v n Selanutnya dapat ditulis dalam bentuk notasi matriks v gˆ V y, (4.6) dimana gˆ v 1 y1 gˆ v y gˆ gˆ v, y, V v yn n n 1 n n W v n W v n W v n W v n W v n W v n W 1 v n W v n W v Vektor ˆ v n n n n g berukuran n 1, vektor y berukuran 1 n dan matriks V berukuran n n. Berdasarkan persamaan (4.6), maka estimator untuk komponen p kurva regresi kernel g v i pada persamaan (4.3) akan menadi 1 p p ˆ v i g V y 1 1 dimana... p p p p V y V y V y 1 1 V V V y V Φ y, (4.7) p p V Φ V V V p V 1 8

50 p p p n n W v n W v n W v p p p 1 n n W v n W v n W v p p p 1 n n n n n W v n W v n W v Matriks V Φ berukuran. Setiap komponen regresi deret fourier pada s si h v pada persamaan (4.3) diestimasi oleh persamaan (4.5). Persamaan tersebut berlaku pada i 1 dengan i n, sehingga sampai M 1 bsts1 a0s aks cos kts 1 k 1 Ts ts1 M 1 Ts ts bst s a0s aks cos kt s k 1 Ts tsn M 1 bstsn a0s aks cos kt sn k 1 bs ts1 1 costs 1 cos ts 1 cos Mts 1 1 ts 1 costs cos ts cos Mt s a0 s ts3 1 costs3 cos ts3 cos Mt s3 a 1s tsn 1 costsn cos tsn cos Mt sn a M s Selanutnya dapat ditulis dalam bentuk notasi matriks T t X a (4.8) s s s s dimana T T t 1 cost cos t cos Mt s1 s1 s1 s1 s ts 1 ts 1 cos ts cos ts cos Mt s Ts t s s ts, Xs ts3 1 costs3 cos ts3 cos Mt s3 Ts tsn tsn 1 costsn cos tsn cos Mt sn 9

51 dan a s bs 1 a a a 0s 1s M s Vektor t T berukuran n 1, matriks s s s berukuran M 1 dengan s 1,,..., p. X berukuran n M, dan vektor a s Berdasarkan persamaan (4.8), maka estimator untuk komponen kurva deret fourier h v q s si pada persamaan (4.3) akan menadi s1 q T t s s s1 s1 q M 1 b t a a cos kt M 1 b t a a cos kt M 1 b t a a cos kt q s s1 0s ks s1 k 1 s s 0s ks s k 1 s sn 0s ks sn k 1 M 1 b t a a cos kt s s1 0s ks s1 s1 k 1 q s1 q M 1 b t a a cos kt s s 0s ks s k 1 M 1 b t a a cos kt s sn 0s ks sn s1 k 1 X X X a a a 1 p 1 p Xa (4.9) dimana X X 1 X X p dan a a 1 a a p. Matriks X berukuran n p M dan vektor a berukuran p M 1. 30

52 p Jika kurva regresi kernel ˆ v i g diberikan oleh persamaan (4.7) dan estimator untuk komponen kurva deret fourier t 1 q T s s diberikan persamaan s1 (4.9), maka model regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier (4.1) dapat disaikan dalam bentuk vektor dan matriks p q v t y g ˆ T ε i s s 1 s1 V Φ y Xa ε (4.10) dimana ε 1 n. Estimator regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier pada (4.10) diperoleh melalui optimasi PLS sebagai berikut: p q q 1 Min n y gˆ v i Ts ts s T 0 s tsi dts a 1 s1 s1 q 1 = Min n y V Φ y Xa s T. (4.11) 0 s tsi dts a s1 1 dimana n y V Φ y Xa merupakan goodness of fit dan q s T 0 s tsi dts s1 merupakan ukuran kemulusan kurva. Menurut Pane, Budiantara, Zain dan Otok, (014), ukuran kemulusan kurva pada (4.11) diabarkan menadi q s1 T t dt s s si s 0 q M 4 s k a ks s1 k 1 M M M k a k1 k a k p k a kp k 1 k 1 k 1 31

53 1 a a 3 a M a M1 1 a a 3 a M a M 1 a a 3 a M a ad λ a p p 3 p Mp dimana Dλ diag D λ D λ D λ pm pm 1 p (4.13) berukuran. Dalam hal ini D λ diag M berukuran M M s s s s Optimasi PLS pada (4.11) menadi Min n a 1 y V Φ y Xa a D λ a 1 Min n a. = Min Q a, (4.14) a 1 dimana I V Φ y Xa a D λ a Q a n I V Φ y Xa ad λ a dan matriks I merupakan matriks identitas berukuran. Dengan demikian estimasi diperoleh melalui derivatif parsial dari Q a terhadap sebagai berikut: 1 n Q a I V Φ y Xa a D λ a a a 1 n I V Φy Xa I V Φy Xa adλ a a 1 n yi V Φ ax I V Φ y Xa ad λa a 1 n yi V Φ I VΦ y yi V Φ ax I V Φy axxa Xa ad λa a 3

54 yi V Φ I V Φ y ax I V Φy axxa ad λa a 1 n yi V Φ I V Φ y ax I V Φ y a XX D λ a a n n n n 1 1 n X I V Φ y X X D λ a (4.15). Kemudian menyamakan derivatif parsial (4.15) dengan nol sebagai berikut: Q a 1 1 n n a n n 1 1 n XX Dλa n XI V Φ y 1 ˆ n 1 a λ XX Dλ n 1 XI V Φ y 1 aˆ λ XX ndλ XI V Φy M X I V Φ y X X D λ a X I V Φ y X X D λ a aˆ λ C Φ, λ, y (4.16) Jadi estimasi dari parameter diberikan oleh (4.16) dengan 1,, M n C Φ λ X X D λ X I V Φ. Sedangkan estimator untuk kurva regresi deret fourier pada (4.9) adalah q ˆ h s1 s, M t Xaˆ λ si 1 n M y X X X D λ X I V Φ y S Φ, λ, (4.17) 1 dimana S Φ, λ, M X XX nd λ X I V Φ. Matriks SΦ, λ, M berukuran n n. Berdasarkan persamaan (4.7) dan (4.17), maka estimator regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier pada (4.3) adalah V Φ S Φ, λ, M y Z Φ λ M y μˆ v, t V Φ y S Φ, λ, y Φ, λ, M i i M,, (4.18) 33

55 dimana ZΦ, λ, M V Φ SΦ, λ, M, matriks,, M n n. Z Φ λ berukuran 4.3 Sifat Estimator Kurva Regresi Berikut akan diselidiki sifat dari estimator p kernel v i 1 aˆ λ, estimator kurva regresi g ˆ, estimator kurva deret fourier ˆ h s, M tsi dan sifat estimator kurva regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier Φ, λ, M i i μˆ v, t. Sifat ini diselidiki dari nilai harapan estimator tersebut. Nilai harapan dari estimator âλ adalah 1 E ˆ E n a λ X X D λ X I V Φ y 1 n E X X D λ X I V Φ y p q 1 n X X D λ X I V Φ g v, i hs M tsi 1 s1 p 1 n X X D λ X I V Φ g v i Xa λ q s1 1 aλ p Nilai harapan dari estimator kurva regesi kernel ˆ v i p E gˆ v i E V Φ y 1 Ey E V Φ p q V Φ g h 1 s1 g adalah 1 v, i s M tsi p v, i s M tsi V Φ g V Φ h p g 1 1 s1 v i q 34

56 q h s, M si adalah s1 Nilai harapan dari estimator kurva regesi kernel ˆ t E t E M q ˆ h, s M si SΦ, λ, y s1,, y E S Φ λ M E p q S Φ λ g h 1 s1,, M v, i s M tsi p,, M v, i s M tsi S Φ λ g S λ h q h s1 s, M t si 1 s1 Nilai harapan dari estimator kurva regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier ˆ, μ v t adalah Φ, λ, M i i p q E μˆ v, t E g v h t ˆ ˆ s Φ, λ, M i i i, M si 1 s1 E V Φ SΦ, λ, M y V Φ SΦ, λ, M E y p μ v t V Φ SΦ, λ, M g v i h, M tsi Φ, λ, M i, i Estimator-estimator p aˆ λ, ˆ v i 1 q 1 s1 q q g, ˆ h s, M tsi dan μˆ Φ, λ, M vi, ti bersifat bias seperti estimator kurva regresi nonparametrik yang lain. Walaupun demikian, estimator ini bersifat tak bias asimtotik untuk sampel yang besar. Estimator-estimator tersebut merupakan kelas estimator linier dalam observasi. Hal ini dapat diketahui dari pembahasan 4. yang menghasilkan M s1 ˆ,,, gˆ v i V Φ y, a λ C Φ λ y q p 1 ˆ h,,,, s M tsi S Φ λ M y dan Φ, λ, M i i M s1 s μˆ v, t Z Φ, λ, y. 35

57 p a λ C Φ λ y, ˆ v i Terlihat bahwa estimator-estimator ˆ,, M q ˆ h, s M tsi dan ˆ Φ, λ, M i, i s1 y. g, μ v t merupakan kelas estimator linier dalam observasi Pemilihan Bandwidth, Parameter Osilasi M, dan Parameter Penghalus Optimum Estimator kurva regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier Φ, λ, M i i μˆ v, t sangat tergantung pada bandwidth, parameter osilasi M, dan parameter penghalus. Untuk memperoleh bandwidth, parameter osilasi M, dan parameter penghalus optimum, penelitian ini menggunakan metode Generalized Crosss Validation (GCV) sebagai berikut: GCV dimana Φ, λ, M MSE Φ, λ, M 1 n trace I ZΦ, λ, M 1 MSE Φ, λ, M n y I Z Φ, λ, M I Z Φ, λ, M y. (4.19) Bandwidth optimum Φ, opt 1 opt opt,, p opt, parameter penghalus optimum, opt 1 opt opt,, qopt λ dan parameter osilasi optimum M diperoleh dari GCV Φopt, λopt, M opt Min GCV Φ, λ, M. Φ, λ, M 4.5 Aplikasi pada Data Kemiskinan Model regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier pada pembahasan 4.1 sampai dengan 4.4 akan diaplikasikan pada data kemiskinan kabupaten/kota di Provinsi Papua, Papua Barat, Nusa Tenggara Timur (NTT), Maluku, Gorontalo, Bengkulu dan Aceh. Variabel respon yang digunakan adalah persentase penduduk miskin (Y), sedangkan variabel prediktor adalah rata-rata 36

58 lama sekolah (X 1 ), Tingkat Pengangguran Terbuka (X ) dan Angka Melek Huruf (X 3 ). Jumlah unit observasi sebanyak 10 Kabupaten/Kota Analisis Deskriptif Sebelum proses pemodelan regresi campuran kernel dan deret fourier pada data kemiskinan, perlu dilihat statistik deskriptif dari data masing-masing variabel seperti ditunukkan pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Statistik Deskriptif Variabel Respon dan Variabel Prediktor Variabel n Min Max Range Mean Standard Deviasi Y X X X Statistik deskriptif yang ditampilkan pada Tabel 4.1 digunakan untuk inisiasi bandwidth, parameter osilasi M, dan parameter penghalus. Untuk melihat pola hubungan antara variabel respon dengan masing-masing variabel prediktor dapat dilihat dari grafik scatter plot. Hasil scatter plot untuk masing-masing variabel respon dan variabel prediktor adalah sebagai berikut: Y X1 Gambar 4.1 Scatter Plot antara Persentase Penduduk Miskin (Y) dan Rata-Rata Lama Sekolah (X 1 ). Gambar 4.1 menunukkan bahwa bentuk pola hubungan antara variabel respon persentase penduduk miskin (Y) dan variabel prediktor rata-rata lama sekolah (X 1 ) tidak mempunyai bentuk pola hubungan tertentu. Jadi variabel prediktor ini dapat dimodelkan secara nonparametrik kernel. 37

59 40 30 Y X Gambar 4. Scatter Plot antara Persentase Penduduk Miskin (Y) dan Tingkat Pengangguran Terbuka (X ). Gambar 4. memperlihatkan bahwa bentuk pola hubungan antara variabel respon persentase penduduk miskin (Y) dan variabel prediktor Tingkat Pengangguran Terbuka (X ) cenderung mengalami perilaku pengulangan pada titik 0,44; 3,0; 6,; 7,70; 1,89; 1,79 dan 17,97 serta 0,50; 1,15; 3,34; 5,97; 7,35; 10,40 dan 15,46 dengan tren menurun. Dengan demikian secara teori dapat didekati dengan deret fourier Y X3 Gambar 4.3 Scatter Plot antara Persentase Penduduk Miskin (Y) dan Angka Melek Huruf (X 3 ). Gambar 4.3 menunukkan bahwa bentuk pola hubungan antara variabel respon persentase penduduk miskin (Y) dan variabel prediktor Angka Melek Huruf (X 3 ) tidak mempunyai bentuk pola hubungan tertentu. Jadi variabel prediktor ini dapat dimodelkan secara nonparametrik kernel. 38

60 Selain melihat bentuk pola hubungan data melalui scatter plot, untuk menentukkan variabel mana yang didekati dengan kernel atau deret fourier uga dilakukan dengan memeriksa nilai GCV dari masing-masing variabel prediktor menggunakan persamaan (4.19). Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai GCV untuk semua kemungkinan model campuran kernel dan deret fourier seperti terlihat pada Tabel 4. dan Tabel 4.3 berikut. Tabel 4. GCV dari Model-Model dengan Kernel dan 1 Deret Fourier No. Variabel Kernel Deret Fourier GCV 1 X, X 3 X 1 46,33 X 1, X 3 X 44,166 3 X 1, X X 3 48,61 Berdasarkan Tabel 4., komponen Kernel terdiri dari variabel dan komponen Deret Fourier terdiri dari 1 variabel. Dari semua kemungkinan diperoleh GCV minimum 45,88 ika komponen kernelnya X 1, X 3 dan komponen deret fouriernya X. Tabel 4.3 GCV dari Model-Model dengan 1 Kernel dan Deret Fourier No. Variabel Kernel Deret Fourier GCV 1 X 1 X, X 3 51,017 X X 1, X 3 50,714 3 X 3 X 1, X 46,788 Berdasarkan Tabel 4.3, komponen Kernel terdiri dari 1 variabel dan komponen Deret Fourier terdiri dari variabel. Dari semua kemungkinan diperoleh GCV minimum 46,788 ika komponen kernelnya X 3 dan komponen deret fouriernya X, X 3. Berdasarkan tabel 4. dan Tabel 4.3, diantara semua kemungkinan diperoleh nilai GCV terkecil yaitu 45,88. Berdasarkan uraian di atas, data persentase penduduk miskin didekati dengan regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier, dimana terdapat variabel prediktor rata-rata lama sekolah dan Angka Melek Huruf didekati fungsi kernel sedangkan variabel prediktor tingkat pengangguran terbuka di dekati dengan fungsi deret fourier. Selanutnya variabel yang didekati dengan fungsi kernel disimbolkan dengan v dan variabel yang didekati dengan fungsi deret 39

61 fourier disimbolkan dengan t. Daftar lengkap dari masing-masing variabel prediktor dapat dilihat pada Tabel 4.4. Tabel 4.4 Variabel Prediktor dan Pendekatan yang Digunakan No. Variabel Prediktor Pendekatan Simbol 1 Rata-rata lama sekolah (RLS) Fungsi Kernel v 1 Tingkat Pengangguran Terbuka (TPT) Fungsi Deret Fourier t 1 3 Angka Melek Huruf (AMH) Fungsi Kernel v Berdasarkan Tabel 4.4 terlihat bahwa variabel prediktor RLS yang semula disimbolkan dengan X 1 menadi v 1. Variabel prediktor TPT yang semula disimbolkan X menadi t 1, dan variabel prediktor AMH yang semula disimbolkan X 3 menadi v Model Regresi Nonparametrik Campuran Berdasarkan subbab didapatkan bahwa terdapat dua variabel yang didekati dengan fungsi kernel dan satu variabel yang didekati dengan fungsi deret fourier. Dengan demikian model regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier pada data persentase kemiskinan adalah sebagai berikut: 1,, 1 y v v t i i i i i g v g v h t 1 1i i 1i 1i i 1 v1 v 1i 1 v v i K K 1 n n M 1 1 y 1 0 cos n i yi bt i a a n k kt1 i i i 1 1 v1 v1 i 1 1 v vi i k 1 K K i1 1 1 i1 Kemudian, dan g v g v h t dihampiri dengan fungsi sebagai berikut: 1 1i i 1i 1i 1 v1 v1 i 1 v vi K K yˆ y y n n 1 1 i i n n i i1 1 v1 v1 i i1 1 v vi K K i1 1 1 i1 M ˆ 1 b t aˆ aˆ cos kt 1i 0 k 1i k 1 Pemilihan model regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier terbaik diperoleh dari penentuan bandwidth, parameter penghalus dan 40

62 parameter osilasi optimum yang didapatkan dengan membandingkan nilai-nilai GCV yang diperoleh Model dengan Komponen Deret Fourier Parameter Osilasi M = 1 Berikut ini merupakan model regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier dengan parameter osilasi M = 1 pada komponen deret fourier. 1 v1 v 1i 1 v v i K K yˆ y y i i n n i i1 1 v1 v1 i i1 1 v vi K K i1 1 1 i1 ˆ 1 b t ˆ 1 0 ˆ i a a1 cost1i Nilai GCV yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 4.5 berikut. Tabel 4.5 Perbandingan Nilai GCV Model Komponen Deret Fourier dengan M = 1 No. ϕ 1 ϕ λ GCV 1 0,047 4, ,890 0,095 3, , ,14 3, ,73 4 0,189 4, , ,36 4, , ,047 4, , ,095 3, , ,14 3, ,71 9 0,189 4, , ,36 4, , ,047 4, , ,095 3, , ,14 3, ,5 14 0,189 4, , ,189 3, , ,047 3, , ,095 3, , ,14 4, , ,189 3, , ,36 4, ,191 Berdasarkan Tabel 4.5 diperoleh GCV minimum 4,888, sehingga diperoleh ϕ 1 = 0,047; ϕ = 4,146; M = 1 dan λ =

63 4.5.. Model dengan Komponen Deret Fourier Parameter Osilasi M = Berikut ini merupakan model regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier dengan parameter osilasi M = pada komponen deret fourier. 1 v1 v1 i 1 v vi K K yˆ y y i i n n i i1 1 v1 v1 i i1 1 v vi K K i1 1 1 i1 ˆ 1 b t aˆ aˆ cos kt 1i 0 k 1i k 1 Nilai GCV yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 4.6 berikut. Tabel 4.6 Perbandingan Nilai GCV Model Komponen Deret Fourier dengan M = No. ϕ 1 ϕ λ GCV 1 0,047 4, ,466 0,095 3, ,4 3 0,14 4, , ,189 3, , ,36 3, , ,047 4, , ,095 3, ,14 8 0,14 4, , ,189 3, , ,36 4, , ,047 3, , ,095 4, , ,14 3, , ,189 4, , ,84 4, , ,047 3, , ,095 3, , ,14 4, , ,189 3, , ,36 4, ,153 Berdasarkan Tabel 4.6 diperoleh GCV minimum 43,439, sehingga diperoleh ϕ 1 = 0,047; ϕ = 4,146; M = dan λ =

64 Model dengan Komponen Deret Fourier Parameter Osilasi M = 3 Berikut ini merupakan model regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier dengan parameter osilasi M = 3 pada komponen deret fourier. 1 v1 v1 i 1 v vi K K yˆ y y i i n n i i1 1 v1 v1 i i1 1 v vi K K i1 1 1 i1 3 ˆ 1 b t aˆ aˆ cos kt 1i 0 k 1i k 1 Nilai GCV yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 4.7 berikut. Tabel 4.7 Perbandingan Nilai GCV Model Komponen Deret Fourier dengan M = 3 No. ϕ 1 ϕ λ GCV 1 0,047 4, ,17 0,095 3, , ,14 3, , ,189 4, , ,36 4, , ,047 4, , ,095 3, ,8 8 0,14 3, , ,189 4, , ,36 4, , ,047 4, , ,095 3, , ,14, , ,189 3, , ,36 4, , ,047 3, , ,095 3, , ,14 4, , ,189 3, , ,36 4, ,153 Berdasarkan Tabel 4.7 diperoleh GCV minimum 43,617, sehingga diperoleh ϕ 1 = 0,047; ϕ = 4,146; M = 3 dan λ = 1. 43

65 Model dengan Komponen Deret Fourier Parameter Osilasi M = 4 Berikut ini merupakan model regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier dengan parameter osilasi M = 4 pada komponen deret fourier. 1 v1 v1 i 1 v vi K K yˆ y y i i n n i i1 1 v1 v1 i i1 1 v vi K K i1 1 1 i1 4 ˆ 1 b t aˆ aˆ cos kt 1i 0 k 1i k 1 Nilai GCV yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 4.8 berikut. Tabel 4.8 Perbandingan Nilai GCV Model Komponen Deret Fourier dengan M = 4 No. ϕ 1 ϕ λ GCV 1 0,047 4, ,303 0,095 3, , ,14 4, ,54 4 0,189 3, , ,36 4, , ,047 4, , ,095 3, ,65 8 0,14 4, , ,189 4, , ,36 3, , ,047 4, , ,095 3, , ,14 3, , ,189 4, , ,36 4, , ,047 3, , , , ,14 4, , ,189 3, , ,36 4, ,15 Berdasarkan Tabel 4.8 diperoleh GCV minimum 43,063, sehingga diperoleh ϕ 1 = 4,146; ϕ = 0,047; M = 4 dan λ =

66 Model dengan Komponen Deret Fourier Parameter Osilasi M = 5 Berikut ini merupakan model regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier dengan parameter osilasi M = 5 pada komponen deret fourier. 1 v1 v1 i 1 v vi K K yˆ y y i i n n i i1 1 v1 v1 i i1 1 v vi K K i1 1 1 i1 5 ˆ 1 b t aˆ aˆ cos kt 1i 0 k 1i k 1 Nilai GCV yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 4.9 berikut. Tabel 4.9 Perbandingan Nilai GCV Model Komponen Deret Fourier dengan M = 5 No. ϕ 1 ϕ λ GCV 1 0,047 4, ,18 0,095 3, , ,14 4, ,35 4 0,189 3, ,4 5 0,36 4, , ,047 4, , ,095 3, , ,14 4, , ,189 3, , ,36 4, , ,047 4, , ,095 3, , ,14 3, , ,189 4, , ,36 3, , ,047 3, , ,095 3, , ,14 4, , ,189 3, , ,36 4, ,15 Berdasarkan Tabel 4.9 diperoleh GCV minimum 43,419, sehingga diperoleh ϕ 1 = 0,047; ϕ = 4,146; M = 5 dan λ =

67 model. Berikut akan disaikan tabel perbandingan GCV untuk masing-masing Tabel 4.10 Perbandingan GCV untuk Pemilihan Paramater Osilasi M No. M GCV 1 1 4,888 43, , , ,419 Berdasarkan Tabel 4.10 diperoleh GCV minimum 4,888, sehingga diperoleh ϕ 1 = 0,047; ϕ = 4,146; M = 1 dan λ = Kemudian estimasi pada komponen deret fourier disaikan pada Tabel 4.1 berikut. Tabel 4.11 Estimasi Komponen Deret Fourier Parameter Estimasi b -0,148 0 a,140 a 1, ,001 Dengan demikian, model estimator regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier adalah sebagai berikut: 1 v1 v1 i 1 v vi K , 047 0, 047 K 4,146 4,146 yˆ = y y v v K K i1 0, 047 0, 047 i1 4,146 4,146-0,148t 1, 070 1, 799cost i 10 i 10 i i1 1 v1 v1 i i1 1 i 1i 1i Pemodelan data persentase penduduk miskin menggunakan estimator campuran kernel dan deret fourier tersebut menghasilkan nilai R sebesar 6,78 persen dan MSE sebesar 3,

68 berikut, Dari model di atas, didapatkan scatter plot antara nilai y dan nilai Y dan Yhat Variabel 1 19 Y Yhat Gambar 4.4 Scatter Plot dan Berdasarkan Gambar 4.4 di atas, terdapat 15 kab/kota yang memiliki perbedaan cukup besar antara dan. Kab/Kota tersebut dapat dilihat pada Tabel 4.1 berikut. 0 Tabel 4.1. Kab/Kota dengan Perbedaan dan yang besar No. Data ke-i Kab/kota v 1 v t Kab. Yapen Waropen 9,3,03 8,75 95,54 1,8 17 Kab. Waropen 37,7 30,16 8,0 96,3 4, Kab. Supiori 41,5 4,31 8,1 95,41 4, Kab. Teluk Wondama 39,43 6,70 9,77 98,98,4 5 6 Kab. Teluk Bintuni 40,33 3,44 9,47 88,55 5,3 6 7 Kab. Manokwari 8,45 1,5 11,39 99,67 15, Kab. Sorong 35,48 4,1 9,65 99,1 6, Kab. B e l u 14,58,59 8,77 95,67 9, Kab. Flores Timur 8,1 16,07 8,75 96,3 8, Kab. Ngada 11,19 1,88 8,76 88,19 1, Kab. Nagekeo 1,08 0,86 7,1 91,55 3, Kab. Maluku Barat Daya 9,5 0,6 6,76 85,54 3, Kota Gorontalo 5,99 13,55 8,1 88,56, Kab. Lebong 1,89 0,70 5,7 78,33 4, Kab. Bengkulu Tengah 7,4 0,5 6,87 93,16 1,87 Keterangan: : Persentase Penduduk Miskin v 1 : RLS t 1 : TPT : Prediksi Persentase Penduduk Miskin Data ke-i v : AMH 47

69 Dari Tabel 4.1 di atas diperoleh bahwa prediksi persentase penduduk miskin pada Kabupaten Yapen Waropen, Kabupaten Teluk Bintuni dan Kabupaten Sorong cenderung lebih rendah dibandingkan persentase penduduk miskinnya. Hal ini teradi karena AMH pada ketiga kabupaten sudah cukup tinggi sehingga diprediksi bahwa persentase penduduk miskin dari ketiga kabupaten tersebut berturut-turut adalah,03 persen; 3, 44 persen dan 4,1 persen. Pada Kabupaten Waropen, Kabupaten Supiori, Kabupaten Teluk Wondama dan Kabupaten Maluku Barat Daya, persentase penduduk miskin uga cenderung lebih tinggi dibandingkan prediksinya. Selain karena faktor AMH, variabel TPT uga ikut mempengaruhi dalam hasil prediksinya. AMH yang tinggi dan TPT yang rendah menyebabkan prediksi persentase penduduk tidak setinggi nilai aktualnya. Kabupaten Manokwari uga termasuk kabupaten yang angka prediksi persentase penduduk miskinnya lebih rendah dibandingkan nilai aktualnya. Pada kabupaten ini, walaupun angka TPT sangat tinggi, angka RLS dan AMHnya sangat bagus, yaitu 11,39 dan 99,67. Artinya rata-rata penduduk berusia 15 tahun ke atas telah menempuh pendidikan sampai tamat SMA dan hampir seluruh penduduknya dapat membaca dan menulis. Hal inilah yang menyebabkan angka prediksi lebih rendah daripada angka persentase penduduk miskinnya. Jika kabupaten/kota yang telah disebutkan di atas prediksi persentase penduduk miskinnya lebih rendah, maka kabupaten/kota berikut ustru prediksinya lebih tinggi dari pada persentase penduduk miskinnya. Kabupaten/kota tersebut adalah Kabupaten Belu, Kabupaten Flores Timur, Kabupaten Ngada, Kabupaten Nagakeo, Kota Gorontalo, Kabupaten Lebong dan Kabupaten Bengkulu Tengah. Pada Kabupaten Ngada, Kabupaten Nagakeo, Kota Gorontalo dan Kabupaten Bengkulu Tengah memiliki angka prediksi yang lebih tinggi karena angka RLS yang rendah yaitu kelas 3 SMP pada Kabupaten Ngada dan Kota Gorontalo, kelas SMP pada Kabupaten Nagakeo dan kelas 1 SMP pada Kabupaten Bengkulu Tengah 48

70 Pada Kabupaten Belu dan Kabupaten Flores Timur, TPT pada kedua kabupaten tersebut cukup tinggi sehingga prediksi persentase penduduk miskinnya uga ikut tinggi. Jika dilihat dari angka RLS, kedua kabupaten tersebut memiliki RLS yang rendah yaitu kelas 3 SMP, sehingga hal ini uga yang menyebabkan angka prediksi menadi lebih tinggi. Pada Kabupaten Lebong, prediksi persentase penduduk miskin lebih tinggi karena faktor AMH yang rendah yaitu 78,33 persen. Artinya 1,67 persen penduduk di Kabupaten Lebong masih mengalami buta huruf sehingga menghambatnya untuk dapat beraktivitas dalam rangka meningkatkan keseahetaraan hidupnya. Selain faktor AMH, terdapat pula faktor RLS yang angkanya uga rendah yaitu 5,7 tahun. Hal ini berarti rata-rata penduduk Kabupaten Lebong yang berusia 15 tahun ke atas hanya menyelesaikan pendidikannya sampai tamat SD. Dari hasil analisis di atas, ada kemungkinan faktor-faktor selain RLS, AMH dan TPT yang berpengaruh terhadap prediksi persentase penduduk miskin pada 15 kabupaten/kota tersebut. Hal inilah yang menyebabkan teradi perbedaan yang besar antara prediksi persentase penduduk miskin terhadap nilai aktualnya. 49

71 (halaman ini sengaa dikosongkan) 50

72 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 1. Diberikan data berpasanganv1 i, vi,..., v pi, t1 i, ti,..., tqi, yi, i 1,,..., n, mengikuti model regresi campuran yaitu p, i i v t s s y μ v t ε g h ε. 1 s1 dengan = (,,, ) dan =,,,. Komponen g v didekati dengan kurva regresi kernel Nadaraya-Watson dan komponen s t h didekati dengan kurva regresi deret fourier. Error ε s diasumsikan berdistribusi normal dengan mean nol dan varian konstan. Hasil estimator fungsi yang diperoleh adalah: dimana μˆ v, t Z Φ, λ, y Φ, λ, M i i M M M Z Φ, λ, V Φ S Φ, λ,, p 1 v i gˆ V Φ y, h ˆ, M tsi SΦ, λ, M y, dan q s1,, M n s 1 S Φ λ X X X D λ X I V Φ Penaksir untuk parameter deret fourier adalah: dengan,, M n,, M aˆ λ C Φ λ y 1 C Φ λ X X D λ X I V Φ Estimator kurva regresi campuran nonparametrik kernel dan deret fourier Φ, λ, M i i μˆ v, t sangat tergantung pada bandwidth, parameter osilasi M, dan parameter penghalus yang diperoleh dari metode GCV yaitu: dimana Φ λ opt opt opt Φ λ GCV,, M Min GCV,, M. Φ, λ, M q 51

73 GCV Φ, λ, M MSE Φ, λ, M 1 n trace I ZΦ, λ, M 1 dan MSE Φ, λ, M n y I Z Φ, λ, M I Z Φ, λ, M y.. Model regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier diterapkan pada persentase penduduk miskin di Indonesia Tahun 013 dengan variabel responnya adalah pesentase penduduk miskin ( y ), sedangkan variabel prediktornya adalah rata-rata lama sekolah (v 1 ) dan Angka Melek Huruf atau AMH (v ) serta Tingkat Pengangguran Terbuka atau TPT (t 1 ). Model estimator regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier adalah sebagai berikut: 1 v1 v1 i 1 v vi K , 047 K 0, 047 4,146 4,146 yˆ = y y i 10 i 10 i i1 1 v1 v1 i i1 1 v vi K 0, 047 0, 047 K 4,146 4,146 i1 i1-0,148t 1, 070 1, 799 cost 1i 1i Pemodelan ini menghasilkan R sebesar 6,78 persen dan MSE sebesar 3, Saran Penelitian ini menggunakan campuran dua kurva regresi nonparametrik, penelitian berikutnya dapat menggunakan campuran lebih dari dua komponen nonparametrik yang sesuai dengan pola data. Penelitian ini menggunakan kernel Gaussian sehingga untuk selanutnya dapat dikembangkan dengan menggunakan kernel uniform, triangle, quartic dan lain sebagainya. Penelitian lanutan yang perlu dilakukan adalah melakukan ui hipotesis parameter komponen deret fourier pada model regresi nonparametrik campuran kernel dan deret fourier. 5

74 DAFTAR PUSTAKA Amato, U., dan De-Canditiis, D. (001), Convergenee in Probability of Mallows and GCV Wavelet and Fourier Regularization Methods, Statistics & Probability Letters, Vol. 54, Hal Antoniadis, A., Bigot, J. dan Sapatinas, Y. (001), Wavelet Estimators in Nonparametric Regression: A Comparative Simulation Study, Journal of Statistical Software, Vol. 6, hal Asrini, L.J., dan Budiantara, I.N., (014), Fourier Series Semiparametric Regression Models (Case Study: The Production of Lowland Rice Irrigation in Central Java) ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences, Vol. 9, No. 9, hal Bilodeau, M, (199), Fourier Smoother and Additive Models, The Canadian Journal of Statistic, Vol. 0, No. 3, hal BAPPENAS, (010), Laporan Akhir: Evaluasi Pelayanan Keluarga Berencana Bagi Masyarakat Miskin (Keluarga Praseahtera/ KPS dan Keluarga Seahtera-1/KS-1, Jakarta. BPS, (011), Ensiklopedia Indikator Ekonomi dan Sosial, Publikasi Badan Pusat Statistik, Jakarta., (01), Penghitungan dan Analisis Kemiskinan Makro Indonesia Tahun 01, Jakarta., (013a), Indeks Pembangunan Manusia 013, Publikasi Badan Pusat Statistika, Jakarta., (016a), diakses pada 30 Oktober 016, (016b), diakses pada 4 Oktober 016 Budiantara, I.N., (011), Penelitian Bidang Regresi Spline Menuu Terwuudnya Penelitian Statistika yang Mandiri dan Berkarakter, Seminar Nasional FMIPA Undiksha, Vol.1, No.1, hal

75 Budiantara, I.N., Mariati, N.P.A.M, Ratnasari, V., Zain, I., Ratna, M., Sudiarsa, I.W., Mardianto, M.F.F., dan Hendayanti, N.P.N, (015a), Comparison Truncated Spline and Fourier Series in Multivariable Nonparametric Regression Models (Application: Data of Poverty in Papua, Indonesia, International Journal of Basic & Applied Sciences IJBAS-IJENS, Vol. 15, No. 04, hal Budiantara, I.N., Ratnasari, V., Ratna, M., dan Zain, I., (015b), The Combination of Spline and Kernel Estimator for Nonparametric Regression and its Properties, Applied Mathematical Sciences, Vol. 9, No. 1, hal Cheng, M. Y., Paige, R. L., Sun, S. dan Yan, K., (010), Variance Reduction for Kernel Estimatiors in Clustered/Longitudinal Data Analysis, Journal of Statistical Planning and Inference, Vol. 140, No. 6, hal Darmawi, H. dan Otok, B.W., (014), Bootstrap Pada Regresi Linier dan Spline Truncated. Jurnal Statistika FMIPA Universitas Islam Bandung, Vol, 8, No. 1, hal Eubank, R.L., (1988), Spline Smoothing and Nonparametric Regressio,. Marcel Deker, New York., R.L., (1999), Nonparametric Regression and Spline Smoothing, Volume 157, nd edition, Marcel Dekker, Inc., New York. Filho, C. M., dan Yao, F. (009), Nonparametric Regression Estimation With General Parametric Error Covariance, Journal of Multivariate Analysis, Vol. 100, No. 3, hal Galtchouk, L., dan Pergamenshchikov, S. (009), Adaptive Asymptotically Efficient Estimation in Heteroscedastic Nonparametric Regression, Journal of the Korean Statistical Society, Vol. 38, hal Guarati, D.N., dan Porter, D.C., (015), Dasar-Dasar Ekonometrika, Volume 1,nd Edition, Penerbit Salemba Empat, Jakarta. Hardle, W., (1994), Applied Nonparametric Regression. Humboldt Universität zu Berlin, Berlin. 54

76 He, H., dan Huang, L. S., (009), Double Smoothing for Bias Reduction in Local Linier Regression, Journal of Statistical Planning and Inference, Vol. 139, No. 3, hal Herawati, N., (011), Regresi Spline untuk Pemodelan Bidang Kesehatan: Studi tentang Knot dan Selang Kepercayaa, Jurnal Ilmu Dasar, Vol. 1, No., hal Kayri, M., dan Zirhlioglu, G., (009), "Kernel Smoothing Function and Choosing Bandwidth for Nonparametric Regression Methods". Ozean Journal of Applied Sciences, Vol., No.1, hal Merdekawati, I.P., dan Budiantara, I.N., (013), Pemodelan Regresi Spline Truncated Multivariabel pada Faktor-Faktor yang mempengaruhi Kemiskinan di Kabupaten/Kota Provinsi Jawa Tengah, Jurnal Sains dan Seni POMITS, Vol., No.1, hal Okumura, H dan Naito, K (006), Non-Parametrik Kernel Regression for Multinomial Data, Journal of Multivariate Analysis, Vol. 97, No. 9, hal Pane, R., Budiantara, I.N., Zain, I., dan Otok, B.W., ( 014), Parametric and Nonparametric Estimators in Fourier Series Semiparametric Regression and Their Characteristics, Applied Mathematical Sciences, Vol. 8, No. 10,hal Prahutama, A., (013), Model Regresi Nonparametrik dengan Pendekatan Deret Fourier pada Kasus Tingkat Pengangguran Terbuka di Jawa Timur, Prosiding seminat nasional statistika Universitas Diponegoro, Semarang. Purnomo, A., A., S., I., (016), Estimator Campuran Kernel dan Regresi Spline Truncated Linier Multivariabel dalam Regresi Nonparametrik, Tesis, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Qingguo, T., (010), L1-Estimation in Semiparametric Model with Longitudinal Data, Journal of Statistical Planning and Inference, Vol. 140, No., hal Ratnasari, V., Budiantara, I. N., Zain, I. Ratna, M. dan Mariati, N. P.A. M. (015), Comparison Truncated Spline and Fourier Series in Multivariable Nonparametric Regresssion Model (Application: Data of Poverty in Papua, 55

77 Indonesia). International Journal of Basic & Applied Sciences IJBASIJENS, Vol.15, No.04, hal Rismal, (016), Estimasi Model Campuran Spline Truncated dan Kernel dalam Regresi Nonparametrik Multivariabel Data Tinggkat Pengangguran Terbuka di Provinsi Jawa Barat, Tesis, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Rory, (016), Regresi Campuran Nonparametrik Spline Linier Truncated dan Fungsi Kernel untuk Pemodelan Data Kemiskinan di Provinsi Papua. Tesis, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Su, L., dan Ullah, A., (008), Local Polynomial Estimation Of Nonparametric Simultaneous Equations Models, Journal of Econometrics, Vol. 144, No. 1, hal Sudiarsa, I. W., Budiantara, I. N., Suhartono, dan Purnami, S. W. (015), Combined Estimator Fourier Series and Spline Truncated in Multivariabel Nonparametrik Regression, Applied Mathematical Science, Vol. 9, No. 100, hal Taylor, L. W. (009), Using the Haar Wavelet Transform in the Semiparametric Specification of Time Series, Economic Modeling, Vol. 6, No., hal Tripena, A., (009), Pemilihan Parameter Penghalus pada Estimator Deret Fourier dalam Regresi Nonparametrik, Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika, Vol.1, No., hal United Nations, (016), The Sustainable Development Goals Report, New York. Widiardi, H.R., (014), Model Regresi Nonparametrik Menggunakan Fungsi Kernel (Pada Kasus Berat Badan Balita Desa Buduran Kabupaten Sidoaro), Jurnal Mahasiswa Statistika Universitas Brawiaya, Vol., No., hal Yao, F.,(007), Asymptotic Distribution of Nonparametrik Regression Estimators for Longitudinal or Fuctional Data, Journal of Multivariate Analysis, Vol. 98, No. 1, hal

78 LAMPIRAN Lampiran 1. Data yang Digunakan Provinsi Kab/kota y v 1 v t Kab. Merauke 1,33 9,47 5,3 88,55 Kab. Jayawiaya 41,81 5,3 1,69 53,08 Kab. Jayapura 17,58 9,79 8,7 97,1 Kab. Nabire 7,69 7,33 6,5 83,73 Kab. Yapen Waropen 9,3 6,76 7,58 90,94 Kab. Biak Numfor 30,8 9,67 10,9 99,01 Kab. Paniai 40,15 6,3 0,17 6,97 Kab. Puncak Jaya 39,9 6,13 1,5 86,83 Kab. Mimika 0,37 6,94 7,15 88,7 Kab. Boven Digoel 3,7 3,65 4,1 35,8 Papua Kab. Mappi 30,35 4,37 1,78 33,5 Kab. Asmat 33,84 4,44 0,88 31,18 Kab. Yahukimo 43,7,93 0,44 3,77 Kab. Tolikara 38 3,48 1,7 33,56 Kab. Sarmi 17,7 7,0 5,56 87,77 Kab. Keerom 3,3 7,45 0,73 9,5 Kab. Waropen 37,7 6,56 7,7 78,35 Kab. Supiori 41,5 8,15 1,89 96,76 Kab. Mamberamo Raya 34,5 5,1, 65,43 Kab. Puncak 41,96,86 3, 3,17 Kab. Dogiyai 3,5 4,17 3,44 34,68 Kota Jayapura 16,19 11,07 1,7 99,86 Kab. Fakfak 9,84 9,65 6,03 99,1 Kab. Kaimana 18,6 8,39 4,35 97,49 Kab. Teluk Wondama 39,43 7,6 0,41 85,79 Kab. Teluk Bintuni 40,33 7, 6, 87,41 Papua Kab. Manokwari 8,45 8,6 3,45 89,98 Barat Kab. Sorong Selatan 0,5 8,1,6 88,56 Kab. Sorong 35,48 8,19 3,7 9,09 Kab. Raa Ampat 1,16 7,64 3,38 94,86 Kab. Tambrauw 38,68 5,83 1,77 77,7 57

79 Lampiran 1. Data yang Digunakan (Lanutan 1) Provinsi Kab/kota y v 1 v t Kab. Sumba Barat 8,9 6,64 3,11 8,16 Kab. Sumba Timur 8,58 6,49 3,64 87,31 Kab. Kupang 0,06 7,49,96 90,99 Kab. Timor Tengah Selatan 7,81 6,71 1,9 84,44 Kab. Timor Tengah Utara 1,59 6,94,81 88,8 Kab. B e l u 14,58 6,76 3,83 85,54 Kab. A l o r 0,11 7,56,7 96,0 Kab. Lembata 3,5 7,38 3,46 93,98 Kab. Flores Timur 8,1 7,1 3,34 91,55 Kab. Sikka 1,66 6,8 3,43 9,1 NTT Kab. E n d e 1,03 7,76 4,31 95,01 Kab. Ngada 11,19 7,66 1,7 96,94 Kab. Manggarai 0,96 6,87 1,87 93,16 Kab. Rote Ndao 8,5 6,71,39 90,14 Kab. Manggarai Barat 18,1 6,87 1,89 93,04 Kab. Sumba Tengah 31,93 6,3 0,5 75,6 Kab. Sumba Barat Daya 6,87 5,39,71 77,6 Kab. Nagekeo 1,08 7,39 1,15 96,39 Kab. Manggarai Timur 4,85 6,57,64 93,8 Kab. Sabu Raiua 31,0 5,7 4,59 78,33 Kota Kupang 9,1 11,9 8,89 98,6 Kab. Maluku Tenggara Barat 9,75 8,99 5,5 99,94 Kab. Maluku Tenggara 5,06 8,93 4,66 99,6 Kab. Maluku Tengah,15 8,9 1,75 99,15 Kab. B u r u 18,51 7,95 5,04 9,87 Kab. Kepulauan Aru 7,34 8,31 5,19 99,16 Maluku Kab. Seram Bagian Barat 4,63 8,74 8,1 98,33 Kab. Seram Bagian Timur 4,49 7,95 6,18 98,1 Kab. Maluku Barat Daya 9,5 8,11 3,73 98,6 Kab. Buru Selatan 17,05 7,34 9,14 89,8 Kota Ambon 4,4 11,39 15,46 99,67 Kota Tual 3,8 9,96 1,79 99,78 Kab. Boalemo 1,79 6,6 1,69 95,8 Gorontalo Kab. Gorontalo 1,57 6,9 5,05 95,55 Kab. Pohuwato 1,47 7,04 1,38 97,09 Kab. Bone Bolango 17,19 7,86 3,89 98,87 58

80 Lampiran 1. Data yang Digunakan (Lanutan ) Provinsi Kab/kota y v 1 v t Gorontalo Kab. Gorontalo Utara 19,16 6,93,78 96,67 Kota Gorontalo 5,99 10,8 7,35 99,67 Kab. Bengkulu Selatan,59 9,05 4,14 96,57 Kab. Reang Lebong 18,48 8,0 4,4 96,3 Kab. Bengkulu Utara 14,5 8,1 4,05 95,41 Kab. K a u r 3,5 8,17 4,73 97,37 BENGKULU Kab. Seluma 1,84 7,63,14 95,46 Kab. Muko Muko 1,98 7,74 3,33 94,4 Kab. Lebong 1,89 7,95 6,81 96,7 Kab. Kepahiang 16,13 8,1 4,9 96,56 Bengkulu Tengah 7,4 7,47 5,97 9,63 Kota Bengkulu 1,51 11,6 7,81 99,44 Kab. Simeulue 0,57 8,97 6,4 99,79 Kab. Aceh Singkil 18,73 7,83 11,07 96,7 Kab. Aceh Selatan 13,44 8,51 7,95 96,6 Kab. Aceh Tenggara 14,39 9,38 16,8 98,08 Kab. Aceh Timur 16,59 8,58 11,4 98,33 Kab. Aceh Tengah 17,76 9,77,4 98,98 Kab. Aceh Barat 3,7 8,81 7,4 95,1 Kab. Aceh Besar 16,88 9,86 13,15 97 Kab. Pidie 1,1 8,75 8,88 96,3 Kab. Bireuen 17,65 9,31 9,57 98,55 Kab. Aceh Utara 0,34 9,6 17,97 97,87 Aceh Kab. Aceh Barat Daya 18,9 8,35 10,3 96,51 Kab. Gayo Lues,33 8,76 1, 88,19 Kab. Aceh Tamiang 15,13 8,89 10,49 98,38 Kab. Nagan Raya 1,75 8,4 7,77 9,1 Kab. Aceh Jaya 17,53 8,77 9,68 95,67 Kab. Bener Meriah 3,47 8,98 0,63 98,94 Kab. Pidie Jaya,7 8,75 1,8 95,54 Kota Banda Aceh 8,03 1,7 10,4 99,39 Kota Sabang 18,31 10,63 1,5 99,14 Kota Langsa 1,6 10,6 11,74 99,36 Kota L okseumawe 1,47 10,67 7,46 99,69 Kota Subulussalam 0,69 7,66 9,85 96,57 59

81 Lampiran. Syntax R Model Nonparametrik Campuran Kernel dan 1 Fourier library(pracma) data=read.csv("d:/dataifa.csv",sep=";") #menginput data y=data[,] #variabel y xf=as.matrix(data[,3]) #variabel fourier xk=as.matrix(data[,4:5]) #variabel kernel n=length(y) #umlah observasi nf=1 #banyaknya variabel fourier nk=ncol(xk) #banyaknya variabel kernel pembagi=50 #interval kernel pembagi yang diinginkan (bisa diubah) M=5 #parameter osilasi (bisa diubah) #matrix m1.nn=matrix(1, nrow=n, ncol=n) # matriks 1 nxn m1.n1=matrix(1, nrow=n) # matriks 1 nx1 mi.nn=diag(1,n,n) # matriks identitas nxn bw=matrix(0,pembagi,nk) for (i in 1:nk) { bw[,i]=seq(0,(max(xk[,i])-min(xk[,i])),length.out=pembagi) } bw=bw[:(pembagi-1),] nband=(pembagi-)*(pembagi-3) band=matrix(0,nband,) lambda=seq(1,3,by=0.01) nlambda=length(lambda) l=1 for (i in 1:(pembagi-3)) { for ( in 1:(pembagi-)) { band[l,]=c(bw[i,1],bw[,]) l=l+1 } } GCV=matrix(1000,nband*M*nlambda) MSE=matrix(1000,nband*M*nlambda) code=matrix(1000,nband*m*nlambda,4) e=1 for (a in 1:nband) { for (m in 5:5) #bisa diubah sesuai nilai parameter osilasi M { for (lm in 1:nlambda) { 60

82 Lampiran. Syntax R Model Nonparametrik Campuran Kernel dan 1 Fourier (Lanutan 1) sum.v.phi=0 for (i in 1:nk) { v.diag=diag(xk[,i]) V=m1.nn %*%v.diag z=(t(v)-v)/band[a,i] K=1/sqrt(*pi)*exp(-1/*z^) #fungsi kernel gaussian K.Z=(1/band[a,i])*K W.penyebut=diag(c(1/n*K.Z%*%m1.n1))%*%m1.nn V.phi=1/n*K.Z/W.penyebut #penimbang V(phi).1 sum.v.phi=sum.v.phi+v.phi #nilai kernel untuk setiap variabel } # penimbang kernel gabungan V.phi=sum.v.phi/nk #nilai kernel rata-rata X=cbind(xf,1) for (i in 1:m) { xx=cos(i*xf) X=cbind(X,xx) } d=c(0,0) for (i in 1:m) { d=c(d,lambda[lm]*(i^4)) } D=diag(d) S.lambda=X%*%pinv(t(X)%*%X+n*D)%*%t(X)%*%(mi.nn-V.phi) Z=S.lambda+V.phi MSE[e]=n^-1*t(y)%*%t(mi.nn-Z)%*%(mi.nn-Z)%*%y GCV[e]=MSE[e]/((n^-1*sum(diag(mi.nn-Z)))^) code[e,]=c(band[a,1],band[a,],m,lambda[lm]) e=e+1 } } } optimum=cbind(code,mse,gcv) colnames(optimum)=c("band1","band","m","lambda","mse","gcv") #memberi nama variabel GCVmin=optimum[order(optimum[,6]),] #mengurutkan nilai GCV minimum GCVmin[1,] #==penaksiran parameter setelah ditemukan gcv minimum==# bandwidth=gcvmin[1,1:] 61

83 Lampiran. Syntax R Model Nonparametrik Campuran Kernel dan 1 Fourier (Lanutan ) Osilasi=GCVmin[1,3] Lamb=GCVmin[1,4] sum.v.phi=0 for (i in 1:nk) { v.diag=diag(xk[,i]) V=m1.nn %*%v.diag z=(t(v)-v)/bandwidth[i] K=1/sqrt(*pi)*exp(-1/*z^) # fungsi kernel gaussian K.Z=(1/bandwidth[i])*K W.penyebut=diag(c(1/n*K.Z%*%m1.n1))%*%m1.nn V.phi=1/n*K.Z/W.penyebut # penimbang V(phi).1 sum.v.phi=sum.v.phi+v.phi #nilai kernel untuk setiap variabel } # penimbang kernel gabungan V.phi=sum.v.phi/nk #nilai kernel rata-rata X=cbind(xf,1) for (i in 1:Osilasi) { xx=cos(i*xf) X=cbind(X,xx) } d=c(0,0) for (i in 1:Osilasi) { d=c(d,lamb*(i^4)) } D=diag(d) S.lambda=X%*%pinv(t(X)%*%X+n*D)%*%t(X)%*%(mi.nn-V.phi) A.lambda=pinv(t(X)%*%X+n*D)%*%t(X)%*%(mi.nn-V.phi)%*%y Z=S.lambda+V.phi yhat=z%*%y SSR=sum((yhat-mean(y))^) SSE=sum((y-yhat)^) R=(SSR/(SSR+SSE))*100 write.csv(gcvmin,file="d:/gcvall.csv") write.csv(a.lambda,file="d:/alambda.csv") write.csv(s.lambda,file="d:/s_lambda.csv") write.csv(v.phi,file="d:/v_phi.csv") write.csv(z,file="d:/z.csv") write.csv(yhat,file="d:/yhat.csv") R 6

84 Lampiran 3. Syntax R Model Nonparametrik Campuran 1 Kernel dan Fourier library(pracma) data=read.csv("d:/dataifa.csv",sep=";") #menginput data y=data[,] #variabel y xf=as.matrix(data[,3:4]) #variabel fourier xk=as.matrix(data[,5]) #variabel kernel n=length(y) #umlah observasi nk=1 #banyaknya variabel fourier nf=ncol(xf) #banyaknya variabel kernel pembagi=50 #interval kernel pembagi yang diinginkan (bisa diubah) M=5 #parameter osilasi (bisa diubah) #matrix m1.nn=matrix(1, nrow=n, ncol=n) # matriks 1 nxn mi.nn=diag(1,n,n) # matriks identitas nxn band=seq(0,(max(xk)-min(xk)),length.out=pembagi) band=band[:pembagi] nband=length(band) lambda=seq(1,3,by=0.01) nlambda=length(lambda) GCV=matrix(1000,nband*M*nlambda*nlambda) MSE=matrix(1000,nband*M*nlambda*nlambda) code=matrix(1000,nband*m*nlambda*nlambda,4) e=1 for (a in 1:nband) { for (m in 5:5) #bisa diubah sesuai nilai parameter osilasi M { for (lm1 in 1:nlambda) { for (lm in 1:nlambda) { v.diag=diag(xk) V=m1.nn*v.diag z=(t(v)-v)/band[a] K=1/sqrt(*pi)*exp(-1/*z^) # fungsi kernel Gaussian K.Z=(1/band[a])*K W.penyebut=diag(c(1/n*K.Z%*%m1.n1))%*%m1.nn V.phi=1/n*K.Z/W.penyebut # penimbang V(phi).1 X=matrix(0,n) for ( in 1:nf) { X=cbind(X,xf[,],1) 63

85 Lampiran 3. Syntax R Model Nonparametrik Campuran 1 Kernel dan Fourier (Lanutan 1) for (i in 1:m) { xx=cos(i*xf[,]) X=cbind(X,xx) } } X=X[,:ncol(X)] d1=c(0,0) for (i in 1:m) { d1=c(d1,lambda[lm1]*(i^4)) } d=c(0,0) for (i in 1:m) { d=c(d,lambda[lm]*(i^4)) } D=diag(c(d1,d)) S.lambda=X%*%pinv(t(X)%*%X+n*D)%*%t(X)%*%(mi.nn-V.phi) Z=S.lambda+V.phi MSE[e]=n^-1*t(y)%*%t(mi.nn-Z)%*%(mi.nn-Z)%*%y GCV[e]=MSE[e]/((n^-1*sum(diag(mi.nn-Z)))^) code[e,]=c(band[a],m,lambda[lm1],lambda[lm]) e=e+1 } } } } optimum=cbind(code,mse,gcv) colnames(optimum)=c("bandwidth","m","lambda1","lambda","mse","gcv") #memberi nama variabel GCVmin=optimum[order(optimum[,6]),] #mengurutkan nilai GCV minimum GCVmin[1,] #========================================================# #==penaksiran parameter setelah ditemukan gcv minimum==# bandwidth=gcvmin[1,1] Osilasi=GCVmin[1,] Lamb1=GCVmin[1,3] Lamb=GCVmin[1,4] v.diag=diag(xk) V=m1.nn*v.diag 64

86 Lampiran 3. Syntax R Model Nonparametrik Campuran 1 Kernel dan Fourier (Lanutan ) z=(t(v)-v)/bandwidth K=1/sqrt(*pi)*exp(-1/*z^) # fungsi kernel gaussian K.Z=(1/bandwidth)*K W.penyebut=diag(c(1/n*K.Z%*%m1.n1))%*%m1.nn V.phi=1/n*K.Z/W.penyebut # penimbang V(phi).1 X=matrix(0,n) for ( in 1:nf) { X=cbind(X,xf[,],1) for (i in 1:Osilasi) { xx=cos(i*xf[,]) X=cbind(X,xx) } } X=X[,:ncol(X)] d1=c(0,0) for (i in 1:Osilasi) { d1=c(d1,lamb1*(i^4)) } d=c(0,0) for (i in 1:Osilasi) { d=c(d,lamb*(i^4)) } D=diag(c(d1,d)) S.lambda=X%*%pinv(t(X)%*%X+n*D)%*%t(X)%*%(mi.nn-V.phi) A.lambda=pinv(t(X)%*%X+n*D)%*%t(X)%*%(mi.nn-V.phi)%*%y Z=S.lambda+V.phi yhat=z%*%y SSR=sum((yhat-mean(y))^) SSE=sum((y-yhat)^) R=(SSR/(SSR+SSE))*100 write.csv(gcvmin,file="d:/gcvall.csv") write.csv(a.lambda,file="d:/alambda.csv") write.csv(s.lambda,file="d:/s_lambda.csv") write.csv(v.phi,file="d:/v_phi.csv") write.csv(z,file="d:/z.csv") write.csv(yhat,file="d:/yhat.csv") R 65

87 (halaman ini sengaa dikosongkan) 66

88 BIOGRAFI PENULIS Penulis lahir di Kota Magelang, Provinsi Jawa Tengah pada tanggal 1 Februari 199 dengan nama lengkap Ngizatul Afifah, sebagai anak kedua dari tiga bersaudara dari pasangan M. Abdul Dalal dan Suwaebah. Penulis menempuh pendidikan formal di TK PGRI Serasi Candireo Borobudur ( ), SD Negeri Candireo I Borobudur ( ), SMP Negeri 1 Ngoro ( ) dan SMA Negeri Jombang ( ). Penulis kemudian melanutkan enang S1 di Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Jombang ( ). Penulis melanutkan studi ke enang S di Program Pascasarana Statistika FMIPA Institut Tekonologi Sepuluh Nopember Surabaya ( ) dengan Beasiswa dari Lembaga Pengelola Dana Pendidikan (LPDP). Saran, kritik, dan pertanyaan seputar tesis ini dapat disampaikan ke alamat ngizatul.afifah@gmail.com. 67