Pengutipan Pustaka dan Penulisan Daftar Pustaka

Transkripsi

1 Tugas Analisis Perancangan Survei Pengutipan Pustaka dan Penulisan Daftar Pustaka SELPADINA INDRIYANI H PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2015

2 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perancangan percobaan merupakan metode percobaan yang sistematis dan terarah sehingga akan menghasilkan percobaan yang tidak bias. Dalam percobaan yang ingin diketahui adalah efek atau pengaruh dari faktor atau beberapa faktor beserta interaksinya dimana pola dari variabel respons hanya dipengaruhi oleh faktor-faktor yang diamati dan kesalahan percobaan. Dalam suatu penelitian, terkadang respon yang diamati dalam setiap percobaan dilakukan lebih dari satu kali pada waktu yang berbeda selama penelitian, ini disebut dengan pengamatan berulang atau Repeated Measures (Gomez, 1995). Pengamatan berulang atau Repeated Measurements adalah rancangan yang diaplikasikan untuk mempelajari lebih dari satu pengukuran pada variabel respon yang sama yang dilakukan pada tiap subjek. Sehingga rancangan ini dapat digunakan ketika perlakuan ditetapkan secara acak untuk individu yang sama baiknya pada pengamatan dalam pengukuran berulang yang akan dibuat satu atau lebih grup subjek (Gomez, 1995). Waktu pengamatan seolah-olah dipandang sebagai faktor tambahan, sehingga Repeated Measures dipandang sebagai rancangan dua faktor dengan pola split-plot. Faktor yang dicobakan dialokasikan sebagai petak utama dan waktu pengamatan dialokasikan sebagai anak petak. Tujuan dari pengamatan

3 berulang adalah untuk mengetahui kecepatan perubahan respon dari suatu periode waktu ke periode waktu lainnya. Selain itu ingin diketahui apakah ada pengaruh interaksi antara perlakuan dan periode waktu pengamatan. Widiharih (2001) telah melakukan penelitian tentang analisis ragam multivariat untuk rancangan acak lengkap dengan pengamatan berulang, pada penelitian tersebut dilakukan Analisis Variansi (ANAVA). Namun nyatanya terkadang pada beberapa kasus dijumpai pengaruh variabel-variabel lain di luar variabel penelitian terhadap variabel yang diamati. Variabel luar ini sering tidak dapat dikontrol, sehingga tidak dapat diabaikan begitu saja saat dilakukan percobaan. Variabel luar yang bersifat demikian disebut variabel konkomitan (Sudjana, 1994). Apabila dalam suatu percobaan terdapat variabel konkomitan, maka analisis yang tepat digunakan adalah analisis kovarians atau sering disebut dengan ANCOVA. ANCOVA berfungsi untuk memurnikan pengaruh variabel dependen dari pengaruh variabel konkomitan. Tetapi analisis ini tidak dapat digunakan untuk penelitian terhadap lebih dari dua variabel secara bersamaan, sehingga diperlukan teknik analisis untuk penelitian terhadap lebih dari dua variabel secara bersamaan. Teknik analisis multivariat yang digunakan untuk mengatasi masalah tersebut adalah Multivariate Analysis of Covariance (MANCOVA). MANCOVA adalah analisis kovarians dimana setidaknya ada dua variabel dependen yang dianggap simultan. MANCOVA juga mirip dengan analisis variansi multivariat atau MANOVA, tetapi memungkinkan

4 untuk mengendalikan pengaruh variabel independen tambahan yaitu variabel konkomitan. Falhy(2008) dalam jurnalnya menerangkan pelitian tentang Multivariate Repeated Measurements Analysis of Variance for Complete Data. Al-Mouel(2012) juga dalam jurnalnya telah melakukan penelitian tentang One-Way Repeated Measurements Analysis of Covariance with Two Covariates, namun pada penelitian tersebut hanya menerangkan garis besar prosedur kerja dari MANCOVA satu arah dengan dua kovariat pada model Repeated Measurements saja. Berdasarkan uraian di atas, maka pada kapita selekta ini penulis tertarik untuk meneliti lebih lanjut mengenai Analisis Kovarians Multivariat pada Model Pengamatan Berulang (Repeated Measures). 1.2 Rumusan Masalah Masalah yang diangkat pada kapita selekta ini yaitu: 1. Bagaimana prosedur dan kriteria analisis kovarians multivariat pada rancangan Repeated Measures? 2. Bagaimana penerapan analisis kovarians multivariat pada rancangan Repeated Measures? 1.3 Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penulisan kapita selekta ini adalah sebagai berikut:

5 1. Mengetahui prosedur dan kriteria analisis kovarians multivariat pada rancangan Repeated Measures 2. Menerapkan analisis kovarians multivariat pada rancangan Repeated Measures 1.4 Batasan Masalah Pada kapita selekta ini, penulis akan membahas mengenai analisis kovarians multivariat pada model Repeated Measurements dan membatasinya dengan satu kovariat dengan statistik uji lanjutan Wilks Lambda. 1.5 Manfaat Penulisan Adapun manfaat yang dapat dimbil dari penulisan skripsi ini yaitu dapat memberikan gambaran tentang analisis kovarians multivariat pada rancangan Repeated Measures dan contoh penerapan MANCOVA dalam bidang pendidikan, khususnya bagi mahasiswa matematika.

6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Rancangan Percobaan Rancangan percobaan adalah langkah-langkah lengkap yang harus diambil sebelum percobaan dilakukan supaya data yang semestinya diperlukan dapat diperoleh sehingga analisis yang dilakukan dapat obyektif dan mempunyai kesimpulan yang berlaku untuk persoalan yang sedang dibahas (Sudjana, 1994). Percobaan tersebut dilakukan dengan tujuan untuk menyelidiki sesuatu yang belum diketahui atau untuk menguji suatu teori atau hipotesis. Dalam suatu rancangan percobaan harus memenuhi tiga prinsip dasar (Mattjik dan Sumertajaya, 2002), yaitu: 1. Pengulangan (replication), yaitu pengalokasian suatu perlakuan tertentu terhadap beberapa unit percobaan pada kondisi yang seragam. Pengulangan ini bertujuan untuk menduga ragam dari galat percobaan, menduga galat baku (standard error) dari rata-rata perlakuan, meningkatkan ketepatan percobaan, dan memperluas cakupan penarikan kesimpulan dari suatu percobaan. 2. Pengacakan (randomization), yaitu setiap unit percobaan harus memiliki peluang yang sama untuk diberi suatu perlakuan tertentu. Pengacakan perlakuan pada unit-unit percobaan dapat menggunakan tabel bilangan acak, sistem undian secara manual atau menggunakan komputer. 3. Pengendalian lingkungan (local control), yaitu usaha untuk mengendalikan keragaman yang muncul akibat keheterogenan kondisi lingkungan. Usaha

7 pengendalian lingkungan ini dapat dilakukan dengan pengelompokan (blocking) satu arah, dua arah maupun multi arah. Pengelompokan dikatakan baik jika keragaman di dalam kelompok lebih kecil dibandingkan dengan keragaman antar kelompok. 2.2 Rancangan Pengamatan Berulang (Repeated Measures) Gambaran Umum Rancangan Repeated Measures Pengamatan berulang atau Repeated Measurements adalah rancangan yang diaplikasikan untuk mempelajari lebih dari satu pengukuran pada variabel respon yang sama yang dilakukan pada tiap subjek. Sehingga rancangan ini dapat digunakan ketika perlakuan ditetapkan secara acak untuk individu yang sama baiknya pada pengamatan dalam pengukuran berulang yang akan dibuat satu atau lebih grup subjek(gomez, 1995). Syarat suatu rancangan dapat dikatakan repeated measure diantaranya adalah : 1. Variable berskala interval atau ratio (continuous). 2. Dependent variable memiliki normally distributed. 3. Asumsi Sphericity (mirip uji homokedastisitas). Sphericity adalah kondisi dimana varians dari perbedaan antara semua grup terkait kombinasi (tingkat) adalah sama. Pelanggaran Sphericity adalah ketika varians dari perbedaan antara semua grup terkait kombinasi tidak sama. Sphericity dapat disamakan dengan homogenitas varians di antara subjek ANOVA.

8 4. Pengukuran dilakukan lebih dari dua kali. Rancangan Repeated Measures memiliki beberapa kelebihan antara lain memiliki jumlah subjek terbatas, sehingga rancangan Repeated Measures dapat mengurangi varians dari estimasi efek perlakuan, memungkinkan inferensi statistik dibuat dengan jumlah subjek lebih sedikit. Kelebihan kedua yaitu efisiensi. Rancangan Repeated Measures memungkinkan banyaknya percobaan akan selesai lebih cepat, sebab jumlah kelompok yang lebih sedikit pada percobaan. Ketiga adalah rancangan Repeated Measures memungkinkan peneliti untuk memantau bagaimana perubahan data dari waktu ke waktu (analisis longitudinal), baik situasi jangka pendek maupun jangka panjang (Gomez, 1995) Model Linear Rancangan Repeated Measures Suatu percobaan faktor tunggal (misalnya A) dengan a buah taraf faktor, waktu pengamatan dilakukan b kali, satuan percobaan relatif homogen masing masing perlakuan diulang n kali, respon yang diamati sebanyak p buah (p 2), mempunyai model linier setiap pengamatan (Hartati, 2013): (2.1) Untuk setiap i=1,2,..,a; j=1,2,..,b; k=1,2,..n; l=1,2,..,p Dengan:

9 Yijkl: pengamatan respon ke l dari satuan percobaan ke k yang memperoleh taraf ke i faktor A dan waktu pengamatan ke j. : rata rata dari respon ke l : pengaruh taraf ke i faktor A terhadap respon ke l : komponen galat(a) : pengaruh waktu pengamatan ke j terhadap respon ke l : pengaruh interaksi taraf ke i faktor A dan waktu pengamatan ke j terhadap respon ke l. : komponen galat(b) Berikut layout data pengamatan untuk rancangan Repeated Measures. Ulangan Faktor A Waktu 1 Respon... n Respon 1... p 1... p 1 Y 1111 Y 111p Y 11n1 Y 11np b Y 1b11 Y 1b1p Y 1bn1 Y 1bnp Y a111 Y a11p Y a1n1 Y a1np a b Y ab11 Y ab1p Y abn1 Y abnp Tabel 2.1 Layout Data Pengamatan Rancangan Repeated Measures Asumsi :

10 Vektor galat menyebar multinormal dengan vektor rata rata vektor nol dan mempunyai matriks peragam (varian-kovarian) (matriks peragam dari setiap perlakuan ) sama/homogen. 2.3 Analisis Kovarians Analisis kovarians merupakan suatu teknik yang mengkombinasikan analisis variansi dengan analisis regresi yang dapat digunakan untuk perbaikan ketelitian suatu percobaan. Analisis kovarians melibatkan penyelesaian variabel respons observasi untuk pengaruh dari variabel konkomitan. Jika penyelesaian seperti ini tidak dilakukan, maka variabel konkomitan dapat meningkatkan mean square error dan membenarkan perbedaan dalam hal respons terhadap perlakuan yang diselidiki (Montgomery, 2003). Dengan kata lain, variabel konkomitan merupakan variabel lain yang muncul dalam suatu percobaan yang tidak dapat dikendalikan, sehingga dapat mempengaruhi variabel respons yang sedang diamati dalam penelitian. Menurut Gaspersz (1991), variabel konkomitan dipilih dengan hati-hati supaya penggunaannya sesuai dengan tujuan yaitu mengurangi keragaman percobaan. Variabel konkomitan harus mempunyai hubungan linear dengan variabel respons karena jika variabel konkomitan tidak mempunyai hubungan linear dengan variabel respons, maka analisis kovarians tidak dapat dilakukan.

11 Analisis kovarians memiliki beberapa kegunaan, yaitu : 1. Mengendalikan galat dan meningkatkan ketepatan percobaan. 2. Menyesuaikan atau mengoreksi rata-rata perlakuan dari variabel tak bebas. 3. Membantu menginterpretasikan data dengan melihat sifat dan pengaruh perlakuan. 4. Menguraikan total kovarians atau jumlah hasil kali menjadi bagianbagiannya. 5. Menduga nilai yang hilang. Beberapa pengertian variabel yang akan digunakan dalam Anakova antara lain: a) Kriterium, adalah variabel terikat (Y) yaitu variabel yang dipengaruhi, dimana data harus berbentuk interval atau rasio. b) Kovariabel, desebut juga variabel kendali, variabel kontrol, variabel konkomitan yang diberi lambang X, dan data harus berbentuk interval atau rasio. c) Faktor, yaitu sebutan untuk variabel bebas atau variabel eksperimental yang ingin diketahui pengaruhnya dan data harus berbentuk nominal atau ordinal. 2.4 Analisis Kovarians Multivariat Analisis Kovarians Multivariat (MANCOVA) merupakan gabungan antara Analisis Varian Multivariat (MANOVA) dan regresi multivariate.

12 Analisis MANCOVA merupakan analisis dimana setidaknya ada dua variabel dependen yang dianggap simultan. MANCOVA memiliki kemiripan dengan MANOVA, namun terdapat independen interval yang ditambahkan sebagai kovariat. Dalam MANCOVA, peneliti memperkirakan adanya perbedaan statistik pada variabel terikat ganda dengan mengelompokkan variabel bebas sementara mengontrol variabel ketiga yakni kovariat. Kovariat diikutsertakan sehingga dapat mereduksi eror serta adanya analisis yang dilakukan dapat mengeliminasi efek kovariat pada hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat. Dengan demikian, MANCOVA bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan perlakuan terhadap sekelompok variabel dependen setelah disesuaikan dengan pengaruh variabel konkomitan. Untuk MANCOVA, terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi sebelum pengujian MANCOVA dilakukan yakni sebagai berikut (Widyaningrum, 2011): a. Normalitas Distribusi normal multivariate merupakan perluasan dari distribusi normal univariat. Dalam analisis multivariate asumsi multivariat normal perlu diperiksa untuk memastikan data pengamatannya mengikuti distribusi normal agar statistik inferensi dapat digunakan dalam menganalisis data tersebut. Variabel y 1, y 2, y p dikatakan berdistribusi normal multivariate dengan parameter μ dan Ʃ jika mempunya densitas peluang : f(y 1, y 2,, y p ) = Ʃ (2.2)

13 dengan: y 1 = variabel yang diamati (i= 1, 2, p) μ = rata-rata sampel = matriks varians kovarians Jika y 1, y 2, y p berdistribusi normal multivariate maka ( ) berdistribusi. Berdasarkan sifat ini maka pemeriksaan distribusi normal dapat dilakukan dengan cara membuat plot chi square. Dalam hal ini dihitung jarak Mahalanobis dari setiap observasi terhadap centroid group. b. Homogenitas Matriks Varian Kovarian Asumsi yang harus dipenuhi dalam MANCOVA adalah kesamaan matriks varians kovarians antar grup pada variabel dependen. Untuk meneguji syarat ini dapat menggunakan uji Box s M dengan langkah sebagai berikut: 1. Hipotesis: H 0 : 1 = 2 =..= k (matriks varians kovarians homogen) H 1 : i j untuk i j (matriks varians kovarians tidak homogen) 2. Taraf signifikansi α = Statistik uji M = ln ln (2.3) C -1 = 1- { } { } (2.4)

14 Dimana S=, S adalah matriks kovariansi gabungan penduga bagi adalah matriks kovarians untuk i= 1, 2,, k dan p adalah banyaknya respon yang diamati, adalah ukuran contoh ke-i, selanjutnya menghitung MC Kriteria keputusan H 0 ditolak jika MC -1 > H 0 diterima jika MC -1 < Jika nilai MC -1 maka H 0 diterima sehingga asumsi homogenitas matriks varians kovarians terpenuhi. c. Ada hubungan linear antara variabel dependen dengan variabel konkomitan 1. Hipotesis : H 0 : B = 0 (variabel X tidak mempengaruhi variabel Y) H 0 : B 0 (variabel X mempengaruhi variabel Y) 2. Taraf signifikansi Taraf signifikansi α= Statistik uji menggunakan uji Wilks Lambda sebagai berikut : = (2.5) Statistik Wilks Lambda dapat ditranformasikan ke statistik F, dengan demikian dapat dilakukan perbandingan dengan table distribusi F.

15 4. Kriteria keputusan : Pada distribusi F, H 0 ditolak jika F hitung > F table atau sehingga dapat diartikan bahwa variabel konkomitan mempengaruhi terhadap variabel dependen. d. Kesamann kemiringan antar perlakuan (Homogeneity of Regression Slopes) Pada model MANCOVA, harus memenuhi asumsi bahwa terdapat hubungan variabel dependen dengan variabel konkomitan homogen antar perlakuan. Untuk menguji hipotesis ini, maka dilakukan perhitungan matriks jumlah kuadrat dan hasil kali silang galat tiap kelompok. Misalkan merupakan matriks jumlah kuadrat, maka hasil kali silang galat tiap kelompok adalah sebagai berikut : [ ] Matriks untuk regresi dihitung secara terpisah pada masing-masing kelompok dan hasilnya dijumlahkan. 1. Hipotesis : H 0 : koefisien regresi homogen antar perlakuan H 0 : B 1 = B 2 = B 3 H 1 : koefisien regresi tidak homogen antar perlakuan H 1 : B 1 B 2 B 3 2. Taraf signifikansi α = Statistik uji

16 (2.6) Dan matriks jumlah kuadrat dalam model penuh adalah (2.7) Jika menggunakan statistik uji Wilks Lambda, maka : = (2.8) 4. Kriteria keputusan ditolak jika koefisien regresi < α dan H 0 diterima jika koefisien regresi > α atau dengan kata lain terdapat kesamaan kemiringan pada grup (treatmen) Selanjutnya, setelah asumsi MANCOVA terpenuhi dilakukan uji MANCOVA dengan menggunakan uji Wilks Lambda dengan hipotesis tergantung pada tujuan dari masing-masing penelitian. 2.5 Analisis Kovarians Multivariat Pada Rancangan Repeated Measures Model linear analisis kovarians multivariat untuk rancangan Repeated Measures adalah(al-mouel, 2012): Dengan: i = 1,..., n j adalah indeks untuk unit percobaan dalam grup j. j = 1,..., q adalah indeks untuk grup k = 1,..., p adalah indeks untuk waktu

17 Y ijk = Pengamatan respon pada waktu k untuk setiap unit percobaan i dalam grup j = rata-rata keseluruhan = efek tambahan pada grup j = efek acak terhadap unit percobaan i dalam grup j = efek tambahan untuk waktu k = efek tambahan untuk grup j x interaksi pada waktu k = nilai dari kovariat untuk unit percobaan i dalam grup j = rata-rata kovariat untuk setiap unit percobaan = galat pada waktu k untuk unit percobaan i dalam grup j Asumsi: a. Model tetap b. Model acak [ ] ( ) [ ] ( ) Prosedur yang ditempuh untuk menghitung Anakova adalah sebagai berikut: 1. Menghitung jumlah kuadrat total (Jkt) pada kriterium, kovariabel, dan product XY. a. Kriterium (Y)

18 ( ) b. Kovariabel (X) ( ) c. Product (XY) ( )( ) 2. Menghitung Jumlah kuadrat dalam kelompok (Jkd) kriterium, kovariabel, dan product XY. a. Kriterium (Y) [ ( ) ( ) ( ) ] b. Kovariabel (X) [ ( ) ( ) ( ) ] c. Product (XY) [ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ] 3. Menghitung jumlah kuadrat residu JKres) total, dalam dan antar kelompok. a. Total (JKres t ) b. Dalam Kelompok (Jkres d )

19 c. Antar kelompok (Jkres a ) 4. Menghitung derajat kebebasan (db) total, dalam dan antar kelompok, dengan N adalah banyaknya unit percobaan. a. db t = N 2 (2.19) b. db a = K 1 (2.20) c. db d = N - K 1 (2.21) 5. Menemukan varian residu dengan menghitung rata-rata kuadrat residu antar kelompok (RKres a ) dan dalam kelompok (RKresd). 6. Menghitung rasio F residu (F) 7. Melakukan uji signifikansi dengan jalan membandingkan antara harga F empirik dengan teoritik yang terdapat pada tabel nilai-nilai F. Dengan ketentuan apabila F empirik > F teoritik maka diinterpretasikan signifikan dan sebaliknya apabila F empirik < F teoritik maka diinterpretasikan tidak signifikan atau tidak ada perbedaan yang signifikan diantara variabel-variabel penelitian.

20 Sumber Keragaman Derajat Bebas (db) Jumlah Kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) F-Hitung F-Tabel Faktor A a-1 JKA KTA Faktor B b-1 JKB KTB Interaksi A*B (a-1)(b- 1) JKAB KTAB Galat(a) ab(r-1) JKG(a) KTG(a) Waktu W c-1 JKW KTW Galat(b) c(r-1) JKG(b) KTG(b) Interaksi A*W (a-1)(c- 1) JKAW KTAW Interaksi B*W (b-1)(c- 1) JKBW KTBW Interaksi A*B*W (a-1)(b- 1)(c-1) JKABW KTABW Total abcr-1 JKT Tabel 2.2 Analisis Kovariansi dalam Rancangan Repeated Measures

21 DAFTAR PUSTAKA Al- Mouel, A.H.S Covariates In One Way Multivariate Repeated Measurements Analysis Of Covariance (ANCOVA) Model. Iraq: Basrah. Falhy, Abbass One-Way Multivariate Repeated Measurement Analysis of Variance (MRM ANOVA) Model for Complete Data. Iraq: Basrah. Gaspersz, V Metode Perancangan Percobaan. Bandung: CV Armico. Gomez K.A & Gomez A. A Statistical Procedures for Agricultural Researcg 2nd Edition. Singapore: John Wiley & Sons Inc. Hartati, Alif Analisis Varian Dua Faktor dalam Rancangan Pengamatan Berulang (Repeated Measures). Semarang: Universitas Diponegoro. Mattjik, A.A. & Sumertajaya, M Perancangan Percobaan Dengan Aplikasi SAS dan MINITAB Jilid I. Bogor: IPB Press. Montgomery, D.C Design and Analysis of Experiments. New York: John Wiley&Sons,Inc. Sudjana Desain dan Analisis Eksperimen Edisi Ketiga. Bandung : Tarsito. Widiharih, Tatik Analisis Ragam Multivariat Untuk Rancangan Acak Lengkap dengan Pengamatan Berulang. UNDIP. Widyaningrum, E.K Analisis Kovarians Pada Rancangan Hyper Graeco Latin. Yogyakarta: UNY.