STUDI MEMBANGUN PROSES TITIK (POINT PROCESSES) DAN PENDEKATANNYA MELALUI PROSES POISSON

Transkripsi

1 STUDI MEMBANGUN PROSES TITIK (POINT PROCESSES) DAN PENDEKATANNYA MELALUI PROSES POISSON TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung Oleh: RINI CAHYANDARI NIM: Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007

2 STUDI MEMBANGUN PROSES TITIK (POINT PROCESSES) DAN PENDEKATANNYA MELALUI PROSES POISSON TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung Oleh: RINI CAHYANDARI NIM: Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung Menyetujui, Bandung,.September 2007 Dr. Udjianna S. Pasaribu Pembimbing

3 ABSTRAK Proses menghitung merupakan proses stokastik yang memiliki ruang keadaan diskrit dan indeks parameter berupa waktu, lokasi dan keduanya. Salah satu contoh proses menghitung adalah proses titik. Ada 4 pendekatan untuk membentuk proses titik, yaitu ukuran menghitung, fungsi tangga, barisan titik, dan barisan interval. Berkaitan dengan ukuran menghitung, contoh trivial dari proses titik adalah proses Poisson, khususnya Poisson nonhomogen yang diperluas, dimana proses ini dicirikan oleh suatu fungsi intensitas. Sebagai ilustrasi dari fungsi intensitas, dilakukan analisis metode maksimum likelihood, dimana fungsi likelihood Poisson nonhomogen memuat bentuk integral Riemann- Stieltjes. Untuk studi kasus, dipilih data pohon pinus berdaun panjang (longleaf pine) di hutan Wade Tract, Thomas County, Georgia. Kata kunci: proses menghitung, proses Poisson, proses titik, integral Riemann- Stieltjes, metode maksimum likelihood i

4 ABSTRACT Counting process is a stochastic process which has a discrete state space and parameter index such as time, location and both of them. The example of counting process is point processes. There 4 approaches to construct point processes; counting measure, step function, sequence of points, and sequence of intervals. Related to the counting measure, trivial case of point processes is Poisson process, especially extended nonhomogeneous Poisson, which is characterized by an intensity function. The ilustration of intensity function is approached by analyzing maximum likelihood method, which nonhomogeneous Poisson likelihood function contains Riemann-Stieltjes integration and by using longleaf pine data at Wade Tract forest, Thomas County, Georgia. Keywords: counting process, Poisson process, point processes, Riemann-Stieltjes integration, maximum likelihood method. ii

5 Oleh karena itu, fa idzaa azamta fa tawaqqal alallah, bulatkan tekad, sempurnakan ikhtiar namun hati harus tetap menyerahkan segala keputusan dan kejadian terbaik kepada Allah SWT. Boleh jadi engkau tidak menyukai sesuatu padahal bagi Allah SWT lebih baik bagimu, dan boleh jadi engkau menyukai sesuatu padahal buruk dalam pandangan Allah SWT. (Q.S.Al-Baqarah : 216 ) Ketahuilah hidup ini bagai gaung di pegunungan, apa yang kita bunyikan, suara itu pulalah yang akan kembali kepada kita, artinya segala yang terjadi pada kita adalah buah dari apa yang kita lakukan. Sesungguhnya sesudah kesulitan itu pasti ada kemudahan dan sesudah kesulitan itu pasti ada kemudahan. (Q.S. Al-Insyiroh [94]:5-6) Kegagalan itu tidak fatal. Kegagalan hendaknya menjadi guru, bukan penggali kubur. Hendaknya menantang kita untuk mencapai prestasi yang lebih tinggi, bukan menarik kita ke dalam keputusasaan yang baru. Dari kegagalan yang jujur akan muncul pengalaman yang berharga William Arthur Ward Kupersembahkan karya ini untuk Abah dan Mamah tercinta Kakak-kakakku tersayang Orang-orang yang kusayangi dan menyayangiku

6 PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi Kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung. iii

7 UCAPAN TERIMA KASIH Assalamu alaikum Wr.Wb. Alhamdulillah, puji dan syukur kehadirat Allah SWT, atas segala limpahan nikmat, rahmat dan hidayah-nya, khususnya kepada penulis, karena dengan izin-nya penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Shalawat dan salam semoga Allah limpahkan kepada nabi Muhammad SAW, penyempurna akhlak manusia, penghulu para nabi dan uswatun hasanah. Dengan mengambil judul Studi Membangun Proses Titik (Point Processes) dan Pendekatannya Melalui Proses Poisson, tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister pada program studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung. Penulis dalam menyelesaikan tesis ini banyak memperoleh bantuan, bimbingan dan dorongan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih secara khusus kepada kedua orang tua penulis, Abah dan Mamah, yang telah membesarkan, mendidik, membimbing penulis dengan penuh kesabaran, pengertian, limpahan kasih sayang dan selalu memberikan dorongan baik moril maupun materiil serta tidak henti-hentinya berdoa buat penulis. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada: 1. Ibu Dr. Udjianna S. Pasaribu, selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktunya untuk memberikan arahan, sumbangan pikiran, ilmu, pengetahuan, bantuan dan pengalaman yang bermanfaat bagi penulis. 2. Bapak Prof. Hendra Gunawan dan Bapak Dr. Sutawanir Darwis yang telah bersedia menjadi dosen penguji pada seminar tesis dan memberikan masukanmasukan untuk perbaikan dalam penyusunan tesis ini.. iv

8 3. Ibu Dr. Irawati, selaku dosen wali penulis selama menjadi mahasiswa S2 di program studi Matematika ITB. 4. Staf pengajar Matematika ITB, atas segala ilmu dan pengetahuan yang telah diberikan selama perkuliahan. 5. Bapak Dr. Yudi Soeharyadi, atas segala bantuan dan waktunya untuk diskusi. 6. Staf Tata Usaha, Perpustakaan dan Laboratorium, yang telah banyak memberikan bantuan dan kemudahan kepada penulis. 7. Ibu Dr. Budi Nurani R, atas dukungan dan nasehat kepada penulis untuk tetap semangat dalam menjalani studi S2. 8. Rekan-rekan S2, S3 dan mahasiswa/i KK Statistik, khususnya utriweni mukhaiyar, terima kasih atas kebersamaan, nasehat dan bantuannya. 9. Teman-teman terbaik, khususnya lia yuwanita, rizky yurisa, surya kusumah, edi kurniadi dan arif rochman atas dukungan, nasehat dan bantuannya. 10. Penghuni kosan Haur 133, atas kebersamaan, dukungan dan pengertiannya. 11. Pihak-pihak lain yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, atas bantuan dalam berbagai hal, baik langsung maupun tidak langsung. Semoga Allah SWT membalas semua kebaikan bapak, ibu dan rekan-rekan semua. Akhir kata, penulis berharap semoga tesis ini bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca umumnya. Wassalamu alaikum Wr.Wb. Bandung, Oktober 2007 Rini Cahyandari v

9 DAFTAR ISI ABSTRAK ABSTRACT PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS UCAPAN TERIMA KASIH DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR TABEL i ii iii iv vi viii x BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penulisan Pembatasan Masalah Sistematika Penulisan. 4 BAB II PROSES MENGHITUNG DAN PROSES TITIK Proses Stokastik Proses Menghitung Partisi Himpunan dengan Bentuk Sebangun Partisi Menggunakan Konsep Pengemasan Bola (Sphere Packing) Proses Titik (Point Processes) Membentuk Proses Titik melalui Ukuran Menghitung Membentuk Proses Titik melalui Fungsi Tangga Membentuk Proses Titik melalui Barisan Titik.. 21 vi

10 2.9 Membentuk Proses Titik melalui Barisan Interval Hubungan antar 4 Pendekatan BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES Pendahuluan Integral Riemann-Stieltjes Fungsi Likelihood Proses Poisson Nonhomogen 38 BAB IV TAKSIRAN MAKSIMUM LIKELIHOOD 42 FUNGSI INTENSITAS POISSON NONHOMOGEN 4.1 Pendahuluan Fungsi Intensitas Proses Poisson Nonhomogen Taksiran Fungsi Intensitas Proses Kedatangan Fungsi Intensitas Pohon Pinus Berdaun Panjang (Longleaf Pine). 47 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran 54 DAFTAR PUSTAKA 55 LAMPIRAN 56 vii

11 viii

12 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1 Pengemasan irisan jeruk dengan ukuran dan jenis yang berbeda 2 Gambar 2 Partisi himpunan A = [0,t] 9 Gambar 3 Partisi himpunan A di R 2 10 Gambar 4 Lingkaran A, A dan A 11 Gambar 5 Partisi himpunan A di R 3 12 Gambar 6 Susunan jeruk pada sebuah kotak 13 Gambar 7 Susunan teratur segi enam (hexagonal packing arrangement) 15 Gambar 8 cubic close packing 15 Gambar 9 hexagonal closes packing 15 Gambar 10 Titik-titik kedatangan dalam antrian 16 Gambar 11 Titik lokasi gempa bumi 17 Gambar 12 Titik waktu dan lokasi gempa bumi 17 Gambar 13 Skema prosedur membentuk proses titik 18 Gambar 14 Foto jejak dan partikel-partikel hasil benturan 20 Gambar 15 Posisi t i di R + 22 Gambar 16 Posisi t i di R - 23 Gambar 17 Masalah pengiriman sinyal pada Signal Encoding 24 Gambar 18 Gambar 19 Pendekatan yang diperoleh jika ukuran menghitung N[0,T] diketahui Grafik data waktu sebuah tempat usaha fotokopi Darker Image Gambar 20 Pendekatan yang diperoleh jika fungsi tangga N(t) diketahui 29 viii

13 Gambar 21 Grafik fungsi banyaknya pengunjung warnet Cozy terhadap waktu kedatangan 30 Gambar 22 Pendekatan yang diperoleh jika barisan titik (t i } diketahui 30 Gambar 23 Grafik fungsi banyaknya pengunjung terhadap waktu kedatangan 31 Gambar 24 Pendekatan yang diperoleh jika barisan interval {τ i } diketahui 32 Gambar 25 Grafik fungsi distribusi peubah acak diskrit X 36 Gambar 26 Grafik fungsi peluang peubah acak kontinu Y 37 Gambar 27 Peta penyebaran pohon pinus berdaun panjang dengan diameter lebih dari 2 dbh di lokasi hutan Wade Tract seluas empat hektar 47 Gambar 28 Empat sublokasi hutan hasil partisi 49 Gambar 29 Partisi lokasi hutan yang diperkecil 50 ix

14 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1 Tabel 2 Daftar kecelakaan 647 wanita yang bekerja di sebuah pabrik amunisi selama 5 minggu Banyaknya lumut yang menyerang 126 daerah kuadrat pada mika Tabel 3 Data waktu sebuah tempat usaha fotokopi Darker Image 28 Tabel 4 Data waktu pengunjung warnet Cozy 29 Tabel 5 Data waktu antar kedatangan pengunjung 31 Tabel 6 Jumlah pohon pinus pada masing-masing sublokasi 49 Tabel 7 Intensitas pohon pinus pada masing-masing sublokasi 49 x