BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Analisis runtun waktu banyak diterapkan hampir di semua bidang kegiatan, antara lain bidang ekonomi, kesehatan, ilmu pengetahuan alam, dan sebagainya. Ada beberapa alasan mempelajari analisis runtun waktu, diantaranya untuk memahami dan mengetahui gambaran suatu mekanisme, untuk peramalan, dan untuk mengendalikan kondisi optimal suatu sistem. Model Autoregressive (AR), moving average, atau Autoregressive Moving Average (ARMA) merupakan model yang paling populer dan seringkali digunakan untuk pemodelan runtun waktu. Namun, model-model tersebut hanya bisa digunakan untuk kondisi homoskedasticity (variansi error sama). Di lain pihak, kebanyakan runtun waktu bidang ekonomi menunjukkan volatilitas yang besar diikuti oleh volatilitas yang kecil. Model ARMA tidak cocok untuk kasus yang mempunyai sifat heteroskedasticity. Menurut Chan (2002), variabel-variabel pada kasus runtun waktu ekonomi biasanya memiliki tiga karakter berikut: distribusi tak bersyarat dari runtun waktu ekonomi memiliki ekor yang lebih tebal dibanding distribusi normal, nilai runtun waktu X t kurang berkorelasi untuk lag yang panjang tapi Xt 2 sangat berkorelasi sampai lag yang panjang, dan perubahan X t cenderung mengelompok yang artinya besar (kecil) perubahan X t cenderung diikuti oleh perubahan besar (kecil). Oleh karena itu, pada perkembangannya pemodelan runtun waktu terutama pada bidang makro ekonomi dan keuangan, ditekankan pada momen pertama bersyarat. Dengan mempertimbangkan resiko dan ketidakpastian dalam teori ekonomi modern, pengembangan teknik baru runtun waktu memungkinkan pemodelan time-varying variance and covariances. Kontribusi penting dalam pengembangan ini diberikan oleh Engle (1982) yang telah mengenalkan kelas model Autoregressive Conditional Heteroskedastic (ARCH). Kebanyakan teori modern dari runtun waktu menggunakan asumsi-asumsi se- 1

2 2 perti: stasioner, gaussian, dan sebagainya. kenyataannya banyak runtun waktu terutama di bidang finansial mempunyai sifat-sifat khusus seperti tren, tidak stabil, tidak Gaussian, heavy tail, atau asimetris. Transformasi banyak digunakan untuk mengatasi suatu kondisi yang melanggar asumsi yang ada. Salah satu jenis transformasi yang sangat populer dan sering digunakan pada analisis runtun waktu adalah transformasi Box-Cox. Transformasi kemungkinan besar akan mengubah sifat-sifat runtun waktu yang ada, sehingga perlu di teliti perubahan sifat runtun waktu setelah dilakukan transformasi. Salah satunya perlu diteliti bagaimana sifat estimator untuk runtun waktu dengan transformasi Metode estimasi model ARCH yang sudah banyak digunakan selama ini adalah metode least square dan metode maximum likelihood. Metode estimasi maximum likelihood hanya bisa digunakan bila distribusi probabilitas populasi diketahui. Kelemahan dari metode maximum likelihood adalah metode ini hanya bisa digunakan pada saat distribusi error diketahui. Di lain pihak, banyak kasus dengan distribusi populasi tidak diketahui. Sedangkan untuk metode estimasi least square, walaupun metode ini tidak memerlukan asumsi distribusi tertentu, tapi metode ini kurang efisien untuk mengestimasi model ARCH karena harus menggunakan dua tahap yaitu: pertama, estimasi dahulu parameter model regresi dan kedua, bentuk model variansi "buatan" berdasarkan error yang dihitung dari hasil estimasi model regresi dan selanjutnya estimasi model variansi tersebut. Hal ini akan mengakibatkan estimasi kedua mempunyai resiko salah menjadi besar. Untuk itu perlu metode estimasi yang lain sebagai alternatif yang bisa digunakan di luar kondisi di atas. Pada disertasi ini, di lakukan studi tentang metode estimasi second order least square (SLS) untuk memperoleh estimasi model ARCH. Metode estimasi ini tidak memerlukan pengetahuan tentang distribusi dari variabel random yang di amati dan diperoleh estimasi semua parameter secara simultan.

3 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang, dapat dirumuskan permasalahan yang akan diteliti: 1. bagaimana menentukan estimator SLS pada model ARCH 2. bagaimana menentukan estimator SLS pada model ARCH yang variabel dependennya di transformasi Box-Cox, 3. bagaimana sifat-sifat asimtotik estimator SLS:konsistensi dan normalitas, 4. bagaimana perbandingan variansi estimator SLS dan estimator least square (LS) Tujuan Penelitian Penelitian ini mempunyai beberapa tujuan umum, antara lain menghasilkan suatu pengembangan di bidang ilmu pengetahuan dasar, yaitu matematika dan statistika yang berguna di dalam analisis runtun waktu. Sedang tujuan khususnya adalah meneliti sifat-sifat estimasi second order least square untuk runtun waktu heteroskedastic dan efek transformasi Box-Cox pada suatu proses runtun waktu heteroskedastic terhadap estimasi yang dihasilkan secara matematis dan diperkuat dengan hasil simulasi. Penelitian ini juga bertujuan untuk melihat kebaikan estimat SLS dibandingkan estimator LS berdasarkan variansinya. Selain itu, memberikan contoh aplikasi metode estimasi second order least square pada suatu kasus runtun waktu heteroskedastic Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan bermanfaat bagi kemajuan Ilmu Matematika dan statistika pada umumnya, terutama yang berkaitan dengan analisis runtun waktu yang sering ditemui diberbagai bidang seperti: ekonomi, teknik, geofisika, medis, dan lainlain. Hasil penelitian ini diharapkan bisa memberikan pengetahuan baru mengenai

4 4 metode estimasi SLS dan penggunaannya pada analisis runtun waktu khususnya proses Autoregressive Conditional Heteroskedastic Keaslian Berdasarkan pelacakan literatur dan internet yang ada ternyata permasalahan yang dikaji dalam disertasi ini belum pernah diteliti. Metode estimasi pada model ARCH yang selama ini digunakan adalah maximum likelihood dan least square. Sedangkan metode SLS belum pernah digunakan pada analisis model ARCH yang mempunyai sifat bahwa variansi variabel random pada saat t bergantung pada variansi sebelumnya. Metode estimasi ini diperkenalkan pertama kali oleh Wang (2003) dan digunakan pada model regresi nonlinear dengan variabel error yang berdistribusi identik dan independen, sedang proses ARCH mengasumsikan bahwa variabel error tidak identik Tinjauan Pustaka Banyak runtun waktu menunjukkan perilaku periode-periode volatilitas yang sangat besar dan diikuti oleh periode-periode volatilitas yang relatif kecil. Pada kondisi ini, asumsi variansi konstan tidak sesuai. Beberapa kasus analisis data bertujuan meramalkan variansi bersyarat dari runtun waktu. Misalnya pemodelan volatilitas return aset dalam bidang ekonomi keuangan. Model yang sangat terkenal untuk pemodelan variansi bersyarat adalah Autoregressive Conditional Heteroskedastic (ARCH). Model Box-Jenkins Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) telah mendominasi analisis data runtun waktu, khususnya selama periode Namun, salah satu keterbatasan model ini adalah bahwa model tersebut tidak mampu menggambarkan volatilitas. Keluarga Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH) merupakan model runtun waktu nonlinier yang sering digunakan selama dua dekade terakhir atau lebih. Perkembangan keluarga ARCH untuk menggabungkan pengaruh regressor dalam persamaan mean dan variansi telah dipertimbangkan, seperti Generalized ARCH (GARCH), dan Threshold ARCH (TARCH).

5 5 Keluarga model ARCH yang telah diperkenalkan oleh Engle (1982) telah banyak digunakan pada aplikasi data keuangan dan telah banyak menarik perhatian banyak peneliti. Diantaranya, Alberolla (2006), Gao, Yu dan Chen (2009), Hardle dan Hafner (2000), dan lain-lain. Lamoureux and Lastrapes (1990) menyebutkan bahwa conditional heteroskedastic mungkin disebabkan oleh dependensi waktu kedatangan informasi ke pasar dan selanjutnya menggunakan data volume perdagangan harian dari pasar saham sebagai proxy untuk kedatangan informasi tersebut dan mengkonfirmasi signifikansinya. Mizrach (1990) menghubungkan model ARCH dengan error dari proses pembelajaran pelaku ekonomi. Pada kasus ini, kesalahan kontemporer dari ekspektasi dihubungkan dengan kesalahan masa lalu untuk ekspektasi yang sama. Stock (1998) menginterpretasikan bahwa secara umum setiap variabel ekonomi berkembang pada operasional skala waktu, sedang dalam prakteknya diukur menurut skala waktu kalender. Penggunaan skala waktu kalender ini menyebabkan volatility clustering karena variabel ekonomi tersebut dapat berkembang lebih cepat atau lebih lambat relatif terhadap waktu kalender. (Bera and Higgins (1990), Diebold (1986)). Alberola (2006) menganalisis secara empiris runtun waktu return pada pasar energi Spanyol dan memodelkan volatilitasnya dengan model ARCH untuk menjelaskan regularitasnya. Penggunaan kelas ARCH yang lain diantaranya Gao,dkk (2009). Gao menyatakan bahwa model ARMA-ARCH mempunyai akurasi yang sangat tinggi untuk meramalkan kecepatan angin jangka pendek (short term) dalam rangka mendukung pekerjaan di bidang pertanian. Sebelumnya Hardle dan Hafner (2000) menggunakan model GARCH, yang merupakan perluasan model ARCH, untuk memodelkan harga opsi Duan dan mengatakan bahwa estimasi volatilitasnya lebih fleksibel. Hal ini dikarenakan harga opsi secara kuat bergantung pada sifat-sifat volatilitas, diantaranya asimetrik. Metode estimasi model ARCH yang sudah banyak digunakan selama ini adalah metode least square dan metode maximum likelihood. Weiss (1986) telah mendiskusikan sifat-sifat estimasi maksimum likelihood dan estimasi least square dari model ARCH. Basawa (1976) meneliti sifat konsistensi dan asimtotik normal untuk

6 6 estimator maximum likelihood untuk kasus di mana variabel random terobservasi dimungkinkan dependen dan tidak berdistribusi identik. Metode estimasi maximum likelihood hanya bisa digunakan bila distribusi probabilitas populasi diketahui. Sehingga ini menjadi kelemahan dari metode maximum likelihood, karena hanya bisa digunakan pada saat distribusi diketahui. Sedang metode estimasi least square tidak memerlukan asumsi distribusi tertentu, tapi metode ini hanya memperhitungkan minimum kuadrat error saja. Untuk itu perlu metode alternatif untuk estimasi parameter, yaitu metode second least square. Wang dan Leblanc (2008) mengestimasi parameter model regresi nonlinear dengan variabel error berdistribusi identik dan independen dengan menggunakan metode second least square. Metode ini, selain memperhitungkan mean error, juga memperhitungkan variansinya. Berdasarkan Abarin dan Wang (2006) second least square lebih baik dibanding estimator least square bila distribusi populasi skew (tidak simetris). Teknik estimasi maximum likelihood dan fungsi likelihood memerlukan kondisi cukup dari error, yaitu berdistribusi Normal. Metode maximum likelihood dilakukan dengan memaksimalkan fungsi likelihood terhadap nilai parameter suatu model, dan biasanya estimasi yang dihasilkan mempunyai sifat-sifat asimtotik. Sedangkan teknik estimasi least square untuk model ARCH dilakukan dengan terlebih dahulu ditentukan estimasi persamaan mean (regresi) dan dilakukan pengujian, selanjutnya ditentukan estimasi persamaan variansinya. Weiss (1986) mempelajari sifat-sifat estimator maksimum likelihood dan least square dari persamaan regresi dan persamaan variansi pada model ARCH, dan juga sifat-sifat berbagai uji dari model berdasarkan estimasi maximum likelihood dan least square. Metode estimasi SLS khusus untuk model nonlinear sudah dipelari Abarin dan Wang (2006) dan membandingkan estimasi generalized method of moment (GMM) dengan estimasi SLS dimana estimasi SLS akan lebih baik digunakan untuk model nonlinear pada kondisi distribusi error non simetrik. Kebanyakan teori modern dari runtun waktu menggunakan asumsi-asumsi seperti: stasioner, Gaussian, dan sebagainya. Di lain pihak banyak runtun waktu teruta-

7 7 ma di Bidang Finansial mempunyai sifat-sifat khusus seperti tren, tidak stabil, tidak Gaussian, heavy tail, atau asimetris. Transformasi banyak digunakan untuk mengatasi suatu kondisi yang melanggar asumsi yang ada. Penggunaan transformasi pada analisis runtun waktu sudah sejak lama digunakan oleh para peneliti. Draper and Cox (1969) dan Poiriers (1978) telah menunjukkan bahwa linearitas, homoscedastisitas, dan normalitas tidak dapat dikerjakan secara simultan dengan transformasi Box-Cox pada analisis runtun waktu. Sarkar (2000) mendefinisikan model ARCH untuk variabel dependen yang ditransformasi Box-Cox dengan nama model BCARCH (Box-Cox transformed ARCH) dan menggunakan metode maximum likelihood untuk mengestimasinya. Selanjutnya pengujian estimasi model BCARCH dilakukan dengan uji multiplier lagrange. Ashley dkk (1975) menerapkan transformasi untuk analisis dan peramalan runtun waktu nonstasioner dengan metode Box-Jenkins. Granger (1976) juga melakukan transformasi pada runtun waktu stasioner Gaussian untuk meramalkan suatu nilai hasil transformasi yang akan datang. Misalkan suatu model peramalan tersedia untuk proses tetapi pusat perhatian pada transformasi Y t = T (X t ). Blaylock (1983) menganalisis pengaruh spesifikasi suku error dan bentuk fungsional pada model permintaan daging. Di sini transformasi Box-Cox digunakan untuk menggeneralisasi bentuk fungsi ketika pesamaan error dipostulasikan heteroskedastik dan autoregressive. Tsiotas (2007) menggunakan transformasi Box-Cox pada model Variance Conditional. Tommaso (2008) meneliti masalah penyesuaian musiman dari transformasi nonlinear pada runtun waktu original seperti transformasi Box-Cox dari runtun waktu yang diukur pada skala rasio atau transformasi Aranda-Ordaz pada runtun waktu proporsional yang bertujuan untuk mencapai asumsi additif dan ortogonal dari komponen-komponen yang digunakan. Transformasi pada analisis runtun waktu seringkali memberikan efek pada hasil analisis dari runtun waktu yang ditransformasi. Hal ini sudah diteliti oleh beberapa orang. Farooque (2002) mempelajari efek pemilihan transformasi pada diagnostic adjustment seasonal dan kesalahan peramalan. Dalam runtun waktu ekonomi sering terjadi bahwa variansi runtun waktu naik dengan bertambahnya level runtun waktu. Transformasi logaritma biasanya cocok un-

8 8 tuk runtun waktu dengan variansi yang tak konstan sehingga dengan transformasi log akan menghasilkan runtun waktu dengan variansi konstan. Transformasi logaritma juga mempengaruhi kesalahan peramalan jika variasi terjadi pada akhir runtun waktu karena kebanyakan metode-metode peramalan menempatkan bobot yang lebih pada data runtun waktu terbaru. Oleh karena itu, jika runtun waktu tidak menunjukkan adanya kenaikan variansi, maka tidak perlu dilakukan transformasi logaritma untuk menstabilkan variansi. Abadir dan Talmain (2005) meneliti tentang metode untuk menghubungkan secara pasti fungsi autokovariansi dari dua transformasi suatu proses runtun waktu. Metode tersebut digunakan pada saat menentukan autokovariansi logaritma dari suatu deret berdasarkan autokovariansi yang sudah diketahui untuk deret asalnya. Freeman dan Modarras (2005) mempertimbangkan efisiensi dan power uji independensi setelah suatu transformasi Box-Cox diterapkan. Di sini diperoleh ekspresi korelasi antar variate-variate setelah suatu transformasi Box-Cox dilakukan. Uji independensi berdasarkan koefisien korelasi Pearson akan lebih efisien jika dilakukan setelah transformasi. Power uji independensi setelah dan sebelum di transformasi Box-Cox dipelajari untuk ukuran sampel berhingga dengan menggunakan simulasi Monte Carlo. Hasilnya menunjukkan bahwa ada kenaikan power tes teori normalitas untuk independensi setelah pengestimasian parameter transformasi dari data. Dari Freeman dan Modarras (2005) sistem transformasi Box-Cox menghasilkan keluarga Power Normal (PN), yang mempunyai anggota di dalamnya distribusi Normal dan Lognormal. Di sini dipelajari momen dari PN dan ekspresi untuk mean dan variansinya. Polinomial Hermit-Chebychev digunakan untuk menunjukkan bahwa koefisien korelasi lebih kecil dalam skala PN dari pada skala original. Dengan mengunakan batas-batas Frechet diperoleh ekspresi untuk batas atas dan bawah dari koefisien korelasi. Hwang dkk (2004) menerapkan transformasi Box-Cox pada threshold GARCH(1,1). Pada model ini mengakomodasi asimetrik pada variansi bersyarat melalui "threshold". Jiazhu dkk (2008) mempertimbangkan suatu klas dari power transformasi dan model threshold GARCH(p,q), yang merupakan generalisasi dari power

9 9 transformasi dan model threshold GARCH(1,1). Liu dan Ji-Chun (2007) menangkap karakteristik dinamik yang penting yaitu: asimetrik dan conditional heteroskedastic berdasarkan pada model Hwang & Basawa dan Haas. Liu dan Ji-Chun memperkenalkan suatu model Markov Switching Box-Cox transformed threshold GARCH dan beberapa sifat struktural proses GARCH baru diperoleh. Pertama, kondisi cukup dan perlu adanya penyelesaian stasioner secara lemah dan kuat dari proses GARCH baru diperoleh. Kedua, diperoleh kondisi umum adanya momen orde tinggi dari proses ini. Teknik yang digunakan untuk stasioner lemah dan momen orde tinggi dari proses GARCH baru berbeda dari Hwang dan Basawa (2004) dan menghindari asumsi bahwa proses berawal pada waktu lampau dengan variansi berhingga Sistematika Penulisan Disertasi ini disajikan dalam 5 (lima) bab. Bab I tentang pendahuluan yang memaparkan: latar belakang masalah, perumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, keaslian penelitian, tinjauan pustaka, dan sistematika penulisan. Bab II berisi tentang teori-teori dasar yang akan digunakan, diantaranya: pengertian konvergensi,teori asimtotik,teorema Limit Pusat, Ruang Metrik, Topologi R n, Matriks, proses runtun waktu, dan teori Ergodisitas dalam runtun waktu. Inti tulisan akan disampaikan dalam Bab III dan Bab VI. Dalam Bab III akan tentang beberapa metode estimasi untuk model ARCH serta kelebihan dan kekurangan estimator. Bab IV berisi tentang simulasi yang bertujuan untuk meyakinkan teori yang sudah dihasilkan pada bab sebelumnya dan contoh studi kasus. Kesimpulan dari hasil peneitian dan saran diberikan pada Bab V.