SOLUSI SEMI ANALITIK PERSAMAAN SCHRöDINGER DARI OSILATOR HARMONIK DAN ANHARMONIK YANG DIPENGARUHI POTENSIAL DELTA BIMA MAHA PUTRA

Transkripsi

1 SOLUSI SEMI ANALITIK PERSAMAAN SCHRöDINGER DARI OSILATOR HARMONIK DAN ANHARMONIK YANG DIPENGARUHI POTENSIAL DELTA BIMA MAHA PUTRA DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Solusi Semi Analitik Persamaan Schrödinger dari Osilator Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial Delta adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, April 2014 Bima Maha Putra NIM G

4 ABSTRAK BIMA MAHA PUTRA. Solusi Semi Analitik Persamaan Schrödinger dari Osilator Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial Delta. Dibimbing oleh TONY IBNU SUMARYADA dan SIDIKRUBADI PRAMUDITO. Dalam penelitian ini akan dibuat pemodelan sederhana perubahan partikel dari BCS ke BEC dalam dimensi ruang. Penjelasan perubahan partikel dari BCS ke BEC akan dimodelkan pada osilator harmonik ataupun osilator anharmonik yang dipengaruhi potensial delta dan konstanta pasangan (g) sehingga proses perubahan partikel dapat dikaji di dimensi ruang. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji perubahan fungsi eigen dan nilai eigen dari osilator harmonik dan osilator anharmonik akibat pengaruhi potensial delta pada beberapa nilai g. Hasil yang didapat adalah pada keadaan dasar, kenaikan nilai g akan membuat fungsi eigennya terlokalisir di titik kesetimbangannya dan nilai eigennya turun. Pada tingkat energi yang lain, kenaikan nilai g akan mengubah fungsi eigennya dan menurunkan nilai eigennya sampai ke suatu titik saturasinya dengan pengecualian fungsi eigen osilator harmonik di tingkat ganjil. Selain itu pada osilator anharmonik, penggunaan g diatas nilai tertentu dapat memunculkan nilai eigen dan fungsi eigen yang baru. Kata kunci: potensial Morse fungsi eigen, nilai eigen, osilator harmonik, potensial delta, ABSTRACT BIMA MAHA PUTRA. Semi-Analytical Solution of Schrödinger Equation of Harmonic and Anharmonic Oscillator with Influence of Delta Potential. Supervised by TONY IBNU SUMARYADA and SIDIKRUBADI PRAMUDITO. In this research a simple modeling will be made for BCS to the BEC crossover so it can be observed in dimension of space. Explanation of BCS to the BEC crossover will be modeled on the harmonic oscillator or anharmonik oscillator which influenced by delta potential and pairing constant (g) so the particles can be studied in dimensions of space. The purpose of this study is to observed the changes in the eigenfunctions and eigenvalues of the harmonic oscillator and the anharmonik oscillator due the influence of delta potensial on several g values. The results obtained in the ground state are the increase in the g values will make the eigenfunction localized at the point of equilibrium and it s eigenvalues will drop. In other energy levels, increase in the g values will drop the eigenfunctions and eigenvalues to a saturation point with exception at odd level of the harmonic oscillator eigenfunction. Futhermore, in anharmonic oscillator, usage of g over a certain values can bring new eigenvalues and eigenfunctions. Keywords : delta potential, eigenfunctions, eigenvalues, harmonic oscillator, Morse potential

5 SOLUSI SEMI ANALITIK PERSAMAAN SCHRöDINGER DARI OSILATOR HARMONIK DAN ANHARMONIK YANG DIPENGARUHI POTENSIAL DELTA BIMA MAHA PUTRA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Fisika DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7 Judul Skripsi : Solusi Semi Analitik Persamaan Schrödinger dari Osilator Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial Delta Nama : Bima Maha Putra NIM : G Disetujui oleh Dr Tony Ibnu Sumaryada Pembimbing I Drs Sidikrubadi Pramudito, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Akhiruddin Maddu Ketua Departemen Disetujui tanggal :

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan pada Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian dengan judul Solusi Semi Analitik Persamaan Schrödinger dari Osilator Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial Delta sebagai salah satu syarat kelulusan program sarjana di Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada berbagai pihak yang telah membantu pnulis dalam menyelesaikan usulan penelitian ini. Pihak-pihak tersebut adalah: 1. Bapak Dr Tony Ibnu Sumaryada dan Drs Sidikrubadi Pramudito, MSi selaku pembimbing skripsi yang telah membantu penulis dalam mendalami materi penelitian yang dikerjakan penulis, 2. Segenap staf pengajar, tata usaha dan staf laboratorium di Departemen Fisika IPB yang telah banyak membantu selama masa perkuliahan dan menjadi teman curhat penulis selama penulisan penelitian ini, 3. Kedua orang tua, kakak, dan semua keluarga besar yang selalu memberikan doa, nasehat, semangat, motivasi, dan logistik kepada penulis, 4. Kepada Anggi, Nofi, Lutfi, Risya, Rudy, dan pihak lainnya yang tidak mungkin disebutkan semua atas semangat dan bantuannya selama penulisan ini, 5. Kepada saudara Nugraha Wanda Sanjaya karena terus mengingatkan dan menyuruh saya untuk menyelesaikan skripsi saya. Penulis menyadari bahwa penelitian ini masih tidak sempurna, karena itu, kritik dan saran dari berbagai pihak sangat diharapkan demi kemajuan penelitian ini. Penulis berharap penelitian ini dapat membuka jalan baru untuk penelitian fisika partikel di Indonesia dan di dunia. Bogor, April 2014 Bima Maha Putra

9 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR TABEL vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 Perumusan Masalah 1 Hipotesis 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Fungsi Delta Dirac dan Potensial Delta 2 Persamaan Schrödinger Bebas Waktu 2 Osilator Harmonik 3 Osilator Anharmonik dengan Potensial Morse 4 Algoritme Numerov 6 Shooting Method 6 METODE 7 Waktu dan Tempat Penelitian 7 Alat 7 Metode Penelitian 7 HASIL DAN PEMBAHASAN 10 Penurunan Rumus Persamaan Schödinger yang Dipengaruhi Potensial Delta 10 Grafik Hubungan dan Energi Vibrasional 12 Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional 15 KESIMPULAN DAN SARAN 25 Kesimpulan 25 Saran 26 DAFTAR PUSTAKA 26 LAMPIRAN 27 RIWAYAT HIDUP 30

10 DAFTAR GAMBAR Model partikel: 3 Energi potensial osilator harmonik 4 Fungsi eigen dari osilator harmonik keadaan dasar dan tingkat pertama 6 4 Contoh energi potensial Morse 5 Skematik Shooting Method 7 Plot g Vs E pada Osilator Harmonik 12 Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 5 14 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 0 15 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1 16 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1 16 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 0 18 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 2 19 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5, n = 2 19 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 2, g =45 22 Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 2.5g = Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 5g = Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = DAFTAR TABEL Tabel 1 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Harmonik Tabel 2 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Anharmonik Tabel 3 Nilai Energi Numerik dan Analitik pada g ekstrim... 22

11 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Bose-Einstein condensate (BEC) adalah salah satu kajian dalam gas kuantum. Atom-atom seperti 1 H, 7 Li, 23 Na, 39 K, 41 K, 52 Cr, 85 Rb, 87 Rb, 133 Cs, 170 Yb, 174 Yb, dan 4 He* adalah atom-atom yang memiliki karakteristik untuk menjadi BEC pada suhu dingin yang ekstrim. BEC memiliki keuntungan dalam kajian kuantum karena sifat-sifat kuantumnya dapat teramati secara mikroskopik. Pada fermion terdapat teori pasangan Cooper (Cooper Pairing) yang dikembangkan oleh Bardeen, Cooper, dan Schrieffer (BCS) 1 yang pada kondisi tertentu berubah menjadi BEC. Perubahan partikel dari BCS ke BEC ini dipengaruhi oleh interaksi antar pasangan pada BCS. Jika interaksi antar pasangan atom pada BCS diperkuat, maka kedua atom ini akan menjadi molekul BEC yang terikat kuat 2. Selama ini kajian perubahan partikel dari BCS ke BEC terpusat pada dimensi momentum. Pada penelitian ini, kajian perubahan dari BCS ke BEC akan dimodelkan secara sederhana pada dimensi ruang satu dimensi. Pasangan atom dimodelkan sebagai dua atom yang terhubung oleh pegas yang juga dipengaruhi oleh interaksi antar pasangan atom. Interaksi ini mempengaruhi titik keseimbangan pada sistem dan dimodelkan sebagai sumur potensial Dirac. Ikatan antar atom dalam molekul diatomik bersifat elastis yang mengakibatkan atom-atom penyusunnya tidak berada pada posisi yang tetap melainkan bervibrasi di sekitar titik kesetimbangan. Model yang digunakan untuk menjelaskan vibrasi molekul ini adalah osilator harmonik dengan potensial pegas dan osilator anharmonik dengan potensial Morse. Potensial pegas dipilih karena dapat memodelkan perilaku molekul diatomik secara sederhana dan banyak digunakan dalam penelitian awal. Potensial Morse digunakan karena merupakan model potensial yang digunakan untuk menerangkan tingkah laku vibrasi suatu molekul antar atom. Model merupakan pendekatan yang baik untuk struktur vibrasi dari molekul pada osilator anharmonik kuantum, karena secara eksplisit mencakup efek pemutusan ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada suatu molekul 3. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui, membandingkan, dan menggambar perubahan tingkat energi dan fungsi gelombang dari sistem osilator harmonik dan anharmonik akibat pengaruh perubahan konstanta pasangan (pairing constant). Perumusan Masalah Perumusan masalah dari penelitian ini adalah: 1. Bagaimana pengaruh konstanta pasangan (pairing constant) terhadap perubahan tingkat energi osilator harmonik dan anharmonik?

12 2 2. Bagaimana pengaruh konstanta pasangan (pairing constant) terhadap perubahan fungsi gelombang osilator harmonik dan anharmonik? 3. Bagaimana perbedaan fungsi gelombang antara gelombang harmonik dan anharmonik pada tingkat energi rendah dan energi tinggi saat dipengaruhi konstanta pasangan (pairing constant). Hipotesis Semakin besar nilai kontanta pasangan (pairing constant) spektrum energi dari osilator harmonik dan anharmonik akan semakin rendah sedangkan fungsi gelombangnya akan semakin terlokalisir. TINJAUAN PUSTAKA Fungsi Delta Dirac dan Potensial Delta Fungsi delta Dirac ( ) adalah fungsi yang unik, Fungsi ini bernilai nol pada, menuju tak hingga saat ( ), dan memiliki luas sebesar 1. Fungsi ini sangat berguna dalam fisika teori, contohnya pada elektrodinamika kerapatan muatan pada muatan titik mengikuti fungsi delta 4. Fungsi delta Dirac dapat ditulis 5 : dengan nilai integral: ( ) { ( ) Potensial delta adalah potensial yang diturunkan dari fungsi delta Dirac ( ). Potensial ini bernilai nol di seluruh titik kecuali satu titik. Potensial delta dapat ditulis: (2.3) ( ) ( ) dengan adalah kontsanta pasangan (pairing constant). Jika potensial merupakan sumur potensial Dirac, maka bernilai positif. Persamaan Schrödinger Bebas Waktu Persamaan Schrödinger bebas waktu dapat ditulis sebagai: (2.1) (2.2) dengan: : Konstanta Planck per : Massa partikel : Fungsi gelombang : Energi Potensial ( ) (2.4)

13 3 : Tingkat energi dari Pada model dua partikel yang dihubungkan oleh pegas, massa partikel yang terlibat diganti dengan massa tereduksi dan adalah distorsi jarak antara dua (a) partikel pada panjang ikatan kesetimbangan. (b) Gambar 1 Model partikel: (a) Model partikel berpasangan (b) Model Partikel Tereduksi Pada sistem ini, nilai eigen dari persamaan adalah nilai energi vibrasional dua partikel. Osilator Harmonik Osilator harmonik adalah model sederhana dari vibrasi antara dua partikel yang dihubungkan oleh pegas dengan konstanta. Model ini banyak digunakan pada fisika klasik seperti pada molekul diatomik. Pada osilator harmonik, energi potensial dari sistem dirumuskan sebagai. (2.5) Sehingga Hamiltoniannya ( ) dengan adalah frekuensi osilasi, adalah momentum dan adalah nilai konstanta pegas yang berkaitan Untuk osilator harmonik dari sistem kuantum energi vibrasionalnya dirumuskan sebagai : ( ) dengan adalah bilangan kuantum vibrasional yang nilainya. (2.6) (2.7)

14 4 Gambar 2 Energi potensial osilator harmonik 8 Fungsi Eigen yang bersesuian dengan nilai eigen dari sistem ini adalah 4 : ( ) ( ) ( ) dengan adalah Polinominal Hermit yang dirumuskan 9 : ( ) ( ) ( ) (2.8) (2.9) Osilator Anharmonik dengan Potensial Morse Potensial Morse merupakan model potensial yang digunakan untuk Gambar 3 Fungsi eigen dari osilator harmonik keadaan dasar dan tingkat pertama 6 menjelaskan tingkah laku vibrasi suatu molekul antar atom atau partikel. Model ini merupakan pendekatan yang baik untuk struktur vibrasi dari molekul pada osilator anharmonik kuantum, karena secara eksplisit mencakup efek pemutusan ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada suatu molekul. Potensial Morse dinyatakan secara empiris oleh P.M. Morse dalam persamaan 10 :

15 ( ( ) ( ) ) (2.10) dengan adalah energi disosiasi yang diukur dari posisi kesetimbangan, adalah posisi keseimbangan molekul, dan adalah konstanta untuk setiap molekul tertentu dan dapat dikatakan konstanta untuk menentukan kesempitan atau kelengkungan dari sumur potensial. Hamiltonian dari sistem ini adalah: 5 ( ( ) ) (2.11) Energi vibrasional untuk pendekatan osilator anharmonik ini adalah: ( ) ( ) (2.12) dengan adalah bilangan kuantum vibrasional yang nilainya, nomor gelombang harmonik vibrasi dan adalah kontanta anharmonik. dengan adalah frekuensi. Konstanta anharmonik nilainya selalu lebih kecil dibandingkan frekuensi osilasi dan selalu bernilai positif 11. Berbeda dengan osilator harmonik, nilai eigen pada osilator anharmonik terbatas dengan dicari dengan membandingkan dengan. Fungsi Eigen yang bersesuian dengan nilai eigen dari sistem ini adalah 13 : ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) (2.13) dengan adalah nilai bulat terbesar dari,, ( ) adalah konstanta Gambar 4 Contoh energi potensial Morse 12

16 6 normalisasi yang dirumuskan 13 : ( ) ( ) ( ) ( ) (2.14) dan ( ) adalah fungsi Laguerre yang dirumuskan 14 : ( ) ( ) ( ) (2.15) Algoritma Numerov Dalam fisika, banyak perumusan penting dapat ditulis dalam bentuk persamaan linier orde kedua: ( ) ( ) (2.16) dengan ( ) adalah ketidak homogenan dan fungsi real. Saat positif maka solusi persamaan homogen akan berosilasi dengan bilangan gelombang sedangkan saat negatif solusi akan berubah secara eksponensial dengan laju ( ). Algoritma Numerov adalah metode simple dan efisien untuk mengintegralkan persamaan orde kedua dengan tetap berbentuk persamaan (2.16). Persamaan umum metode Numerov adalah: (( ) ( )) ( ) (2.17) dengan adalah error lokal. Saat ( ) dan ( ( )), maka sistem merupakan persamaan Schrödinger bebas waktu. Dengan menyederhanakan error lokal = 0 dan maka solusi metode numerov untuk persamaan Schrödinger bebas waktu adalah: ( ( )) (2.18) Skema dari Numerov ini lebih efisien dari Runge-Kutta orde 4 karena hanya memerlukan perhitungan dan juga lebih tinggi satu orde dari Runge-Kutta 15. Shooting Method Shooting Method adalah analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai batas menggunakan metode iterasi numerik untuk mencapai nilai yang diinginkan. Prinsip metode shooting adalah pada salah satu

17 titik yang memenuhi syarat batas fungsi integrasi yang sesuai ditembakan ke batas yang lain. Perbedaan hasil yang didapat pada ujung yang lain dengan syarat batasnya akan digunakan untuk mengatur kondisi awal. Hal ini dilakukan sampai kedua titik ujung memenuhi syarat batas METODE Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Syarat batas yang diinginkan Syarat batas yang diperlukan Gambar 5 Skematik Shooting Method 16 Pertanian Bogor dan dilaksanakan pada bulan September 2013 sampai bulan April Alat Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah alat tulis (berupa kertas, buku tulis, pena, dan pensil), Laptop ASUS A43SJ dengan piranti lunak Windows 7 Ultimate 32-bit, MATLAB R2008b, dan Microsoft Office Studi Pustaka Metode Penelitian Penelitian ini dimulai dengan studi pustaka tentang penurunan matematik dari osilator harmonik dan anharmonik, potensial delta, metode Numerov, Shooting Method, dan fungsi matematik lainnya yang berkaitan. Tahap ini merupakan penelusuran tinjauan pustaka untuk mendalami materi penelitian.

18

19 Menggambar Fungsi Gelombang dan Menetukan Energi Vibrasional Fungsi gelombang akan dicari menggunakan shooting method. Referensi 9 Mulai Menetukan fungsi yang ingin dicari. (harmonik atau anharmonik) dan variable terkait (De,xe,ω ħ) Inisiasi E0, xmin, xmax sebagai dasar inputan Gambar fungsi gelombang dengan nilai energi E = E0. Apa nilai fungsi yang terakhir (positif atau negatif) Jalankan Shooting Method Gambar Fungsi Gelombang dengan energi E, Apa nilai Akhir fungsi? Tambahkan E dengan nilai de Apakah nilai akhir fungsi sekarang sama dengan fungsi sebelumnya? Tidak Iya Tidak Apakah de < minimumde Ubah de menjadi de Iya Fungsi gelombang eigen dan nilai eiegen didapat yang digunakan untuk mencari fungsi gelombang yang sesuai adalah nilai analitik dari energi vibrasional osilator yang diteliti tanpa dipengaruhi oleh konstanta pasangan. Shooting method pada penelitian ini memiliki algoritma sebagai berikut:

20 10 Nilai E0 adalah nilai yang medekati nilai energi eigen analitik tanpa pengaruh konstanta pasangan (E0 tidak boleh sama dengan energi eigen analitik). Nilai xmin dan xmax dicari dengan trial and error tetapi untuk dugaan awal dapat menggunakan nilai diluar titik perpotongan potensial dengan nilai eigen yang digunakan. Jika fungsi yang dihasilkan oleh metode ini tidak sesuai dengan syarat batas, maka nilai inputan awal harus ada yang diubah. Syarat batas untuk fungsi eigen adalah: ( ) ( ) ( ) ( ) nilai dari ( ) dibuat sangat kecil yaitu. Fungsi yang didapat akan memiliki nilai energi eigen yang terkait. Nilai eigen yang didapat nantinya akan dibandingkan dengan hasil analitik dan dilihat ketepatannya. Fungsi eigen sendiri dapat memberikan informasi sifat gelombang saat dipengaruhi oleh konstanta pasangan. HASIL DAN PEMBAHASAN Penurunan Rumus Persamaan Schödinger yang Dipengaruhi Potensial Delta Diketahui bahwa Hamiltonian dari osilator yang ditambahkan potensial delta adalah: ( ) (4.1) Diketahui dari persamaan dasar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fungsi gelombang umum dapat dikembangkan menjadi sehingga fungsi Hamiltonian dapat ditulis: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.2) Dengan adalah fungsi gelombang osilator terkait nilai eigen ke n. Kalikan hamiltonian ini dengan di ruas kiri dan integralkan, maka akan didapat: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.3) diketahui, maka turunan rumus tersebut adalah:

21 11 ( ) ( ) (4.4) rumuskan ( ) ( ). lalu cari solusi dari, yaitu: ( ) (4.5) kita dapat menulis ulang rumus: ( ) ( ) ( ) (4.6) sehingga didapat: ( ) (4.7) rumus (4.7) ini dapat berlaku baik untuk osilator harmonik dan osilator anharmonik dengan catatan pada osilator harmonik, dan pada osilator anharmonik. Osilator Harmonik Menggunakan dan, persamaan (2.8) menjadi: ( ) ( ) (4.8) untuk nilai, maka ( ) untuk k ganjil dan ( ) ( ) ( ). dengan menggunakan indentitas faktorial ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) maka persamaan (4.7) dapat ditulis ulang menjadi: ( ) untuk k ganjil ( ) ( ) ( ) untuk k genap (4.9) (4.10) Karena ( ) untuk k ganjil, maka dapat disimpulkan nilai tidak berpengaruh pada energi eigen ganjil. Untuk k genap, dengan mensubtitusi persamaan (4.7) dengan persamaan (2.7) dan (4.9) didapatkan hubungan g dengan E yaitu:

22 12 ( ) ( ) ( ) (4.11) Osilator Anharmonik Pada osilator anharmonik bernilai 0 sehingga. Menggunakan, dan, persamaan (2.13) menjadi: ( ) ( ( ) ) ( ) ( )( ) ( ) (4.12) dengan nilai. Dengan mensubtitusi persamaan (4.7) dengan persamaan (2.12), (4.12), dan didapatkan hubungan g dengan E yaitu: ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ( ) ) (4.13) Pada penelitian ini nilai komputasi. ( ) akan dicari secara manual menggunakan Grafik Hubungan dan Energi Vibrasional Osilator Harmonik Dengan menggunakan program MATALAB, persamaan (4.11) dapat digambar dan menghasilkan grafik berikut: Gambar 6 Plot g Vs E pada Osilator Harmonik

23 13 Dari grafik tersebut terlihat pada keadaan dasar (ground state) kenaikan nilai g akan menyebabkan energi eigen turun ke nilai negatif secara exponensial. Hal ini dapat diartikan keadaaan dasar terkondensasi pada nilai g yang besar. Untuk keadaan pada keadaan genap, kenaikan nilai konstanta pasangan menyebabkan energi eigen menurun dan untuk nilai g yang sangat besar sekali, energi eigen akan turun satu level. Perubahan energi ini menunjukan bahwa untuk g bernilai positif, penggunaan potensial delta dan konstanta pasangan menurunkan energi eigen sistem dan energi akan menurun sampai nilai saturasinya yaitu nilai eigen satu tingkat dibawahnya. Selain itu, titik belok dari grafik ini selalu terjadi di g = 0 pada semua tingkat energi genap. Untuk g bernilai negatif, potensial delta dan konstanta pasangan menaikan energi eigen sistem dan energi akan naik sampai nilai saturasinya yaitu nilai eigen diatasnya. Untuk keadaan ganjil, konstanta pasangan tidak mempengaruhi energi eigen untuk setiap nilai g. Secara analitik, hal ini terjadi karena pada tingkat energi ganjil, fungsi eigen bernilai 0 pada x = 0 dan potensial delta yang berada di x = 0 tidak akan mempengaruhi fungsi gelombang. Osilator Anharmonik Dengan menggunakan program MATALAB, persamaan (4.13) dapat digambar dan menghasilkan grafik berikut: Gambar 7 Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 2.5

24 14 Gambar 8 Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 5 Dari kedua grafik tersebut dapat ditarik beberapa kesimpulan. Pada keadaan dasar, kenaikan nilai g dapat menurunkan energi eigen dimulai dengan penurunan secara exponensial dan dilanjutkan dengan penurunan secara linier. Hal ini dapat diartikan keadaaan dasar terkondensasi pada nilai g yang besar. Berbeda dengan osilator harmonik, nilai g dapat mempengaruhi keadaan ganjil maupun keadaan genap. Dari grafik ini dapat terlihat selain pada keadaan dasar, kenaikan nilai g akan menyebabkan energi eigen turun dan pada g yang besar, energi akan tersaturasi pada energi tertentu yang nilainya berada diatas nilai energi pada keadaan dibawahnya. Pengaruh nilai g terhadap penurunan energi eigen tidaklah sama pada setiap tingkat energi yang. Pada De = 5 (gambar 8) nilai g berpengaruh lebih kecil pada tingkat energi kedua dibandingkan tingkat energi ketiga. Kemungkinan hal ini disebabkan karena pada x = 0, simpangan gelombang tidak dalam keadaan puncaknya ( ) dan potensial delta tidak menurunkan energi secara maksimal. Perbedaan nilai simpangan gelombang pada x = 0 dan pengaruhnya pada energi yang diturunkan oleh potensial delta akan dibahas pada pembahasan fungsi gelombang. Grafik juga menunjukan bahwa titik belok fungsi g vs. E tidak selalu berada pada g = 0 dan berubah secara acak. Perbedaan De mempengaruhi banyaknya tingkat energi eigen, titik belok sistem, dan nilai eigen saturasinya. Secara analitik, perubahan pola grafik dipengaruhi fungsi Laguerre. Pada grafik, nilai E yang melebihi nilai De tidak mungkin ada sehingga dapat dihilangkan dari grafik. Penggambaran tetap dilakukan hanya untuk menggambarkan persamaan (4.13).

25 15 Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional Fungsi gelombang yang digambar adalah fungsi gelombang harmonik dan anharmonik dengan menggunakan shooting method. Nilai energi eigen yang didapat dari shooting mehod akan dibandingkan dengan hasil numerik. Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional Osilator Harmonik Fungsi gelombang yang dicari adalah fungsi gelombang pada keadaan dasar, pertama dan kedua. Keadaan dasar dipilih karena memiliki karakteristik yang berbeda dengan tingkat yang lain. Keadaan pertama dipilih untuk mewakili keadaan ganjil dan keadaan kedua dipilih untuk mewakili keadaan genap. Gambar 9 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 0

26 16 Gambar 10 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1 Gambar 11 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1

27 Dari ketiga grafik tersebut dapat diambil kesimpulan. Pada keadaan dasar (gambar 9), kenaikan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang menyempit dan terpusat di x = 0. Kenaikan g menyebabkan partikel semakin terkondensasi dan kedua partikel hanya berosilasi di dekat titik kesetimbangannya. Untuk keadaan pertama (gambar 10), keempat grafik saling berhimpit. Ini membuktikan bahwa perubahan nilai g tidak akan mempengaruhi fungsi gelombang. Fungsi gelombang keadaan pertama ini juga dapat mewakilkan seluruh fungsi gelombang keadaan ganjil sehingga dapat ditarik kesimpulan pada keadaan ganjil, nilai g tidak mempengaruhi pada fungsi gelombang. Untuk keadaan kedua (gambar 11), kenaikan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang semakin mendekati titik kesetimbangannya (x = 0). Selain itu simpangan gelombang di titik kesetimbangannya akan semakin rendah dan semakin lancip. Fungsi gelombang pada tingkat kedua ini dapat mewakilkan seluruh fungsi gelombang pada tingkat genap karena memiliki sifat yang sama. Perbandingan energi dari shooting method dengan hasil perhitungan numerik adalah sebagai berikut: 17 No. n g x min x max E numerik E analitik Tabel 1 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Harmonik Nilai x min dan x max adalah inputan aw al pada shooting method dan E numerik adalah nilai energi yang didapat dari shooting method. Dari tabel tersebut dapat disimpulkan bahwa nilai hasil numerik mendekati hasil dari analitik. Untuk tingkat energi dasar, perbedaan nilainya lebih tinggi. Pada nilai g yang besar, selisih nilai numerik dan analitik semakin tinggi. Untuk tingkat pertama, nilai energi eigen yang didapat sama dan tidak mengalami perubahan untuk setiap nilai g. Untuk tingkat genap, nilai energi akan semakin turun untuk kenaikan nilai g. Perbedaan nilai kemungkinan besar terjadi karena keterbatasan komputasi dan galat yang timbul terjadi akibat ketidaksempurnaan fungsi yang digunakan dalam komputasi.

28 18 Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional Osilator Anharmonik Fungsi gelombang yang ditampilkan pada pembahasan ini hanyalah fungsi gelombang dari De = 5,n = 0; De = 5, n = 2; dan De = 2.5, n = 2. Nilai ini dipilih karena dianggap dapat mewakilkan perbedaan pengaruh nilai g pada fungsi gelombang pada osilator anharmonik. Fungsi gelombang pada De dan tingkat energi yang lain akan diberikan pada lampiran. Gambar 12 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 0

29 19 Gambar 13 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 2 Gambar 14 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5, n = 2

30 20 Dari ketiga grafik itu dapat disimpulkan beberapa hal. Pada keadaan dasar (gambar 12), peningkatan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang meruncing di x= 0 seperti hanya pada osilator harmonik tetapi sebaran fungsi gelombangnya sedikit berbeda. Pada osilator anharmonik, bentuk kurva sisi kiri titik kesetimbangan lebih curam dibandingkan pada sisi kanan titik kesetimbangan. Selain itu pada g = 0, titik puncak simpangan gelombang tidak berada pada titik kesetimbangannya, melainkan sedikit bergeser ke kanan. Hal ini terjadi karena pada potensial Morse, bentuk potensial pada sisi kiri dan sisi kanan titik kesetimbangan tidak sama sehingga sisi kiri titik kesetimbangan lebih sempit dibandingkan sisi kanan. Sifat ini terjadi pada semua nilai De dimana pada g yang besar bentuk kurva akan meruncing di x = 0. Berbeda dengan osilator harmonik, perubahan kurva akibat nilai g dapat terjadi di keadaan energi ganjil maupun keadaan energi genap. Bentuk perubahan kurva berbeda di setiap keadaan tetapi secara umum mereka memiliki sifat yang sama. Pada gambar 13 terlihat peningkatan nilai g akan menyebabkan kurva bergeser mendekati titik kesetimbangannya. Selain itu kurva sisi kiri titik kesetimbangan akan mengalami peningkatan sedangkan sisi kanan titik kesetimbangan akan mengalami penurunan. Hasil yang berbeda didapat dari gambar 14 yaitu saat nilai g ditingkatkan, kurva sisi kiri titik kesetimbangan akan mengalami penurunan sedangkan sisi kanan titik kesetimbangan akan mengalami peningkatan. Pada gambar 13, fungsi gelombang berada di.y negatif saat x = 0 dan penurunan nilai terjadi pada sisi kanan titik kesetimbangan sedangkan pada gambar 14, fungsi gelombang berada di.y positif saat x = 0 sehingga penurunan nilai terjadi pada sisi kiri titik kesetimbangan. Dapat ditarik kesimpulan bahwa perbedaan sisi yang mengalami kenaikan nilai atau penurunan nilai dipengaruhi nilai fungsi gelombangnya pada x = 0. Selain itu dapat terlihat nilai g lebih berpengaruh pada gambar 13 yang perubahan fungsi gelombangnya lebih terlihat dibandingkan gambar 14 untuk nilai g yang sama. Besar kecilnya pengaruh nilai g dapat diduga dari besarnya peluang gelombang saat x = 0. Jika pada x = 0, peluang gelombang bernilai maksimum (titik puncak) maka pengaruh g akan maksimal dan jika pada x = 0, simpangan gelombang berada pada nilai minimum ( ) maka g tidak berpengaruh pada fungsi gelombang. Sifat ini terjadi pada setiap keadaan energi selain keadaan dasar pada setiap nilai De. Perbedaan energi vibrasional shooting method dan analitik diberikan pada tabel berikut:

31 21 No. De n g x min x max E numerik E analitik Tabel 2 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Anharmonik Hasil yang didapat menunjukan bahwa pada g = 0 nilai energi numerik sama dengan nilai analitik. Peningkatan nilai g akan menyebabkan peningkatan selisih energi numerik dan analitik dan dapat disimpulkan hasil numerik menjadi tidak

32 22 akurat pada nilai g yang tinggi. Selain itu, kenaikan nilai g menyebabkan penurunan nilai energi eigen pada setiap tingkat. Hal ini sesuai dengan hipotesis awal. Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional pada Nilai g Ekstrim Pada osilator harmonik keadaan genap, dapat terlihat bahwa pada g yang sangat besar, nilai energi eigennya akan turun satu level di bawahnya. Dapat disimpulkan bahwa pada nilai g yang sangat besar, terdapat bentuk gelombang saturasinya. Pada subbab ini akan diperlihatkan bentuk gelombang pada g ekstrim (g bernilai positif). Fungsi gelombang ang dipilih adalah gelombang osilator harmonik keadaan kedua, osilator anharmonik De = 2.5 keadaan kedua, dan osilator harmonik De = 5 keadaan kedua. Keadaan dasar tidak dipilih karena bedasarkan gambar 9 dan gambar 12, jika g sangat besar maka kurva akan berbentuk delta Dirac dan metode komputasi tidak efektif untuk membuat fungsi ini. Keadaan ganjil osilator harmonik tidak dipilih karena g terbukti tidak berpengaruh pada kurva dan keadaan kedua osilator harmonik dapat mewakili keadaan genap. Nilai De dan keadaan kedua pada osilator anharmonik dipilih karena dapat mewakilkan sebagian besar bentuk gelombang di osilator anharmonik. No. De n g xmin xmax E numerik E analitik g Tabel 3 Nilai Energi Numerik dan Analitik pada g ekstrim Gambar 15 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 2, g =45

33 23 Gambar 16 Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 2.5g = Gambar 17 Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 5g = 10000

34 24 Hasil diatas merupakan hasil dari fungsi gelombang pada nilai g yang ekstrim. Pada osilator harmonik keadaan kedua, dapat terlihat simpangan gelombang pada x = 0 memiliki nilai yang mendekati 0 dan fungsi gelombang itu memiliki fungsi peluang ( ) yang sama. Selain itu dapat diperkirakan pada g yang lebih besar lagi ada kemungkinan gelombang akan menjadi fungsi gelombang keadaan pertama tetapi hal ini tidak bisa dibuktikan menggunakan komputasi ini. Perbandingan antara nilai eigen analitik dan numerik tidak berbeda jauh. Karena komputasi hanya bisa membuat grafik pada g = 45. Pada osilator anharmonik, terlihat pada g ekstrim fungsi gelombang hanya terbentuk di sisi kanan titik kesetimbangan ataupun di sisi kiri titik kesetimbangan. Hal ini menandakan fungsi gelombang hanya dapat ditemukan di sisi kanan ataupun sisi kiri titik kesetimbangan saat g ekstrim. Pergerakan partikel akan terbatasi di titik kesetimbangannya dan secara umum puncak tertinggi fungsi gelombang akan cenderung mendekati titik kesetimbangan. Peluang ditemukannya partikel di titik kesetimbangan akan selalu bernilai nol fungsi gelombang akan kehilangan sebagian puncaknya. Nilai eigen yang didapat dari perhitungan numerik dan analitik berbeda signifikan. Hasil oleh metode numerik menunjukan nilai eigen tersaturasi ke angka yang berbeda dengan metode analitik yang digunakan. Munculnya Fungsi Eigen Baru Pada subbab sebelumnya diketahui terjadi perbedaan hasil yang signifikan pada metode numerik dan analitik pada osilator anharmonik. Setelah beberapa kali pengujian diketahui terdapat sifat baru yang muncul pada keadaan energi tertinggi di osilator anharmonik. Pada nilai g tertentu, akan muncul fungsi gelombang yang baru yaitu dengan nilai energi diatas energi eigen tertingginya tetapi masih dibawah nilai De-nya. Nilai De yang digunakan untuk penggambaran adalah 2.5. Gambar 18 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5

35 Fungsi gelombang ini memiliki nilai energi eigen sebesar dengan jumlah puncak sebanyak 6. Dari fungsi gelombang tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik tersebut bukanlah fungsi gelombang pada keadaan tertinggi di De = 2.5. Secara teoritik fungsi gelombang tertinggi yang dapat dihasilkan pada De = 2.5 hanyalah pada keadaan energi keempat yang memiliki 5 puncak gelombang dengan energi eigen tanpa dipengaruhi g. Fungsi gelombang baru ini memiliki nilai eigen dibawah nilai De (sebesar 2.5) tetapi berada diatas nilai eigen maksimal (2.470) dan memiliki puncak lebih banyak satu puncak dibandingkan banyak puncak maksimalnya (sebanyak 5) sehingga dapat disimpulkan fungsi gelombang berada pada keadaan kelima. Hal ini membuktikan pengunaan potensial pada nilai g tertentu akan memunculkan fungsi eigen baru pada gelombang anharmonik. Selain itu apabila nilai g terlalu kecil, maka fungsi eigen baru ini tidak akan terbentuk. Sebelumnya fungsi analitik yang telah diturunkan tidak dapat memberikan kurva penurunan energi eigen pada osilator anharmonik dengan tepat. Hipotesis yang dapat diberikan dari perbedaan ini adalah terdapat sebuah fungsi eigen baru ( ) yang akan mempengaruhi persamaan (4.13) Persamaan ini harus ditambahkan nilai ( ) yang dipengaruhi nilai dan g. Diharapkan pada penelitian selanjutnya penurunan rumus ini dapat dijelaskan 25 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Potensial delta dan konstanta pasangan (g) dapat menurunkan nilai energi eigen dari fungsi gelombang baik gelombang harmonik maupun gelombang anharmonik dengan potensial Morse selain osilator harmonik keadaan ganjil. Pada osilator harmonik tingkat ganjil, nilai g tidak akan mempengaruh energi eigen sistem. Pada keadaan dasar baik osilator harmonik maupun osilator anharmonik, kenaikan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang semakin terpusat pada x = 0. Pada osilator harmonik keadaan ganjil, nilai g tidak akan mempengaruhi fungsi gelombang. Hal ini dapat dikaitkan dengan perubahan suatu sistem dari BCS ke BEC dimana ikatan BEC yang bersifat kuat ditunjukan dengan penyempitan fungsi gelombang ke satu titik. Pada keadaan genap, kenaikan nilai g akan menggeser fungsi gelombang ke titik keseimbangannya. Pada gelombang anharmonik, selain keadaan dasar, kenaikan nilai g akan menyebabkan simpangan gelombang di sisi kanan ataupun di sisi kiri titik keseimbangan turun dan sisi lainnya naik. Pada keadaan dasar, energi eigen akan turun seiring kenaikan nilai g. Untuk keadaan energi lainnya, energi eigen akan turun ke nilai saturasinya apabila nilai g dinaikan dengan pengecualian osilator harmonik keadaan ganjil. Selain itu potensial delta dan nilai g dapat memunculkan fungsi eigen baru pada potensial anharmonik.

36 26 Saran Diperlukan pengkajian khusus untuk mengetahui nilai fungsi yang muncul akibat potensial delta dan nilai g sehingga perumusan hubungan antara g dan E dapat dimodifikasi. Selain itu, disarankan untuk menggunakan metode komputasi yang lebih akurat sehingga kurva yang didapat pada nilai g yang ekstrim dapat dikomputasikan. Penggunaan nilai potensial delta dapat dimodifikasi pada titik selain titik kesetimbangannya ataupun berubah menurut tingakatan fungsi gelombangnya. DAFTAR PUSTAKA 1. Bardeen, J., Cooper, L. N., & Schrieffer, J. R Microscopic Theory of Superconductivity. Physical Review 106, Pethick, C., & Smith, H Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases. Cambridge: Cambridge University Press. 3. Lima, E. F., & Hornos, J. E Matrix Elements for the Morse Potential Under an External Field. Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, Griffiths, D. J Introduction to Quantum Mechanics. New Jersey: Prentice Hall, Inc. 5. Dirac, P Principles of Quantum Mechanics 4th Edition. Oxford: Clarendon Press. 6. Gasiorowicz, S Quantum Physics. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. 7. Sakurai, J. J., & Napolitano, J Modern Quantum Mechanics. San Fransisco: Pearson Education, Inc. 8. Nave, R. Quantum Harmonic Oscillator. [internet] [diacu 2014 Februari 22]. Tersedia dari: /hosc.html 9. Spiegel, M. R., Lipschutz, S., & Liu, J Schaum's Outlines Mathematical Handbook of Formulas and Table. New York: McGraw- Hill Companies, Inc. 10. Morse, P. M Phys. Rev. 34, Barrow, G. M Introduction to Molecular Spectroscopy. New York: McGraw-Hill Book Company, Inc. 12. Schlick, T., & Pesikin, C. S Can Classical Equations Simulate Quantum-Mechanical Behavior? A Molecular Dynamics Investigation of a Diatomic Molecule with a Morse Potential. Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. XLII, Jensen, R. H. Wavefunctions of the Morse Potential. internet] [diacu 2014 Februari 22]. Tersedia dari: Morse.pdf 14. Heirs, M. C Generalizations of Classical Laguerre Polinominals and Some q-analogues. Baarn: Cordon Art. 15. Koonin, S. E., & Meredith, D. C Computational Physics Fortran Version Westview Press 16. Press, M. P, et all Numerical Recipes The Art of Science Computing. Cambridge: Cambridge University Press.

37 27 LAMPIRAN Lampiran 1: (a) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 2.5, n = 0 (b) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 2.5, n = 1 (a) (b)

38 28 Lampiran 2: (a) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 5.0, n = 1 (b) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 7.5, n = 0 (a) (b)

39 29 Lampiran 3: (a) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 7.5, n = 1 (b) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 7.5, n = 2 (a) (b)

40 30 RIWAYAT HIDUP Penulis yang bernama Bima Maha Putra dilahirkan di Jakarta pada tanggal 09 Oktober Penulis adalah anak kedua dari dua bersaudara, dari pasangan Bapak Drs Benny Budianto dan Ibu Dra Rochila Klana Djuwita. Penulis menyelesaikan studi di SMA Negeri 3 Kota Tangerang Selatan tahun 2010 dan dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengajar di bimbingan Gemilang Excellent pada tahun 2011 sampai dengan tahun 2013 pada bidang Pengantar Matematika, Kalkulus I, dan Fisika dan pernah menjadi asisten mata kuliah Sensor dan Tranduser tahun ajaran 2013/2014,. Penulis juga merupakan calon mahasiswa berprestasi departemen fisika tahun ajaran 2012/2013 dan 2013/2014. Selain bidang keilmuan, penulis juga aktif dalam bidang seni salah satunya sebagai salah satu pemeran dan penulis cerita dalam drama musikal fisika dan pernah mendapatkan juara pada tahun 2012 untuk bidang dramus se-fakultas MIPA IPB. Prestasi penulis pada bidang keilmuan adalah pernah mengikuti OSN Pertamina tingkat provinsi tahun 2012 di Bandung dan Olimpiade Nasional MIPA tingkat kopertis tahun 2012, 2013, dan 2014 di Jakarta untuk bidang keilmuan fisika. Penulis juga mendapatkan Honorable Mantion pada Olimpiade Nasional MIPA Tingkat Nasional tahun 2013 di Yogyakarta pada bidang keilmuan fisika.