LAPORAN AKHIR No. 03/HB-PENELITIAN/LPPM-UKP/VII/2016

Transkripsi

1 LAPORAN AKHIR No. 3/HB-PENELITIAN/LPPM-UKP/VII/216 Pengembangan Lebih Lanjut Metode Elemen Hingga Berbasis Kriging untuk Analisis Pelat Reissner-Mindlin dan 3D Solids Oleh: Wong Foek Tjong, -34 Januar Budiman, 9-11 LEMBAGA PENELITIAN DAN PENGABDIAN KEPADA MASYARAKAT UNIVERSITAS KRISTEN PETRA TAHUN 216 Dibiayai oleh LPPM Universitas Kristen Petra, sesuai dengan Surat Perjanjian Penugasan Pelaksanaan Hibah Penelitian Nomor: 3/HB-PENELITIAN/LPPM-UKP/XII/215, tanggal 11 Desember 215

2

3 RINGKASAN Metode elemen hinga (MEH) merupakan metode numerik yang paling luas digunakan dalam desain-desain produk rekayasa, mulai dari alat-alat sederhana sampai pesawat ruang angkasa. Dalam penerapan metode ini, elemen-elemen yang mudah dipakai adalah elemen-elemen sederhana seperti elemen segitiga tiga node untuk model matematis 2D dan elemen tetrahedron empat node untuk model 3D. Namun sayangnya elemen-elemen sederhana ini tidak dapat menghasilkan solusi yang akurat dan terlebih gradien dari field variable diskontinu di batas-batas elemen. MEH berbasis Kriging (MEH-K) telah diusulkan sebagai alternatif dari MEH konvensional. Prinsip dari metode ini adalah mengganti fungsi pendekatan solusi dalam MEH konvensional dengan fungsi interpolasi Kriging. Interpolasi Kriging ini melibatkan nodes yang bukan hanya berasal dari elemen itu sendiri tetapi juga melibatkan nodes dari beberapa lapis elemen di sekitarnya. Dengan MEH-K, solusi yang dihasilkan lebih akurat dan gradien field variable yang diperoleh halus walaupun tetap menggunakan elemenelemen hingga sederhana. Dalam penelitian terdahulu MEH-K telah dikembangkan untuk menganalisis pelat Reissner-Mindlin (dinamakan Pelat-K). Namun elemen yang telah dikembangkan masih memiliki kelemahan shear locking, yaitu menjadi terlalu kaku (mengunci) ketika tebal pelat mengecil. Dalam penelitian ini elemen Pelat-K dikembangkan lagi dengan mengadopsi teknik discrete shear gap (DSG) sebagai upaya untuk mengatasi shear locking. Cara-cara penerapan teknik DSG yang diujicoba ada tiga jenis, yaitu: (1) mengadopsi langsung rumus untuk matriks kekakuan geser elemen pelat segitiga linier, (2) menggunakan shear gap dari interpolasi Kriging pada titik-titik sudut segitiga, (3) menggunakan shear gap dari interpolasi Kriging pada titik-titik sudut segitiga dan dua titik tengah sisi segitiga. Hasil pengujian memperlihatkan bahwa teknik DSG dengan cara (1) dan (2) dapat memperlemah efek shear locking namun masih belum dapat mengeliminasi shear locking secara menyeluruh. Dalam penelitian terdahulu MEH-K juga telah dikembangkan untuk menganalisis benda elastis tiga dimensi (dinamakan K-Solid). Dalam penelitian ini dikukan penyelidikan range parameter Kriging yang sesuai dan jumlah titik sampel kuadratur yang cukup akurat untuk analisis 3D. Dari penyelidikan parameter Kriging dihasilkan rumus empiris untuk penetapan nilai parameter korelasi sebagai fungsi dari jumlah nodes dalam suatu domain of influencing nodes. Dari penyelidikan jumlah titik kuadratur didapati bahwa 11 titik untuk integrasi volume dan 7 titik untuk integrasi permukaan dapat memberikan hasil yang cukup akurat. Elemen K-Solid yang dikembangkan diujikan pada sejumlah benchmark problems. Pengujian numerik ini memperlihatkan bahwa elemen K-Solid dapat memberikan hasil yang sangat akurat baik untuk perpindahan maupun tegangan. Akan tetapi untuk benda 3D yang tipis hasil-hasil dari MEH-K ternyata konvergen ke arah yang berbeda dari solusi referensi. Kata kunci: elemen hingga, Kriging, pelat Reissner-Mindlin, shear locking, 3D solids

4 PRAKATA Syukur kepada Tuhan Yang Mahaesa bahwa kami dapat menyelesaikan penelitian pengembangan lanjutan metode elemen hingga berbasis Kriging. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat, Universitas Kristen Petra, atas dana penelitian yang diberikan. Penulis berterima kasih kepada mahasiswa Program Magister Teknik Sipil, yaitu Welly P. (NIM ) dan Danny W. (NIM ), yang telah melaksanakan perumusan, pemrograman dan pengujian numerik dalam rangka penyelesaian tesis program magister mereka. Masih terdapat kelemahan-kelemahan dari prosedur yang dikembangkan yang akan diperbaiki lagi dalam penelitian yang akan datang. Penulis berharap penelitian ini dapat dipublikasikan pada suatu jurnal internasional bereputasi dan dengan demikian memberikan kontribusi bagi pengembangan teknik komputasi. Segala kemulian dan pujian bagi Tuhan. 4

5 DAFTAR ISI HALAMAN SAMPUL... 1 HALAMAN PENGESAHAN... 2 RINGKASAN... 3 PRAKATA... 4 DAFTAR ISI... 5 BAB 1. PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Ruang Lingkup Manfaat Penelitian... 9 BAB 2. STUDI PUSTAKA Metode Kekakuan Langsung Interpolasi Kriging dalam Metode Elemen Hingga Pelat Lentur Formulasi Metode Discrete Shear Gap Cara 1: shape function linier Cara 2: shape function Kriging titik segitiga linear Cara 3: shape function Kriging lima titik segitiga Teori Elastisitas 3D Solids BAB 3. METODE PENELITIAN Diagram Alir Metodologi Penelitian Proses Perhitungan BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Elemen Pelat Reissner-Mindlin Berbasis Kriging Pengujian Shear Locking pada Pelat Bujursangkar dengan Perletakan Jepit Pengujian Keakuratan Elemen pada Pelat Bujursangkar dengan Perletakan Sendi Elemen 3D Solids Berbasis Kriging

6 Penyelidikan Jumlah Sampling Point yang Efisien untuk Menghitung Integral Volume Penyelidikan Jumlah Sampling Point yang Efisien untuk Menghitung Integral Permukaan Penyelidikan Range yang Cocok untuk Parameter Korelasi pada Covariance Function.. 37 BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN Elemen Pelat Reissner-Mindlin Berbasis Kriging Elemen 3D Solids Berbasis Kriging BAB 6. RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA Elemen Pelat Reissner-Mindlin Berbasis Kriging Elemen 3D Solids Berbasis Kriging DAFTAR PUSTAKA. 43 LAMPIRAN: Instrumen Penelitian Susunan Organisasi Tim Peneliti dan Pembagian Tugas Biodata Ketua Peneliti 46 Biodata Anggota Peneliti 49 Publikasi

7 BAB 1. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Saat ini metode elemen hingga (MEH) secara luas digunakan sebagai metode numerik untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam bidang rekayasa dan ilmu pengetahuan (Bathe, 1996; Cook, Malkus, Plesha, & Witt, 22; Zienkiewicz & Taylor, 2a). Kemampuan dan keserbagunaan dari MEH telah teruji selama beberapa dekade dalam praktek nyata bidang rekayasa. Salah satu isu dalam MEH adalah pembentukan mesh. Pengguna MEH dalam praktek cenderung lebih menyukai menggunakan elemen yang sederhana, seperti elemen segitiga tiga node untuk masalah dua dimensi (2D) dan elemen tetrahedron empat node untuk masalah tiga dimensi (3D), karena mesh dari elemen-elemen itu lebih mudah dibuat otomatis dan lebih dapat diterapkan untuk prosedur mesh adaptif. Akan tetapi, elemen-elemen tersebut sering memberikan solusi dengan akurasi buruk, terutama untuk gradient dari field variables seperti tegangan atau resultan tegangan pada mekanika solid dan struktur. Suatu varian MEH yang memungkinkan mendapatkan solusi akurat meskipun dengan memakai mesh elemen-elemen sederhana diusulkan oleh Plengkhom & Kanok-Nukulchai, (25). Dalam metode yang diusulkan ini, Kriging shape function digunakan sebagai pengganti shape function polinom dalam MEH konvensional. Kriging shape function ini dibangun dari nilai-nilai variabel pada node yang bukan hanya milik elemen itu sendiri tetapi juga dari node di sekeliling elemen seperti diilustrasikan pada Gambar 1. Jumlah elemen yang dilibatkan dalam pembentukan Kriging shape function dapat dua lapis elemen sekitar atau lebih. Elemen-elemen inti dan sekitarnya ini membentuk daerah dari node yang berpengaruh terhadap interpolasi Kriging dalam elemen inti dan dinamakan domain of influencing nodes (DOI, lihat Gambar 1). Metode yang disusulkan ini selanjutnya disebut sebagai Kriging-based FEM (K-FEM) atau metode elemen hingga berbasis Kriging (MEH- K). Dengan MEH-K, field variable yang akurasinya tinggi dan gradiennya dapat diperoleh hanya dengan menggunakan bentuk elemen yang paling sederhana. Perbaikan solusi MEH dapat diperoleh tanpa adanya penambahan node pada elemen atau perubahan struktur mesh. Formulasi dan pemrograman MEH-K sangat serupa dengan MEH konvensional sehingga program MEH umum yang sudah ada dapat dengan mudah dimodifikasi untuk mengikutkan MEH-K. Suatu kelemahan dari metode ini adalah fungsi interpolasinya diskontinu pada batas antarelemen (nonconforming). Masalah diskontinuitas 7

8 ini dan pengaruhnya pada konvergensi hasil MEH-K telah diselidiki oleh Wong & Kanok- Nukulchai (29) dan didapati bahwa meskipun MEH-K nonconforming, dengan pemilihan Kriging parameter yang sesuai MEH-K dapat lolos weak patch tests hasil-hasil MEH-K selalu konvergen. Gambar 1. Elemen dua dimensi dengan DOI satu sampai empat lapis (Sumber: Wong, 29) Dalam penelitian Plengkhom dan Kanok-Nukulchai (25), MEH-K diterapkan untuk menyelesaikan masalah 1D bar dan 2D solid. Dalam penelitian selanjutnya, metode ini diperbaiki dengan penggunaan parameter korelasi adaptif dan dengan mengenalkan fungsi korelasi quartic spline dan dikembangkan untuk analisis pelat Reissner-Mindlin (Wong & Kanok-Nukulchai, 26a, 26b). Selanjutnya MEH-K dikembangkan dan diterapkan untuk analisis struktur shell (Wong & Kanok-Nukulchai, 28; Wong, 29), analisis 2D solid dengan material discontinuity, 3D solids, dan multiscale simulation (Wichain Sommanawat, 21; Wichian Sommanawat & Kanok-Nukulchai, 29). Dalam pengembangan MEH-K untuk analisis balok, pelat dan shell yang sheardeformable, seperti juga dalam MEH konvensional, kesulitan utamanya adalah fenomena shear locking. Dalam konteks balok Timoshenko, masalah shear locking dapat diatasi dengan metode selective-reduced integration (Wong & Syamsoeyadi, 211) atau dengan mengadopsi metode discrete shear gap (Bletzinger, Bischoff, & Ramm, 2; Wong & Sulistio, n.d.). Namun dalam masalah pelat Reissner-Mindlin dan shear-deformable shells sampai saat ini belum ada perumusan MEH-K yang dapat mengeliminasi shear lcoking. Karena itu salah satu tujuan penelitian ini adalah mengembangkan MEH-K yang bebas dari 8

9 masalah shear locking untuk analisis pelat Reissner-Mindlin. Metode yang digunakan adalah dengan mengadopsi teknik discrete shear gap dalam perumusan MEH-K. Seperti dijelaskan sebelumnya, MEH-K telah dikembangkan untuk analisis 3D solids (Sommanawat, 21). Meskipun demikian, dalam penelitian ini range parameter Kriging yang cocok untuk analisis 3D tidak diberikan secara spefik dan belum terdapat penyelidikan lebih lanjut mengenai jumlah titik integrasi yang optimal. Selain itu contoh-contoh numerik yang diberikan masih terbatas untuk menilai konvergensi dari MEH-K untuk 3D solids. Karena itu tujuan lain dari penelitian ini adalah pengembangan dan penyelidikan lebih lanjut MEH-K untuk 3D solids Tujuan Tujuan penelitian ini adalah: Mengembangkan MEH-K yang disertai dengan penggunaan teknik discrete shear gap untuk mengeliminasi kelemahan shear locking. Mengembangkan dan menyelidiki lebih jauh MEH-K untuk analisis 3D solids Ruang Lingkup Ruang lingkup dari penelitian ini adalah sebagai berikut: Model struktur yang ditinjau adalah pelat Reissner-Mindlin dan 3D solids. Analisis struktur dibatasi untuk analisis statik linier. Mesh terbuat dari elemen segitiga 3 node untuk analisis pelat Reissner-Mindlin dan elemen tetrahedron 4 node untuk analisis 3D solids. Upaya eliminasi shear locking dalam pelat Reissner-Mindlin dilakukan dengan mengadopsi teknik discrete shear gap (Bletzinger et al., 2). Pemrograman menggunakan program MATLAB Pre dan post-processing untuk 3D solids menggunakan software GID Manfaat Penelitian Penelitian ini akan memberikan kontribusi berupa metode perhitungan alternatif untuk analisis struktur pelat Reissner-Mindlin dan 3D solids. Keunggulan metode altenatif ini adalah perhitungan dapat dilakukan dengan mesh yang sederhana namun keakuratan hasil perhitungan cukup baik. 9

10 Luaran dari penelitian ini adalah program analisis struktur dengan MEH-K untuk masalah pelat Reissner-Mindlin dan program untuk masalah 3D solids. Luaran lainnya adalah publikasi pada seminar nasional Konferensi Pascasarjana di Institut Teknologi Bandung tahun 216 dan pada International Journal for Numerical Methods in Engineering, suatu jurnal internasional bereputasi dalam bidang metode numerik. BAB 2. STUDI PUSTAKA 2.1. Metode Kekakuan Langsung Metode kekakuan langsung merupakan implementasi dari MEH yang paling luas digunakan (Cook et al., 22; Felippa, 213; Hutton, 24; Logan, 27). Dalam metode ini, persamaan keseimbangan struktur dalam bentuk matriks KD = F (1) di mana K adalah matriks kekakuan struktur, D adalah vektor (matriks kolom) perpindahan titik-titik nodal, dan F adalah vektor gaya pada titik-titik nodal, dirakit (assembled) dari persamaan-persamaan keseimbangan seluruh elemen yang membentuk struktur itu. Persamaan keseimbangan suatu elemen adalah kd = f (2) di mana k adalah matriks kekakuan elemen, d adalah vektor perpindahan titik-titik nodal elemen, dan f adalah vektor gaya pada titik-titik nodal elemen. Tidak seperti dalam MEH konvensional, dalam MEH-K orde matriks k, d dan f dapat berbeda-beda untuk setiap elemen bergantung kepada jumlah nodes dalam DOI. Semakin banyak lapis elemen yang digunakan dalam pembentukan interpolasi Kriging, semakin besar pula orde matriks-matriks elemen dan biaya komputasi semakin mahal. Proses perakitan dari persamaan elemen (2) menjadi persamaan struktur (1) melibatkan semua degress of freedom dalam semua node dalam DOI Interpolasi Kriging dalam Metode Elemen Hingga Interpolasi Kriging adalah teknik geostatistik untuk interpolasi ruang yang banyak digunakan dalam ilmu geologi dan pertambangan. Nama Kriging diambil dari nama seorang insinyur pertambangan Afrika Selatan bernama Danie G. Krige (Olea, 1999; Tongsuk & Kanok-Nukulchai, 24). Dengan menggunakan interpolasi ini, maka suatu titik yang tidak 1

11 diketahui nilai variabelnya dapat diinterpolasi dari nilai-nilai variabel yang telah diketahui di sekitar titik tersebut. Tinjau suatu fungsi (field variable) u(x) yang didefinikan pada sebuah domain Ω yang terdiri dari sekumpulan node yang tersebar xi, i = 1,2,..., N, di mana N adalah jumlah node pada seluruh domain Ω. Untuk suatu titik x yang sedang diamati, definisikan suatu domain berpusat pada titik x dan mencakup sejumlah titik-titik berdekatan (domain ini adalah domain of influencing node, DOI). Diasumsikan setiap nodal field variable dalam DOI, u(x1),..., u(xn) berpengaruh pada nilai field variable titik x,. Untuk memperkirakan nilai dari u(x) tersebut, diperlukan sebuah asumsi untuk nilai perkiraan u h yang merupakan kombinsai linier dari u(x1),..., u(xn), yang dapat dirumuskan sebagai berikut: n u h (x ) = i=1 λ i u(x i ) (3) di mana λi adalah Kriging weights dan n adalah jumlah node yang berada di dalam DOI dari titik x. Dikarenakan nilai dari u(x1),..., u(xn) dipandang sebagai realisasi dari sebuah variabel acak, maka persamaan (3) dapat ditulis: n U h (x ) = i=1 λ i U(x i ) (4) Untuk menentukan Kriging weights, estimator U h (x ) ini disyaratkan unbiased, yaitu E[U h (x ) U(x )] = (5) Syarat lainnya adalah variansi dari kesalahan estimator, yaitu var[u h (x ) U(x )] dibuat minimum. Dengan memakai metode Lagrange untuk masalah constrained optimization ini dihasilkan sistem persamaan Kriging sebagai berikut: Rλ + Pμ = r(x ) (6) P T λ = p(x ) (7) di mana, C(h 11 ) C(h 1n ) p 1 (x 1 ) p m (x 1 ) R = [ ], P = [ ] (8) C(h n1 ) C(h nn ) p 1 (x n ) p m (x n ) λ = [λ 1 λ n ] T, μ = [μ 1 μ m] T (9) r(x ) = [C(h 1 ) C(h n )] T, p(x ) = [p 1 (x ) p m (x )] T (1) di mana R adalah matriks kovarians berukuran n n dari variabel acak antara dau nilai nodal yang ditinjau pada titik xi dan xj, C(h ij ); P adalah matriks basis polinomial berukuran n m, λ adalah vektor Kriging weights berukuran n 1, μ adalah vektor pengali Lagrange 11

12 berukuran m 1, r(x) adalah vektor kovarians antara dua node. n 1, p(x) adalah vektor basis polinomial berukuran m 1. Menyelesaikan sistem persamaan Kriging (6)-(7) menghasilkan Kriging weights. Lalu disubstitusi ke nilai perkiraan u h. Sehingga persamaan (3) dapat ditulis kembali seperti berikut: u h (x ) = λ T d (11) di mana d=[u(x1)... u(xn)] T adalah matriks vektor nilai nodal n 1. Agar dapat mengikuti pola pada MEH, maka simbol x dapat diganti menjadi simbol x. Dengan demikian persamaan di atas dapat ditulis seperti berikut: n u h (x) = N(x)d = i=1 N i (x)u i (12) Dalam MEH, matriks shape function pada interpolasi Kriging adalah N(x) = λ T (x). Sebuah matriks shape function harus memiliki beberapa properti sehingga cocok digunakan dalam MEH. Shape function interpolasi Kriging memenuhi dua properti yaitu Kronecker delta property dan consistency property. Dengan Kronecker delta property, shape function interpolasi Kriging dapat melalui semua nilai nodal dan dapat memiliki prosedur yang sederhana dalam menentukan essential boundary conditions. Ada juga consistency property, supaya MEH-K dapat lolos standar patch test dan shape function interpolasi Kriging tidak mengubah polinomialnya. Basis polinom yang berperan dalam pembentukan shape function Kriging merupakan fungsi-fungsi basis pembentuk polinomial. Semakin tinggi derajat polinomial m yang digunakan maka semakin banyak juga DOI yang diperlukan, karena jumlah titik nodal dalam DOI, n, harus lebih besar atau sama dengan derajat polinomial yang digunakan, m, agar interpolasi Kriging dapat terbentuk Pelat Lentur Yang dimaksud dengan pelat adalah sebuah bentuk datar dengan ketebalan yang sangat kecil dibandingkan dengan dimensi lainnya (Cook et al., 22; Felippa, 213; Hutton, 24; Logan, 27). Sebuah pelat datar, seperti balok lurus, menerima beban lateral dengan lentur. Secara umum, sebuah pelat memiliki bending moments pada dua arah dan sebuah twisting moment. Terdapat dua teori pelat, yang pertama melarang adanya deformasi geser transversal, sedangkan yang kedua memperhitungkannya. Pada keduanya, tegangan normal pada arah ketebalannya dianggap nol. Teori pertama dinamakan thin-plate theory atau Kirchoff theory. 12

13 Teori kedua dinamakan Mindlin theory atau juga sering digunakan istilah Reissner-Mindlin theory. Notasi yang digunakan pada plate bending, dapat dilihat pada Gambar 2. Pelat diletakkan pada bidang xy. Arah panah yang digunakan untuk menggambarkan rotasi adalah menggunakan aturan tangan kanan. Gambar 2. Notasi untuk komponen rotasi dari mid-surface dan kemiringan permukaan pelat (Sumber: Cook et al., 22) Sebuah pelat dengan ketebalan t memiliki mid-surface pada jarak t/2 dari tiap permukaan lateral. Untuk analisa, digunakan bidang xy pada mid-surface pelat sehingga z = menggambarkan mid-surface. Perilaku pelat diidealisasikan dengan mengatakan bahwa sebuah garis yang lurus dan tegak terhadap mid-surface sebelum dibebani akan tetap lurus tetapi tidak harus tegak terhadap deformed mid-surface. Rotasi dari garis lurus ini memiliki komponen ψx dan ψy. Sehingga sebuah titik yang tidak berada pada mid-surface memiliki perpindahan arah x sebesar u, seperti pada Gambar 3. Begitu juga untuk arah y dengan perpindahannya sebesar v. Sehingga, untuk perpindahan dan rotasi kecil, regangannya dapat diperoleh dari persamaan berikut: (13) di mana koma menandakan penurunan terhadap variabel selanjutnya dan w adalah defleksi lateral (arah z) dari mid-surface. Regangan untuk arah ketebalan εz tidak diperlukan. Persamaan di atas adalah basis dari teori pelat Mindlin, yang memperbolehkan deformasi geser transversal yang artinya γyz dan γzx tidak harus nol. 13

14 Gambar 3. (a) Sebuah elemen pelat (b) Penampang pelat yang mengalami deformasi, dilihat dari arah sumbu y+ (Sumber: Cook et al., 22) Tegangan pada penampang pelat dapat dilihat pada Gambar 4. Tegangan tersebut berhubungan dengan momen dan gaya per unit panjang pada bidang xy. Sehingga persamaannya adalah sebagai berikut: (14) di mana momen Mx dan My adalah bending moments, sementara Mxy adalah twisting moment. Deformasi di mana garis yang tegak terhadap mid-surface diasumsikan tetap lurus, menghasilkan tegangan σx, σy, dan τxy yang berubah secara linear terhadap z. Gambar 4. (a) Tegangan dan gaya lateral merata q pada elemen pelat (b) Momen & gaya geser transversal yang berhubungan dengan tegangan pada (a) (Sumber: Cook et al., 22) 14

15 Matriks kekakuan elemen pelat lentur dapat ditunjukkan sebagai penjumlahan dari kekakuan bending [kb] dan kekakuan geser transversal [ks], sebagai berikut: [k] = [B b ] T [D b ][B b ] da A + [B s ] T [D s ][B s ] da A [k b ]: = [B b ] T [D b ][B b ] da A (15a) (15b) [k s ]: = [B s ] T [D s ][B s ] da A (15c) Dalam persamaan ini [Bb] adalah matriks penghubung vektor kurvatur dan vektor perpindahan titik nodal, [Bs] adalah matriks penghubung vektor regangan geser dan vektor perpindahan titik nodal, [Db] adalah matriks elastisitas lentur, dan [Ds] adalah matriks elastisitas geser. Rincian lengkap matriks-matriks ini dapat dilihat pada buku-buku teks elemen hingga seperti Bathe, 1996; Cook et al., 22; Zienkiewicz & Taylor, 2b Formulasi Metode Discrete Shear Gap Metode discrete shear gap (DSG) yang digunakan untuk mengeliminasi shear locking diterapkan dalam perumusan elemen pelat berbasis Kriging dengan berbagai cara. Cara pertama dilakukan dengan mengadopsi secara langsung dari formulasi Bletzinger et al. (2), yaitu menggunakan shape function linear. Cara kedua dan ketiga dikembangkan lebih lanjut dengan menggunakan shape function Kriging untuk menentukan discrete shear gap pada sejumlah titik dalam segitiga. Cara kedua menggunakan integrasi garis pada titik elemen segitiga linear sejumlah 3 node. Cara ketiga menggunakan integrasi garis pada titik elemen segitiga kuadratik sejumlah 5 node Cara 1: shape function linier Dengan mengadopsi secara langsung formulasi DSG dari Bletzinger et al. (2), didapatkan metode pertama berikut. a = x 2 x 1 ξ 1 = η 1 = b = y 2 y 1 ξ 2 = 1 η 2 = c = y 3 y 1 ξ 3 = η 3 = 1 d = x 3 x 1 Gambar 5. Elemen tiga node Sumber: Bletzinger et al., 2 15

16 Regangan geser dapat ditemukan melalui perhitungan berikut Bletzinger et al. (2): { γ ξ γ η } = B s d (16) B s = 1 2A ac c A c 2 [b ad d a A d 2 bc 2 bd 2 b bd 2 a ad 2 bc 2 ac 2 ] (17) Cara 2: shape function Kriging titik segitiga linear Dengan menggunakan shape function Kriging pada perhitungan shear gap diperoleh rumusan untuk regangan geser sbb.: { γ ξ γ η } = J 1 B DSG 1 B DSG 2 d (18) di mana J 1 adalah invers dari matriks Jacobian yang diberikan oleh J 1 = 1 [ c b 2A d a ] (19) Matriks B DSG 1 adalah matriks interpolasi regangan geser dari discrete shear gap pada titiktitik nodal, diberikan oleh B DSG 1 = [ ] (2) Matriks B DSG 2 adalah matriks yang menghasilkan discrete shear gap dari perpindahan titik nodal, yaitu B DSG 2 = a N 1 dξ b N 1 dξ 1 a N 2 dξ b N 2 dξ b N n dξ [ 1 d N 1 dη c N 1 dη d N 2 dη c N 2 dη 1 c N n dη d adalah vektor perpindahan titik nodal. ] (21) Cara 3: shape function Kriging lima titik segitiga Dikarenakan adanya tambahan node pada titik tengah elemen segitiga kuadratik seperti ditunjukkan pada Gambar 6, terdapat tambahan shear gap yang harus ditinjau pada titik tambahan tersebut. Untuk metode ini, titik tambahan untuk mendefinisikan shear gap yang digunakan hanyalah titik 4 dan titik 6 dalam Gambar 6. 16

17 Gambar 6. Elemen segitiga kuadratik Sumber: Bathe (1996) Matriks B DSG 1 untuk kasus ini diberikan oleh B DSG 1 = [ N q 1,ξ N q 2,ξ N q 3,ξ N q 4,ξ N q 6,ξ N q 1,η N q 2,η N q 3,η N q 4,η N q 6,η ] (22a) di mana tanda koma menyatakan turunan parsial terhadap ξ atau η dan Nqi, i=1,,6, i 5, adalah sbb.: N q 1 = 1 3ξ 3η + 2ξ 2 + 4ξη + 2η 2 N q 2 = ξ + 2ξ 2 + 2ξη N q 3 = η + 2ξη + 2η 2 N q 4 = 4ξ 4ξ 2 4ξη N q 6 = 4η 4η 2 4ξη (22b) (22c) (22d) (22e) (22f) Matriks B DSG 2 diberikan oleh 17

18 a N 1 dξ b N 1 dξ 1 a N 2 dξ b N 2 dξ b N n dξ B DSG 2 = 1 1 d N 1 dη 1 c N 1 dη 1 d N 2 dη 1 c N 2 dη 1 1 c N n dη 1/2 1 + N 1 ( 1 2, ) a N 1dξ b 1/2 N 1 dξ [ 1 + N 1 (, 1 ) 2 d 1/2 N 1/2 1dη c N 1 dη N 2 (, 1 ) d 1/2 N 1/2 2 2dη c N 2 dη N 3 (, 1 ) c 1/2 N 2 ndη 1/2 N 2 ( 1 2, ) a N 2dξ b 1/2 N 2 dξ 1/2 N 3 ( 1 2, ) b N ndξ ] (23) 18

19 2.5. Teori Elastisitas 3D Solids Tinjau 3D solids yang memiliki daerah volume Ω dan dibatasi oleh sebuah permukaan S. Permukaan S dibagi menjadi dua yaitu permukaan di mana terjadinya prescribed displacement disebut Su sedangkan permukaan di mana terjadinya beban luar disebut Sf, seperti didilustrasikan pada Gambar 7. Persamaan kesetimbangan 3D solids dapat ditulis dengan notasi indeks sebagai berikut: σij.j + fbi = pada seluruh daerah Ω (24) dengan essential boundary conditions: S ui = u u i pada permukaan Su (25) dan dengan natural boundary conditions: σij. nj = fsi pada permukaan Sf yang mengalami beban (26) Suatu 3D solids dapat dibebani body force yang terdistribusikan dalam volume Ω ataupun surface traction yang terdistribusi pada permukaan Sf. Sf fs1 fs2 Sf fb1 fb2 Su Gambar 7. Sebuah 3D solids Terdapat sembilan komponen tegangan dalam ruang tiga dimensi pada suatu elemen diferensial dengan panjang dx, dy dan dz seperti pada Gambar 8. Adanya kesetimbangan momen pada pusat elemen ruang tiga dimensi, sehingga mudah disadari bahwa σxy = σyx; σxz = σzx; σzy = σyz. 19

20 Gambar 8. Komponen tengangan dalam suatu elemen yang sangat kecil Oleh karena itu terdapat enam nilai tegangan yang independen yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut, σ T = { σxx σyy σzz σxy σyz σxz } (27) Dengan begitu juga terdapat enam komponen regangan yang berhubungan tengangan, dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut, ε T = { εxx εyy εzz εxy εyz εxz } (28) Komponen regangan dapat dibentuk dari turunan dari perpindahan sbb. {ε} = ε xx ε yy ε zz ε xy ε yz { ε xz } = { u x v y w z u + v y x v + w z y w + u x z} Dalam persamaan ini u, v, w adalah komponen perpindahan dengan arah x, y, z. Dapat disimpulkan bahwa regangan εxx, εyy, dan εzz adalah perubahan dalam panjang per satuan panjang dari elemen yang sangat kecil yang awalnya sejajar dengan sumbu x, y dan z ketika (29) 2

21 elemen mengalami deformasi, regangan ini disebut regangan normal. Regangan εxy, εyz, dan εxz adalah perubahan pada sudut awal yang terbentuk antara dx, dy, dan dz ketika elemen mengalami deformasi, regangan ini disebut dengan regangan geser. Hubungan perpindahan dengan regangan dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut ini: {ε} = [L]{u} (3) di mana [L] merupakan matriks operator diferensial, matriks yang menghubungkan regangan dengan perpindahan {u} = {u 1 u 2 u 3 }. Persamaan konstitutif yang memberikan hubungan tegangan dan regangan dalam sebuah material kadang disebut dengan Hooke s law. Hooke s law untuk material anisotropik dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: {σ} = [D]{ε} (31) di mana matriks [D] adalah matriks material, yang didapat melalui eksperimen. Persamaan konstitutif dapat ditulis secara eksplisit sebagai berikut: σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz { σ xz } = D 13 D 14 D 15 D 16 D 23 D 24 D 25 D 26 D 33 D 34 D 35 D 36 D 11 D 44 D 45 D 46 D 11 D 11 D 55 D 56 D 11 D 11 D 11 D 11 D 11 D 11 D 12 D 11 D 22 D 11 D 11 D 11 D 11 D 11 sym [ D 66 ] = σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz { σ xz } (32) Dengan melakukan substitusi pada persamaan (31) dengan persamaan (3) didapatkan persamaan berikut: {σ} = [D][L]{u} (33) BAB 3. METODE PENELITIAN 3.1. Diagram Alir Metodologi Penelitian Langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian ini diperlihatkan pada bagan alir penelitian pada Gambar 9. Langkah pertama adalah studi literatur mengenai pemrograman metode elemen hingga berbasis Kriging. Langkah kedua adalah modifikasi metode elemen hingga berbasis Kriging (MEH-K) yang sudah ada dengan penggunaan metode discrete shear gap (DSG) untuk analisis pelat Reissner-Mindlin dan modifikasi untuk analisis masalah 3D solids. 21

22 Langkah ketiga adalah penulisan / pembuatan program komputer berdasarkan algoritma yang telah dimodifikasi untuk penelitian ini. Pemrograman dilakukan dengan menggunakan program MATLAB untuk perhitungan numerik dan penampilan grafik. Langkah keempat adalah melakukan verifikasi hasil program dengan menggunakan sejumlah benchmark problems untuk analisis pelat Reissner-Mindlin dan 3D solids. Dari hasil tersebut, dapat diambil kesimpulan mengenai penelitian dan pengembangan MEH-K ini Langkah terakhir adalah melakukan dokumentasi hasil penelitian serta publikasi pada seminar internasional dan jurnal internasional bereputasi. Studi literatur Modifikasi Algoritma Pemrograman Verifikasi Program Pembuatan laporan dan publikasi hasil penelitian Gambar 9. Diagram alir penelitian 3.2. Proses Perhitungan Proses perhitungan yang dilakukan dalam program ini meliputi penerapan boundary conditions dan perhitungan matriks untuk menghasilkan tegangan dan regangan pada tiap elemen. Proses perhitungan dapat dilihat pada Gambar 1. 22

23 Pembacaan dan Penyimpanan Data Elemen Assembly dan Perhitungan Matriks Kekakuan Global Penyelesaian Matriks dengan Matriks Partisi dan Eliminasi Gauss untuk Menemukan Reaksi Perletakan dan Perpindahan Perhitungan Tegangan dan Regangan tiap Elemen Gambar 1. Diagram alir proses perhitungan BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Elemen Pelat Reissner-Mindlin Berbasis Kriging Hasil dan pembahasan di sini dibatasi untuk mengevaluasi efektivitas berbagai strategi penerapan teknik DSG seperti yang diuraikan pada subbab 2.4 dalam mengatasi kesulitan shear locking, dan keakuratan berbagai alternatif penerapan teknik DSG tersebut dibandingkan dengan perumusan elemen pelat berbasis Kriging murni berdasarkan asumsi perpindahan (Wong, 29). Penamaan berbagai alternatif metode tersebut adalah sbb.: 1. MEH-K biasa, dengan menggunakan koordinat global 2. MEH-K dengan DSG, langsung diadopsi dari Bletzinger (DSG 1) 3. MEH-K dengan DSG, menggunakan shape function Kriging pada 3 node (DSG 2) 4. MEH-K dengan DSG, menggunakan shape function Kriging pada 5 node (DSG 3) Pengujian Shear Locking pada Pelat Bujursangkar dengan Perletakan Jepit Sebuah pelat segiempat berukuran 1 1 dengan pembagian mesh seperempat bagian atas kanan pelat tersebut seperti yang diperlihatkan pada Gambar 11 digunakan untuk pengujian. Digunakan perletakan jepit untuk tumpuan di keempat sisi pelat segiempat. Properti material yang digunakan adalah E = 2, 1 6 dan v =,3. Dikarenakan bentuknya 23

24 yang simetris, dapat dilakukan pengujian pada salah satu kuadrannya saja. Dilakukan pengujian pada beberapa variasi ketebalan pelat yaitu L/h = 5, 1, 1, 1, 1 dan 1. Untuk pengujiannya, dicari nilai defleksi yang terjadi di titik pusat pelat. Gambar 11. Mesh seperempat bagian kanan-atas pelat bujursangkar Sumber: Wong (29) Hasil normalisasi nilai yang didapat terhadap solusi eksak berdasarkan teori pelat tipis untuk masing-masing rasio L/h kemudian dibandingkan. Hasil konvergensi masing-masing metode terlihat pada Gambar 12. Terlihat bahwa dengan aplikasi DSG cara ke-1, kinerja elemen-elemen P1-1-QS, P2-2-QS, dan P3-3-QS relatif sama. Aplikasi DSG dengan cara ke- 2 dapat meredakan efek shear locking, namum masih tetap belum menghilangkan shear locking. Aplikasi DSG dengan cara ke-3 tidak berhasil, hasilnya malah lebih buruk daripada perumusan MEH-K semula. Dapat disimpulkan bahwa aplikasi DSG dengan cara ke-2 merupakan cara yang paling baik dan secara perumusan konsisten dengan rumus interpolasi yang Kriging yang dipakai untuk mengaproksimasi defleksi dan rotasi. 24

25 (a) (b) (c) Gambar 12. Pengujian shear locking elemen pelat berbasis Kriging: (a) linier, (b) kuadratik, dan (c) kubik, dengan berbagai cara aplikasi teknik DSG pada pelat segiempat dengan perletakan jepit 25

26 Pengujian Keakuratan Elemen pada Pelat Bujursangkar dengan Perletakan Sendi Pelat bujursangkar berukuran 1 1 yang sama seperti pada penyelidikan shear locking digunakan untuk pengujian keakuratan berbagai alternatif aplikasi metode DSG. Properti material yang digunakan pun juga sama, namun di sini digunakan perletakan sendi sebagai tumpuan di sisi pelat. Rasio panjang terhadap ketebalan di ambil L/h=1, yang merupakan ketebalan di mana teori pelat berlaku dengan baik. Untuk menunjukkan keakuratan dari berbagai metode MEH-K-DSG ini akan digambarkan profil displacement, momen dan gaya geser dibandingkan dengan profil solusi eksak referensinya. Hasil plot profil-profil defleksi, rotasi terhadap sumbu y, momen arah x, momen arah y dan gaya geser arah x sepanjang sumbu x (lihat Gambar 11) dapat dilihat pada Gambar 13 sampai dengan Gambar 17. Untuk plot gaya geser arah x hanya ditampilkan hasil plot nilai dari metode DSG 1 dan DSG 2 saja karena gaya geser hasil dari metode lainnya menghasilkan nilai yang terlalu berfluktuasi dari solusi eksak. Dari gambar-gambar tersebut terlihat bahwa elemen dengan DSG 1 dan DSG 2 dapat memberikan hasil-hasil yang keakuratannya untuk defleksi dan rotasi hampir sama dengan perumusan MEH-K tanpa DSG, namun sayangnya keakuratan momen lentur dari MEH-K terganggu dengan perumusan DSG tersebut sehingga pada beberapa titik menjadi kurang akurat dibandingkan yang dari perumusan MEH-K semula. Untuk gaya geser, ternyata maish terjadi fluktuasi meskipun sudah lebih baik daripada perumusan MEH-K semula. Terlihat secara konsisten bahwa hasilhasil dengan DSG 2 lebih baik daripada dengan DSG 1. 26

27 (a) (b) (c) Gambar 13. Plot defleksi pelat bujursangkar dengan perletakan sendi hasil analisis dengan: (a) elemen Kriging linier, (b) elemen Kriging kuadratik, (c) elemen Kriging kubik 27

28 (a) (b) (c) Gambar 14. Plot rotasi y pelat bujursangkar dengan perletakan sendi hasil analisis dengan: (a) elemen Kriging linier, (b) elemen Kriging kuadratik, (c) elemen Kriging kubik 28

29 (a) (b) (c) Gambar 15. Plot Mx pelat bujursangkar dengan perletakan sendi hasil analisis dengan: (a) elemen Kriging linier, (b) elemen Kriging kuadratik, (c) elemen Kriging kubik 29

30 (a) (b) (c) Gambar 16. Plot My pelat bujursangkar dengan perletakan sendi hasil analisis dengan: (a) elemen Kriging linier, (b) elemen Kriging kuadratik, (c) elemen Kriging kubik 3

31 (a) (b) (c) Gambar 17. Plot Qx pelat bujursangkar dengan perletakan sendi hasil analisis dengan: (a) elemen Kriging linier, (b) elemen Kriging kuadratik, (c) elemen Kriging kubik 31

32 4.2. Elemen 3D Solids Berbasis Kriging Seperti telah diungkapkan dalam Bab 1 bahwa salah satu tujuan penelitian ini adalah mencari range paramenter korelasi yang sesuai untuk analisis benda 3D dengan MEH-K dan jumlah sampling point yang efisien untuk menghitung integral volume maupun integral permukaan yang muncul dalam persamaan diskrit MEH-K. Oleh karena itu pembahasan di sini difokuskan pada kedua hal tersebut Penyelidikan Jumlah Sampling Point yang Efisien untuk Menghitung Integral Volume Cantilever beam problem dengan beban geser parabolik di ujung (Gambar 18.(a)) digunakan untuk mempelajari perbedaan hasil dengan berbagai jumlah sampling point 1, 4, 5, 11, 15, dan 16. Balok ini dibebani gaya geser berdistribusi parabolik dengan besar total 1 satuan searah sumbu z di sisi kanan dan dijepit pada sisi kiri. Material yang digunakan adalah material isotropik dengan properti yaitu modulus Young, E, sebesar 1 dan Poisson`s ratio, v, sebesar,25. Mesh dibuat dengan bantuan software GiD, diperlihatkan pada Gambar 18 (b). (a) (b) Gambar 18. (a) Model cantilever beam problem, (b) Cantilever beam dengan mesh GiD ukuran,5 Keakuratan hasil analisis dinilai dengan melihat relative error perpindahan arah z pada permukaan yang dibebani, Ruz, yang didefinisikan sbb. Ru z = u z app uz exact u z exact 1% (34) 32

33 di mana u z app dan u z exact masing-masing adalah hasil perhitungan MEH-K dan exact solution dari perpindahan arah z pada permukaan yang dikenai beban parabola. Selain itu keakuratan hasil analisis juga dinilai dengan relative error strain energy, RU, yang didefinisikan sbb. RU = RUapp RU exact RU exact 1% (35) di mana RU app dan RU exact masing-masing adalah hasil perhitungan MEH-K dan exact solution dari strain energy. Hasil analisis dengan berbagai sampling point dalam MEH-K dengan berbagai lapisan lapisan domain of influence (DOI) dan basis polinom dengan fungsi korelasi Gauss dan quartic spline masing-masing dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2. Dari tabel-tabel ini terlihat relative strain energy dan perpindahan dengan menggunakan jumlah sampling point 4, 5, 11, 15 dan 16 memiliki nilai yang mirip. Agar perhitungan efisien namun keakuratannya cukup, dalam perhitungan-perhitungan selanjutnya dipilih jumlah sampling point n = 11 untuk basis polinom kuadratik dan kubik dan n=1 untuk basis polinom linier. 33

34 Tabel 1. Hasil analisis cantilever beam dengan K-FEM berfungsi korelasi Gauss Basis Lapisan Polinom DOI Jumlah Sampling Point θ Relative Error Strain Energy Rata - Rata Relative Error Perpindahan Arah z 1 4,491 3, ,491 3, ,491 3,9567,2 11 4,491 3, ,491 3, ,491 3, ,981 4, ,3838 1, ,3821 1,637,7 11 1,3685 1, ,3685 1, ,3685 1, ,344 7, ,9185 2, ,9123 2,4465 2,2 11 1,8688 2, ,8699 2, ,869 2, ,775 4, ,4244 1, ,42 1,6473,7 11 1,419 1, ,4195 1, ,4192 1, ,311 6, ,9582 2, ,967 2,4169 2,2 11 1,876 2, ,8722 2, ,879 2, ,8178 8, ,487 2, ,5569 2,9516 2,2 11 2,3581 2, ,3623 2, ,3591 2,

35 Tabel 2. Hasil analisis pada cantilever beam dengan MEH-K berfungsi korelasi quartic spline Basis Lapisan Polinom DOI Jumlah Sampling Point θ Relative Error Strain Energy Rata - Rata Relative Error Perpindahan Arah z 1 4,491 3, ,491 3, ,491 3,9567,1 11 4,491 3, ,491 3, ,491 3, ,278 2,583 4,3983, ,469,1112,4 11,325,913 15,3157,932 16,3227, ,8653 3,4198 4,2297, ,1698,6357,7 11,2865, ,2982, ,2893, ,252 3,6618 4,6664 1, ,642 1,2,4 11,731 1, ,7396 1, ,7324 1, ,5867 4,927 4,5655, ,5154,9323,7 11,6376 1,557 15,6478 1,664 16,641 1, ,1183 4,5756 4,9752 1, ,9285 1,2841,7 11 1,416 1, ,523 1, ,442 1,46 35

36 Penyelidikan Jumlah Sampling Point yang Efisien untuk Menghitung Integral Permukaan Dalam implementasi MEH-K untuk 3D solids, selain diperlukan perhitungan integrasi volume, terutama untuk perhitungan matriks kekakuan, juga diperlukan integrasi permukaan untuk menghitung vektor gaya nodal ekuivalen akibat suatu surface traction. Untuk menyelidiki jumlah sampling point yang efisien dalam menghitung equvalent nodal load, tinjau problem yang sama seperti pada penyelidikan sebelum ini, yakni cantilever beam dengan ukuran panjang, L = 5 satuan, tinggi, D = 3 satuan dan tebal, W = 1 satuan. Tetapi dalam penyelidikan ini dilakukan mesh ulang cantilever beam dengan memberi tambahan garis lurus pada jarak x = 2,5 yang membagi permukaan cantilever beam menjadi dua bagian. Tujuan membagi cantilever beam menjadi dua agar dapat mengambil nodal value pada jarak x = 2,5. Gambar 19 menunjukkan hasil mesh cantilever beam oleh GiD dengan ukuran,553. Gambar 19. Hasil generate mesh cantilever beam oleh GiD ukuran,553 Balok kantilever tersebut dianalisis dengan menggunakan berbagai jumlah sampling point. Patokan yang dipakai untuk menilai relative error dari equvalent nodal load adalah hasil analisis dengan 12 sampling point. Tabel 3 memperlihatkan besar nilai relative error dari equvalent nodal load pada MEH-K dengan parameter korelasi Gauss dan quartic spline pada berbagai basis polinom. Hasil analisis ini menujukkan bahwa 6 dan 7 sampling point sudah cukup untuk menghasilkan equvalent nodal load yang konsisten pada MEH-K. Pada basis polinom linier cukup hanya dengan 3 sampling point sudah menghasilkan nilai yang konsisten. Untuk penelitian selanjutnya dipakai 7 sampling point pada integrasi luas agar menghasilkan equvalent nodal load yang konsisten pada MEH-K. 36

37 Theta Adaptif sesuai Jumlah Node dalam DOI dengan Faktor Skalar,5 Tabel 3 Nilai relative error dari equvalent nodal load pada MEH-K dengan parameter korelasi Gauss dan quartic spline Fungsi Korelasi Gaussian dan Quartic Spline Gaussian Quartic Spline Basis Polinom Lapisan DOI θ Jumlah Sampling Point untuk Integrasi Luas Relative Error Equvalent Nodal Load pada Permukaan yang Terkena Traction Maximum (%) Rata-Rata (%) 3,242,88 4,, 6,, 3 4,559 1, ,81 2,298 6,92,4 7,55,25 12,, 3 7,37 2, ,357 2,939 6,163,6 7,57,3 12,, 3 3,862 1, ,83 1,79 6,161,51 7,148,38 12,, 3 4,957 1,6 4 5,64 1,976 6,43,21 7,97,26 12,, Penyelidikan Range yang Cocok untuk Parameter Korelasi pada Covariance Function Range parameter korelasi dari fungsi korelasi Gaussian dan quartic spline didapatkan dengan cara mencari batas atas dan batas bawah yang memenuhi rule of thumb yang diusulkan oleh Plengkhom & Kanok-Nukulchai, 25. Problem yang digunakan untuk mencari range tersebut adalah 3D patch test problem yang diambil dari referensi Macneal & Harder, 1985 dan cantilever beam seperti pada penyelidikan sebelum ini (subbab 4.2.1). Patch test problem adalah berupa kubus sebesar 1 unit, menggunakan material isoptropik dengan properti E = dan v =,25 (Macneal & Harder, 1985). Pembuatan mesh dilakukan dengan program GiD dan hasilnya diperlihatkan pada Gambar 2. 37

38 Gambar 2. 3D patch test problem dengan mesh hasil GiD (ukuran,2) Hasil penyelidikan batas-batas parameter korelasi θ pada kedua problem tersebut untuk MEH-K dengan fungsi korelasi Gauss dan quartic spline masing-masing diperlihatkan pada Gambar 21 dan 22. Berdasarkan grafik-grafik ini, degnan bantuan software Microsoft Excel diperoleh persamaan regresi untuk batas-batas atas dan bawah sbb: Gambar 21. Batas atas dan batas bawah parameter korelasi θ untuk MEH-K dengan fungsi korelasi Gauss 38

39 Gambar 22. Batas atas dan batas bawah parameter korelasi θ untuk MEH-K dengan fungsi korelasi Gauss Untuk fungsi korelasi Gaussian,24n,76 θ batas atas = {,5n 2 +,139n +,5999,125n + 7,775 untuk 4 n < 14 untuk 14 n 13 untuk n > 13 untuk 4 θ batas bawah = {,71n,632 untuk n < 4 (36) (37) Untuk fungsi korelasi quartic spline,11n,34 θ batas atas = {.2n 2 +,589n +,3172,125n + 2,675 untuk 4 n < 14 untuk 14 n 13 untuk n > 13 (38) θ batas bawah =,1 (39) Parameter korelasi dapat diaplikasikan dalam MEH-K secara adaptif sesuai jumlah node dalam DOI dengan persamaan sbb. θ = (1 f) θ batas atas + f θ batas bawah (4) di mana f adalah faktor skala dengan batas f < 1. 39

40 BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN Dalam penelitian ini telah dikembangkan MEH-K untuk analisis pelat lentur (dengan teknik DSG) dan 3D solids. Kesimpulan dan saran untuk kedua bagian penelitian ini adalah sbb Elemen Pelat Reissner-Mindlin Berbasis Kriging MEH-K dengan beberapa metode aplikasi DSG untuk analisis pelat Reissner-Mindlin sudah dirumuskan, diprogram dan diuji kinerjanya. Metode aplikasi ini mencakup: 1. MEH-K dengan DSG, langsung diadopsi dari Bletzinger (DSG 1) 2. MEH-K dengan DSG, menggunakan shape function Kriging pada 3 node (DSG 2) 3. MEH-K dengan DSG, menggunakan shape function Kriging pada 5 node (DSG 3) Dari hasil pengujian kinerja ini dapat disimpulkan bahwa: 1. Secara umum, fenomena shear locking belum benar-benar bisa dieliminasi dengan menerapkan ketiga metode aplikasi DSG ini. Metode DSG 2 menunjukkan hasil terbaik pada pengujian shear locking. Bahkan metode DSG 2 dapat menghasilkan nilai yang benar-benar akurat pada masalah pelat lingkaran dengan perletakan jepit, di mana metode lainnya menunjukkan fenomena shear locking. 2. Ketiga metode aplikasi DSG mampu menghasilkan plot grafik defleksi dan rotasi yang cukup baik. Sedangkan pada plot momen, terdapat beberapa fluktuasi dari nilai eksak yang sama pada tiap metode DSG. Perbedaan yang terlihat terjadi pada plot gaya geser, di mana metode DSG 3 berfluktuasi cukup jauh dibandingkan lainnya. Metode aplikasi DSG 2 sementara dapat digunakan untuk mengurangi pengaruh fenomena shear locking, namun belum sampai tahap mengeliminasi secara keseluruhan. Penulis menyarankan agar metode DSG ini dapat dimodifikasi lebih lanjut untuk usaha mengeliminasi shear locking pada analisis pelat Reissner-Mindlin. Salah satunya dengan menggunakan interpolasi Kriging pada perumusan matriks BDSG 1, di mana sebelumnya hanya digunakan shape function linear atau kuadratik saja. Selain itu, sebagai alternatif dapat ditinjau pula metode eliminasi shear locking dengan perumusan mixed variational method (Hale & Baiz, 212). 4

41 5.2. Elemen 3D Solids Berbasis Kriging MEH-K dengan beberapa metode aplikasi DSG untuk analisis pelat Reissner-Mindlin sudah dirumuskan, diprogram dan diuji kinerjanya. Metode aplikasi ini mencakup: 1. Dari penyelidikan jumlah sampling point yang efisien pada MEH-K 3D solids didapati bahwa 11 sampling point untuk integrasi volume dan 7 sampling point untuk integrasi surface traction merupakan jumlah sampling point yang sudah cukup akurat. 2. Dari penyelidikan parameter korelasi, θ, diperoleh range parameter yang cocok untuk analisis 3D solids. Berdasarkan range ini diusulkan rumus-rumus parameter korelasi sebagai fungsi dari jumlah nodes dalam suatu domain of influencing nodes, baik untuk fungsi korelasi Gauss maupun quartic spline. 3. Pada hasil-hasil analisis terlihat fungsi korelasi quartic spline menghasilkan nilai yang lebih stabil dan baik daripada fungsi korelasi Gaussian. 4. Hasil-hasil pengujian memperlihatkan bahwa MEH-K 3D solids dapat memberikan solusi yang sangat akurat dan distribusi tegangan yang cukup halus. MEH-K 3D solids dengan basis polinom kuadratik sudah dapat menyelesaikan masalah dengan cukup akurat. 41

42 BAB 6. RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA Rencana tahapan penelitian selanjutnya untuk pengembangan MEH-K adalah sbb Elemen Pelat Reissner-Mindlin Berbasis Kriging MEH-K dengan teknik DSG untuk analisis pelat Reissner-Mindlin ternyata tidak dapat sepenuhnya menghilangkan shear locking dan menyebabkan hasil-hasil momen lentur dan momen puntir sedikit berfluktuasi. Akhir-akhir ini Hale & Baiz (212) menyajikan perumusan berdasarkan suatu mixed variational form untuk menghasilkan meshfree method yang bebas locking untuk pelat Reissner-Mindlin berdasarkan fungsi basis maximum-entropy. Teknik ini akan dicoba dalam konteks MEH-K untuk menghilangkan shear locking. Dengan demikian rencana penelitian selanjutnya adalah pengembangan elemen pelat Reissner-Mindlin berbasis Kriging dengan mixed variational method Elemen 3D Solids Berbasis Kriging Serangkaian pengujian numerik memperlihatkan bahwa elemen K-Solids dengan Kriging berbasis kuadratik dan dua lapis elemen merupakan elemen yang paling efisien. Elemen ini akan dikembangkan lagi untuk analisis dinamik getaran bebas. 42

43 DAFTAR PUSTAKA Bathe, K. J. (1996). Finite Element Procedures. New Jersey: Prentice-Hall. Retrieved from Bletzinger, K.-U., Bischoff, M., & Ramm, E. (2). A unified approach for shear-lockingfree triangular and rectangular shell finite elements. Computers & Structures, 75(3), doi:1.116/s (99)14-6 Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., & Witt, R. J. (22). Concepts and Applications of Finite Element Analysis (4th ed.). John Wiley & Sons, Ltd. Felippa, C. A. (213). Introduction To Finite Element Methods (ASEN 57) Course Material. Retrieved October 1, 213, from Hale, J. S., & Baiz, P. M. (212). A locking-free meshfree method for the simulation of shear-deformable plates based on a mixed variational formulation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, , doi:1.116/j.cma Hutton, D. V. (24). Fundamentals of Finite Element Analysis. McGraw-Hill Higher Education. Retrieved from d=qeddjweacaaj&pgis=1 Logan, D. L. (27). A First Course in the Finite Element Method (4th ed.). Toronto: Nelson. Macneal, R. H., & Harder, R. L. (1985). A Proposed Standard Set of Problems to Test Finite Element Accuracy. Finite Elements in Analysis and Design, 1(1), 3 2. doi: Olea, R. A. (1999). Geostatistics for Engineers and Earth Scientistics. Boston: Kluwer Academic Publishers. Retrieved from d=bkod2mmrhuc&redir_esc=y Plengkhom, K., & Kanok-Nukulchai, W. (25). An Enhancement of Finite Element Method with Moving Kriging Shape Functions. International Journal of Computational Methods, 2(4), doi:1.1142/s Sommanawat, W. (21). Kriging-based Finite Element Method for Material Discontinuities and Multiscale Simulation. Asian Institute of Technology. Sommanawat, W., & Kanok-Nukulchai, W. (29). Multiscale simulation based on kriging based finite element method. Interaction and Multiscale Mechanics, 2(4), Retrieved from Tongsuk, P., & Kanok-Nukulchai, W. (24). Further Investigation of Element-free Galerkin Method using Moving Kriging Interpolation. International Journal of Computational Methods, 1(2), doi:1.1142/s Wong, F. T. (29). Kriging-based Finite Element Method for Analyses of Plates and Shells. Asian Institute of Technology, Pathumthani. Wong, F. T., & Kanok-Nukulchai, W. (26a). Kriging-based Finite Element Method for 43

44 Analyses of Reissner-Mindlin plates. In Proceedings of the Tenth East-Asia Pacific Conference on Structural Engineering and Construction, Emerging Trends: Keynote Lectures and Symposia, (pp ). Bangkok: Asian Institute of Technology. Wong, F. T., & Kanok-Nukulchai, W. (26b). On Alleviation of Shear Locking in the Kriging-Based Finite Element Method. In Proceedings of International Civil Engineering Conference Towards Sustainable Engineering Practice (pp ). Surabaya: Petra Christian University. Wong, F. T., & Kanok-Nukulchai, W. (28). A Kriging-based Finite Element Method for Analyses of Shell Structures. In Proceedings of the Eighth World Congress on Computational Mechanics and the Fifth European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (p. a1247). Venice: IACM and ECCOMAS. Wong, F. T., & Kanok-Nukulchai, W. (29). On the Convergence of the Kriging-based Finite Element Method. International Journal of Computational Methods, 6(1), doi:1.1142/s Wong, F. T., & Sulistio, A. (n.d.). Kriging-based Timoshenko Beam Element with the Discrete Shear Gap Technique to Eliminate the Shear Locking. Wong, F. T., & Syamsoeyadi, H. (211). Kriging-based Timoshenko Beam Element for Static and Free Vibration Analyses. Civil Engineering Dimension, 13(1), Retrieved from Zienkiewicz, O. C., & Taylor, R. L. (2a). The Finite Element Method, Volume 1: The Basis (Fifth Edit.). Massachusetts: Butterworth-Heinemann. Zienkiewicz, O. C., & Taylor, R. L. (2b). The Finite Element Method, Volume 2: Solid Mechanics (Fifth edit.). Oxford: Butterworth-Heinemann. 44