Seminar Hasil Tesis ESTIMATOR SPLINE DALAM REGRESI NONPARAMETRIK MULTIRESPON (STUDI KASUS TINGKAT KESEJAHTERAAN DI INDONESIA TAHUN 2009)

Transkripsi

1 Seminar Hasil Tesis ESTIMATOR SPLINE DALAM REGRESI NONPARAMETRIK MULTIRESPON (STUDI KASUS TINGKAT KESEJAHTERAAN DI INDONESIA TAHUN 2009) Oleh: I Gde Adnyana Pembimbing: Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, MS PROGRAM MAGISTER JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2010 OUTLINE PENDAHULUAN TINJAUAN PUSTAKA METODOLOGI PENELITIAN HASIL DAN PEMBAHASAN KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA 1

2 Pendahuluan Latar Belakang 2

3 lanjutan Spline ( Eubank) potongan polinomial sifat tersegmen & kontinu Minimumkan PLS yaitu gabung antara goodnes of fit dan kemulusan kurva Kelebihan: cenderung mencari sendiri estimasi data kemanapun pola data bergerak Akibat dari adanya titik knot lanjutan Regresi menurut jumlah jumlah variabel (Rencher): Regresi linier sederhana > 1 Var. Respon & 1 Var. prediktor Regresi berganda > 1 Var. Respon & >1 Var. prediktor Regresi multirespon > >1 Var. Respon& >= 1 Var. prediktor 3

4 lanjutan Masalah dunia nyata, kadangkala dihadapkan pada dua var. dependenataulebihd dengan beberapa var. Independen dengan pola data tidak diketahui. Regresi nonparametrik multirespon sebagai alat untuk memodelkan fungsi yg berkaitan dengan masalah tsb. Spline sebagai estimator lanjutan Ukuran Kesejahteraan Pd Pada umumnya model dlregresi dengan satu respon, misalnya pendapatan (Todaro, 2003), pengeluaran (Harianto, 1994; Junaedi, 2005; Berg, 1986), pertumbuhan ekonomi, kemiskinan, IPM dll lebih tepatjika diukur dengan regresi nonparametrik multirespon dengan menggunakan spline 4

5 Permasalahan Bagaimana estimasi fungsi regresi nonparametrik tikmultirespon dengan pendekatan spline Bagaimana memilih titik knot optimal dalam estimator spline Bagaimana merancang suatu algoritma dan program komputer untuk menyelesaikan tujuan (1) dan (2) Permasalahan (2) Bagaimana aplikasi algoritma dan program komputer yang dirancang pada tujuan (3) untuk estimator spline dalam regresi nonparametrik multirespon, untuk memodelkan tingkat kesejahteraan di indonesia tahun

6 Tujuan Mendapatkan estimasi fungsi regresi nonparametrik tikmultirespon dengan pendekatan spline memilih titik knot optimal dalam estimator spline merancang suatu algoritma dan program komputer untuk menyelesaikan tujuan (1) dan (2) Tujuan (2) Bagaimana aplikasi algoritma dan program komputer yang dirancang pada tujuan (3) untuk estimator spline dalam regresi nonparametrik multirespon, untuk memodelkan tingkat kesejahteraan di indonesia 6

7 Manfaat Penelitian Memberikan wawasan keilmuan yang lebih kepadapenulis dan masyarakat kttentangt penggunaan spline pada regresi nonparametrik multirespon Memberi kontribusi dalam pengembangan komputasi statistik terutama regresi nonparametrik multirespon dalam bentuk macro Batasan Masalah Dikaji model regresi nonparametrik multirespon dengan menggunakan model dl spline truncated linier dan pemilihan titik knot dengan metode GCV dengan aplikasi pada data tingkat kesejahteraan di Indonesia tahun

8 Tinjauan Pustaka Analisis Regresi Mengetahui pola hubungan antara variabel prediktor dengan var. respon Ada tiga pendekatan yaitu regresi parametrik, non parametrik dan semiparametrik Dilihat dari pola hubungan variabelnya 8

9 Regresi Nonparametrik Menurut Eubank (1999) model regresi nonparametrik yaitu: Dimana : y f( t ) : j 1... n j j j y j : Var respon f ( t i ): fungsi yg tidak diketahui diasumsikan smooth dalam suatu ruang t i : V ar.p red ik to r : error diasumsikan ~ N(0, 2) i Model Nonparametrik Spline Model spline suatu ruang Sobolev b m [ ] { ; ( ( m) 2 ( )) } W [ 2 a, b ] { g ; ( g ( t )) dt } Spline Min Optimasi PLS { R f J (f) } m fw2 [ a, b ] a Parameter Goodness of Penghalus fit Uk. Kemulusan Fs p r i i p j j i0 j1 p s() t t ( tk ) 9

10 Model nonparametrik spline(2) Wahba (1990), Craven dan Wahba (1979), dan Kimeldorf dan Wahba (1971) mengambil R(f) dan J(f) dalam bentuk kuadrat spline Natural Cox dan O Sullivan (1996) dan Cox (1983) memperoleh estimator spline tipe MM Oehlert (1992) memberikan estimator spline relaxed Koenker, et. al. (1994) memberikan estimator spline quantile Model nonparametrik spline(3) Budiantara (2006b) telah mengembangkan estimator t spline dl dalam regresi nonparametrik tik dengan menggunakan basis fungsi keluarga 2 m m f spline t 0 1t2t... mt 1( tk1) I( t K1)... truncated m m ( tk ) I( t K ) r r r c m f () t ct m k ( t k ) k c0 d1 ( t ) m ( t ), 0 t m k k k t k 10

11 Regresi Multirespon Model regresi multirespon y f ( t ) 1 1 j 1 j y f ( t ) 2 2 j 2 j y f ( t ) l lj lj Pemilihan Titik Knot Menurut Wahba (1990) dan Eubank (1988): Jika parameter penghalus kecil kurva kasar Jika parameter penghalus besar kurva halus Perlu memilih parameter penghalus optimal salahsatumetode yaitugeneralized Cross Validation (GCV) 11

12 Pemilihan Titik Knot (2) GCV ( K ) Dimana MSE( K) 1 n tr( I H( K)) 2 n 1 ˆ 2 ( j ( j)) j1 MSE n y f t ' 1 ' H ( ) X( XWX) XW Menurut Eubank(1999) memilih parameter penghalus optimal ekuivalen dengan memilih titik knot optimal. Teori Kesejahteraan Sosial dan Ekonomi Kesejahteraan merupakan aspek yg penting Perlu peran pemerintah dalam menentukan kebijakan perekonomian Pertumbuhan ekonomi abaikan kesejahteraan Perlu kebijakan untuk peningkatan pertumbuhan ekonomidan kesempatan kerja Dampak sosial pertumbuhan ketimpangan pendapatan, kemiskinan dll 12

13 Teori Kesejahteraan Sosial dan Ekonomi (2) Pembangunan manusia merupakan paradigma pembangunan yang menempatkan manusia sebagai fokus dan sasaran akhir dari seluruh kegiatan pembangunanipm Kesejahteraan suatu negara (Thomas dalam Sugiarto, 2007) diukur melalui indikator kemiskinan, angkabuta huruf, angkamelek huruf, emisi karbon, perusakan alam &lingkungan, polusi, PDB Todaro (2003) menyatakan kesejahteraan merupakan fungsi dari pendapatan perkapita, ketimpangan dan kemiskinan absolut Metodologi Penelitian 13

14 Bahan dan alat Sumber Data Jurnal dan buku referensi yang terkait Software yang digunakan Matlab Sumber data & unit observasi Publikasi BPS yaitu Statistik Indonesia 2009 dan publikasi Perkembangan Beberapa Indikator Sosial Ekonomi Indonesia Unit Observasi adalah Propinsi yang ada di Indonesia (33 Propinsi) Variabel Penelitian Variabel Respon Y 1 = Persentase penduduk miskin; Y 2 = IPM; Variabel prediktor X 1 = TPT X 2 = Laju PDRB 14

15 Langkah Langkah Penelitian 1. Langkah untuk mendapatkan tujuan 1 Buat model multirespon Kurva regresi didekati dengan fungsi spline truncated Buat model dalam bentuk matriks Tentukan matriks bobot varian kovarian W Selesaikan optimasi denganwls Gunakan derivatif parsial untuk selesaikan optimasi diatas 2. Langkah untuk mendapatkan tujuan 2 Definisikan MSE Dapatkan matriks H(λ) dari langkah tujuan 1 Mencari titik knot yang minimumkan nilai GCV 15

16 3. Langkah mendapatkan tujuan 3 Rancang algoritma dan prokom untuk estimator untuk pendefinisian dan pengubahan variabel ke matriks Untuk mendapatkan matriks bobot varian kovarian w untuk membuat visualisasi untuk estimator spline optimal untuk menghitung nilai MSE Rancang algoritma dan prokom untuk titik knot optimal untuk menentukan banyak titik awal knot dari fungsi regresi untuk menentukan nilai titik awal knot. untuk menghitung nilai GCV awal. untuk melakukan iterasi untuk mendapatkan titik knot optimal. Langkah untuk mendapatkan tujuan 4 Membuat plot antara variabel respon dan prediktor Memodelkan masing masing prediktor dengan respon menggunakan spline truncated Mendapatkan estimator spline dengan kendala GCV minimum Interpretasi output 16

17 HASIL DAN PEMBAHASAN Estimator SplineDalamRegresi Nonparametrik Multirespon Bentuk Umum model Multiresponse Y1j f1( t11j) f1( t21j)... f1( tm1j) 1j Y2 j f2( t12 j) f2( t22 j)... f2( tm2 j) 2 j Ylj fl( t1 lj) fl( t2lj)... fl( tmlj) lj Dalam bentuk matriks Y1j f1 ( t11j ) f1 ( t21j )... f1 ( tm1j ) 1j Y2j f2( t12 j) f2( t22 j)... f2( tm2j) 2 j Y l j fl( t1 lj) fl( t2lj)... fl( tmlj) l j 17

18 Estimator Spline Dalam Regresi Nonparametrik Multirespon Misalkan diberikan suatu fungsi spline truncated linier s(t) dengan titik knot sebanyak k, yaitu: st ( ) t ( t ) ( t )... ( t ) k k JikaYdalam ( model ) ( ) multirespon... ( ) j s t j s t j s1 tm1j 1j fungsi f diganti Y2 j s2( t12 j) s2( t22 j)... s2( tm2 j) 2 j dengan fungsi spline Y s ( t ) s ( t )... s ( t ) lj l 1lj l 2lj l mlj lj uraikan fungsi s dan memisahkan antara parameter dengan variable y X, i 1,2... l : saling korelasi ij Dimana, j 1,2,..., n : Independent ij [ W( )] diag W1( 1) W l ( l ) 18

19 optimasi dengan WLS W Y X WY X nlm(2 k ) min ' min ' nlm(2 k ) R R Estimasi parameter beta ˆ XWX ' 1 XWY ' Estimasi y hat 1 atau Dengan Yˆ X X ' WX X ' WY Yˆ H( K) Y 1 H( K) X X ' WX X ' W Pemilihan Titik Knot Salah satu metode pemilihan titik knot adalah dlhmeminimumkan i nilai i generalized cross validation (GCV) GCV ( K) min 1 N tr I MSE( K) ( H( K)) Menurut Eubank(1999) dan Budiantara(2006b) memilih parameter penghalus optimal ekuivalen dengan memilih titik knot optimal. 2 19

20 Algoritma Program MATLAB Untuk Regresi Nonparametrik Multirespon Mendefinisikan variable dan matriks bobot Membuat macro program untuk memilih titik knot optimal secara otomatis Membuat output nilai GCV, MSE, titik knot dan koefisien regresi untuk masing masing model kedalam file output. Tabel 4.1 Statistik Deskriptif Variabel Respon dan Variabel Prediktor Model Tingkat Kesejahteraan di Indonesia Variabe observa Minim Maksi l si um mm mum Range Mean Varians Y Y t t

21 Scatter Plot antara TPT dengan Persentase Penduduk Miskin dan IPM Scatter Plot antara Laju Pertumbuhan PDRB dengan Persentase Penduduk Miskin dan IPM 21

22 Nilai GCV dari masing masing model Model Nilai GCV Nilai MSE Spline Linier 1 Titik Knot Spline Linier 2 Titik Knot Spline Kuadrat 1 Titik Knot Spline Kuadrat 2 Titik Knot Spline Kubik 1 Titik Knot Spline Kubik 2 Titik Knot Model Yang Optimum Yˆ t t t ( t ) t t t ( t -0.51) Yˆ t t t ( t -5.13) t t t ( t )

23 Interpretasi model Model yang terbaik yang menjelaskan tingkat kesejahteraan di Indonesia adalah dlhmodel spline kubik dengan 1 titik knot. Pada respon persentase penduduk miskin, perubahan pola pada variabel TPT terjadi pada titik dan variabel laju pertumbuhan PDRB terjadi pada titik Pada respon IPM, perubahan pola pada variabel TPT terjadi pada titik 5.13 dan variabel laju pertumbuhan PDRB terjadi pada iik251 Kesimpulan dan saran 23

24 Kesimpulan Estimasi kurva regresi nonparametrik multirespon dengan estimator t spline truncated diberikan oleh: Yˆ H( K) Y Metode untuk memilih titik knot optimal MSE( K) adalah GCV ( Kdengan ) meminimumkan 2 nilai GCV 1 N tr I ( H( K)) Model yang terbaik yang dapat menggambarkan tingkat t kesejahteraandi Indonesia adalah model spline truncated kubik 1 titik knot dengan Nilai GCV : dan nilai MSE sebesar: Titik knot pada respon persentase penduduk p p p p miskin yaitu untuk variabel TPT dan 0.51 untuk variabel laju pertumbuhan PDRB, titik knot pada respon IPM yaitu 5.13 untuk variabel TPT dan 2.51 untuk variabel laju pertumbuhan PDRB 24

25 DAFTAR PUSTAKA Badan Pusat Statistik (2010), Booklet Agustus 2010, BPS, Jakarta. Badan Pusat Statistik (2010), Data Strategis BPS, BPS, Jakarta. Badan Pusat Statistik (2008), Indeks Pembangunan Manusia , Badan Pusat Statistik, Jakarta. Badan Pusat Statistik (2005), Analisis dan PenghitunganTingkat t Kemiskinan 2005, BPS, Jakarta. Jk Badan Pusat Statistik, Bappenas dan UNDP (2004), The Economics of Democracy: Financing of Human Development in Indonesia, Indonesia Human Development Report (IHDR), Badan Pusat Statistik, Jakarta. Budiantara, I N. (2009). Spline Dalam Regresi Nonparametrik Dan Semiparametrik: Sebuah Pemodelan Statistika Masa Kini dan Masa Mendatang, PidatoPengukuhan Untuk Jabatan Guru Besar Dalam Bidang Ilmu Matematika Statistika dan Probabilitas, Pada Jurusan Statistika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, ITS Press, Surabaya. Budiantara, I. N. (2006a), Regresi Nonparametrik Dalam Statistika, Makalah Pembicara Utama pada Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Makasar (UNM), Makasar. Budiantara, I. N., Suryadi, F., Otok, B. dan Guritno, S. (2006), Pemodelan B Spline dan MARS pada Nilai Ujian Masuk Terhadap IPK Mahasiswa Jurusan Disain Komunikasi UK Petra, Surabaya, Jurnal Teknik Industri, 8, Budiantara, I. N. (2005), Model Keluarga Spline Polinomial Truncated Dalam Regresi Semiparametrik, Makalah Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika Universitas Diponegoro, Semarang. 25

26 . Budiantara, I. N., (2001a), Regresi Nonparametrik dan Semiparametrik Serta Perkembangannya, Makalah Pembicara Utama pada Seminar Nasional Alumni Pasca Sarjana Matematika Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Budiantara, I. N., (2001b), Estimasi Parametrik dan Nonparametrik untuk Pendekatan Kurva Regresi, Makalah Pembicara Utama pada Seminar Nasional Statistika V, Jurusan Statistika, Fakultas Matematika danilmu PengetahuanAlam, Institut Tk Teknologi isepuluh Nopember (ITS), Surabaya. Budiantara, I. N. (2000a), Metode U, GML, CV dan GCV Dalam Regresi Nonparametrik Spline, Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia (MIHMI), 6, Budiantara I N (2000b) OptimasidanProyeksi Cox, D. D. and O Sullivan, F.,(1996), Penalized Type Estimator for Generalized Nonparametric Regression, 1983, Journal of Multivariate Analysis, 56, Enggle, R.F., Grangger, C.W.J., Rice, J. and Weiss, A., (1986), Semiparametric Estimates of Relation Between Weather and Electric Sales, Journal of the American Statistical Association., 81, Eubank, R.L. (1999), Nonparametric Regression and Spline Smoothing Second Edition, Marcel Deker, New York. Green, P.J. and Silverman, B.W. 1994, Nonparametric Regression and Generalized Linear Model, Chapman & Hall, London. Hardle, W. (1990), Applied Nonparametric Regression, Cambrige Univercity Press, New York. Harianto (1994), An Empirical Analysis of Food 26

27 He, X. and Shi, 1996, Bivariate Tensor Product B Spline in a Partly Linear Model Linear, Journal of Multivariate Analysis, 58, Junaedi (2005), Dinamika Pola Konsumsi Telur di Indonesia: Suatu Analisis Data Susenas, Tesis, Institut Pertanian Bogor, Bogor. Khattree, R dan Naik, D.N. (1999),Applied Multivariate Statistics with SAS Software,Second Edition, SAS Institute Cary, NC: SAS Institute Inc. Koenker, R., Ng., P. and Portnoy, S.,1994, Quantile Smoothing Spline, Biometrika, 81, Lestari, B., 2008a. Spline estimator of biresponse nonparametric regression model with unequal variances of errors. J. Penelitian Math., 15: Lestari, B., 2008b. Penalized weighted least squares estimator for bivariate nonparametric regression model with correlated errors. Proceeding of the National Seminar on Mathematics and Statistics, (MS 08), Airlangga University, Surabaya, pp: Lestari, B., IN I.N. Budiantara, S. Sunaryo and M. Mashuri, 2010a. Spline estimator t in homoscedastic Multiresponse nonparametric regression model. Proceeding of the Indo MS International Conference on Mathematics and Its Application, Oct , Yogyakarta, Indonesia, pp: Oehlert, G.W.,1992, Relaxed Boundary Smoothing Spline, The Annals of Statistics, 20, Rencher, A, C. (2002), Methods of Multivariate Analysis.Second Edition, John Wiley & Sons, Inc.New York. Sunaryo, Sony., dan Purwahyuningsih, W. (2010), Pendekatan Regresi Semiparametrik Spline (Pada data nilai Ujian Nasional siswa SMKN 1 Nguling Pasuruan ), Surabaya, Seminar Nasional Pascasarjana X. Soo,Yuh Wen dan Bates, D. M. (1996), Multirespon Spline Regression, Computational Statistics & Data Analysis. 22, Elsevier Science B.V.p Speckman, P., 1988, Kernel Smoothing in Partial Linear Model, Journal of the Royal Statistical Sociaty, Seies B, 50, Sugiarto, Eddy (2007), Teori Kesejahteraan Sosial dan Pegukurannya, Jurnal Eksekutif, Vol. 4, No. 2 p Todaro, MP., dan Stephen C. Smith. (2003), Pembangunan Ekonomi di Dunia Ketiga. Jilid I. Edisi Kedelapan. Erlangga, Jakarta. Wahba.G. (1990). Spline Models For Observational Data. University Of Winsconsin at Madison. Wang, Y. (1998), Spline Smoothing Models With Correlated Errors, Journal of the American Statistical i Association., i 93, Tripena, A. and Budiantara, I N., (2006), Fourier Estimator in Nonparametric Regression, International Conference On Natural Sciences and Applied Natural Scienes, Ahmad Dahlan University, Yogyakarta 27

28 TERIMA KASIH. 28