PENDEKATAN LOGIKA FUZZY UNTUK MEMPREDIKSI IPK AKHIR MAHASISWA MATEMATIKA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Transkripsi

1 1 PENDEKATAN LOGIKA FUZZY UNTUK MEMPREDIKSI IPK AKHIR MAHASISWA MATEMATIKA INSTITUT PERTANIAN BOGOR ANA MARNIDA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

2 2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendekatan Logika Fuzzy untuk Memprediksi IPK Akhir Mahasiswa Matematika Institut Pertanian Bogor ini adalah karya saya dengan arahan dan bimbingan dari komisi pembimbing serta belum pernah diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan oleh pihak lain telah penulis sebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, November 2008 Ana Marnida NRP G

3 3 ABSTRACT ANA MARNIDA. A Fuzzy Logic Approach to Predict Mathematics Students Achievement Cummulative Index at Bogor Agricultural University. Under direction of SRI NURDIATI and TEDUH WULANDARI. Among several models which can be used to predict achievement cummulative index is a fuzzy model. In this thesis, a fuzzy model will be used to determine and to predict achievement cummulative index of mathematics students at Bogor Agricultural University. IPK TPB and IPK Gabungan are used as input of the fuzzy model. The model will produce IPK Akhir as an output. The model will transform input variables into output variable by four steps i.e. fuzzification, rule evaluation, aggregation and defuzzification. The output of the model will be compared with the true value of the variable. The result shows that the standard error of output is about Finally the model will be used to predict the IPK Akhir of the students. Keywords: fuzzy model, achievement cummulative index, prediction

4 4 RINGKASAN ANA MARNIDA. Pendekatan Logika Fuzzy untuk Memprediksi IPK Akhir Mahasiswa Matematika Institut Pertanian Bogor. Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan TEDUH WULANDARI. Keberhasilan seorang mahasiswa dapat dilihat dari indeks prestasi yang dicapainya. Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) diekspresikan tidak saja secara numeris, tetapi juga direpresentasikan dalam bentuk kualitatif secara linguistik. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan IPK Akhir menggunakan pendekatan logika fuzzy serta memprediksi rata-rata IPK Akhir mahasiswa Matematika IPB berdasarkan IPK Tingkat Persiapan Bersama (TPB) dan huruf mutu mata kuliah Aljabar Linear, Pemrograman Linear, Analisis Numerik, Pengantar Teori Peluang serta Analisis Real yang diperoleh sebelumnya. Data yang diperoleh diolah dengan menggunakan pendekatan logika fuzzy. Penelitian ini menggunakan model Mamdani. Ada beberapa tahapan yang digunakan dalam model Mamdani, antara lain fuzzifikasi, yaitu mengubah variabel input menjadi fuzzy input. Variabel input yang telah didefinisikan dibagi menjadi beberapa himpunan fuzzy dan kemudian dicari masing-masing nilai kuartilnya. Setelah itu dicari fungsi keanggotaan dari tiap variabel input. Dalam tahap fuzzifikasi ini akan diperoleh derajat keanggotaan konstanta linguistik ke-j untuk setiap peubah input ke-i, yaitu μ ij. Tahap kedua adalah evaluasi aturanaturan dasar, yaitu memproses variabel input ke dalam aturan aturan dasar. Karena setiap variabel input terdiri dari 3 konstanta linguistik, maka jika ada 2 variabel input akan terdapat 3 2 aturan dasar. Tahap ketiga adalah agregasi, yaitu memproses derajat keanggotaan output yang tumpang tindih, sehingga untuk setiap anggota domain output hanya memiliki satu derajat keanggotan. Karena ada banyak aturan dasar yang dievaluasi, ada kemungkinan lebih dari satu derajat keanggotaan untuk setiap konstanta linguistik output. Selain itu ada kemungkinan satu nilai output memiliki derajat keanggotaan yang berbeda, karena perbedaan konstanta linguistik. Dalam Mamdani Inference Rule, untuk setiap konstanta linguistik output yang dipergunakan adalah derajat keanggotaan yang paling besar atau maksimum untuk setiap nilai output. Tahap terakhir adalah defuzzifikasi, yaitu upaya mengonversi derajat keanggotaan setiap anggota domain variabel output hasil proses logika fuzzy menjadi satu nilai output yang merupakan hasil akhir yang diharapkan. Metode defuzzifikasi yang dipergunakan adalah Center of Gravity (centroid), CoG. Setelah dilakukan tahapan menggunakan pendekatan logika fuzzy maka dapat diprediksi variabel output y yaitu IPK Akhir mahasiswa matematika angkatan Ini dapat dilakukan dengan memberikan nilai untuk variabel output y untuk mahasiswa angkatan Setelah dilakukan keempat tahapan pada pendekatan logika fuzzy diperoleh bahwa rata-rata IPK Akhir dengan menggunakan pendekatan logika fuzzy adalah 2.84, sedangkan rata-rata IPK Akhir sebenarnya adalah Jadi terdapat perbedaan sebesar Ini menunjukkan bahwa IPK Akhir dapat didekati dengan logika fuzzy. Adanya perbedaan sebesar 0.13 disebabkan oleh pembulatanpembulatan. Pada tabel juga dapat ditentukan standard error sebesar Ini berarti bahwa model pendekatan logika fuzzy dapat digunakan untuk menentukan IPK Akhir mahasiswa matematika IPB. Hasil prediksi IPK Akhir mahasiswa

5 5 matematika untuk angkatan 2004 mendekati kelompok SEDANG. Hal ini terlihat dari sepuluh mahasiswa matematika angkatan 2004 yang diambil secara acak, sebanyak 70% berada pada kisaran dan hanya 20% berada pada kisaran serta 10% berada pada kisaran Kata kunci: model fuzzy, indeks prestasi kumulatif, prediksi

6 cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik dan tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

7 7 PENDEKATAN LOGIKA FUZZY UNTUK MEMPREDIKSI IPK AKHIR MAHASISWA MATEMATIKA INSTITUT PERTANIAN BOGOR ANA MARNIDA Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

8 8 Judul Tesis Nama NRP : Pendekatan Logika Fuzzy untuk Memprediksi IPK Akhir Mahasiswa Matematika Institut Pertanian Bogor : Ana Marnida : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc Ketua Teduh Wulandari, MSi Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS Tanggal ujian : 6 November 2008 Tanggal lulus :

9 9 Karya tulis ini aku persembahkan kepada: * Suamiku tercinta yang selalu memberi dorongan dan semangat * Anak-anakku tersayang Rahana Munisa, Najwa Adila, Mutia Aulia dan Habib Muzaki * Saudara-saudaraku yang selalu mengharapkan keberhasilanku PRAKATA

10 10 Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat, serta seluruh umat manusia yang mengikuti petunjuk dan ajaran beliau. Penulis merasa bahagia telah dapat menyelesaikan penulisan tesis yang berjudul Pendekatan Logika Fuzzy untuk Memprediksi IPK Akhir Mahasiswa Matematika Institut Pertanian Bogor. Tesis ini disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains Program Studi Matematika Terapan pada Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada Departemen Agama RI yang telah memberikan beasiswa sehingga penulis dapat belajar dan menyelesaikan Program Magister Matematika Terapan di Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc dan ibu Teduh Wulandari, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah memberikan arahan dan bimbingan selama penulis menyusun tesis ini, serta ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Permohonan maaf yang tak terhingga penulis sampaikan kepada anakanakku Rahana Munisa, Najwa Adila, Mutia Aulia dan Habib Muzaki atas kurangnya perhatian dan kasih sayang selama ini. Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada segenap dosen dan karyawan Departemen Matematika, rekanrekan mahasiswa S2 baik BUD maupun reguler, serta semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Teriring do a Jazakumullaahu khoiron katsiira semoga amal kebaikan mereka diterima di sisi Allah SWT, dan mendapat balasan yang setimpal. Amin. Penulis juga meyakini, bahwa tesis ini masih banyak kekurangan, maka dari itu segala kritik dan saran yang bersifat membangun dari para pembaca sangat penulis harapkan. Semoga tesis ini membawa berkah dan manfaat. Bogor, November 2008 Ana Marnida RIWAYAT HIDUP

11 Penulis dilahirkan di Palembang pada tanggal 18 Maret Penulis merupakan anak ketiga dari pasangan bapak Taharuddin Gaus dan ibu Chadijah. Penulis menempuh pendidikan dari tingkat dasar dan menengah di Palembang hingga tahun Pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan diploma P3TK-FKIP Universitas Sriwijaya pada jurusan Pendidikan Matematika dan lulus tahun Pada tahun 1997 penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas PGRI Palembang dan lulus tahun Tahun 1998 mengikuti seleksi penerimaan Pegawai Negeri Sipil di Departemen Agama Kabupaten Ogan Komering Ilir dan diterima sebagai guru Matematika di MTsN Tanjung Laut Ogan Komering Ilir dari tahun 1999 sampai Tahun 2001 pindah tugas ke MTsN Sakatiga hingga sekarang. Selanjutnya pada tahun 2006 penulis mengikuti seleksi yang diselenggarakan Departemen Agama RI untuk melanjutkan pendidikan S2 pada Program Studi Matematika Terapan di Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) dan lulus pada tahun

12 12 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS DAFTAR ISI

13 13 Halaman DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xv DAFTAR LAMPIRAN... xv PENDAHULUAN... 1 Latar Belakang... 1 Tujuan Penelitian... 2 TINJAUAN PUSTAKA... 3 Himpunan Crisp dan Himpunan Fuzzy... 3 Peubah Linguistik... 4 Operasi Himpunan dan Logika Fuzzy... 4 Sistem Inferensi Fuzzy... 5 Model Linguistik... 6 Max-Min (Mamdani) Inference Rule... 8 Defuzzifikasi METODOLOGI PENELITIAN Pengumpulan Data Pembentukan Model Fuzzy HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi Data Tahapan Pembentukan Model Fuzzy KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN DAFTAR TABEL

14 14 Halaman 1 Nilai kebenaran operasi AND, OR dan NOT Tabel kebenaran dari modus ponen Nilai IPK mahasiswa matematika tahun Batasan parameter untuk tiap variabel input Batasan parameter hasil normalisasi Derajat keanggotaan variabel x Derajat keanggotaan variabel x Banyaknya aturan dasar dari dua variabel input Rata-rata variabel input dan output untuk sepuluh angkatan Analisis variabel output y tahun Batasan parameter minimum dan maksimum Kisaran IPK Akhir mahasiswa matematika tahun Kisaran Prediksi IPK Akhir mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.1 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.2 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.3 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.4 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.5 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.6 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.7 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.8 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.9 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.10 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Lampiran 1.11 Data nilai mahasiswa matematika angkatan DAFTAR GAMBAR

15 15 Halaman 1 Langkah analisis logika fuzzy menurut Babuska Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy pada variabel input dan output Domain IPK TPB mahasiswa matematika tahun Domain IPK Gabungan mahasiswa matematika tahun Fungsi keanggotaan pada variabel x Fungsi keanggotaan pada variabel x Fungsi keanggotaan pada variabel output Grafik perbandingan y output eksak dan dengan logika fuzzy DAFTAR LAMPIRAN Halaman

16 16 1 Data nilai mahasiswa matematika angkatan Perhitungan standard error 9 aturan dengan μ berbeda PENDAHULUAN Latar Belakang

17 17 Keberhasilan seorang mahasiswa dapat dilihat dari indeks prestasi yang dicapainya. Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) diekspresikan tidak saja secara numeris, tetapi juga direpresentasikan dalam bentuk kualitatif secara linguistik. Penyajian secara linguistik ini dapat menimbulkan ambiguitas atau keraguan. Konsep logika fuzzy merupakan alternatif untuk menyatakan sesuatu yang tidak dapat didefinisikan dengan tepat. Menurut Marimin (2005), logika fuzzy merupakan bagian dari logika Boolean yang digunakan untuk menangani konsep derajat kebenaran antara benar dan salah. Saat ini logika fuzzy dikembangkan sebagai pengukuran beragam fenomena ambiguitas secara sistematis yang mencakup konsep peluang. Menurut Kusumadewi (2002), selama beberapa dekade yang lalu logika fuzzy telah digunakan pada lingkup domain permasalahan yang cukup luas. Sejak tahun 1985 terjadi perkembangan yang sangat pesat pada logika fuzzy, terutama dalam hubungannya dengan penyelesaian masalah kendali yang bersifat timevarying. Beberapa peneliti telah menggunakan pendekatan logika fuzzy untuk menghitung indeks. Miceli (1998) menggunakan logika fuzzy untuk mengukur kemiskinan. Cornelissen, et al (2001) menggunakan logika fuzzy untuk menilai keberlanjutan pada sistem produksi pertanian (sustainability on agriculture production systems). Suliadi (2003) menggunakan pendekatan logika fuzzy untuk menentukan indeks pembangunan berkelanjutan di Indonesia. Pada penelitian ini dilakukan pendekatan logika fuzzy untuk menentukan prediksi IPK Akhir mahasiswa matematika Institut Pertanian Bogor. Dengan menggunakan pendekatan logika fuzzy, tingkat keberhasilan mahasiswa dalam bentuk IPK Akhir dapat diprediksi pada akhir semester 6. Penelitian ini dibatasi untuk memprediksi IPK Akhir mahasiswa matematika IPB berdasarkan IPK Tingkat Persiapan Bersama (TPB) dan huruf mutu mata kuliah Aljabar Linear, Pemrograman Linear, Analisis Numerik, Pengantar Teori Peluang, serta Analisis Real selama sepuluh tahun terakhir. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk:

18 18 1 Memformulasikan model pendekatan logika fuzzy menggunakan variabel input IPK TPB dan IPK Gabungan dari mata kuliah Aljabar Linear, Pemrograman Linear, Analisis Numerik, Pengantar Teori Peluang dan Analisis Real. 2 Memverifikasi model pendekatan logika fuzzy yang diformulasikan dengan menggunakan IPK Akhir mahasiswa matematika IPB dari angkatan 1994 sampai Menggunakan model pendekatan logika fuzzy tersebut untuk memprediksi IPK Akhir mahasiswa matematika IPB angkatan TINJAUAN PUSTAKA

19 19 Pada tahun 1965, L.A Zadeh memperkenalkan tulisannya tentang himpunan fuzzy yang mampu mengekspresikan kebingungan (ambiguity). Sistem fuzzy merupakan suatu cara pengambilan keputusan melalui pendekatan logika fuzzy. Sistem ini memiliki kemampuan untuk mengembangkan sistem intelejen dalam lingkungan yang tidak pasti atau tidak tepat. Teori himpunan fuzzy memungkinkan adanya derajat keanggotaan suatu objek dalam suatu himpunan untuk menyatakan suatu peralihan keanggotaan secara bertahap. Himpunan Crisp dan Himpunan Fuzzy Menurut Jamshidi et al (1993), suatu himpunan klasik (crisp) X didefinisikan sebagai sekumpulan objek atau benda yang memiliki sifat atau karakteristik yang sama. Himpunan tersebut biasa disebut himpunan semesta dengan setiap elemennya dinotasikan sebagai x. Misalkan himpunan A himpunan yang memuat koleksi dari beberapa anggota X. Himpunan A disebut himpunan bagian dari X. Dalam teori himpunan dikenal notasi berikut ini: x X x anggota X x A x anggota A x A x bukan anggota A. Misalkan μ ( x ) adalah fungsi keanggotaan himpunan klasik A. Untuk x A anggota himpunan semesta, maka dapat dinyatakan sebagai berikut: 1, jika x A μa( x) = 0, jika x A. Fungsi keanggotaan di atas secara tegas membedakan, apakah suatu elemen x merupakan anggota himpunan A ( μ ( x ) = 1) atau bukan anggota himpunan A A ( μ ( x ) = 0). Konsep ini selaras dengan konsep logika matematika, dimana suatu A logika hanya akan bernilai benar atau salah. Menurut Jamshidi et al (1993), himpunan fuzzy A adalah himpunan dengan batas antara anggota dan bukan anggota dinyatakan secara kabur. Himpunan fuzzy A memuat elemen dengan derajat keanggotaan yang bervariasi. Suatu himpunan fuzzy A adalah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi keanggotaan μ ( x ) yang memetakan x ke dalam interval [0,1] atau ditulis A

20 20 sebagai μ : x [0,1]. Fungsi keanggotaan tersebut biasa disebut derajat A keanggotaan. Derajat keanggotaan 1 menyatakan bahwa elemen tersebut anggota himpunan, 0 menyatakan bahwa elemen tersebut bukan anggota himpunan, sedangkan derajat keanggotaan antara 0 dan 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut anggota himpunan secara parsial. Derajat keanggotaan secara ringkas dapat dinyatakan sebagai berikut: 1, x anggota penuh A μa( x) = [0,1], x anggota parsial A 0, x bukan anggota A, (Babuska 2001 dalam Suliadi 2003). Peubah Linguistik Peubah linguistik adalah istilah yang digunakan untuk menyatakan kefuzzian. Beberapa bentuk seperti rendah, sedang, tinggi dan lain-lain disebut dengan konstanta linguistik. Peubah asal yang berupa numerik disebut dengan peubah dasar. Jang (1995) memberikan definisi peubah linguistik sebagai berikut: Suatu peubah linguistik L didefinisikan dalam bentuk kuantupel (quintuple) yaitu (x, T(x), X, G, M), dengan x adalah peubah dasar (base variable), T(x) adalah himpunan dari konstanta linguistik (linguistic term), X adalah domain dari x, G adalah aturan sintaks yang membangkitkan konstanta linguistik dan M adalah aturan semantik yang memberi arti terhadap konstanta linguistik. Operasi Himpunan dan Logika Fuzzy Logika fuzzy memiliki kemampuan untuk merepresentasikan basis pengetahuan linguistik pada model matematis. Logika fuzzy menggunakan derajat keanggotaan pada selang [0,1] untuk beragam kemungkinan pilihan yang didasarkan pada suatu nilai variabel. Logika fuzzy dapat membangkitkan derajat keanggotaan pada suatu nilai secara berangsur-angsur dan lebih baik dibandingkan tanpa fuzzy (Marimin 2005).

21 21 Operasi himpunan fuzzy seperti gabungan, irisan dan komplemen dapat diperoleh dari perluasan operasi himpunan klasik ke himpunan fuzzy. Pada himpunan atau logika klasik nilai kebenaran dari operasi irisan ( AND ), gabungan ( OR ) dan komplemen ( NOT ) dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1 Nilai Kebenaran Operasi AND, OR dan NOT AND OR NOT A B A B A B A B A A Operasi pada himpunan fuzzy pada dasarnya adalah operasi terhadap derajat keanggotaannya. Operasi himpunan fuzzy yang sering digunakan adalah operasi Zadeh. Menurut Babuska (2001) dalam Suliadi (2003), Zadeh memperkenalkan operasi-operasi irisan, gabungan, dan komplemen sebagai berikut: Jika A adalah komplemen dari himpunan A, maka μ ( x)=1 μ ( x). Jika C = A B, maka μ ( x) = min[ μ ( x), μ ( x)] = μ ( x) μ ( x). C A B A B Jika C = A B, maka μ ( x) = max[ μ ( x), μ ( x)] = μ ( x) μ ( x). C A B A B A A Sistem Inferensi Fuzzy Menurut Jang (1997), sistem inferensi fuzzy adalah proses penarikan kesimpulan dari suatu data yang diturunkan oleh data yang baru atau nilai-nilai kebenaran dari input data. Data baru mungkin sebagai kesimpulan akhir atau pada multi step reasoning sebagai kesimpulan menengah yang merupakan input untuk langkah berikut. Penyelesaian masalah dalam logika fuzzy didasarkan atas aturan-aturan If- Then. Bentuk umum aturan dasar tersebut adalah: If antecedent proposition Then consequent proposition. Fuzzy proposition merupakan suatu pernyataan, seperti x adalah tinggi, dengan tinggi merupakan konstanta linguistik (linguistic term, linguistic label), yang

22 22 didefinisikan oleh himpunan fuzzy dengan domain dari peubah x, dengan x juga merupakan peubah dasar. Antecedent proposition yang juga disebut premis selalu merupakan fuzzy proposition. Berdasarkan bentuk dari consequent proposition, secara umum model dibedakan menjadi tiga, yaitu: 1. Model Tsukamoto Pada model ini setiap consequent pada aturan yang berbentuk If-Then harus direpresentasikan dalam suatu himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan yang monoton. Sebagai hasilnya, output hasil inferensi dari tiap-tiap aturan diberikan secara klasik (crisp) berdasarkan α-predikat (fire strength). Hasil akhirnya diperoleh dengan menggunakan rata-rata terbobot. 2. Model Linguistik (Linguistic fuzzy model) Pada model ini baik antecedent maupun consequent merupakan fuzzy proposition. Model ini disebut juga dengan model Mamdani. Contoh: If x adalah A i Then y adalah B i dengan x adalah A i sebagai antecedent proposition dan y adalah B i sebagai consequent proposition serta A i dan B i adalah konstanta linguistik untuk x dan y 3. Model Takagi-Sugeno (TS fuzzy model) Pada model ini consequent proposition berupa fungsi dari anggota himpunan klasik (crisp set). Contoh: If x adalah A i Then y = aix+ bi dengan x adalah A i sebagai antecedent proposition dan y = aix+ bi sebagai consequent proposition, serta A i adalah konstanta linguistik untuk x dan y = a x+ b adalah fungsi dari anggota himpunan klasik (Jang 1997). i i Model Linguistik Menurut Babuska (2001) dalam Suliadi (2003), secara umum ada empat langkah dalam analisis model linguistik, yaitu fuzzifikasi, evaluasi aturan-aturan dasar, agregasi dan defuzzifikasi. Input pada model linguistik berupa data yang merupakan anggota dari himpunan klasik. Melalui keempat tahap tersebut akan dihasilkan peubah output berupa data yang merupakan anggota himpunan klasik.

23 23 Banyaknya peubah output bisa lebih dari satu, tergantung permasalahan yang dihadapi. Pada penelitian ini digunakan model linguistik atau model Mamdani. Tahapan pada model ini dapat dilihat pada Gambar 1. Crisp input Fuzzy input Fuzzy output Crisp output x 1 x 2 x n R 1 if x 1 is A 11 and and x n is A n1 then y is B 1 R 1 if x 1 is A 11 and and x n is A n1 then y is B 1 : : : : : : R 1 if x 1 is A 11 and and x n is A n1 then y is B 1 y Tahap 1 : Fuzzification Tahap 2 : Rule Evaluation Tahap 3 : Aggregation Tahap 4: Defuzzificatio Gambar 1 Langkah analisis logika fuzzy menurut Babuska (2001) dalam Suliadi (2003) Penjelasan dari keempat tahapan pada Gambar 1 di atas dapat dilihat pada ilustrasi berikut. Misalkan x 1, x 2,... x n adalah peubah input, dan diinginkan keluaran berupa satu peubah output y. Misalkan ada k i konstanta linguistik untuk peubah x i, yaitu A ij, dengan i = 1,2,,n dan j = 1,2,, k i. Peubah y memiliki p konstanta linguistik, yaitu Bl, l = 1,2,,p. Banyaknya aturan dasar ada r, yaitu R m dengan m = 1,2,,r. Pada tahap pertama, melalui proses fuzzifikasi akan dihasilkan derajat keanggotaan setiap peubah linguistik x i untuk setiap konstanta linguistiknya ( A ij ), yang akan dijadikan input pada tahap kedua. Tahap kedua memproses masukan ke dalam aturan-aturan dasar If-Then. Pada tahap kedua ini, dari setiap aturan dasar (R m ) akan dihasilkan derajat keanggotaan satu dari p konstanta linguistik peubah y, sesuai dengan aturan dasar tersebut. Banyaknya aturan dasar diperoleh dari banyaknya kombinasi semua konstanta linguistik peubah input. Misalkan ada dua peubah input x 1, x 2 dan satu peubah output y dengan konstanta linguistiknya masing-

24 24 masing A A1 A2 B B1 B2 C C1 C2 dasar yaitu : = {, }, = {, } dan = {, }, maka akan ada empat aturan R 1 : If x = Aandx= B Then misal: If x = Aandx= B Then y = C R 2 : If x = A and x = B Then misal: If x = A and x = B Then y = C R 3 : If x = A and x = B Then misal: If x = A and x = B Then y = C R 4 : If x = A and x = B Then misal: If x = A and x = B Then y = C Meskipun demikian beberapa aturan dasar bisa digabung menjadi satu. Misalkan aturan 1 dan 2 di atas dapat digabung menjadi ; If x1 A1 and x2 B1 or x2 B2 = ( = = ), atau sama dengan If x = Atheny= C Karena banyaknya aturan dasar adalah r, maka akan dihasilkan r derajat keanggotaan konstanta linguistik peubah output y, yang berarti untuk setiap konstanta linguistik peubah output bisa memiliki lebih dari satu derajat keanggotaan. Setiap anggota domain himpunan y kemungkinan memiliki derajat keanggotaan yang tumpang tindih yang berasal dari derajat keanggotaan beberapa konstanta linguistik yang berbeda, sehingga dilakukan tahap ketiga yaitu proses agregasi. Tahap ketiga adalah proses agregasi, yaitu memproses derajat keanggotaan peubah y yang tumpang tindih sehingga untuk setiap anggota domain himpunan y hanya memiliki satu derajat keanggotaan. Pada akhir tahap ini semua konstanta linguistik y tidak diperlukan lagi. Tahap keempat adalah tahap untuk mengubah derajat keanggotaan setiap anggota domain peubah output menjadi satu nilai peubah output ( y out disebut defuzzifikasi. ). Tahap ini Max-min (Mamdani) Inference Rule Max-min Inference Rule atau biasa disebut Mamdani Inference Rule adalah metode pengambilan keputusan yang paling terkenal dan paling banyak digunakan dalam model linguistik (Jang 1997). Pengambilan keputusan ini berkaitan dengan tahap 2 (Rule evaluation) dan tahap 3 (Aggregation).

25 25 Menurut Jang (1997), misalkan ada satu peubah input x dan satu peubah output y. Pada tahap kedua terdapat aturan dasar yang berupa fuzzy implication, yaitu If x adalah A i Then y adalah B i. Pada tahap ini yang akan dicari adalah derajat keanggotaan implikasi A B, yaitu μ ( x A B, y ) sehingga harus ditentukan apakah yang akan digunakan adalah μ A ( x), μb ( y) atau yang lainnya. Pengambilan keputusan dari aturan-aturan dasar berlandaskan pada aturan modus ponen, yaitu: aturan data atau fakta : If x adalah A Then y adalah B : x adalah A kesimpulan : y adalah B. Argumen di atas dapat ditulis: p : x adalah A q : y adalah B. Akan dibuktikan apakah argumen di atas merupakan tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran. i i Tabel 2 Tabel kebenaran dari modus ponen p q p q ( p q) p (( p q) p) q B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B Dari tabel kebenaran terlihat bahwa argumen di atas merupakan tautologi, sehingga argumen dapat dikatakan sah. Aturan dasar If x adalah A Then y adalah B dinyatakan dalam fungsi keanggotaan μ (, xy A B ) [0:1] dimana μ ( x A B, y ) menunjukkan derajat kebenaran dari relasi antara x dan y. Dalam Mamdani implication didefinisikan :

26 26 μ ( x A B, y ) = min[ μa( x), μb( y)] = μa( x) μb( y). Karena itu untuk aturan dasar ke-m dengan input X=x o dihitung μ (, ) = min[ μ ( x0 ), μ ( y)], x y A B 0 Ai untuk konstanta linguistik B i yang bersesuaian dengan R m (Jang 1997). Bi Hasil dari tahap 2 berupa derajat keanggotaan μ ( x A B, y ) untuk setiap aturan dasar R m. Dari r aturan dasar tersebut, untuk setiap konstanta linguistik peubah output dapat dihasilkan lebih dari satu derajat keanggotaan. Pada tahap 3 akan dilakukan penggabungan (aggregation) beberapa derajat keanggotaan yang tumpang tindih, sehingga untuk setiap anggota domain peubah output y hanya akan ada satu derajat keanggotaan. Pada metode Mamdani, kesimpulan dari tahap agregasi diperoleh dari μ ( y) = max{ μ ( y)}, y Y dan l = 1,2,..., p. Bl Br Defuzzifikasi Menurut Jang (1997), defuzzifikasi merupakan upaya untuk mengonversi derajat keanggotaan setiap anggota domain peubah output y hasil proses fuzzy logic menjadi satu nilai output, yang merupakan hasil akhir yang diharapkan dalam suatu proses model fuzzy linguistik. Ada beberapa metode defuzzifikasi menurut Enklund, et all (2000) dalam Suliadi (2003), yaitu: Centre of Gravity (centroid),cog y out = s s yμ ( y) dy μ ( ydy ) B untuk y kontinu dan B, y out = n i= 1 n i= 1 yiμb( yi), μ ( y ) B untuk y diskret i dengan S adalah support dari μ B( y). Metode ini pada dasarnya mencari titik keseimbangan daerah solusi fuzzy dengan menghitung rata-rata

27 27 terboboti dari daerah output fuzzy. Metode ini paling dikenal dan sangat luas dipergunakan. First of Maxima (FoM) dan Last of Maxima (LoM) Pada First of Maxima (FoM), defuzzifikasi μ B( y) didefinisikan sebagai nilai y pertama pada domain Y yang memiliki derajat keanggotaan tertinggi. y = min{ y Y/ μ ( y) = max μ( y)}. out B Dengan cara yang sama, metode Last of Maxima (LoM) dapat diperoleh dari nilai y terakhir pada domain Y yang memiliki derajat keanggotaan tertinggi. y = max{ y Y/ μ ( y) = max μ( y)}. out B Mean of Maxima (MoM) Mean of Maxima (MoM) adalah rata-rata dari FoM dengan LoM. min{ y Y / μb( y) = max μ( y)} + max{ y Y / μb( y) = max μ( y)} yout =. 2 METODOLOGI PENELITIAN Pengumpulan Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data yang diambil dari Departemen Matematika IPB. Variabel input adalah nilai IPK TPB dan huruf mutu mata kuliah Aljabar Linear, Pemrograman Linear, Analisis Numerik, Pengantar Teori Peluang serta Analisis Real yang diubah dalam IPK tersendiri.

28 28 Dari keenam mata kuliah tersebut akan dilihat pengaruhnya terhadap IPK Akhir mahasiswa matematika IPB. Adapun alasan dipilihnya keenam mata kuliah di atas karena keenam mata kuliah tersebut dianggap mewakili kemampuan mahasiswa dalam penguasaan matematika. Data yang akan diamati adalah data mahasiswa matematika IPB yang telah menempuh dan lulus keenam mata kuliah di atas selama sepuluh tahun terakhir. Setiap angkatan diambil sepuluh mahasiswa secara acak. Dalam penelitian ini digunakan dua variabel input, yaitu: x 1 = nilai IPK TPB, x 2 = nilai IPK gabungan kelima mata kuliah. Variabel output y adalah IPK Akhir mahasiswa matematika IPB dari tahun 1994 sampai tahun Variabel output y yang akan diprediksi adalah IPK Akhir mahasiswa matematika IPB tahun Pembentukan Model Fuzzy Pembentukan model fuzzy terdiri dari beberapa tahapan, yaitu: 1. Fuzzifikasi, yaitu mengubah variabel input menjadi fuzzy input. Variabel input yang telah didefinisikan dibagi menjadi beberapa himpunan fuzzy dan kemudian dicari masing-masing nilai kuartilnya. Setelah itu dicari fungsi keanggotaan dari tiap variabel input. Fungsi keanggotaan yang dipergunakan berupa trapesium dan segitiga yang berpola linear. Dalam tahap fuzzifikasi ini akan diperoleh derajat keanggotaan konstanta linguistik ke-j untuk setiap peubah input ke-i, yaitu keanggotaan untuk input variabel x 1 dan x 2 adalah: μ ij. Fungsi

29 29 μ 1, x Q1 Q x x = Q x Q 0, x Q2 2 RENDAH [ ], Q2 Q1 1 2 μ 0, x Q atau x Q x Q x = Q x Q SEDANG[ ], 1 2 Q2 Q1 Q3 x, Q 2 x Q 3 Q3 Q2 μ 0, x Q2 x Q x = Q x Q 1, x Q3. 2 TINGGI[ ], Q3 Q2 2 3 Q 1 Q 2 Q 3 Gambar 2 Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy pada variabel input dan output 2. Evaluasi aturan-aturan dasar, yaitu memproses variabel input ke dalam aturan aturan dasar If-Then. Menurut Jang (1997), bentuk umum aturan dasar adalah: If antecedent proposition Then consequent proposition. Operasi logika AND menggunakan operasi yang dibuat oleh Zadeh, yaitu α predikat sebagai hasil operasi dengan operator AND diperoleh dengan mengambil nilai keanggotaan terkecil antar elemen pada himpunanhimpunan yang bersangkutan. Secara umum dapat dituliskan:

30 30 μ = A B min ( μa[ x], μb[ y]). Menurut Suliadi (2003), jika ada r konstanta linguistik dan p variabel input maka banyaknya aturan dasar adalah r p. Karena setiap variabel input terdiri dari 3 konstanta linguistik, maka jika ada 2 variabel input akan terdapat 3 2 aturan dasar. Consequent proposition ditentukan dengan metode rata-rata. Metode ini menganggap bahwa baik variabel input maupun variabel output mempunyai konstanta linguistik dengan arah yang sama, naik atau turun (misal: semakin baik, semakin buruk). Meskipun demikian jumlah konstanta linguistik boleh berbeda antara peubah input, maupun antara input dengan output. Setiap antecedent proposition dicari padanannya dengan consequent proposition dan selanjutnya rata-rata beberapa consequent proposition padanan ini dijadikan sebagai consequent proposition aturan dasar. Karena variabel input maupun output berupa IPK sama-sama memiliki 3 konstanta linguistik, maka penentuan consequent proposition akan mudah. 3. Agregasi, yaitu memproses derajat keanggotaan output yang tumpang tindih, sehingga untuk setiap anggota domain output hanya memiliki satu derajat keanggotan. Karena ada banyak aturan dasar yang dievaluasi, ada kemungkinan lebih dari satu derajat keanggotaan untuk setiap konstanta linguistik output. Selain itu ada kemungkinan satu nilai output memiliki derajat keanggotaan yang berbeda, karena perbedaan konstanta linguistik. Dalam Mamdani Inference Rule, untuk setiap konstanta linguistik output yang dipergunakan adalah derajat keanggotaan yang paling besar atau maksimum untuk setiap nilai output (Jang 1997). 4. Defuzzifikasi, yaitu upaya mengonversi derajat keanggotaan setiap anggota domain variabel output hasil proses logika fuzzy menjadi satu nilai output yang merupakan hasil akhir yang diharapkan. Metode defuzzifikasi yang dipergunakan adalah Center of Gravity (centroid), CoG.

31 31 Setelah dilakukan verifikasi model menggunakan data mahasiswa matematika angkatan 1994 sampai 2003 maka dapat diprediksi variabel output y untuk mahasiswa angkatan Ini dapat dilakukan dengan memberikan kisaran nilai untuk variabel output y berturut-turut 0.25, 0.5, dan 0.75 masing-masing untuk tingkatan RENDAH, SEDANG dan TINGGI.

32 32 HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi Data Data yang digunakan adalah data mahasiswa matematika IPB yang telah menempuh mata kuliah TPB pada semester 1 dan 2, Aljabar Linear pada semester 3, Pemrograman Linear pada semester 4, Analisis Numerik dan Pengantar Teori Peluang pada semester 5 serta Analisis Real pada semester 6. Variabel output y akan dilihat dari angkatan 1994 hingga angkatan 2003 yang telah memiliki IPK akhir. Variabel output y yang akan diprediksi adalah angkatan 2004 yang belum memiliki IPK akhir. Setiap angkatan diambil sepuluh mahasiswa secara acak dan ditentukan y output dengan menggunakan langkah-langkah pada model fuzzy. Keadaan mahasiswa yang dipilih sebanyak sepuluh orang tiap angkatan beserta IPK TPB dan nilai mutu kelima mata kuliah di atas dapat dilihat pada Lampiran 1. IPK TPB adalah IPK dari mata kuliah yang diselenggarakan Direktorat Pendidikan Tingkat Persiapan Bersama. Mata kuliah ini adalah mata kuliah yang wajib diikuti mahasiswa pada semester 1 dan 2 dengan jumlah sebanyak 36 SKS. Domain IPK TPB dari sepuluh angkatan dapat dilihat pada Gambar 3 di bawah ini. IPK TPB Maksimum Tahun Minimum Gambar 3 Domain IPK TPB mahasiswa matematika tahun Gambar 3 menunjukkan nilai IPK TPB terbesar dan terkecil hasil analisis data yang diperoleh dari sepuluh mahasiswa yang diambil secara acak setiap tahun

33 33 selama sepuluh angkatan. Dari gambar juga dapat diketahui bahwa IPK TPB tertinggi dicapai pada tahun 2001 sebesar IPK TPB terendah dicapai pada tahun 1999 sebesar IPK Gabungan adalah nilai IPK yang merupakan gabungan dari nilai mutu lima mata kuliah yaitu Aljabar Linear, Pemrograman Linear, Analisis Numerik, Pengantar Teori Peluang dan Analisis Real. Domain IPK Gabungan dari sepuluh angkatan dapat dilihat pada Gambar 4 di bawah ini. IPK GAB Maksimum Tahun Minimum Gambar 4 Domain IPK Gabungan mahasiswa matematika tahun Gambar 4 menunjukkan nilai IPK Gabungan terbesar dan terkecil hasil analisis data yang diperoleh dari sepuluh mahasiswa yang diambil secara acak setiap tahun selama sepuluh angkatan. Dari gambar juga dapat diketahui bahwa IPK Gabungan tertinggi dicapai pada tahun 2000 yaitu sebesar IPK Gabungan terendah dicapai pada tahun 1998, 1999, 2002 dan 2003 sebesar Secara keseluruhan data nilai IPK TPB serta IPK Gabungan terbesar dan terkecil dapat dilihat pada Tabel 3.

34 34 Tabel 3 Nilai IPK terbesar dan terkecil serta rata-rata IPK mahasiswa matematika tahun IPK TPB IPK Gabungan Tahun Terbesar Terkecil Ratarata Terbesar Terkecil Ratarata Pada tabel terlihat bahwa IPK TPB mempunyai nilai yang lebih bervariasi dibandingkan dengan IPK Gabungan. Hal ini disebabkan IPK TPB merupakan gabungan dari 14 mata kuliah dengan total 36 SKS, sedangkan IPK Gabungan adalah gabungan dari 5 mata kuliah dengan total 15 SKS. Sebagian besar IPK TPB mencapai maksimum terbesar dibandingkan dengan IPK Gabungan. Hal ini dapat disebabkan oleh beberapa faktor, antara lain mata kuliah TPB adalah mata kuliah yang sebagian besar telah dipelajari sebelumnya oleh mahasiswa di sekolah lanjutan. Mata kuliah TPB juga adalah mata kuliah dasar yang memudahkan mahasiswa untuk mempelajari dan memahaminya. IPK Gabungan adalah gabungan dari nilai mata kuliah Aljabar Linear, Pemrograman Linear, Analisis Numerik, Pengantar Teori Peluang dan Analisis Real. Kelima mata kuliah tersebut adalah mata kuliah inti, tetapi nilainya secara relatif lebih rendah sehingga membutuhkan perhatian. Faktor lain yang tak kalah penting adalah peran dosen pengasuh mata kuliah dalam menyampaikan materi akan mempengaruhi keberhasilan mahasiswa.

35 35 Tahapan Pembentukan Model Fuzzy 1. Fuzzifikasi Dari kedua variabel input x yaitu IPK TPB dan IPK Gabungan masingmasing dibagi dalam empat daerah, yaitu kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3. Setelah dicari rata-rata kuartil semua variabel input untuk seluruh angkatan, diperoleh batasan parameter sebagai berikut: Tabel 4 Batasan parameter untuk tiap variabel input Kuartil IPK TPB (x 1 ) IPK Gabungan (x 2 ) Q Q Q Dari Tabel 4, untuk IPK TPB terlihat bahwa kurang dari 50% mahasiswa memperoleh IPK Dengan Q 1 sebesar 2.92 serta Q 3 sebesar 3.10 menunjukkan bahwa 25% memperoleh IPK kurang dari 2.92 dan 25% memperoleh IPK lebih dari Untuk IPK Gabungan terlihat bahwa kurang dari 50% mahasiswa memperoleh IPK Dengan Q 1 sebesar 2.53 dan Q 3 sebesar 2.76 menunjukkan bahwa 25% mahasiswa memperoleh IPK kurang dari 2.53 dan 25% memperoleh IPK lebih dari IPK Gabungan dinormalisasi terhadap IPK TPB. Hal ini dilakukan agar IPK Gabungan berada pada range yang sama dengan IPK TPB. Seperti dilihat pada Tabel 2, selama sepuluh angkatan rata-rata IPK Gabungan berada di bawah ratarata IPK TPB. Normalisasi dilakukan dengan cara membagi selisih maksimum dan minimum IPK TPB dengan selisih maksimum dan minimum IPK Gabungan dan dikali dengan setiap input dari IPK Gabungan. IPK TPB : max = 3.21 IPK Gab : max = 2.80 min = 2.65 min = 2.28 Δ= = 0.56 Δ = = 0.52

36 Input IPK Gab = x( ) = x(1.0769) Cara lain untuk melakukan normalisasi adalah dengan membagi batas minimum IPK TPB dan IPK Gabungan kemudian dikali dengan input dari IPK Gabungan Input IPK Gab = x( ) = x(1.1623) Dari hasil kedua normalisasi di atas dipilih cara pertama karena faktor pengali yang dihasilkan lebih kecil, sehingga perbedaan antara data sebenarnya dengan data hasil normalisasi tidak terlalu besar. Selanjutnya dibuat batasan parameter baru sebagai berikut: Tabel 5 Batasan parameter hasil normalisasi Kuartil IPK TPB (x 1 ) IPK Gabungan (x 2 ) Q Q Q Dengan mengganti nilai pada masing-masing kuartil sebagai batasan parameter, maka fungsi keanggotaan untuk variabel x 1 adalah: μ μ RENDAH SEDANG 1, x x1 [ x1] =, 2.92 x , x , x atau x x [ x1] =, 2.92 x x1, 3.02 x μ TINGGI 0, x x [ x1] =, 3.02 x , x1 3.10

37 37 Untuk variabel x 1, himpunan RENDAH dan TINGGI menggunakan pendekatan fungsi keanggotaan yang berbentuk open left shoulder dan open right shoulder. Himpunan SEDANG menggunakan pendekatan fungsi keanggotaan berbentuk triangular (Gambar 5). Gambar 5 Fungsi keanggotaan pada variabel x 1 Pada Gambar 5 terlihat bahwa derajat keanggotaan bernilai 1 untuk IPK TPB antara 2.65 sampai 2.92 pada himpunan RENDAH. Untuk himpunan SEDANG, derajat keanggotaan bernilai 1 untuk IPK TPB Pada himpunan TINGGI, derajat keanggotaan bernilai 1 untuk IPK TPB antara 3.10 sampai Tabel 6 menunjukkan hasil penghitungan derajat keanggotaan dari rata-rata variabel x 1 untuk sepuluh angkatan. Tabel 6 Derajat keanggotaan variabel x 1 Angkatan IPK TPB (x 1 ) Derajat Keanggotaan [x 1 ] RENDAH SEDANG TINGGI

38 38 Dari Tabel 6 diperoleh gambaran bahwa untuk tahun 1994, IPK TPB yang diperoleh adalah Hal ini berarti bahwa IPK TPB mendekati himpunan SEDANG dengan derajat keanggotaan sebesar 1. Untuk tahun 1995 IPK TPB yang diperoleh sebesar Ini menunjukkan bahwa IPK TPB juga mendekati himpunan SEDANG dengan derajat keanggotaan sebesar 0.90 dan mendekati himpunan RENDAH dengan derajat keanggotaan Demikian seterusnya hingga tahun 2003 diperoleh IPK TPB sebesar Ini berarti bahwa IPK TPB mendekati himpunan RENDAH dengan derajat keanggotaan sebesar 1. Fungsi keanggotaan untuk variabel x 2 adalah: μ μ RENDAH SEDANG 1, x x2 [ x2] =, 2.72 x , x , x atau x x [ x2] =, 2.72 x x2, 2.90 x μ TINGGI 0, x x [ x2] =, 2.90 x , x Pada variabel x 2, himpunan RENDAH dan TINGGI menggunakan pendekatan fungsi keanggotaan yang berbentuk open left shoulder dan open right shoulder. Himpunan SEDANG menggunakan pendekatan fungsi keanggotaan berbentuk triangular (Gambar 6).

39 39 Gambar 6 Fungsi keanggotaan pada variabel x 2 Pada Gambar 6 terlihat bahwa derajat keanggotaan bernilai 1 untuk IPK Gabungan antara 2.46 sampai dengan 2.72 pada himpunan RENDAH dan antara 2.97 sampai dengan 3.02 pada himpunan TINGGI. Untuk himpunan SEDANG, derajat keanggotaan bernilai 1 pada IPK Gabungan Tabel 7 menunjukkan hasil penghitungan derajat keanggotaan dari rata-rata variabel x 2 untuk sepuluh angkatan. Tabel 7 Derajat keanggotaan variabel x 2 Angkatan IPK Gab (x 2 ) Derajat Keanggotaan [x 2 ] RENDAH SEDANG TINGGI Dari Tabel 7 diperoleh gambaran bahwa untuk tahun 1994 IPK Gabungan yang diperoleh adalah Hal ini berarti bahwa IPK Gabungan mendekati himpunan SEDANG dengan derajat keanggotaan sebesar 0.94 dan mendekati

40 40 himpunan RENDAH dengan derajat keanggotaan Untuk tahun 1995 IPK Gabungan yang diperoleh sebesar Ini menunjukkan bahwa IPK Gabungan mendekati himpunan TINGGI dengan derajat keanggotaan sebesar 1. Demikian seterusnya hingga tahun 2003 diperoleh IPK Gabungan sebesar Ini berarti bahwa IPK Gabungan mendekati himpunan RENDAH dengan derajat keanggotaan sebesar 1. Fungsi keanggotaan untuk variabel output y sebagai IPK akhir adalah: μ μ RENDAH SEDANG 1, y y [ y] =, 2.65 y , y , y 2.65 atau y 3.02 y 2.65 [ y] =, 2.65 y y, 2.84 y μ TINGGI 0, y 2.84 y 2.84 [ y] =, 2.84 y , y 3.02 Variabel numerik adalah IPK Akhir sebagai hasil akhir output sistem yang disesuaikan dengan hasil analisis data untuk selanjutnya direpresentasikan pada fungsi keanggotaan yang terdapat pada Toolbox MATLAB 7.0. IPK Akhir hasil output sistem kemudian dibandingkan dengan IPK Akhir sebenarnya. Bentuk kurva yang digunakan untuk merepresentasikan output sistem sama dengan kurva yang digunakan untuk merepresentasikan variabel input IPK TPB dan IPK Gabungan. Hal ini didasarkan pada hasil analisis data yang telah diperoleh.

41 41 Gambar 7 Fungsi keanggotaan pada variabel output Pada variabel output, himpunan RENDAH dan TINGGI menggunakan pendekatan fungsi keanggotaan yang berbentuk open left shoulder dan open right shoulder. Himpunan SEDANG menggunakan pendekatan fungsi keanggotaan berbentuk triangular (Gambar 7). Dari gambar juga terlihat bahwa derajat keanggotaan bernilai 1 untuk IPK Akhir antara 2.46 sampai 2.65 pada himpunan RENDAH dan antara 3.02 sampai 3.21 pada himpunan TINGGI. Untuk himpunan SEDANG, derajat keanggotaan bernilai 1 pada IPK Akhir Pembentukan Aturan-aturan Dasar Karena setiap variabel input terdiri atas 3 konstanta linguistik dan terdapat 2 variabel input maka akan terdapat 3 2 = 9 aturan dasar yang diperoleh. Sebelumnya dicari terlebih dahulu derajat keanggotaan rata-rata kedua variabel yang diperoleh selama sepuluh angkatan terakhir dengan menggunakan rumus fungsi keanggotaan. Penentuan kombinasi derajat keanggotaan y output didasarkan pada besarnya standard error. Setelah diuji beberapa kombinasi derajat keanggotaan y output (Lampiran 2), maka dipilih kombinasi derajat keanggotaan y output dengan standard error terkecil. Tabel 7 menunjukkan banyaknya aturan dasar dengan 2 variabel input dengan kombinasi derajat keanggotaan y output 1, 0.8 dan 0.2.

42 42 Tabel 8 Banyaknya aturan dasar dari 2 variabel input Aturan x 1 (IPK TPB) x 2 (IPK Gabungan) y output Derajat 1 R R R 1 2 R S R R T S S R S S S S 1 6 S T S T R S T S T T T T 1 Tabel 8 menyajikan aturan dasar yang merupakan kombinasi dari dua variabel input dengan tiga konstanta linguistik. Aturan pertama memiliki bentuk : If IPK TPB RENDAH and IPK gabungan RENDAH Then IPK akhir RENDAH. Derajat keanggotaan untuk aturan pertama, kelima dan kesembilan adalah 1 karena konstanta linguistik pada consequent proposition yang dicari dari rata-rata konstanta linguistik pada antecedent proposition bernilai sama. Derajat keanggotaan untuk aturan kedua, keempat, keenam dan kedelapan adalah 0.2 karena konstanta linguistik pada consequent proposition yang dicari dari rata-rata konstanta linguistik pada antecedent proposition memiliki dua nilai yang sama. Derajat keanggotaan pada aturan ketiga dan ketujuh adalah 0.8 karena konstanta linguistik pada consequent proposition yang merupakan rata-rata konstanta linguistik pada antecedent proposition memiliki satu nilai yang sama. Tahapan agregasi dan defuzzifikasi dilakukan dengan menggunakan bantuan Toolbox MATLAB 7.0 dan dapat dicari y output dengan pendekatan logika fuzzy. Hasil rata-rata kedua variabel input dan variabel y output untuk sepuluh angkatan dapat dilihat pada Tabel 9.

43 43 Tabel 9 Rata-rata variabel input dan variabel output untuk sepuluh angkatan Angkatan x 1 (IPK TPB) x 2 IPK Akhir IPK Akhir (IPK Gabungan) Sebenarnya dengan Fuzzy Rata-rata Dari Tabel 9 terlihat bahwa rata-rata IPK Akhir dengan menggunakan pendekatan logika fuzzy adalah 2.84, sedangkan rata-rata IPK Akhir sebenarnya adalah Jadi terdapat perbedaan sebesar Ini menunjukkan bahwa IPK Akhir dapat didekati dengan logika fuzzy. Adanya perbedaan sebesar 0.13 disebabkan oleh pembulatan-pembulatan. Pada tabel juga terlihat bahwa rata-rata IPK TPB adalah 2.99 dan rata-rata IPK Gabungan adalah 2.84 serta rata-rata IPK Akhir adalah Ini berarti bahwa IPK TPB dan IPK Gabungan berpengaruh terhadap IPK Akhir. Grafik perbandingan antara IPK Akhir sebenarnya dengan IPK Akhir menggunakan pendekatan logika fuzzy selama sepuluh tahun dapat dilihat pada Gambar 8.

44 44 IPK Tahun IPK Akhir Sebenarnya IPK Akhir dg Fuzzy Gambar 8 Grafik perbandingan y output eksak dan dengan pendekatan logika fuzzy Pada Gambar 8 terlihat bahwa untuk seluruh angkatan, IPK Akhir dengan menggunakan pendekatan logika fuzzy lebih kecil dari IPK Akhir sebenarnya. Ini disebabkan karena pemilihan mata kuliah Aljabar Linear, Pemrograman Linear, Analisis Numerik, Pengantar Teori Peluang dan Analisis Real sebagai IPK Gabungan belum dapat mewakili mata kuliah yang lain di departemen Matematika. Adapun alasan pemilihan kelima mata kuliah di atas sebagai IPK Gabungan sebelumnya adalah karena kelima mata kuliah tersebut dianggap sebagai mata kuliah inti dari seluruh mata kuliah yang harus ditempuh mahasiswa matematika. Dengan menguasai kelima mata kuliah tersebut diharapkan mahasiswa matematika tidak menemui kesulitan untuk menyelesaikan studinya. Kenyataannya kelima mata kuliah tersebut masih dianggap sulit oleh sebagian besar mahasiswa matematika. Ini dapat dilihat dari rata-rata IPK Gabungan selama sepuluh angkatan masih lebih kecil dibandingkan dengan rata-rata IPK TPB. Perbedaan IPK Akhir sebenarnya dan IPK Akhir yang dicari dengan menggunakan pendekatan logika fuzzy adalah sebesar Perbedaan yang terbesar dari kesepuluh angkatan terjadi pada tahun 2001, yaitu sebesar Hal ini dapat disebabkan mata kuliah yang lain selain mata kuliah yang diambil sebagai IPK Gabungan memperoleh hasil yang lebih baik. Dengan standard error sebesar dapat dikatakan bahwa model pendekatan logika fuzzy dapat digunakan untuk menentukan IPK Akhir mahasiswa matematika IPB.