ESTIMASI BERBASIS MCMC UNTUK RETURNS VOLATILITY DI PASAR VALAS INDONESIA MELALUI MODEL ARCH BERDISTRIBUSI NORMAL DAN STUDENT-T

Transkripsi

1 ESIMASI BERBASIS MCMC UNUK REURNS VOLAILIY DI PASAR VALAS INDONESIA MELALUI MODEL ARCH BERDISRIBUSI NORMAL DAN SUDEN- Oleh, IMAM MALIK SAFRUDIN NIM : UGAS AKHIR Diajukan kepada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga 015

2

3

4 ii

5 iii

6 iv

7 MOO Esensi hidup adalah shalat dan bertemu dengan Allah SW. (sahabat saya, Mumun Majnun) v

8 PERSEMBAHAN Dipersembahkan untuk My Family vi

9 KAA PENGANAR Bismillahirrahmanirrahim, Assalamualaikum wa Rahmatullah wa Barakatuh, Penulis mengucapkan rasa syukur kehadirat Allah SW atas limpahan segala Rahmat dan HidayahNya, sholawat serta salam semoga tercurahkan kepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW. Sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir (skripsi) sebagai syarat menyelesaikan Studi Strata 1 (S1) di Program Studi Matematika pada Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana. Skripsi ini terdiri dari dua makalah. Makalah pertama berjudul Estimasi Berbasis MCMC untuk Returns Volatility di Pasar Valas Indonesia melalui Model ARCH dan makalah kedua berjudul Estimasi MCMC untuk Return Volatility dalam Model ARCH dengan Return Error berdistribusi Student-t yang telah dipublikasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema Peran Matematika & Pendidikan Matematika Abad 1 pada tanggal 9 Mei 015 yang diselenggarakan oleh Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Muhammadiyah Purworejo. Penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dari berbagai pihak yang telah memberikan dorongan kepada penulis baik itu berupa materil maupun spiritual. Untuk itu dalam kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Dr. Suryasatriya rihandaru, M.Sc.nat. selaku Dekan Fakultas Sains dan Matematika.. Dr. Bambang Susanto, MS selaku Ketua Program Studi Matematika. 3. Dra. Lilik Linawati, M.Kom. selaku Wali Studi yang selalu memberikan banyak saran dan nasihat kepada penulis. 4. Didit Budi Nugroho, D.Sc. selaku pembimbing utama dan Dr. Adi Setiawan, M.Sc. selaku pembimbing pendamping yang dengan sabar membimbing, mengarahkan dan memberikan motivasi kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini sehingga laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. 5. Dosen pengajar di Program Studi Matematika, Dr. Bambang Susanto, MS, Dra. Lilik Linawati, M.Kom., Dr. Adi Setiawan, M.Sc, undjung Mahatma, M.Kom, Didit Budi Nugroho, D.Sc., Dr. Hanna Arini Parhusip, M.Sc., Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama studi di FSM UKSW serta Pak Edy sebagai Laboran yang telah memberikan bantuan kepada penulis. vii

10 6. Staf U FSM: Mbak Eny, Bu Ketut dan Mas Basuki. 7. Family atas do a yang telah diberikan. 8. eman-teman BSM (Basecamp Samping Masjid): Aziz, Azhar dan Icol. 9. eman seperjuangan Progdi Matematika 011: Dewi, Daivi, Purwoto, Dwi, itis, Priska, dan Kevin. Semoga Allah SW memberikan balasan atas segala amal baik yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh sebab itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk penulis. Akhirnya semoga Allah SW meridhoi amal kita semua. Amin. Salatiga, 17 Juni 015 Penulis viii

11 DAFAR ISI Lembar Pengesahan... ii Lembar Pernyataan Keaslian... iii Lembar Pernyataan Bebas Royalty dan Publikasi...iv Motto... v Persembahan...vi Kata Pengantar... vii Daftar Isi...ix Daftar Lampiran... x Abstrak...xi Pendahuluan... 1 Makalah I: Estimasi Berbasis MCMC untuk Returns Volatility di Pasar Valas Indonesia melalui Model ARCH Makalah II: Estimasi MCMC untuk Return Volatility dalam Model ARCH dengan Return Error Berdistribusi Student-t Lampiran-lampiran ix

12 DAFAR LAMPIRAN Lampiran 1: Skema MCMC untuk model ARCH berdistribusi Student-t Lampiran : Kode Matlab Lampiran 3: Sertifikat Seminar x

13 ABSRAK Studi ini membangun suatu algoritma Markov chain Monte Carlo (MCMC) untuk mengestimasi returns volatility dalam model ARCH dengan returns error berdistribusi normal dan student-t. Metode Metropolis Hastings digunakan dalam MCMC untuk memperbarui nilai-nilai parameter model. Model dan algoritma diaplikasikan menggunakan data harian kurs beli yen Jepang, dolar Amerika, dan euro Eropa terhadap rupiah Indonesia pada periode 5 Januari 009 sampai dengan 31 Desember 014 yang diambil dari laman Bank Indonesia. Studi empiris menunjukkan bahwa metode yang dibangun sangat efisien dan memberikan hasil estimasi yang serupa dengan hasil Matlab untuk kasus model berdistribusi normal. Sementara itu untuk kasus model dengan returns error berdistribusi student-t ditunjukkan adanya bukti sangat kuat untuk penggunaan distribusi student-t pada ketiga data di atas. Kata kunci: ARCH, distribusi normal, Student-t, kurs beli, MCMC, returns volatility xi

14 PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Menurut Hady (seperti yang dirujuk dalam Nurjanah (005)), pasar valuta asing dapat diartikan sebagai suatu wadah atau sistem dimana perorangan, perusahaan, dan bank dapat melakukan transaksi keuangan internasional dengan jalan melakukan pembelian atau permintaan, penjualan dan penawaran. Dalam referensi keuangan ekonomi internasional, valuta asing (foreign exchange atau disingkat forex) adalah mata uang asing atau alat pembayaran lainnya yang didasarkan pada kurs resmi yang telah ditetapkan oleh bank sentral (Khalwaty dalam Nurjanah (005)). Sementara itu harga/nilai dimana mata uang suatu negara dipertukarkan dengan mata uang negara lain disebut nilai tukar (kurs). Pada umumnya, para pelaku ekonomi di pasar valuta asing dan pasar modal memerlukan pengukuran volatiy harga aset (Aklimawati dan Wahyudi, 013). aksiran volatility diperlukan dalam strategi keuangan, misalnya untuk penghitungan harga opsi (kontrak jual beli aset). Secara khusus, volatility adalah akar kuadrat dari variansi (besaran yang menunjukkan besarnya penyebaran data pada suatu kelompok data). Kebanyakan studi keuangan melibatkan return (perubahan logaritma harga aset) daripada harga aset. Campbell dkk. (seperti dirujuk dalam say (010)), memberikan dua alasan mengapa menggunakan return. Salah satunya yaitu runtun return lebih mudah untuk ditangani dari pada runtun harga, karena return memiliki sifat statistik yang lebih menarik. Pemodelan volatility pada return aset diawali dengan klas autoregressive conditional heteroscedasticity (ARCH) yang diperkenalkan oleh Engle (198). Nastiti (01) dan Aklimawati Wahyudi (013) mendiskusikan volatility yang mengikuti model ARCH berturut-turut pada saham dan komoditas kakao yang mengasumsikan returns error berdistribusi normal dan model diselesaikan dengan metode pengali Lagrange. Dalam studi ini akan difokuskan pada model volatility menggunakan ARCH model dengan mengasumsikan bahwa returns error berdistribusi normal dan student-t. Selanjutnya model akan diselesaikan dengan menggunakan metode Markov chain Monte Carlo (MCMC). Carlin dan Chib (1995) menjelaskan bahwa metode MCMC dapat memudahkan pemodelan yang cukup kompleks dalam analisis Bayes. Studi empiris terhadap volatility dilakukan dengan menggunakan data kurs beli Euro (EUR), Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD) terhadap rupiah Indonesia (IDR) atas periode 5 Januari 009 sampai dengan 31 Desember 014 yang diambil dari laman Bank Indonesia (BI). 1

15 . Rumusan Masalah Bagaimana menganalisis returns volatility dalam pasar valuta asing Indonesia dengan menggunakan model ARCH. 3. ujuan Untuk mencapai analisis di atas, studi ini secara khusus bertujuan untuk: (i) Menyajikan model ARCH untuk volatility dengan asset returns error berdistribusi normal dan student-t. (ii) Menyediakan algoritma MCMC untuk mengestimasi volatility dalam model ARCH. (iii) Mendapatkan analisis volatility untuk kurs beli valuta asing terhadap IDR menggunakan data nyata. 4. Batasan Masalah Studi ini mempunyai batasan-batasan seperti berikut: (i) Analisis difokuskan pada data kurs beli yen Jepang (JPY), Dolar Amerika (USD) dan euro Eropa (EUR), dan terhadap rupiah periode 5 Januari Desember 014 yang diambil dari arsip Bank Indonesia (BI). (ii) Penghitungan menggunakan alat bantu Matlab R01a. 5. Hasil Penelitian Hasil penelitian ini dituangkan dalam dua makalah yang telah dipublikasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema Peran Matematika & Pendidikan Matematika Abad 1 pada tanggal 9 Mei 015 yang diselenggarakan oleh Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Muhammadiyah Purworejo, dan termuat dalam prosiding ber-issn X Vol. 1 No Kedua makalah tersebut berjudul: 1. Estimasi Berbasis MCMC untuk Returns Volatility di Pasar Valas Indonesia melalui Model ARCH, halaman Estimasi MCMC untuk Return Volatility dalam Model ARCH dengan Return Error Berdistribusi Student-t, halaman Kesimpulan Berdasarkan bahasan dari kedua makalah dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Algoritma MCMC yang dibangun menghasikan simulasi yang sangat efisien.. Hasil empiris menunjukkan bukti yang sangat kuat untuk penggunaan distribusi Student-t pada ketiga data tersebut (JPY, USD dan EUR).

16 7. Hasil Review Paper 1: Di halaman kedua kolom 1 baris ke-6 tertulis =, seharusnya. Paper 1: Di halaman kedua kolom baris ke-15 tertulis λ, seharusnya λa. Paper 1 dan : Kata return seharusnya returns. Paper : Di halaman kedua kolom 1 baris ke-15 tertulis z = (z, z,, z ), seharusnya z = (z 1, z,, z ). Paper : halaman kedua kolom baris ke-0 tertulis =, seharusnya. Paper : Ditambahkan daftar pustaka: Notasi: Safrudin, I., M., Nugroho, D., B., dan Setiawan, A. (015). Estimasi Berbasis MCMC untuk Returns Volatility di Pasar Valas Indonesia melalui Model ARCH, Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMP, 1(1), N : Menyatakan distribusi normal N [a,b] : Menyatakan distribusi normal terpotong pada [a,b] IG G : Menyatakan distribusi inverse gamma : Menyatakan distribusi gamma Daftar Pustaka Aklimawati, L. dan Wahyudi, Estimasi Volatilitas Return Harga Kakao Menggunakan Model ARCH dan GARCH, Pelita Perkebunan 9 (), pp Carlin, B. P., dan Chib, S. (1995). Bayesian model choice via Markov chain Monte Carlo methods, Journal of he Royal Statistical Society, 57 (3), pp Engle, R. F. (198). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of the united kingdom inflation. Econometrica, 50, pp Nastiti, K. L. A. dan Suharsono A. (01). Analisis volatilitas saham perusahaan go public dengan metode ARCH GARCH. Jurnal Sains dan Seni IS, 1, (1), pp. D59 D64. Nurjanah, E. (005). Pengaruh Nilai ukar Rupiah atas Dollar AS erhadap ingkat Inflasi di Indonesia pada Periode (Data Diperoleh Pada Bank Indonesia). Skripsi, UNIKOM, Bandung. say, R. S., (010). Analysis of financial time series. John Willey and Sons, Inc. New York. 3

17 MAKALAH 1

18

19 langkah (Nugroho, 014), yaitu membangun rantai Markov dan menggunakan metode Monte Carlo untuk meringkas distribusi posterior pada parameter sebagai keluaran MCMC. Dimisalkan R = (R 1, R,, R ) dan σ = (σ 1, σ,, σ ). Berdasarkan eorema Bayes (lihat Koop dkk. (007)), distribusi gabungan untuk model di atas yaitu p(a, b, σ R) = p(r σ) p(a, b), dimana p(r σ) adalah fungsi likelihood dan p(a, b) adalah distribusi prior pada (a, b). Untuk memenuhi kendala parameter a dan b, ditetapkan prior seperti berikut: a~exp(λ) dan b~beta(α, β), maka dipunyai distribusi gabungan yaitu p(a, b, σ R) σ t 1 exp { R t t=1 b α 1 (1 b) β 1 1 σ t } exp{ λa} = ( 1 b a ) (1 b)r 1 exp { } a R t } (a+br t 1 ) (a + br t 1 ) 1 exp { t= exp{ λa} b α 1 (1 b) β 1. atau dengan pengambilan logaritma natural diperoleh ln p(a, b R) 1 1 b ln (1 b)r 1 a a 1 t= ) ln(a + br t 1 1 R t λa t= a + br t 1 +(α 1) ln b + (β 1) ln(1 b). (1) Pembangkitan nilai parameter a Berdasarkan persamaan (1), log distribusi posterior untuk a dinyatakan oleh F(a) = ln p(a b, R) 1 ln a (1 b)r 1 a 1 t= ) ln(a + br t 1 1 R t λ. t= a + br t 1 Masalah yang muncul di sini yaitu posterior tersebut tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Karena itu a dibangkitkan menggunakan metode Independence Chain Metropolis Hastings (IC-MH) yang diperkenalkan oleh ierney (1994) seperti berikut: Langkah 1: Menentukan proposal untuk a, yaitu a ~N (0,1] (μ a, V a ) Langkah : Menghitung rasio r(a, a ) = p(a b, R) p(a b, R). Langkah 3: Membangkitkan u dari distribusi seragam [0,1]. Langkah 4: Jika u < min{1, r(a, a )}, maka proposal diterima, jika tidak, maka proposal ditolak. Rata-rata μ a dan variansi V a dicari dengan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku distribusi di sekitar modus (lihat Albert (009)). Modus a dari F(a), artinya F (a ) = 0, dicari menggunakan metode bagi dua. Selanjutnya diambil μ a = a dan V a = [F (a )] 1. Masalahnya adalah F (a ) bisa bernilai positif, karena itu diambil V a = [D a (a )] 1 dengan D a (a ) = min { , F (a ) }. Pembangkitan nilai parameter b Berdasarkan persamaan (1), log distribusi posterior untuk b dinyatakan oleh F(b) = ln p(b a, R) 1 ln(1 b) (1 b)r 1 a 1 t= ) ln(a + br t 1 1 R t t= a + br t 1 +(α 1) ln b + (β 1) ln(1 b), yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Karena itu nilai parameter b dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan nilai parameter a. Metode MCMC mensimulasi suatu nilai baru untuk setiap parameter dari distribusi posteriornya dengan mengasumsikan bahwa nilai saat ini untuk parameter lain adalah benar. Sacara ringkas skema MCMC yaitu (i) Inisialisasi a dan b. (ii) Membangkitkan sampel a dengan metode IC-MH. (iii) Membangkitkan sampel b dengan metode IC-MH. (iv) Menghitung variansi (volatility kuadrat): σ t = a + br t 1. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 015

20 1. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Data Pengamatan Selanjutnya model dan metode di atas diaplikasikan pada data kurs beli Euro (EUR), Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD) terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 009 sampai dengan 31 Desember 014 yang terdiri dari 147 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu software Matlab 01a. Gambar 1 menampilkan plot runtun waktu untuk returns dan abel 1 menyajikan statistik deskriptif. kurs beli kurs beli kurs beli Gambar 1. Plot runtun waktu returns harian untuk kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah dari Januari 009 sampai Desember 014. abel 1. Statistik deskriptif dari returns harian untuk kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadar Rupiah dari Januari 009 sampai Desember 014. Mata Uang Mean SD JPY USD EUR JPY USD EUR waktu 4. Pengaturan MCMC JB est (normali tas) tidak normal tidak normal tidak normal LB Q test (auto korelasi) tidak ada korelasi ada korelasi tidak ada korelasi Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan iterasi, dimana 5000 iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N = 10000, disimpan untuk menghitug rata-rata posterior, simpangan baku, interval Bayes, numerical standard error (NSE), dan diagnosa konvergensi. Di sini, dipilih interval highest posterior density (HPD) yang disajikan oleh Chen dan Shao (1999) sebagai pendekatan untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi dilakukan dengan menghitung integrated autocorrelation time (IAC), lihat Geweke (005), untuk mengetahui berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas (seberapa cepat konvergensi simulasi). Sementara itu konvergensi rantai Markov diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke (199) dan NSE dihitung menggunakan metode yang disajikan oleh Geweke (005). Dalam aplikasi algoritma MCMC, model dilengkapi dengan prior dimana λ = 1, α =.5, dan β = 3. Untuk nilai-nilai awal parameter ditetapkan a 0 = b 0 = Estimasi Parameter abel, 3 dan 4 meringkas hasil simulasi posterior parameter dalam model ARCH(1) berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah. p-value yang berasosiasi dengan Geweke s convergence diagnostic (G-CD) mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilainilai IAC menunjukkan bahwa metode IC- MH adalah sangat efisien. abel. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli JPY terhadap Rupiah. LB dan UB menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95%. Parameter a b Matlab Mean SD LB UB IAC NSE G-CD p-value CPU time (detik): abel 3. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli USD terhadap Rupiah. Parameter a b Matlab Mean SD LB UB IAC Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 015

21 NSE G-CD p-value CPU time (detik): abel 4. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli EUR terhadap Rupiah Parameter a B Matlab Mean SD LB UB IAC NSE G-CD p-value CPU time (detik): Plot sampel posterior dan histogram distribusi posterior parameter-parameter a dan b ditampilkan berturut-turut pada Gambar dan Gambar 3. Plot sampel mengindikasikan bahwa sampel berfluktuasi disekitar rata-rata posterior, yang berarti bahwa sampel telah bercampur dengan baik (good mixing) a Gambar. Plot sampel untuk parameter a dan b pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari 009 sampai Desember b a Gambar 3. Histogram distribusi posterior parameter a dan b pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari 009 sampai Desember 014. erkait dengan estimasi parameter, hasil menunjukkan bahwa nilai estimasi a dan b serupa dengan hasil yang diperoleh dari penggunaan fungsi garch(p,q) di Matlab. Ratarata posterior untuk variansi (volatility kuadrat) returns disajikan dalam Gambar 4. Diperoleh bahwa variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap rupiah berturut-turut yaitu , , dan , dimana rata-ratanya berturut-turut yaitu 0.136, 0.053, Nilai variansi tertinggi terjadi pada periode April 013 untuk JPY, Februari 009 untuk USD, dan September 011 untuk EUR. 1 t 0.5 Gambar 4. Plot runtun waktu variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah dari Januari 009 sampai Desember JPY b USD t 1 t EUR waktu Jadi, model volatility untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah berturut-turut:,,. σ t = R t 1 σ t = R t 1 σ t = R t 1 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 015

22 . KESIMPULAN Studi ini menyajikan model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah. Algoritma MCMC yang efisien dibangun untuk membangkitkan sampel dari distribusi posterior model. Hasil empiris menunjukkan bahwa rata-rata volatility untuk returns kurs beli JPY adalah yang tertinggi. Model yang disajikan dalam studi ini bisa diperluas dengan memperhatikan distribusi tak normal untuk returns error. Selain itu, model bisa diperluas ke model GARCH. 3. REFERENSI 1. Albert, J. (009). Bayesian computation with R, nd ed., Springer.. Carlin, B. P., dan Chib, S. (1995). Bayesian model choice via Markov chain Monte Carlo methods, Journal of he Royal Statistical Society, 57 (3), Casella, G. dan Berger R., L. (00). Statistical inference, homson Learning, Duxbury. 4. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999). Monte Carlo estimation of Bayesian credible and HPD intervals. Journal of Computational and Graphical Statistics, 8, Engle, R. F. (198). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of the united kingdom inflation. Econometrica, 50, Geweke, J. (199). Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments, Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Berger, A. P. Dawid dan A. F. M. Smith), Geweke, J. (005). Contemporary Bayesian econometrics and statistics. John Wiley & Sons. 8. Jones, C. P., and Wilson, J. W. (1989). Is stock price volatility increasing?, Financial Analysts Journal, 45 (6), Koop. G., Poirier, D. J. dan obias, J. L. (007). Bayesian econometri methods. Cambridge University Press, New York. 10. Muklis, I. (011). Analisis volatilitas nilai tukar mata uang Rupiah terhadap dolar. Journal of Indonesian Apllied Economics, 5 (), Nastiti, K. L. A. dan Suharsono A. (01). Analisis volatilitas saham perusahaa go public dengan metode ARCH GARCH. Jurnal Sains dan Seni IS, 1, (1), D59 D Nugroho, D. B. (014). Realized stocastic volatility model using generalized student s t-error distributions and power transformations, Dissertation. Kwansei Gakuin University, Japan. 13. ierney, L. (1994). Markov chain for exploring posterior distributions. Annals of Statistics, (4), say, R. S., (010). Analysis of financial time series. John Willey and Sons, Inc. New York. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 015

23 MAKALAH

24

25 p(a, b, v, z, σ R) = p(r z, σ) p(z v) p(a, b, v), dimana p(r z, σ) adalah fungsi likelihood dan p(a, b, v) adalah distribusi prior pada (a, b, v). Selanjutnya ditetapkan prior seperti berikut: a~exp(λ), b~beta(α b, β b ), v = G(α ν, β ν ), dimana prior (a,b) tersebut dipilih untuk memenuhi kendala-kendala model. Sekarang dipunyai distribusi gabungan yaitu p(a, b, v, z R) 1 ( 1 b ) 1 z1 exp { (1 b)r 1 } a az 1 ( v v ) v [Γ ( )] exp { z t v 1 (a + br t 1 ) 1 1 z t t= R t (a+br } t 1 )z t t=1 exp ( v z t ) exp{ λa} b α 1 (1 b) β 1 v αv 1 exp( β v v). atau dengan pengambilan logaritma natural diperoleh ln p(a, b, ν, z R) 1 1 b ln 1 a ln(z 1) (1 b)r 1 az 1 + v ln (v ) ln (Γ (v )) 1 1 t= t= ) ln(a + br t 1 ln(z t) 1 R t t= (a + br t 1 t=1 )z t ( v + 1) ln(z t) v z t 1 λa t=1 +(α b 1) ln b + (β b 1) ln(1 b) +(α v 1) ln v β v v. (1) Pembangkitan parameter a Berdasarkan persamaan (1), log distribusi posterior untuk a dinyatakan oleh F(a) = ln p(a b, z, R) 1 ln a (1 b)r 1 az 1 1 t= ) ln(a + br t 1 1 R t t= (a + br t 1 )z t λa Masalah yang muncul di sini yaitu posterior tersebut tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Oleh karena itu, a dibangkitkan menggunakan metode Independence Chain Metropolis Hastings (IC-MH) yang diperkenalkan oleh ierney (1994) seperti berikut: Langkah 1: Menentukan proposal untuk a, yaitu a ~N (0,1] (μ a, V a ) Langkah : Menghitung rasio r(a, a ) = p(a b, R) p(a b, R). Langkah 3: Membangkitkan u dari distribusi seragam [0,1]. Langkah 4: Jika u < min{1, r(a, a )}, maka proposal diterima, jika tidak, maka proposal ditolak. Rata-rata μ a dan variansi V a dicari dengan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku distribusi di sekitar modus (lihat Albert (009)). Modus a dari F(a), artinya F (a ) = 0, dicari menggunakan metode bagi dua. Selanjutnya diambil μ a = a dan V a = [F (a )] 1. Masalahnya adalah F (a ) bisa bernilai positif, karena itu diambil V a = [D a (a )] 1 dengan D a (a ) = min { , F (a ) }. Pembangkitan parameter b Berdasarkan persamaan (1), log distribusi posterior untuk b dinyatakan oleh F(b) = ln p(b a, z, R) 1 ln(1 b) (1 b)r 1 az 1 1 t= ) ln(a + br t 1 1 R t t= (a + br t 1 )z t +(α b 1) ln b + (β b 1) ln(1 b), yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Karena itu nilai parameter b dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan parameter a. Pembangkitan nilai parameter v Berdasarkan persamaan (1), log distribusi posterior untuk v dinyatakan oleh F(v) = ln p(ν a, b, z, R) v ln (v ) ln (Γ (v )) v [ln(z t) + z t 1 ] t=1 +(α v 1) ln v β v v, Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 015

26 yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Oleh karena itu, parameter v dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan parameter a, dimana proposalnya yaitu v ~N [3,40] (μ ν, V v ). Pembangkitan nilai vektor parameter z Berdasarkan persamaan (1), distribusi posterior untuk z dinyatakan oleh p(z a, b, v, R) z 1 v+1 1 exp ( (1 b)r 1 + av az 1 ) v+1 z t t= 1 exp { R t + (a + br t 1 )v }. (a + br t 1 )z t Dalam kasus ini, z bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi invers gamma, yaitu z 1 ~IG ( v + 1, (1 b)r 1 + av ), a z t ~IG ( v + 1, R t + (a + br t 1 )v ), (a + br t 1 ) untuk t =,3,. Metode MCMC mensimulasi suatu nilai baru untuk setiap parameter dari distribusi posteriornya dengan mengasumsikan bahwa nilai saat ini untuk parameter lain adalah benar. Sacara ringkas skema MCMC untuk model dalam studi ini yaitu (i) Inisialisasi a, b, dan v. (ii) Membangkitkan sampel z secara langsung. (iii) Membangkitkan sampel v dengan metode IC-MH. (iv) Membangkitkan sampel a dengan metode IC-MH. (v) Membangkitkan sampel b dengan metode IC-MH. (vi) Menghitung variansi (volatility kuadrat): σ t = a + br t HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Data Pengamatan Selanjutnya model dan metode di atas diaplikasikan pada data kurs beli Euro (EUR), Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD) terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 009 sampai dengan 31 Desember 014 yang terdiri dari 147 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu software Matlab 01a. Lihat Safrudin dkk. (015) untuk plot runtun waktu untuk returns dan statistik deskriptif. 4. Pengaturan MCMC Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan iterasi, dimana 5000 iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N = 10000, disimpan untuk menghitug rata-rata posterior, simpangan baku, interval Bayes, numerical standard error (NSE), dan diagnosa konvergensi. Di sini, dipilih interval highest posterior density (HPD) yang disajikan oleh Chen dan Shao (1999) sebagai pendekatan untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi dilakukan dengan menghitung integrated autocorrelation time (IAC), lihat Geweke (005), untuk mengetahui berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas (seberapa cepat konvergensi simulasi). Sementara itu konvergensi rantai Markov diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke (199) dan NSE dihitung menggunakan metode yang disajikan oleh Geweke (005). Dalam aplikasi algoritma MCMC, model dilengkapi dengan prior dimana λ = 1, α b =.5, β b = 3, α v = 16 dan β v = 0.8. Untuk nilai-nilai awal parameter ditetapkan a 0 = b 0 = 0.1 dan v = Estimasi Parameter abel 1, dan 3 meringkas hasil simulasi posterior parameter dalam model ARCH(1), dimana returns error berdistribusi Student-t, berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. p-value yang berasosiasi dengan Geweke s convergence diagnostic (G-CD) mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilainilai IAC menunjukkan bahwa metode IC- MH adalah sangat efisien. abel 1. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli JPY terhadap IDR. LB dan UB menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95%. Parameter a b v Mean SD LB UB IAC Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 015

27 NSE G-CD p-value CPU time (detik): abel. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli USD terhadap IDR. Parameter a b v Mean SD LB UB IAC NSE G-CD p-value CPU time (detik): abel 3. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli EUR terhadap IDR. Parameter A b v Mean SD LB UB IAC NSE G-CD p-value CPU time (detik): Plot sampel posterior dan histogram distribusi posterior parameter-parameter a dan b ditampilkan berturut-turut pada Gambar 1 dan Gambar. Plot sampel mengindikasikan bahwa sampel berfluktuasi disekitar rata-rata posterior, yang berarti bahwa sampel telah bercampur dengan baik (good mixing) x a Gambar 1. Plot sampel untuk parameter a, b, dan v pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD b (tengah), dan EUR (bawah) terhadap IDR dari Januari 009 sampai Desember 014. Gambar. Histogram distribusi posterior parameter a, b, dan v pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari 009 sampai Desember 014. Penyimpangan returns dari asumsi normalitas dinyatakan oleh v. Derajat kebebasan v mengambil nilai dari 4 sampai 7 untuk JPY, dari sampai 4 untuk USD, dan dari 7 sampai 14 untuk EUR, mengindikasikan bukti kuat adanya karakteristik distribusi Student-t pada ketiga data pengamatan. Sementara itu, dalam kasus data kurs beli JPY dan EUR, estimasi parameter a dan b adalah serupa dengan estimasi dari ARCH(1) yang berdistribusi normal di Safrudin dkk. (015). erkait dengan volatility, rata-rata posterior untuk variansi (volatility kuadrat) returns disajikan dalam Gambar 3. Diperoleh bahwa variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR berturut-turut yaitu dari sampai , dari sampai , dan dari sampai , dimana rata-ratanya berturut-turut yaitu , 0.054, Nilai variansi tertinggi terjadi pada periode September 013 untuk JPY, Februari 009 untuk USD, dan September 011 untuk EUR. Dibandingkan dengan hasil di Safrudin dkk. (015), pada data JPY menunjukkan perbedaan periode untuk variansi tertinggi. Jadi, model volatility untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah berturutturut: σ t = R t 1, σ t = R t 1, σ t = R t 1. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 015

28 Gambar 3. Plot runtun waktu variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR dari Januari 009 sampai Desember KESIMPULAN Studi ini menyajikan model ARCH(1) dengan returns error berdistribusi Student-t untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. Algoritma MCMC yang efisien dibangun untuk membangkitkan sampel dari distribusi posterior model. Hasil empiris menunjukkan bukti sangat kuat untuk penggunaan distribusi Student-t pada ketiga data tersebut. kingdom inflation. Econometrica, 50, Geweke, J. (199). Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments, Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Berger, A. P. Dawid dan A. F. M. Smith), Geweke, J. (005). Contemporary Bayesian econometrics and statistics. John Wiley & Sons. 7. Koop. G., Poirier, D. J. dan obias, J. L. (007). Bayesian econometri methods. Cambridge University Press, New York. 8. Nugroho, D. B. (014). Realized stocastic volatility model using generalized student s t-error distributions and power transformations, Dissertation. Kwansei Gakuin University, Japan. 9. ierney, L. (1994). Markov chain for exploring posterior distributions. Annals of Statistics, (4), say, R. S., (010). Analysis of financial time series. John Willey and Sons, Inc. New York. Model yang disajikan dalam studi ini bisa diperluas dengan memperhatikan distribusi Student-t yang umum, seperti non-central Student-t dan generalized skew Student-t yang mengakomodasi heavy tails dan skewness. Lebih lanjut model bisa diperluas ke model GARCH. 3. REFERENSI 1. Bollerslev,. (1987). A Conditionally Heteroskedastic ime Series Model for Speculative Prices and Rates of Return, Review of Economics and Statistics, 69, Casella, G. dan Berger R., L. (00). Statistical inference, homson Learning, Duxbury. 3. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999). Monte Carlo estimation of Bayesian credible and HPD intervals. Journal of Computational and Graphical Statistics, 8, Engle, R. F. (198). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of the united Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 015

29 LAMPIRAN

30 Lampiran 1. Skema MCMC untuk model ARCH berdistribusi Student-t 1. Inisialisasi a, b, dan ν.. Pembangkitan z a, b, v, R. Distribusi posterior bersyarat untuk z diberikan oleh p(z a, b, v, R) z v exp ( (1 b)r 1 + av ) z az t 1 t= v+1 1 exp { R t + (a + br t 1 )v }. (a + br t 1 )z t Dalam kasus ini, z bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi inverse gamma, yaitu z 1 ~IG ( v+1 3. Pembangkitan ν z, (1 b)r 1 +av a ) dan z t ~IG ( v+1 Distribusi posterior bersyarat untuk v diberikan oleh v p( ν z) ( v ) [Γ ( v )] z v t 1 t=1, R t +(a+br t 1 )v (a+br t 1 ) exp ( v z t ) v α v 1 exp( β v v). ), untuk t =,3,. Nilai v dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, yang mana proposal untuk v yaitu v ~N [3,40] (μ ν, V v ) dan probabilitas penerimaannya yaitu min {1, p(v z) }. Diambil logaritma distribusi posterior bersyarat untuk v: F(v) = ln p(ν z) p(v z) v ln (v ) ln (Γ (v )) v [ln(z t ) + z t 1 ] + (α v 1) ln v β v v, Dicari modus posterior v dari F(v), artinya bahwa F (v ) = 0, berdasarkan metode bagi dua. Rata-rata μ v dan variansi V v ditentukan dengan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku distribusi di sekitar modus (atau modus hampiran). Dicatat bahwa derivatif pertama dan kedua dari F(v) berturut-turut yaitu dimana ψ(x) = t=1 F (v) = [ln (v ) + 1 ψ (v )] 1 [ln(z t ) + z t 1 ] d lnγ(x) dx, dan t=1 F (v) = v 4 ψ ( v ) α v 1 v. + α v 1 v β v,

31 Selanjutnya diambil μ v = v dan V v = [F (v )] 1. Masalahnya adalah F (v ) bisa bernilai positif, karena itu diambil V v = [D v (v )] 1 dengan D v (v ) = min { , F (v ) }. 4. Pembangkitan a b, z, R Distribusi posterior bersyarat untuk a diberikan oleh p(a b, z, R) ( 1 b 1 a ) (1 b)r 1 exp { } az 1 t= (a + br t 1 ) 1 1 z t exp { R t (a+br } t 1 )z t exp{ λa}. Nilai a dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, yang mana proposal untuk a yaitu a ~N(μ a, V a ) dan probabilitas penerimaannya yaitu min {1, p(a b, z, R) }. p(a b, z, Diambil R) logaritma distribusi posterior bersyarat untuk a: F(a) = ln p(a b, z, R) 1 ln a (1 b)r 1 1 R t ) az 1 1 ln(a + br t 1 t= (a+br t 1 )z t t= λa. Dicari modus posterior a dari F(a), artinya bahwa F (a ) = 0, berdasarkan metode bagi dua. Dicatat bahwa derivatif pertama dan kedua dari F(a) berturut-turut yaitu F (a) = df(a) da = 1 a + (1 b)r 1 a 1 z 1 1 a + br t 1 t= F (a) = d F(a) da = 1 a (1 b)r 1 a z 1 1 (a + br t 1 t= + 1 R t (a + br t 1 ) λ z t t= ) R t (a + br t 1 ) 3. z t Selanjutnya diambil μ a = a dan V a = [F (a )] 1. Masalahnya adalah F (a ) bisa bernilai positif, karena itu diambil V a = [D a (a )] 1 dengan D a (a ) = min { , F (a ) }. 5. Pembangkitan b Distribusi posterior bersyarat untuk b diberikan oleh p(b a, z, R) ( 1 b 1 a ) (1 b)r 1 exp { } az 1 t= (a + br t 1 ) 1 1 z t exp { R t (a+br } t 1 )z t t= b α 1 (1 b) β 1.

32 Nilai b dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, yang mana proposal untuk b yaitu b ~N(μ b, V b ) dan probabilitas penerimaannya yaitu min {1, p(b a, z, R) }. p(b a, z, Diambil R) logaritma distribusi posterior bersyarat untuk b: F(b) = ln p(b a, z, R) 1 ln(1 b) (1 b)r 1 1 R t t= (a + br t 1 ) az 1 1 ln(a + br t 1 )z t t= + (α b 1) ln b + (β b 1) ln(1 b) Dicari modus posterior b dari F(b), artinya bahwa F (b ) = 0, berdasarkan metode bagi dua. Dicatat bahwa derivatif pertama dan kedua dari F(b) berturut-turut yaitu F (b) = df(b) db = 1 (1 b) + R 1 R t + 1 R t 1 (a + br t 1 ) z t t= F (b) = d F(b) db t= az α b 1 b t= β b 1 1 b, R t 1 a + br t 1 1 = (1 b) + 1 R t 1 (a + br t 1 R 4 t 1R t (a + br t 1 ) 3 z t t= α b 1 b β b 1 (1 b). 4 ) Selanjutnya diambil μ b = b dan V b = [F (b )] 1. Masalahnya adalah F (b ) bisa bernilai positif, karena itu diambil V a = [D b (b )] 1 dengan D b (b ) = min { , F (b ) }.

33 Lampiran. Kode Matlab Lampiran.1 Kode Matlab untuk Estimasi Model ARCH Berdistribusi Normal.1.1 Kode Utama function hasil=arch_mcmc(rt,hp) % ujuan: Mengestimasi parameter-parameter dalam model ARCH % R_t = sigma_t*epsilon_t, epsilon_t~n(0,1) % sigma_t^ = a + b*r_{t-1}^ % % Algoritma: MCMC % % Masukan: Rt = Return = 100*[log(S_t)-log(S_{t-1}], % dimana S_t = nilai kurs pada saat t % HP = Hyperparameter = [lambda alpha beta], untuk prior % a ~ exp(lambda) dan b ~ beta(alpha,beta) % % Keluaran: hasil.av = sampel-sampel parameter a % hasil.bv = sampel-sampel parameter b % Ditulis oleh Imam Malik Safrudin (FSM UKSW) % CP: imammaliks@live.com % Inisialisasi = length(rt); % prior untuk a lamd = HP(1); % prior untuk b alp = HP(); bet = HP(3); % nilai awal a = 0.1; b = 0.1; % banyaknya replikasi Nits = 15000; BI = 5000; N = Nits-BI; % alokasi penyimpanan sampel av = zeros(n,1); bv = zeros(n,1); vol = zeros(,1); % Algoritma MCMC. Step 1: Membangkitkan Rantai Markov tic for its = 1:Nits % --- pembangkitan sampel a % mencari rata-rata dan variansi untuk distribusi proposal hp1 = lamd; m_a = bisection(rt,a,b,hp1,'a'); %rata-rata dengan metode bagi dua da = 0.5/m_a^-0.5*(1-b)*Rt(1)^/m_a^ *sum((*Rt(:end).^-m_a-b*Rt(1:end-1).^)..../(m_a+b*Rt(1:end-1).^).^3); Da = min( ,da); s_a =-1/Da; % variansi % algoritma IC-MH % 1: pembangkitan proposal a* pr = truncnormrnd(1,m_a,sqrt(s_a),1e-4,1); % : mengevaluasi probabilitas penerimaan log_pa = -0.5*log(pr)-0.5*(1-b)*Rt(1)^/pr *sum(log(pr+b*Rt(1:end-1).^)) *sum(Rt(:end).^./(pr+b*Rt(1:end-1).^))-lamd*pr; % F(pr)

34 post_pr = exp(log_pa); log_pa = -0.5*log(a)-0.5*(1-b)*Rt(1)^/a *sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^)) *sum(Rt(:end).^./(a+b*Rt(1:end-1).^))-lamd*a; %F(a) post_o = exp(log_pa); ratio = post_pr/post_o; ap = min(1,ratio); % 3: pembangkitan bilangan acak seragam u = rand(1); % 4: pembaruan if u <= ap, a = pr; end % --- pembangkitan sampel b % mencari rata-rata dan variansi untuk distribusi proposal mup = alp; Vp = bet; hp1 = [mup Vp]; m_b = bisection(rt,a,b,hp1,'b'); % rata-rata db = -0.5/(1-m_b)^+0.5*sum((Rt(1:end-1).^4)..../((a+m_b*Rt(1:end-1).^).^))... -sum(((rt(1:end-1).^4).*(rt(:end).^))..../((a+m_b*rt(1:end-1).^).^3))... -(alp-1)/m_b^-(bet-1)/(1-m_b)^; Db = min( ,db); s_b = -1/Db; % variansi % algoritma IC-MH % 1: pembangkitan proposal b* pr = truncnormrnd(1,m_b,sqrt(s_b),0,1); % : mengevaluasi probabilitas penerimaan log_pb = 0.5*log(1-pr)-0.5*(1-pr)*Rt(1)^/a *sum(log(a+pr*Rt(1:end-1).^)) *sum(Rt(:end).^./(a+pr*Rt(1:end-1).^))... +(alp-1)*log(pr)+(bet-1)*log(1-pr); % F(pr) post_pr = exp(log_pb); log_pb = 0.5*log(1-b)-0.5*(1-b)*Rt(1)^/a *sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^)) *sum(Rt(:end).^./(a+b*Rt(1:end-1).^))... +(alp-1)*log(b)+(bet-1)*log(1-b); %F(b) post_o = exp(log_pb); ratio = post_pr/post_o; ap = min(1,ratio); % 3: pembangkitan bilangan acak seragam u = rand(1); % 4: pembaruan if u <= ap, b = pr; end % pengestimasian sigma Volt = a+b*rt(1:end-1).^; Volt = [a/(1-b); volt]; % simpan a dan b if its > BI av(its-bi,1) = a; bv(its-bi,1) = b; vol = ((its-bi-1)*vol+volt)/(its-bi); end end toc % Algoritma MCMC. Step : Menghitung rata-rata Monte Carlo draws = [av bv]; MP = mean(draws); SP = std(draws);

35 % ===== Integrated Autocorrelation ime (IAC) ============================ % Berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel % yang independen (seberapa cepat konvergensi simulasi) resultsia = IAC(draws); IA = [resultsia.iact]; % ===== Uji Konvergensi Geweke ============================================ idraw1 = round(.1*n); resultcv = momentg(draws(1:idraw1,:)); meansa = [resultcv.pmean]; nsea = [resultcv.nse1]; idraw = round(.5*n)+1; resultcv = momentg(draws(idraw:n,:)); meansb = [resultcv.pmean]; nseb = [resultcv.nse1]; CD = (meansa - meansb)./sqrt(nsea+nseb); onetail = 1-normcdf(abs(CD),0,1); pv = *onetail; % ===== 95% Highest Posterior Density (HPD) Interval ====================== resultshpd = HPD(draws,0.05); LB = [resultshpd.lb]; UB = [resultshpd.ub]; % ===== Numerical Standard Error (NSE) ==================================== resultsnse = NSE(draws); NSEd = [resultsnse.nse]; %====================== Mengatur hasil pencetakan ========================= %----- Statistik Parameter: in.cnames = char('a','b'); in.rnames = char('parameter','mean','sd','lb','ub','iac','nse','g-cd','p- Value'); in.fmt = '%16.6f'; tmp = [MP; SP; LB; UB; IA; NSEd; CD; pv]; fprintf(1, Estimasi menggunakan MCMC dan Uji Diagnosa\n'); % cetak hasil mprint(tmp,in); hasil.vol = vol; hasil.av = av; hasil.bv = bv;.1. Kode bisection function mab = bisection(rt,a,b,hp1,par) % ujuan : Mencari akar dari F (a)=0 atau F (b)=0 menggunakan metode % bagi dua % % % Masukan : Rt = return % a = nilai a % b = nilai b % hp1 = nilai prior % par = 'a' atau 'b' % % keluaran : mab = akar penyelesaian eps_step = 1e-; if par == 'a' bb = 1e-3; ba = 1; elseif par == 'b'

36 end bb = 0; ba = 1; if diffarch(rt,a,b,hp1,bb,par) == 0 % derivatif pertama mab = bb; return; elseif diffarch (Rt,a,b,hp1,ba,par) == 0 mab = ba; return; elseif diffarch(rt,a,b,hp1,ba,par)*diffarch(rt,a,b,hp1,bb,par) > 0 error( 'diffarch(ba) dan diffarch(bb) tidak mempunyai tanda berlawanan' ); end while abs(bb - ba) >= eps_step c = (ba + bb)/; if diffarch(rt,a,b,hp1,c,par) == 0 mab = c; return; elseif diffarch(rt,a,b,hp1,c,par)*diffarch(rt,a,b,hp1,ba,par) < 0 bb = c; else ba = c; end end mab = c;.1.3 Kode untuk turunan pertama F(a) dan F(b) function Fab = diffarch(rt,a,b,hp1,bts,par) % ujuan : Mengitung F (a) atau F (b) % % % Masukan : Rt = return % a = nilai a % b = nilai b % hp1 = nilai prior % bts = batas kiri/kanan interval pada metode bagi dua % par = 'a' atau 'b' % % keluaran : Fab = nilai turunan pertama if par == 'a'% derivatif pertama terhadap a a = bts; lamd = hp1; Fab = -1/(*a)+(1-b)*Rt(1)^/(*a^) *sum((a+b*Rt(1:end-1).^-Rt(:end).^)..../(a+b*Rt(1:end-1).^).^)-lamd; elseif par == 'b' % derivatif pertama terhadap b b = bts; alp = hp1(1); bet=hp1(); Fab = -1/(*(1-b))+Rt(1)^/*a *sum(Rt(1:end-1).^./(a+b*Rt(1:end-1).^)) *sum(Rt(1:end-1).^.*Rt(:end).^./((a+b*Rt(1:end-1).^).^))+(alp-1)/b-(bet-1)/(1-b); end.1.4 Kode Pendukung Kode truncnormrnd, IAC, momentg, HPD, NSE, dan mprint dapat dilihat dalam Nugroho (014).

37 Lampiran. Kode Matlab untuk Estimasi Model ARCH Berdistribusi Student-t..1 Kode Utama function hasil=archt_mcmc(rt,hp) % ujuan: Mengestimasi parameter-parameter dalam model ARCH % R_t = sigma_t*z_t^0.5*eta_t, eta_t~n(0,1) % sigma_t^ = a + b*r_{t-1}^ % % Algoritma: MCMC % % Masukan: Rt = Return = 100*[log(S_t)-log(S_{t-1}], % dimana S_t = nilai kurs pada saat t % HP = Hyperparameter = [lambda alpha beta], untuk prior % a ~ exp(lambda) dan b ~ beta(alpha_b,beta_b) % % Keluaran: hasil.vol = sampel-sampel parameter vol % Hasil.zv = sampel-sampel parameter z_t % hasil.av = sampel-sampel parameter a % hasil.bv = sampel-sampel parameter b % Hasil.nuv = sampel-sampel parameter nu % Ditulis oleh Imam Malik Safrudin (FSM UKSW) % CP: imammaliks@live.com % I: Inisialisasi = length(rt); % prior untuk a lamd = HP(1); % prior untuk b alp = HP(); bet = HP(3); % prior untuk nu alpnu = HP(4); betnu = HP(5); % nilai awal a = 0.1; b = 0.1; nu = 0; % banyaknya replikasi Nits = 15000; BI = 5000; N = Nits-BI; % alokasi penyimpanan sampel av = zeros(n,1); bv = zeros(n,1); nuv = zeros(n,1); zv = zeros(,1); vol = zeros(,1); % Algoritma MCMC. Step 1: Membangkitkan Rantai Markov tic for its = 1:Nits % --- pembangkitan sampel z alpz = (nu+1)/; betz1 = 0.5*((1-b)*Rt(1)^+a*nu)/a; betz = (Rt(:end).^+(a+b*Rt(1:end-1).^)*nu)..../(*(a+b*Rt(1:end-1).^)); betz = [betz1; betz]; z = 1./gamrnd(alpz,1./betz); % --- pembangkitan sampel nu % mencari rata-rata dan variansi untuk proposal bersyarat Hpv = [alpnu betnu]; mv = bisection_nu(hpv,z); % rata-rata

38 nu dv = 0.5*/mv-/4*psi(1,mv/)-(alpnu-1)/mv^; Dv = min( ,dv); sv = -1/Dv; %variansi % algoritma IC-MH % 1: pembangkitan proposal nu* pr = truncnormrnd(1,mv,sqrt(sv),.1,40); % : mengevaluasi probabilitas penerimaan log_pv = 0.5*pr**log(pr/)-*gammaln(pr/)-pr/... *sum(log(z)+1./z)+(alpnu-1)*log(pr)-betnu*pr; post_pr = exp(log_pv); log_pv = 0.5*nu**log(nu/)-*gammaln(nu/)-nu/... *sum(log(z)+1./z)+(alpnu-1)*log(nu)-betnu*nu; post_o = exp(log_pv); ratio = post_pr/post_o; ap = min(1,ratio); % 3: pembangkitan variabel acak seragam u = rand(1); % 4: pembaruan if u <= ap, nu = pr; end % --- pembangkitan sampel a % mencari rata-rata dan variansi untuk distribusi proposal hp1 = lamd; m_a = bisection_st(rt,a,b,hp1,z,'a'); % rata-rata da = 1/(*m_a^)-0.5*(1-b)*Rt(1)^/(m_a^3*z(1))+0.5*... sum(1./(m_a+b*rt(1:end-1).^).^)-... sum(rt(:end).^./((m_a+b*rt(1:end-1).^).^3.*z(:end))); Da = min( ,da); s_a = -1/Da; % variansi % algoritma IC-MH % 1: pembagkitan proposal a* pr = truncnormrnd(1,m_a,sqrt(s_a),1e-4,1); % : mengevaluasi probabilitas penerimaan log_pa = -0.5*log(pr)-0.5*(1-b)*Rt(1)^/(pr*z(1)) *sum(log(pr+b*Rt(1:end-1).^)) *sum(Rt(:end).^./((pr+b*Rt(1:end-1).^).*z(:end)))-... lamd*pr; % F(pr) post_pr = exp(log_pa); log_pa = -0.5*log(a)-0.5*(1-b)*Rt(1)^/(a*z(1)) *sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^)) *sum(Rt(:end).^./((a+b*Rt(1:end-1).^).*z(:end)))-... lamd*a; % F(a) post_o = exp(log_pa); ratio = post_pr/post_o; ap = min(1,ratio); % 3: pembangkitan variabel acak seragam u = rand(1); % 4: pembaruan if u <= ap, a = pr; end % --- pembangkitan sampel b % mencari rata-rata dan variansi untuk distribusi proposal mup = alp; Vp = bet; hp1 = [mup Vp]; m_b = bisection_st(rt,a,b,hp1,z,'b'); % rata-rata db = -0.5/(1-m_b)^+0.5*sum((Rt(1:end-1).^4)..../((a+m_b*Rt(1:end-1).^).^))... -sum(((rt(1:end-1).^4).*(rt(:end).^))..../((a+m_b*rt(1:end-1).^).^3.*z(:end)))... -(alp-1)/m_b^-(bet-1)/(1-m_b)^; Db = min( ,db);

39 end toc s_b = -1/Db; % variansi % algoritma IC-MH % 1: pembangkitan proposal b* pr = truncnormrnd(1,m_b,sqrt(s_b),0,1); % : mengevaluasi probabilitas penerimaan log_pb = 0.5*log(1-pr)-0.5*(1-pr)*Rt(1)^/(a*z(1)) *sum(log(a+pr*Rt(1:end-1).^)) *sum(Rt(:end).^./(a+pr*Rt(1:end-1).^.*z(:end)))... +(alp-1)*log(pr)+(bet-1)*log(1-pr); % F(pr) post_pr = exp(log_pb); log_pb = 0.5*log(1-b)-0.5*(1-b)*Rt(1)^/(a*z(1)) *sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^)) *sum(Rt(:end).^./(a+b*Rt(1:end-1).^.*z(:end)))... +(alp-1)*log(b)+(bet-1)*log(1-b); %F(b) post_o = exp(log_pb); ratio = post_pr/post_o; ap = min(1,ratio); % 3: pembangkitan variabel acak seragam u = rand(1); % 4: pembaruan if u <= ap, b = pr; end % pengestimasian sigma volt = a+b*rt(1:end-1).^; volt = [a/(1-b); volt]; % simpan a dan b if its > BI av(its-bi,1) = a; bv(its-bi,1) = b; nuv(its-bi,1) = nu; zv = ((its-bi-1)*zv+z)/(its-bi); vol = ((its-bi-1)*vol+volt)/(its-bi); end % Algoritma MCMC. Step : Menghitung rata-rata Monte Carlo draws = [av bv nuv]; MP = mean(draws); SP = std(draws); % ===== Integrated Autocorrelation ime (IAC) ============================ % Berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel % yang independen (seberapa cepat konvergensi simulasi) resultsia = IAC(draws); IA = [resultsia.iact]; % ===== Uji Konvergensi Geweke ============================================ idraw1 = round(.1*n); resultcv = momentg(draws(1:idraw1,:)); meansa = [resultcv.pmean]; nsea = [resultcv.nse1]; idraw = round(.5*n)+1; resultcv = momentg(draws(idraw:n,:)); meansb = [resultcv.pmean]; nseb = [resultcv.nse1]; CD = (meansa - meansb)./sqrt(nsea+nseb); onetail = 1-normcdf(abs(CD),0,1); pv = *onetail; % ===== 95% Highest Posterior Density (HPD) Interval ====================== resultshpd = HPD(draws,0.05);

40 LB UB = [resultshpd.lb]; = [resultshpd.ub]; % ===== Numerical Standard Error (NSE) ==================================== resultsnse = NSE(draws); NSEd = [resultsnse.nse]; %====================== Pengaturan Pencetakan Hasil ======================= %----- Statistik Parameter in.cnames = char('a','b','nu'); in.rnames = char('parameter','mean','sd','lb','ub','iac','nse','g-cd','p- Value'); in.fmt = '%16.6f'; tmp = [MP; SP; LB; UB; IA; NSEd; CD; pv]; fprintf(1,'estimasi menggunakan MCMC dan Uji Diagnostik\n'); mprint(tmp,in); hasil.vol = vol; hasil.zv = zv; hasil.av = av; hasil.bv = bv; hasil.nuv = nuv;.. Kode metode bagi dua untuk F (a) = 0 atau F (b) = function mab = bisection_st(rt,a,b,hp1,z,par) % ujuan : Mencari akar dari F (a)=0 atau F (b)=0 menggunakan metode % bagi dua % % % Masukan : Rt = return % a = nilai a % b = nilai b % hp1 = nilai prior % z = [z_1, z_, z_3,.,z_] % par = 'a' atau 'b' % % keluaran : mab = akar penyelesaian eps_step = 1e-; if par == 'a' bb = 1e-5; ba = 1; elseif par == 'b' bb = 0; ba = 1; end if diffarch_st(rt,a,b,hp1,z,bb,par) == 0 %derivatif pertama mab = bb; return; elseif diffarch_st(rt,a,b,hp1,z,ba,par) == 0 mab = ba; return; elseif diffarch_st(rt,a,b,hp1,z,ba,par)*diffarch_st(rt,a,b,hp1,z,bb,par) > 0 error( 'diffarch(ba) and diffarch(bb) do not have opposite signs' ); end while abs(bb - ba) >= eps_step % abs(diffarch(a,b,y,,bb))>=eps_abs && abs(diffarch(a,b,y,,ba)) >= eps_abs c = (ba + bb)/; if diffarch_st(rt,a,b,hp1,z,c,par) == 0 mab = c; return;

41 elseif diffarch_st(rt,a,b,hp1,z,c,par)*diffarch_st(rt,a,b,hp1,z,ba,par) < 0 bb = c; else ba = c; end end mab = c;..3 Kode metode bagi dua untuk F (ν) function mv = bisection_nu(hpv,z) % ujuan : Mencari akar dari F (v)= 0 menggunakan metode bagi dua % % % Masukan : hpv = nilai prior v % z = [z_1, z_, z_3,.,z_] % % keluaran : mv = akar penyelesaian eps_step = 1e-; bb =.1; ba = 100; if difffnu(hpv,z,bb) == 0 % derivatif pertama mv = bb; return; elseif difffnu(hpv,z,ba) == 0 mv = ba; return; elseif difffnu(hpv,z,bb)*difffnu(hpv,z,ba) > 0 error( 'difffnu(a) and difffnu(b) do not have opposite signs' ); end while abs(ba - bb) >= eps_step % abs(lv1(a,b,y,,bb))>=eps_abs && abs(lv1(a,b,y,,ba)) >= eps_abs c = (ba + bb)/; if difffnu(hpv,z,c) == 0 mv = c; return; elseif difffnu(hpv,z,c)*difffnu(hpv,z,ba) < 0 bb = c; else ba = c; end end mv = c;..4 Kode penghitungan F (ν) function Fab = diffarch_st(rt,a,b,hp1,z,bts,par) % ujuan : Mengitung F (v) % % Masukan : Rt = return % a = nilai a % b = nilai b % hp1 = nilai prior % z = [z_1, z_, z_3,.,z_] % bts = batas kiri/kanan interval pada metode bagi dua % par = 'a' atau 'b' % % keluaran : Fab = nilai turunan pertama if par =='a'% derivatif pertama terhadap a a = bts; lamd = hp1; Fab = -1/(*a)+0.5*(1-b)*Rt(1)^/(a^*z(1)) *sum(1./(a+b*Rt(1:end-1).^)) *sum((Rt(:end).^)./((a+b*Rt(1:end-1).^).^...

42 *z(:end)))-lamd; elseif par == 'b' % derivatif pertama terhadap b b = bts; alp = hp1(1); bet=hp1(); Fab = -1/(*(1-b))+Rt(1)^/(*a*z(1)) *sum(Rt(1:end-1).^./(a+b*Rt(1:end-1).^)) *sum(Rt(1:end-1).^.*Rt(:end).^..../((a+b*Rt(1:end-1).^).^.*z(:end)))... +(alp-1)/b-(bet-1)/(1-b); end

43 Lampiran 3. Sertifikat Seminar

44