BUKU AJAR JILID 1. Oleh: Zainal Arif, ST. MT.

Transkripsi

1 BUKU AJAR JILID 1 Oleh: Zainal Arif, ST. MT. Fakultas Teknik JurusanTeknik Mesin Universitas Samudra Langsa 2014

2 Kata engantar Alhamdulillah puji syukur kehadirat Allah SWT., enulis Telat menyusun sebuah buku Ajar Mekanika Kekuatan Material I. Buku ini digunakan untuk buku pegangan bagi mahasiswa teknik Mesin universitas Samudra Langsa yang mengambil matakuliah Mekanika Kekuatan Material I. Dalam penyusunan buku ajar ini, penulis menyadur beberapa buku text book yang berkaitan dengan matakuliah ini dan juga beberapa buku ajar/pegangan yang terkait serta browsing internet. Untuk memperlancar perkuliahan ini, penulis menyiapkan diktat yang ditujukan untuk mata kuliah Mekanika Kekuatan Material I, dan dalam penyusunan buku ini penulis berusaha menyesuaikan materinya dengan kurikulum di jurusan Teknik Mesin Universitas Samudra. erlu diketahui bahwa buku ini belum merupakan referensi lengkap dari pelajaran Mekanika Kekuatan Material, sehingga mahasiswa perlu untuk membaca buku-buku referensi lainnya untuk melengkapi pengetahuannya tentang materi mata kuliah ini. Dan enulis menyadari buku ini masih jauh dari kesempurnaan, dan penulis masih memerlukan penyempurnaan materi-materi yang lebih menarik dimasa yang akan datang. Akhirul kalam, mudah-mudahan buku ini bisa menjadi manfaat dan penuntun bagi mahasiswa sebagaimana yang diharapkan. Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih yang tak terhingga kepada pihak-pihak yang telah banyak membantu dalam penyelesaian buku ini. Langsa, 10 Oktober 2014 Wassalam enulis (ZAINAL ARIF, ST.MT.) NIDN

3 DAFTAR ISI Halaman KATA ENGANTAR. i DAFTAR ISI ii BAB 1. TEGANGAN, REGANGAN, HOOK DAN OISON RATIO Tegangan Regangan Elastis Linier, Hukum Hooke Rasio oisson Tegangan dan Regangan Geser Hukum Hook untuk Geser Tegangan Izin dan Beban Izin Modulus Bulk Hubungan Antara Modulus Bulk dengan Modulus Young 16 BAB 2. DEFLEKSI ADA STRUKTUR Deformasi Benda Karena Gaya Yang Bekerja Defleksi ada Batang Akibat Beban Aksial Defleksi ada Struktur Statis Tak Tentu 28 BAB 3. KESETIMBANGAN GAYA DENGAN METODE OTONG Kesimbangan Gaya dan Momen ada Batang Kesimbangan Gaya ada Batang dengan gaya terdistribusi Merata.. 41 BAB 4. GAYA GESER DAN MOMEN LENTUR Gaya Geser dan Momen Lentur Hubungan Beban Antara Beban, Gaya Geser, dan Momen Lentur Tegangan ada Balok Lentur Murni dan Lentur Tak Sragam Kelengkungan Balok Regangan Longitudinal Balok Tegangan Normal di Balok (elastik linier) Hubungan Momen Kelengkungan.. 58 BAB 5. TORSI Definisi Torsi Deformasi Torsional Batang Lingkaran Batang Lingkaran dari Bahan yang Elastis Linier Rumus Torsi... 67

4 BAB 6 TRUSS dan Frame Truss Type-type Truss rosedur Analisa Truss Frame.. 83 DAFTAR USTAKA LAMIRAN-LAMIRAN... 86

5 BAB I TEGANGAN, REGANGAN, HOOK DAN OISON RATIO 1.1. Tegangan Mekanika bahan adalah cabang ilmu dari mekanika terapan yang membahas perilaku benda padat yang mengalami berbagai pembebanan. (Gere & Timoshenko,1996). Adapun benda padat yang akan dianalisa pada buku ini adalah batang (bar) yang mengalami beban aksial, poros (shaft) yang mengalami beban torsi, balok (beam) yang mengalami beban lentur, dan kolon (column) yang mengalami beban tekan. Tujuan utama dalam mekanika bahan adalah menentukan tegangan (stress), regangan (strain), dan perubahan panjang (displacement) pada struktur dan komponenkomponennya akibat beban yang bekerja padanya. Apabila nilai besaran-besaran ini menyebabkan kegagalan, maka kita mempunyai gambaran tentang perilaku mekanis pada struktur tersebut. emahaman perilaku mekanis sangat penting untuk design yang aman pada semua jenis struktur. Setiap material adalah elastis pada keadaan alaminya. Karena itu jika gaya luar bekerja pada benda, maka benda tersebut akan mengalami deformasi. Ketika benda tersebut mengalami deformasi, molekulnya akan membentuk tahanan terhadap deformasi. Tahanan ini per satuan luas dikenal dengan istilah tegangan. Secara matematik tegangan bisa didefinisikan sebagai gaya per satuan luas. Konsep dasar dalam mekanika bahan adalah tegangan dan regangan. Untuk memahami konsep ini dapat ditinjau pada sebuah benda berbentuk batang prismatik seperti pada gambar 1.1. Gambar 1.1. batang prismatik (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) Dengan asumsi bahwa tegangan terbagi merata pada setiap batang (gambar 1.1c) maka dapat diturunkan rumus untuk menghitung tegangan adalah: 1

6 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio σ = A. (1.1) Dimana: σ = tegangan normal (N/mm 2 ). = Besar gaya yang bekerja (N). A= Luas penampang (mm 2 ) Contoh Soal 1. Sebuah batang selinder seperti pada gambar 1.1. diberi beban tarik sebesar 6 N pada ujung selinder dengan diameter penampang 2 mm. Hitung besar tegangan yang bekerja pada batang tersebut? Jawab: Untuk menjawab contoh soal ini, digunakan persamaan (1.1), adalah: σ = A = 6 N π d 2 = 6 N 3, = 1,91 N/mm 2 Contoh soal 2. Sebuah tabung terbuat dari aluminium, seperti pada gambar contoh soal no 2., mengalami beban tekan dengan beban 54 kips, dimanan diameter dalam adalah 3,6 in, dan diameter luar adalah 5 in, Hitung tegangan yang terjadi pada tabung tersebut? = 54 L 40 in Jawab: Gambar contoh soal no 2 Dengan menggunakan persamaan (1.1) peroalan contoh 2 adalag: σ = A = 6 N π 4 (d 2 2 d 2 1 ) = 6 N π 4 (( 5 in)2 ( 3,6 in) 2 ) = 9,456 psi Dari eksperimen ditemukan bahwa regangan aksial yang terjadi pada sebuah benda selalu diikuti regangan dengan tanda yang berlawanan pada bagian lain yang tegak lurus terhadapnya. Secara umum, terdapat dua jenis regangan pada benda jika benda tersebut mengalami tegangan: 1. Regangan primer atau linier. 2. Regangan sekunder atau lateral. 2

7 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio Regangan rimer atau Linier L (a) d L + δ d-δ (b) Gambar 1.2. Batang Baja akibat gaya tarik (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) Misalkan sebuah batang mengalami gaya tarik, seperti ditunjukkan oleh gambar 1.2(a). Jika: l = anjang batang, d = Diameter batang, = Gaya tarik yang bekerja pada batang, δ = eningkatan panjang batang karena gaya tarik. Deformasi batang per satuan panjang pada arah gaya, yaitu δ/ l di kenal dengan regangan primer atau linier. Regangan Sekunder atau Lateral Ketika sebuah batang mengalami pertambahan panjang sebesar δ searah gaya tarik yang bekerja padanya, pada saat yang bersamaan terjadi penurunan diameter dari d ke (d - δd), seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.1(b). Dengan cara yang sama, jika batang mendapat gaya tekan, panjang batang akan menurun sebesar δ yang diikuti oleh peningkatan diameter dari d ke (d -δd). Jadi jelas bahwa setiap tegangan langsung selalu diikuti oleh regangan pada arah tegangan dan regangan dengan tanda yang berlawanan pada arah yang tegak lurus terhadap tegangan tersebut. Regangan yang tegak lurus terhadap tegangan yang bekerja ini disebut dengan regangan sekunder atau lateral Regangan Sebuah batang sperti pada gambar 1.1 akan mengalami perubahan panjang akibat dari beban aksial tarik/tekan yang diberikan. erubahan panjang dari batnag adalah hasil kumulatif dari semua elemen bahan diseluruh volume batang. Dengan asumsi bahwa 3

8 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio batang mengalami perubahan konstan diseluruh permukaan maka untuk menghitung perpanjangan persatuan panjang atau regangan adalah: ε = δ L... (1.2) Dimana: ε = regangan normal (mm/mm). δ = perubahan panjang (mm). L = panjang awal (mm) Contoh: Lihat gambar 1.1. jika batang mempunyai panjang 2 m, dan mengalami perpanjangan sebesar 1,4 mm akibat beban tarik. Hitung berapa besar regangan yang terjadi pada batang tersebut? Jawab: Untuk menjawab contoh soal ini, digunakan persamaan (1.2), adalah: ε = δ L = 1,4 mm 2,0 m = 0,0007 = 700 x 10 6 mm/mm 1.3. Elastis Linier, Hukum Hooke Hukum Hook adalah Jika benda dibebani dalam batas elastisnya, maka tegangan berbanding lurus dengan regangannya. Secara matematis ditulis: Tegangan Regangan = E = konstan... (1.3) Banyak bahan struktural, termasuk juga sebagian besar metal, kayu, pelastik, dan keramik, berprilaku elastis dan linier ketika dibebani pertama kali. Akibatnya, kurva tegangan-regangan dimulai dengan garis lurus yang melewati titik asalnya. Hubungan linier antara tegangan dan regangan untuk suatu batang yang mengalami tarik atau tekan sederhana dinyatakan dengan persamaan: σ = E. ε...(1.4) Dengan σ adalah tegangan aksial, ε adalah regangan aksial, dan E adalah konstanta proporsionalitas yang dikenal dengan modulus elastisitas bahan tersebut. ersamaan σ = E. ε dikenal sebagai Hukum Hooke, untuk mengenang ilmuan Inggris terkenal Robert Hooke ( ). Hooke adalah orang pertama yang menyelidiki secara ilmiah 4

9 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio besaran elastis beberapa bahan, dan ia menguji bahan-bahan seperti metal, kayu, batu, dan tulang. Ia mengukur perpanjangan kawat yang memikul gaya berat dan mengamati bahwa perpanjangannya selalu mempunyai proporsi yang sama dengan berat material yang membentuk kawat tersebut. Jadi,Hooke membangun hubungan linier antara beban dan perpanjangan yang ditimbulkannya. Modulus elastisitas sering disebut Modulus Young, mengambil nama ilmuan Inggris lain, Thomas Young ( ). Dalam kaitannnya dengan penyelidikan tarik dan tekan pada batang prismatik, Young memperkenalkan ide modulus elastisitas. Tetapi modulus yang ia maksud tidak sama dengan yang kita gunakan dewasa ini karena besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas (Modulus Young) dapat didefinisikan adalah Tegangan berbanding lurus dengan regangan, dalam daerah elastisnya. ersamaan Modulus Elastisitas secara matematis dapat diperoleh dari persamaan 1.4, adalah: E = σ ε...(1.5) Dimana: σ = tegangan ( satuan : N), ε = regangan (satuan mm/mm), dan E = konstanta proporsionalitas atau disebut juga modulus elastisitas atau modulus Young. Tabel 1.1: Harga E (modulus elastisitas) dari berbagai material. (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) 1.4. Rasio oisson Apabila suatu barang prismatik dibebani tarik, perpanjangan aksialnya disertai dengan Kontraksi Lateral (yaitu kontraksi tegak lurus arah beban). Regangan Lateral disetiap titik pada sutaua batang sebanding dengan regangan aksial dititik tersebut jika 5

10 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio bahannnya elastis Linier. Agar regangan lateral sama diseluruh panjang batang, maka kondisi tambahan harus ada. ertama, gaya aksial harus konstan diseluruh panjang batang sedemikian hingga regangan aksial konstan. Kedua, bahannya harus Homogen, artinya bahan tersebut harus mempunyai komposisi yang sama (sehingga besaran elastisitasnya sama) disetiap titik. Bahan yang mempunyai besaran yang sama dalam semua arah (aksial, lateral dan diantaranya) disebut isotropic. Jika besarannya berbeda pada berabagai arah, maka bahan tersebut disebut anisotropic (atau aelotropik). Kasus khusus dari anisotropik terjadi jika besaran pada arah tertentu sama diseluruh bahan dan besaran disemua arah yang tegak lurus diarah tersebut sama (tetapi berbeda dengan besaran pertama tadi) maka bahan tersebut disebut ortotropik. lastik yang diperkuat dengan serat dan beton bertulang dengan batang tulangan baja adalah contoh bahan komposit yang memperlihatkan perilaku ortotropik. Rasio regangan lateral ε terhadap tegangan aksial ε terhadap tegangan aksial ε dikenal dengan rasio oisson dan diberi notsasi huruf Yunani ν (nu); jadi, yang dapat ditulis ν = lateral strain axial strain = ε ε ε = - ν ε (1.6). (1.7) Dari eksperimen ditemukan bahwa jika sebuah benda mengalami tegangan pada daerah elastisnya, regangan lateral mempunyai rasio konstan terhadap regangan linier. Secara matematik: regangan lateral regangan linier = konstan. (1.8) Konstanta ini dikenal dengan Rasio oisson, dan dilambangkan dengan 1/m atau μ. Secara matematik: regangan lateral = 1 m. ε. (1.9) regangan lateral = μ. ε. (1.10) 6

11 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio Tabel 2.1: Harga rasio oisson dari berbagai material (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) 1.5. Tegangan dan Regangan Geser ada sub bab dahulu, kita membahas pengaruh tegangan normal yang diakibatkan beban aksial yang bekerja pada batang lurus. Tegangan ini disebut tegangan normal karena bekerja dalam arah yang tegak lurus permukaan bahan. Sekarang kita akan meninjau jenis lain dari tegangan yang disebut tegangan geser yang bekerja dalam arah tangensial terhadap permukaan bahan. Berdasarkan atas asumsi terbagi rata, kita dapat menghitung tegangan tumpu ratarata σ b dengan membagi gaya tumpu total F b dengan luas tumpu A b : σ b = F b A b Luas tumpu didefinisikan sebagai luas proyeksi dari permukaan tumpu yang melengkung. Tegangan geser rata-rata pada penampang baut diperoleh dengan membagi gaya geser total V dengan luas A dari penampang melintang di mana gaya tersebut bekerja, sebagai berikut : τ rata rata = V A (1.11) (1.12) 1.6. Hukum Hook untuk Geser Besaran bahan untuk geser dapat ditentukan secara eksperimental dan uji geser langsung atau dari uji torsi. Uji torsi dilakukan dengan memuntir tabung lingkaran berlubang, sehingga menghasilkan keadaan geser murni. Dari hasil pengujian ini kita dapat memplot kurva tegangsan-tegangan untuk geser (yaitu diagram tegangan geser 7

12 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio τ versus regangan geser γ). Diagaram ini mempunyai bentuk sama dengan diagram uji Tarik ( versus ε) untuk bahan yang sama,meskipun besarnya berbeda. Untuk banyak bahan,bagian awal dari kurva tegangan-regangan adalah garis lurus yang melalui titik asal, sebagaimana terjadi pada kasus tarik. Untuk daerah elastis linier ini, tegangan geser dan regangan gesernya sebanding sehingga kita mempunyai persamaan berikut untuk hukum Hooke pada kondisi geser: τ = Gγ (1.13) Yang mana G adalah modulus elastisitas geser (disebut juga modulus rigiditas). Modulus geser G mempunyai satuan yang sama dengan modulus Tarik, E dalam satuan psi atau ksi dalam satuan USCS dan pascal dalam satuan SI. Untuk baja lunak,harga tipikal G adalah ksi atau 75 Gpa; untuk paduan aluminium,harga tipikalnya adalah 4000 ksi atau 28 Gpa. Modulus elastisitas untuk kasus Tarik dan kasus geser dihubungkan dengan persamaan berikut: Dimana ν adalah rasio passion G = E 2(1 + ν).. (1.14) Contoh Sebuah batang dari baja yang merupakan pengekang dari sebuah kapal menyalurkan gaya tekan = 54 kn ke dek dari sebuah tiang (lihat gambar 1-3a). Batang tekan ini mempunyai penampang bujur sangkar berlubang dengan tebal dinding t =12mm (Gambar 1-3b), dan sudut θ antara batang dan horizontal adalah 40. Sebuah sendi yang menembus batang tersebut menyalurkan gaya dari batang tekan kedua plat buhul G yang dilas ke plat landasan B. Empat baut angkur menghubungkan plat landasan ke dek. Diameter sendi adalah d pin = 18mm, tebal plat buhul t G = 15mm, tebal plat landasan adalah t B = 8 mm, dan diameter baut angkur adalah d bolt = 12mm. Tentukan tegangan-tegangan berikut: (a) tegangan tumpu Antara batang tekan dengan sendi, (b) tegangan geser disendi, (c) tegangan tumpu antar sendi dan plat buhul, 8

13 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio (d) tegangan tumpu antara baut angkur dan plat landasan, dan (e) tegangan geser dibaut angkur. (Abaikan gesekan Antara plat landasan dan dek.) (a) (b) Gambar 1.3 Gambar Dek (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) SOLUSI (a) Tegangan tumpu Antara batang tekan dan sendi. Harga rata-rata tegangan tumpu antara batang tekan dan sendi dapat dihitung dengan membagi gaya dibatang tekan dengan luas tumpu antara batang tekan dan sendi. Luas tersebut sama dengan dua kali tebal batang tekan. (karena tumpu terjadi di dua lokasi) dikalikan diameter sendi (lihat gambar 1-3b). Jadi, unutk mencari tegangan tumpu, menggunakan persamaan 1.11, adalah: σ b1 = F b A b = 2td pin = 54 kn 2(12 mm)(18 mm) = 125 Ma Tegangan ini tidak berlebihan untuk sebuah batang tekan yang terbuat dari baja karena tegangan luluhnya mungkin lebih besar daripada 200 Ma. (b). Tegangan geser di sendi dapat dicari dengan menggunakan persamaan 1.12, adalah: τ pin = v A = = 54 kn 2πd2 pin /4 2π(18 mm) 2 /4 = 106 Ma (c). Tegangan tumpu antara sendi dan plat buhul, meggunakan persamaan 1.11, adalah: σ b2 = F b A b = 2t G d pin = 54 kn 2(15 mm)(18 mm) = 100 Ma (d). Tegangan tumpul antara baut angkar dan plat landasan, diperoleh dengan persamaan 1.11, adalah: 9

14 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio σ b3 = F b cos 40 = = A b 4t B d bolt 54( kn )(cos 40 ) 4(18 mm)(12 mm) = 108 Ma (e). Tegangan geser di baut angkar, dicari dengan persamaan 1.12, adalah: τ bolt = v A cos 40 = 4πd2 bolt /4 = 54( kn )(cos 40 4π(12 mm) 2 4 = 119Ma Contoh lain Sebuah pelubang (pembuat lubang) pada plat baja terlihat dalam Gambar 1-4a. Aumsikan bahwa pelubanga yang diameternya 0,75 in, itu digunakan untuk melubangi plat yang tebalnya ¼ in, seperti terlihat dalam Gambar 1-4b. Jika gaya = lb dibutuhkan untuk itu, berapakah tegangan geser rata-rata di plat tersebut dan tegangan tekan rata-rata dpelubang? (a) (b) Gambar 1.4. unching plat (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) Solusi Tegangan geser rata-rata di plat dihitung dengan membagi gaya p dengan luas geser plat. Luas geser A s sama dengan keliling lubang dikalikan tebal plat, atau A s = πdt = π(0,75 in. )( 0,25 in. ) = 0,8590 in. 2 Dimana d adalah diameter pelubang, dan t adalah tebal plat. Dengan demikian, tegangan geser rata-rata diplat, dengan persamaan 1.12, adalah τ rata rata = A s = b 0,5890 in. 2 = psi Tegangan tekan rata-rata di pelubang, dengan persamaan 1.11 adalah σ c = F b A b = A punch = πd 2 /4 = b π(0,75 in. 2 /2 = psi 10

15 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio Catatan. Analisis ini sangat diidealisasi karena kita mengabaikan efek kejut yang terjadi apabila suatu pelubang menembus plat. (peninjauan efek ini membutuhkan metode analisis lanjut diluar ruang lingkup mekanika bahan). Contoh Sebuah bantalan yang biasa digunakan untuk memikul mesin dan gelagar jembatan terdiri atas bahan yang bersifat elastis linier (biasanya elastomer, seperti karet) yang dilapisi oleh plat baja (Gambar 1-5a). Asumsikan bahwa tebal elastomer adalah h,dimensi plat adalah a x b, dan bantalan ini mengalami gaya geser horizontal V. Turunkanlah rumus tegangan geser rata-rata τ rata rata di elastomer dan peralihan horizontal d di plat (Gambar 1-5b). (a) (b) Gambar 1.5. Gambar bantalan (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) SOLUSI Asumsikan bahwa tegangan geser di elastomer terbagi rata diseluruh volume. Dengan demikian, tegangan geser disetiap bidang horizontal tang melalui elastomer sama dengan gaya geser V dibagi dengan luas bidang (Gambar 1-5a), dengan menggunakan persamaan 1.12, diperoleh tegangan geser rata-rata adalah: τ rata rata = Tegangan gesernya (dari hukum Hooke untuk geser ), dengan mengunakan persamaan 1.13, diperoleh adalah: V ab γ = τ G = τ rata rata G e = V abg e Di mana G e adalah momen bahan elastomerik. Akhirnya, peralihan horizontal d sama dengan tan (dari Gambar 1-5b): d = h tan γ = tan ( V abg e ) 11

16 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio Di dalam praktek, umumnya regangan geser ( adalah sudut yang kecil sehingga tan γ dapat diganti dengan γ, d = hγ = hv abg e ersamaan γ dan persamaan d, memberikan hasil pendekatan untuk peralihan horizontal plat karena keduanya berdasarkan asumsi bahwa tegangan dan regangan geser konstan diseluruh volume bahan elastomerik.ada kenyataannya, tegangan geser adalah nol tepitepi bahan (karena tidak ada tegangan geser dimuka vertikal yang bebas), sehingga deformasi bahan akan lebih rumit daripada yang terlihat pada Gambar 1-3b. Sekalipun demikian, jika panjang a dari plat cukup besar dibandingkan dengan tebal elastomer, maka hasil diatas sudah memadai untuk tujuan desain. dari 1.7. Tegangan Izin dan Beban Izin Struktur; jadi, suatu strruktur adalah setiap obyek yang harus memikul atau menyarlukan beban. Jika kegagalan struktural harus dihindari, maka beban yang dapat dipikul suatu struktur harus lebih besar daripada beban yang akakn dialaminya pada masa pakai. Kemampuan suatu sruktur untuk menahan beban disebut kekuatan, jadi kriteria terdahulu dapat ditulis ulang sebagai berikut.kekuatan aktual suatu struktur harus melebihi kekuatan yang dibutuhkan. Rasio kekuatan aktual terhadap kekuatan yang dibutuhkan disebut faktor keamanan n: Faktor keamanan = Kekuatan aktual Kekuatan yang dibutuhkan..(1.15) Tentu saja, faktor keamanan harus lebih besar daripada 1,0 jika kegagalan ingin dihindari. Bergantung pada situasinya, digunakan faktor keamanan dangan harga sedikit diatas 1,0 hingga 10. Faktor keamanan didefinisikan dan diterapkan dengan berbagai cara. Untuk sebagian besar struktur, bahannya harus berada dalam daerah elastis linier untuk mencegah terjadinya deformasi permanen apabila beban dihilangkan. ada kondisi ini, faktor keamanan ditetapkan berdasarkan luluhnya struktur. Luluh mulai terjadi apabila tegangan luluh tercapai disuatu titik sembarang didalam srutktur. Maka, dengan menerapkan faktor keamanan terhadap tegangan luluh ( atau kekuatan luluh ), kita mendapatkan tegangan izin (atau tegangan kerja) yang tidak boleh dilampaui dimanapun didalam struktur. Jadi : 12

17 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio Tegangan izin = Tegangan luluh Faktor keamanan..(1.16) Atau, untuk tarik dan geser, masing-masing adalah: σ izin = σ γ n 1 dan..(1.17) τ izin = τ γ n 2..(1.18) Dimana σ γ dan τ γ adalah tegangan luluh dan n 1 dan n 2 adalah faktor keamanan. Dalam desain gedung, faktor keamanan tipikal untuk luluh karena tarik adalah 1,67; jadi baja lunak yang mempunyai tegangan luluh 36 ksi mempunyai tegangan izin 21,6 ksi. Kadang-kadang faktor keamanan diterapkan pada tegangan ultimate, bukannya pada tegangan luluh. Metode ini cocok untuk bahan yang getas, seperti beton dan beberapa jenis plastik, dan untuk tegangan bahan yang tegangan luluhnya tidak terdefinisi dengan jelas, seperti kayu dan baja yang berkekuatan tinggi. Dalam hal ini, tegangan izin tarik dan geser adalah: σ izin = σ u n 3 dan..(1.19) τ izin = τ u n 4..(1.20) Yang mana σ u dan τ u adalah tegangan ultimate (atau kekuatan ultimate). Faktor keamanan terhadap kekuatan ultimate dari suatu bahan biasanya lebih besar daripada yang didasarkan pada kekuatan luluh. Untuk baja lunak, faktor keamanan sebesar 1,67 terhadap luluh sebanding dengan faktor keamanan sebesar kira-kira 2,8 terhadap kekuatan ultimate. Dalam desain pesawat terbang, biasanya digunakan sebutan margin keamanan, bukannya faktor keamanan. Margin keamanan didefinisikan sebagai faktor keamanan dikurangi satu: Margin keamanan = n 1 Margin keamanan sering dinyatakan dalam persen, dimana harga diatas dikalikan dengan 100. Jadi, suatu struktur yang mempunyai kekuatan ultimate 1,75 kali yang dibutuhkan mempunyai faktor keamanan sebesar 1,75 dan margin keamanan sebesar 0,75 (atau 75%). Apabila margin keamanan berkurang menjadi nol atau lebih kecil, maka sruktur itu akan (dapat dianggap ) gagal. 13

18 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio Beban izin Sesudah tegangan izin ditetapkan untuk struktur dan bahan tertentu, beban izin pada strukur dapat ditetapkan. Hubungan antara beban izin dan tegangan izin bergantung pada jenis struktur. Dalam bab ini kita hanya memperhatikan jenis-jenis stuktur yang mendasar saja, yaitu batang yang mengalami tarik atau tekan, dan sendi (atau baut) yang mengalami geser langsung dan tumpu. ada sturktur-struktur tersebut tegangan mempunyai distribusi yang terbagi rata (atau paling tidak dapat diasumsikan terbagi rata) pada suatu area. Sebagai contoh, dalam hal suatu batang yang mengalami tarik, tegangannya mempunyai distribusi terbagi rata di potongan melintang asalkan gaya aksial resultannya bekerja melalui pusat berat penampang. Hal yang sama juga berlaku untuk tekan asalkan batangnya tidak mengalami tekuk. Dalam hal sendi yang mengalami geser, kita hanya meninjau tegangan geser rata-rata dipotongan melintang, yang ekivalen dengan mengasumsikan bahwa tegangan geser mempunyai distribusi terbagi rata. Dengan cara yang sama, kita hanya meninjau harga rata-rata untuk tegangan tumpu yang bekerja diluas proyeksi dari sendi. Dengan demikian, dalam keempat kasus diatas, beban izin (juga beban yang diperbolehkan atau beban aman ) sama dengan tegangan izin dikalikan dengan luas dimana beban tersebut bekerja: Beban izin = (Tegangan izin ) (Luas) (1.21) Untuk batang yang mengalami beban dan tarik langsung (tidak ada tekuk ), persamaan di atas menjadi izin = σ izin A (1.22) Dimana σ izin adalh tegangan normal izin dan A adalah luas penampang batang. Jika batang tersebut mempunyai lubang, maka luas neto biasanya digunakan apabila batang tersebut mengalami tarik. Luas neto adalah luas penampang bruto dikurangi luas yang hilang karena adanya lubang. Untuk tekan, luas bruto dapat digunakan jika lubang tersebut terisi oleh baut atau sendi yang dapat menyalurkan tegangan tekan. Untuk sendi yang mengalami geser langsung, ersamaan menjadi: izin = τ izin A (1.23) Dimana τ izin adalah tegangan geser izin dan A adalah luas dimana tegangan geser bekerja. Jika sendi tersebut mengalami geser tunggal, maka luasnya adalah luas potongan melintang sendi, dan untuk geser ganda,maka luasnya adalah dua kali luas potongan melintang sendi. 14

19 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio Akhirnya, beban izin untuk tumpu adalah: izin = σ b. A b (1.24) Dimana σ b adalah tegangan tumpu izin dan A b adalah luas proyeksi dari se ndi atau permukaan lain dimana tegangan tumpu tersebut bekerja. Contoh berikut ini mengilustrasikan bagaimana beban izin ditentukan jika tegangan izin untuk bahan dikretahui. Contoh Sebuah batang baja yang berfungsi sebagai penggantung dan memikul mesin berat disuatu gedung pabrik terpasang pada suatu tumpuan dengan sambungan yang menggunakan baut seperti yang terlihat pada Gambar 1.6. Bagian utama dari penggantung ini mempunyai penampang persegi panjang dengan lebar b 1 = 1,5 in. Dan tebal t = 0,5 in. Disambungannya, penggantung ini diperbesar hingga lebarnya menjadi b 2 = 30 in. Baut,yang meyalurkan beban dari penggntung kedua plat buhul, mempunyai diameter d = 1,0 in. Tentukan harga yang diizinkan untuk beban tarik di penggantung yang didasarkan atas tinjauan berikut: (a). Tegangan izin di bagian utama dari penggantung adalah psi. (b). Tegangan izin di penggantung di potongan melintang yang melalui baut adalah psi. (Tegangan izin dipotongan tersebut lebih kecil karena adanay konsentrasi tegangan disekitar baut). (c) Tegangan tumpu izin diantara penggantung dan baut adalah psi. (d) Tegangan geser izin dibaut adalah psi. (catatan: Faktor keamanan untuk tarik,tumpu,dan geser telah diperhitungkan dalam menentukan tegangan izin.) Solusi (a ). Mencari tegangan izin 1, digunakan persmaan 2.22, yaitu: 1 = σ izin A = σ izin b 1 t = ( psi)(1,5 in. x 0,5 in. ) = b (b). Mencari tegangan izin 2, digunakan persmaan 2.22, yaitu: 2 = σ izin A = σ izin (b 2 d). t = ( psi)(3,0 in. 1,0 in.)(0,5 in.) = b (c). Mencari tegangan izin 3, digunakan persmaan 2.22, yaitu: 3 = σ b A = σ b dt = (26.000psi)(1,0 in. )(0,5 in. ) = b 15

20 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio Gambar 1.6. enggantung vertikal (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) (d). Mencari tegangan izin 4, digunakan persmaan 2.22, yaitu: 4 = τ izin A = τ izin (2)(πd 2 (1,0 in.)2 /4) = (6.500 psi)(2)( π) 4 4 = b terkecil adalah Dengan membandingkan keempat hasil diatas,kita lihat bahwa harga beban izin = b Beban ini, yang didasarkan atas geser dibaut, merupakan beban tarik izin di penggantung Modulus Bulk Jika sebuah benda mendapat tiga tegangan yang saling tegak lurus, dengan besaran yang sama, rasio tegangan langsung terhadap regangan volumetrik disebut sebagai modulus bulk, dilambangkan dengan K. Secara matematik: (1.25) 1.9. Hubungan Antara Modulus Bulk dengan Modulus Young Misalkan sebuah kubus ABCD A 1B 1C 1D 1 seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.7. Katakan kubus mendapat tiga tegangan tarik yang saling tegak lurus dengan besaran yang sama. jika σ = Tegangan pada permukaan, l = anjang kubus, dan E = Modulus Young untuk material kubus. 16

21 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio Gambar 1.7. Kubus ABCD A 1B 1C 1D 1 Misalkan deformasi pada satu sisi kubus (katakan AB) karena tiga tegangan tarik. sisi ini mengalami regangan-regangan berikut: 1. Tegangan tarik sebesar σ/e karena tegangan pada permukaan BB1 CC 1 dan AA 1 DD Regangan lateral tekan sebesar (1/m) x ( σ/e) karena tegangan pada permukaan AA 1 BB 1 dan DD 1 CC Regangan lateral tekan sebesar (1/m) x ( σ/e) karena tegangan pada permukaan ABCD dan A 1B 1C 1D 1. Sehingga, regangan tarik netto yang dialami oleh sisi AB karena tegangan-tegangan ini: (1.26) (1.27) Substitusikan harga δ/l dari persamaan 1.25: (1.28) Atau Sehingga: atau (1.29) (1.30) (1.31) 17

22 Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio Contoh soal Jika harga modulus elastisitas dan rasio poisson sebuah paduan masing-masing adalah 150 Ga dan 0,25, carilah harga modulus bulk paduan tersebut. Jawab Diketahui: E = 150 Ga = N/mm 2, rasio oisson, 1/m = 0,25 atau m = 4. Modulus bulk paduan, dengan menggunakan persamaan 1.31, diperoleh: Latihan: 1. Jika harga modulus elastisitas dan rasio poisson sebuah paduan masing-masing adalah 200 Ga dan 0,3, carilah harga modulus bulk paduan tersebut? 2. Jika harga modulus elastisitas modulus bulk sebuah paduan masing-masing adalah 200 Ga dan 300 Ga, carilah harga modulus bulk paduan tersebut? 3. Jika harga modulus bulk dan rasio poisson sebuah paduan masing-masing adalah 280 Ga dan 0,15, carilah harga modulus bulk paduan tersebut? 4. Diketahui: K = 250 Ga = N/mm2, rasio oisson, 1/m = 0,25 atau m = 4. Carilah modulus elastisitasnya? 5. Diketahui: modulus bulk= 350 Ga = N/mm2, modulus elastisitas 200 Gpa rasio oisson, 1/m = 0,20 atau. Carilah massa paduan tersebut? 18

23 BAB II DEFLEKSI ADA STRUKTUR 2.1. Deformasi Benda Karena Gaya Yang Bekerja Jika = Beban atau gaya yang bekerja pada benda, l = anjang benda, A = Luas penampang benda, σ = Tegangan yang timbul pada benda, E = Modulus Elastisitas material benda, ε = Regangan, δ = Deformasi benda. Dari persamaan (1.1) dan (1.3) adalah: Tegangan adalah σ = A, dan regangan adalah: ε = σ E Sehingga persamaan regangan menjadi: ε = Rumus deformasi adalah: δ = ε. l A.E.... (2.1).. (2.2) Dengan mensubstitusi persamaan (1.3) ke persamaan (2.2), maka persamaan deformasi menjadi: σ. l.. (2.3) Deformasi adalah δ = E Kemudian subsitusi persamaan (2.2) ke persamaan (2.3), rumus deformasi/defleksi menjadi:. l δ =.. (2.4) A. E Catatan: 1. Rumus di atas baik juga digunakan untuk tekan 2. Untuk sebagian besar material, modulus elastisitas untuk kompresi sama dengan tarikan. 3. Kadang-kadang dalam perhitungan, tegangan dan regangan tarik diberi tanda positif, dan tegangan dan regangan tekan/kompresi diberitanda negatif. Contoh Sebuah batang dari baja dengan panjang 1 m dan penampang 20mm 20 mm mendapat gaya tarik sebesar 40 kn. Carilah perpanjangan batang, jika modulus elastisitas material batang adalah 200 Ga. 19

24 Bab II. Defleksi pada struktur Jawab. Diketahui: panjang (l) = 1 m = mm Luas penampang (A) = = 400 mm2 Gaya tarik () = 40 kn = N Modulus elastisitas (E) = 200 Ga = N/mm 2 Dengan menggunakan persamaan (2.4), maka diperoleh perpanjangan batang: Contoh: δ =. l A. E N mm 2 δ = = 0,5 mm 400 mm N/mm2 Silinder berlobang dengan panjang 2 m mempunyai diameter luar 50 mm dan diameter dalam 30 mm. Jika silinder memikul beban sebesar 25 kn, carilah tegangan pada silinder. Cari juga deformasi yang terjadi pada silinder jika harga modulus elastisitas material silinder adalah 100 Ga. Jawab: Diketahui: panjang (l) = 2 m = mm Diameter luar (D) = 50 mm Diameter dalam (d) = 30 mm beban () = 25 kn = N/mm2 modulus elastisitas (E) = 100 Ga = N/mm 2 Dengan menggunakan persamaan (2.4), maka diperoleh perpanjangan batang: Untuk mencari Luas enampang silinder diperoleh: A = π 4 (D2 d 2 ) = 3,14 4 ( ) = 1257 mm 2 Untuk mencari tegangan pada selinder, kita menggunakan persamaan (1.1), yaitu: σ = A = 25 x 103 N 1257 mm 2 = 19,9 N = 19,9 Ma mm2 Deformasi pada silindera diperoleh dengan menggunakan persamaa (2.4), dalah: 20

25 Bab II. Defleksi pada struktur δ =. l A. E = δ = 25 x 103 N x(2 x 10 3 ) 1257 mm 2 3 = 0,4 mm x 100 x 10 SOAL-SOAL LATIHAN: 1. Sebuah batang baja dengan panjang 2 m dan penampang 150 mm 2 mendapat tarikan aksial sebesar 15 kn. Carilah perpanjangan/elongasibatang. Jika harga E = 200 Ga. (jawab: 1,0 mm). 2. Sebuah batang lurus mempunyai panjang 500 mm dan penampang 500 mm2. Carilah besar beban kompresi dimana panjangnya berkurang 0,2 mm. jika E material 200 Ga. (jawab: 40 kn). 3. Sebuah batang logam paduan dengan panjang 1 mm dan penampang 200 mm2 mendapat gaya tekan sebesar 20 kn. Jika modulus elastisitas paduan 100 Ga, Carilah penurunan panjang batang. (jawab: 0,5 mm) Defleksi ada Batang Akibat Beban Aksial Dalam menentukan perubahan panjang elemen struktur yang dibebani secara aksial, akan lebih mudah kalau dimulai dengan pegas koil (Gambar 2-1). erpanjangan suatu pegas ditunjukkan dalam Gambar 2-2, dimana bagian atas dari gambar menunjukkan pegas pada saat panjangnya merupakan panjang alami L (juga disebut panjang tak bertegangan,panjang rileks,atau panjang bebas), dan bagian bawah dari gambar menunjukkan efek penerapan beban tarik. Akibat aksi gaya, pegas tersebut memanjang sebesar δ dan panjang akhirnya menjadi L + δ. Jika bahan dari pegas tersebut elastis linier, maka beban dan perpanjangan akan sebanding: = k. δ.( 2.5) δ = f..( 2.6) Dimana k dan f adalah konstanta proporsionalitas. Konstanta k disebut kekakuan pegas dan didefinisikan sebagai gaya yang menghasilkan perpanjangan satuan, artinya k = /δ. Dengan cara sama, konstanta f disebut fleksibilitas dan didefinisikan sebagai perpanjangan yang dihasilkan oleh beban sebesar satu,artinya f = δ/.meskipun dalam 21

26 Bab II. Defleksi pada struktur pembahasan ini kita menggunakan pegas tersebut untuk tarik, jelaslah bahwa persamaan (2-5) dan (2-6) juga berlaku pada pegas yang mengalami tekan. Dari pembahasan diatas, jelas bahwa kekakuan dan fleksibilitas pegas merupakan kebalikan satu sama lainnya: k = 1 f f = 1 k.( 2.7) Fleksibilitas pegas dapat dengan mudah ditentukan dengan mengukur perpanjangan yang dihasilkan dengan beban yang diketahui, dan kekakuan dapat dihitung dari persamaan (2-7). Sebutan lain untuk kekakuan dan fleksibilitas suatu pegas masing-masing adalah konstanta pegas dan kesesuaian pegas. Gambar 2.1. (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) Gambar 2.2. (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) 22

27 Bab II. Defleksi pada struktur Batang prismatis L L δ (a) (b) Gambar 2.3. Batangrismatik (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) Batang prismatis adalah elemen struktur yang mempunyai sumbu longitudinal lurus dan penampang konstan diseluruh panjangnya. Meskipun kita sering menggunakan batang berpenampang lingkaran didalam ilustrasi, kita harus ingat bahwa elemen struktur mungkin mempunyai penampamng yang bukan lingkaran seperti terlihat dalam Gambar 2.3a. erpanjangan δ pada suatu batang prismatis yang mengalami beban tarik terlihat dalam Gambar 2.3b. Jika beban bekerja melaluipusat berat penampang ujung,maka tegangan normal terbagi rata dipenampang yang jauh dari ujung dapat dinyatakan dengan rumus σ = /A, dimana A adalah luas penampang. Selain itu, jika batang tersebut terbuat dari bahan yang homogen, maka regangan aksialnya adalah ε = δ/l, dimana δ adalah perpanjangan dan L adalah panjang batang. Asumsikan bahwa bahannya elastis linier yang berarti bahwa hukum Hooke berlaku. Selanjutnya, tegangan dan regangan longitudinal dapat dihubungkan dengan persamaan σ = E. ε, dimana E adalah modulus elastisitas. Dengan menggabungkan hubungan-hubungan dasar ini, maka kita dapat menghitung perpanjangan batang dengan menggunakan persamaan (2.4). ersamaan ini menunjukkan bahwa perpanjangan berbanding langsung dengan beban dan panjang L dan berbanding terbalik dengan modulus elastisitas E serta luas penampang A. Hasil kali EA dikenal sebagai rigiditas aksial suatu batang. Meskipun persamaan (2.4) diturunkan untuk elemen struktur yang mengalami tarik, namun persamaan tersebut berlaku juga untuk elemen struktur yang mengalami tekan,dimana δ menunujukkan perpendekan batang. Biasanya kita dapat mengetahui dengan cepat apakah suatu elemen struktur menjadi lebih panjang atau lebih pendek; namun ada kalanya dibutuhkan perjanjian tanda (misalnya, untuk menganalisis batang 23

28 Bab II. Defleksi pada struktur statis tak tentu). Dalam hal sepeti itu, perpanjangan biasanya bertanda positif dan perpendekan bertanda nergatif. Kekakuan dan fleksibilitas suatu batang prismatis didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada pegas. Kekakuan adalah gaya yang dibutuhkan untuk menghasilkan perpanjangan satuan, atau δ, dan fleksibilitas adalah perpanjangan akibat beban satuan, atau δ/. Jadi dari persamaan (2-4), kita lihat bahwa kekakuan dan flesiksibilitas suatu batang prismatis masing-masing adalah : k = EA L f = L EA.( 2.8.a,b) Kekakuan dan fleksibilitas suatu elemen struktural, termasuk yang diberikan dengan persamaan (2-8b),mempunyai peran khusus dalam analisis struktur besar dengan menggunakan metode yang berorientasi komputer. Kabel Kabel terbuat dari sejumlah besar kawat yang dijalin secar teratur. Luas penampang kabel sama dengan luas penampang total masing-masing kawat, yang disebut luas efektif atau luas metalik. Luas ini lebih kecil daripada luas lingkaran yang mempunyai diameter yang sama dengan kabel karena ada ruang masing-masing kawat. Sebagai contoh, luas penampang aktual (luas efektif) suatu kabel yang berdiameter 1,0 in hanyalah 0,471 in 2, sedangkan luas lingkaran yang berdiameter 1,0 in. adalah 0,785 in 2. Contoh Sebuah rangka kaku ABCyang berbentuk L terdiri atas batang horizontal AB (panjang b = 11,0 in) dan batang vertikal BC (panjang c = 9,5 in) ditahan dititik B, seperti terlihat dalam Gambar 2.4a.Titik B tersebut terhubung pada rangka luar BCD yang terletak diatas bangku labolatorium. osisi penunjuk di C dikontrol pada sebuah pegas (kekakuan k = 4,2 1b/in.) yang terpasang pada batnag berulir dapat disesuaikan dengan cara memutar mur.itch pada uliran (yaitu jarak dari suatu ulir ke ulir berikutnya ) adalah p = 1/16 in, yang berarti bahwa satu putaran penuh dari mur akan menggerakkan batang sama besarnya. ada awalnya, mur diputar hingga penunjuk diujung batang BC tepat berada diatas tanda referensi rangka luar. Jika suatu benda yang beratnya W = 2 1b diletakkan pada penggantung di A,beraspa putaran mur yang dibutuhkan untuk membawa penunjuk kembali ke 24

29 Bab II. Defleksi pada struktur posisi.tanda? (Deformasi bagian-bagian metal dapat diabaikan karena biasanya kecil dibandingkan perubahan panjang pegas.) Solusi Gambar 2.4. Rangka Stuktur ABC (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) emeriksaan alat ini menunjukkan bahwa bobot W yang bekerja kebawah akan menyebabkan penunjuk C bergerak kekanan. Apabila penunjuk bergerak kekanan, maka pegas akan memanjang sejauh tertentu yang dapat dihitung dari gaya F yang bekerja dipegas. Gaya F dapat dihitung dari diagram benda bebas rangka dalam Gambar 2.4b. erhatikan bahwa reaksi dititik B ditunjukkan dengan garis panah yang dicoret. Dengan mengambil momen terhadap titik B, F = Wb c erpanjangan δ yang berkaitan dengan gaya tersebut (dari ersamaan 2-5) adalah: δ = F k = Wb ck Untuk mengembalikan penunjuk keposisi tanda, kita harus memutarkan mur agar batang berulir gapat bergerak ke kiri sedemikian hingga besarnya gerakan sama dengan perpanjangan pegas. Karena setiap satu putaran mur menggerakkan batang sejauh b sama dengan pitch p, maka gerakan total batang akan sama dengan np, dimana n adalah banyak putaran. Jadi np = δ = Wb ck Sehingga kita mendapatkan rumus untuk banyaknya putaran mur: 25

30 Bab II. Defleksi pada struktur n = Wb ckp Untuk mendapatkan hasil numerik, kita memasukkan data yang ada kedalam persamaan, sebagai berikut: n = Wb ckp = (2 1b)(11,0in. ) (9,5 in. )(4,2 1b/in. )(1/16in. ) = 8,8 putaran Hasil ini menunjukkan bahwa kita memutar mur sampai 8,8 putaran, maka batang berulir akan bergerak ke kiri sejauh sama dengan perpanjangan pegas yang diakibatkan oleh beban 2.2, sehingga mengembalikan penunjuk ke tanda referensi. Contoh Suatu struktur yang terlihat dalam Gambar 2.5a terdiri atas balok horizontal ABC yang ditumpu oleh dua batang vertikal BD dan CE. Batang CE mempunyai sendi di kedua ujungnya tetapi batang BD adalah jepit di pondasi di ujung bawahnya.jarak dari A ke B adalah 450 mm dan dari B ke C adalah 225 mm. Batang BD dan CE mempuyai panjang masing-masing 480 mm dan 600 mm. Batang-batang ini terbuat dari baja yang mempnyai modulus elastisitas E = 205 Gpa. Dengan mengasumsikan bahwa balok ABC adalah kaku,carilah beban izin maksimum maks jika peralihan di titik A dibatasi 1,0 mm. Gambar 2.5. Balok Horizontal ABC (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) Solusi. Untuk mencari peraliha titik A, kita perlu mengetahui peralihan titik B dan C. Dengan demikian, kita harus mencari perubahan panjang batang BD dan CE, dengan menggunakan persamaan umum δ = L/EA (persamaan 2-4). Kita mulai dengan 26

31 Bab II. Defleksi pada struktur mencari gaya-gaya dibatang dari diagram benda bebas (Gambar 2-5b). Karena batang CE mempunyai sendi di kedua ujungnya, maka ini merupakan elemen dua-gaya dan hanya menyalurkan gaya vertikal F CE ke balok. Sedangkan batang BD dapat menyalurkan baik gaya vertikal maupun gaya horizontal. Dari keseimbangan balok horizontal,kita melihat bahwa gaya-gaya horizontal haruslah nol. ABC di arah Dua persamaan keseimbangan lainnya memungkinkan kita menyatakan gaya F BD dan F CE dalam beban. Jadi,dengan mengambil momen terhadap titik B dan menjumlahkan gaya-gaya dalam arah vertikal, maka kita dapatkan F CE = 2F BD = 3 erhatikan bahwa gaya F CE bekerja kebawah di batang ABC dan gaya F BD bekerja ke atas. Dengan demikan, elemen struktur CE mengalami tarik dan elemen struktur BD mengaami tekan. erpendekan elemen BD adalah δ BD = δ BD = F BDL BD EA BD ( 3 )(480mm) (205Ga)(1020 mm 2 ) = 6,887 x 10 6 mm( = newton ) erhatikan bahwa perpendekkan δ BD dinyatakan dalam mm asalkan beban dinyatakan dalam newton. Dengan cara sama, perpanjangan elemen CE adalah: δ CE = δ CE = F CEL CE EA CE ( 2 )(600mm) (205Ga)(520 mm 2 ) = 11,26 x 10 6 mm( = newton ) eralihan disini pun dinyatakan dalam mm asalkan beban dinyatakan dalam newton. Dengan diketahuinya perubahan panjang kedua batang, maka kita dapat mencari peralihan di titik A. Diagram peralihan yang menunjukkan posisi relatif titik A, B, dan C ditunjukkan dalam Gambar 2-5c. Garis ABC menunjukkan posisi awal ketiga titik. Sesudah beban dikerjakan, elemen BD memendek sebesar δ BD dan titik B bergerak ke B. Selain itu, elemen CE memanjang sebesar δ CE. dan titik C bergerak C. Karena balok ABC diasumsikan baku, maka titik A, B,dan C terletak pada sebuah garis lurus. Agar lebih jelas, semua peraliha digambar dengan sangat dibesarkan. pada kenyataanya garis ABC berotasi dengan sudut yang sangat kecil ke posisi baru A B C. 27

32 Bab II. Defleksi pada struktur Dengan menggunakan segitiga yang sama, kita sekarang dapat mencari hubungan antara peralihan di titik A, B,dan C. Dari segitiga A A C dan B B C kita peroleh: A A A C = B B B C atau δ A + δ CE = δ BD + δ CE 225 Dimana semua suku dinyatakan dalam mm. Dengan memasukkan δ BD dan δ CE dari persamaan (f) dan (g) didapatkan: δ A + 11,26 X = 6,887 X ,26 X Akhirnya, kita subtitusikan δ A dengan harga batas sebesar 1,0 mm dan kita pecahkan persamaan tersebut untuk mendapatkan beban. Hasilnya adalah: = maks = N (atau 23,2 kn) Apabila beban mencapai harga ini, maka peralihan ke bawah titik A adalah 1,0 mm. Catatan 2 : Untuk menyelidiki kebenaran bahwa garis ABC berotasi dengan sudut yang sangat kecil, kita dapat menghitung sudut rotasi α dari diagram peralihan (Gambar 2-5c) sebagai berikut: tan α = A A = δ A+ δ CE A C 675 mm eralihan δ A titik A adalah 1,0 mm, dan perpanjangan δ CE batang CE didapat dari (g) dengan memasukkan = N; hasilnya adalah δ CE = 0,261mm. Dengan demikian, dari persamaan (i) kita peroleh: tan α = 1,0 mm+0,261 mm 675 mm = 1,261 mm 675 mm = 0, Di mana α = 0,11. Sudut ini sedemikian kecilnya sehinga jika kita mencoba untuk menggambar diagram peralihan dengan skala, kita tidak dapat membedakan antara garis semula ABC dan garis yang telah berotasi A B C. Jadi, dalam bekerja dengan diagram peralihan, kita biasanya dapat memandang peralihan sebagai besaran yang sangat kecil sehingga dapat menyederhanakan geometri. Dalam contoh ini, kita dapat mengasumsikan bahwa titik A, B, dan C bergerak hanya dalam arah vertikal, sedangkan jika peralihan sangat besar, maka kita mungkin harus memandang titik tersebut bergerak pada alur yang lengkung Defleksi ada Struktur Statis Tak Tentu egas, batang, dan kabel yang kita bahas sejauh ini mempunyai kondisi penting yang sama-reaksi dan gaya-gaya internalnya dapat ditentukan cukup dengan meggunakan 28

33 Bab II. Defleksi pada struktur diagram benda bebas dan persamaan keseimbangan. Jenis sturktur seperti ini disebut statis tertentu. Kebanyakan struktur lebih rumit dari pada batang yang ada pada Gambar 2-6., dan reaksi serta gaya internalnya tidak dapat diperoleh dengan seketika saja. Situasi ini digambarkan dalam Gambar 2-7, yang menunjukkan sebuah batang AB yang terjepit dikedua ujung. Sekarang ada dua reaksi vertical (R A dan R B ) tetapi hanya satu persamaan keseimbangan yang dapat digunakan, yaitu persamaan yang menjumlahakan gaya-gaya dalam arah vertikal. Karena persamaan ini mengandung dua anu, maka persamaan tersebut tidak cukup untuk mencari reaksi. Struktur seperti ini dikelompokkan ke dalam struktur statis tak tentu. Untuk menganalisis struktur seperti ini kita harus melengkapi persamaan keseimbangan dengan persamaan tambahan yang berkaitan dengan peralihan sturktur. Untuk melihat bagaimana struktur statis tak tentu. Dianalisis, tinjaulah contoh dalam Gambar 2-8a. Batang prismatis AB terjepit di tumpuan kaku di kedua ujungnya dan secara aksial dibebani di titik tengah C. Sebagaimana telah diuraikan sebelumnya, R A dan R B tidak dapat diperoleh dari statika saja karena hanya ada satu persamaan keseimbangan: R A A B R B Gambar 2.6. Batang StatisTentu (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) 29

34 Bab II. Defleksi pada struktur R A A B R B Gambar 2.7. Batang Statis Tak Tentu (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) R A R A A a A a C C L L b b B B (a) R B (b) R B Gambar 2.8. Batang Statis Tak Tentu (sumber: Gere & Temoshenco, 2000) Σ F vert = 0R A + R B = 0 (a) ersamaan tambahan diperlukan untuk memecahkan kedua reaksi yang belum diketahui tersebut. 30

35 Bab II. Defleksi pada struktur ersamaan tanmbahan dimaksud didasarkan atas pengamatan bahwa sebuah batang dengan kedua ujungnya terjepit tidak berubah panjangnya. Jika kita memisahkan batang tersebut dari tumpuannya (Gambar 2-8b), Kita dapatkan bahwa batang tersebut bebas di kedua ujungnya dan dibebani oleh tiga gaya, R A, R B, dan. Ketiga gaya ini menyebabkan batang tersebut berubah panjang sebesarδ AB, yang harus sama dengan nol: δ AB = 0 ersamaanini, yang disebut persamaan keserasian, (kompatibilitas), menunjukkan fakta bahwa perubahan panjang batang harus serasi dengan kondisi tumpuan. Untuk memecahkan persamaan (a) dan (b), kita harus menyatakan persamaan keserasian dalam gaya yang belumdiketahuir A dan R B. Hubungan Antara gaya-gaya yang bekerja di batang dan perubahan panjang dikenal dengan hubungan gaya-peralihan. Hubungan ini mempunyai berbagai bentuk bergantung pada besaran bahan. Jika bahan tersebut bersifatelastis linier, maka persamaan δ = L/EA dapat digunakan memperoleh hubungan gaya-peralihan. Asumsikan bahwa batang dalam Gambar 2-8 mempunyai luas penampanga dan terbuat dari bahan dengan modulus E. Selanjutnya, perubahan panjang segmen atas dan bawah batang masing-masing adalah δ AC = R Aa EA δ CB = R Bb EA (b) (c,d) Dimana tanda minus menunjukkan perpendekan batang. Hubungan gaya peralihan sekarang digabungkan agar menghasilkan perubahan panjang keseluruha batang: δ AB = δ AC + δ CB = R Aa EA R Bb EA Jadi, persamaan keserasian (persamaan b) menjadi: Yang mengandung kedua reaksi sebagai anu. R A a EA R Bb EA = 0 (e) Langkah terakhir untuk menganalisis batang statis tak tentu adalah dengan memecahkan secara simultan persamaan keseimbangan (persamaan a) dan persamaan keserasian (persamaan e). Hasilnya adalah: R A = b L R B = a L Dengan diketahuinya reaksi, maka semua gaya dan perilihan dapat ditentukan. Sebagai contoh, misalkan kita ingin mencari peralihan ke bawah δ C titik C. eralihan ini sama dengan.. (2.9a,b) 31

36 Bab II. Defleksi pada struktur δ C = δ AC = R Aa EA = ab LEA Juga, kita dapat memperoleh di kedua segmen bantang secara langsung dari gaya aksial internal δ AC = R A a = b/al). Dalam literature teknik, berbagai sebutan digunakan untuk kondisi yang dinyatakan dengan keseimbangan, keserasian, dan persamaan gaya peralihan. ersamaan keseimbangan juga dikenal dengan persamaan statika atau kinetik; persamaan keserasian kadang-kadang disebut persamaan geometris, persamaan kinematis, atau persamaan deformasi konsisten; dan hubungangaya-peralihan sering disebut hubungan konstitutif (karena hubungan ini berkaitan dengan konstitusi, atau besaran titik bahan )... (2.10) Contoh soal 1 Lihat sebuah batang pada gambar 2.9, yang memiliki luas penampang konstan di titi A dan dengan panjang L. tentukan perpanjangan relatif pada ujung A dengan dengan psosisi titik B tetap. Jika beban diberikan sebesar. tentukan perubahan panjang (defleksi) pada ujung yang bebas yang diakibatkan konsentrasi penggunaan gaya. modulus elastisitas adalah E. L C C x = dx x Gambar 2.9. contoh soal 1 (sumber: E. opov, 1981) Jawab ada persoalan ini berat batang diasumsikan diabaikan, dan hanya perubahan panjang yang dipengaruhi oleh gaya yang diterapkan. Misalkan enampang C-C adalah dibuat melalui batang. Untuk mencari perubahan panjang pada kasus ini kita integralkan persamaan (2.4) menjadi persamaan (1.10).. 32

37 Bab II. Defleksi pada struktur B δ = xd x = L A x E AE dx = AE x o L A 0 = L AE. (2.10) Contoh soal 2 Tentukan perubahan relatatif dari point A dan D dari batang baja dengan luar penamapnag bervariasi seperti pada gambar dengan konsentrasi 4 gaya yang diberikan 1, 2, 3, dan 4. Dan E= 200 x 10 6 kn/m 2 enyelesaian. Diagram Benda Bebas batang tidak seragam Gambar Contoh soal 2 (sumber: E. opov, 1981) 33

38 Bab II. Defleksi pada struktur Langkah awal dalam menyelesaikan persoalan ini adalah pertama harus dicek terlebih dahulu seluruh batang daya dalam keadaan keseimbangan, F = 0, selanjutnya variasi x sepanjang batang harus dikaji, ini dapat diatasi dengan metode potong seperti pada gambar DBB di atas. Dari gambar potongan c 1-c 1 diperoleh gaya AB= +100 kn, potongan c 2-c 2 diperoleh gaya BC = -150 kn, dan potongan c 3-c 3 diperoleh gaya CD = +50 kn. Langakah selanjutnya adalah menghitung besarnya defleksi yang terjadi akibat pemberian gaya pada tiap-tiap bagian, dengan menggunakan persamaan (2.10), dapa kita turunkan menjadi persamaan berikut adalah: D δ = B xd x = C ABd x + D BCd x + CDd x A x E A AB E A BC E A CD E A A Ini adalah rumus intergrasi untuk menyelesaikan permasalahan pembebanan pada sturktur yang luas penampang yang berbeda-beda. adalah: Jadi besarnya nilai perubahan panjang, dengan meggunakan persamaan (2.11), δ = L AE = + (100)(2) (0001)(200 x10 6 ) (150)(1) (0002)(200 x10 6 ) + (50)(1,5) (0001)(200 x10 6 ) δ = +0,001 0, , = +0,001 m = +1 mm B C. (2.11) Contoh soal 3 Sebuah kawat baja berdiameter 6 mm digunakan untuk menopang suatu konstruksi, jika kawat sepanjang 150 mm digantung vertikal dan beban 1 kn, carilah total perpanjangan kawat yang terjadi. Diketahui berat kawat adalah 7.7 x 10 4 Nm -3 dan E = 200 GNm -2. Jawab Untuk mencari perpanjangan kawat yang disebabkan oleh beban dapat digunakan persamaan (2.4) sebagai berikut: erpanjangan yang disebabkan oleh berat kawat, adalah: 34

39 Bab II. Defleksi pada struktur Latihan Soal-soal mm 500 mm 150 mm Steel bar 50 x 50 Aluminium bar 100 x 100 Sebuah bar yang terdiri dari bahan batang baja dan batang aluminim dikenai beban tekan yang akan mengakibatkan total panjang kedua batang tersebut mengalami pemendekan sebesar 0,25 mm. Asumsi distribusi tegangan normal melalui luas penampang yang seragam dan batang-batang tersebut terhindar dari tekukan (buckling). Hitung besar gaya yang diberikan jika E St= 200 Ga, dan E Al= 70 Ga. Dan plot diagram defleksi aksialnya. 2. 1,5 m 1,5 m B 50 mm A 40 kn Sebuah bar baja seperti yang terlihat pada gambar yang dipotong dari baja dengan ketebalan 25mm dilas diujung atas. Cari defleksi pada ujung A yang diakibatkan oleh beban B sebesar 40 kn. jika E St= 200 GN/m 2 4. Sebuah batangan baja mendapatkan gaya seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Carilah total pertambahan panjang yang terjadi jika modulus elastisitas 200GN/m2. 5. Sebuah batang prismatik dengan penampang berbentuk empat persegi panjang (20 x 40 mm) dan panjang 2.8 m dikenakan suatu gaya tarik aksial 70 kn. emanjangan yang dialami batang adalah 1.2 mm. Hitunglah tegangan dan regangan tarik dalam batang. 35