PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL LÉVY DAN MODEL BLACK-SCHOLES EDY SISWANTO

Transkripsi

1 PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL LÉVY DAN MODEL BLACK-SCHOLES EDY SISWANTO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

2 ABSTRAK EDY SISWANTO. Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model Lévy dan Model Black- Scholes. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan I GUSTI PUTU PURNABA. Saham dapat menghasilkan keuntungan yang tinggi. Tetapi, saham juga memiliki risiko yang tinggi pula, karena harga saham berfluktuasi seiring dengan bertambahnya waktu. Oleh karena itu, diperlukan model yang tepat untuk menduga harga saham yang akan datang. Di dalam karya ilmiah ini, model Lévy dibandingkan dengan model Black-Scholes untuk menduga harga saham Bank of America Corporation. Akibatnya, dapat disimpulkan bahwa model Black-Scholes lebih tepat dari pada model Lévy. Kata kunci : Harga saham, model Lévy, model Black-Scholes.

3 ABSTRACT EDY SISWANTO. Modeling Stock Prices Use the Model of Lévy and Model Black-Scholes. Guided by RETNO BUDIARTI and I GUSTI PUTU PURNABA. Stock may produce high profits. However, it has a high risk as well, because the stock prices fluctuate over time. Therefore, a model is required to estimate the future stock prices accurately. In this paper, Lévy model is compared to Black-Scholes model in estimating the stock price at Bank of America Corporation. As a result, it is concluded that the Black-Scholes model is more accurate than Lévy model. Keywords: Stock price, Lévy model, Black-Scholes model.

4 PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL LÉVY DAN MODEL BLACK-SCHOLES EDY SISWANTO Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

5 Judul Skripsi Nama NIM : Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes : Edy Siswanto : G Disetujui Pembimbing I Pembimbing II Ir. Retno Budiarti, MS NIP Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA NIP Diketahui Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP Tanggal Lulus :...

6 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari peran berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta: Ibu (terima kasih atas dukungan, doa, semangat, kesabaran); Ayah (terima kasih atas doanya, atas kesabarannya selama ini untuk mendukung dan menunggu kelulusan saya); serta kepada adik, nenek, paman, bibi, dan yang lainnya (terima kasih atas semangatnya dan dukungannya). 2. Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing 1 (terima kasih atas kesabarannya, ilmunya, bimbingannya, dan semuanya). 3. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen pembimbing 2 (terima kasih atas bimbingan dan dukungan semangatnya, semua koreksi-koreksinya sehingga dapat menyempurnakan karya ilmiah ini). 4. Segenap dosen Departemen Matematika yang tidak bisa saya sebutkan satu-satu. Terima kasih atas ilmunya. 5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Bu Susi, dan lain-lain (terima kasih atas bantuannya). 6. Sahabat-sahabat terbaikku. Sahabat sekelas ku. Maaf jika sudah membuat kalian tidak enak hati. Tetap semangat dan selalu jalin silaturahim yang baik. 7. Sahabat yang dulu pernah sekamar: Adit, Kak Kindi, Mas Okta, Kak Aris, Akhi Ganteng, dauble Aziz, dan sahabat-sahabat seperjuangan di Asrama Al-Hurriyyah. Terima kasih atas dukungannya, lingkungan orang-orang yang beriman, insya Allah. 8. Terkhusus untuk sahabat satu angkatan di asrama Abdul Basir dan Zay. Kalian luar biasa inspiratif. 9. Untuk sahabatku yang telah lebih mendahului menghadap kapada-nya, Dika Alif Utama. Engkau sahabat terbaik, semoga Allah memberikan tempat yang terbaik disisi-nya. 10. Untuk sahabat-sahabat di SDM Al-Hurriyyah 2012: Eko, Ego, Tika, Titi, Ines, Leli, Silvi, dan Puput. Tim 9 yang luar biasa tangguh membina adik-adik angkatan 46, 47, dan 48 yang jumlahnya sekitar 160 orang. 11. Adik-adik pengurus Puskomnas FSLDK Indonesia, tetap semangat. Target Indonesia madani yakin akan terwujud karena kita mampu untuk mewujudkannya. 12. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik materiil maupun moril. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, April 2013 Edy Siswanto

7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Lampung pada tanggal 13 Agustus 1990 dari bapak Sukoto dan ibu Parjiyem. Penulis memulai mengenyam pendidikan formal di SD Negeri 04 Penagan Ratu Lampung Utara lulus pada tahun Kemudian melanjutkan sekolah di SMP Negeri 6 Kota Metro lulus pada tahun Kemudian melanjutkan lagi di SMA Negeri 3 Kota Metro lulus pada tahun Setelah lulus SMA penulis melanjutkan kuliah di Institut Pertanian Bogor (IPB) Departemen Matematika masuk pada tahun 2008 melalui jalur USMI. Selama di kampus, penulis pernah menjadi asisten untuk mata kuliah kalkulus II. Penulis juga aktif di berbagai organisasi dan kepanitiaan. Organisasi yang pernah diikuti oleh penulis di antaranya: Dewan Mushola Asrama TPB sebagai Ketua Mushola C2, Himpro Gumatika sebagai Staf PSDM, LDK Al-Hurriyyah sebagai Ketua Departeman Hubungan Luar dan Ketua SDM, dan Forum Silaturahim Lembaga Dakwah Kampus Indonesia (FSLDK Indonesia) sebagai Ketua Komisi Isu dan Koordinator FSLDK Indonesia. Kepanitiaan yang pernah diikuti diantaranya kepanitiaan MPKMB 2009 sebagai pendamping, Open House 2009 IPB sebagai Ketua PDD.

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR LAMPIRAN... ix I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penulisan Sistematika Penulisan... 1 II LANDASAN TEORI Berbagai Definisi Gerak Brown Martingale Proses Lévy Model Black-Scholes Mean Absolute Percentage Error (MAPE)... 5 III PEMBAHASAN Data Simulasi Model Lévy Model Black-Scholes Analisis Ketepatan Pemodelan Model Lévy dan Model Black-Scholes IV SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 13

9 DAFTAR GAMBAR 1 Grafik Garis Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember Plot Normal Q-Q Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Black-Scholes Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy, Model Black-Scholes, dan Harga Saham Aktual dari Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret DAFTAR LAMPIRAN 1 Tabel Penutupan Harga Saham dan Return Bank of America Corporation Uji Normalitas Data Penutupan Harga Saham Bank of American Corporation dengan Kolmogorov-Smirnov Hasil Analisis Data menggunakan Perangkat Lunak Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Black-Scholes Tabel Perbandingan Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes... 23

10 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Saham merupakan surat bukti kepemilikan atas aset-aset perusahaan yang menerbitkan saham (Tandelilin 2001). Saham memberikan bukti kepemilikan atas perusahaan sehingga para pemegang saham berhak menentukan arah kebijakan perusahaan lewat Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS). Sebaliknya, pemegang saham pun turut menanggung risiko sebesar proporsional dengan banyaknya saham yang dimiliki apabila perusahaan tersebut bangkrut. Derajat kepemilikan seseorang di dalam suatu perusahaan tercermin dari sedikit banyaknya lembar saham yang dimiliki. Semakin banyak lembar yang dimiliki maka akan semakin besar derajat kepemilikan atas perusahaan tersebut. Perkembangan Bursa Efek Indonesia (BEI) menunjukkan bahwa saham semakin banyak peminatnya. Awalnya wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan siapa pemiliknya. Beberapa tahun yang lalu sistem tanpa warkat sudah diberlakukan di Bursa Efek Jakarta (saat ini berubah menjadi Bursa Efek Indonesia) dimana bentuk kepemilikan tidak lagi berupa lembaran saham yang diberi nama pemiliknya tapi sudah berupa account atas nama pemilik atau saham tanpa warkat. Jadi penyelesaian transaksi akan semakin cepat dan mudah karena tidak melalui surat, formulir, dan prosedur yang berbelit-belit. Saham ini diharapkan bisa menjadi alternatif penghimpunan dana selain sistem perbankan. Dengan menjual saham kepada publik, perusahaan dapat menghimpun dana dari masyarakat, adapun tujuan penggunaan dananya dapat untuk ekspansi, memperbaiki struktur permodalan, pengalihan pemegang saham (divestasi) dan lain-lainnya. Perubahan harga saham dari waktu ke waktu sangat berpengaruh bagi para pemegang saham. Realisasinya harga saham berfluktuasi dari waktu ke waktu. Oleh karena itu, diperlukan model harga saham untuk meramalkan harga saham untuk meminimumkan risiko di masa yang akan datang. Oleh karena itu, perlu dicari model yang tepat dalam meramalkan harga saham tersebut, agar para pemegang saham dapat mengoptimalkan keuntungan dan meminimumkan risiko yang ada. Untuk meminimumkan risiko yang dihadapi para pemegang saham, beberapa ahli telah banyak melakukan penelitian untuk mendapatkan model yang dapat meramalkan harga saham yang sesuai dengan harga saham aktual. Di antara penelitian yang telah dilakukan adalah penelitian oleh Fisher Black dan Myron Scholes tahun 1973 yang menghasilkan model Black-Scholes dan penelitian yang dilakukan oleh Paul Pierre Lévy tahun 1913 yang menghasilkan model Lévy. Model Black-Scholes dan model Lévy digunakan untuk meramalkan penutupan harga saham Bank of America Corporation yang akan datang. Dari hasil peramalan kedua model akan dibandingkan untuk mengetahui model yang lebih tepat dalam meramalkan harga saham Bank of America Corporation yang akan datang, sehingga risiko yang akan ditanggung oleh pemegang saham dapat diminimumkan. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Memodelkan penutupan harga saham menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes. 2. Mengetahui ketepatan model Lévy dan model Black-Scholes dalam meramalkan penutupan harga saham. 1.3 Sistematika Penulisan Pada Bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pemodelan Harga saham menggunakan model Lévy dan model Black- Scholes sekaligus melihat ketepatan model Lévy dan model Black-Scholes dalam meramalkan penutupan harga saham yang akan datang dibahas pada Bab tiga. Pada Bab empat dipaparkan simpulan dan saran dari karya ilmiah ini.

11 II LANDASAN TEORI 2.1 Berbagai Definisi Pada bagian ini akan dijelaskan berbagai definisi yang digunakan dalam makalah ini. Percobaan Acak Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. (Ross 2003) Ruang Contoh Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Medan Medan adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh, yang memenuhi kondisi berikut : 1., 2. Jika maka, 3. Jika maka. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Peubah Acak Suatu peubah acak (random variable) adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa * ( ) +, untuk setiap, dengan adalah sebuah medan σ dari suatu ruang contoh. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi [0,1] yang dinyatakan sebagai ( ) ( ). (Grimmett dan Stirzaker 1992) Fungsi Kepekatan Peluang Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebaran ( ) ( ) dapat diekspresikan sebagai ( ) ( ) untuk suatu fungsi : [0, ] yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut juga fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X. (Grimmett dan stirzaker 1992) Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang adalah ( ) ( ) asal integralnya ada. (Grimmett dan stirzaker 1992) Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu Misalnya X adalah peubah acak kontinu dengan ( ) adalah nilai harapan dari X, dengan fungsi kepekatan peluang ƒ X. Simpangan baku (standard deviation) dan ragam (variance) dari X dinotasikan dengan dan Var ( ) sama dengan dan Var X = [(X μ) 2 ] = ( ) ( ),( ) - (Ghahramani 2005) Fungsi Massa Peluang Fungsi massa peluang dari peubah acak dengan himpunan nilai yang mungkin * + adalah fungsi dari ke yang memenuhi sifat-sifat berikut: 1. ( ) jika * +,

12 3 2. ( ) ( ) dan karenanya ( ) ( ), 3. ( ) (Ghahramani 2005) Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang, maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan ( ), adalah, - ( ) Beberapa sifat dari nilai harapan 1. Jika k suatu konstanta, maka, Jika k suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka, -, -, -. Secara umum, jika adalah konstanta dan adalah peubah acak, maka, -, -, -, -. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Ragam dan Standar Deviasi Peubah Acak Diskret Ragam dari peubah acak diskret X didefinisikan sebagai berikut ( ),(, -) -, - (, -) (, -) ( ) Sedangkan untuk standar deviasi dari peubah acak diskret X didefinisikan sebagai berikut ( ) (Grimmett dan Stirzaker 1992) Sebaran Normal Misalkan diberikan peubah acak X. Peubah acak X dikatakan menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ 2 jika X memiliki fungsi kepekatan peluang (probability density function) sebagai berikut: ( ) ( ) ; Sebaran normal yang memiliki nilai rata-rata 0, dan ragam 1 disebut sebaran normal baku. Peubah acak Z yang menyebar normal baku memiliki fungsi kepekatan peluang ( ) ; (Grimmett dan Stirzaker 1992) Sebaran Poisson Peubah acak X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan Poisson disebut peubah acak Poisson, dan sebaran peluangnya disebut sebaran Poisson. Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu adalah ( ), untuk x = 0, 1, 2,... sedangkan dalam hal ini adalah rata-rata hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan, dan 2, Ruang State Misalkan S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Proses Stokastik Proses stokastik didefinisikan sebagai barisan peubah acak * + dengan T adalah himpunan parameter waktu. Jika T adalah himpunan tercacah seperti T = {1,2,...}, maka proses stokastik * + dikatakan sebagai proses stokastik diskret. Jika T adalah suatu interval seperti * + atau * + maka proses stokastik * + dikatakan sebagai proses stokastik kontinu. Rantai Markov Proses stokastik * + dikatakan rantai Markov jika memenuhi persamaan berikut

13 4 ( ) ( ) untuk semua n 1 dan. (Grimmet dan Stirzaker 1992) Proses Pencacahan Suatu proses stokastik * + disebut proses pencacahan jika menyatakan banyak kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut ini : 1. untuk semua, ). 2. Nilai adalah integer positif (bilangan bulat positif). 3. Jika maka, ). 4. Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s,t]. Inkremen Bebas Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang (interval) waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Jadi pada proses pencacahan yang memiliki inkremen bebas maka banyaknya kejadian yang telah terjadi pada waktu t, yaitu, adalah bebas terhadap banyaknya kejadian pada selang waktu ( -, yaitu untuk sembarang bilangan nyata s > 0. Inkremen Stasioner Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut. Dengan kata lain, suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika banyaknya kejadian pada selang waktu ( -, yaitu, mempunyai sebaran yang sama dengan banyaknya kejadian pada selang waktu ( -, yaitu, untuk semua bilangan nyata tak negatif dan semua s > 0. Proses Poisson Suatu proses pencacahan * + disebut proses Poisson dengan laju (rate), jika dipenuhi tiga syarat berikut: 1., 2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas, 3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan rataan. Jadi, untuk semua t, s > 0, ( ) ( ) dengan 2.2 Gerak Brown Gerak Brown merupakan contoh dari proses stokastik. Pada ruang peluang ( ), dimana ( ) adalah ruang kontinu fungsi real pada yang dimulai dari 0. Gerak Brown standar adalah proses stokastik * + sehingga, 1 B 0 = 0, 2 Lintasan sampel t B t kontinu, dengan peluang 1, 3 Untuk setiap urutan terbatas waktu, inkremen bebas, 4 Untuk t > 0, menyebar normal dengan rataan 0 dan ragam. (Privault 2008) 2.3 Martingale Suatu proses stokastik * + adalah martingale jika untuk setiap (kasus diskret) berlaku sebagai berikut: a. ( ), dan b. ( ) Berdasarkan poin (b), jika kedua ruas dicari nilai harapannya diperoleh ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

14 5 sehingga ( ) ( ) ( ) Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik yang bersifat martingale maka proses tersebut akan memiliki rataan yang konstan. (Taylor 1998) 2.4 Proses Lévy Model Lévy telah lama digunakan di bidang matematika keuangan. Model Lévy merupakan salah satu proses stokastik diskret yang cukup banyak aplikasinya dan dapat digunakan untuk membangun model yang lebih realistis. Proses stokastik * + dengan nilai di dalam disebut proses Lévy jika memenuhi kondisi berikut ini : 1., 2. Untuk semua dan, peubah acak ( ) bebas (inkremen bebas), 3. Sebaran dari tidak tergantung pada s (inkremen stationer), 4. Proses {, t 0} adalah stokastik kontinu, yaitu ( ), 5. Ada dengan, - sehingga untuk semua ( ) kontinu kanan di t 0 dan berlaku limit kiri untuk semua. (Tisserand 2006) 2.5 Model Black-Scholes Upaya untuk merumuskan bagaimana menghitung harga saham yang sebenarnya (nilai intrinsik) telah dilakukan dalam setiap analisis dengan tujuan mendapatkan tingkat pengembalian (return) yang memuaskan. Dalam model Black-Scholes, diasumsikan harga saham bergerak secara acak dan mengikuti proses Wiener. Selain itu, model ini memiliki beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu tidak ada pemberian deviden dan tingkat suku bunga konstan. Untuk memodelkan harga saham, perlu dilakukan pemisalan-pemisalan dari faktor-faktor yang terkait dengan rumus matematika. Hal ini bertujuan untuk mengetahui sifat-sifatnya dan keterkaitan dengan unsur-unsurnya serta dalam hal menarik kesimpulan tentang model yang diamati lebih lanjut. Secara matematis model Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut: *( ) + dengan adalah harga saham, adalah nilai harapan, volatilitas dari harga saham, dan adalah gerak Brown standar. (Black dan Scholes 1973) 2.6 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung Mean Absolute Percentage Error (MAPE), dengan rumus sebagai berikut dengan x t adalah pengamatan pada waktu ke-t dan adalah ramalan pada waktu ke-t. Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual. (Bowerman dan O connell 1987)

15 III PEMBAHASAN Pada aplikasi model harga saham dengan menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes ini, penulis menerapkannya pada penutupan harga saham Bank of America Corporation. Ada dua permasalahan yang akan dibahas dalam aplikasi model ini, yaitu: pertama, menduga penutupan harga saham yang akan datang menggunakan model Lévy dan model Black- Scholes, dan kedua, membandingkan ketepatan model dalam memprediksi penutupan harga saham yang akan datang. 3.1 Data Simulasi Data yang akan digunakan untuk simulasi yaitu data penutupan harga saham harian Bank of America Corporation (kecuali hari libur dan non trading day) pada periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember Data diambil dari (Lampiran 1). Gambar 1 Grafik Garis Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember Sebelum dilakukan pengelolaan data, terlebih dahulu ditentukan apakah data penutupan harga saham (Lampiran 1) sudah berdistribusi normal ataukah belum. Kenormalan data penutupan harga saham dapat ditunjukkan melalui Gambar 2. Gambar 2 Plot Normal Q-Q Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000.

16 7 Dari Gambar 2, terlihat bahwa data berdistribusi normal. Hal ini ditunjukkan oleh sebaran data pada plot normal Q-Q berkumpul atau berada di sekitar garis regresi dugaan. Diperjelas dengan hasil uji kenormalan data dengan uji Kolmogorov- Smirnov (Lampiran 2). 3.2 Model Lévy Selanjutnya akan dilakukan pemodelan menggunakan model Lévy. Model Lévy dapat dirumuskan sebagai berikut : dengan (1) Untuk menduga koefisien model, beberapa variabel dari model Lévy harus dibangkitkan, seperti nilai yang harus dibangkitkan menggunakan sebaran normal dengan rataan nol ( ) dan simpangan baku satu ( ) dan nilai yang dibangkitkan dengan menggunakan sebaran Poisson dengan = 49. Setelah dan didapat, kemudian akan ditentukan simpangan baku (σ) dan nilai harapan (α) dari. Dengan bantuan perangkat lunak dapat diketahui bahwa analisis regresi berganda dari persamaan (1) menghasilkan simpangan baku ( ) dan nilai harapan ( ), sehingga diperoleh model dugaan yaitu, σ B t M t α t : penutupan harga saham : simpangan baku : gerak Brown : martingale : nilai harapan : waktu (Eberlien 2001) Hasil analisis disajikan pada Lampiran 3. (2) Peramalan Selanjutnya dilakukan peramalan penutupan harga saham untuk hari ke depan dengan menggunakan model Lévy pada persamaan (2). Gambar 3 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret Model Black-Scholes Model Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut: 0. / 1 (3) dengan adalah harga saham, adalah nilai harapan, volatilitas dari harga saham, dan adalah gerak Brown. Persamaan (3) akan diturunkan dengan menggunakan formula Itȏ sebagai berikut:

17 8. / 0. / 1 0. / 1 0. / 1 0. / 1 0. / 1 ( ) (4) Dengan mengubah persamaan (3) ke dalam bentuk logaritmanya, maka akan diperoleh ( ) ( ). / (5) Berdasarkan persamaan (4) diketahui berdistribusi log normal, sehingga perlu diubah ke dalam bentuk logaritma seperti persamaan (5) agar menjadi berdistribusi normal. Teorema Girsanov (Elliot 2000) Misal dengan adalah suatu gerak Brown di suatu ruang peluang ( ) dan misalkan * + adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh gerak Brown. Misalkan pula dengan adalah suatu proses yang teradaptasi oleh filtrasi * + Untuk didefinisikan dengan (6) dan didefinisikan melalui dengan didefinisikan oleh. / pada, proses dengan adalah suatu gerak brown. Penetapan Teorema Girsanov ini digunakan untuk memodelkan diskonto aset berisiko, yaitu Persamaan (7) jika didiferensialkan, akan diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) - (8) Dengan menggunakan Teorema Girsanov dan memisalkan akan diperoleh besaran probabilitas dalam ruang, yaitu, maka ( ) Berdasarkan persamaan (6), maka akan diperoleh di. / (9) disebut sebagai persamaan Brown di dalam ruang ( ). Kemudian persamaan tersebut diturunkan, sehingga diperoleh. / (10) ( ) ( ) (11) Subtitusi persamaan (11) ke persamaan (8), sehingga diperoleh,( ) -,( ) ( ) - (12) Untuk menentukan, subtitusi persamaan (3) ke persamaan (7) dan dilanjutkan dengan subtitusi persamaan (9) sehingga diperoleh ( ) (7)

18 9 ( ) 0. / /1 0 1 (13) Kemudian subtitusi persamaan (11) ke persamaan (4), maka akan diperoleh ( ) ( ( ) ) ( ) dengan adalah gerak Brown. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa suatu aset berisiko dapat dimodelkan ke dalam persamaan yang bebas dari variabel, yaitu ( ) (14) Sehingga persamaan (3) menjadi 0. / 1 (15) dengan adalah gerak Brown. Berdasarkan informasi di atas, akan ditentukan model untuk menduga penutupan harga saham Bank of America Corporation. Langkah pertama ditentukan variabelvariabel yang dibutuhkan dalam pemodelan, yaitu yang dibangkitkan menggunakan sebaran normal dengan rataan nol ( ) dan simpangan baku ( ) sama dengan 0,1. Selanjutnya yang akan dicari adalah penduga volatilitas ( ) dari harga saham (Lampiran 1) menggunakan rumus 0 ( ) 1 (16) Data pada Lampiran 1 merupakan data penutupan harga saham Bank of America Corporation pada periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000, yaitu sebanyak 252 data. Dengan menggunakan persamaan (16), diperoleh Sehingga diperoleh model dugaan sebagai berikut [( ) ( ) ] (17) dengan r adalah suku bunga tanpa risiko, t adalah waktu, dan gerak Brown dalam bentuk lain. Peramalan Selanjutnya dilakukan peramalan dengan menggunakan persamaan (17), dengan memisalkan suku bunga bebas risiko (r) sebesar 4,25%, diperoleh hasil peramalan harga saham sebagai berikut: (Lampiran 5) Gambar 4 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Black-Scholes Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001.

19 Analisis Ketepatan Pemodelan Model Lévy dan Model Black-Scholes Validasi model diperlukan untuk melihat ketepatan model yang digunakan untuk pendugaan, yaitu membandingkan antara data aktual dengan data peramalan yang dihasilkan oleh kedua model. (Lampiran 6). Gambar 5 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy, Model Black-Scholes, dan Harga Saham Aktual dari Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret Dari Gambar 5 dapat diketahui bahwa pola data aktual lebih mirip dengan model Black-Scholes dibandingkan dengan hasil peramalan menggunakan model Lévy yang cenderung fluktuatif. Hal ini terbukti dari nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari model Black-Scholes lebih kecil daripada nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari model Lévy. Nilai MAPE dari model Black-Scholes adalah 9,292%, sedangkan nilai MAPE dari model Lévy adalah 11,3484%. Semakin kecil nilai MAPE, hasil pendugaan lebih mendekati nilai aktual. Jadi dapat disimpulkan pendugaan menggunakan model Black-Scholes pada penutupan harga saham Bank of America Corporation lebih baik dari pada menggunakan model Lévy. Bagi investor, data hasil peramalan kedua model tersebut dapat digunakan untuk melihat pergerakan harga saham. Misalkan, dapat dilihat data hasil peramalan menggunakan model Black-Scholes pada hari kelima terlihat bahwa harga saham turun maka investor membeli saham Bank of America Corporation. Pada hari kesepuluh harga saham naik, maka investor menjual sahamnya agar mendapatkan keuntungan dari harga penjualan tersebut. Dalam meramalkan harga suatu saham terlebih dahulu yang harus dilihat adalah pergerakan harga saham, apakah harga saham bergerak berfluktuasi ataukah stabil. Pergerakan harga saham yang berfluktuasi dengan pergerakan harga saham yang stabil membutuhkan model peramalan yang berbeda. Model Lévy lebih baik digunakan untuk memodelkan harga saham yang berfluktuasi (Gambar 3) sedangkan model Black-Scholes lebih baik digunakan untuk memodelkan harga saham yang stabil (Gambar 4). Oleh karena penutupan harga saham Bank of America Corporation bergerak stabil maka lebih baik dimodelkan menggunakan model Black-Scholes.

20 IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Penutupan harga saham dapat dimodelkan dengan menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes. Penutupan harga saham bersifat stokastik sehingga model Lévy dan model Black-Scholes dapat digunakan untuk memodelkan penutupan harga saham. Dari hasil pendugaan penutupan harga saham Bank of America Corporation menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes masing-masing menghasilkan nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yaitu 11,3484% untuk model Lévy, sedangkan untuk model Black-Scholes menghasilkan nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yaitu 9,292%. Semakin kecil nilai MAPE, pendugaan lebih mendekati nilai aktual. Jadi pendugaan menggunakan model Black- Scholes lebih tepat dibandingkan pendugaan menggunakan model Lévy. 4.2 Saran Penulis menyarankan untuk mengkaji lebih lanjut dari model Lévy dengan data penutupan harga saham lain yang memiliki tingkat volatility lebih tinggi, sehingga dapat meramalkan penutupan harga saham yang mendekati nilai aktual.

21 DAFTAR PUSTAKA Black F, Scholes M The Pricing of Corporate Liabilities. Chicago: The University of Chicago Press. Bowerman BL, O Connell RT Time Series Forecasting. Inufied Concepts and Computer Implementation. 2 nd edition. Boston : Duxbury Press. Eberlien E Application of Generalized Hyperbolic Lévy Motions to Finance. s/lévyprocesses pdf [26 September 2012]. Elliott RJ, Kopp PE Mathematics of Financial Market. New York: Springer. Ghahramani S Fundamentals of Probability. New Jersey : Prentice Hall, Inc. Grimmett GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. 2 nd edition. Oxford : University Press. Hull JC Options, Futures, and Other Derivatives. 6 th edition. New Jarsey : Pearson Education. [25 November 2012]. Privault N Note on Stochastic Finance. New York: University Press. Ross SM Introduction to Probability Models. Burlington : Elsever, Inc. Tandelilin E Analisis dan Manajemen Portofolio. Edisi Pertama. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta. Taylor HM, Karlin An Introduction Stochastic Modelling. San Diego: Academic Press. Tisserand M Exponential of Lévy Processes As a Stock Price Arbitrage Opportunities, Completeness and Derivatives Valuation. Berlin: University Press.

22 LAMPIRAN

23 14 Lampiran 1 Tabel Penutupan Harga Saham dan Return Bank of America Corporation Close Return Close Return No Date No Date Price ( ) Price ( ) 1 03/01/ , /03/ ,06-0, /01/ ,56-0, /03/ ,00-0, /01/ ,06 0, /03/ ,50-0, /01/ ,00 0, /03/ ,00-0, /01/ ,69-0, /03/ ,63-0, /01/ ,00-0, /03/ ,06-0, /01/ ,00-0, /03/ ,88-0, /01/ ,50 0, /03/ ,19 0, /01/ ,56 0, /03/ ,63-0, /01/ ,50 0, /03/ ,88 0, /01/ ,00-0, /03/ ,25 0, /01/ ,00 0, /03/ ,00 0, /01/ ,08-0, /03/ ,63-0, /01/ ,69-0, /03/ ,00 0, /01/ ,56-0, /03/ ,44 0, /01/ ,13 0, /03/ ,19 0, /01/ ,13 0, /03/ ,63 0, /01/ ,13 0, /03/ ,13-0, /01/ ,75-0, /03/ ,56-0, /01/ ,44 0, /03/ ,00-0, /02/ ,00 0, /03/ ,81-0, /02/ ,75-0, /03/ ,44 0, /02/ ,44-0, /04/ ,50 0, /02/ ,88-0, /04/ ,19-0, /02/ ,31-0, /04/ ,00-0, /02/ ,13 0, /04/ ,44-0, /02/ ,06-0, /04/ ,31-0, /02/ ,88-0, /04/ ,81 0, /02/ ,19 0, /04/ ,34-0, /02/ ,25-0, /04/ ,56 0, /02/ ,63 0, /04/ ,81-0, /02/ ,19-0, /04/ ,94-0, /02/ ,63-0, /04/ ,31 0, /02/ ,75-0, /04/ ,00 0, /02/ ,75 0, /04/ ,44-0, /02/ ,75 0, /04/ ,56 0, /02/ ,81-0, /04/ ,50 0, /02/ ,13-0, /04/ ,44 0, /02/ ,94 0, /04/ ,75-0, /02/ ,00 0, /04/ ,25-0, /03/ ,56-0, /04/ ,00-0,0449

24 15 Close Return Close Return No Date No Date Price ( ) Price ( ) 83 01/05/ ,00 0, /06/ ,00-0, /05/ ,63-0, /07/ ,00 0, /05/ ,00-0, /07/ ,31 0, /05/ ,00-0, /07/ ,81 0, /05/ ,56-0, /07/ ,44 0, /05/ ,19 0, /07/ ,44 0, /05/ ,19 0, /07/ ,94-0, /05/ ,50-0, /07/ ,00 0, /05/ ,38 0, /07/ ,19-0, /05/ ,59 0, /07/ ,50 0, /05/ ,63 0, /07/ ,88-0, /05/ ,69-0, /07/ ,25-0, /05/ ,31-0, /07/ ,19-0, /05/ ,31 0, /07/ ,38 0, /05/ ,75-0, /07/ ,75 0, /05/ ,25 0, /07/ ,44-0, /05/ ,56 0, /07/ ,25 0, /05/ ,94 0, /07/ ,06-0, /05/ ,31-0, /07/ ,75-0, /05/ ,63-0, /07/ ,50-0, /05/ ,94 0, /07/ ,38 0, /05/ ,44 0, /08/ ,69 0, /06/ ,81 0, /08/ ,19-0, /06/ ,00 0, /08/ ,06 0, /06/ ,25-0, /08/ ,50 0, /06/ ,75-0, /08/ ,38-0, /06/ ,81 0, /08/ ,94-0, /06/ ,75-0, /08/ ,06 0, /06/ ,00-0, /08/ ,44 0, /06/ ,47 0, /08/ ,06 0, /06/ ,69-0, /08/ ,00 0, /06/ ,31-0, /08/ ,31-0, /06/ ,94-0, /08/ ,50-0, /06/ ,00-0, /08/ ,56 0, /06/ ,38 0, /08/ ,75 0, /06/ ,50 0, /08/ ,88 0, /06/ ,63-0, /08/ ,44 0, /06/ ,00-0, /08/ ,06-0, /06/ ,38 0, /08/ ,50-0, /06/ ,94 0, /08/ ,75-0, /06/ ,00-0, /08/ ,69-0, /06/ ,42-0, /08/ ,88-0, /06/ ,44 0, /08/ ,88 0,0000

25 16 Close Return Close Return No Date No Date Price ( ) Price ( ) /08/ ,58 0, /11/ ,38 0, /09/ ,50-0, /11/ ,25 0, /09/ ,50 0, /11/ ,69-0, /09/ ,63 0, /11/ ,06 0, /09/ ,38 0, /11/ ,69-0, /09/ ,94 0, /11/ ,75-0, /09/ ,56 0, /11/ ,75 0, /09/ ,00 0, /11/ ,38-0, /09/ ,81-0, /11/ ,44-0, /09/ ,33-0, /11/ ,88-0, /09/ ,88-0, /11/ ,00-0, /09/ ,69-0, /11/ ,88-0, /09/ ,88 0, /11/ ,31-0, /09/ ,81-0, /11/ ,31-0, /09/ ,00-0, /11/ ,63 0, /09/ ,00 0, /11/ ,56-0, /09/ ,00 0, /11/ ,31 0, /09/ ,81-0, /11/ ,69 0, /09/ ,69-0, /11/ ,50 0, /09/ ,00 0, /11/ ,69 0, /09/ ,38-0, /11/ ,94-0, /10/ ,06 0, /12/ ,75-0, /10/ ,19 0, /12/ ,00-0, /10/ ,75-0, /12/ ,19 0, /10/ ,88 0, /12/ ,00-0, /10/ ,63-0, /12/ ,00 0, /10/ ,56-0, /12/ ,88 0, /10/ ,69-0, /12/ ,44 0, /10/ ,06-0, /12/ ,44 0, /10/ ,56-0, /12/ ,94-0, /10/ ,56 0, /12/ ,31-0, /10/ ,19-0, /12/ ,81-0, /10/ ,75-0, /12/ ,50 0, /10/ ,19-0, /12/ ,25 0, /10/ ,06 0, /12/ ,75-0, /10/ ,75-0, /12/ ,81 0, /10/ ,75 0, /12/ ,13 0, /10/ ,50 0, /12/ ,31 0, /10/ ,06-0, /12/ ,81 0, /10/ ,38-0, /12/ ,81 0, /10/ ,94 0, /12/ ,88-0, /10/ ,00 0, /10/ ,06 0,0223

26 17 Lampiran 2 Uji Normalitas Data Penutupan Harga Saham Bank of American Corporation dengan Kolmogorov-Smirnov Hipotesis H 0 : Data berdistribusi normal H 1 : Data tidak berdistribusi normal Tingkat signifikasi : Daerah kritis : H 0 ditolak jika Statistik uji : Uji Kolmogorov-Smirnov Perhitungan : One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Saham N 252 Normal Parameters(a,b) Mean 48,6730 Std. Deviation 4,5843 Most Extreme Absolute 0,0650 Differences Positive 0,0530 Negative -0,0650 Kolmogorov-Smirnov Z 1,0330 Asymp. Sig. (2-tailed) 0,2360 a Test distribution is Normal. b Calculated from data. Kesimpulan : kerena (Asymp. Sig = 0,2360) maka dapat diambil kesimpulan bahwa data penutupan harga saham berdistribusi normal.

27 18 Lampiran 3 Hasil Analisis Data menggunakan Perangkat Lunak Regression Analysis: S-Zt versus t; Bt The regression equation is s-zt = - 0,33 t + 0,0450 Bt Predictor Coef SE Coef T P Noconstant t -0,329 1,516-0,22 0,828 Bt1 0,0454 0,5724 0,08 0,937 S = 9,56185 Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 2 4,59 2,30 0,03 0,975 Residual Error ,26 91,43 Total ,85

28 19 Lampiran 4 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy No Date t Close Price Mt Bt St 1 02/01/2001 0, ,75 48,00 0, , /01/2001 0, ,94 50,00 0, , /01/2001 0, ,50 43,00 0, , /01/2001 0, ,00 49,00-0, , /01/2001 0, ,25 47,00-0, , /01/2001 0, ,00 54,00-0, , /01/2001 0, ,56 52,00-0, , /01/2001 0, ,44 40,00-0, , /01/2001 0, ,06 47,00 0, , /01/2001 0, ,94 39,00-0, , /01/2001 0, ,56 52,00-0, , /01/2001 0, ,94 44,00-0, , /01/2001 0, ,19 53,00 0, , /01/2001 0, ,38 45,00-0, , /01/2001 0, ,38 52,00-0, , /01/2001 0, ,06 69,00-0, , /01/2001 0, ,50 49,00-0, , /01/2001 0, ,19 58,00-0, , /01/2001 0, ,02 58,00 0, , /01/2001 0, ,47 55,00 0, , /01/2001 0, ,82 57,00 0, , /02/2001 0, ,28 45,00-0, , /02/2001 0, ,60 41,00-0, , /02/2001 0, ,26 51,00 0, , /02/2001 0, ,96 54,00-0, , /02/2001 0, ,50 57,00-0, , /02/2001 0, ,75 50,00 0, , /02/2001 0, ,50 51,00 0, , /02/2001 0, ,06 46,00-0, , /02/2001 0, ,24 53,00-0, , /02/2001 0, ,80 39,00-0, , /02/2001 0, ,89 41,00 0, , /02/2001 0, ,40 41,00-0, , /02/2001 0, ,12 44,00 0, , /02/2001 0, ,75 51,00-0, , /02/2001 0, ,25 49,00-0, , /02/2001 0, ,14 44,00 0, , /02/2001 0, ,98 37,00 0, , /02/2001 0, ,43 34,00 0, , /02/2001 0, ,70 43,00-0, ,9638

29 20 No Date t Close Price Mt Bt Xt 41 01/03/2001 0, ,34 52,00 0, , /03/2001 0, ,05 42,00 0, , /03/2001 0, ,08 44,00 0, , /03/2001 0, ,26 46,00-0, , /03/2001 0, ,75 58,00 0, , /03/2001 0, ,72 51,00-0, , /03/2001 0, ,50 43,00 0, , /03/2001 0, ,62 38,00 0, , /03/2001 0, ,25 41,00-0, , /03/2001 0, ,75 54,00-0, ,9548

30 21 Lampiran 5 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Black-Scholes No Date t Close Price St 1 02/01/2001 0, ,75 0, , /01/2001 0, ,94 0, , /01/2001 0, ,50 0, , /01/2001 0, ,00-0, , /01/2001 0, ,25-0, , /01/2001 0, ,00 0, , /01/2001 0, ,56-0, , /01/2001 0, ,44 0, , /01/2001 0, ,06-0, , /01/2001 0, ,94 0, , /01/2001 0, ,56 0, , /01/2001 0, ,94-0, , /01/2001 0, ,19-0, , /01/2001 0, ,38-0, , /01/2001 0, ,38-0, , /01/2001 0, ,06-0, , /01/2001 0, ,50-0, , /01/2001 0, ,19 0, , /01/2001 0, ,02 0, , /01/2001 0, ,47 0, , /01/2001 0, ,82 0, , /02/2001 0, ,28 0, , /02/2001 0, ,60 0, , /02/2001 0, ,26-0, , /02/2001 0, ,96 0, , /02/2001 0, ,50 0, , /02/2001 0, ,75 0, , /02/2001 0, ,50-0, , /02/2001 0, ,06-0, , /02/2001 0, ,24-0, , /02/2001 0, ,80 0, , /02/2001 0, ,89 0, , /02/2001 0, ,40-0, , /02/2001 0, ,12 0, , /02/2001 0, ,75 0, , /02/2001 0, ,25 0, , /02/2001 0, ,14 0, , /02/2001 0, ,98-0, , /02/2001 0, ,43-0, , /02/2001 0, ,70-0, ,3350

31 22 No Date t Close Price St 41 01/03/2001 0, ,34-0, , /03/2001 0, ,05 0, , /03/2001 0, ,08-0, , /03/2001 0, ,26 0, , /03/2001 0, ,75 0, , /03/2001 0, ,72 0, , /03/2001 0, ,50-0, , /03/2001 0, ,62-0, , /03/2001 0, ,25 0, , /03/2001 0, ,75-0, ,3131

32 23 Lampiran 6 Tabel Perbandingan Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes Tanggal Peramalan Levy Black-Scholes Data Aktual 02/01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /01/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , , /02/ , , ,7000

33 24 Tanggal Peramalan Levy Black-Scholes Data Aktual 01/03/ , , , /03/ , , , /03/ , , , /03/ , , , /03/ , , , /03/ , , , /03/ , , , /03/ , , , /03/ , , , /03/ , , ,7500 MAPE 0,1135 0,0929