PERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU

Transkripsi

1 v PERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 8

2 i PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Perbandingan Metode Pendugaan Parameter dalam Pemodelan Persamaan Struktural adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Nopember 8 La Mbau NIM G

3 ii ABSTRACT LA MBAU. Comparison of Parameter Estimation Methods in Structural Equation Modeling. Under direction of BUDI SUHARJO and N. K. KUTHA ARDANA. Structural equation modeling (SEM) is one of multivariate techniques that estimates series of interrelated dependence relationships from a number of endogenous and exogenous variables, as well as latent (unobserved) variables simultaneously. To estimate the parameters, SEM generally use covariance structures matrix, which is known as LISREL (Linear Structural Relationship). Currently, most commonly used SEM estimation methods are maximum likelihood (), weighted least squares (), generalized least squares () and unweighted least squares () method. The purposes of this thesis are to study these methods in estimating SEM parameters and to compare their consistency, accuracy and sensitivity based on sample size and multinormality assumption of observed variables. Using a fully crossed design, data are generated for 2 kinds of distribution and 5 different sample sizes. The distributions used are multinormal and non multinormal. The sample sizes used are,,, and. The results show that when data are multinormal distributed, method is consistent at all sample sizes, whereas method is consistent at and sample sizes, and method is consistent at, and sample sizes. When data are non multinormal distributed, method is consistent at all sample sizes, whereas method is consistent at, and sample sizes, and method is consistent at, and sample sizes. Furthermore, the methods have different accuracy to fit data for all sample sizes and both kinds of distribution. Finally, when data are multinormal, sensitivity of methods occur at and sample sizes, on the other hand, when data are non multinormal, they occur at, and sample sizes. Keywords : SEM, endogenous, exogenous, LISREL, multinormality.

4 iii RINGKASAN LA MBAU. Perbandingan Metode Pendugaan Parameter dalam Pemodelan Persamaan Struktural. Dibimbing oleh BUDI SUHARJO dan N. K. KUTHA ARDANA. Pemodelan persamaan struktural (Structural Equation Modeling, SEM) adalah salah satu teknik peubah ganda yang dapat menganalisis secara simultan hubungan beberapa peubah laten endogenous dan eksogenous (Bollen 1989). Model ini terdiri dari dua bagian yaitu model pengukuran dan model struktural. Model pengukuran digunakan untuk menduga hubungan antar peubah laten dengan peubah-peubah manifesnya, sedangkan model struktural digunakan untuk menduga hubungan antar peubah laten. Pendugaan parameter model persamaan struktural umumnya menggunakan Model Struktur Koragam atau lebih populer dengan LISREL (Linear Structural Relationship). Metode pendugaan parameter yang umum digunakan adalah Maximum Likelihood (), Weighted Least Squares (), Generalized Least Squares () dan Unweighted Least Squares (). Masing-masing metode tersebut memerlukan asumsi tertentu tentang ukuran contoh dan bentuk sebaran. Oleh karena itu, sangatlah penting apabila diketahui metode-metode mana yang lebih baik digunakan pada suatu data pengamatan dengan sebaran dan ukuran contoh tertentu. Ini erat kaitannya dengan kekonsistenan dan ketepatan suatu metode dalam menduga parameter model. Hasil kajian menunjukkan bahwa metode dan memerlukan asumsi kenormalan ganda pada data pengamatan, metode baik digunakan pada data yang tidak menyebar normal ganda, sedangkan metode tidak memerlukan asumsi sebaran pada data pengamatan. Berdasarkan hal tersebut di atas maka dalam penelitian ini akan dilakukan kajian terhadap kekonsistenan dan ketepatan serta sensitivitas masing-masing metode dalam menduga parameter model persamaan struktural ditinjau dari ukuran contoh dan bentuk sebaran dan mengaplikasikannya pada suatu data. Data yang digunakan merupakan hasil bangkitan komputer dengan ukuran contoh,,, dan. Masing-masing ukuran contoh digunakan asumsi menyebar normal ganda dan tidak menyebar normal ganda. Kekonsistenan masing-masing metode diukur dari nilai MARB (Mean Absolute Relative Bias), sedangkan ketepatan metode dinilai dari ukuran kelayakan model. Hasil penelitian menunjukkan bahwa pada data yang menyebar normal ganda metode konsisten pada semua ukuran contoh. Metode konsisten pada ukuran contoh dan. Metode konsisten pada ukuran contoh, dan. Pada data yang tidak menyebar normal ganda metode konsisten pada ukuran contoh, dan. Metode konsisten pada ukuran contoh, dan. Metode konsisten pada semua ukuran contoh. Dalam hal ketepatan pendugaan parameter model, semua metode sudah memenuhi ukuran kelayakan model pada semua ukuran contoh dan bentuk sebaran, namun dengan tingkat ketepatan yang berbeda. Pada data yang menyebar normal ganda sensitivitas semua metode terjadi pada ukuran contoh dan, sedangkan pada data yang tidak menyebar normal ganda sensitivitas terjadi pada ukuran contoh, dan. Kata Kunci : SEM, endogenous, eksogenous, LISREL, kenormalan ganda.

5 iv Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 8 Hak Cipta dilindungi undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian dan seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

6 vi Judul Tesis Nama NRP : Perbandingan Metode Pendugaan Parameter dalam Pemodelan Persamaan Struktural : La Mbau : G Disetujui, Komisi Pembimbing Dr. Ir. Budi Suharjo, M.S. Ketua Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pasca Sarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal lulus : Tanggal ujian : 5 Nopember 8

7 vii PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juli 7 ini adalah Perbandingan Metode Pendugaan Parameter Dalam Pemodelan Persamaan Struktural. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Budi Suharjo, M.S selaku ketua Komisi Pembimbing dan Bapak Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana M.Sc selaku Anggota Komisi Pembimbing serta Bapak Dr. Ir. Putu Purnaba, DEA selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Di samping itu, ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah membiayai penelitian ini dan rekan-rekan mahasiswa atas diskusinya, serta pihak lain yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Semoga atas semua kebaikan dapat bernilai ibadah dan dibalas oleh Allah SWT dengan kebaikan yang berlipat. Terakhir kepada ayah, ibu, mertua, istri tercinta Fifi Sumanti dan seluruh keluarga yang telah memberikan motivasi, semangat dan do a serta kasih sayang penulis menyampaikan penghargaan dan terima kasih. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Nopember 8 La Mbau

8 viii RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Wabula, Buton 25 Oktober 1971 dari Ayah La Adji dan Ibu Wa Tjina. Penulis merupakan putra kedua dari empat bersaudara. Tahun 1990 penulis lulus dari SMA Negeri I Bau-Bau, Sulawesi Tenggara dan pada tahun 1991 lulus seleksi masuk Universitas Pattimura Ambon melalui Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SIPENMARU). Penulis memilih Jurusan Pendidikan MIPA Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada program studi Matematika Terapan IPB diperoleh pada tahun 6. Penulis adalah Guru Madrasah Tsanawiyah Negeri (MTsN) Batumerah Ambon sejak Maret Mata Pelajaran yang diajarkan adalah Matematika.

9 ix DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... x DAFTAR GAMBAR... xi DAFTAR LAMPIRAN... xii PENDAHULUAN. Latar Belakang... 1 Tujuan Penelitian... 3 Manfaat Penelitian... 3 TINJAUAN PUSTAKA Spesifikasi Model... 4 Identifikasi Parameter... 6 Pendugaan Parameter Model... 6 Evaluasi dan Modifikasi Model... 9 Skewness dan Kurtosis METODE PENELITIAN Sumber Data Prosedur Penelitian Bias dan MARB HASIL DAN PEMBAHASAN Kajian Metode Pendugaan Parameter Perbandingan Ketepatan dan Kekonsistenan Metode Penduga Parameter Pembangkitan Data Kekonsistenan Metode Penduga Parameter Ketepatan Metode Penduga Parameter SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA...40 LAMPIRAN...41

10 x DAFTAR TABEL Halaman 1 Hasil uji MARB untuk sebaran normal ganda pada ukuran contoh Hasil uji MARB untuk sebaran normal ganda pada ukuran contoh Hasil uji MARB untuk sebaran normal ganda pada ukuran contoh Hasil uji MARB untuk sebaran normal ganda pada ukuran contoh Hasil uji MARB untuk sebaran normal ganda pada ukuran contoh Hasil uji MARB untuk sebaran tak normal ganda pada ukuran contoh Hasil uji MARB untuk sebaran tak normal ganda pada ukuran contoh Hasil uji MARB untuk sebaran tak normal ganda pada ukuran contoh Hasil uji MARB untuk sebaran tak normal ganda pada ukuran contoh Hasil uji MARB untuk sebaran tak normal ganda pada ukuran contoh Hasil uji kelayakan model dengan metode Hasil uji kelayakan model dengan metode Hasil uji kelayakan model dengan metode Hasil uji kelayakan model dengan metode Kekonsistenan metode pada berbagai ukuran contoh dan sebaran...39

11 xi DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Desain model persamaan struktural Diagram alur penelitian parameter γ 11 (GA11), γ 21 (GA21) dan β 21 (BE21) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran parameter ψ 11 (PS11) dan ψ 22 (PS22) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran x x 5 parameter λ 11 (LX11) dan λ 21 (LX21) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran y y y y 6 parameter λ 11 (LY11), λ 21 (LY21), λ 32 (LY32) dan λ 42 (LY42) pada berbagai ukuran contoh dan Sebaran δ δ 7 parameter θ 11 (TD11) dan θ 22 (TD22) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran ε ε ε 8 parameter θ 11 (TE11), θ 22 (TE22) dan θ 33 (TE33) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran ε ε 9 parameter θ 31 (TE31) dan θ 42 (TE42) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran Boxplot metode terhadap MARB pada sebaran normal ganda Boxplot ukuran contoh terhadap MARB pada sebaran tak normal ganda... 32

12 xii DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Persentase nilai bias parameter dugaan Langkah-langkah pembangkitan data Program pembangkitan data dengan PRELIS Program pendugaan parameter model dengan LISREL Hasil uji beda metode berdasarkan MARB pada sebaran normal ganda Hasil uji beda metode berdasarkan MARB pada sebaran tak normal ganda..51

13 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perkembangan penelitian pada beberapa bidang ilmu pengetahuan tertarik pada pemodelan hubungan yang relatif rumit. Pemodelan tersebut melibatkan satu atau lebih peubah tak bebas yang dijelaskan oleh satu atau lebih peubah bebas dan secara simultan satu atau lebih peubah tak bebas berperan sebagai peubah bebas bagi peubah tak bebas lainnya. Peubah-peubah tersebut dapat berupa peubah terukur maupun peubah tak terukur (laten). Peubah terukur dapat langsung diketahui nilainya melalui suatu pengamatan, sedangkan peubah tak terukur nilainya dibangun melalui beberapa peubah manifes sebagai indikator. Model hubungan dengan sebagian atau seluruh peubahnya berupa peubah laten menyulitkan peneliti dalam menganalisis keterkaitan hubungan antar peubah-peubah laten tersebut. Hal ini disebabkan karena pendugaan terhadap model hubungan antar peubah laten dan pengujian terhadap model dugaannya tidak dapat dilakukan secara langsung dengan menggunakan analisis regresi secara simultan. Oleh karena itu, pada tahun 1970-an dikembangkan pemodelan persamaan struktural (Structural Equation Modeling) yang dapat menganalisis secara simultan hubungan beberapa peubah laten (Bollen 1989). Model yang dikembangkan itu terdiri dari dua bagian yaitu model pengukuran dan model struktural. Model pengukuran menduga hubungan antar peubah laten dengan peubah-peubah manifesnya, sedangkan model struktural menduga hubungan antar peubah laten. Hair et al. (1998) membagi beberapa tahapan pendekatan standar dalam pemodelan persamaan struktural antara lain spesifikasi model, identifikasi model, pendugaan parameter model, uji kelayakan model dan modifikasi model. Dalam pendugaan parameternya, pemodelan persamaan struktural umumnya menggunakan struktur koragam. Oleh karena itu, model ini dikenal sebagai Model Struktur Koragam atau lebih populer dengan LISREL (Linear Structural Relationship). Dalam hal ini, pendugaan parameter model secara substansi adalah pengepasan matriks koragam model dengan matriks koragam contoh melalui beberapa fungsi dugaan atau pengepasan. Nilai parameter-parameter awal bebas dipilih untuk memunculkan matriks koragam populasi

14 2 yang diduga dari model tersebut. Tujuan pendugaan parameter ini ialah untuk menghasilkan matriks koragam model yang berkonvergensi pada matriks koragam populasi yang diobservasi dengan matriks sisaan sekecil mungkin. Ada beberapa metode pendugaan parameter dalam pemodelan persamaan struktural. Sebagian besar metode tersebut menggunakan proses iteratif. Dalam tulisan ini digunakan empat metode pendugaan parameter model yaitu Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood, ), Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (Weighted Least Squares, ), Metode Kuadrat Terkecil Tak Terboboti (Unweighted Least Squares, ) dan Metode Kuadrat Terkecil Umum (Generalized Least Squares, ). Menurut Golob (1), semua metode di atas merupakan peminimuman fungsi bernilai skalar yang dilakukan secara numerik. Permasalahannya adalah bagaimana menentukan metode pendugaan parameter model yang sesuai pada suatu data pengamatan dengan karakteristik tertentu seperti ukuran contoh dan bentuk sebaran. Dalam hal ini, kekonsistenan metode dalam menduga parameter model dan ketepatannya dalam mengepas data pengamatan perlu diperhatikan. Beberapa metode penduga parameter memerlukan asumsi tertentu menyangkut bentuk sebaran dan ukuran contoh. Metode dan memerlukan asumsi kenormalan ganda pada data pengamatan. Namun menurut Garson (0), metode bekerja baik walaupun sebaran data tidak normal ketika ukuran contoh cukup besar ( N > 2). Menurut Engel (3), jika data pengamatan menyebar normal ganda dan ukuran contoh cukup besar, maka metode menghasilkan dugaan parameter yang takbias, konsisten dan efisien secara asimtotis. Metode dan tidak memerlukan asumsi kenormalan ganda pada data pengamatan. Namun sama seperti metode yang lainnya, kurang diketahui kekonsistenan dan ketepatannya jika sebaran dan ukuran contohnya berbeda. Oleh karena itu, keempat metode di atas sangat menarik untuk dibandingkan ketepatan dan kekonsistenannya beserta sensitivitas nilai-nilai dugaannya ditinjau dari ukuran contoh dan bentuk sebaran.

15 3 Tujuan Penelitian 1. Mengkaji metode,, dan dalam menduga parameter model persamaan struktural ditinjau dari ukuran contoh dan bentuk sebaran. 2. Membandingkan kekonsistenan metode,, dan ditinjau dari ukuran contoh dan bentuk sebaran. 3. Membandingkan ketepatan metode,, dan ditinjau dari ukuran contoh dan bentuk sebaran. 4. Menentukan sensitivitas metode,, dan ditinjau dari ukuran contoh dan bentuk sebaran. Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat bagi para peneliti dalam menentukan metode pendugaan parameter model persamaan struktural yang sesuai dengan karakteristik data pengamatan seperti ukuran contoh dan bentuk sebaran.

16 4 TINJAUAN PUSTAKA Spesifikasi Model Berbagai model dalam pemodelan persamaan struktural telah dikembangkan oleh banyak peneliti diantaranya Bollen (1989). Namun demikian sebagian besar penerapannya menggunakan representasi LISREL. Dalam hal ini, model persamaan struktural terdiri dari dua model utama yaitu model struktural dan model pengukuran. Model struktural menjelaskan keterkaitan hubungan antara peubah-peubah laten, sedangkan model pengukuran menjelaskan keterkaitan hubungan antara peubah laten dengan indikatornya. Hubungan-hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika maupun dalam bentuk diagram alur. Model umum persamaan struktural didefinisikan sebagai berikut: η = Вη + Гξ + ζ (1) dengan В : matriks koefisien peubah laten endogenous berukuran m m Г : matriks koefisien peubah laten eksogenous berukuran m n η : vektor peubah laten endogenous berukuran m 1 ξ : vektor peubah laten eksogenous berukuran n 1 ζ : vektor sisaan acak hubungan antara η dan ξ berukuran m 1 Model pengukuran terbagi atas dua yaitu model pengukuran untuk y dan model pengukuran untuk x. Kedua model pengukuran ini didefinisikan sebagai berikut: y = Λ y η + ε (2) x = Λ x ξ + δ (3) dengan y : vektor penjelas peubah tidak bebas yang berukuran p 1 x : vektor penjelas peubah bebas yang berukuran q 1 Λ y : matriks koefisien regresi antara y dan η yang berukuran p m Λ x : matriks koefisien regresi antara x dan ξ yang berukuran q n ε : vektor sisaan pengukuran terhadap y yang berukuran p 1 δ : vektor sisaan pengukuran terhadap x yang berukuran q 1

17 5 Faktor acak yang terdapat dalam model LISREL diasumsikan memenuhi kriteria bahwa ε tidak berkorelasi dengan η, δ tidak berkorelasi dengan ξ, ζ tidak berkorelasi dengan ξ, cov(ξ) = Φ ( n n), cov(ζ) = Ψ ( m m), cov(ε) = Θ ε ( p p) dan cov(δ) = Θ δ ( q q) Asumsi yang digunakan ini berimplikasi terhadap matriks koragam bagi peubah pengamatan. Matriks koragam Σ dari indikator-indikator x dan y dapat dituliskan sebagai berikut: yy yx Σ = xy xx di mana Σ yy adalah matrik koragam bagi peubah pengamatan y yaitu: Σ yy = Λ y (І В) -1 (ГΦГ + Ψ)((І В) -1 ) Λ y + Θ ε (5) Σ yx adalah matriks koragam bagi peubah pengamatan y dan x yang dapat ditulis sebagai: Σ yx = Λ y (І В) -1 ГΦΛ x (6) Σ xy merupakan matriks putaran dari Σ yx, sedangkan matriks koragam bagi peubah pengamatan x adalah: Σ xx = Λ x ΦΛ x + Θ δ (7) Dari persamaan (5),(6) dan (7) dapat dilihat bahwa Σ merupakan fungsi dari parameter θ = (Λ y, Λ x, В, Г, Φ, Ψ, Θ ε, Θ δ ) yang mendefinisikan model LISREL, selanjutnya dapat dituliskan sebagai: ( ) ( ) ' ( ) ( ' ) ( ) ' ' Λy Ι Β ΓΦΓ +Ψ Ι Β Λ y +Θε Λy Ι Β ΓΦΛx Σ(θ) = 1 ' ' ΛΦΓ x '(( Ι Β) ) Λy' ΛΦΛ x x +Θδ Unsur-unsur dalam parameter θ terbagi atas tiga macam yaitu parameter tetap, parameter kendala dan parameter bebas. Parameter tetap adalah parameter yang ditentukan nilainya. Parameter kendala adalah parameter yang tidak diketahui nilainya tetapi ditentukan sama dengan satu atau lebih parameter lainnya. Sedangkan parameter bebas adalah parameter yang tidak diketahui nilainya sama sekali.. (4) (8)

18 6 Identifikasi Parameter Identifikasi parameter model berkaitan dengan ketersediaan informasi yang cukup untuk mengidentifikasi adanya solusi yang unik dari persamaan struktural melalui spesifikasi parameter-parameter model. Defenisi 1 Jika suatu parameter dalam θ dapat dituliskan sebagai suatu fungsi dari satu atau lebih elemen dalam Σ, maka parameter dalam θ teridentifikasi. Jika semua parameter dalam θ teridentifikasi maka model teridentifikasi (Timm 2). Defenisi 2 Suatu parameter θ teridentifikasi secara lokal atau teridentifikasi secara unik pada θ 1 jika di sekitar θ 1 tidak ada vektor θ 2 sehingga Σ(θ 1 ) = Σ(θ 2 ) kecuali θ 1 = θ 2 (Timm 2). Dari definisi di atas dapat dikatakan bahwa jika terdapat sepasang vektor θ 1 dan θ 2 sehingga Σ(θ 1 ) = Σ(θ 2 ) dan θ 1 θ 2 maka parameter θ tidak teridentifikasi. Menurut Bollen (1989), apabila suatu parameter tidak teridentifikasi maka tidak dapat ditentukan penduga yang konsisten untuk parameter tersebut. Cara lain untuk menguji masalah identifikasi bagi suatu model adalah dengan memperhatikan persamaan (8) dalam bentuk: σ ij = f ij (θ), i j. (9) Di sini ada sejumlah (p+q)(p+q+1)/2 persamaan dan t unsur dalam θ yang tidak diketahui. Oleh karena itu, syarat perlu untuk keteridentifikasian bagi suatu parameter adalah: t < (p+q)(p+q+1)/2 (10) dengan p : banyaknya indikator bagi variabel laten endogenous q : banyaknya indikator bagi variabel laten eksogenous Pendugaan Parameter Model Pendugaan parameter model secara substansi adalah pengepasan matriks koragam model Σ dengan matriks koragam contoh S. Fungsi pengepasan ini dinyatakan dengan F(S,Σ) yakni suatu fungsi yang bergantung pada S dan Σ. Selanjutnya, parameter model diduga dengan meminimumkan fungsi pengepasan tersebut. Peminimuman fungsi

19 7 pengepasan ini merupakan proses peminimuman fungsi tak berkendala. Menurut Bollen (1989), ada beberapa sifat fungsi pengepasan : 1. F(S,Σ) adalah besaran skalar. 2. F(S,Σ) 0, F(S,Σ) = 0 jika dan hanya jika Σ = S. 3. F(S,Σ) adalah fungsi kontinu dalam Σ dan S. Dalam tulisan ini akan digunakan empat metode pendugaan parameter model yaitu Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood,), Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (Weighted Least Squares, ), Metode Kuadrat Terkecil Tak Terboboti (Unweighted Least Squares,) dan Metode Kuadrat Terkecil Umum (Generalized Least Squares,). Metode Kemungkinan Maksimum () Saat ini fungsi pengepasan yang secara luas digunakan untuk menduga parameter model persamaan struktural adalah fungsi kemungkinan maksimum (). Menurut Garson (0), metode ini membuat estimasi didasarkan pada tindakan memaksimalkan probabilitas (likelihood) bahwa koragam-koragam yang diobservasi ditarik dari suatu populasi yang diasumsikan sama seperti yang direfleksikan dalam estimasi-estimasi koefisien. Artinya, metode ini mengambil estimasi-estimasi yang mempunyai kesempatan terbesar untuk memroduksi data yang diobservasi. Fungsi pengepasan untuk metode ini adalah sebagai berikut: 1 F = log Σ(θ) + tr(s (θ)) - log S - (p + q) (11) di mana p : banyaknya indikator bagi peubah laten endogenus q : banyaknya indikator bagi peubah laten eksogenus Dalam hal ini diasumsikan bahwa S dan Σ adalah matriks-matriks definit positif. Ini artinya matriks tersebut non singular. Peminimuman fungsi F biasanya dilakukan dengan metode iteratif. Jika ada beberapa nilai minimum dari fungsi F, maka tidak ada jaminan bahwa metode ini akan konvergen ke minimum mutlak.

20 8 Metode Kuadrat Terkecil Umum () Jika metode dianalogkan dengan metode OLS dalam analisis regresi maka metode juga dianalogkan dengan metode dalam analisis regresi. Dalam analisis regresi, metode digunakan untuk mengatasi keheterogenan ragam galat yang merupakan faktor pengganggu tidak terpenuhinya asumsi kehomogenan ragam. Dengan analogi ini fungsi pengepasan memberikan pembobotan pada unsur-unsur (S-Σ). Bentuk umum fungsi pengepasan adalah: F = (1/2)tr[{(S-Σ)W 1 } 2 ] (12) di mana W 1 adalah matriks pembobot bagi matriks sisaan yang merupakan matriks sembarang yang konvergen dalam peluang ke matriks definit positif untuk N. Menurut Powell et al.(1), W adalah matriks pembobot yang secara tipikal dipilih sama dengan S. Sama seperti penduga yang lain, penduga juga bersifat konsisten. Namun tidak semua pemilihan W 1 dapat memberikan penduga yang efisien, sebagai contoh jika W 1 = I, maka penduga tidak efisien karena yang terakhir ini sama halnya dengan penduga. Metode Kuadrat Terkecil Tak Terboboti () Fungsi F meminimumkan setengah jumlah kuadrat dari masing-masing unsur matriks sisaan (S-Σ(θ)). Matriks sisaan ini memuat selisih antara koragam contoh dengan nilai-nilai dugaannya. F adalah bentuk khusus F apabila W 1 pengepasan metode dinyatakan oleh : = I. Fungsi F = (1/2)tr[(S-Σ(θ)) 2 ] (13) Metode ini dapat dianalogkan sebagai metode kuadrat terkecil biasa (Ordinary Least Squares, OLS) dalam analisis regresi. Metode OLS meminimumkan jumlah kuadrat sisaan, yaitu galat antara nilai pengamatan peubah tak bebas dengan nilai dugaannya. Keuntungan dari metode ini antara lain sifat kekonsistenan penduganya tidak memerlukan asumsi sebaran dari peubah pengamatan sepanjang θ teridentifikasi. Namun kelemahannya adalah penduga bukanlah penduga yang efisien secara asimtotis dan ia tidak bersifat invarian terhadap skala pengukuran. Jadi nilai dugaannya sangat dipengaruhi oleh perubahan skala pengukuran pada peubah pengamatan serta pada metode ini tidak dapat dilakukan uji keteridentifikasian.

21 9 Metode Kuadrat Terkecil Terboboti () Asumsi pada metode adalah peubah-peubah pengamatan mengikuti sebaran normal ganda di mana Σ(θ) dan S adalah matriks definit positif (Bollen 1989). Implikasinya peubah indikator menggunakan skala interval (kontinu) dan skala ordinal dalam korelasi polychoric yang dilatarbelakangi peubah kontinu. Alternatif pendugaan dengan menggunakan korelasi polychoric ini adalah Weighted Least Squares (). Fungsi pengepasan dirumuskan sebagai: F = [s-σ(θ)] W 1 [s-σ(θ)] (14) di mana s = ( s11, s21, s22, s31,..., s kk ), adalah vektor yang memuat unsur-unsur matriks segitiga bawah beserta diagonal dari matriks koragam S berukuran k k yang digunakan untuk menduga model, σ (θ) = (σ 11, σ 21, σ 22, σ 31,,σ kk ) adalah vektor yang memuat unsur-unsur matriks koragam Σ berukuran k k yang dihasilkan dari parameter model. Sedangkan W 1 adalah matriks pembobot definit positif di mana W merupakan matriks koragam di antara elemen-elemen dalam s (Loehlin 4). Secara umum metode menghasilkan standar error dan χ 2 yang akurat jika ukuran contoh besar. Menurut Stoelting (2), metode ini baik kalau ukuran contoh di atas 2. Oleh karena itu, metode ini tidak direkomendasikan untuk pendugaan parameter yang ukuran contohnya kecil. Evaluasi dan Modifikasi Model Evaluasi model adalah suatu langkah yang perlu dilakukan untuk menilai apakah suatu model sudah layak atau belum. Dalam analisis pemodelan persamaan struktural tidak ada alat uji statistik tunggal untuk menguji hipotesis mengenai model. Berikut ini beberapa indeks kesesuaian untuk pengujian kelayakan model. 1. Uji 2 χ Digunakan untuk menguji hipotesis : Ho : Σ = Σ(θ), H 1 : Σ Σ(θ), dengan Σ adalah matriks koragam populasi dan Σ(θ) adalah matriks koragam yang dihasilkan vektor parameter yang mendefinisikan model hipotetik. Untuk menguji

22 10 hipotesis di atas, matriks koragam S digunakan sebagai dugaan bagi Σ dan ( θ ) = adalah dugaan bagi Σ(θ). Keputusan yang diharapkan adalah menerima Ho sehingga dapat disimpulkan bahwa model hipotesis sesuai dengan data. 2. GFI (Goodness of Fit Index) dan AGFI (Adjusted GFI) GFI merepresentasikan persen keragaman S yang dapat menjelaskan Σ, yaitu keragaman dalam model. GFI dan AGFI diperoleh dari rumus berikut: 1 2 [( ) ] tr GFI = 1 S I tr 1 2 [( S) ] (15) qq ( + 1) AGFI = 1 [1 GFI] 2df (16) dengan q banyaknya indikator peubah laten eksogenous dan df derajat bebas. Menurut Bollen (1989), aturan praktis untuk kelayakan sebuah model hendaknya GFI dan AGFI masing-masing lebih besar dari 0,90 dan 0, RMSEA (Root Mean Square Error of Approximation) RMSEA digunakan sebagai pendamping bagi statistik sebuah model. RMSEA diperoleh dari rumus berikut: 2 χ dalam menilai kelayakan 2 χ df RMSEA = ( n 1) df ( n 1) df (17) 2 χ adalah nilai dari khi-kudrat model, df adalah derajat bebas model dan n adalah ukuran contoh. Menurut Engel et al. (3), nilai RMSEA 0.05 mengindikasikan model yang baik, sedangkan nilai RMSEA antara 0.05 dan 0,08 merupakan indikasi dapat diterimanya sebuah model.

23 11 4. RMSR (Root Mean Square Residual) RMSR merupakan ukuran rata-rata dari kuadrat sisaan. Semakin besar nilai RMSR semakin buruk model hipotetik dalam mengepas data, demikian pula sebaliknya. RMSR dirumuskan sebagai berikut: RMSR = di mana p+ q i i= 1 j= 1 ( sij σ ij ) ( p+ q)( p+ q+ ) 2 1/2 p : banyaknya indikator bagi peubah laten endogenous q : banyaknya indikator bagi peubah laten eksogenous s ij : unsur matriks S s $ ij : unsur matriks (18) Skewness dan Kurtosis Terdapat dua macam ukuran untuk memeriksa bentuk sebaran data yakni skewness dan kurtosis. Menurut Kotz dan Johnson (1992) Skewness secara umum disebut juga koefisien kemenjuluran Pearson yaitu ukuran kemenjuluran data peubah tunggal (univariate). Skewness merupakan fungsi dari tiga statistik yaitu rataan, median dan simpangan baku dirumuskan dengan 3( x Me) / s. Jika skewness bernilai lebih dari nol (positif), mengindikasikan data menjulur ke kanan, demikian pula sebaliknya. Nilai skewness mendekati nol mengindikasikan kesimetrikan data. Dalam hal data peubah ganda (multivariate), multivariate skewness merupakan perumuman dari univariate skewness. Penolakan terhadap hipotesis data menyebar normal ganda yaitu jika nilai dari multivariate skewness sangat besar. Kurtosis mengukur seberapa besar penyimpangan data dari sebaran normal. Kurtosis diberikan oleh persamaan 2 m4 / m 2 di mana 4 m adalah momen pusat keempat dan m2 adalah moment pusat kedua. Nilai negatif mengindikasikan sebaran data lebih landai dari sebaran normal, demikian pula sebaliknya. Nilai kurtosis mendekati nol mengindikasikan data mengikuti sebaran normal. Seperti halnya multivariate skewness, multivariate kurtosis merupakan perumuman dari univariate kurtosis. Hipotesis bahwa

24 12 data menyebar normal ganda ditolak jika multivariate kurtosis bernilai sangat besar atau sangat kecil. Mardia dalam Kotz dan Johnson (1992) mendefinisikan multivariate skewness dan multivariate kurtosis masing-masing sebagai berikut: { ( ) 1 ( ) } { ( ) 1 ( ) } β1. p = E x μ ' y μ (19) β2. p = E x μ ' x μ (20) di mana μ adalah vektor nilai tengah berukuran p 1, Σ adalah matriks koragam berukuran p p, sedangkan x dan y adalah vektor peubah acak yang saling bebas berukuran p 1.

25 13 METODE PENELITIAN Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan hasil simulasi melalui pembangkitan dari komputer. Untuk membangkitkan data, digunakan desain model persamaan struktural dengan nilai parameternya seperti dinyatakan pada Gambar 1. Model ini terdapat dalam file EX64D.LS8 pada paket program LISREL 8.30 (Jöreskog & Sörbom 1996a). Alasan digunakan model ini adalah kelengkapan dan kesederhanaannya (Suwarno 1). Lengkap dalam arti model ini memuat peubah laten bebas dan tak bebas. Sederhana karena model ini hanya terdiri dari tiga peubah laten dan enam peubah manifes Y X 1 X ξ η Y 2 Y η Y Keterangan : Gambar 1 Desain model persamaan struktural. ξ 1 = social economic status η 1 = alien67 η 2 = alien71 Χ 1 = education index Χ 2 = social economic index

26 14 Y 1 = anomia67 Y 2 = powerless67 Y 3 = anomia71 Y 4 = powerless71 Spesifikasi parameter model yang bersesuaian dengan diagram lintas pada Gambar 1 adalah : Λ y y λ y λ = =, y 0 λ y 0 λ Λ x = x λ x =, λ В = = β21 0, Ψ = diag ( ψ11, ψ 22 ) = diag(0.68, 0.50), Φ = φ 11 = 1.00, Г = γ = γ, Θ δ = diag( δ δ θ 11, θ 22 ) = diag(0.29, 0.59), Θ ε = ε θ ε 0 θ = ε ε θ θ 33 ε ε 0 θ θ 44

27 15 Prosedur Penelitian Prosedur dalam penelitian ini dapat dilihat pada Gambar 2 di bawah ini. Matriks Koragam Model Ukuran Contoh N=,,, dan Pembangkitan Data ( PRELIS 2.30 ) Pendugaan Parameter (LISREL 8.30) Sebaran - Normal - Tidak Normal Kelayakan Model Bandingkan MARB Simpulkan Gambar 2 Diagram alur penelitian. Berdasarkan diagram pada Gambar 2, maka tahap-tahap dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Menentukan matriks koragam yang dihasilkan dari parameter-parameter model. 2. Membangkitkan data berdasarkan matriks segitiga bawah ( lihat Lampiran 2) dari matriks input model pada Gambar 1 dengan ukuran contoh,,, dan. Dari masing-masing gugus data digunakan dua asumsi yaitu menyebar

28 16 normal ganda dan tidak menyebar normal ganda. Program yang digunakan adalah PRELIS Menduga parameter model persamaan struktural berdasarkan matriks koragam contoh yang diperoleh pada tahap 2 dengan menggunakan program LISREL Metode yang digunakan dalam pendugaan parameter ini adalah,, dan. 4. Membandingkan besarnya nilai MARB parameter dugaan masing-masing metode serta ukuran kelayakan model dugaan untuk masing-masing gugus data. 5. Menyimpulkan kekonsistenan masing-masing metode berdasarkan besarnya MARB parameter dugaannya. Dalam hal ini MARB yang lebih kecil menunjukkan bahwa metode yang digunakan lebih baik atau relatif konsisten. Sementara ketepatan masing-masing metode didasarkan pada ukuran kelayakan model. Bias dan MARB Bias adalah selisih antara nilai harapan suatu statistik dengan parameternya. Misalkan $θ adalah statistik penduga parameter θ, maka bias dugaan parameter $ θ dilambangkan dengan b( $ θ ) yang dirumuskan sebagai: b( $ θ ) = E( $ θ ) θ (21) di mana E( $ θ ) adalah nilai harapan atau nilai tengah dari $ θ. Untuk mengetahui bias yang terjadi pada suatu metode terhadap suatu model secara menyeluruh digunakan ukuran Mean Absolute Relative Bias (MARB) yaitu rata-rata dari nilai mutlak bias relatif keseluruhan parameter model. Menurut Hoogland dan Boomsma (1998), nilai MARB didefinisikan sebagai berikut: MARB ( ˆ 1 t ˆ θi θi θ i ) = ; i = 1, 2, 3,..., t (22) t θ i= 1 i

29 17 Kajian Metode Penduga Parameter HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi pengepasan untuk metode,, dan yang dinyatakan pada persamaan (11), (12), (13) dan (14) merupakan fungsi minimum tak berkendala. Syarat perlu untuk menentukan minimum suatu fungsi, katakanlah f(θ) adalah dengan menyamakan turunan parsial f(θ) terhadap θ i dengan nol untuk mendapatkan nilai θ i. Jika θ berukuran t 1, maka f ( θ ) = 0, θ i untuk i = 1, 2,, t (23) Syarat cukup bagi nilai θ i untuk meminimumkan f(θ) adalah matriks dari turunan parsial kedua, 2 f ( θ )/ θθ ' definit positif pada θ i. Dari persamaan (23) diperoleh sejumlah persamaan θ i dalam θ. Dalam beberapa kasus aljabar sederhana, solusi dari θi dapat diturunkan dari t persamaan (23). Misalnya, dalam regresi linier berganda di mana fungsi f(θ) adalah jumlah dari kuadrat sisaan dan θ terdiri dari parameterparameter regresi yang tidak diketahui, maka persamaan (23) menghasilkan t persamaan linier dalam θ i. Solusi eksplisit dari parameter-parameter regresi ini baik jika diketahui. Dalam model persamaan struktural umum di mana f ( θ) adalah fungsi pengepasan F, F, F dan F, maka persamaan (23) menghasilkan t persamaan parameter yang secara tipikal tak linier sehingga solusi eksplisit dari parameter-parameter ini biasanya tidak dapat diperoleh. Dalam kasus peminimuman seperti ini diperlukan metode numerik. Metode numerik dalam kasus peminimuman ini dimulai dari sebuah fungsi objektif yang akan diminimumkan. Dalam hal ini, fungsi objektifnya adalah F, F, F dan F. Tujuan dari metode ini adalah mengembangkan sederetan nilai-nilai θ sedemikian sehingga vektor terakhir dalam deretan itu meminimumkan salah satu fungsi objektif di atas. Nilai pertama dari θ diberi simbol θ (1), yang kedua θ (2) dan seterusnya sampai θ (l). Tiga kunci pokok dalam peminimuman numerik adalah : 1. Pemilihan nilai awal.

30 18 2. Aturan perpindahan dari suatu iterasi keiterasi berikutnya. 3. Aturan pemberhentian iterasi. Nilai awal mempengaruhi peminimuman numerik, antara lain menentukan jumlah iterasi yang diperlukan untuk memperoleh solusi akhir. Pengambilan nilai awal yang dekat dengan solusi akhir biasanya akan mengurangi iterasi yang diperlukan. Sebaliknya, nilai awal yang jauh dari solusi akhir akan meningkatkan kemungkinan untuk mendapatkan minimum lokal daripada minimum global atau tidak menemukan suatu solusi yang konvergen. Ada beberapa strategi untuk menyeleksi nilai awal. Salah satunya adalah menggunakan suatu prosedur noniteratif untuk menduga parameter model. Program LISREL 8.30 dari Jöreskog and Sörbom (1989) menyediakan suatu teknik variabel instrumental secara otomatis untuk tujuan ini. Kunci berikutnya adalah bagaimana aturan untuk melangkah dari θ (i) ke θ (i+1). Kriteria dasarnya adalah bahwa pergerakan θ (1), θ (2),..., θ (l) harus berakibat pada menurunnya nilai-nilai fungsi pengepasan. Idealnya, untuk setiap langkah nilai F(θ (i+1) ) kurang dari F(θ (i) ). Walaupun demikian, deretan nilai-nilai fungsi pengepasan tidak selalu turun secara monoton. Dalam hal ini, gradien fungsi pengepasan dapat dijadikan petunjuk ke arah mana nilai fungsi pengepasan akan menurun atau sebaliknya. Secara umum, suatu gradien negatif menyarankan bahwa pemilihan nilai parameter harus meningkat demikian pula sebaliknya. Misalkan $ θ adalah vektor dugaan dari parameter yang tidak diketahui maka pemilihan nilai $ ( i 1) i 1) $( θ i+ mengikuti prosedur : θ + = $() θ - C (i) g (i) (24) dengan g (i) adalah gradien vektor F / $ θ pada $() θ i dan C (i) adalah matriks definit positif. Umumnya C (i) merupakan matriks identitas. Kunci terakhir dalam peminimuman numerik adalah kapan berhentinya suatu iterasi. Beberapa kriteria di antaranya adalah jika perbedaan nilai fungsi pengepasan dari suatu iterasi ke iterasi berikutnya kurang dari suatu bilangan yang sangat kecil yang telah ditetapkan sebelumnya. Kriteria lain adalah jika terdapat perbedaan yang kecil nilai parameter yang diduga dari suatu iterasi ke iterasi berikutnya. Ini menunjukkan bahwa metode telah konvergen.

31 19 Metode Kemungkinan Maksimum () Fungsi pengepasan untuk metode dapat dilihat pada persamaan (11). Dalam hal ini diasumsikan bahwa Σ(θ) dan S adalah definit positif. Umumnya, F adalah fungsi tak linier yang lebih kompleks dari parameter-parameter struktural sehingga solusi eksplisitnya tidak selalu ditemukan. Oleh karena itu, prosedur numerik secara iteratif diperlukan untuk menemukan parameter-parameter model yang tidak diketahui. Penduga mempunyai beberapa sifat penting. Pertama, meskipun tak bias pada sampel yang kecil, penduga adalah tak bias secara asimtotis. Kedua, penduga adalah konsisten (plim $ θ = θ di mana $ θ adalah penduga dan θ adalah parameter populasi). Ketiga, penduga efisien secara asimtotis sehingga di antara penduga yang konsisten tak satupun yang mempunyai ragam asimtotis yang lebih kecil. Selanjutnya, sebaran dari penduga mendekati suatu sebaran normal jika ukuran sampel meningkat Atau dengan kata lain, penduga-penduga tersebut menyebar normal asimtotis sehingga jika diketahui standar error dari parameter yang diduga maka rasio antara parameter yang diduga dengan standar errornya harus mendekati distribusi-z pada contoh yang besar. Metode Kuadrat Terkecil Umum () Penduga menyebar normal ganda dan efisien secara asimtotis. Walaupun demikian, F mempunyai batasan-batasan yang ketat. Jika sebaran peubah-peubah pengamatan mempunyai nilai kurtosis yang terlalu besar atau terlalu kecil maka koragam asimtotis dari s ij dan s gh dapat diturunkan dari N 1 ( σ σ + σ σ ). Pertimbangan lain ig jh ih jg adalah agar ketika asumsi dari S terpenuhi, sifat-sifat dari penduga adalah asimtotis. Sangat kurang diketahui bagaimana prilaku penduga pada ukuran contoh yang kecil, tetapi kelihatan bahwa ia mempunyai bias yang menuju nol dalam ukuran sampel yang kecil. Metode Kuadrat Terkecil Tak Terboboti () Metode meminimumkan jumlah dari kuadrat setiap elemen di dalam matriks sisaan S - Σ(θ). Matriks sisaan dalam kasus ini terdiri dari selisih antara matriks koragam sampel dengan matriks koragam model yang bersesuaian. Fungsi pengepasan dari metode

32 20 ini dinyatakan pada persamaan (13). Sama seperti fungsi penduga parameter yang lain, penduga juga merupakan penduga yang konsisten dan ia tidak memerlukan asumsi khusus dari sebaran peubah yang diamati sepanjang parameternya teridentifikasi. Metode Kuadrat Terkecil Terboboti () Adalah metode penduga alternatif yang mengizinkan ketidaknormalan data. Fungsi pengepasan dari metode ini dinyatakan pada persamaan (14). Pada persamaan tersebut s adalah vektor yang terdiri dari 1 2 ( p + q )( p + q + 1) elemen yang diperoleh dengan menempatkan elemen-elemen S dalam sebuah vektor, σ(θ) adalah vektor berorde sama yang bersesuaian dengan Σ(θ), θ adalah vektor t 1 dari parameter bebas dan W -1 matriks pembobot definit positif yang berukuran 1 ( p+ q)( p+ q+ 1) 1 ( p+ q)( p+ q+ 1). 2 2 W dipilih menjadi penduga yang konsisten dari matriks koragam asimtotis s. Secara umum koragam asimtotis dari s ij dengan s gh adalah ACOV( s ij, s gh ) = N 1 ( σ σσ ) (25) ijgh ij gh di mana σ ijgh adalah EX ( i μi)( X j μj)( Xg μg)( Xh μh), σ ij dan σ gh adalah masing-masing koragam populasi dari X i dengan X j dan X g dengan X h. Perbandingan Ketepatan dan Kekonsistenan Metode Penduga Parameter Suatu penduga $ θ N dikatakan penduga yang konsisten bagi θ apabila p lim $ θ N = θ (26) N Dari persamaan (26) jelas bahwa $ θ N konvergen dalam peluang ke θ jika ukuran contoh semakin besar. Barisan peubah acak $ θ N berkorespondensi dengan serangkaian fungsi sebaran F N. Jika F N konvergen ke suatu fungsi sebaran F untuk N menuju tak hingga, maka $ θ N dikatakan konvergen dalam sebaran ke F untuk N. Ketika p lim $ θ N sama dengan suatu konstanta, maka F adalah sebaran pembangkit jika ia konvergen pada suatu nilai tunggal. Sebaran dari $ θ N sering dipelajari sebagai pendekatan fungsi sebaran. Studi tentang asimtotis atau batasan sebaran berguna dalam situasi batasan sebaran sampel tidak diketahui atau sulit diturunkan. Pada ukuran sampel yang

33 21 besar, batasan sebaran menjadi pendekatan yang masuk akal untuk sebaran dari suatu peubah acak atau penduga. Fungsi pengepasan untuk metode dirumuskan berdasarkan sebaran normal ganda dari sebaran peubah pengamatan. Apabila sebaran bagi peubah pengamatan adalah normal ganda maka metode akan menghasilkan penduga yang efisien untuk ukuran contoh yang cukup besar. Asumsi kunci dari metode adalah ukuran contoh yang besar. Ini diperlukan untuk memperoleh penduga yang tak bias secara asimtotis (ada kemungkinan akan berbias pada ukuran contoh yang kecil). Menurut Engel (3), jika data pengamatan menyebar normal ganda, spesifikasi model dilakukan secara benar dan ukuran contoh cukup besar maka metode akan menghasilkan parameter dugaan dan standar error yang tak bias, konsisten dan efisien secara asimtotis. Metode menghasilkan penduga yang konsisten. Asumsi yang harus dipenuhi adalah sebaran asimtotis bagi unsur-unsur S adalah normal ganda. Hal ini dapat dipenuhi jika peubah pengamatan menyebar normal ganda. Walaupun demikian asumsi ini juga dipenuhi untuk data pengamatan yang menyebar secara simetrik meskipun bukan normal ganda. Oleh karena itu, metode juga bekerja baik pada data yang tidak menyebar normal ganda dengan ukuran contoh yang besar yakni lebih dari 2 (Garson 0). Kurang diketahui perilaku penduga pada contoh yang berukuran kecil, tetapi kelihatannya ia mempunyai bias yang menuju nol pada contoh yang berukuran kecil. Berbeda dengan F dan F, F tidak memerlukan asumsi sebaran normal ganda dari data pengamatan. Salah satu keuntungan dari metode adalah sifat kekonsistenan penduganya. Sehingga pada ukuran sampel yang bertambah besar maka $ θ umumnya konvergen ke θ. Oleh karena itu, walaupun sebaran peubah pengamatan tidak normal tetapi kekonsistenan penduganya dapat dijamin. Penduga mempunyai beberapa kelebihan di antaranya adalah baik digunakan pada data pengamatan yang tidak memenuhi asumsi sebaran normal ganda. Menurut Engel (3), metode memerlukan asumsi minimal tentang sebaran peubah pengamatan. Studi simulasi dengan menggunakan data yang tidak menyebar normal menunjukkan bahwa hasil uji statistik dengan metode tidak dipengaruhi oleh karakteristik sebaran. Menurut Garson (0), metode baik digunakan bila data pengamatan memiliki ukuran contoh yang sangat besar.

34 22 Pembangkitan Data Dari hasil simulasi dengan beberapa pengulangan diperoleh sejumlah gugus data. Persentase bias dugaan parameter selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1. Gambaran nilai bias dan keragaman dugaan parameter dengan menggunakan metode,, dan untuk berbagai bentuk sebaran dan ukuran contoh disajikan dalam bentuk boxplot. Nilai bias dan keragaman dugaan parameter yang relatif kecil dari masing-masing metode menunjukkan kekonsistenan metode tersebut. Hasil-hasil ini dapat diuraikan sebagai berikut: Model Struktural Gambaran nilai-nilai bias dan keragaman dugaan parameter model struktural pada semua ukuran contoh dan sebaran disajikan pada Gambar 3 dan Gambar Boxplot of,,, vs GA Boxplot of,,, vs GA GA11 W LS GA11 W LS Boxplot of,,, vs GA21 Boxplot of,,, vs GA GA21 GA21 W LS W LS Boxplot of,,, vs BE21 Boxplot of,,, vs BE BE BE21 W LS W LS Gambar 3 parameter 11 γ (GA11), 21 γ (GA21) dan 21 β (BE21) pada bebagai ukuran contoh dan bentuk sebaran (normal ganda pada kolom kiri dan tak normal ganda pada kolom kanan).

35 23 Terlihat bahwa pada kedua bentuk sebaran, semua metode relatif lebih konsisten dalam menduga parameter γ 11 (GA11) pada N =. Untuk parameter γ 21(GA21) pada data yang menyebar normal ganda, semua metode relatif lebih konsisten pada N =, sedangkan pada sebaran tak normal ganda semua metode relatif lebih konsisten pada N = dan N =. Sementara untuk parameter β 21 (BE21) baik pada sebaran normal ganda maupun pada sebaran tak normal ganda semua metode relatif lebih konsisten pada N =. Boxplot of,,, vs PS11 Boxplot of,,, vs PS PS PS11 Boxplot of,,, vs PS22 Boxplot of,,, vs PS PS PS22 Gambar 4 parameter ψ 11 (PS11) dan ψ 22 (PS22) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran (normal ganda pada kolom kiri dan tak normal ganda pada kolom kanan) Gambar 4 menyajikan nilai dugaan untuk matriks koragam bagi ζ yaitu parameter dalam Ψ. Untuk parameter ψ 11, pada sebaran normal ganda maupun pada sebaran tak normal ganda semua metode relatif konsisten pada N =. Sementara untuk ψ 22, pada sebaran normal ganda semua metode relatif lebih konsisten pada N = dan pada sebaran tak normal ganda semua metode juga relatif konsisten pada N =.

36 24 Model Pengukuran Gambaran nilai-nilai bias dan keragaman dugaan parameter bagi model pengukuran x x untuk parameter-parameter λ 11 dan λ 21 disajikan pada Gambar 5. Terlihat bahwa untuk x menduga parameter λ 11 walaupun semua metode menghasilkan bias pada sebaran normal ganda namun keragaman yang kecil dihasilkan pada N =. Dalam hal ini semua metode relatif konsisten pada N =. Pada sebaran tak normal ganda semua metode x relatif konsisten pada N =. Untuk parameter λ 21, pada sebaran normal ganda maupun pada sebaran tak normal ganda semua metode relatif konsisten pada N =. Boxplot of,,, vs LX11 Boxplot of,,, vs LX LX LX11 Boxplot of,,,, vs LX21 Boxplot of,,, vs LX LX LX21 x x Gambar 5 parameter λ 11 (LX11) dan λ 21 (LX21) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran (normal ganda pada kolom kiri dan tak normal ganda pada kolom kanan). Gambaran nilai bias dan keragaman dugaan parameter bagi model pengukuran untuk y disajikan pada Gambar 6.

37 25 Boxplot of,,, vs LY11 Boxplot of,,, vs LY LY LY11 Boxplot of,,, vs LY21 Boxplot of,,, vs LY LY LY21 Boxplot of,,, vs LY32 Boxplot of,,, vs LY LY LY32 Boxplot of,,, vs LY42 Boxplot of,,, vs LY LY LY42 y y y y Gambar 6 parameter λ 11 (LY11), λ 21 (LY21), λ 32 (LY32) dan λ 42 (LY42) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran (normal ganda pada kolom kiri dan tak normal ganda pada kolom kanan).

38 26 y Dari Gambar 6 terlihat bahwa untuk menduga parameter λ 11 (LY11) pada kedua sebaran semua metode relatif lebih konsisten pada N =. Sementara itu, untuk y menduga parameter λ 21 (LY21) pada sebaran normal ganda semua metode relatif lebih konsisten pada N = dan N =, sedangkan pada sebaran tak normal ganda semua metode relatif konsisten pada N =. Hal ini berlaku juga untuk parameter-parameter y y λ 32 (LY32) dan 42 Gambar 7. λ (LY42). δ δ Gambaran nilai bias dan keragaman dugaan parameter θ 11 dan θ 22 disajikan pada Boxplot of,,, vs TD11 Boxplot of,,, vs TD TD TD11 Boxplot of,,, vs TD22 Boxplot of,,, vs TD TD TD22 δ δ Gambar 7 parameter θ 11 (TD11) dan θ 22 (TD22) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran (normal ganda pada kolom kiri dan tak normal ganda pada kolom kanan). δ Terlihat bahwa pada sebaran normal ganda dalam menduga parameter θ 11 semua metode relatif lebih konsisten pada N =, sedangkan pada sebaran tak normal ganda semua metode relatif lebih konsisten pada N =. Sementara itu, dalam menduga δ parameter θ 22, pada sebaran normal ganda semua metode relatif lebih konsisten pada N = dan N =, demikian pula pada sebaran tak normal ganda.

39 27 ε ε ε Gambaran nilai bias dan keragaman dugaan parameter θ 11, θ22 dan θ 33 disajikan ε pada Gambar 8. Terlihat bahwa untuk menduga parameter θ 11 pada sebaran normal ganda, semua metode relatif konsisten pada N =, sedangkan pada sebaran tak normal ganda semua metode relatif lebih konsisten pada N =. Sementara itu, untuk menduga ε parameter θ 22 baik pada sebaran normal ganda maupun tak normal ganda, semua metode ε relatif konsisten pada N = dan N =. Untuk menduga parameter θ 33 pada sebaran normal ganda semua metode relatif konsisten pada N = dan N =, sedangkan pada sebaran tak normal ganda semua metode relatif konsisten pada N =. Boxplot of,,, vs TE11 Boxplot of,,, vs TE TE TE11 Boxplot of,,, vs TE22 Boxplot of,,, vs TE TE TE22 Boxplot of,,, vs TE33 Boxplot of,,, vs TE TE TE33 ε ε ε Gambar 8 parameter θ 11 (TE11), θ 22 (TE22) dan θ 33 (TE33) pada berbagai ukuran contoh dan sebaran (normal ganda pada kolom kiri dan tak normal ganda pada kolom kanan).