PENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER AZWIRDA AZIZ SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005

Transkripsi

1 1 PENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER AZWIRDA AZIZ SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005

2 2 SURAT PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang berjudul Penggunaan Regresi Spline Adaptif Berganda untuk Data Respon Biner adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Desember 2005 Azwirda Aziz NRP. G

3 3 ABSTRAK AZWIRDA AZIZ. Penggunaan Regresi Spline Adaptif Berganda untuk Data Respon Biner. Dibimbing oleh AUNUDDIN dan ANANG KURNIA. Dalam berbagai kasus seringkali ditemukan pola hubungan antara peubah respon dengan peubah prediktor mengikuti siklus nonlinier, serta bentuk kurvanya sulit untuk ditetapkan atau tidak diketahui karena bentuknya tidak sederhana atau tidak mengikuti fungsi yang secara luas diketahui, sehingga diperlukan metoda yang dapat mengakomodasi penga ruh nonlinier tersebut, dan tanpa memerlukan penetapan bentuk kurva secara a priori. Regresi spline adaptif berganda (RSAB) digunakan untuk tujuan prediksi. Penelitian ini bertujuan untuk penerapan RSAB pada peubah respon biner dalam kasus peramalan resesi berdasarkan peubah finansial dan riil di Indonesia. Hasil penelitian menunjukkan bahwa penerapan model RSAB memperlihatkan hasil yang menjanjikan untuk peramalan resesi di dalam contoh. Sedangkan untuk peramalan resesi di luar contoh, model RSAB dapat membantu tetapi secara umum tidak memberikan hasil yang tepat. Kata kunci: generalized cross-validation, multivariate adaptive regression splines, recursive partitioning, regression analysis, spline functions.

4 4 PENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER AZWIRDA AZIZ Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Statistika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005

5 5 Judul Tesis : Penggunaan Regresi Spline Adaptif Berganda untuk Data Respon Biner Nama : Azwirda Aziz NIM : G Program studi : Statistika : Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Aunuddin, M.Sc. Ketua Ir. Anang Kurnia, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Statistika Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Budi Susetyo, M.S. Prof. Dr.Ir. Syafrida Manuwoto, M.Sc. Tanggal ujian : 6 Desember 2005 Tanggal lulus :

6 6 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah regresi spline adaptif berganda, dengan judul Penggunaan Regresi Spline Adaptif Berganda untuk Data Respon Biner. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Aunuddin, M.Sc dan Bapak Ir. Anang Kurnia. M.Si selaku pembimbing. Di samping itu, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Ir.Sutikno M.Si atas bantuanya mendapatkan software MARS serta saran-saran yang diberikan, Bapak Ir. Handy Yunianto di PT Danareksa atas bantuan memperoleh data, Bapak Bagus M.Si, Mas Widyo (BPS) dan teman-teman di STK terutama angkatan 2001 yang banyak membantu penyelesaian tesis ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada suami, ananda, ibu, bapak (alm) dan seluruh keluarga atas segala doa, dorongan serta kasih sayangnya. Tak lupa penulis ucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah banyak membantu sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Desember 2005 Azwirda Aziz

7 7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Batusangkar Propinsi Sumatera Barat pada tanggal 14 April 1958 dari bapak Aziz Arif (alm) dan ibu Rahimah Yasir. Penulis merupakan anak ketiga dari tujuh bersaudara. Tahun 1976 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Padang dan pada tahun 1977 masuk program sarjana IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Pada akhir tahun 1977 penulis memilih Jurusan Statistika dan lulus pada tahun Pada tahun 1982 sampai tahun 1989 penulis bekerja sebagai Staf Pengajar pada Fakultas Pertanian Universitas Andalas Padang, pada tahun 1989 penulis pindah ke Universitas RIAU Pekanbaru karena mengikuti suami, dan bekerja sebagai Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Pekanbaru sampai tahun Pada tahun 1995 penulis pindah ke Jakarta dan bekerja sebagai Staf Pengajar Kopertis Wilayah III di Jakarta pada Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi Swadaya Jakarta sampai saat ini. Pada tahun 2001 penulis diterima di Program Studi Statistika Program Pascasarjana IPB. Beasiswa pendidikan diperoleh dari Direktorat Perguruan Tinggi (Dikti) Departemen Pendidikan Nasional.

8 8 Halaman DAFTAR ISI DAFTAR TABEL..... viii DAFTAR LAMPIRAN... PENDAHULUAN Latar Belakang... 1 Pemasalahan... 2 Tujuan Penelitian... 3 TINJAUAN PUSTAKA... 4 Regresi Spline Adaptif Berganda... 4 Recursive Partitioning Regression... 7 Modifikasi Friedman Pemilihan Model Dekomposisi ANOVA Model RSAB Penerapan Model RSAB untuk Data Respon Biner DATA DAN METODA Sumber Data Metoda Analisis HASIL DAN PEMBAHASAN Pendugaan Model Regresi dengan RSAB Peubah Prediktor yang Relatif Penting Peramalan Resesi dengan RSAB Penerapan Model RSAB untuk Peramalan Resesi Tahun Pendugaan Model Regresi dengan Regresi Logistik yang Dimodifikasi SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN ix

9 9 Halaman DAFTAR TABEL 1 Komponen sidik ragam model resesi untuk 3 bulan ke depan Peringkat peubah prediktor yang relatif penting untuk model resesi 3 bulan ke depan dengan lima prediktor Statistik -statistik peramalan resesi (Y) dengan lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF) pada peramalan di dalam contoh Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan lagy) pada peramalan di dalam contoh Statistik-statistik peramala n resesi (Y) dengan lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF) pada peramalan di luar contoh Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan lagy) pada peramalan di luar contoh Hasil penerapan model RSAB untuk peramalan resesi tahun 2004 dengan menggunakan lima prediktor Hasil penerapan model RSAB untuk peramalan resesi tahun 2004 dengan menggunakan enam prediktor... 27

10 10 Halaman DAFTAR LAMPIRAN 1 Sidik ragam pendugaan model resesi dengan RSAB untuk peramalan di dalam contoh Peringkat peubah prediktor yang relatif penting untuk peramalan resesi di dalam contoh Grafik peramalan resesi (Y) dengan RSAB untuk peramalan di dalam contoh Grafik peramalan resesi (Y) dengan RSAB untuk peramalan di luar contoh... 40

11 11 PENDAHULUAN Latar Belakang Regresi spline adaptif berganda (RSAB), atau multivariate adaptive regression splines (MARS) merupakan metoda pemodelan regresi yang fleksibel untuk data berdimensi tinggi. Bentuk model RSAB merupakan perluasan hasil kali fungsi-fungsi basis spline, di mana jumlah fungsi basis beserta parameterparameternya (derajat hasil kali, lokasi knot) ditentukan secara otomatis oleh data dengan menggunakan algoritma recursive partitioning yang dimodifikasi. Recursive Partitioning (RP) sebagai metoda pemodelan regresi memiliki beberapa kekurangan diantaranya: Model RP menghasilkan himpunan bagian yang saling lepas dan diskontinu pada batas himpunan bagian, serta Model RP tidak cukup mampu dalam menduga fungsi linier atau aditif. Metoda RSAB mampu mengatasi semua kekurangan yang dimiliki metoda RP dengan menggunakan algoritma RP yang dimodifikasi sehingga diperoleh model yang kontinu dengan turunan yang kontinu (Friedman 1990). Pola hubungan antara peubah respon dengan peubah prediktor dapat diduga dengan pemodelan regresi parametrik maupun pemodelan regresi nonparametrik. Pada pemodelan regresi parametrik selain diperlukan asumsiasumsi yang ketat diperlukan pula sejumlah batasan antara lain: (1) model bersifat linier aditif, (2) bentuk fungsional kurva diketahui, dan (3) galat berdistribusi normal. Namun demikian seringkali ditemuka n dalam berbagai kasus di mana pola data atau bentuk kurvanya tidak jelas sehingga secara a priori sulit untuk ditetapkan ke dalam salah satu bentuk fungsi keluarga parametrik. Dalam kasus ini pemodelan regresi parametrik tidak dapat dilakukan karena pende katan ini hanya akan menghasilkan pendugaan model yang tepat jika bentuk fungsional kurva yang sebenarnya mendekati salah satu bentuk fungsional kurva dari keluarga parametrik. Alternatif lain dapat digunakan untuk menduga bentuk kurva adalah melalui pendekatan regresi nonparamertik. Pemodelan regresi nonparametrik memiliki kelenturan terutama dalam penentuan bentuk kurva tidak perlu ditetapkan secara a priori, tetapi kurva dibentuk sesuai dengan datanya (data driven).

12 12 Pemodelan regresi nonparametrik pada umumnya dilakukan dengan proses pemulusan. Regresi spline adaptif berganda merupakan salah satu pemodelan regresi nonparamertik yang menggunakan potongan-potongan polinomial (berdasarkan spline) sebagai pemulus, di mana penempatan dan banyaknya knot disesuaikan dengan perilaku data dengan menggunakan algoritma recursive partitioning yang dimodifikasi. RSAB secara otomatis dapat membentuk modelmodel dugaan yang akurat baik untuk data respon kontinu maupun data respon biner. Metoda ini mampu menganalisis data yang besar, 50 N 1000, dengan jumlah peubah prediktor, 3 n 20, (Friedman 1990). Metoda RSAB untuk data respon biner saat ini masih dalam taraf pengembangan karena masih memerlukan sejumlah batasan-batasan. Sephton (2001) telah mela kukan penelitian untuk membandingkan model RSAB dengan model probit dalam peramalan resesi di Amerika di mana data resesi berupa data biner. Hasil yang diperoleh memperlihatkan bahwa model RSAB lebih tepat dibandingkan dengan model probit pada peramalan di dalam contoh sedangkan pada peramalan di luar contoh hasil peramalan model RSAB relatif sama dengan yang diperoleh model probit. Penerapan regresi spline adaptif berganda di Indonesia relatif masih baru. Sutikno (2002) menerapkan metoda RSAB untuk mengatasi masalah nonlinier pada data iklim (berupa data kontinu), yakni dengan menggunakan beberapa fungsi basis spline. Hasil yang diperoleh memperlihatkan bahwa metoda RSAB lebih baik dari metoda kuadrat terkecil (MKT). Sedangkan penerapan regresi spline adaptif berganda untuk data respon biner belum pernah diterapkan di Indonesia. Permasalahan Dalam pemodelan resesi di Indonesia (dalam hal ini data resesi berupa data biner) dengan beberapa kaitannya dengan faktor ekonomi, sebagian besar peubah ekonomi akan mengikuti siklus nonlinier serta bentuk kurvanya tidak diketahui karena bentuknya tidak sederhana atau tidak mengikuti fungsi yang secara luas diketahui, seperti kuadratik, kubik, eksponensial atau logaritma, sehingga dalam hal ini jika digunakan pemodelan regresi parametrik tidak dapat

13 13 menghasilkan dugaan yang tepat. Berdasarkan pertimbangan tersebut diperlukan metoda yang dapat mengatasi masalah nonlinier serta tidak memerlukan penetapan bentuk kurvanya secara a priori yaitu metoda RSAB ( pemodelan nonparametrik). Tujuan Penelitian Penerapan regresi spline adaptif berganda pada peubah respon biner dalam kasus peramalan resesi berdasarkan peubah finansial dan riil di Indonesia

14 14 TINJAUAN PUSTAKA Regresi Spline Adaptif Berganda Regresi spline adaptif berganda (RSAB) adalah metoda yang dikembangkan oleh Friedman pada tahun Dalam pemodelannya metoda ini menggunakan potongan polinomial sebagai pemulus. Pada pemodelan regresi nonparametrik terdapat beberapa aspek yang perlu diperhatikan. Jika pemodelan menggunakan rataan lokal sebagai pemulus maka pemilihan fungsi pemulus dan parameter pemulus (lebar jendela) perlu mendapat perhatian. Pemilihan ini tergantung adanya kurvatur lokal, taraf pemulusan yang diinginkan, dan parameter pemulus yang meminimumkan galat (Scott 1992, diacu dalam Aunuddin 2003). Jika pemodelan menggunakan potongan polinomial sebagai pemulus maka pemilihan fungsi basis, penempatan dan jumlah knot merupakan masalah dalam regresi spline (Hasti & Tibshirani 1990). Dalam pendugaan kurva terdapat hubungan antara pendekatan melalui potongan polinomial dengan rataan lokal sebagai pemulus yaitu untuk penempatan knot yang telah ditentukan, pendugaan kurva dengan potongan polinomial juga dapat dilakukan dengan menggunakan rataan lokal. Perbedaan yang mendasar dari kedua pendekatan ini adalah pemulus dengan rataan lokal pada dasarnya sangat ditentukan oleh parameter pemulus (lebar jendela), sedangkan pemulus dengan potongan-potongan polinomial secara tidak langsung ditentukan oleh jumlah, penempatan knot serta derajat kekontinuan yang diinginkan pada posisi-posisi knot (Friedman & Silverman 1989). Perimbangan antara fleksibilitas dan kemulusan dugaan kurva dikontrol oleh nilai parameter pemulus atau jumlah knot. Parameter pemulus yang relatif besar atau jumlah knot yang relatif kecil akan menghasilkan dugaan kurva yang sangat mulus sehingga perilaku data yang rinci tidak terlihat, sedangkan parameter pemulus yang relatif kecil atau jumlah knot yang relatif besar menghasilkan dugaan kurva yang kasar karena besarnya pengaruh variasi lokal (Friedman & Silverman 1989).

15 15 Suatu ukuran yang penting dan banyak digunakan untuk mengukur ketepatan keseluruhan kurva ^ f sebagai penduga bagi kurva f ialah Mean Square Error (MSE) atau Mean Integrated Square Error (MISE) yang dinyatakan sebagai berikut: MSE ( ^ f ) = E { ^ f (x) f (x) } 2 MISE ( ^ f ) = E {^ f (x) f (x) } 2 dx = E { ^ f (x) f (x) } 2 dx = MSE ^ f (x) dx = { E ^ f (x) f (x) } 2 dx + var ^ f (x) dx = { bias ^ f (x) } 2 dx + var ^ f (x) dx..(1) Semakin fleksibel dugaan kurva yang dihasilkan pemulus, maka umumnya bias kuadrat mengecil, sedangkan ragam meningkat. Penentuan nilai parameter atau jumlah knot yang optimum (penentuan fleksibilitas yang optimum) merupakan usaha untuk mencari perimbangan antara besarnya bias dan ragam dugaan kurva (Aunuddin 2003, Friedman & Silverman 1989, Hasti & Tibshirani 1990, Silverman 1986, Scott 1992). Namun demikian perlu diperhatikan bahwa MSE sensitif terhadap pencilan, sehingga kriteria lain mungkin lebih kekar (Steinberg et al. 2001). Potongan polinomial mempunyai sifat fleksibel dan efektif dalam menangani sifat lokal suatu fungsi atau data. Prosedur pendugaan kurva dengan potongan polinomial yang paling popular didasarkan pada spline, antara lain karena mudah ditelusuri secara teori maupun komputasinya serta memiliki fleksibilitas yang besar (Aunuddin 2003, Porier 1973, De Boor 1978). Fungsi spline berderajat n adalah suatu fungsi yang kontinu serta memiliki turunan n-1 yang kontinu (Wold 1974). Regresi spline adalah regresi yang terdiri atas beberapa penggal polinom berorde tertentu yang saling bersambung pada titik-titik ikat. Nilai absis dari titik ikat ini disebut knot (Smith 1979). Metoda regresi spline merupakan salah satu

16 16 alternatif yang dapat digunakan untuk menangani pola data yang bersifat nonlinier, di mana pola nonlinier ini sulit untuk diidentifikasi ke salah satu bentuk fungsi nonlinier yang sudah dikenal (misalnya polinom, eksponensial atau logaritma) sedangkan pada pemulusan dengan rataan lokal tidak secara eksplisit memasukkan kondisi nonlinier. Kesulitan utama dalam regresi spline klasik adalah penentuan jumlah dan lokasi knot. Disamping hal tersebut masalah lain pada regresi spline adalah pemilihan fungsi basis yang mencerminkan fungsi spline pada knot-knot tertentu. Fungsi spline yang sering digunakan adalah fungsi spline dengan polinom berderajat tiga (berordo 4) dan disebut spline kubik. Spline kubik sering digunakan karena polinom yang digunakan berordo relatif rendah dan menghasilkan pemulusan yang cukup baik. Kekontin uan sampai turunan kedua polinom-polinom yang digunakan menjamin kemulusan fungsi (Porier 1973,Smith 1979, Hasti & Tibshirani 1990). Formula dari spline kubik adalah : s(x) = â0 + â1 x +â2 x 2 +â 3 x 3 + θ j (x- î j) 3 + k j= 1 (2) dengan: a + = bagian positif dari a. î j = knot ke j untuk j =1, 2,, k Model pada persamaan (2) merupakan suatu kombinasi linier dari k+ 4 fungsi basis yang dikenal sebagai deret berpangkat terbatas (the truncated power series basis), dalam hal ini berpangkat tiga. Fungsi-fungsi basis tersebut adalah 1, x 1, x 2, x 3, {(x- î j) 3 } k + 1 (Friedman 1990, Hasti & Tibshirani 1990). Penyajian unsur -unsur basis model spline pada persamaan (2) disebut juga penyajian dengan fungsi +. Penyajian model spline dengan fungsi + memungkinkan data untuk dipaskan dengan metoda kuadrat terkecil serta mudah dilakukan pengujian hipotesis. Namun demikian terdapat kelemahan penyajian model spline dengan fungsi + yakni masalah singularitas dari matrik rancangan untuk jumlah knot yang besar (Smith 1979). Penetapan fungsi basis lain untuk model spline yang dipandang lebih baik dari segi komputasi untuk jumlah knot yang besar serta telah ditentukan adalah melalui fungsi basis B-spline (Wold 1974). Namun demikian penyajian B-spline

17 17 sebagai unsur -unsur basis pada model spline sulit untuk diinterpretasikan secara statistika (Smith 1979). Kebaikan regresi spline sangat tergantung pada penempatan dan jumlah knot serta pemilihan fungsi basis. Jumlah knot perlu ditetapkan terlebih dahulu dan penempatannya dapat dilakukan dengan mencoba semua kombinasi knot yang mungkin (Steinberg et al. 2001), ditentukan secara manual dan diduga sebagai parameter dengan menggunakan regresi nonlinier (Smith 1979). Cara ini tidak akan terlalu mengalami kesulitan untuk data dengan satu peubah prediktor dan satu knot yang akan dipilih, tetapi untuk data dengan peubah prediktor berdimensi besar atau jumlah knot yang besar hal ini akan menimbulkan kesulitan. Regresi spline adaptif berganda menentukan lokasi dan jumlah knot berdasarkan pemilihan peubah pada langkah maju (forward) dan langkah mundur (backward) algoritma recursive partitioning yang dimodifikasi, di mana lokasi dan jumlah knot yang optimum disesuaikan dengan perilaku data. Pada langkah maju model dibangun dengan menambahkan fungsi basis spline (pengaruh utama, knot atau interaksi) hingga diperoleh model yang jenuh. Selanjutnya pada langkah mundur model yang diperoleh pada langkah maju, di keluarkan fungsi basis spline yang paling kecil kontribusinya sampai diperoleh perimbangan antara bias dan ragam yang optimum melalui generalized cross validation. Recursive Partitioning Regression Asal mulanya recursive partitioning regression mucul digunakan dalam program AID (automatic interaction detection) oleh Morgan dan Sonquist pada tahun 1963 (Davis & Anderson 1989, diacu dalam Kudus 1999). Kemudian digunakan oleh Breiman et al. (1984) dalam bukunya Classification and Regression Trees. Recursive partitioning (RP) merupakan pendugaan fungsi f (x) dengan cara melalukan pemilahan secara iteratif daerah asal D menjadi himpunan bagian (subregion) yang saling lepas. Pada setiap tahap pemilahan, himpunan-himpunan bagian dipilah berdasarkan salah satu peubah yang dipilih sedemikian rupa sehingga memaksimumkan penurunan jumlah kuadrat sisaan.

18 18 Model dari recursive partitioning regression adalah : jika x R m, maka fˆ (x) = g m (x {a j } p 1 dengan: x = (x 1,., x n ) ).(3 ) M { R m} = himpunan bagian yang saling lepas dari daerah D. 1 Pada umumnya gm merupakan fungsi parametrik yang sederhana dan yang paling sering adalah suatu fungsi konstan : g m (x {a m } ) = a m (4) Dengan menggunakan pengembangkan fungsi basis persamaan (3) dan (4) dapat dinyatakan sebagai : M fˆ (x) = m = 1 dengan: Bm fungsi basis yang berbentuk : a m B m (x).. (5) B m = I [x ª R m ] (6) I [.] menunjukkan fungsi indikator yang mempunyai nilai 1 (satu) jika pernyataan [x ª R m ] benar dan nol jika salah, {a m } M 1 merupakan koefisien (konstanta) yang ditentukan dalam himpunan bagian. Penentuan nilai a m setiap himpunan bagian berdasarkan pada model terbaik bagi data (the best fit of data), di mana nilai a m dipilih yang memberikan komponen jumlah kuadrat sisaan terkecil. Tujuan recursive partitioning (RP) tidak hanya menentukan koefisien a m yang memberikan model terbaik bagi data, tetapi juga untuk mendapatkan kumpulan fungsi basis yang terbaik berdasarkan data yang tersedia (Friedman 1990) Secara umum, prosedur RP mempunyai 2 (dua) tahap yang dimulai dari himpunan bagia n yang pertama R1 = D. Tahap pertama atau langkah maju, memilah secara iteratif daerah asal D menjadi himpunan bagian yang saling lepas { R m} S 2, untuk S M, di mana S ditentukan sembarang. Tahap kedua atau langkah mundur, pada tahap ini berlawanan dengan langkah pertama yaitu menghilangkan atau memangkas (S-M) himpunan bagian dari model dengan dua kriteria yaitu evaluasi dugaan model dan jumlah himpunan bagian dalam model. Kedua tahap tersebut mendapatkan sekumpulan himpunan bagian yang tidak

19 19 saling tumpang tindih, sehingga dugaan fˆ (x) mendekati f (x) untuk setiap himpunan bagian daerah asal. Jika H [ç] merupakan suatu fungsi tangga (step function ) yang berbentuk sebagai berikut: 1, untuk η 0 H[ç] = 0, untuk lainnya maka fungsi basis yang dihasilkan pada langkah maju prosedur RP dapat dinyatakan s ebagai berikut: Bm(x) = Km k= 1 H [skm.(xv(k,m) tkm)].(7) dengan: K m = jumlah pilahan himpunan bagian ke- m untuk menghasilkan B m x v(k,m) = peubah prediktor ke v, pilahan ke k dan himpunan bagian ke-m t km = knot (dari peubah x v(k,m) ) skm = nilainya 1 atau 1 jika knotnya terletak disebelah kanan atau kiri himpunan bagian H [.] = fungsi tangga. Recursive partition merupakan metoda yang menjanjikan khususnya jika pendugaan dengan model piecewise constant pada persamaan (4) digunakan. Model ini dapat memanfaatkan fungsi-fungsi dimensi rendah secara lokal, artinya walaupun fungsi f(x) tergantung pada sejumlah besar peubah prediktor secara global, (berdimensi besar secara global) namun pada setiap daerah lokal ketergantungannya hanya pada beberapa peubah prediktor. Metoda ini mempunyai kemampuan dalam mendeteksi interaksi antar peubah secara lokal atau menemukan himpunan bagian data yang bermakna. Interpretasi hasilnya lebih mudah dari pada persamaan regresi biasa, karena identifikasi pengaruh dari peubah penjelas dilakukan dalam masing-masing subgrup data bukan dalam keseluruhan data seperti halnya regresi biasa. Walaupun recursive partitioning adalah metoda yang paling dapat menyesuaikan diri untuk pendugaan fungsi peubah ganda, tetapi recursive partitioning memiliki beberapa kekurangan seperti yang tercantum pada pendahuluan.

20 20 Modifikasi Friedman Regresi spline adaptif berganda (RSAB) merupakan hasil modifikasi Friedman terhadap algoritma recursive partitioning (RP) untuk mengatasi kekurangankekurangan yang dimiliki metoda RP. Beberapa inovasi dilakukan oleh Friedman untuk mengatasi kelemahan metode RP adalah : (a) Mengganti fungsi tangga H [ ± (x - t)] dengan suatu fungsi splines pangkat terbatas [ ± ( x - t)] q +.di mana q =1 untuk mengatasi diskontinu pada titik knot. (b) Tidak menghapus fungsi basis induk setelah dipilah, dengan cara demikian (c) parent dan pilahannya masih dapat dipilah lebih lanjut sehingga diperoleh himpunan bagian yang saling tumpang tindih. Hal ini dilakukan untuk mengatasi ketidak mampuan untuk menduga fungsi linier dan aditif. Membatasi perkalian pada masing-masing fungsi basis hanya melibatkan peubah-peubah prediktor yang berbeda. Hal ini dilakukan untuk mengatasi ketergantungan pada peubah secara individu dengan pangkat yang lebih tinggi dari q. Dengan modifikasi Friedman fungsi basis pada persamaan (7) da pat dinyatakan sebagai berikut: B m (x) = Km k= 1 [s km.(x v(k,m) t km )] +..(8) dengan : Km = jumlah pilahan himpunan bagian ke- m untuk menghasilkan Bm. x v(k,m) = peubah prediktor ke v, pilahan ke k, dan himpunan bagian ke-m. t km = knot dari peubah x v(k,m) s km = nilainya 1 atau 1 jika knotnya terletak disebelah kanan atau kiri himpunan bagian. Pemilihan Model Strategi langkah maju pada algoritma RSAB sengaja dibentuk fungsi basis dalam jumlah yang besar. Adapun kreteria pembentukan fungsi basis berdasarkan pada rataan jumlah kuadrat galat (average sum of square of residual, ASR) yang minimum. Jumlah fungsi basis yang besar menimbulkan dugaan adanya overfitting, oleh karena itu perlu dilanjutkan ke tahap kedua atau langkah

21 21 mundur yaitu tahap untuk menentukan ukuran fungsi basis yang layak. Pada langkah mundur dilakukan penghapusan fungsi basis yang kontribusinya terhadap nilai dugaan respon kecil sampai diperoleh model yang layak.. Ukuran kontribusi yang digunakan oleh Friedman (1990) pada langkah mundur adalah modifikasi kriteria generalized cross validation (GCV) Craven dan Wahba (1979) yakni: = N (1/ N ) [ ˆ ( i 1 y i f M LOF( fˆ xi M) = GCV (M) = 2 [1 ( C( M ))/ N ] )] 2...(9) dengan pembilang persamaan (9) adalah rataan jumlah kuadrat galat, N jumlah pengamatan dan M jumlah himpunan bagian at au jumlah fungsi basis (nonkonstan) pada model RSAB. Penyebutnya merupakan penalti fungsi model kompleks. Kriteria GCV adalah rataan jumlah kuadrat galat hasil pengepasan data (sebagai pembilang) dikali suatu penalti (merupakan kebalikan penyebut) ya ng menyebabkan kenaikan ragam sehubungan dengan meningkatnya kompleksitas model (jumlah fungsi basis M). Jika nilai parameter-parameter fungsi basis (jumlah K m, x v(k,m), lokasi knot t m,dan tanda s km ) yang berhubungan dengan model RSAB tidak tergantung pada nilai respon ( y1, y2,,yn), maka hanya koefisien (a0, a1,, a M) yang akan diduga dari data. Akibatnya biaya kompleksitas fungsi adalah: C(M) = trace (B(B T B) -1 B T )+1.. (10) dengan B adalah matrik data berukuran M x N dari M fungsi basis (nonkonstan), B ij =B i (x j ). Dalam hal ini C(M) adalah jumlah fungsi basis pada persamaan (8) yang bebas, dan oleh karena itu C(M) sama dengan jumlah parameter yang akan diduga. Dengan memasukkan nilai C(M) ke persamaan (9) menyebabkan GCV ekivalen dengan GCV yang diusulkan Craven dan Wahba (1979), Golub et al. (1979) yakni GCV(ë) = N1 (I A(ë)y 2 [ 1 Trace( I A( λ )) ]2 N....(11) A(ë) = X(X T X + në)y) -1 X T. (12)

22 22 Prosedure RSAB menggunakan nilai-nilai respon untuk membentuk suatu gugus fungsi basis sehingga akan diperoleh feksibilitas model. Dengan cara ini biasanya secara dramatis menurunkan bias dugaan model, tetapi dalam waktu yang bersamaan meningkatkan ragam karena penambahan parameter (fungsi basis) disesuaikan untuk membantu pengepasan data lebih baik. Pengurangan bias secara langsung dicerminkan oleh pengurangan rataan jumlah kuadrat galat (pembilang persamaan 9) tetapi kebalikan penyebut persamaan (9) tidak lagi mencerminkan peningkatan ragam karena penambahan fungsi basis (parameter) dan juga sifat ketidaklinierannya. Dalam keadaan ini Friedman dan Silverman (1989) menyarankan menggunakan persamaan (9) sebagai kriteria ketidaklayakan dugaan model, tetapi dengan suatu penambahan ~ biaya kompleksitas fungsi C ( M ) yang mencerminkan penambahan fungsi basis bersamaan dengan perluasan koefisien (a 0, a 1,, a M ) yang diduga. Biaya ~ kompleksitas fungsi C ( M ) dapat dinyatakan sebagai : ~ C ( M ) = C(M) + d. M...(13) denga n C(M) seperti yang dinyatakan persamaan (10). d adalah suatu parameter (pemulusan) dari prosedur yang menggambarkan biaya pengoptimuman masingmasing fungsi basis. Makin besar nilai d akan mengakibatkan makin sedikit knot yang ditempatkan dan denga n cara demikian dugaan fungsi lebih mulus. Penentuan nilai d antara lain dapat dilakukan dengan validasi silang (Stone 1974, diacu dalam Friedman 1990), bootstrapping (Efron 1983, diacu dalam Friedman 1990) atau menganggapnya sebagai parameter dari prosedur yang dapat mengontrol derajat kemulusan. Berdasarkan hasil simulasi yang dilakukan Friedman nilai d yang terbaik berada dalam selang 2 d 4. Model terbaik adalah model dengan nilai GCV minimum. Hasil modifikasi algoritma RP adalah model RSAB yang dinyatakan sebagai berkut: M fˆ (x) = a o + m= 1 am Km k= 1 [s km.(x v(k,m) t km )] +..(14)

23 23 dengan a o adalah koefisien konstanta dari basis fungsi Bo. Koefisien {a m } M m= 1 ditentukan dengan menggunakan metoda kuadrat terkecil. Dekomposisi ANOVA model RSAB Model RSAB pada persamaan (14) tidak banyak diperoleh informasi mengenai sifat-sifat pendugaan, untuk itu dilakukan dekomposisi ANOVA model RSAB. Dekomposisi ANOVA adalah suatu proses pemecahan jumlah kuadrat total menjadi komponen-komponennya. Dengan diketahui komponen-komponen jumlah kuadrat tersebut dapat dilakukan pengujian hipotesis, di antaranya pengujian hipotesis untuk mengetahui apakah suatu fungsi basis atau interaksi antar peubah tertentu perlu dimasukkan pada suatu model atau tidak sehingga akhirnya diperoleh model yang terbaik. Disamping itu, dengan melakukan dekomposisi ANOVA dapat juga diketahui besar keragaman total peubah respon yang dapat dijelaskan oleh model yakni dengan melihat nilai koefisien determinasi atau nilai R 2. Untuk memudahkan melihat hubungan antara peubah respon y dengan peubah prediktor x model pada persamaan (14), maka model tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk berikut: fˆ (x) = a 0 + Km =1 f i (x i ) + Km =2 f ij (x i,x j ) + Km =3 f ijk (x i,x j,x k ) + (15) Misalka n V(m) = {v(k,m)} Km 1 adalah gugus peubah fungsi basis B m yang ke m, maka setiap fungsi basis penjumlahan pertama dari persamaan (15) dapat dinyatakan sebagai : f i (x i ) = i Km V = ( 1 m) a m B m (x i )... (16) dalam hal ini f i (x i) merupakan penjumlahan terhadap semua fungsi basis yang hanya meliputi peubah preditor x i dan mencerminkan spline berpangkat satu dari fungsi peubah tunggal. Selanjutnya untuk setiap fungsi bivariat pada penjumlahan kedua persamaan (15) dapat dinyatakan sebagai : f i,j (x i,x j ) = K m (, ) = 2 i j V ( m ) a m B m (x i,x j )... (17)

24 24 dengan f ij (x i,x j) merupakan penjumlahan semua fungsi basis yang meliputi pasangan peubah preditor xi dan xj yang mencerminkan interaksi antara xi dan xj. Dengan menambahkan fungsi ini dengan kontribusi fungsi peubah tunggal pada persamaan (16) maka diperoleh * f (xi ij,x j ) = f i (x i ) + f i (x j ) + f i,j (x i,x j ).(18) yang menggambarkan kontribusi bivariat bersama dari xi dan xj pada model. Demikian pula untuk setiap fungsi trivariat pada penjumlahan ke 3 dapat dinyatakan sebagai : f i,jk (x i,x j, x k ) = K m= 3 ( i, j, k ) V ( m ) a m B m (x i,x j, x k )..(19) yang merupakan penjumlahan semua fungsi basis meliputi pasangan peubah preditor x i,x j dan x k yang mencerminkan interaksi antara x i, x j dan x k. Dengan menambahkan fungsi ini dengan kontribusi fungsi peubah tunggal persamaan (16) dan fungsi bivariat pada persamaan (17) diperoleh kontribusi bersama ketiga peubah tersebut. Demikian selanjutnya untuk peubah-peubah fungsi yang meliputi peubah-peubah prediktor yang lebih banyak dapat digambarkan dengan cara yang sama. Dekomposisi yang dilakukan pada persamaan (15) sama seperti dekomposisi pada analisis ragam, sehingga dekomposisi persamaan (15) disebut sebagai dekomposisi ANOVA model RSAB (Friedman 1990). Penerapan Model RSAB untuk Data Respon Biner Apabila model MARS pada persamaan (14) diterapkan pada peubah respon berskala biner maka peubah y dalam hal ini diartikan sebagai peluang terjadinya kejadian y sukses atau gagal (peluangnya antara 0 dan 1). Model RSAB pada persamaan (14) dapat memperlihatkan bahwa peubah respon y merupakan fungsi linier dari fungsi basis, akibatnya apabila model RSAB tersebut digunakan untuk menduga respon biner maka peubah respon y yang seharusnya bernilai antara 0 dan 1 dapat bernilai negatif atau bernilai lebih besar dari 1. Untuk mengatasi hal ini perlu diadakan konversi skor model RSAB ke dalam suatu penempatan kelas untuk memutuskan seberapa jauh suatu skor model RSAB untuk dinyatakan sebagai respon yang bernilai 1 (sukes). Untuk maksud

25 25 ini perlu dipilih nilai batas (treshold) yang membatasi nilai peubah respons y untuk ditempatkan sebagai sukses atau gagal. (Steinberg et al. 2001) Adanya kelemahan dalam model RSAB untuk data respon biner seperti yang telah disebutkan terdahulu, Friedman (1990) menganjurkan suatu alteratif lain yakni menggunakan analisis regresi logistik dengan peubah-peubah prediktornya merupakan fungsi-fungsi basis yang diperoleh dari metoda RSAB. Friedman melakukan cara ini pada penelitian tentang hubungan komposisi kimia minyak zaitun dengan asal geografis di Portugis,. Adapun jumlah pengamatan yang digunakan pada penelitian tersebut sebanyak 417 pengamatan dan fungsi basis yang diperoleh pada metoda RSAB sebanyak 9. Dugaan model yang dihasilkan dengan cara ini lebih tepa t dibandingkan dengan hanya menggunakan metoda RSAB.

26 26 DATA DAN METODA Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh dari CEIC, BPS, BI, dan PT Danareksa. Data yang diamati berupa data bulanan yang meliputi peubah respon (Y) adalah keadaan perekenomian Indonesia. Peubah ini berskala biner di mana Y = 1 apabila perekenomian Indonesia dalam keadaan resesi dan Y = 0 untuk selainnya. Resesi didefinisikan sebagai periode di mana produk domestik bruto (GDP) riil menurun sekurang-kurangnya dua triwulan berturut -turut (Case & Fair 1999). Peubah prediktor dalam penelitian ini didasarkan pada peubah yang digunakan dalam penelitian peramalan resesi oleh Sephton (2001) serta disesuaikan dengan ketersediaan data yakni: A. Peubah riil yang terdiri dari: 1. IP adalah perubahan dalam logaritma indeks produksi industri 2. UR adalah perubahan tingkat pengangguran B. Peubah finansial yang terdiri dari: 1. RM adalah perubahan dalam logaritma M2 dibagi Indeks Harga Konsumen (CPI) 2. SP adalah perubahan dalam logaritma Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) 3. FF adalah perubahan tingkat suku bunga Sertifikat Bank Indonesia (SBI) Di Indonesia sejak tahun 1983 sampai 2003 telah terjadi empat kali resesi yakni: 1) Juli 1984 sampai April ) Februari 1991 sampai Januari ) Juni 1997 sampai Januari ) Juni 2001 sampai Februari 2002 Karena kelima peubah prediktor tersebut baru tersedia secara lengkap mulai April 1993 maka dalam penelitian ini data yang dianalisis hanya mencakup April 1993 sampai Desember 2003 yang mencakup 2 kali resesi yakni Juni 1997 sampai Januari 1999 dan Juni 2001 sampai Februari 2002.

27 27 Metoda Analisis. Peramalan resesi dilakukan pada waktu 3, 6, 9, dan 12 bulan ke depan. Artinya informasi yang diperoleh pada waktu (t-3), (t-6), (t-9), dan (t-12) digunakan untuk peramalan resesi pada waktu t. Sebagai teladan model peramalan resesi pada waktu 3 bulan ke depan dinyatakan sebagai berikut: Yt =ƒ (IPt-3, URt-3, RMt-3, SP t-3, FFt-3)+ å t...(20) dengan: Yt = keadaan perekonomian Indonesia pada waktu t, (Y=1 jika perekonomian Indonesia dalam keadaan resesi dan Y = 0 untuk selainnya) IP t-3 = perubahan dalam logaritma indeks produksi industri pada waktu t-3 UR t-3 = perubahan tingkat pengangguran pada waktu t-3 RM t-3 = perubahan dalam logaritma M2 dibagi Indeks Harga Konsumen pada waktu t-3 SP t-3 FF t-3 = perubahan dalam logaritma Indeks Harga Saham Gabungan pada waktu t-3 = perubahan dalam tingkat suku bunga Sertifikat Bank Indonesia pada waktu t-3 å t = galat percobaan pada waktu t. Peramalan resesi pada waktu 3, 6, 9, dan 12 bulan ke depan juga dilakukan dengan menambah prediktor pada model persamaan (20) dengan peubah respon Y t-k, k= 3, 6, 9, dan 12 sebagai peubah prediktor. Analisa data dilakukan dengan bantuan paket program MARS for windows versi 2.0. Disamping itu untuk perhitungan data dasar dan analisis regresi logistik juga digunakan paket program MINITAB release dan untuk pembuatan grafik digunakan paket program Eviews versi 3.1 dengan langkahlangkah sebagai berikut : 1. Pembentukan model Pembentukan model regresi dengan metoda RSAB akan diperoleh model : ^ Y = B 0 + B 1 * BF 1 + B 2 * BF B k * BF k (21)

28 28 dengan: ^ Y B 0 B 1, B 2,., B k = peubah respon = konstanta = koefisien fungsi basis spline ke 1,2,.,k BF1, BF2,., BF 3 = fungsi basis ke 1,2,., k. Pendugaan parameter terlebih dahulu menentukan maksimum fungsi basis, maksimum jumlah interaksi, minimum jumlah pengamatan di antara knot. Untuk mengoptimasi jumlah knot ditentukan terlebih dahulu derajat bebasnya. (Freedman 1991, diacu dalam Steinberg et al. 2001) menyarankan derajat bebas knot antara 2 sampai 5, itupun tergantung dari jumlah pengamatan dan peubahnya. Semakin kecil derajat bebas semakin kompleks fungsi yang didapatkan demikian sebaliknya. Di samping model regresi, diperoleh juga R 2, R 2 terkoreksi dan peubah prediktor yang terpenting. Penentuan peubah yang terpenting berdasarkan seberapa besar peubah tersebut memberikan kontribusi terhadap model. Kriteria penentuan peubah prediktor yang relatif penting adalah GCV (general cross validation). Semakin kecil nilai GCV (semakin besar nilai GCV -1 ) suatu peubah semakin penting peubah tersebut terhadap model yang dibangun. 2. Peramalan resesi Pada peramalan resesi di dalam contoh semua contoh digunakan untuk pengepasan model sedangkan peramalan resesi di luar contoh menggunakan sebanyak 72 persen data yang pertama untuk pengepasan model, model yang diperoleh digunakan untuk meramal terjadinya resesi k periode mendatang, k = 3, 6, 9, dan 12. Selanjutnya contoh ditambah 1 pengamatan berikutnya untuk pengepasan model dan model yang diperoleh digunakan untuk meramal resesi pada k periode mendatang, demikian seterusnya sehingga N-1 contoh digunakan untuk pengepasan model dan model yang diperoleh digunakan untuk meramal resesi k periode mendatang. 3. Mengukur kemampuan model dalam peramalan Untuk mengukur seberapa jauh kemampuan model dalam peramalan di dalam contoh dan peramalan di luar contoh digunakan persentase sukses dalam peramalan (PS), akar kuadrat tengah galat (AKTG), dan rataan

29 29 simpangan mutlak (RSM). Untuk menghitung persentase sukses dalam peramalan (PS) digunakan batasan 1, untuk y = 0, untuk ^ y > 0.5 ^ y 0.5, sedangkan untuk menghitung akar kuadrat tengah galat (AKTG), dan rataan simpangan mutlak (RSM) digunakan batasan ^ f (.), untuk 0 y 1 ^ y = ^ 1, untuk y > 1 ^ 0, untuk y < 0 Semakin besar nilai PS semakin baik model tersebut dalam peramalan demikian sebaliknya. Semakin kecil AKTG, dan rataan simpangan mutlak RSM semakin baik model tersebut dala m peramalan demikian pula sebaliknya Disamping itu untuk peramalan resesi pada waktu 3, 6, 9, dan 12 bulan ke depan juga digunakan analisis regresi logistik dengan peubah prediktornya merupakan fungsi basis yang dihasilkan oleh metoda RSAB.

30 30 HASIL DAN PEMBAHASAN. Pendugaan Model Regresi dengan RSAB Pendugaan model regresi dengan menggunakan metode regresi spline adaptif berganda untuk peramalan resesi 3 (tiga), 6 (enam), 9 (sembilan), dan 12 (dua belas) bulan ke depan dapat dilihat pada Lampiran 1. Sebagai ilustrasi akan dipilih model regresi untuk peramalan resesi 3 bulan ke depan untuk dibahas secara detail. Model resesi 3 bulan ke depan dengan menggunakan lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF) dibentuk dengan kriteria input: Minspan (minimal banyaknya pengamatan setiap knot) = 6, maksimum interaksi (MI) = 3, maksimum fungsi basis sebesar 30 dan derajat bebas knot 3. Komponen sidik ragamnya disajikan pada Tabel 1. Model regresi yang diperoleh adalah: Y = * BF * BF * BF * BF * BF * BF * BF * BF * BF * BF * BF * BF30 Model resesi tersebut di atas terdiri dari satu intersep dan 12 fungsi basis, meliputi: 7 interaksi level pertama, 2 interaksi level dua, dan 3 interaksi level tiga. Jumlah nilai knot sebanyak 12 di antaranya : 2 nilai untuk peubah RM, SP, dan FF, 5 nilai untuk peubah UR dan 1 nilai untuk peubah IP. Nilai R 2 sebesar 79,87 %, R 2 terkoreksi sebesar 77,74 %, dan nilai ragam sisaan (mean square error : MSE) sebesar Interpretasi model RSAB terletak pada komponen sidik ragam. Tabel 1 menunjukkan komponen fungsi basis yang membentuk model resesi baik interaksi level pertama maupun interaksi antar peubah. Model tersebut di atas memberikan gambaran bahwa kontribusi peubah RM (BF1) terhadap model sebesar bila nilai peubah tersebut > dan bila nilai peubah RM < Sedangkan untuk interaksi tingkat 2 seperti SP dan peubah

31 31 Tabel 1: Komponen sidik ragam model resesi 3 bulan ke depan Fungsi Parameter Koefisien S.E. T -rasio P-value Basis 0 Konstanta max(0, RM ) E-11 2 max(0, RM) E-07 5 max(0, UR ) E-15 7 max(0, UR ) E-13 8 max(0, UR ) 9 max(0,ff )*bf8 11 max(0,ur ) E max(0,ur ) E max(0,ur ) E max(0, sp)*bf max(0,ff )*bf2 20 max(0, ff)*bf max(0,ip )*bf max(0,sp )*bf max(0,rm )*bf F-STATISTIK= S.E. OF REGRESSION = P-VALUE = E-15 RESIDUAL SUM OF SQUARE = R-SQUARE = REGRESSION SUM OF SQUARE = [MDF,NDF] = [ 12, 113 ] ADJ R-SQUARE = UR (BF18) memberikan arti bahwa fungs i basis ini akan memberikan konstribusi sebesar bila nilai peubah SP < dan peubah UR > Demikian juga dengan interaksi tingkat 3 seperti BF21, fungsi basis ini akan memberikan konstribusi sebesar bila nilai peubah IP > , nilai FF > dan peubah RM < Model resesi 3 bulan ke depan dengan menggunakan enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan Yt-3) sebagaimana tercantum pada Lampiran 1, dibentuk dengan kriteria input: Minspan = 6, MI = 3, maksimum fungsi basis sebesar 30 dan derajat bebas knot 3. Komponen sidik ragam model resesi 3 bulan ke depan dengan menggunakan enam prediktor (Lampiran 1) memperlihatkan bahwa penambahan peubah respon Y pada waktu t-3 sebagai peubah prediktor untuk peramalan resesi pada waktu t dapat meningkatkan nilai R 2 sekitar 4% (dari 79,87 % menjadi 83,76%) dan meningkatkan R 2 terkoreksi sekitar 4% (dari 77,74 % menjadi 82.20%) sedangkan nilai ragam sisaan (mean square error : MSE) menurun sekitar (dari menjadi ). Hal ini sesuai dengan apa yang dikatakan oleh Dueker 1997, diacu dalam Sephton 2001 yaitu penambahan peubah respon pada waktu ketertinggalan tertentu sebagai peubah prediktor dapat meningkatkan ketepatan peramalan.

32 32 Peubah Prediktor yang Relatif Penting Peubah prediktor yang relatif penting untuk model resesi 3 bulan ke depan dengan menggunakan lima prediktor disajikan pada Tabel 2. Tabel 2. Peringkat peubah prediktor yang relatif penting untuk model resesi 3 bulan ke depan dengan lima prediktor. Peringkat Peubah Kepentingan GCV -1 1 UR RM FF SP IP Peubah UR (perubahan tingkat penga nguran pada waktu t-3) pada Tabel 2 merupakan peubah yang relatif penting diantara lima peubah lainnya, dengan nilai tingkat kepentingan Hal ini ditunjukkan juga oleh nilai GCV -1 yang terbesar yakni sebesar (terkecil untuk nilai GCV) diantara peubah lainnya sedangkan urutan peubah yang tingkat kepentingannya paling rendah adalah peubah IP (perubahan dalam logaritma indeks produksi Industri pada waktu t-3) dengan nilai tingkat kepentingan sebesar Hal ini ditunjukkan juga oleh nilai GCV -1 yang terkecil yakni sebesar Peubah yang relatif penting jika mempunyai pengaruh yang terbesar terhadap kebaikan model dan sebaliknya untuk peubah yang tidak relatif penting. Urutan peubah yang relatif penting untuk model resesi k bulan ke depan lainnya (k= 3, 6, 9, dan 12) disajikan pada Lampiran 2. Peubah prediktor yang relatif penting untuk model resesi 3 bulan ke depan dengan menggunakan enam prediktor adalah peubah RM (Lampiran 2) dengan nilai tingkat kepentingannya sebesar dan nilai GCV -1 terbesar yakni sebesar , sedangkan peubah UR yang tadinya menempati urutan pertama untuk model resesi 3 bulan ke depan dengan lima prediktor sekarang dengan enam prediktor menempati urutan kedua. Dengan demikian penambahan peubah

33 33 respon y pada waktu t-3 sebagai peubah prediktor untuk peramalan resesi pada waktu t dapat merubah urutan peubah yang relatif penting terhadap model. Peramalan Resesi dengan RSAB Statistik -statistik hasil peramalan resesi pada peramalan di dalam contoh yang terdiri dari persentase sukses dalam peramalan (PS), akar kuadrat tengah galat (AKTG), dan rataan simpangan mutlak (RSM) disajikan pada Tabel 3 dan Tabel 4 berikut : Tabel 3. Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF) pada peramalan di dalam contoh Lag AKTG RSM PS Tabel 4. Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan lagy) pada peramalan di dalam contoh Lag AKTG RSM PS Hasil peramalan resesi di dalam contoh dengan menggunakan lima prediktor (Tabel 3) menunjukkan bahwa persentase sukses (PS) tertinggi diperoleh pada peramalan resesi 3 bulan ke depan yakni sebesar % sedangkan PS terendah diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar %. Akar kuadrat tengah galat (AKTG) terkecil diperoleh pada peramalan resesi 3 bulan ke depan yakni sebesar % sedangkan AKTG terbesar diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar %. Hasil peramalan resesi di dalam contoh dengan menggunakan enam prediktor (Tabel 4) menunjukkan PS tertinggi diperoleh pada peramalan resesi 6

34 34 bulan ke depan yakni sebesar % sedangkan PS terendah diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar %. AKTG terkecil diperoleh pada peramalan resesi 6 bulan ke depan yakni sebesar 9.98 % sedangkan AKTG terbesar diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar %. Tabel 3 dan Tabel 4 menunjukkan bahwa penambahan peubah respon y pada lag 6 dan lag 9 sebagai peubah prediktor dapat meningkatkan ketepatan peramalan di dalam contoh. Peningkatan peramalan ini dapat dilihat dari meningkatnya nilai PS sekitar 5% (dari % ke %) dan menurunnya nilai AKTG sekitar 9 % (dari % ke 9.98 %) pada peramalan resesi 6 bulan ke depan. Demikian pula pada peramalan resesi 9 bulan ke depan terjadi peningkatan nilai PS sebesar 5% (dari 90.00% ke %) dan penurunan nilai AKTG sekitar 7% (dari % ke %), sedangkan pada peramalan resesi 3 bulan dan 12 bulan ke depan nilai PS relatif stabil dan nilai AKTG menurun sekitar 2% ( dari 18.09% ke 16.28%) pada peramalan resesi 3 bulan ke depan, dan sekitar 4% (dari 19.31% ke 15.52%) pa da peramalan resesi 12 bulan ke depan. Apabila dilihat dari besar nilai PS dan AKTG maka dapat dikatakan bahwa model RSAB memperlihatkan hasil yang menjanjikan dalam peramalan resesi pada k (k= 3, 6, 9, dan 12) bulan kedepan untuk peramalan di dalam contoh dengan nilai PS berkisar antara 95% sampai 100%, dan nilai AKTG berkisar antara 9.98% % sampai 19.14% Hasil ini sesuai dengan hasil penelitian yang dilakukan oleh Sephton (2001). Demikian pula grafik antara hasil peramalan di dalam contoh da n data sebenarnya (Lampiran 3) menunjukkan bahwa untuk peramalan resesi di dalam contoh model RSAB sangat baik dalam pengepasan model terutama pada peramalan 6 bulan ke depan dengan enam prediktor sedangkan pada peramalan resesi k (k = 3, 9, dan 12) bulan ke depan lainnya memperlihatkan sejumlah kesalahan. Statistik -statistik hasil peramalan resesi pada peramalan di luar contoh yang terdiri dari persentase sukses (PS), akar kuadrat tengah galat (AKTG), dan rataan simpangan mutlak (RSM) disajikan pada Tabel 5 dan Tabel 6 berikut :

35 35 Tabel 5. Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF) pada peramalan di luar contoh Lag AKTG RSM PS Tabel 6. Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan lagy) pada peramalan di luar contoh Lag AKTG RSM PS Hasil peramalan resesi pada peramalan di luar contoh dengan menggunakan lima prediktor (Tabel 5) menunjukkan bahwa persentase sukses (PS) tertinggi diperoleh pada peramalan resesi 3 bulan ke depan yakni sebesar % sedangkan PS terendah diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar %. Akar kuadrat tengah galat (AKTG) terkecil diperoleh pada peramalan resesi 3 bulan ke depan yakni sebesar % sedangkan AKTG terbesar diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar %. Hasil peramalan resesi di luar contoh dengan menggunakan enam prediktor (Tabel 6) menunjukkan PS tertinggi diperoleh pada peramalan resesi 6 bulan ke depan yakni sebesar % sedangkan PS terendah diperoleh pada peramalan resesi 9 dan 12 bulan ke depan yakni sebesar %. AKTG terkecil diperoleh pada peramalan resesi 6 bulan ke depan yakni sebesar % sedangkan AKTG terbesar diperoleh pada peramalan resesi 12 bulan ke depan yakni sebesar %. Tabel 5 dan Tabel 6 menunjukkan bahwa penambahan peubah respon y pada lag 6 dan pada lag 9 sebagai peubah prediktor dapat meningkatkan ketepatan peramalan resesi di luar contoh. Peningkatan peramalan ini dapat dilihat dari