MASALAH STRUM-LIOUVILLE SINGULAR DAN APLIKASINYA SKRIPSI. Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Negeri Yogyakarta

Transkripsi

1 MASALAH STRUM-LIOUVILLE SINGULAR DAN APLIKASINYA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh Umi Amroni NIM PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2009

2 PERSETUJUAN Skripsi yang berjudul Masalah Sturm-Liouville Singular dan Aplikasinya ini telah disetujui oleh pembimbing untuk diujikan. Pembimbing I, Yogyakarta, 16 Juni 2009 Pembimbing II, Dr. Hartono NIP Tuharto, M. Si. NIP ii

3 PENGESAHAN Skripsi yang berjudul Masalah Strum-Liouville Singular dan Aplikasinya ini telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 14 Oktober 2009 dan dinyatakan lulus. DEWAN PENGUJI Nama Jabatan Tandatangan Tanggal Dr. Hartono NIP Ketua Penguji Tuharto, M. Si. NIP Sekretaris Penguji Dr. Jailani NIP Penguji Utama Emut, M. Si. NIP Penguji Pendamping Yogyakarta, Oktober 2009 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan Dr. Ariswan NIP iii

4 SURAT PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim. Yogyakarta, Juni 2009 Yang menyatakan, (Umi Amroni) iv

5 MOTTO Peliharalah Allah, niscaya Dia akan memeliharamu; peliharalah Allah, niscaya engkau akan menjumpai-nya dihadapanmu; kenalilah Allah saat senang, niscaya Dia akan mengenalimu saat kamu susah; apabila kamu meminta, mintalah kepada Allah, & apabila kamu meminta pertolongan, mintalah pada Allah... _HR Tirmidzi_ Jika kau lelah, basuh lelahmu dengan kesabaran Ceritakan dukamu pada ketabahan Usap airmatamu dengan harapan Jika terluka, tetaplah tersenyum untuk semua orang disekitarmu Karena itu tanda syukur pada Rabb-mu... _ro_nee15_ v

6 PERSEMBAHAN Karya tulis yang sederhana ini aku persembahkan untuk : Allah SWT & Rosulullah Muhammad SAW; Ya Rabb, jadikanlah langkah-langkah kecilku ini sebagai kendaraan yang akan mengantarkan hamba menuju ridho & surga-mu Bapak&Ibu, untuk setiap tetesan keringat, kasih sayang, pengorbanan, & doa yang selalu dipanjatkan di akhir malam untukku; Robbi anzilni munzalan mubarokatan wa anta khoirun munzilin Adikku: Fauzan& Ifa, untuk setiap detik kebersamaan yang telah kita lalui bersama; Allah telah memilih kita untuk mengukir perjalanan kehidupan keluarga ini, so Laa tahzan, innallaaha ma anaa... Do_why& tiwi; anggi & eva; pramita Sr;& puput, thanks for the computers.. Teman2 Math R 04 : isni, nurul, suly, mamah, oktin, isna, ali, linggar, jayus, anto, PS Club (mas otoxs, herry, andry, rully), & semuanya; untuk ukhuwah yang telah terjalin selama ini Temen2 seperjuanganku di : HIMATIKA 2006; BEM FMIPA UNY 2006&2007; KKN Genk Jujur Lokasi 15 Karanggayam; Surya Institute (SI) team at Pekalongan; karyawan & tentor cv. Neutron Yogyakarta, DPC Bambanglipuro; & DPD Bantul.. untuk setiap kesempatan diskusi, transfer ilmu, motivasi, & semangat yg telah diberikan thanks for the experiences Setiap orang yang telah memberikan perannya masing-masing sebagai guru dalam hidupku sehingga aku bisa menjadi diriku yang sekarang... vi

7 MASALAH STRUM-LIOUVILLE SINGULAR DAN APLIKASINYA Oleh Umi Amroni NIM ABSTRAK Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menjelaskan apakah syarat batas masalah regular dapat digunakan dalam masalah singular, mendeskripsikan sifatsifat nilai eigen dan fungsi eigen masalah singular, dan mengaplikasikan masalah singular dalam bidang fisika khususnya konduksi panas dalam media berbentuk tabung silinder. Syarat batas masalah singular ditentukan dengan menyelesaikan masalah Sturm-Liouville yang terdiri dari persamaan diferensial Bessel orde nol dan syarat batas regular pada interval (0,1). Sifat-sifat nilai eigen dan fungsi eigen masalah singular dideskripsikan dengan menyelesaikan persamaan diferensial biasa linear homogen orde dua yang dilengkapi dengan syarat batas singular. Masalah Sturm- Liouville singular diaplikasikan dalam peristiwa konduksi panas dengan terlebih dahulu menentukan persamaan konduksi panas dalam tabung silinder berjari-jari a dengan tinggi H dan menyelesaikannya dengan metode pemisahan variabel. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa syarat batas Sturm-Liouville regular tidak dapat digunakan dalam masalah singular di titik batas singular x = a. Masalah ini dapat memiliki solusi nontrivial jika syarat batas tersebut digantikan oleh dan terbatas saat. Nilai eigen dari masalah singular dapat berupa diskret, spektrum yang kontinu, maupun campuran antara diskret dan spektrum yang kontinu. Himpunan semua fungsi eigen dari nilai eigen diskret dapat diekspansikan menjadi suatu deret sebagaimana dalam ekspansi deret Fourier. Jika,, menyatakan besarnya suhu di titik,,, maka persamaan konduksi panas pada saat steady-state adalah 0, dan dengan menggunakan metode pemisahan variabel diperoleh persamaan diferensial Sturm-Liouville dengan syarat batas singular. Solusi persamaan konduksi panas ini diperoleh dengan menggunakan syarat batas singular dalam penyelesaian persamaan diferensialnya. vii

8 KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin. Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat dan nikmat iman sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan serta dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan kerendahan hati penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Ariswan, selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta. 2. Bapak Dr. Hartono, selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta sekaligus Pembimbing I yang telah memberikan motivasi, arahan, dan bimbingan dalam penulisan skripsi ini. 3. Ibu Atmini Dhoruri, M.S selaku Ketua Program Studi Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta atas semua wejangan, arahan, dan bimbingan selama penulis menjadi mahasiswi UNY. 4. Bapak Tuharto, M. Si. selaku pembimbing II yang telah memberikan nasehat, arahan, dan bimbingan dalam penulisan skripsi ini. 5. Ibu R. Rosnawati, M. Si. selaku Pembimbing Akademik yang telah memberikan masukan dan dorongan kepada penulis dalam setiap permasalahan akademik yang penulis hadapi selama menjadi mahasiswi UNY. 6. Segenap dosen jurusan pendidikan matematika FMIPA UNY untuk segala ilmu, diskusi, dan pengalaman belajar yang diberikan. viii

9 7. Seluruh pihak yang telah memberikan bantuan, baik langsung maupun tidak langsung, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih terdapat kekurangan, baik kesalahan penulisan maupun kesalahan lain sehingga dapat merubah makna. Oleh karena itu penulis menerima kritik dan saran yang membangun guna penyempurnaan karya-karya penulis selanjutnya di masa yang akan datang. Yogyakarta, Juni 2009 Penulis ix

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN PERNYATAAN... iv HALAMAN MOTTO... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR SIMBOL... xiv DAFTAR LAMPIRAN... xv BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang... 1 B. Rumusan Masalah... 3 C. Tujuan Penulisan... 3 D. Manfaat Penulisan... 4 BAB II. DASAR TEORI A. Persamaan Diferensial Biasa... 5 B. Persamaan Diferensial Parsial Pengertian Klasifikasi Metode Penyelesaian C. Deret Fourier D. Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas E. Masalah Sturm-Liouville x

11 F. Fungsi Bessel G. Gradien H. Integral lipat Tiga I. Teorema Gauss BAB III. PEMBAHASAN A. Masalah Sturm-Liouville Singular Syarat Batas Masalah Nilai Eigen dan Fungsi eigen B. Aplikasi Masalah Sturm-Liouville Singular Perumusan Matematis Penyelesaian masalah konduksi panas dengan penggunaan Metode Pemisahan Variabel a. Penyelesaian Masalah u b. Penyelesaian Masalah u c. Penyelesaian masalah u BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

12 DAFTAR TABEL TABEL Halaman Tabel 1. Nilai, 2 untuk n = 1 s.d Tabel 2. Nilai, 2 untuk n = 1 s.d xii

13 DAFTAR GAMBAR GAMBAR Halaman Gambar 1. Partisi daerah D menjadi n subdaerah D x dengan volume Gambar 2. Himpunan nilai eigen yang memuat titik diskret dalam interval Gambar 3. Sebarang daerah R di dalam tabung silinder Gambar 4. Partisi daerah R menjadi n subdaerah R x dengan volume Gambar 5. Vektor aliran panas dan vektor normalnya pada suatu titik di batas R Gambar 6. Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat silinder lingkaran Gambar 7. Ilustrasi masalah konduksi panas pada tabung silinder Gambar 8. Ilustrasi masalah u 1 pada tabung silinder dengan jari-jari a dan tinggi H Gambar 9. Ilustrasi masalah u 2 pada tabung silinder dengan jari-jari a dan tinggi H Gambar 10. Ilustrasi masalah u 3 pada tabung silinder dengan jari-jari a dan tinggi H Gambar 11. Contoh soal 1 masalah konduksi panas pada tabung silinder Gambar 12. Grafik nilai u(r,z) saat z = 1, 2, 3, 4 dan n = 1 s.d Gambar 13. Grafik nilai u(r,z) saat z = 1, 2, 3, 4 dan n = 1 s.d Gambar 14. Grafik nilai u(r,z) saat z = 1, 2, 3, 4 dan n = 1 s.d Gambar 15. Grafik nilai u(r,z) saat z = 1, 2, 3, 4 dan n = 1 s.d Gambar 16. Grafik nilai u(r,z) untuk berbagai pengambilan nilai n Gambar 17. Grafik nilai u(r,z) saat z = 4 untuk berbagai pengambilan nilai n > xiii

14 DAFTAR SIMBOL = Nilai eigen dari masalah Sturm-Liouville = Operator Laplace = Turunan pertama u terhadap r = Turunan kedua u terhadap r,, = Kapasitas panas (heat capacity) di titik (x,y,z),, = Densitas panas di titik (x,y,z) = Vektor aliran panas (a heat flux vector) = Konduktivitas panas (heat conductivity),, = Besarnya suhu di titik,, xiv

15 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Script dalam worksheet Maple 11 untuk menggambar u(r,z) Lampiran 2. Daftar nilai, 2 untuk n = 1 s.d. 50 xv