ALGORITMA PARALEL ODD EVEN TRANSPOSITION PADA MODEL JARINGAN NONLINIER. Ernastuti, Ravi A. Salim, dan Haryanto

Transkripsi

1 ALGORITMA PARALEL ODD EVEN TRANSPOSITION PADA MODEL JARINGAN NONLINIER Ernastuti, Ravi A. Salim, dan Haryanto Pusat Studi Komputasi Matematika, Universitas Gunadarma Jalan Margonda Raya 00, Depok, Indonesia {ernas, ravi, haryanto}@staff.gunadarma.ac.id ABSTRAK Odd-even-transposition adalah suatu algoritma paralel yang merupakan pengembangan dari algoritma sekuensial bubble sort. Algoritma odd-even-transposition ini didesain khusus untuk model jaringan array linier (homogen). Untuk n elemen data, kompleksitas waktu dari algoritma bubble sort adalah O(n 2 ), sedangkan pada odd-even-transposition yang bekerja diatas n prosesor adalah (n). Nampak peningkatan kecepatan waktu pada kinerja algoritma paralel ini sebesar n kali dibanding algoritma sekuensialnya. Hypercube dimensi-k adalah model jaringan nonlinier (nonhomogen) terdiri dari n = 2 k prosesor, di mana setiap prosesor berderajat k. Model jaringan Fibonacci cube dan extended Lucas cube masing-masing merupakan model subjaringan hypercube dengan jumlah prosesor < 2 k prosesor dan maksimum derajat prosesornya adalah k. Pada tulisan ini diperlihatkan bagaimana algoritma odd-even-transposition dapat dijalankan juga pada model jaringan komputer kluster nonlinier hypercube, Fibonacci cube dan extended Lucas Cube dengan kompleksitas waktu O(n). Kata kunci: odd even transposition, bubble sort, jaringan kluster nonlinier, hypercube, Fibonacci cube, extended Lucas cube.. Pendahuluan Sorting merupakan salah satu operasi paling penting dalam sistem basis data, dan keefisienannya dapat mempengaruhi kinerja sistem secara drastis. Untuk meningkatkan kinerja sistem basis data, paradigma paralellism (komputasi secara paralel) digunakan untuk mengeksekusi operasi-operasi pada pengadministrasian data [-]. Sekumpulan komputer yang terhubung dalam suatu jaringan area lokal yang disebut jaringan komputer kluster memungkinkan untuk dapat meningkatkan kecepatan waktu pemrosesan aplikasi. Untuk melihat kekuatan komputasi paralel pada jaringan komputer kluster penelitian-penelitian yang terkait telah dipelajari dan dievaluasi pada berbagai aplikasi ilmiah. Mesin paralel yang didiskusikan pada tulisan ini khusus diaplikasikan untuk sistem basis data paralel. Sebelum ini telah banyak penelitian yang dialamatkan untuk permasalahan yang terkait dengan sistem basis data. Namun hanya sedikit yang mendiskusikan tentang evaluasi kinerja algoritma sorting paralel pada jaringan komputer kluster nonlinier. Odd-even-transposition adalah suatu algoritma paralel sorting yang merupakan pengembangan dari algoritma sekuensial bubble sort, di mana algoritma odd-even-transposition ini didesain khusus untuk model jaringan komputer array linier (homogen). Untuk n elemen data, kompleksitas waktu dari algoritma bubble sort pada prosesor tunggal adalah O(n 2 ), sedangkan pada odd-eventransposition yang bekerja di atas n prosesor adalah (n). Nampak peningkatan kecepatan waktu pada kinerja algoritma paralel ini sebesar n kali dibanding algoritma sekuensialnya [-]. Pokok persoalan utama arsitektur komputer paralel adalah pada desain topologi (model) jaringan interkoneksi prosesor. Topologi jaringan interkoneksi biasanya dinyatakan sebagai graf, di mana simpul menyatakan elemen prosesor dan busur menyatakan saluran komunikasi dalam jaringan [2]. Komputer-komputer yang mendukung komputasi paralel saat ini telah tersedia dengan berbagai macam topologi interkoneksi; topologi hypercube merupakan topologi yang populer dan paling banyak digunakan [4]. Jumlah prosesor dalam hypercube dimensi-k adalah 2 k. Hypercube mempunyai banyak sifat istimewa dan menarik, antara lain: simpul dan busurnya simetri, mempunyai struktur rekursif yang sederhana, mempunyai jalur dan siklus Hamiltonian dan kepadanya dapat ditanam (embedded) model jaringan lain seperti linear array, ring, mesh dan tree secara efisien. Namun, kelemahan hypercube adalah Jurnal Ilmu Komputer dan Informasi, Volume, Nomor 2, ISSN

2 Algoritma Paralel Odd Even Transposition pada Model Jaringan Nonlinear ketika dimensinya diperbesar, jumlah prosesornya meningkat secara eksponensial. Hal ini sangat membatasi ukuran sistem jaringan yang akan dibangun [-]. Untuk mengatasi kelemahan ini, model-model jaringan interkoneksi dengan jumlah simpul yang jauh lebih sedikit dari 2 k yang memiliki hampir semua sifat istimewa hypercube telah diperkenalkan; yaitu Fibonacci cube (FC), Extended Fibonacci cube (EFC) dan Extended Lucas cube (ELC), masing-masing diperkenalkan oleh Hsu pada tahun 99 [], Wu (99) [], dan Ernastuti (200) [4,-0]. Graf-graf ini masing-masing adalah subgraf bentukan dari Hypercube. Dengan kata lain, hypercube dimensi-k adalah model jaringan nonlinier terdiri dari n = 2 k prosesor. Sedangkan jaringan kubus FC, EFC dan ELC masingmasing merupakan model subjaringan hypercube dengan jumlah prosesor < 2 k dan maksimum derajat prosesornya adalah k. Dari penelitian yang telah dilakukan membuktikan bahwa pada subjaringan ini dapat juga ditanamkan model jaringan linear array, ring, mesh dan tree. Pada tulisan ini diperlihatkan bagaimana algoritma odd-even-transposition dapat dijalankan pada model jaringan komputer kluster nonlinier hypercube, FC dan ELC dengan kompleksitas waktu O(n), di mana n = 2 k. 2. Telaah Pustaka Sampai saat ini, teori graf masih digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang. Pada umumnya, teori graf digunakan untuk memodelkan persoalan dan mencari solusinya. Beberapa persoalan pada zaman modern yang menggunakan teori graf antara lain adalah permasalahan jaringan web, prosesor, telepon dan utilitas. Dari banyak masalah yang menggunakan graf sebagai alat bantu pemodelan dan penyelesaiannya, dalam penelitian ini khusus membahas mengenai aplikasi teori graf dalam topologi jaringan, khususnya model jaringan interkoneksi prosesor/komputer nonlinier hypercube, Fibonacci cube dan extended Lucas cube. Pada penelitian ini, ketiga model jaringan tersebut dibuktikan dapat dimanfaatkan untuk menjalankan algoritma paralel sorting Odd Even Transposition. Definisi : Misal A adalah suatu daftar dari n elemen A, A 2,, A n dalam memori. Mengurutkan (sorting) A berkaitan dengan operasi menyusun elemen-elemen di dalam A demikian sehingga elemen-elemen tersebut terurut secara numerik atau secara leksikografik, yaitu sedemikian sehingga A A 2 A A n. Dengan kata lain Definisi dapat dinyatakan dengan pernyataan berikut: Asumsi:. Tabel dengan n elemen: A, A 2,, A n 2. Untuk 2 elemen A i dan A j, salah satu kondisi ini pasti benar: A A 2, A = A 2 atau A A 2.. Tujuan sorting: menemukan permutasi (π 0, π,, π n- ) sedemikian sehingga Aπ 0 Aπ Aπ n-. Definisi 2: Sebuah graf G=(V,E) terdiri dari himpunan simpul V dan himpunan busur E; sebuah busur adalah suatu pasangan tidak terurut (x,y), di mana x y V G. Untuk menghindari pengertian yang ambigu, V dan E dalam garaf G masing-masing dinotasikan V G dan E G. Definisi : Jalur Hamiltonian pada graf tak berararah G(V G, E G ) didefinisikan sebagai suatu perjalanan yang melewati setiap simpul v i V G tepat satu dan satu kali. Jika jalur Hamiltonian dalam G dimulai dari simpul v dan berakhir di simpul v n, dengan (v,v n ) adalah busur E G, maka jalur ini disebut Hamiltonian cycle. Graf yang mempunyai Hamiltonian cycle disebut graf Hamiltonian. Masalah pencarian jalur Hamiltonian dan Hamiltonian cycle pada suatu graf membutuhkan waktu nonpolynomial, bahkan masalah ini terbukti termasuk dalam kelas NP-complete. Namun, untuk beberapa graf tertentu masalah ini bisa diselesaikan dalam waktu polynomial [,0]. Contohnya perhatikan graf-graf berikut. Hypercube dimensi-n Q(n) adalah suatu graf tak berarah di mana setiap simpulnya diwakili oleh suatu string biner panjang-n bit {0,} n. Berdasarkan sifat bipartisi, graf hypercube dibuktikan sebagai graf Hamiltonian. Beberapa model subgraf bentukan hypercube juga telah dibuktikan oleh para peneliti sebagai graf Hamiltonian. Beberapa subgraf tersebut adalah graf Fibonacci cube (FC), graf Extended Fibonacci cube (EFC), dan graf extended Lucas cube (ELC). Hsu [] menunjukkan kurang dari sepertiga graf FC adalah Hamiltonian, walau untuk semua graf FC mempunyai jalur Hamiltonian. Sedangkan Wu [] telah membuktikan semua EFC adalah Hamiltonian. Graf EFC ini merupakan pengembangan dari graf FC. Untuk sifat Hamiltoniannya terlihat EFC lebih baik dari FC. Jean L Baril dan Vincent Vajnovzki [] di dalam papernya pada tahun 200 memperlihatkan pemanfaatan konsep minimal change list dan kode gray untuk menentukan jalur Hamiltonian pada graf FC dan Lucas cube (LC). Selanjutnya, pada paper [,0] dengan pendekatan -kode gray dan sifat 0 Jurnal Ilmu Komputer dan Informasi, Volume, Nomor 2, ISSN 99-02

3 Ernastuti, Ravi A Salim, dan Haryanto bipartisi telah membuktikan bahwa semua ELC adalah Hamiltonian. Definisi 4: Bit adalah suatu digit biner 0, atau. String biner panjang-n adalah suatu barisan hingga bit dengan panjang-n., atau dengan kata lain string biner panjang-n adalah suatu barisan a a 2 a n dengan a i {0,}. String adalah string yang berisi bit kosong dengan panjang. Jika adalah string biner dan V adalah himpunan string biner, maka opearasi V menyatakan concatenation antara string dan setiap bit-string dalam V. Contoh: 0.{0,}= {00, 0}. Definisi : Sebuah string Fibonacci panjang-n adalah string biner a a 2 a n yang tidak mengandung dua bit berurutan. Berikut adalah semua string Fibonacci panjang-: 000, 00, 00,00,0. Definisi : Jarak Hamming di antara dua string biner x dan y panjang-n adalah jumlah dari posisi bit berbeda diantara keduanya; notasi: H(x,y). Contoh: H(00,00)=2. Definisi : Model jaringan array linier LA(n), n 2, adalah graf yang memiliki n simpul terdiri dari dua simpul berderajat satu dan n-2 simpul berderajat dua. Gambar memperlihatkan model jaringan LA(). Gambar. Model jaringan linier array LA() Definisi : Model jaringan ring R(n), n 2, adalah graf yang memiliki n simpul terdiri dari n simpul berderajat dua. Gambar 2 memperlihatkan model jaringan R(). Jumlah simpul dalam Q(k) adalah 2 k, di mana setiap simpul mempunyai keterhubungan dengan k simpul lainnya. Derajat setiap simpul adalah k. Hypercube dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut. Definisi 9: (Hypercube) Untuk k 0, Q(k) = (V Q (k),e Q (k)) dapat didefinisikan : Himpunan simpul V Q (k) dinyatakan secara rekursif sebagai berikut V Q (k) =0.V Q (k-) V Q (k-), di mana V Q (0) ={}; V Q () ={0,}; dua simpul x,y V Q (k) dihubungkan oleh suatu busur E Q (k) jika dan hanya jika jarak Hamming H(x,y)=. Contoh: untuk hypercube dimensi-, Q(), maka himpunan simpulnya adalah { 000, 00, 00, 00, 0, 0, 0, }. Gambar memperlihatkan graph hypercube Q k, untuk dimensi k=,2,,4. Gambar. Graf hypercube Q(k) : (a) Q(), (b) Q(2), (c) Q(), (d) Q(4) Hsu mengembangkan FC yang jumlah simpulnya jauh lebih sedikit (sparse) daripada hypercube. Graf Fibonacci cube dimensi-k FC(k) ini adalah graf tak berarah. Definisi 0: [] (Fibonacci cube) Untuk k 0, FC(k) = (V FC (k), E FC (k)) dapat didefinisikan: V FC (k) dinyatakan secara rekursif sebagai berikut V FC (k) = 0 V FC (k-) 0 V FC (kn-2), di mana V FC (0) = { }, V FC () = V FC (2) = { } dan V FC () = {0,}; dua simpul x,y V EFC (k) dihubungkan oleh suatu busur E FC (k) jika dan hanya jika jarak Hamming H(x,y)=. FC(k) adalah subgraf bentukan dari hypercube Q(k-2), untuk k. Gambar 4 memperlihatkan graf FC(k), untuk k=,4,, Gambar 2. Model jaringan ring R() Model-model Jaringan Nonlinier Hypercube dimensi-k, dinotasikan Q(k), adalah suatu graf tak berarah yang setiap simpulnya diwakili oleh suatu string biner panjang-k bit. Setiap dua simpul dalam Q(k) akan terhubung jika string-string yang mewakilinya berbeda satu posisi bit (a) (b) (c) (d) Gambar 4. Graf FC (a) FC(), (b) FC(4), (c) FC(), (d) FC() Selanjutnya model graph FC diperluas oleh Wu kedalam graf yang disebut extended Fibonacci cube (EFC). Jurnal Ilmu Komputer dan Informasi, Volume, Nomor 2, ISSN 99-02

4 Algoritma Paralel Odd Even Transposition pada Model Jaringan Nonlinear Definisi : [] (Extended Fibonacci cube) Untuk k 0, EFC(k) = (V EFC (k), E EFC (k)) dapat didefinisikan: V EFC (k) dinyatakan secara rekursif sebagai berikut V EFC (k) = 0 V EFC (k-) 0 V EFC (k- 2), di mana V EFC (0) = { }, V EFC () = V EFC (2) = { }, V EFC () = {0,} dan V EFC (4) = {00,0,,0}; dua simpul x,y V EFC (k) dihubungkan oleh suatu busur E EFC (k) jika dan hanya jika jarak Hamming H(x,y)=. EFC(k) adalah subgraf bentukan dari hypercube Q(k-2), untuk k. Gambar memperlihatkan graf EFC(k), untuk k=,4,, (a) (b) (c) (d) Gambar. Graf EFC (a) EFC(), (b) EFC(4), (c)e FC(), (d) EFC() Definisi 2: [9,0] (Extended Lucas cube) Graf ELC dinyatakan sebagai berikut: Untuk k 0, ELC(k) = (V ELC (k), E ELC (k)), maka himpunan simpul ELC(k) didefinisikan secara rekursif : V ELC (k) = 0 V EFC (k-) 0 V EFC (k-) 0, dengan V EFC (0) = { }, V EFC () = {0, } dan V EFC (2) = {00, 0,, 0}, di mana V EFC (k) adalah himpunan simpul graf EFC(k). 00 ke data berikutnya sampai bertemu dengan data yag telah diurutkan.. Ulangi langkah tersebut untuk semua data yang tersisa. Algoritma bubble sort untuk struktur data linear array adalah sebagai berikut: For i to (n-) do For j n downto (i+) do If data[j] < data [j-] then Temp data[j] data[j] data[j-] data[j-] Temp Endif Endfor Endfor Gambar mengilustrasikan contoh penyelesaian masalah sorting dengan algoritma sekuensial bubble sort. Pada kondisi awal bilangan-bilangan 4, 2,,,,,, masing-masing ditempatkan pada array linier elemen. Jumlah iterasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah sorting dengan teknik bubble sort pada Gambar adalah (-) / 2. Secara umum kompleksitas algoritma sekuensial bubble sort pada prosesor tunggal dari n bilangan adalah O(n 2 ). Gambar memperlihatkan model graf ELC(k) untuk k =,4,, (a) (b) (c) (d) Gambar. Graf ELC(k) (a) ELC() (b) ELC(4) (c) ELC() (d) ELC() 4. Algoritma Sorting 4.. Bubble Sort (Sekuensial) Algoritma bubble sort diperuntukkan untuk komputer prosesor tunggal. Algoritma bubble sort adalah sebagai berikut, jika n adalah jumlah elemen data dengan elemen-elemennya adalah T, T 2,..., T n-, T n maka:. Lakukan traversal dari belakang untuk membandingkan dua elemen yang berdekatan. 2. Jika elemen pada T n- > T n, maka dilakukan proses pertukaran data (swap). Jika tidak, lanjutkan Gambar. Aplikasi algoritma bubble sort pada prosesor tunggal dengan struktur data array. 4.2 Odd Even Transposition (Paralel) Algoritma odd even transposition diperuntukkan untuk jaringan komputer kluster linier homogen. 2 Jurnal Ilmu Komputer dan Informasi, Volume, Nomor 2, ISSN 99-02

5 Ernastuti, Ravi A Salim, dan Haryanto Algoritma ini dirancang untuk model array prosesor dengan elemen-elemen processing yang disusun menjadi mesh satu dimensi. Anggap A = (a 0, a,..., a n- ) adalah himpunan n elemen yang akan di-sort. Setiap n elemen processing berisi dua variabel lokal: a, elemen unik dari array A, dan t, variabel yang berisi nilai yang diambil dari elemen processing tetangganya. Algoritma melakukan n/2 iterasi, dan setiap iterasi memiliki dua fase: Fase. Odd-even exchange: nilai a pada setiap prosesor bernomor ganjil (kecuali prosesor n-) dibandingkan dengan nilai a yang tersimpan di prosesor berikutnya. Nilai-nilai ditukar, jika perlu, sehingga prosesor dengan nomor lebih kecil berisi nilai yang lebih kecil. Fase 2. Even-odd exchange: nilai a pada setiap prosesor bernomor genap dibandingkan dengan nilai a yang tersimpan di prosesor berikutnya. Nilai-nilai ditukar, jika perlu, sehingga prosesor dengan nomor lebih kecil berisi nilai yang lebih kecil. Setelah n/2 iterasi, nilai-nilai harus terurut. Algoritma odd even transposition untuk array prosesor linier adalah sebagai berikut: Parameter n Global i Local a {elemen yang di-sort} t {elemen yang diperoleh dari prosesor tetangganya } begin for i to n/2 do for all Pj, di mana 0 j n- do if j < n and odd(j) then {Odd-even exchange} t successor(a) {Ambil nilai dari prosesor tetangga} successor(a) max(a,t) a min(a,t) endif if even(j) then {Even-odd exchange} t successor(a) {Ambil nilai dari prosesor tetangga} successor(a) max(a,t) a min(a,t) endif endfor endfor end transposition. Pada kondisi awal bilangan-bilangan 4, 2,,,,,, masing-masing ditempatkan pada prosesor P 0, P, P 2, P, P 4, P, P, P. Jumlah iterasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah sorting dengan teknik odd even transposition pada Gambar 2 adalah iterasi. Oleh karena itu, secara umum kompleksitas waktu pada algoritma paralel odd even transposition pada jaringan komputer kluster homogen n prosesor dari n bilangan adalah (n). Gambar. Aplikasi algoritma paralel odd even transposition pada prosesor array linier.. Metode Penelitian Agar dapat menjalankan algoritma paralel odd even transposition pada model-model jaringan nonlinier hypercube, FC dan ELC, pertama harus dibuktikan bahwa kepada ketiga model jaringan tersebut dapat ditanam (embedding) model jaringan array linier. Kedua, untuk mengetahui kompleksitas waktu algoritma, jumlah simpul (prosesor) masingmasing model jaringan tersebut harus dihitung. Teorema dan lemma berikut dimanfaatkan sebagai langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah ini. Teknik penanaman (embedding) didefiniskian sebagai suatu fungsi pemetaan g yang memetakan simpul-simpul dari suatu graf guest G ke simpulsimpul dalam suatu graf host H. Teorema : [9] Jika suatu graf G dengan n simpul adalah graf Hamiltonian, maka model jaringan ring R(n) dapat ditanamkan pada G. Pada Teorema, jaringan ring R(n) dipandang sebagai guest, sedangkan graf G sebagai host. Karena model jaringan linier array LA(n) adalah subgraf bentukan dari R(n), maka Akibat : Model jaringan array linier LA(n) dapat pula ditanamkan pada graf G. Gambar mengilustrasikan contoh penyelesaian masalah sorting dengan algoritma paralel odd even Jurnal Ilmu Komputer dan Informasi, Volume, Nomor 2, ISSN 99-02

6 Algoritma Paralel Odd Even Transposition pada Model Jaringan Nonlinear Tabel. Tabel bilangan Fibonacci f n, n Bilangan Fibonacci f n Teorema 2: [] Hypercube Q(k) adalah graf Hamiltonian untuk semua k. Lemma : [] Jumlah simpul hypercube Q(k) adalah 2 k. Teorema 2 dan Lemma menghasilkan akibat sebagai berikut. Akibat 2: Model jaringan array linier LA(2 k ) dapat ditanamkan pada model jaringan nonlinier hypercube Q(k). Gambar 9 memperlihatkan model jaringan ring R() dapat ditanam pada hypercube Q(), dengan kata lain model jaringan array linier LA() dapat pula ditanam pada model jaringan nonlinier hypercube Q(). Teorema dan Lemma 2 menghasilkan akibat sebagai berikut. Akibat : Model jaringan array linier LA(f k-2.) dapat ditanamkan pada model jaringan nonlinier Fibonacci cube FC(k), k > 2. Teorema dan Lemma 2 menghasilkan akibat sebagai berikut. Akibat 4: Model jaringan array linier LA(f k-2.) dapat ditanamkan pada model jaringan nonlinier Fibonacci cube FC(k), k > 2. Teorema 4: [,0] Untuk k > 2, extended Lucas cube ELC(k) adalah graf Hamiltonian untuk semua k, kecuali pada k =. Lemma : [-0] Untuk k >, jumlah simpul model jaringan extended Lucas cube ELC(k) adalah 2 f k f k-4.. Sedangkan untuk k =,4,,, jumlah simpul ELC(k) masing-masing adalah 2, 4,,. Teorema 4 dan Lemma menghasilkan akibat berikut. Akibat : [9] Model jaringan array linier LA( 2f k f k-4 ) dapat ditanamkan pada model jaringan nonlinier extended Lucas cube ELC(k), k >. Sedangkan LA(2), LA(4), LA() dan LA() masingmasing dapat ditanamkan pada ELC(), ELC(4), ELC() dan ELC(). Gambar 9. Model jaringan ring R(2 ) ditanam pada hypercube Q() Teorema : [] Untuk k > 2, Fibonacci cube FC(k) adalah graf Hamiltonian hanya pada beberapa k, namun FC(k) mempunyai jalur Hamiltonian di setiap k. Definisi : Bilangan Fibonacci f n didefinisikan sebagai relasi rekursif berikut f n+ = f n + f n-, di mana nilai awal f = f 2 =. Tabel memperlihatkan tabel bilangan-bilangan Fibonacci f n, di mana n. Lemma 2: [,2] Untuk k > 2, jumlah simpul model jaringan Fibonacci cube FC(k) adalah f k-2. Gambar 0. Model jaringan linier array LA() ditanam pada ELC().. Hasil dan Pembahasan Dari pembahasan sebelumnya, model-model jaringan nonlinier hypercube Q, Fibonacci cube FC dan extended Lucas cube ELC masing-masing mempunyai jalur Hamiltonan. Hal ini mengakibatkan model jaringan array linier LA dapat ditanam pada ketiga jaringan tersebut.. Model jaringan non linier hypercube Q. Untuk mengaplikasikan algoritma odd even transposition pada hypercube Q, pengujian algoritma dicobakan pada hypercube Q(). 4 Jurnal Ilmu Komputer dan Informasi, Volume, Nomor 2, ISSN 99-02

7 Ernastuti, Ravi A Salim, dan Haryanto Hypercube Q() pada Gambar mempunyai jalur Hamiltonian berbentuk model jaringan linier array LA() pada Gambar 2. Nilai awal Setelah odd-even exchange: Setelah even-odd exchange: Gambar. Hypercube Q() Ilustrasi aplikasi algoritma odd even transposition pada Q() dapat dilihat pada Gambar Setelah odd-even exchange: Setelah even-odd exchange: Setelah odd-even exchange: Setelah even-odd exchange: Gambar 2. Linear array LA() Teorema : Anggap ada n elemen yang akan disort pada array prosesor yang disusun menjadi linier array LA. Juga asumsikan bahwa sebelum dan sesudah sort, elemen akan didistribusikan merata, satu elemen per prosesor. Dengan demikian, batas bawah kompleksitas waktu pada algoritma sorting yang mana pun adalah Θ(n). Bukti: Lebar biseksi dari jaringan linier array LA adalah. Misalkan posisi yang ter-sort dari semua elemen yang pada awalnya ada pada satu sisi biseksi adalah pada sisi biseksi yang lain, dan sebaliknya, maka seluruh n elemen harus melewati satu link untuk mencapai sisi yang lain. Karena link hanya dapat membawa satu elemen sekali, jumlah langkah yang diperlukan untuk menukar elemen melalui biseksi paling tidak adalah sebesar n. Dengan demikian, batas bawah kompleksitas jaringan linier array LA dengan syarat-syarat tersebut adalah Θ(n). Teorema : Kompleksitas sorting n elemen pada linier array prosesor LA(n) dengan n prosesor menggunakan odd-even transposition sort adalah Θ(n). Bukti: Bukti berdasar fakta bahwa setelah i iterasi loop for luar pada algoritma odd even transposition pada seksi 4.2, tidak ada elemen yang bisa lebih jauh dari n-2i posisi dari posisi akhir dan ter-sort-nya. Dengan demikian, n/2 iterasi cukup untuk men-sort elemen-elemen tsb, dan kompleksitas waktu algoritma paralel adalah Θ(n) jika diberikan n elemen processing. Setelah odd-even exchange: 2 4 Gambar. Ilustrasi aplikasi algoritma odd even transposition pada Q() Akibat : Kompleksitas sorting n elemen pada jaringan nonlinier hypercube Q(k) dengan n = 2 k prosesor menggunakan odd-even transposition sort adalah Θ(n). Bukti: Jelas terbukti benar dari Akibat 2 dari Teorema. Lemma 4: Untuk k > 2 dan n = 2 k, kompleksitas sorting f k-2 elemen pada model jaringan nonlinier Fibonacci cube FC(k) menggunakan odd-even transposition sort adalah O(n). Bukti: Dari Definisi 0 terlihat bahwa FC(k) Q(k-2) atau dengan kata lain FC(k) adalah subgraf bentukan hypercube Q(k-2). Lemma menyatakan bahwa untuk k > 2, jumlah simpul model jaringan Fibonacci cube FC(k) adalah f k-2. Sedangkan f k-2 < 2 k, atau dengan kata lain f k-2 < n. Teorema menyatakan bahwa untuk semua k > 2, Fibonacci cube FC(k) adalah graf Hamiltonian pada beberapa k, namun FC(k) mempunyai jalur Hamiltonian di setiap k. Dengan kata lain model jaringan array linier LA(f k-2 ) dapat ditanamkan pada model jaringan nonlinier Fibonacci cube FC(k), k > 2. Karena f k-2 < n dan Teorema menyatakan kompleksitas sorting n elemen pada linier array prosesor LA(n) dengan n prosesor menggunakan odd-even transposition sort adalah Θ(n), maka kompleksitas sorting f k-2 elemen pada model jaringan nonlinier Fibonacci cube FC(k) Jurnal Ilmu Komputer dan Informasi, Volume, Nomor 2, ISSN 99-02

8 Algoritma Paralel Odd Even Transposition pada Model Jaringan Nonlinear menggunakan odd-even transposition sort adalah O(n). Lemma : Untuk k > 4, kompleksitas sorting 2 f k f k-4 elemen pada model jaringan nonlinier extended Lucas cube ELC(k) menggunakan odd-even transposition sort adalah O(n), di mana n = 2 k. Bukti: Menggunakan cara yang sama dengan pembuktian Lemma 4, terbukti bahwa untuk semua k > 4, kompleksitas sorting 2 f k f k-4 elemen pada model jaringan nonlinier extended Lucas cube ELC(k) menggunakan odd-even transposition sort adalah O(n).. Kesimpulan Penelitian ini memberikan kesimpulan sebagai berikut: Kompleksitas sorting n elemen pada jaringan non linier hypercube Q(k) dengan n = 2 k prosesor menggunakan odd-even transposition sort adalah Θ(n). Untuk k > 2 dan n = 2 k, kompleksitas sorting f k-2 elemen pada model jaringan nonlinier Fibonacci cube FC(k) menggunakan odd-even transposition sort adalah O(n). Untuk k > 4, kompleksitas sorting 2 f k f k-4 elemen pada model jaringan nonlinier extended Lucas cube ELC(k) menggunakan odd-even transposition sort adalah O(n), di mana n = 2 k. Secara umum, kompleksitas algoritma odd even transposition pada model-model jaringan nonlinier subgraf bentukan dari hypercube yang mempunyai jalur Hamiltonian adalah O(n), di mana n = 2 k. DAFTAR PUSTAKA [] Modi, J and Prager, R. 9. Implementation of bubble sort and the odd-even transposition sort on a rack of transputers, R Parallel Comput. Vol 4, No, pp 4 4. [2] Roosta, H. S Parallel Processing and Parallel Algorithms : Theory and Computation. New York : Springer Inc. [] Salloum, S.N. Der-Haw Wang. 99. Fault tolerance analysis of odd-even transposition sorting networks with single pass and multiple passes, Vol., pp. 9-9 [4] Ernastuti, V. Vajnovzki, 200. Pemanfaatan Topologi Jaringan Interkoneksi Graf Bentukan dari Objek Kombinatorial pada komputasi paralel, Prosiding Konferensi Nasional Matematika XIII, hal [] Hsu, J.W. 99. Fibonacci cubes a new interconnection topology. IEEE Trans. Parallel Distr. Systems 4 2. [] Katseff, P. H. 99. Incomplete Hypercube. IEEE Transaction On Computer, vol no., pp [] Wu, J. 99. Extended Fibonacci cubes. IEEE Trans. Parallel Distributed. Systems pp. 9. [] Ernastuti, B. H Widjaja, D. Kerami, 200. Extended Lucas Cube: A New Hamiltonian Graph, Journal of the Indonesian Mathematical Society, vol. 4 no., pp. 2-. [9] Ernastuti, V.Vajnovzki, 200. Embedding of Linear Arrays, Rings, and 2D Meshes on Extended Lucas Cube Networks, Proceedings of the International Conference on Electrical Engineering and Informatics pp. -. [0] Ernastuti, 200. Hamiltonicity on Interconnection Network: Extended Lucas Cube, Proceedings of the International Conference on Soft Computing, Intelligent System and Information Technology 200, pp.. [] Baril, L.J, Vincent Vajnovzki Minimal change list for Lucas strings and some graph theoretic consequences. Elsevier. Theoritical Computer Science (4) [2] Klavzar, S On median nature and enumerative properties of Fibonacci-likecubes. Elsevier Discrete Mathematics., (299) pp. 4-. Jurnal Ilmu Komputer dan Informasi, Volume, Nomor 2, ISSN 99-02