Model Log-Linier dan Regresi Logistik

Transkripsi

1 Model Log-Linier dan Regresi Logistik Julio Adisantoso, G /STK 26 Mei 2010 Ringkasan Regresi log-linier adalah suatu pendekatan pemodelan linier terampat yang dapat digunakan untuk data yang menyebar Poisson. Model log-linier merupakan pengembangan dari analisis tabel silang dua arah atau lebih dimana terdapat hubungan antara dua atau lebih variabel kategori yang dianalisis menggunakan logaritme alami terhadap setiap isi sel dalam tabel. Hasil analisis menunjukkan bahwa model log-linier yang melibatkan tiga variabel untuk data tabel tiga arah dengan interaksi dua level merupakan model yang sesuai dibanding hanya menggunakan model additive sempurna. Model ini juga memberikan hasil dugaan yang relatif sama dengan model regresi logistik nominal dengan menggunakan fungsi hubung logit, baik berdasarkan hasil analisis numerik terhadap data contoh maupun berdasarkan tinjauan matematis. 1 Pendahuluan Hasil pengukuran suatu variabel sering mempunyai ciri berupa dua atau lebih kemungkinan nilai yang dikenal sebagai variabel kategorik. Variabel kategorik yang tidak memiliki urutan disebut sebagai variabel nominal sedangkan yang memiliki urutan disebut variabel ordinal. Kedua jenis variabel ini, baik nominal maupun ordinal sering disebut juga sebagai variabel multinomial. Dalam analisis data dimana variabel respon adalah nominal, digunakan suatu metode yang merupakan pengembangan dari regresi logistik dan dikenal sebagai regresi logistik nominal atau nominal logistic regression, sedangkan untuk variabel respon ordinal digunakan regresi logistik ordinal atau atau nominal logistic regression (McCullagh & Nelder, 1983). Pada keadaan tertentu, variabel respon yang berupa frekuensi mengikuti sebaran Poisson. Dalam analisis data dimana variabel respon adalah frekuensi dengan sebaran Poisson, digunakan model Poisson dan log-linier (Dobson, 2001). Fakta menunjukkan bahwa sebaran binomial maupun multinomial dapat diturunkan dari sebaran peubah acak Poisson yang saling bebas. Oleh karena terdapat hubungan antara model multinomial untuk proporsi dan model log-linier untuk frekuensi. Makalah ini akan mengkaji perbandingan antara model log-linier dan model multinomial dengan menggunakan data pada buku Dobson (2001) bab

2 2 2 Model Ketika variabel respon berupa nilai kategori dengan dua atau lebih kategori, terdapat dua pendekatan yang dapat dilakukan dalam model linier terampat. Pertama adalah menggunakan model regresi logistik dari respon dikotomus dan model regresi nominal atau ordinal untuk lebih dari dua kategori, yang keduanya disebut sebagai regresi logistik multinomial. Pendekatan kedua adalah menggunakan model log-linier untuk respon frekuensi yang mengikuti sebaran Poisson. 2.1 Regresi Logistik Multinomial Regresi logistik multinomial (nominal dan ordinal) merupakan salah satu pendekatan pemodelan yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan hubungan beberapa variabel kovariat X dengan suatu variabel respon multinomial (polytomous). Model regresi logistik nominal digunakan ketika tidak ada urutan di antara kategori respon. Satu kategori diantaranya dipilih sebagai kategori acuan. Misalnya terdapat J kategori respon dan kategori 1 sebagai acuan, maka model logit untuk kategori selain kategori acuan dapat dituliskan sebagai ( ) πj logit(π j ) = log = x T j β j, untuk j = 2,..., J (1) π 1 Terdapat (J 1) persamaan logit digunakan secara simultan untuk menduga parameter β j sehingga penduga linier dari x T j β j dapat dihitung. Dari persamaan (1) dapat diperoleh π j = π 1 exp ( x T j β j ) Karena π 1 + π π J = 1, maka dapat diperoleh 1 π 1 = 1 + J j=2 exp ( x T β ) j j π j = exp ( x T j β j ) 1 + J j=2 exp ( x T j β j ), untuk j = 2,..., J (2) Jika ada urutan pada kategori respon (respon ordinal) maka model yang digunakan adalah regresi logistik ordinal. Misalkan z adalah variabel kontinu yang dapat dipotong-potong dengan titik-titik C 1,..., C J 1 untuk mendefinisikan J kategori ordinal yang masing-masing dengan peluang π 1,..., π J dimana J j=1 π j = 1. Ada beberapa model yang dapat digunakan untuk regresi logistik ordinal ini, antara lain model logit kumulatif, proportional odds, adjacent categories logit, dan continuation ratio logit. Cumulative odds untuk kategori ke-j adalah P (z C j P (z > C j = π π j π j π J

3 2.2 Regresi Log-Linier 3 sehingga model kumulatif logit adalah ( ) π π j log = x T j β j (3) π j π J Jika penduga linier x T j β j pada persamaan (3) memiliki intercept β 0j untuk kategori ke-j tetapi variabel kovariat tidak tergantung pada j, maka digunakan model proportional odds, yaitu ( ) π π j log = β 0j + β 1 x β p 1 x p 1 (4) π j π J Alternatif lainnya dari model kumulatif odd adalah rasio dari peluang sukses untuk kategori yang bersebelahan, yaitu sehingga model adjacent logit menjadi log π 1 π 2, π 2 π 3,..., π J 1 π J ( πj π j+1 ) = x T j β j (5) Model rasio peluang lainnya adalah π 1 π 2, π 1 + pi 2 π 3,..., π π J 1 π J atau π 1 pi 2,,..., π J 1 π π J π π J π J sehingga model logit rasio menjadi ( ) log π j π j π J = x T j β j (6) 2.2 Regresi Log-Linier Misalkan Y 1, Y 2,..., Y N adalah peubah acak saling bebas dimana Y i adalah jumlah kejadian dari frekuensi n i untuk kovariat ke-i. Nilai harapan dari Y i dapat ditulis sebagai E(Y i ) = µ i = n i θ i

4 2.2 Regresi Log-Linier 4 Pengaruh θ i dalam variabel penjelas biasanya dimodelkan sebagai θ i = e xt i β sehingga model linier terampat menjadi E(Y i ) = µ i = n i e xt i β, dimana Y i P oisson(µ i ) Dengan menggunakan fungsi hubung log, maka diperoleh log µ i = log n i + x T i β (7) Misalkan data frekuensi dalam tabulasi silang dua dimensi dinotasikan sebagai Y jk, yaitu frekuensi untuk sel ke-(j, k) dimana j=1,...,j dan k=1,...,k sedemikian sehingga J Kk=1 j=1 Y jk = n. Jika Y jk adalah peubah acak saling bebas yang mengikuti sebaran Poisson dengan parameter E(Y jk ) = µ jk, maka jumlahnya akan mengikuti sebaran Poisson dengan parameter E(n) = µ = µ jk. Dengan demikian, sebaran peluang bersama dari Y jk merupakan sebaran multinomial, yaitu J K θ y jk jk f(y n) = n! y jk! j=1 k=1 dimana θ jk = µ jk /µ, yang dapat diartikan sebagai peluang pengamatan pada sel ke-(j, k) dari tabel silang dua dimensi. Nilai harapan dari Y jk adalah E(Y jk ) = µ jk = nθ jk Dengan fungsi hubung log maka diperoleh log µ jk = log n + log θ jk Oleh karena itu, dengan fungsi hubung log diperoleh komponen linier log E(Y i ) = konstanta + x T i β (8) Pengertian model log-linier digunakan untuk menjelaskan semua model linier terampat pada persamaan (8) ini. Jika tidak ada hubungan antara dua variabel (baris dan kolom pada tabel) atau saling bebas, maka peluang bersama θ jk adalah hasil kali dari peluang marjinalnya, yaitu θ jk = θ j. θ.k, untuk j = 1,..., J dan k = 1,..., K.

5 2.2 Regresi Log-Linier 5 Uji hipotesis dilakukan dengan membandingkan model aditif log E(Y jk ) = log n + log θ j. + log θ.k (9) dengan log E(Y jk ) = log n + log θ jk (10) Hal ini sama dengan sidik ragam (ANOVA) untuk percobaan dua faktor tanpa ulangan sehingga persamaan (10) dapat dianalogikan sebagai log E(Y jk ) = µ + α j + β k + (αβ) jk dan persamaan (9) dapat dianalogikan sebagai dan model minimalnya adalah log E(Y jk ) = µ + α j + β k log E(Y jk ) = µ Tabel 1: Tabel silang dua arah Y dan X Y J 1 X 0 µ 00 µ µ 0,J 1 1 µ 10 µ µ 1,J I 1 µ I 1,0 µ I 1,1... µ I 1,J 1 Sebagai contoh, Tabel 1 menunjukkan tabel silang dua arah Y (ada J kategori) dan X (ada I kategori). Maka model log-linier penuh (saturated) dapat dituliskan sebagai log(µ ij ) = µ + α X i + β Y j + (αβ) XY ij µ ij = e µ+αx i +βy j +(αβ)xy ij (11) dimana µ adalah rata-rata umum, αi X adalah pengaruh baris, βj Y adalah pengaruh kolom, dan (αβ) XY ij adalah pengaruh interaksi baris dan kolom. Pada keadaan tertentu, ada beberapa parameter yang membutuhkan kendala, salah satunya adalah kendala sudut (corner constraints), yaitu α0 X = β0 Y = αi0 XY = β0j XY = 0 untuk semua i dan j. Sebagai contoh, untuk I = J = 2, maka isi sel tabel 2x2 seperti dicantumkan pada Tabel 2. Dengan demikian, rasio odd untuk tabel silang pada Tabel 2 adalah µ 00 /µ 01 = µ 00µ 11 = eµ.e µ+αx 1 +βy 1 +(αβ)xy 11 µ 10 /µ 11 µ 11 µ 10 e µ+βy 1.e µ+αx 1 = e (αβ)xy 11 (12)

6 2.3 Hubungan Analisis Log-Linier dan Logit 6 Tabel 2: Isi Sel pada tabel silang dua arah Y dan X Y 0 1 X 0 e µ e µ+βy 1 1 e µ+αx 1 e µ+αx 1 +βy 1 +(αβ)xy 11 sehingga (αβ) XY 11 dari persamaan (12) merupakan log dari rasio odd. Jika (αβ) XY 11 = 0, maka tidak ada interaksi antara X dan Y sehingga menjadi model additive sempurna, yaitu log(µ ij ) = µ + αi X + βj Y 2.3 Hubungan Analisis Log-Linier dan Logit Dari sel-sel yang terdapat pada Tabel 2, jika Y merupakan variabel respon dan X merupakan variabel penjelas, maka diperoleh model logit pada X = 1 sebagai berikut: ( ) P (Y = 1) logit[p (Y = 1))] = log P (Y = 0) ( ) e µ+α X 1 +βy 1 +(αβ)xy 11 = log e µ+αx 1 = β Y 1 + (αβ) XY 11 x (13) Nilai intercept β Y 1 disebut sebagai baseline log odds, yaitu nilai log odds dari Y = 1 dengan syarat X = 0. Sedangkan koefisien dari x merupakan beda antara log odds Y = 1 pada X = 0 dan X = 1. Untuk tabel silang tiga arah yang melibatkan tiga variabel kategori, model loglinier dengan interaksi dua level adalah log(µ ijk ) = µ + α X i + β Y j + γ Z k + (αβ) XY ij + (αγ) XZ ik Misalkan Y merupakan variabel respon biner, maka ( ) p(y = 1) logit[p (Y = 1)] = log 1 p(y = 1) ( ) P (Y = 1 X = i, Z = k) = log P (Y = 0 X = i, Z = k) ) = log ( µi1k µ i0k + (βγ) Y Z jk

7 2.4 Uji Kebaikan Model 7 = log ( e µ+α X i +βy 1 +γz k +(αβ)xy i1 e µ+αx i +βy 0 +γz k +(αβ)xy i0 +(αγ)xz ik +(βγ)y 1k Z +(αγ)xz ik +(βγ)y 0k Z = (β1 Y β0 Y ) + [(αβ) XY i1 (αβ) XY i0 ] + [(βγ) Y 1k Z (βγ) Y 0k Z ] = µ + αi X + γk Z (14) ) Dengan demikian, untuk tabel silang tiga arah dengan Y sebagai respon biner, terdapat hubungan antara model log-linier dengan model logistik seperti tercantum pada Tabel 3. Tabel 3: Model Log-Linier dan Logistik pada tabel tiga arah Simbol Log-Linier Model Logistik (Y, XZ) µ (XY, XZ) µ + αi X (Y Z, XZ) µ + γk Z (XY, Y Z, XZ) µ + αi X + γk Z (XY Z) µ + αi X + γk Z + (αγ)xz ik 2.4 Uji Kebaikan Model Untuk mengukur tentang kesesuaian model regresi logistik maupun log-linier, ada beberapa ukuran statistik yang dapat dijadikan kriteria, di antaranya adalah Pearson Chi-square residual, Deviance, Uji Rasio likelihood, dan uji lainnya misalkan AIC. Nilai Pearson chi-squares residual dapat dihitung melalui persamaan: r i = o i e i ei dimana o i dan e i adalah nilai observasi dan nilai dugaan (harapan) untuk setiap i=1,2,...,n. Nilai n i=1 r i mengikuti sebaran χ 2 dengan derajat bebas n p, p adalah banyaknya parameter. Kriteria lainnya untuk mengukur kesesuaian model adalah deviance yang didefinisikan sebagai nilai maksimum dari fungsi log-likelihood untuk model fit l(b) dan untuk model maksimum l(b max ), D = 2[l(b max ) l(b)] Untuk model yang baik, nilai deviance juga mempunyai kedekatan dengan sebaran χ 2 dengan derajat bebas np. Kondisi lain jika nilai antara Pearson Chi-square dan deviance relative sama dengan derajat bebas np, maka model yang dihasilkan kemungkinan mempunyai tingkat kesesuaian yang cukup. Kriteria ketiga adalah uji rasio likelihood yang dapat diimplementasikan untuk menduga kesesuaian dari pendugaan parameter regresi dengan menggunakan MLE

8 8 (Maximum Likelihood Estimation). Uji ini untuk melihat kontribusi variabel penjelas terhadap variabel respon di dalam model. Dengan demikian, uji hipotesis yang dilakukan adalah H 0 : β 1 = β 2 =... = β k = 0 H 1 : sedikitnya ada satu β 0 Statistik uji yang digunakan adalah G = 2(l 1 l 0 ) dimana l 1 adalah likelihood tanpa variabel penjelas dan l 0 adalah likelihood dengan variabel penjelas. Nilai G mengikuti sebaran χ 2 dengan derajat bebas k. Ukuran lain yang dapat mengukur kebaikan model adalah AIC (Akaike Information Criteria) dan SC (Schwartz Criteria). AIC didefinisikan sebagai G 2 2d, d adalah derajat bebas. Nilai AIC yang semakin kecil mengindikasikan model yang baik. 3 Analisis Data 3.1 Bahan dan Metode Analisis data dilakukan terhadap soal nomor 9.5 pada buku Dobson (2001), yaitu hasil survei tentang tingkat kepuasan kondisi rumah di Copenhagen. Responden dipilih di daerah hunian rumah yang disewa pada tahun Tingkat kepuasan diukur berdasarkan derajat kontak mereka dengan penghuni lainnya. Data dikelompokkan berdasarkan tipe rumah seperti yang dicantumkan pada Tabel 4. Tabel 4: Data yang dianalisis Tingkat Kepuasan Derajat Rendah Sedang Tinggi Kontak Rendah Tinggi Rendah Tinggi Rendah Tinggi Tower block Apartment House Tingkat kepuasan terdiri atas tiga level, yaitu rendah, sedang, dan tinggi; derajat kontak terdiri atas dua level yaitu rendah dan tinggi; sedangkan tipe rumah terdiri atas tiga kategori yaitu tower block, apartment. dan house. Data dianalisis menggunakan program SAS v9.1 sebagai berikut: 1. Pertama data dianalisis menggunakan model regresi logistik nominal untuk melihat hubungan antara tingkat kepuasan dengan dua variabel lainnya, yaitu derajat kontak dan tipe rumah. 2. Data juga dianalisis menggunakan model regresi logistik ordinal logit kumulatif untuk selanjutnya dibandingkan dengan model regresi logistik nominal.

9 3.1 Bahan dan Metode 9 3. Hasil tahap (1) dan (2) dibandingkan untuk mendapatkan model terbaik. 4. Selanjutnya data dianalisis untuk melihat hubungan antara tingkat kepuasan (diperlakukan sebagai variabel kategori nominal) dengan derajat kontak reponden terhadap penghuni lainnya, terpisah untuk setiap tipe rumah, menggunakan model log-linier. 5. Analisis pada tahap (4) dilanjutkan dengan melakukan secara simultan untuk semua tipe rumah. 6. Hasil analisis tahap (4) dan (5) dibandingkan dengan model yang diperoleh pada tahap (3). Model regresi logistik nominal dengan fungsi hubung logit yang dilakukan dapat dituliskan sebagai ( ) πj log = β 0j + β 1j T 2 + β 2j T 3 + β 3j K 2, untuk j = 2, 3 dimana π 1 S 2 = S 3 = T 2 = T 3 = K 2 = { 1, tingkat kepuasan sedang 0, tingkat kepuasan lainnya { 1, tingkat kepuasan tinggi 0, tingkat kepuasan lainnya { 1, tipe apartment 0, tipe lainnya { 1, tipe house 0, tipe lainnya { 1, derajat kontak tinggi 0, derajat kontak lainnya Model regresi logistik ordinal logit kumulatif yang digunakan dalam analisis data adalah ( ) π1 log = β 01 + β 11 T 2 + β 12 T 3 + β 2 K 2 π 2 + π ( 3 ) π1 + π 2 log = β 02 + β 11 T 2 + β 12 T 3 + β 2 K 2 π 3 Model regresi log-linier yang digunakan dalam analisis data terdiri dari beberapa tahap. Pertama adalah model additive regresi log-linier untuk variabel tingkat kepuasan dan derajat kontak untuk setiap tipe rumah. Dengan demikian terdapat tiga model additive yang masing-masing berbentuk log(µ jk ) = µ + β1 S 2 j + β2 S 3 j + γ K 2 k

10 3.2 Hasil Analisis 10 atau µ jk = e µ+β1s 2 j +β2s 3 j +γk 2 k dimana µ adalah rataan umum, β1 S 2 j adalah pengaruh tingkat kepuasan sedang, β2 S 3 j adalah pengaruh tingkat kepuasan tinggi, dan γ K 2 k adalah pengaruh derajat kontak tinggi. Selanjutnya dianalisis untuk model saturated sebagai berikut: log(µ jk ) = µ + β1 S 2 j + β2 S 3 j + γ K 2 k + (β 1 γ) S 2K 2 jk + (β 2 γ) S 3K 2 jk Model terakhir yang digunakan untuk analisis data adalah model yang melibatkan semua variabel, dimulai dengan model additive sempurna, yaitu: log(µ ijk ) = µ + α1 T 2 j + α2 T 3 j + β1 S 2 j + β2 S 3 j + γ K 2 k dimana α1 T 2 j adalah pengaruh tipe rumah apartment dan α2 T 3 j adalah pengaruh tipe rumah house. Model selanjutnya adalah model saturated dengan interaksi yang dibatasi hanya untuk dua level, yaitu log(µ ijk ) = µ + α1 T 2 j + α2 T 3 j + β1 S 2 j + β2 S 3 j + γ K 2 k + dan model saturated untuk semua interaksi, yaitu: (α 1 β 1 ) T 2S 2 ij + (α 1 β 2 ) T 2S 3 ij + (α 1 γ) T 2K 2 ik + (β 1 γ) S 2K 2 jk + (β 1 γ) S 3K 2 jk (15) log(µ ijk ) = µ + α1 T 2 j + α2 T 3 j + β1 S 2 j + β2 S 3 j + γ K 2 k + (α 1 β 1 ) T 2S 2 ij + (α 1 β 2 ) T 2S 3 ij + (α 1 γ) T 2K 2 ik + (β 1 γ) S 2K 2 jk + (β 1 γ) S 3K 2 jk + (α 1 β 1 γ) T 2S 2 K 2 ijk + (α 1 β 2 γ) T 2S 3 K 2 ijk + (α 2 β 1 γ) T 3S 2 K 2 ijk + (α 2 β 2 γ) T 3S 3 K 2 ijk (16) 3.2 Hasil Analisis Data disusun dan dibaca dengan prosedur SAS sebagai berikut: data tugas3; input count T2 T3 S2 S3 K2 Y datalines; ;

11 3.2 Hasil Analisis Plot Data Hasil plot proporsi data antara tingkat kepuasan responden (S) dengan derajat kontak (K) menunjukkan hasil yang berbeda pada setiap tipe rumah (Gambar 1). Pada tipe TOWER HOUSE tingkat kepuasan responden lebih tinggi pada derajat kontak rendah, dan sebaliknya, pada tipe APARTMENT tingkat kepuasan responden lebih rendah pada derajat kontak rendah. Pada kedua tipe rumah ini terlihat ada perpotongan garis yang menunjukkan adanya korelasi antara tingkat kepuasan dan derajat kontak. Sedangkan pada tipe HOUSE, kedua garis terlihat sejajar dan tingkat kepuasan responden lebih tinggi pada derajat kontak rendah. Perbedaan ketiga kurva pada Gambar 1 tersebut menunjukkan bahwa tipe rumah memberi kontribusi yang berbeda, atau terdapat interaksi antara tipe rumah, derajat kontak, dan tingkat kepuasan responden Model Regresi Logistik Berdasarkan tabel data sebelumnya, selanjutnya digunakan PROC LOGISTIC untuk menduga model nominal dengan fungsi hubung logit dan model ordinal sebagai berikut: proc logistic data=tugas3; title Hasil analisis model logistik nominal ; weight count; model Y (REFERENCE="0")= T2 T3 K2/link=glogit scale=none aggregate; output out = hasil PRED=PREDICTED PREDPROBS=I C; run; proc print data=hasil; run; proc logistic data=tugas3; title Hasil analisis model logistik ordinal ; weight count; model Y (REFERENCE="0")= T2 T3 K2/link=clogit scale=none aggregate; output out = hasil PRED=PREDICTED PREDPROBS=I C; run; proc print data=hasil; run; Model dugaan regresi logistik nominal yang dihasilkan adalah log log ( ) π2 π 1 ) ( π3 π 1 = T T K 2 = T T K 2 (17) sedangkan dugaan regresi logistik ordinal adalah ( ) π 1 log π 2 + π 3 ( ) π1 + π 2 log π 3 = T T K 2 = T T K 2 (18)

12 3.2 Hasil Analisis 12 Gambar 1: Plot data tingkat kepuasan dan derajat kontak setiap tipe rumah Berdasarkan nilai deviance dan Pearson untuk model nominal dan ordinal pada Tabel 6 menunjukkan bahwa kedua model dapat digunakan untuk menduga parameter. Hal ini juga dapat dilihat dari AIC, SC, dan -2 Log L pada Tabel 7. Namun demikian, model nominal lebih baik dibanding dengan model ordinal, dimana deviance untuk model nominal sebesar lebih baik dibanding untuk

13 3.2 Hasil Analisis 13 Tabel 5: Penduga maksimum likelihood model logistik Standard Wald Parameter Y DF Estimate Error Chi-Square Pr>ChiSq Model 1: Nominal Intercept Intercept <.0001 T T <.0001 T T <.0001 K K Model 2: Ordinal Intercept <.0001 Intercept T <.0001 T <.0001 K Tabel 6: Statistik deviance dan pearson untuk model logistik Model Nominal Model Ordinal Kriteria Nilai Pr>ChiSq Nilai Pr>ChiSq Deviance Pearson model ordinal yang nilainya lebih tinggi, yaitu Model Regresi Log-Linier Untuk setiap data tipe rumah diolah dengan program SAS sebagai berikut proc genmod data=tugas3a order=internal; title Model additive per tipe rumah ; model count = S2 S3 K2 /link=log dist=poisson lrci type3 pred; run; proc genmod data=tugas3a order=internal; title Model saturated per tipe rumah ; model count = S2 S3 K2 S2*K2 S3*K2 /link=log dist=poisson lrci type3 pred; run; Model additive dugaan regresi log-linier yang dihasilkan untuk setiap tipe rumah adalah log(µ 0jk ) = S S K 2

14 3.2 Hasil Analisis 14 Tabel 7: Statistik fit model logistik Model Nominal Model Ordinal Kriteria Minimum Fit Minimum Fit AIC SC Log L Tabel 8: Penduga parameter dan deviance model untuk setiap tipe rumah Tower Block Apartment House Parameter Additive Saturated Additive Saturated Additive Saturated Intercept S S K S 2 K S 3 K Deviance Pearson berbeda nyata pada taraf 5% log(µ 1jk ) = S S K 2 log(µ 2jk ) = S S K 2 (19) untuk j=0,1(s 2 ),2(S 3 ) dan k=0,1(k 2 ). Sedangkan model saturated-nya adalah log(µ 0jk ) = S S K S 2K S 3K 2 log(µ 1jk ) = S S K S 2K S 3K 2 log(µ 2jk ) = S S K S 2K S (20) 3K 2 Tipe rumah memberikan pengaruh yang berbeda ke dalam setiap model. Hal ini ditunjukkan oleh hasil uji penduga parameter yang berbeda pada Tabel 8, dimana S2 tidak nyata pada tipe Tower Block tetapi nyata pada tipe lainnya. Sebaliknya, S3 nyata pada tipe Tower Block tetapi tidak nyata pada tipe lainnya. Sedangkan intercept berbeda nyata pada setiap model, dan tidak terlihat ada interaksi antara S2 dengan K2. Nilai deviance untuk tipe house sebesar pada model saturated lebih kecil dari nilai χ 2 (2,0.5) =5.99, sehingga model ini paling sesuai dibanding model pada dua tipe rumah lainnya. Hal ini juga tercermin dari nilai Pearson chi-square pada Tabel 8. Hasil analisis log-linier setiap tipe rumah menunjukkan hasil yang berbeda, yang sesuai dengan hasil plot data pada Gambar 1. Hal ini menunjukkan bahwa tipe

15 3.2 Hasil Analisis 15 Tabel 9: Penduga parameter dan deviance model semua variabel Additive 2 Level 3 Level Parameter Penduga Pr>ChiSq Penduga Pr>ChiSq Penduga Pr>ChiSq Intercept < < <.0001 T < < <.0001 T S S < K < T 2 S T 3 S S 2 K T 2 S < T 3 S < S 3 K T 2 K < T 3 K < <.0001 T 2 S 2 K T 3 S 2 K T 2 S 3 K T 3 S 3 K Deviance Pearson Gambar 2: Plot residual model nominal dan log-linier

16 3.2 Hasil Analisis 16 Tabel 10: Penduga parameter dan deviance model semua variabel Nominal Per Tipe 2 Level Obs Count Pred Resid Pred Resid Pred Resid Pearson rumah memberikan kontribusi yang berbeda terhadap model, sehingga perlu dilakukan analisis model log-linier yang melibatkan ketiga variabel secara simultan. Oleh karena itu, model selanjutnya yang dianalisis adalah model yang melibatkan semua variabel yang hasilnya dituangkan pada Tabel 9. Dengan menambah interaksi dua level ke dalam model, diperoleh dugaan yang lebih baik dibanding model additive sempurna. Nilai deviance sebesar dan Pearson sebesar jauh lebih rendah dibanding pada model additive sempurna yaitu berturut-turut dan (Tabel 9). Uji terhadap setiap parameter juga memperlihatkan hasil yang lebih baik setelah menambahkan interaksi dua level ke dalam model. Model log-linier dengan interaksi sampai dengan dua level dari setiap variabel ternyata menghasilkan dugaan dan Pearson residual yang sama dengan model logistik nominal (Tabel 6 dan 10; Gambar 2). Nilai deviance model log-linier dengan interaksi dua level pada Tabel 9 juga sama dengan nilai deviance untuk model logistik nominal pada Tabel 6. Dengan demikian, model yang sudah diturunkan pada persamaan (14) dan hubungan antara model log-linier dan model logit pada Tabel 3 dapat ditunjukkan dalam analisis ini. Walaupun model log-linier dengan model regresi nominal menunjukkan kesamaan, tetapi intrepretasi terhadap model log-linier lebih kompleks karena melibatkan banyak variabel. Dari hasil penelitiannya, Jeansonne (1975) juga menyatakan bahwa untuk tabel dua arah, frekuensi yang diharapkan pada suatu sel harus

17 17 lebih besar dari satu, dan tidak lebih dari 20% yang kurang dari lima. Jika terjadi maka ada beberapa cara harus dilakukan, antara lain menggabungkan beberapa variabel atau menambahkan suatu nilai yang sama ke setiap sel. 4 Kesimpulan Berdasarkan analisis yang telah dilakukan telah diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu model log-linier yang melibatkan tiga variabel untuk data tabel tiga arah dengan interaksi dua level merupakan model yang sesuai dibanding hanya menggunakan model additive sempurna. Model ini juga memberikan hasil yang sama dengan model regresi logistik nominal dengan menggunakan fungsi hubung logit, baik berdasarkan hasil analisis numerik terhadap data contoh maupun berdasarkan tinjauan matematis. Walaupun demikian, intrepretasi hasil analisis menggunakan model log-linier lebih kompleks dibanding model regresi logistik karena melibatkan banyak variabel, dan modelnya juga lebih kompleks. 5 Daftar Pustaka Agresti, A An Introduction to Categorical Data Analysis. 2 nd Ed. John Wiley and Sons, Inc. Dobson, A.J An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman Hall/CRC Texts in Statistical Science Series. Jeansonne, A Loglinear Models. McCullagh,P. and Nelder,J.A Generalized Linear Models. 2 nd Ed. Chapman and Hall. Ragavan, A.J How to use SAS to fit Multiple Logistic Regression Models. SAS Global Forum Saparita, R Model Regresi Logistik untuk Respon Kualitatif. Buletin IPT No.5 Vol.IV. Zeileis, A; C.Kleiber and S.Jackman Regression Models for Count Data in R. Department of Statistics and Mathematics, Wirtschaftsuniversitat Wien, Austria.

18 18 6 Lampiran 6.1 Output SAS untuk model log-linier tipe TOWER BLOCK The GENMOD Procedure Model Information Data Set Distribution Link Function Dependent Variable WORK.TUGAS3A Poisson Log count Number of Observations Read 6 Number of Observations Used 6 Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood Algorithm converged. Analysis Of Parameter Estimates Standard Likelihood Ratio 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq Intercept <.0001 S S <.0001 K Scale NOTE: The scale parameter was held fixed. LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq S S <.0001 K Observation Statistics Observation count Pred Xbeta Std HessWgt Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood Algorithm converged.

19 6.1 Output SAS untuk model log-linier tipe TOWER BLOCK 19 Analysis Of Parameter Estimates Standard Likelihood Ratio 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq Intercept <.0001 S S K S2*K S3*K Scale NOTE: The scale parameter was held fixed. LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq S S K S2*K S3*K Observation Statistics Observation count Pred Xbeta Std HessWgt

20 6.2 Output SAS untuk model log-linier tipe APARTMENT Output SAS untuk model log-linier tipe APARTMENT Model Information Data Set Distribution Link Function Dependent Variable WORK.TUGAS3A Poisson Log count Number of Observations Read 6 Number of Observations Used 6 Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood Algorithm converged. Analysis Of Parameter Estimates Standard Likelihood Ratio 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq Intercept <.0001 S S K <.0001 Scale NOTE: The scale parameter was held fixed. LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq S S K <.0001 Observation Statistics Observation count Pred Xbeta Std HessWgt Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood Algorithm converged.

21 6.2 Output SAS untuk model log-linier tipe APARTMENT 21 Analysis Of Parameter Estimates Standard Likelihood Ratio 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq Intercept <.0001 S S K S2*K S3*K Scale NOTE: The scale parameter was held fixed. LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq S S K S2*K S3*K Observation Statistics Observation count Pred Xbeta Std HessWgt

22 6.3 Output SAS untuk model log-linier tipe HOUSE Output SAS untuk model log-linier tipe HOUSE Model Information Data Set Distribution Link Function Dependent Variable WORK.TUGAS3A Poisson Log count Number of Observations Read 6 Number of Observations Used 6 Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood Algorithm converged. Analysis Of Parameter Estimates Standard Likelihood Ratio 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq Intercept <.0001 S S K <.0001 Scale NOTE: The scale parameter was held fixed. LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq S S K <.0001 Observation Statistics Observation count Pred Xbeta Std HessWgt Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood Algorithm converged.

23 6.3 Output SAS untuk model log-linier tipe HOUSE 23 Analysis Of Parameter Estimates Standard Likelihood Ratio 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq Intercept <.0001 S S K <.0001 S2*K S3*K Scale NOTE: The scale parameter was held fixed. LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq S S LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq K <.0001 S2*K S3*K Observation Statistics Observation count Pred Xbeta Std HessWgt

24 6.4 Output SAS untuk model lengkap Output SAS untuk model lengkap Model Information Data Set Distribution Link Function Dependent Variable WORK.TUGAS3A Poisson Log count Number of Observations Read 18 Number of Observations Used 18 Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood Algorithm converged. Analysis Of Parameter Estimates Standard Likelihood Ratio 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq Intercept <.0001 T <.0001 T S S K <.0001 Scale NOTE: The scale parameter was held fixed. LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq T <.0001 T LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq S S K <.0001 Observation Statistics Observation count Pred Xbeta Std HessWgt

25 6.4 Output SAS untuk model lengkap 25 Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood Algorithm converged. Analysis Of Parameter Estimates Standard Likelihood Ratio 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq Intercept <.0001 T <.0001 T S S <.0001 K T2*S T3*S S2*K T2*S <.0001 T3*S <.0001 S3*K T2*K <.0001 T3*K <.0001 Scale NOTE: The scale parameter was held fixed. LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq T <.0001 T S S <.0001 K T2*S T3*S S2*K T2*S <.0001 T3*S <.0001 S3*K T2*K <.0001 T3*K <.0001 Observation Statistics Observation count Pred Xbeta Std HessWgt

26 6.4 Output SAS untuk model lengkap 26 Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood Algorithm converged. Analysis Of Parameter Estimates Standard Likelihood Ratio 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq Intercept <.0001 T <.0001 T S S K T2*S T3*S S2*K T2*S T3*S S3*K T2*K T3*K <.0001 T2*S2*K T3*S2*K T2*S3*K Analysis Of Parameter Estimates Standard Likelihood Ratio 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq T3*S3*K Scale NOTE: The scale parameter was held fixed. LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq T <.0001 T S S K T2*S T3*S S2*K T2*S T3*S S3*K T2*K T3*K <.0001 T2*S2*K T3*S2*K T2*S3*K T3*S3*K

27 6.4 Output SAS untuk model lengkap 27 Observation Statistics Observation count Pred Xbeta Std HessWgt