PEMODELAN JUMLAH KEMATIAN AKIBAT DIFTERI DI PROVINSI JAWA TIMUR DENGAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN ZERO-INFLATED POISSON

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 9 November 04 0 PEMODELAN JUMLAH KEMATIAN AKIBAT DIFTERI DI PROVINSI JAWA TIMUR DENGAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN ZERO-INFLATED POISSON Nurul Fittriyah, Alfian F. Hadi, Yuliani Setia Dewi 3,,3 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jember afhadi@unej.ac.id Abstrak Penyakit Difteri merupakan salah satu penyakit menular yang berbahaya, karena terdapat 37 kasus kematian dari 955 kasus. Bakteri Corynebacterium diphteriae menyerang saluran pernafasan atas, racun menyebar melalui darah dan dapat menyebabkan kerusakan jaringan di seluruh tubuh terutama jantung dan saraf. Analisis regresi yang digunakan untuk variabel takbebas berupa data count adalah analisis regresi Poisson, namun seringkali terjadi overdispers pada regresi Poisson. Hal ini dapat diatasi dengan menggunakan regresi Binomial Negatif, namun seringkali overdispersi pada data cacahan dapat disebabkan oleh ecess zeros dan untuk mengatasinya digunakan regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP). Keterkaitan antara prosentase cakupan desa/kelurahan UCI, jumlah kasus gizi buruk, prosentase masyarakat miskin dan hampir miskin, prosentase rumah tangga yang berperilaku hidup bersih dan sehat, serta jumlah puskesmas dengan banyaknya kematian akibat penyakit difteri dapat didekati dengan analisis statistika yang mengkaji tentang hubungan variabel takbebas dan variabel bebas, yaitu analisis regresi. Langkahlangkah dalam penelitian ini adalah, pertama melakukan kajian pustaka tentang difteri. Kedua, melakukan pengujian model regresi Poisson pada data. Ketiga, mengidentifikasi overdispersi serta ecess zeros. Keempat melakukan pengujian model regresi Binomial Negatif dan ZIP secara saturated dan full model dengan bantuan program R. Langkah terakhir membandingkan nilai log- likelihood dari model yang didapatkan untuk mendapatkan model terbaik. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa model terbaik diperoleh dari model regresi ZIP dengan nilai log-likelihood sebesar -9,9. Kata Kunci: Difteri, Ecess zeros, Overdispersi, Regresi Binomial Negatif, Regresi Zero-Inflated Poisson. Pendahuluan Kesehatan merupakan salah satu unsur kesejahteraan bagi masyarakat, melalui pembangunan kesehatan diharapkan dapat meningkatkan derajat kesehatan masyarakat dalam rangka memperbaiki kualitas hidup manusia. Pembangunan Kesehatan di Indonesia mempunyai beban ganda, dimana penyakit menular masih menjadi masalah. Salah satu upaya pencegahannya adalah dengan pemberian vaksin. Difteri merupakan salah satu penyakit menular yang telah ditemukan vaksinnya serta telah dijadikan program imunisasi nasional, namun adanya peningkatan jumlah kasus sebanyak dua

2 Nurul F, et. Al. Pemodelan Jumlah Kematian Akibat Difteri... 0 kali lipat dalam waktu tahun pada tahun 0 di Provinsi Jawa Timur menjadikan status difteri sebagai kejadian luar biasa. Provinsi Jawa Timur merupakan penyumbang kasus difteri terbesar di Indonesia yaitu sebesar 74%, meskipun demikian terdapat kabupaten/kota yang jumlah kamatian akibat difteri bernilai nol atau tidak ada kematian akibat difteri []. Keterkaitan faktor-faktor penyebab banyaknya kematian yang diakibatkan difteri dapat didekati dengan analisis statistika yang mengkaji tentang hubungan variabel takbebas dan variabel bebas, yaitu analisis regresi. Analisis regresi yang digunakan untuk variabel takbebas berupa data count adalah analisis regresi Poisson []. Pada regersi Poisson terdapat asumsi yang harus dipenuhi yaitu mean dan varian harus bernilai sama, namun seringkali dijumpai data count dengan varian lebih besar dari meannya yang disebut overdispersi. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi overdispersi pada regresi Poisson adalah regresi Binomial Negatif. Pada distribusi Binomial Negatif varian tidak konstan seperti pada model Poisson, sehingga jika data yang dianalisis memiliki varian yang terlalu menyebar lebih baik digunakan model regresi Binomial Negatif [3]. Namun apabila dalam data penelitian terdapat banyak nilai nol maka dapat menyebabkan overdispersi pada regresi Poisson. Model regresi Zero-Inflated Poisson merupakan suatu metode untuk memodelkan data yang memiliki ecess zeros, model ini juga sekaligus menangani overdispersi yang terjadi [4]. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan model terbaik terhadap jumlah kematian akibat difteri tahun 0 di Provinsi Jawa Timur dengan menggunakan regresi Binomial Negatif dan Zero-Inflated Poisson. OVERDISPERSI: REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN REGRESI ZERO-INFLATED POISSON Suatu peristiwa count mengacu pada berapa kali peristiwa itu terjadi. Metode utama yang dikembangkan untuk memahami distribusi dari data cacah (count) adalah regresi Poisson, dan kemudian menjadi metode standar yang digunakan untuk memodelkan data cacah [5]. Peubah acak Y dikatakan mengikuti distribusi Poisson, jika fungsi kepadatan peluangnya berbentuk: p(y) = e μ μ y y! Pada regresi Poisson terdapat asumsi yang harus dipenuhi yaitu mean dan varian harus bernilai sama, namun seringkali dijumpai data count dengan varian lebih besar dari meannya yang disebut overdispersi [6]. Overdispersi pada regresi Poisson dapat menyebabkan standard error dari taksiran parameter regresi yang dihasilkan memiliki kecenderungan untuk menjadi lebiih rendah dari seharusnya. Overdipersi pada regresi Poisson dapat dideteksi dengan melihat nilai dari pearson Chi-square dan residual deviaance yang dibagi dengan derajat bebasnya. Apabila kedua nilai ini lebih besar dari satu maka dikatakan overdispersi pada data [7]. Salah satu metode yang dikembangkan untuk mengatasi masalah overdispersi adalah model regresi Binomial Negatif. Model regresi Binomial Negatif dapat digunakan baik dalam keadaan equidispersion ataupun overdispersi. Model regresi Binomial Negatif yang dibangun memiliki sebaran Binomial Negatif dengan parameter μ dan k, dimana μ = αβ dan k = α, sehingga mean dan varian masing-masing adalah sebagai berikut.

3 Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 9 November E(Y) = μ dan Var(Y) = μ + kμ Sehingga sebaran Y menjadi: f(y, μ, k) = Γ(y + k ) y! Γ(k ) ( kμ y + kμ ) ( + kμ ) Salah satu permasalahan regresi Poisson yaitu ecess zeros, dimana jumlah respon 0 yang diamati melebihi jumlah respon 0 yang diperkirakan oleh model. Data yang overdispersi terkadang disebabkan oleh ecess zeros. Dalam hal ini, munculnya kelebihan nol dapat diatasi dengan menggunakan model yang mengakomodasi overdispersi. Dalam banyak kasus nilai nol memiliki arti penting dalam penelitian yang bersangkutan, apabila nilai nol memiliki arti penting dalam penelitian maka dat tersebut harus dimasukkan dalam analisis. Ecess zeros dapat dilihat pada proporsi variabel respon yang bernilai nol lebih besar dari data diskrit lainnya [8]. Model Zero-Inflated Poisson pertama kali diperkenalkan oleh Lambert (99). Jika Y i merupakan variabel acak takbebas yang berdistribusi Zero-Inflated Poisson, maka penelitian nol dapat dikembangkan dalam dua langkah, yaitu [9]: 0, dengan peluang ω Y i ~ { Poisson(λ i ), dengan peluang ( ω) dengan mean dan variannya adalah sebagai berikut: E(Y i ) = ( ω)λ i = μ i dan var(y i ) = μ i + ( ω ω ) μ i Jika Y i merupakan variabel acak independen yang berdistribusi ZIP, nilai nol pada observasi diduga muncul dalam dua cara yang sesuai untuk keadaan (state) yang terpisah. Keadaan pertama disebut zero-state terjadi dengan probabilitas ωdan menghasilkan hanya observasi bernilai nol, sementara keadaan kedua disebut Poisson state terjadi dengan probabilitas ( ω). Sehingga model regresi Zero-Inflated Poisson didefinisikan sebagai berikut: ω + ( ω)e λ untuk Y i = 0 P(Y i = y i ) = { ( ω) e λ λ y i untuk Y y i! i =,,, n yang dinotasikan dengan Y i ~ZIP(λ, ω), dan untuk memodelkan ω umumnya digunakan model logit, yaitu: ω = ep(z i T λ) + ep(z T i λ) Untuk menerapkan model Zero-Inflated Poisson dalam model yang lebih praktis, Lambert (99) menyarankan hubungan model untukdanadalah sebagai berikut. log(λ) = i T β dan logit (ω) = log ( ω ω ) = i T γ dimana merupakan matriks kovarian sedangkan β dan γ adalah matriks berukuran (p + ) dan (q + ) dari parameter yang tidak diketahui atau yang akan ditaksir. k

4 Nurul F, et. Al. Pemodelan Jumlah Kematian Akibat Difteri Metode Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder. Data tersebut diperoleh dari Dinas Kesehatan Provinsi Jawa Timur. Data tersebut merupakan datadata setiap kabupaten/kota di Provinsi Jawa Timur tahun 0. Data yang digunakan adalah data jumlah kematian yang diakibatkan oleh difteri sebagai variabel respon (Y), dengan variabel-variabel prediktor () meliputi:. Cakupan desa/kelurahan UCI ( ). Jumlah kasus gizi buruk ( ) 3. Prosentase masyarakat miskin dan hampir miskin ( 3 ) 4. Rumah tangga berperilaku hidup bersih dan sehat ( 4 ) 5. Jumlah Puskesmas ( 5 ) Pengolahan data dalam penelitian ini menggunakan software R, dan paket yang digunakan adalah paket MASS dan pscl. Langkah-langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan penelitian ini adalah sebagai berikut:. Melakukan kajian pustaka tentang KLB difteri di Provinsi Jawa Timur tahun 0 serta menentukan faktor apa saja yang diduga mempengaruhi jumlah kematian akibat difteri. Memodelkan jumlah kematian akibat difteri menggunakan model regresi Poisson dengan software program R 3. Mengidentifikasi overdipersi dan ecess zeros 4. Pengujian model regresi Binomial Negatif dengan menggunakan software program R secara full dan saturated model 5. Pengujian model regresi Zero-Inflated Poisson dengan menggunakan software program R secara full dan saturated model 6. Membandingkan model-model yang telah didapatkan pada pengujian model regresi Binomial Negatif dan Zero-Inflated Poisson dengan melihat nilai Log-likelihood sehingga didapatkan model terbaik. 4 Hasil dan Pembahasan Model regresi Poisson, Binomial Negatif dan Zero-Inflated Poisson dapat dibentuk dari variabel takbebas dan beberapa variabel bebas yang diduga mempengaruhi. Pemodelan jumlah kematian akibat difteri mempunyai beberapa kombinasi model yang diperoleh dari full dan saturated model. Pengujian kesesuaian model regresi pada penelitian ini menggunakan uji rasio likelihood yang didefinisikan sebagai berikut [0]: L(y: w ) G = log [ L(y; Ω ) ] Perumusan hipotesis pengujian kesesuaian model regresi Binomial Negatif adalah sebagai berikut []: H 0 : β 0 = β = = β k = 0 H : β j 0, j =,,, k

5 Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 9 November statistik ujinya adalah: n G = {y i log ( y i ) (y μ i + α ) log ( + αy i )} i + αμ i G~X i= Sedangkan perumusan hipotesis untuk model regresi ZIP adalah sebgai berikut []: H 0 : β = β = = β p = γ = γ = = γ p = 0 H : paling sedikit ada satu β j atau γ j 0, j =,,.., p Dengan statistik uji sebagai berikut. n G = ( z i T i γ log( + ep( T i γ )) + ( z i )(y i T i β ) ) i= n ( z i y 0 log( + T i y ) + ( z i )(y i β o ep(β 0)) ) i= Pengujian parameter pada model regresi ZIP terbagi menjadi dua yaitu model log dan model logit. Perumusan hipotesis untuk model log adalah sebagai berikut: H 0 : β r = 0, r =,,, k H : β r 0 Sedangkan perumusan untuk model logit adalah sebagai berikut: H 0 : γ r = 0, r =,,, k H : γ r 0 Model regresi Poisson untuk full model adalah sebagai berikut: μ = ep(, ,077546i + 0, i + 0, i 0, i + 0, i ) dengan nilai log-likelihood dari full model Poisson adalah sebesar -60,990. Asumsi yang harus dipenuhi dari regresi Poisson adalah kesetaraan mean dan varian. Apabila variabel respon mengalami overdispersi maka model regresi Poisson tidak sesuai. Taksiran dispersi dapat diukur dengan nilai Residual deviance yang dibagi dengan derajat bebasnya, apabila nilai taksiran dispersi lebih dari maka ada indikasi overdispersi. Full model dari regresi Poisson di atas mengalami overdispersi, karena nilai taksiran dispersi dari model tersebut adalah,66. Seluruh kombinasi model regresi Poisson yang diperoleh dari saturated model diketahui mengalami overdispersi, karena nilai-nilai dari taksiran dispersi model-model tersebut lebih besar dari satu. Salah satu penyebab terjadinya overdispersi adalah adanya ecess zeros. Ecess zeros dapat dilihat dari proporsi variabel respon yang bernilai nol lebih besar dari data diskrit lainnya [9]. Berikut disajikan grafik proporsi jumlah kematian akibat difteri tahun 0 di Provinsi Jawa Timur: n i= n i=

6 Banyak Data Nurul F, et. Al. Pemodelan Jumlah Kematian Akibat Difteri Banyaknya Kematian akibat difteri Gambar Grafik Proporsi Data Dari Gambar diketahui bahwa proporsi variabel respon yang bernilai nol adalah sebanyak 4 data atau 75% dari data kematian tersebut bernilai nol, sehingga disimpulkan bahwa data tersebut mengalami ecess zeros. Selain ecess zeros, data juga diperiksa terdapat outlier atau tidak. Karena jika dalam data terdapat outlier akan menyebabkan model tidak sesuai untuk menggambarkan data. Untuk memeriksa terdapat outlier digunakan bantuan program R dengan fungsi sebagai berikut: > outlier.test(glm(y~ ,family=poisson(log), data=difteri)) ma rstudent = , unadjusted p = e-, Bonferroni p =.6994e-09 Observation: 7 Dari keluaran program tersebut diketahui bahwa pengamatan ke-7 dideteksi sebagai outlier, sehingga harus dikeluarkan. Untuk mengatasi masalah overdispersi dan ecess zeros model regresi Poisson tersebut, maka perlu dilakukan analisis dengan model regresi Binomial Negatif dan ZIP. Berikut ini adalah model regresi Binomial Negatif untuk full model setelah pengamatan ke-7 dikeluarkan: μ = ep( 4, ,008504i + 0,00643 i + 0, i + 0, i + 0, i ) dengan nilai log-likelihood dari model di atas adalah -34, Untuk mendapatkan terbaik dari model Binomial Negatif maka akan dibandingkan nilai-nilai log-likelihood dari model yang didapatkan. Berikut disajikan tabel hasil penelitian tentang pengujian hipotesis untuk keseuaian model regresi Binomial Negatif.

7 Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 9 November No Tabel. Rangkuman Model Regresi Binomial Negatif dengan Dua Variabel Bebas Log- Variabel G Likelihood Hitung df X v,α Keputusan P-value Sig 0,308 ns -40,948,5 Tolak H 0,05 * 0, ns -37, ,678 Terima H 3 0, *** 0,547 ns -43,636 7,5876 Tolak H 4 0,753 ns 0,887 ns -43,47 7,695 Tolak H 5 0,47 ns 0,0383 * -36,389,6084 Terima H 3 0,00075 *** 4 9,488 0,086 * -4,0467,7344 Tolak H 4 0,686 ns 0,059 ns -4,064,4495 Tolak H 5 0,479 ns 3 0,0005 *** -37,3003 4,9566 Terima H 4 0,980 ns 3 0,00050 *** -36, ,6443 Terima H 5 0,3667 ns 4 0,5 ns -43,947 6,7839 Tolak H 5 0,6 ns Berdasarkan Tabel, dari sepuluh model regresi Binomial Negatif dengan dua variabel bebas yang dibentuk menghasilkan empat model yang sama dengan full model, karena G Hitung < X v,α sehingga keputusan yang diperoleh dari model-model tersebut adalah Terima H 0. Selanjutnya diseleksi untuk memperoleh model terbaik dari model-model tersebut, model dengan nilai log-likelihood terbesar dan tingkat signifikansi yang tinggi dapat dipilih sebagai model terbaik. Berdasarkan Tabel, dapat diketahui bahwa model terbaik regresi Binomial Negatif dengan dua variabel adalah model dengan variabel bebas dan 3 dengan nilai log-likelihood -36,389. No Tabel. Rangkuman Model Regresi Binomial Negatif dengan Tiga Variabel Bebas Log- Variabel Likelihood G Hitung df X v,α Keputusan P-value Sig 0,34493 ns -35,7440,8308 Terima H 0 0,03435 * 3 0,00733 *** 0,83 ns -40,5570,43908 Tolak H 0 0,05 * 4 0,40 ns 0,408 ns -40,8304,98588 Tolak H 0 0,037 * 5 0,6707 ns 0,97500 ns 3-37,9976 4,9456 Terima H 0 0,00063 *** 4 0,3466 ns 0,97930 ns 3-36, ,64374 Terima H 0 0,00058 *** 5 5,070 0,34635 ns 0,73 ns 4-43,889 6,704 Tolak H 0 0,480 ns 5 0,308 ns

8 Nurul F, et. Al. Pemodelan Jumlah Kematian Akibat Difteri No Variabel Log- Likelihood G Hitung df X v,α Keputusan P-value Sig 0,, ns 3-35,66989,6648 Terima H 0 0, *** 4 0,30385 ns 0,06548 ns 3-35,0608 0,377 Terima H 0 0, *** 5 0,63858 ns 0,038 * 4-40,633,5697 Tolak H 0 0,3609 ns 5 0,834 ns 3 0,00068 *** 4-36,54 3,3675 Terima H 0 0,6834 ns 5 0,63999 ns Berdasarkan Tabel, dari kesepuluh model regresi Binomial Negatif dengan tiga variabel bebas keputusan yang diperoleh adalah Terima H 0 untuk enam model, maka model-model tersebut dianggap sama dengan full model. Selanjutnya diseleksi untuk memperoleh model terbaik dari model-model tersebut, model dengan nilai loglikelihood terbesar dan tingkat signifikansi yang tinggi dapat dipilih sebagai model terbaik. Berdasarkan Tabel, dapat diketahui bahwa model terbaik regresi Binomial Negatif dengan tiga variabel adalah model dengan variabel bebas bebas, 3 dan 5. Meskipun hanya variabel 3 saja yang signifikan namun nilai log-likelihood untuk model tersebut adalah yang terbesar yaitu -35,0608. Tabel 3. Rangkuman Model Regresi Binomial Negatif dengan Empat Variabel Bebas No. Variabel Log- Likelihood G Hitung df X v,α Keputusan P-value Sig 0, ns 0, * -35,5086,3456 Terima H 3 0, *** 4 0,4663 ns 0,5068 ns -34, , 0 3 0, * Terima H 3 0, *** 5 0,98577 ns 0,675 ns 3 0,008 * -40,887 0,7046 6,59 Terima H 4 0,606 ns 5 0,395 ns 0,878 ns 4 3 0,0006 *** -36,5057 3,3468 Terima H 4 0,60798 ns 5 0,555 ns 0, ns 5 3 0, *** -34, ,306 Terima H 4 0,78569 ns 5 0,73857 ns Berdasarkan Tabel 3, dari kelima model regresi Binomial Negatif dengan empat variabel bebas keputusan yang diperoleh adalah terima H 0 untuk semua model, maka model-model tersebut dianggap sama dengan full model. Selanjutnya diseleksi untuk memperoleh model terbaik dari model-model tersebut, model dengan nilai log-

9 Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 9 November likelihood terbesar dan tingkat signifikansi yang tinggi dapat dipilih sebagai model terbaik. Berdasarkan Tabel 3, dapat diketahui bahwa model terbaik regresi Binomial Negatif dengan empat variabel adalah model dengan variabel bebas,, 3 dan 5, nilai log-likelihood untuk model tersebut adalah -34, Dari uraian di atas dapat diketahui model Binomial Negatif terbaiknya adalah model dengan nilai log-likelihood terbesar, model tersebut adalah full model Binomial Negatif dengan nilai log-likelihood -34, Meskipun demikian, model regresi Binomial Negatif dengan empat variabel bebas dab full model memiliki selisih nilai log-likelihood yang sangat kecil, dan keputusan dari uji kesesuaian model adalah terima, sehingga model dengan empat variabel bebas dandapat dikatakan sebagai model terbaik karena pada full model variabel tidak signifikan. Metode lain yang digunakan untuk mengatasi overdispersi adalah regresi Zero- Inflated Poisson. Berikut adalah full model dari regresi Zero-Inflated Poisson setelah pengamatan ke-7 dikeluarkan: dan log(μ) = 4, , i + 0,0056 i + 0, i 0, i 0, i logit (μ) = 33,0070,046i + 0,043 i 3,43 3i 0,39 4i,88 5i dengan nilai log-likelihood dari model ZIP di atas adalah -3,84. Untuk mendapatkan model terbaik dari model ZIP, maka dilakukan langkah yang sama untuk mencari model terbaik dari model Binomial Negatif yaitu dengan memandingkan nilai-nilai loglikelihood dari model ZIP yang didapatkan. Tabel 4. Rangkuman Model Regresi Zero-Inflated Poisson dengan DuaVariabel Bebas Log- Sig No. Variabel G Likelihood Hitung df X v,α Keputusan Log Logit -4 34,3 Tolak H -39, 30,7 Tolak H 3 ns * 3-43,59 39,5 Tolak H 4 4-4,04 34,4 Tolak H 5 * ns 5 * ns -35,66 3,64 Tolak H 3 * ns 6, ,58 33,48 Tolak H ,0 30,36 Tolak H ns ** -37,09 6,5 Tolak H ns * -36,38 5,08 Tolak H 5 ns * 0 4-4,75 37,8 Tolak H 5

10 Nurul F, et. Al. Pemodelan Jumlah Kematian Akibat Difteri... 0 Berdasarkan Tabel 4, dari kesepuluh model ZIP di atas keputusan yang diperoleh adalah tolak H 0 untuk semua model dengan dua variabel bebas. Berdasarkan keputusan tersebut, model-model dengan dua variabel bebas dianggap berbeda dengan full model ZIP. Selanjutnya diseleksi untuk memperoleh model terbaik dari model-model tersebut, model dengan nilai log-likelihood terbesar dan tingkat signifikansi yang tinggi dapat dipilih sebagai model terbaik. Berdasarkan Tabel 4, dapat diketahui bahwa model terbaik regresi ZIP dengan dua variabel adalah model dengan variabel bebas dan 3 dengan nilai log-likelihood -35,66. Tabel 5. Rangkuman Model Regresi Zero-Inflated Poisson dengan Tiga Variabel Bebas No. Variabel Log- G Sig Likelihood Hitung df X v,α Keputusan Log Logit -3,6 6,84 Tolak H 0 3-3,65 7,6 Tolak H 0 * ,94, Tolak H 0 * ,37 3,06 Tolak H ,8 9,9 Tolak H , ,7 33,74 Tolak H 0 ns * , 0,7 Tolak H 0 ns * 4 * ,37 9,06 Tolak H 0 * ns ,95 30, Tolak H ns * ,79 3,9 Tolak H 0 5 Berdasarkan Tabel 5, dari kesepuluh model ZIP di atas keputusan yang diperoleh adalah tolak H 0 untuk semua model dengan tiga variabel bebas. Berdasarkan keputusan tersebut, model-model dengan dua variabel bebas dianggap berbeda dengan full model ZIP. Selanjutnya diseleksi untuk memperoleh model terbaik dari model-model tersebut, model dengan nilai log-likelihood terbesar dan tingkat signifikansi yang tinggi dapat dipilih sebagai model terbaik. Berdasarkan Tabel 5, dapat diketahui bahwa model terbaik regresi ZIP dengan tiga variabel adalah model dengan variabel bebas, dan 3 dengan nilai log-likelihood -3,6.

11 Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 9 November 04 No Tabel 6 Rangkuman Model Regresi ZIP dengan Empat Variabel Bebas Variabel Log- G Sig Likelihood Hitung df X v,α Keputusan Log Logit * -6,76 5,84 Terima H 3 4 * -5,33,98 Terima H 3 5 * -33, 8,74 0 8,307 Tolak H 4 5 * ns 3-8,49 9,3 Terima H ns * -33,8 8,68 Tolak H 4 5 Berdasarkan Tabel 6, dari kelima model ZIP diketahui terdapat dua model dengan keputusan tolak H 0, model tersebut dianggap berbeda dengan full model. Sedangkan untuk tiga model lainnya keputusan yang diperoleh adalah terima H 0, berarti model tersebut dianggap sama dengan full model. Selanjutnya diseleksi untuk memperoleh model terbaik dari model-model tersebut. Model dengan nilai log-likelihood terbesar dan tingkat signifikansi yang tinggi dapat dipilih sebagai model terbaik. Berdasarkan Tabel 6, dapat dikethui bahwa model terbaik regresi ZIP dengan empat variabel adalah model dengan variabel bebas,, 3 dan 5 dengan nilai log-likelihood -5,33. Dari uraian di atas dapat diketahui model ZIP terbaiknya adalah model dengan nilai log-likelihood terbesar, model tersebut adalah full model ZIP dengan nilai log-likelihood -3,84. Model-model terbaik dari masing-masing motode dapat dirangkum pada Tabel 7. Tabel 7. Model Terbaik untuk Regresi Poisson, Binomial Negatif dan ZIP Model Regresi Log-likelihood Poisson -60,990 Binomial Negatif -34,83748 ZIP -3,84 Berdasarkan Tabel 7 dapat diketahui bahwa model terbaik untuk memodelkan jumlah kematian akibat penyakit difteri di Provinsi Jawa Timur pada tahun 0 adalah dengan regresi ZIP. Nilai log-likelihood dari model ZIP lebih besar dari model Poisson maupun Binomial Negatif. Dari uraian tersebut didapatkan model terbaiknya adalah sebagai berikut: log(μ) = 4, , i + 0,0056 i + 0, i 0, i 0, i

12 Nurul F, et. Al. Pemodelan Jumlah Kematian Akibat Difteri... dan logit (μ) = 33,0070,046i + 0,043 i 3,43 3i 0,39 4i,88 5i dimana adalah prosentase cakupan Desa/Kelurahan UCI (Universal Child Immunization), adalah banyaknya kasus gizi buruk, 3 adalah prosentase masyarakat miskin dan hampir miskin, 4 adalah prosentase rumah tangga yang berperilaku hidup bersih dan sehat, dan 5 merupakan banyaknya Puskesmas yang tersedia di setiap Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Timur. Tabel 8 Interpretasi Model Regresi ZIP β atau γ ep(β) atau ep(γ) Pengaruh Model Log β = 0, ,955 Menurun sebesar 4,85% β = 0,0056,0053 Meningkatkan sebesar 0,5% β 3 = 0, ,00689 Meningkatkan sebesar 0,69% β 4 = 0, ,99693 Menurun sebesar 0,3% β 5 = 0, ,9736 Menurun sebesar,64% Model Logit γ =,046 0,3337 Menurun sebesar 86,66% γ = 0,043,043 Meningkatkan sebesar 4,3% γ 3 = 3,43 0,036 Menurun sebesar 96,74% γ 4 = 0,39 0,8704 Menurun sebesar,99% γ 5 =,88 0,73 Menurun sebesar 88,73% Dari Tabel 8 di atas dapat diketahui bahwa terdapat interpretasi yang tidak sesuai dengan kajian pustaka difteri, yaitu pada variabel bebas prosentase masyarakat miskin dan hampir miskin ( 3 ) pada model logit. Variabel tersebut seharusnya meningkatkan, namun hasil estimasi variabel terbebut menurunkan resiko terjadi kematian akibat difteri. Oleh karena itu, selanjutnya dicari model yang dianggap sama dengan full model dan sesuai dengan kajian pustaka tentang difteri. Pada model regresi Zero-Inflated Poisson, variabel bebas yang terdapat pada model log dan logit tidak harus sama sehingga dimungkinkan terdapat model yang sesuai dan dapat dianggap sama dengan full model untuk menggambarkan data. Dan berikut adalah model regresi ZIP yang sesuai dan dapat dianggap sama dengan full model: dan log(μ) = 0, ,044970i + 0, i + 0, i 0,0009 4i logit (μ) = 65,5809,840897i + 0,0040 i 0,45 4i dengan nilai log-likelhood -9,9. Interpretasi dari model tersebut adalah sebagai berikut. Tabel 9 Interpretasi Model Regresi ZIP Terbaik β atau γ ep(β) atau ep(γ) Pengaruh Model Log β = 0, ,95607 Menurun sebesar 4,39% β = 0,007490,0075 Meningkatkan sebesar 0,75% β 3 = 0, ,0487 Meningkatkan sebesar 4,87% β 4 = 0,0009 0,99779 Menurun sebesar 0,%

13 Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 9 November 04 3 β atau γ ep(β) atau ep(γ) Pengaruh Model Logit γ =, ,05837 Menurun sebesar 94,6% γ = 0,0040,004 Meningkatkan sebesar 0,4% γ 4 = 0,45 0,8858 Menurunkan sebesar,4% Dari Tabel 9 di atas dapat diketahui bahwa model log dari regresi ZIP menunjukkan bahwa setiap kenaikan % dari prosentase cakupan Desa/Kelurahan UCI ( ) dapat menurunkan resiko kematian akibat difteri sebesar 4,39%, untuk setiap kenaikan kasus gizi buruk ( ) berdampak pada peningkatan resiko terjadinya kematian akibat difteri sebesar 0,75%. Untuk setiap kenaikan % dari prosentase masyarakat miskin dan hampir miskin ( 3 ) akan berdampak pada peningkatan terjadinya kematian akibat difteri sebesar 4,87%, dan untuk setiap kenaikan % rumah tangga yang berperilaku hidup bersih dan sehat ( 4 ) dapat menurunkan resiko terjadinya kematian akibat difteri sebesar 0,%. Dan dari model logit dari regresi ZIP menunjukkan bahwa setiap kenaikan % dari prosentase cakupan Desa/Kelurahan UCI ( ) dapat menurunkan resiko kematian akibat difteri sebesar 94,6%, untuk setiap kenaikan kasus gizi buruk ( ) berdampak pada peningkatan resiko terjadinya kematian akibat difteri sebesar 0,4%, sedangkan untuk setiap kenaikan % rumah tangga yang berperilaku hidup bersih dan sehat ( 4 ) dapat menurunkan resiko terjadinya kematian akibat difteri sebesar,4%. 5 Kesimpulan dan Saran Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa model regresi ZIP menghasilkan nilai lebih besar dibandingkan dengan model regresi Poisson dan Binomial Negatif. Dari pemodelan regresi Poisson, Binomial Negatif, dan ZIP didapatkan model terbaik untuk memodelkan jumlah kematian akibat difteri di Provinsi Jawa Timur pada tahun 0 adalah model regresi ZIP dengan variabel bebas model log adalah prosentase cakupan Desa/Kelurahan UCI, jumlah kasus gizi buruk, prosentase masyarakat miskin dan hampir miskin, dan prosentase rumah tangga yang berperilaku bersih dan sehat. Sedangkan pada model logit adalah prosentase cakupan Desa/Kelurahan UCI, jumlah kasus gizi buruk, dan prosentase rumah tangga yang berperilaku bersih dan sehat. Dengan demikian yang perlu ditingkatkan oleh pemerintah setempat untuk dapat menekan terjadinya kematian akibat penyakit difteri adalah cakupan Desa/Kelurahan UCI dan rumah tangga yang berperilaku hidup bersih dan sehat. Selain itu, pemerintah juga perlu menindak lanjuti masalah gizi buruk serta mencari solusi untuk mengurangi prosentase masyarakat miskin dan hampir miskin. Daftar Pustaka [] Dinas Kesehatan Provinsi Jawa Timur. Profil Kesehatan Provinsi Jawa Timur Tahun 0. Surabaya: Dinas Kesehatan Provinsi Jawa Timur, 03. [] Berk, R. & MacDonald, J. M. Overdispersion and Poisson Regression, Journal Quant Criminol, vol. 4, pp.69-8, April 008. [3] Ismail, N. & Jemain, A. A. Generalized Poisson Regression: An Alternative For Risk Classification, Jurnal Teknologi, vol. 43, pp , 005.

14 Nurul F, et. Al. Pemodelan Jumlah Kematian Akibat Difteri... 4 [4] Jansakul, N. & Hinde, J. P. Score Tests for Zero-Inflated Poisson Models, Computational Statistics & Data Analysis, vol. 40, pp , 00. [5] Hilbe, J. M. Negative Binomial Regression Second Edition. New York: Cambridge University Press. 0. [6] Agresti, A. Categorical Data Analysis Second Edition. New York: John Wiley and Sons, Inc. 00. [7] Hardin, J. W. dan Hilbe, J. M. Generalized Linier Models and Etensions. Teas: Stata Press [8] Little, T. D. 03. The Oford Handbook of Quantitative Methods, Volume Statistical Analysis. [serial on line]. =_ulgdl4bph0c&printsec=frontcover&hl=id&source=gbs_ge_summary_r&cad= 0#v=onepage&q&f=false. [ Maret 04]. [9] Lambert, D. Zero-Inflated Poisson Regression, With an Application to Defects in Manufacturing, Technometrics, vol. 34, pp. -4, February 99. [0] Hosmer, D. W. & Lemeshow, S. Applied Logistic Regression Second Edition. John Wiley & Sons, Inc, 000. [] Wahyuni, W. 0. Penaksiran Parameter Model Regresi Binomial Negatif Pada Kasus Overdispersi. Tidak Diterbbitkan. Skripsi. Depok: FMIPA Universitas Indonesia. [] Hall, D. B. & Shen, J. Robust Estimation for Zero-Inflated Poisson Regression, Scandinavian Journal of Statistis, 0./j/ , 009.