MATEMATIKA EKONOMI [EXPERT TEAM]
1 FUNGSI Fungsi adalah Suatu bentuk matematis yang menyata kan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lainnya. Contoh: Y = 0,8X + 5 Keterangan: X = Variabel bebas (Independent variabel) adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain. Y = Variabel terikat (Dependent variabel) adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain. 0,8 = koefisien variabel X 5 = konstanta Fungsi Linier Dikatakan fungsi linier apabila variabel X dan Y dalam persamaan tersebut mempunya pangkat satu. Contoh: y=2x+5 y=-3x+2 Didalam menyelesaikan persoalan fungsi linier ada dua cara yang perlu diketahui, yaitu: Dengan suatu persamaan linier dapat diperoleh suatu grafik Misal: y= - 1 2 x+4 Untuk menggambar grafiknya dicari dengan cara: mencari titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y. Titik potong terhadap sumbu X, terjadi apabila Y = 0 0= - 1 x+4 1 x=4 x= 4 1 x=8 2 2 2 Titik potong terhadap sumbu Y, terjadi apabila X = 0 y=- 1.0+4 y=4 2 Setelah ditemukan koordinat pada masing-masing titik potong, kemudian digambar grafik garis lurusnya. Fungsi linier gambar kurvanya adalah garis lurus.
2 Jika ada gambar kurva jika ingin diketahui fungsingya harus ada 2 titik yang dilewati oleh garis Rumusnya : y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1 Dengan suatu grafik linier (garis lurus) didapat persamaan fungsinya. Maka persamaan fungsi liniernya dapat dicari sebagai berikut: y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1 y 3 2 = x 2 4 (y 3)4 = 2(x 2) 4y 12 = 2x 4 4y = 2x + 8 y = 1 2 x + 2 : 4 Hubungan dua garis lurus Dua garis lurus yang sejajar
3 Dua garis lurus yang berhimpit Dua garis lurus yang berpotongan Gradien Koefisien yang menentukan arah garis fungsi linier, biasanya koefisien ini melekat pada variabel X sisi vertikal sisi horizontal Tanda positif dan negatifnya jika gambar kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah maka nilai gradiennya negatif dan juga sebaliknya Contoh: y = x + 3 Jika x = 0 y = 3, koordinat (0,3) Jika y = 0 x = 3, koordinat (3,0)
4 APLIKASI FUNGSI BIDANG EKONOMI Fungsi Permintaan (Demand Function) Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang diminta oleh konsumen dengan anggapan bahwa faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus), yaitu selera tetap, pendapatan tetap dan harga barang-barang lain tetap, maka ini menandakan bahwa apabila harga turun jumlah barang yang diminta oleh konsumen naik, demikian pula sebaliknya. 1. Pada saat harga turun P1 ke P2, maka permintaan naik dari Q1 ke Q2 2. Pada saat harga naik P1 ke P3, maka per mintaan turun dari Q1 ke Q3 Hal hal yang perlu diperhatikan 1. P = harga per unit Q = Quantitas barang 2. Kurva permintaan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah 3. P dan Q positif 4. Pada suatu tingkatan harga (P) hanya terkandung nilai kuantitas (Q) dan sebaliknya 5. Skala P dan Q tidak perlu sama, karena harga tidak sama dengan kuantitas. Fungsi Penawaran (Supply Function) Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang ditawarkan kepada konsumen, dengan anggapan faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus). Maka apabila tingkat harga meningkat, jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian pula sebaliknya. 1. P1 P2 : Jumlah barang yang ditawarkan naik Q1 Q2 2. P1 P3 : Jumlah barang yang ditawarkan turun Q1 Q3
5 3. Market Equilibrium (Keseimbangan Pasar) Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah barang yang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik hal ini ditunjukkan oleh persamaan : FS = FD ( Fungsi Penawaran = Fungsi Permintaan) Yaitu pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran. Pada posisi keseimbangan pasar ini tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) dan Jumlah keseimbangan (equilibrium quantity). Pajak dan Subsidi Pajak Pungutan yang dilakukan pemerintah terhadap produsen/penjual sehingga beban pajak akan menambah besarnya biaya yang harus dipikul oleh produsen/penjual. Akibatnya harga yang ditawarkan akan naik, kenaikannya sebesar pajak yang dibebankan Pajak yang dikenakan terhadap suatu barang yang besarnya tetap untuk setiap unit barang Sebelum pajak : FS P = aq + b Setelah pajak: FSt P = (aq + b) + t Pajak yang ditanggung konsumen:(pt P) Qt Pajak ditanggung produsen: (Qt. t) (Pt P) Qt Pajak yang diterima pemerintah: Qt. t
6 Subsidi Subsidi merupakan kebalikan dari pajak, pengaruhnya terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga bersedia menjual lebih murah. Sebelum Subsidi : FS P = aq + b Setelah Subsidi : FSs P = aq + b S Contoh Soal: Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi di pasar adalah bila diminta 20 unit barang, harga per unit barang Rp 80 dan bila diminta 60 unit barang, harga menjadi Rp 40, sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 90 unit barang harga per unit Rp 40, tetapi jika ditawarkan 120 unit barang harga akan naik menjadi Rp 60 per unit. Dari data tersebut diminta: a. Carilah fungsi penawaran dan fungsi permintaan? b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium? c. Apabila atas barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 5 per unitnya, tentukan harga dan kuantitas barang yang baru. d. Gambar kurvanya.
7
8 FUNGSI KUADRAT Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim. Sumbu simetri parabola dapat berupa garis yang sejajar dengan sumbu vertikal Y atau berupa garis yang sejajar dengan sumbu horizontal X. Titik Ekstrim parabola adalah titik potong antara sumbu simetri dan para bola yang bersangkutan. Bentuk Umum : Y = ax 2 + bx + C Titik Ekstrim Parabola : b 2a, b2 4ac 4ac Rumus Kuadrat : X1, X2 = b ± b2 4ac 2a Berikut ini merupakan contoh grafik fungsi kuadrat : Contoh: Jika mempunyai nilai minimum, tentukanlah nilai. Jawab: Nilai minimum tersebut merupakan titik puncak. Dengan demikian, dengan menggunakan rumus titik puncak kita dapat: Titik puncak =. Dengan demikian,.
9 ANALISIS BREAK EVEN POINT (BEP) Fungsi Biaya Fungsi biaya menunjukkan hubungan antara biaya total dengan tingkat outputnya (produksi yang dihasilkan). Fungsi biaya terdiri dari : Total Cost (TC) adalah biaya yang dikeluarkan produsen secara keseluruhan dalam memproduksi suatu barang. Variabel Cost (VC) adalah biaya yang dikeluarkan produsen secara berubah-ubah sesuai dengan besar kecilnya produksi yang dihasilkan. Fixed Cost (FC) Biaya yang dikeluarkan perusahaan secara tetap (tanah, gedung, mesin). Secara Grafis hubungan ketiga fungsi biaya tersebut adalah sebagai berikut: Keterangan: TC,VC,FC adalah pengganti sumbu Y. Q adalah pengganti sumbu X. FC garis sejajar dengan Q, karena FC tidak dipengaruhi oleh besar kecilnya produksi. VC adalah garis yang berpusat pada titik 0, karena jumlah pengeluarannya tergantung dari kuantitas yang dihasilkan, jadi apabila tidak berproduksi, maka VC = 0 Bentuk umum fungsi biaya linier: TC = aq + b Dimana: TC = Total Cost Q = Kuantitas yang dihasilkan a, b = Konstanta
10 Fungsi Penerimaan (Revenue) Fungsi yang menunjukkan hubungan antara penerimaan total dengan hasil penjualan produksinya. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut: Keterangan: Grafik TR dimulai dari titik 0, karena pada saat produsen tidak menjual barang hasil produksinya adalah 0, maka TR nya juga 0. Bentuk umum fungsi penerimaan linier: TR = P. Q Analisis Break Even Point (BEP). BEP terjadi apabila garis Total Cost (TC) bertemu dengan garis Total Revenue (TR) dalam satu titik, yaitu titik yang menunjukkan keadaan tingkat penerimaan sama dengan biaya yang dikeluarkan. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut: rugi T BEP laba TC LABA : π = TR TC
11 BUNGA SEDERHANA DAN MAJEMUK Bunga Sederhana Bunga yang dibayarkan hanya pada pinjaman atau investasi pokok saja. Jumlah uang dari bunga sederhana merupakan fungsi dan variable-variabel : - Pinjaman pokok - Tingkat bunga per tahun - Lama waktu pinjaman RUMUS : SI = P. r. t Keterangan: SI = Simple interest (Bunga sederhana) P = principal (Pokok) r = interest rate p.a. (Tingkat bunga/tahun) t = time (Waktu dalam tahun) Sedangkan jika t diberikan dalam hari, aka nada dua metode dalam mencari nilai t, yaitu: 1. Metode Bunga Tepat (Exact Interest Method) atau SIe (365 hari) 2. Metode Bunga Biasa (Ordinary Interest Method) atau SIo (360 hari) Bunga Majemuk Bunga yang dibayarkan dari hasil pinjaman (investasi) ditambah dengan pinjaman pokok secara berkala, sehingga bunga yang dihasilkan dari pokok pinjaman dibungakan lagi bersama-sama. Rumus : S = P (1 + rt) Fn = P (1 + i) n Fn = P(1 + i m )mn Keterangan: Fn = Jumlah uang pada tahun ke-n P = jumlah uang sekarang r = interest rate p.a. (Tingkat bunga/tahun) n= jumlah tahun m= frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
12 contoh : Hitunglah bunga tepat dan bunga biasa dari sebuah pinjaman sebesar Rp20.000.000 selama 60 hari dengan bunga 8 %. P = Rp 20.000.000 r = 8 % t = 60 hari Bunga tepat 60 = Rp 30.000.000 X 8 % X ------- = Rp 394.520,5479 365 Bunga Biasa 60 = Rp 30.000.000 X 8 % X ------- = Rp 400.000,- 360 Soal 1. Ibu Ani meminjam uang di Koperasi Sido Makmur sebanyak Rp 10.000.000 dengan tingkat bunga 10 % dan jangka waktu pinjaman 90 hari. Berapakah tingkat bunga yang harus di bayarkan bu Ani dengan menggunakan bunga tepat dan bunga sederhana. 2. Bapak Amir berniat mrenovasi rumahnya, untuk itu dia meminjam uang di Bank MAYA sebesar Rp 25.000.000,- dengan jangka waktu 120 hari. Berapa yang harus dikembalikan bapak Amir bila bank menetapkan bunga sebesar 12 %.
13 SOAL PRA UTS 1. Pada saat harga Jeruk Rp. 5.000 perkg permintaan akan jeruk tersebut sebanyak 1000Kg, tetapi pada saat harga jeruk meningkat menjadi Rp. 7.000 Per Kg permintaan akan jeruk menurun menjadi 600Kg, buatlah fungsi permintaan dan grafiknya! 2. Tentukan jumlah barang dan harga serta buatlah grafik pada keseimbangan pasar untuk : fungsi permintaan Qd = 10-0,6Pd fungsi penawaran Qs = -20 + 0,4Ps. 3. Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi di pasar adalah bila diminta 20 unit barang, harga per unit barang Rp 80 dan bila diminta 60 unit barang, harga menjadi Rp 40, sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 90 unit barang harga per unit Rp 40, tetapi jika ditawarkan 120 unit barang harga akan naik menjadi Rp 60 per unit. Dari data tersebut diminta: a. Carilah fungsi penawaran dan fungsi permintaan? b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium? c. Apabila atas barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 5 per unitnya, tentukan harga dan kuantitas barang yang baru. d. Gambar kurvanya. 4. Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 Q, sedangkan penawaranannya P = 3 + 0.5 Q. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar 3 perunit. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum pajak dan berapa pula jumlah keseimbangan sesudah pajak? 5. Suatu barang hendak dijual dengan harga Rp. 4.000/buah dan diperkirakan akan laku terjual sebanyak 2.000 buah. Tetapi jika barang tersebut dijual dengan harga Rp. 3.000/buah, maka jumlah permintaan barang tersebut meningkat 5.000 buah. Bagaimana fungsi permintaannya? Gambarkan fungsi permintaan tersebut! 6. Diketahui: FD : P = - 0,5Q + 10 FS : P = Q + 4 Pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp 2, untuk setiap unit barang yang dijual, berapa P dan Q sebelum subsidi dan P dan Q setelah subsidi? Dan Gambarkan kurvanya? 7. Tentukan koordinat titik balik maksimum parabola f(x) = 2x 2 + 8x + 15
14 8. Sebuah perusahaan menjual hasil produksinya dengan harga Rp 2000, per unit, biaya variabelnya 40% dari pendapatannya sedang biaya tetapnya Rp 6000.000 Tentukan: a. BEP (pada saat Q berapa) b. Bila perusahaan menjual hasil produksinya 6000 unit, apa yang terjadi (laba/rugi) c. Gambar kurvanya 9. Sebuah perusahaan menjual hasil produksinya dengan harga Rp 2000, per unit, biaya variabelnya 40% dari pendapatannya sedang biaya tetapnya Rp 6000.000 Tentukan: a. BEP (pada saat Q berapa) b. Bila perusahaan menjual hasil produksinya 6000 unit, apa yang terjadi (laba/rugi) c. Gambar kurvanya 10. Jika diketahui fungsi biaya total TC = 0,5Q 2 + 29Q + 100 dan fungsi harga P = 50-5Q a. carilah jumlah produksi yang dapat memaksimalkan laba b. cari laba maksimum c. berapa harga jual per unit dari produk tsb? d. Berapa biaya total yang dikeluarkan perusahaan? e. Berapa penerimaan total perusahaan? 11. Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Tentukan modal akhir dan bunga yang diperoleh setelah 6 tahun! 12. Modal sebesar Rp8.000.000 dipinjamkan dengan tingkat bunga majemuk 10% per tahun. Penggabungan bunga dengan modal dilakukan setiap tiga bulan. Modal itu dipinjamkan untuk masa waktu 3,5 tahun. 13. Misal Bank JKT menetapkan bunga sebesar 12% per tahun yg dimajemukan secara semesteran. Budi mendepositokan Rp 100.000.000,00 di bank tsb. Tentukan berapa tahun yang diperlukan supaya deposito Budi mencapai Rp 150.000.000,00! 14. Seorang pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 4 tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 12% pertahun. Dari data tersebut berapa seluruh uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat
15 pelunasan? Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar 4 bulanan, berapa jumlah uang yang harus dikembalikan? 15. Tabungan seorang nasabah akan menjadi Rp56.700.000 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang? Apabila pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang?
16 DERIVATIF
17 Penerapan Fungsi Turunan dalam Mikro Ekonomi 1. Biaya Marginal (Marginal Cost atau MC) MC adalah tingkat perubahan biaya total yang diakibatkan oleh tambahan produksi satu unit. MC adalah turunan pertama dari biaya total (Total Cost) = TC. MC = TC = dtc / dq Contoh : C = 4 + 2Q + Q 2 MC = C = 2 + 2Q Maka, TC minimum tercapai pada saat MC = 0 dan MC minimum tercapai pada saat MC = 0. 2. Penerimaan Marginal (Marginal Revenue = MR) MR adalah pertambahan penerimaan yang diakibatkan penambahan penjualan satu unit barang. MR adalah turunan pertama dari total penerimaan (TR) dimana TR = P. Q MR = TR = dtr / dq, TR maksimum pada saat MR = 0
18 Contoh soal : Fungsi permintaan D = P = -3Q 2 + 27, hitunglah fungsi penerimaan dari MR. TR = P. Q = (-3Q 2 + 27)Q = -3Q 3 + 27Q MR = -9Q 2 + 27 ELASTISITAS Konsep keofisien elastisitas secara umum dapat didefinisikan sebagai perubahan persentase suatu variabel terikat sebagai akibat adanya perubahan persentase suatu variabel bebas Elastisitas permintaan perubahan persentase jumlah yang diminta oleh konsumen sebagai akibat adanya perubahan persentase pada harga barang itu sendiri dan variabel variabel bebas lain yang mempengaruhinya secara parsial Elastisitas penawaran : perubahan persentase jumlah yang ditawarkan oleh produsen sebagai akibat adanya perubahan persentase pada harga barang itu sendiri dan variabel variabel bebas lain yang mempengaruhinya secara parsial. Elastistias terdiri dari tiga macam : 1. Elastisitas harga dari permintaan 2. Elastisitas silang dari permintaan 3. Elastisitas pendapatan dari permintaan Elastisitas penawaran hanya ada satu yaitu elastisitas harga dari penawaran Diasumsikan hanya ada satu variabel bebas yaitu harga barang itu sendiri yang mempengaruhi jumlah yang diminta, sementara variabel variabel lain dianggap konstan. Rumus Elastistas Harga dari Permintaan(Ehd,x) Perubahan persentase jumlah yang diminta dari barang x E hd,x = Perubahan persentase harga barang x
19 Secara matematis E hd,x = Q Q 1 Q P P 1 P = Q Q P P = Q Q P P = Q P P Q Rumus tsb adalah elastisitas harga dari permintaan yang dihitung di antara 2 titik (range). Contoh 1 Elastistas Harga dari Permintaan Jika fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh Q = 150 3P, berapakah elastisitas permintaannya jika tingkat harga P = 40, P = 25, dan P =10 Penyelesaian =Jika P = 40 maka Q = 150 3(40) = 30 dq dp = 3 E h = dq dp Q = 3 (40 P 30 ) = 4 = 4 Untuk P = 25 dan P = 10, dapat dicari dengan cara yang sama Contoh 2 Carilah elastisitas harga dari permintaan dari fungsi Q = 9 P 3 Penyelesaian : Q = 9 P 3 = 9P 3 dq dp = 27P 4 E h = dq dp P Q = ( 27P 4 ) ( P 9P 3) = 3 = 3
20 SOAL PRA UAS 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 3x 4 + 2x 2 5x b) f(x) = 2x 3 + 7x c) f(x) = 5(2x 2 + 4x) d) f(x) = (2x + 3)(5x + 4) e) f(x) = (x 2 + 2x + 3)(4x + 5) f) g) f (x) = (3x-2) 4 2. Jika diketahui fungsi total cost untuk memproduksi x satuan barang adalah TC = x 3-4x 2 +16x+80, maka tentukan MC pada saat memproduksi 20 satuan barang! 3. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari adalah y = (2x - 80) dalam ribuan rupiah, biaya proyek minimum dalam x hari adalah.. 4. Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x) = 3x(x 2 12) 5. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya prokyek (3X-900+ 120 ) per hari. Berapa waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek dengan biaya minimum? X 6. Seorang produsen mencadangkan Rp 80000 untuk membeli 2 macam produk X dan Z. Harga per unit X adalah Rp 40 dan Z adalah Rp 20. Jika fungsi produksi adalah Y = 2X 2 8X + Y 2-6Y 60. Berapa unit produk harus di beli agar optimum dan berapa produksi optimum barang tersebut? 7. Budi memiliki uang Rp 100.000 untuk membeli 2 macam buah. Harga per buah untuk Apel adalah Rp 2500 sedangkan Jeruk Rp 1500. Tingkat kepuasan Budi ditunjukan dgn fungsi U = 200 A + 300 J - A 2 3J 2 a. tentukan utilitas marginal dari 2 buah tersebut b. utilitas untuk membeli 60 apel dan 40 jeruk c. apakah kepuasan Budi sudah optimum dengan pembelian diatas? Jika tidak maka berapakah kepuasan optimumnya?
21 8. Biaya total untuk memproduksi X dan Z adalah C = X 2 + 3Z 2 + XZ Harga jual per unit masing-masing barang X = 7 dan Z = 20 a. tentukan MC dan MR nya b. berapa unit yg harus diproduksi agar laba maksimum? c. Berapa total keuntungannya? 9. Fungsi permintaan barang ditunjukan dengan Qd. Pa 6.Pb 2 1 = 0 tentukan elastisitasnya!