PENYELESAIAN PERSAMAAN BLASIUS DENGAN METODE NEW HOMOTOPY PERTURBATION (NHP)

Buletin Ilmiah Math. Stat. Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. 01 (2017), hal 37 44. PENYELESAIAN PERSAMAAN BLASIUS DENGAN METODE NEW HOMOTOPY PERTURBATION (NHP) Wisse Prabawati, Helmi, Fransiskus Fran INTISARI Persamaan Blasius merupakan persamaan diferensial biasa nonlinear orde tiga yang berasal dari dua buah pelat datar yang dialiri oleh suatu fluida. Fluida merupakan suatu zat yang mempunyai kemampuan berubah secara terus menerus (kontinu) jika mengalami geseran, atau mempunyai reaksi terhadap tegangan geser sekecil apapun tegangan geser yang diberikan. Fluida yang mengalir sesuai dengan hukum kedua Newton dengan persamaan Navier-Stokes hukum kekekalan massa dengan persamaan kontinuitas. Penelitian ini membahas tentang metode New Homotopy Perturbation (NHP) untuk mencari solusi dari persamaan Blasius. Persamaan Blasius dibentuk ke dalam persamaan homotopy H(g(η), p) dengan p [0,1] merupakan suatu parameter g(η) merupakan suatu fungsi. Kemudian menentukan invers pada bagian linear dari persamaan homotopy H(g(η), p). Asumsikan bahwa u (η) merupakan solusi perkiraan awal dari H(g(η), p) g(η) merupakan solusi dari H(g(η), p). Ambil nilai p yaitu 0 1. Kemudian substitusi solusi perkiraan awal, nilai p, solusi dari H(g(η), p) ke dalam persamaan yang telah diperoleh dari invers yang telah ditentukan. Selanjutnya, mencari nilai g (η) dengan n = 0,1 substitusi hasil yang diperoleh dari g (η) ke g (η), sehingga diperoleh solusi f(η) yang memenuhi persamaan Blasius. Kata Kunci : Fluida, Persamaan Navier-Stokes, Persamaan Kontinuitas PENDAHULUAN Fluida merupakan suatu zat yang mempunyai kemampuan berubah secara terus menerus (kontinu) jika mengalami geseran, atau mempunyai reaksi terhadap tegangan geser sekecil apapun tegangan geser yang diberikan [1]. Fluida dapat dibagi menjadi dua macam, yaitu fluida statis dinamis. Fluida statis adalah fluida dalam keadaan diam atau tidak bergerak. Segkan fluida dinamis adalah fluida yang bergerak dalam hal ini adalah partikel fluida. Ketika dua buah pelat datar dialiri oleh suatu fluida, maka fluida akan bergerak ke sepanjang pelat. Fluida yang bergerak sesuai dengan hukum kedua Newton dengan persamaan Navier-Stokes hukum kekekalan massa dengan persamaan kontinuitas. Fluida yang mengalir juga dipengaruhi oleh kekentalan (viskositas) ketebalan lapisan batas fluida. Dari persamaan Navier-Stokes persamaan kontinuitas membentuk suatu persamaan diferensial biasa nonlinear orde tiga dengan syarat batas yang disebut dengan persamaan Blasius [2]. Kemudian persamaan Blasius diselesaikan dengan metode New Homotopy Perturbation (NHP). Metode New Homotopy Perturbation (NHP) merupakan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah linear nonlinear dalam persamaan diferensial [3]. Metode New Homotopy Perturbation (NHP) dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial ketika persamaan diferensial yang ingin diselesaikan merupakan persamaan diferensial dengan syarat batas seperti persamaan Blasius. Penelitian ini membahas tentang pembentukan persamaan Blasius menyelesaikan persamaan Blasius dengan metode New Homotopy Perturbation (NHP). Langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan Blasius, terlebih dahulu membentuk persamaan Blasius ke dalam bentuk New Homotopy Perturbation (NHP) yaitu H(g(η), p) dengan parameter p [0,1] sesuai dengan metode New Homotopy Perturbation (NHP). Mengasumsikan bahwa u (η) 37

38 W. PRABAWATI, HELMI, F. FRAN sebagai solusi perkiraan awal. Kemudian menentukan invers dari bagian linear pada persamaan Blasius yang telah dibentuk ke dalam New Homotopy Perturbation (NHP). Substitusi solusi perkiraan awal ke dalam persamaan yang telah diperoleh, substitusi pula nilai p yaitu 0 1. Selanjutnya, mencari nilai g (η) dengan n = 0,1 substitusi hasil dari g (η) ke g (η). Sehingga diperoleh solusi f(η) yang memenuhi persamaan Blasius. PEMBENTUKAN PERSAMAAN BLASIUS Persamaan Blasius berasal dari fluida yang dialirkan dalam dua buah pelat datar. Pelat merupakan struktur big (permukaan) yang lurus, datar atau tidak melengkung yang tebalnya jauh lebih kecil jika dibandingkan dengan dimensinya [4]. Pergerakan fluida sesuai dengan persamaan Navier-Stokes persamaan kontinuitas masing-masing mempunyai bentuk sebagai berikut u p u u = t ρ g ν u (1) u = 0 (2) Misalkan dua buah pelat datar dialiri oleh suatu fluida maka fluida akan bergerak ke sepanjang pelat. Untuk menempuh jarak x fluida memerlukan waktu t dengan kecepatan U yang dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut. t = x U Fluida yang bergerak dipengaruhi oleh viskositas yang disimbolkan dengan η. Jika viskositas fluida bergantung pada pergerakan arah vertikal y terhadap kecepatan U, untuk menempuh jarak x dengan viskositas kinematik fluida ν. Aliran fluida yang mengalir pada pelat dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut η = y U νx Jika percepatan viskositas dalam arah horisontal x bergantung pada selisih viskositas dibagi dengan ketebalan lapisan batas pelat δ seiring dengan percepatan dalam arah horisontal x yang sesuai dengan ketebalannya yang dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut η x = η δ δ x fluida yang mengalir akan membentuk lapisan batas fluida. Sehingga fluida yang mengalir juga dipengaruhi oleh ketebalan lapisan batas fluida yang disimbolkan dengan δ yang dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut η y = 1 δ Selanjutnya, menentukan batas ketebalan lapisan batas pada fluida sebagai berikut U dδ δ v dx = 1 2 Dari Persamaan (1) diperoleh persamaan gerak fluida yaitu: u u u v x y = 1 p ρ x ν u x u y u v v v x y = 1 p ρ y ν v x v y Percepatan fluida ke arah vertikal bergerak menuju batas pelat lebih besar dari percepatan fluida ke arah horisontal, sehingga dapat diabaikan. Percepatan fluida ke arah horisontal dalam arah

Penyelesaian Persamaan Blasius dengan Metode 39 vertikal bergerak menuju batas pelat lebih besar dari percepatan fluida ke arah horizontal, sehingga juga dapat diabaikan. Fluida yang mengalir dalam suatu pelat datar mempunyai lapisan batas yang merupakan lapisan yang terbentuk di sekitar penampang yang dilalui oleh fluida yang mengalami hambatan. Hal ini disebabkan karena aya gaya viskos tekanan. Dalam lapisan batas, jika variasi kecil dalam arah vertikal y, tekanan harus kecil di dalam arah horisontal x juga. Artinya tekanan yang bergerak jauh pada pelat adalah tekanan yang konstan. Hal ini berarti bahwa tekanan di dapat diabaikan atau dianggap nol. Fluida bergerak ke arah vertikal horisontal dengan percepatan aliran yang masuk sama dengan percepatan yang keluar, yakni = sehingga dapat dituliskan sebagai berikut u x v y = 0 Oleh karena itu, persamaan gerak menjadi u u u v x y = ν u (3) y u x v y = 0 (4) Persamaan (4) merupakan persamaan kontinuitas dengan syarat batasnya adalah u = 0 untuk y = 0 v = 0, untuk y = 0 u U, untuk y Asumsikan kecepatan fungsi aliran arah vertikal kecepatan fungsi aliran arah horisontal sebagai berikut u = ψ y v = ψ x sehingga persamaan gerak pada fluida dapat ditulis secara matematis sebagai berikut ψ ψ y x y ψ ψ x y = v ψ y Fluida yang bergerak akan mengalami suatu fase ψ dalam gerakannya, yaitu: ψ = Uδf(η) diperoleh fungsi aliran arah vertikal arah horisontal yang dipengaruhi oleh fase ψ sebagai berikut v = U dδ df f η dx dη u = U df dη Fase-fase yang dilalui oleh fluida adalah ψ x y = U η d f dδ δ dη dx, ψ y = U d f δ dη,

40 W. PRABAWATI, HELMI, F. FRAN ψ y = U d f δ dη Substitusi fase-fase yang dilalui oleh fluida ke dalam persamaan = v, sehingga diperoleh persamaan Blasius sebagai berikut. 1 2 f d f dη d f = 0 (5) dη dengan syarat batas f = 0, untuk η = 0 = 0, untuk η = 0 df lim dη = 1 ψ = σ dengan σ menyatakan setiap fase yang akan dilalui fluida i menyatakan banyaknya fase yang dilalui fluida. METODE NEW HOMOTOPY PERTURBATION (NHP) Metode New Homotopy Perturbation (NHP) merupakan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah linear nonlinear dalam persamaan diferensial biasa. Diberikan suatu persamaan diferensial sebagai berikut. A(u) f(r) = 0, r Ω, Ω R (6) yang mempunyai syarat batas B u, u = 0, n r Γ dengan A adalah suatu operator diferensial, B adalah operator batas, f(r) fungsi yang diketahui, Γ adalah batas dari domain Ω. A dapat dibagi menjadi dua bagian, L N, L adalah linear N adalah nonlinear sehingga Persamaan (6) dapat ditulis menjadi L(u) N(u) f(r) = 0 Didefinisikan fungsi real v(r, p) Ω [0,1] R yang memenuhi H(v, p) = (1 p)lv (u ) p[a(v) f(r)] = 0 (7) atau H(v, p) = L(v) L(u ) pl(u ) p[n(v) f(r)] = 0 (8) dengan p [0,1] merupakan suatu parameter u adalah solusi perkiraan awal yang memenuhi Persamaan (6). Misalkan f(r) = f (r) f (r), jika L(u ) = f (r) maka Persamaan (7) menjadi H(v, p) = (1 p)lv f (r) p[a(v) f(r)] = 0 (9) atau H(v, p) = L(v) f (r) p[n(v) f (r)] = 0 (10) Berdasarkan Persamaan (10), maka untuk p = 0 p = 1 masing-masing memberikan persamaan berikut H(v, 0) = L(v) f (r) = 0 H(v, 1) = A(v) f(r) = 0 Asumsikan penyelesaian fungsi H(v, p) = 0 dapat dinyatakan dalam bentuk deret dalam p sebagai berikut.

Penyelesaian Persamaan Blasius dengan Metode 41 v = v pv p v p v (11) Selanjutnya, Persamaan (10) dapat ditulis sebagai berikut. L(v) f (r) p[n(v) f (r)] = 0 L(v) = f (r) p[f (r) N(v)] (12) Menentukan invers dari Persamaan (12) diperoleh v = L f (r) pl f (r) L N(v) (13) Misalkan solusi perkiraan awal dari Persamaan (6) adalah f (r) = a x Substitusi Persamaan (11) Persamaan (14) ke dalam Persamaan (13) diperoleh p v = L f (r) p L f (r) L N p v (15) Selanjutnya substitusi p = 0 untuk n = 0 p = 1 untuk n = 1 pada Persamaan (15) diperoleh v (x) = L f (r) v (x) = L f (r) L N(v ) Secara umum, langkah-langkah penyelesaian persamaan diferensial biasa dengan metode New Homotopy Perturbation (NHP) adalah : 1. Membentuk persamaan diferensial biasa ke dalam bentuk NHP yaitu H(v, p) dengan v merupakan suatu fungsi p [0,1] merupakan suatu parameter. 2. Menentukan invers dari persamaan diferensial biasa yang telah dibentuk ke dalam bentuk NHP. 3. Asumsikan bahwa solusi perkiraan awal adalah u v merupakan solusi dari H(v, p), kemudian substitusi ke dalam persamaan yang telah ditentukan inversnya. 4. Ambil nilai p = 0 p = 1 dengan n = 0 n = 1, maka diperoleh persamaan v (x) v (x). 5. Dari v (x) diperoleh nilai a, a, a,, a dari u, selanjutnya substitusi ke dalam persamaan v (x). Sehingga diperoleh solusi dari suatu persamaan diferensial biasa yaitu v(x) = v (x). APLIKASI METODE NEW HOMOTOPY PERTURBATION (NHP) DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN BLASIUS Langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan Blasius dengan menggunakan metode New Homotopy Perturbation (NHP) adalah: 1. Membentuk persamaan Blasius ke dalam bentuk NHP sebagai berikut. H(g(η), p) = (1 p)g (η) u (η) p g (η) 1 2 g(η)g (η) = 0 g (η) = u (η) p g (η) 1 2 g(η)g (η) (16) 2. Menentukan invers dari bagian linear pada Persamaan (16) sebagai berikut. g (t) dt dτ dξ = u (t) p u (t) 1 2 g(t)g (t) dt dτ dξ g(η) = u (t) p u (t) 1 2 g(t)g (t) dt dτ dξ 3. Persamaan (17) mempunyai bentuk solusi sebagai berikut. g (0)η 2 (14) g (0)η g(0) (17)

42 W. PRABAWATI, HELMI, F. FRAN g(η) = p g (η) (18) asumsikan bahwa solusi perkiraaan awal u (η) = f (η) adalah : f (η) = a P (η) 4. Substitusi Persamaan (18) Persamaan (19) ke dalam Persamaan (17). g(η) = p g (η) = a P (t) p a P (t) 1 2 p g (η) p g (η) dt dτ dξ g (0)η g (0)η g(0) 2 Selanjutnya, substitusi p = 0 dengan n = 0 p = 1 dengan n = 1 g (η) = a P (t) dt dτ dξ g (0)η 2 g (0)η g(0) g (η) = a P (t) 1 2 g (t)g (t) dt dτ dξ 5. Asumsikan bahwa f (η) = a p (η), p (η) = η, g(0) = 0, g (0) = 0, g (0) = σ. Untuk memperoleh solusi dari persamaan Blasius dapat dicari menggunakan g (η) = 0 terlebih dahulu dicari g (η) sebagai berikut. g (η) = a P (t) dt dτ dξ g (0)η g (0)η g(0) 2 g (η) = σ 2 η a 6 η a 24 η a 60 η a 120 η a 210 η a 336 η a 504 η a 720 η a 990 η a 1320 η a 1716 η a 2184 η a 2730 η a 3360 η Selanjutnya, substitusi hasil dari g (η) ke g (η) = f (t) g (t)g (t) dt dτ dξ sebagai berikut. g (η) = f (t) 1 2 g (t)g (t) dt dτ dξ g (η) = (a η a η a η ) σ 4 η a 3 η 7a σ 4a 48 (19) η 2a σ 15a a η dη dτ dη = 0 240 a 6 η a 24 η a 60 σ 240 η a 120 a σ 360 η σa 1440 a 210 a 2520 σa 40320 a a 5376 a 336 η σa 7560 13a a 181440 a 48384 a 504 η = 0 diperoleh nilai-nilai a, a, a, sebagai berikut. η

Penyelesaian Persamaan Blasius dengan Metode 43 a = a = 0, a = 1 4 σ, a = a = 0, a = 1 480 σ, a = a = 0, a = 19 107520 σ, Jadi, diperoleh solusi dari persamaan Blasius sebagai berikut. f(η) = g (η) = 1 2 ση 1 240 σ η 1 161280 σ η 19 106444800 σ η 9299 464950886400 σ η 1272379 3793999233024000 σ η 19241647 3460127300517888000 σ η 9463233349 122557708984343592960000 σ η 1766516149649 1274600173437173366784000000 σ η 399383759626669 17344759160133055175196672000000 σ η 389310385026681119 1032360065211119444027705917440000000 σ η (20) Misalkan pada Persamaan (20) diambil hanya sampai suku ke lima, yaitu: f(η) = 1 2 ση 1 240 σ η 1 161280 σ η 19 106444800 σ η 9299 464950886400 σ η Jika dari kelima suku tersebut dibagi menjadi lima bagian sebagai berikut: 1. Satu suku 2. Dua suku f(η) = 1 2 ση f(η) = 1 2 ση 1 240 σ η 3. Tiga suku f(η) = 1 2 ση 1 240 σ η 1 161280 σ η 4. Empat suku f(η) = 1 2 ση 1 240 σ η 1 161280 σ η 19 106444800 σ η 5. Lima suku f(η) = 1 2 ση 1 240 σ η 1 161280 σ η 19 106444800 σ η 9299 464950886400 σ η Selanjutnya, lima suku bagian diturunkan sebanyak tiga kali. Lima suku bagian hasil turunan dari lima suku bagian yang diperoleh masing-masing disubstistusikan ke dalam persamaan Blasius. Sehingga diperoleh Tabel 1 sebagai berikut. Tabel 1 Perbandingan Galat dari Masing-masing Suku Suku Galat 1 0.25 2-0.295138889 3-0.292967612 4-0.124052324 5-0.020708767 6-0.020709258 Tabel 1 menunjukkan bahwa pada saat diambil dua suku, galat yang diperoleh mulai menurun hingga enam suku. Tetapi pada saat diambil enam suku, galat yang diperoleh hampir sama saat diambil lima

44 W. PRABAWATI, HELMI, F. FRAN suku. Sehingga dari Tabel 1 dapat disimpulkan bahwa, semakin banyak suku yang diambil maka galat yang diperoleh semakin kecil atau mendekati nol. PENUTUP Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa: 1. Persamaan Blasius berasal dari fluida yang mengalir pada dua buah pelat datar yang sesuai dengan persamaan Navier-Stokes u u u = ν u g persamaan kontinuitas u = 0. Selanjutnya, membentuk persamaan Blasius f = 0 dengan syarat batas f = 0 untuk η = 0, = 0 untuk η = 0, lim = 1, ψ = σ dengan σ menyatakan setiap fase yang akan dilalui fluida i menyatakan banyaknya fase yang dilalui fluida. 2. Penyelesaian persamaan Blasius yang diperoleh dengan metode New Homotopy Perturbation (NHP) menyatakan bahwa, semakin banyak suku yang diambil maka galat yang diperoleh semakin kecil atau mendekati nol. DAFTAR PUSTAKA [1]. Welty, J. R., Wicks, C. E., Wilson, R. E., Rorref, G. Dasar-dasar Fenomena Transport. Jakarta: Penerbit Erlangga; 2004. [2]. Mattioli F. Principles of Fluid Dynamic. Bologna: Department of Physics University; 2010. [3]. Aminikhah H, Biazar J. A New HPM for Ordinary Differential Equation. Numerical Methods for Partial Differential Equation. 2009:480-489. [4]. Szilard R. Theories and Applications of Plate Analysis. Canada: John Wiley; 2004. WISSE PRABAWATI : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak, wisseprabawati@gmail.com HELMI : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak, helmi132205@yahoo.co.id FRANSISKUS FRAN : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak, frandly88@gmail.com