HARAPAN MATEMATIK Nur Hayati, S.ST, MT Yogyakarta, Maret 2016
Pendahuluan Rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis x atau. Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik atau nilai harapan dari perubah acak X, dinyatakan sebagai. Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas. E(X)
Pengertian Bila variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = P(X=x), maka harapan atau ekspektasi matematis dari X yang ditulis E(X) adalah E(X) x x f(x) x f(x)dx ; jika Xdiskret ; jika X kontinu E(X) adalah harapan matematik atau nilai harapan dari peubah acak X dan juga banyak yang menyebutnya ratarata peubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X
Contoh 1 Suatu percobaan pelemparan dua uang logam, yang dilemparkan sebanyak 16 kali. Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul setiap pelemparan, maka X dapat bernilai 0, 1, dan 2 Misalkan percobaan itu masing-masing menghasilkan sebanyak 4, 7, dan 5 kali, maka rata-rata banyaknya sisi muka per pelemparan [=nilai harapan matematik] adalah ( 0)( 4) ( 1)( 7) ( 2)( 5) E(X) 1. 06 16
Contoh 2 Pada pelemparan tiga uang logam. Tentukan harapan matematis munculnya muka pada tiap pelemparan, jika X menyatakan banyaknya muncul muka. S = {(m,m,m), (m,m,b), (m,b,m), (b,m,m), (b,b,m), (b,m,b), (m,b,b), (b,b,b) } X = {0,1,2,3} ; Maka P(X=x) P(x = 0) = 1/8 ; P(x = 1) = 3/8 ; P(x = 2) = 3/8 ; P(x = 3) = 1/8 ;
Sehingga : Contoh 2 3 3 E(X) = x=0 x f(x) = x=0 x P(X = x) E(X) = (0) P(x=0) + (1) P(x=1) + (2) P(x=2) + (3) P(x=3) E(X) = (0)(1/8) + (1)(3/8) + (2)(3/8) + (3)(1/8) E(X) = (0+3+6+3)/8 = 12/8 = 1,5
Contoh 3 Pada pelemparan dua dadu. Tentukan harapan matematis munculnya jumlah muka dua dadu, jika X menyatakan jumlah muka dua dadu. E(X) = 12 x=2 x f(x) = 12 x=2 x P(X = x) E(X) = (2) P(x=2) + (3) P(x=3) + (4) P(x=4) +..+ (12) P(x=12) E(X) = 252/36 = 7
Contoh 4 Carilah nilai harapan dari statistikawan yang duduk dalam panitia yang terdiri dari 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 statistikawan dan 3 ahli biologi. Misalkan X = banyaknya statistikawan dalam panitia. X = {0, 1, 2, 3} Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai x 3 7 4 3 x f(x) ;x 0, 1, 2, 3 3 Dari perhitungan diperoleh: 1 12 18 4 35 35 35 35 f( 0) ; f( 1) ; f( 2) ; f( 3)
Contoh 4 Dibuat tabel distribusi probabilitas X Tabel 4.1. Distribusi Probabilitas X x 0 1 2 3 f(x) 1 35 12 35 18 35 4 35 Jadi nilai harapan (rata-rata) banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia adalah: E(X) x x f(x) 1 12 18 4 35 35 35 35 ( 0)( ) ( 1)( ) ( 2)( ) ( 3)( ) 12 17, 7
Teorema Harapan Matematis Teorema (1): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan perubah acak g(x) adalah E[g(X)] g(x) x g(x) f(x) g(x) f(x) ; jika X diskret ; jika Xkontinu
Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci an mobil setiap hari antara jam 13.00 14.00 mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di bawah ini: Tabel 4.2. Distribusi Probabilitas X x 4 5 6 7 8 9 P(X=x) 1 1 1 12 4 12 Contoh 5 1 4 1 6 1 6 Jika diketahui bahwa g(x) = 2X-1 menyatakan upah para karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan rupiah), maka tentukan pendapatan yang diharapan karyawan perusahaan tersebut
Contoh 5 g(x) E[g(X)] E( 2X 1) ( 2x 1)f(x) 9 x4 1 1 1 1 1 1 12 12 4 4 6 6 (7)( ) (9)( ) (11)( ) (13)( ) (15)( ) (17)( ) 12,67 Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67
Varians ( 2 = sigma kuadrat) 2 Variansi ( ) yaitu ukuran dispersi dari peubah acak. Variansi perubah acak X yang akan dibahas disini sangat berguna dalam memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar nilai rata-rata Akar positip dari variansi, disebut simpangan baku X (standar deviasi X). Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x) dengan rata-rata,, maka variansi X adalah 2 (x ) f(x) ; jika X diskret x 2 2 E[(X ) ] 2 (x ) f(x)dx ; jika X kontinu 2
Varians Variansi perubah acak X diskret adalah 2 2 2 E(X ) Bukti: 2 2 2 2 (x ) f(x) (x 2x )f(x) x x 2 2 x f(x) 2 x f(x) f(x) x x x x f(x) fx ( ) 1 x karena dan x Maka diperoleh 2 2 2 2 2 2 x f(x) 2 E(X ) x
Varians Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka variansi perubah acak g(x) adalah a. untuk kasus diskret 2 2 2 g(x) E{[g(X) g(x) ] } [g(x) g(x) ] f(x) x b. untuk kasus kontinyu 2 2 2 g(x) g(x) g(x) E{[g(X) ] } [g(x) ] f(x)dx
Contoh 6 Peubah acak X menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin jika 3 suku cadang disampling dari rantai produksi dan dilakukan ujicoba. Hitunglah nilai variansi jika diketahui distribusi probabilitas X seperti tabel di bawah ini Tabel 4.4. Distribusi Probabilitas X x 0 1 2 3 f(x) 0,51 0,38 0,10 0,01
Contoh 6 E(X) ( 0)( 0, 51) ( 1)( 0, 38) ( 2)( 0, 10) ( 3)( 0, 01) 0, 61 2 2 2 2 2 E(X ) ( 0) ( 0, 51) ( 1) ( 0, 38) ( 2) ( 0, 10) ( 3) ( 0, 01) 0, 87 Jadi banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin mempunyai variansi sebesar 0,4979
Contoh 1. Perhatikan kembali contoh 2 (Pada pelemparan tiga uang logam); Tentukan nilai variansi dan standard deviasi dari X ; jika X menyatakan banyaknya muncul muka 2. Perhatikan kembali contoh 3. Pada pelemparan dua dadu. Bila X menyatakan munculnya jumlah muka dua dadu. Tentukan Mean dan Standar deviasi X. 3. Pada pengiriman 6 pesawat TV berisi 2 rusak. Sebuah hotel membeli 3 pesawat TV secara acak dari kiriman tersebut. Bila X menyatakan banyaknya TV yang rusak yang dibeli hotel. Tentukan Nilai Harapan X dan Simpangan baku X *Sebelum menghitung cari dulu distribusi probabilitas X*
ADA PERTANYAAN?
TERIMA KASIH