Mik Slmin, M.M
Nili Awl dn Syr B Mik Slmin, M.M
Nili Awl Dn Syr B Pnuli Edior Din Covr your Ukurn Buku Jumlh hlmn : Mik Slmin, M.M : Ully Muzkir, MT : Mufijr, ST : Mufijr, ST : A5 : 4 Ck, Mr 7 Dirbikn Olh : Pnrbi Nurl Ach Thun 7 Diprbnyk Olh : Prckn CV.Bin Mdi Jln T Nyk Arif No.D, Drulm, Bnd Ach Tlp 65-6 binmdiprining@gmil.com Hk Cip dilindungi Undng-Undng dilrng mmprbnyk ii buku inibik bgin u luruh ny dlm bnuk ppun np izin ruli dri pnuli dn pnrbi
KATA PENGANTAR Alhmdulillh hirbbil lmin, brk ku dn khndk Allh SWT yng llu mlimphkn nikm Ny, hingg pnuli bi mnylikn Buku Nili Awl dn Syr B. Buku ini ng prlu dilikn olh pnuli krn buku dngn opik Nili Awl dn Syr b blum rdi di prn. Bbrp x book yng mmbh opik ini mih rlmpu lu u brgbung dngn m kulih lin. Mhiw pndidikn mmik, khuuny mhiw pndidikn mmik STKIP Bin Bng Gmpn ng mmrlukn buku Nili Awl dn Syr B bgi bkl ilmu unuk mrk bljr. Nili Awl dn Syr B ini mrupkn m kulih pilihn di progrm udi pndidikn mmik mr VI. Buku ini diujukn unuk mmbkli pr mhiw kligu mmbnu mhiw unuk mmhmi pnghun yng brkin dngn m kulih klkulu, ljbr linir dn prmn diffrnil lnjun cr lbih dlm. i
Buku ini diwli dngn mmbh nng brin dn dr dngn focu dr k hingg, mod prokimi unuk mnylikn prmn difrnil ord u, mlh nili wl dn yr b, dr fourir,fungi khuu dn rnformi lplc. Trimkih pnuli ucpkn kpd kdu orng u dn umi rcin yng udh mmoivi dn mmbri dukungn pnuh hingg buku ini li. Trimkih jug pnuli ucpkn kpd ku STKIP Bin Bng Gmpn yng lh mmbri rung kpd pnuli unuk ru brkry. Sbgimn k pph Tk d gding yng k rk, Pnuli mnydri bhw mih bnyk kkurngn dlm gi ii, kriikn dn rn ng pnuli hrpkn dmi kmpurnn buku ini. Smog buku ini brmnf unuk mu pihk. Bnd Ach, Mr 7 Pnuli ii
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR..... i DAFTAR ISI.....iii BAB I PENDAHUUAN.... Brin dn Dr.... Dr Tk Hingg.... Dr Gomri...6.4 Kriri Konvrgni...7.5 Dr Bolk-Blik Alrning Sri....6 Dr Pngk... BAB II METODE APROKSIMASI UNTUK MENYEESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIA ORDE SATU...8. Mod Dr Pngk Powr Sri...8. Ggn Mod Dr Pngk.... Mod Dr Ku bgi Pnylin Prmn Difrnil... iii
BAB III MASAAH NIAI AWA DAN SYARAT BATAS...6. Prmn Difrnil...6. Pro Mnyuun Prmn Difrnil..9. Solui Prmn Difrnil....4 Mlh Nili Awl...4 BAB IV DERET FOURIER...9 4. Fungi Priodik...9 4. Dr Fourir...4 4. Fungi Gnp dn Fungi Gnjil...54 4.4 Dr Sinu dn Dr Coinu ngh Jngkun Hlf - Rng...56 BAB V FUNGSI KHUSUS...64 5. Fungi Gmm...64 5. Fungi B...69 BAB VI TRANSFORMASI APACE...74 6. r Blkng Pnggunn Trnformi...75 6. Pngrin Trnformi plc...76 iv
6. Mod Trnformi plc...85 6.4 Trnformi plc Invr... 6.5 Sif- if Trnformi plc Invr... 6.6 Mod Trnformi plc Invr...9 6.7 Pnggunn pd Prmn Difrnil...8 DAFTAR PUSTAKA...4 GOSARIUM...4 INDEKS...45 v
Bb PENDAHUUAN Bb ini kn mmprkn nng dr k hingg. Pmprn diwli dngn mmbrikn gmbrn cr umum nng brin dn dr dngn diri conoh. Pmprn wl ini cukup pning unuk mmprmudh pmhmn pokok bhn brikuny yng kn dibh dlm bbbb lnjuny. Dr k hingg bgi bnuk pnjumlhn uku-uku k hingg mmgng prnn pning dlm ilmu fiik. Ki dp mmprolh nili-nili numrik unuk bilngn,,, dn bginy. Dr k hingg jug brmnf unuk prhiungn ingrl, mnylikn prmn difrnil bik bi mupun pril, dr Fourir, dn bginy.
. Brin dn Dr Brin dlh urun uku-uku yng dibnuk mngikui urn u kidh yng lh dipkn. Sbgi conoh, Suku k-n buh brin dinykn dngn Suku k-n ini mnunjukkn urn pmbnukn uku-uku dr iu. Pd conoh di, uku k-n bruru-uru dlh dn. Dr dlh prnyn pnjumlhn yng diunjukkn olh uku-uku brin. Brdrkn brin di diprolh dr dn Jik jumlh uku-ukuny rb, brin u dr dibu brhingg. Sblikny, jik jumlh uku-ukuny k rb, brin u dr iu dinmkn brin u dr k rhingg.
Pnulin dr k hingg biny digunkn noi igm, milny:.. Dr Tk Hingg Dfinii dr k rhingg cr forml yiu: Dr k rhingg konvrgn dn mmpunyi jumlh S, pbil brin jumlh-jumlh pril { } konvrgn mnuju S. Apbil { } divrgn, mk dr divrgn. Suu dr yng divrgn idk mmiliki jumlh.. Prmlhn pokok pd dr k hingg dlh konvrgni/divrgniny dr rbu. Krn d pngrin jumlh bgin, dn ki llu mmprhikn pngrin rbu, mk dr k hingg dibu bgi dr, krn iu mpi krng klu ki bu dr mk mkudny dlh dr k hingg, yiu: Sif-if dr k hingg:
Jik dr konvrgn mk blikny idk brlku mk dr divrgn kib logi dri Jik dr dn mmpunyi b mk drny konvrgn. Unuk mnylidiki kkonvrgnin uu dr dp digunkn uji bnding, yiu mmbndingkn dr rbu dngn dr lin yng lh dikhui kkonvrgninny. Ad ig mcm dr pmbnding: Dr gomri: Dr hiprhrmoni: 4
Dr Brrnd. Adpun cr pnggunn dr bnding yiu:. Jik konvrgn Sdngkn mk konvrgn b. Jik divrgn Sdngkn, mk divrgn Jik dipnuhi:. dn b. Mk dn kdu-duny konvrgn u kdu-duny divrgn. 5
Conoh: Slidiki konvrgni dr : uku umum Pnylin: Gunkn dr pmbnding dr hiprhrmoni dngn uku umum yng konvrgn k. Jdi konvrgn.. Dr Gomri Dr gomri didfiniikn bgi: rumu: Jumlh n uku prm dp dihiung dngn Unuk 6
Conoh. Slidiki konvrgni dr: Pnylin: dngn pmbnding dr gomri yng konvrgn Mk : = D. Krn konvrgn mk konvrgn.4 Kriri Konvrgni Unuk mnylidiki konvrgni uu dr kculi dngn mmbndingkn dngn dr lin 7
yng udh jl konvrgniny, dp jug dilkukn Uji Awl prliminry rhdp diriny ndiri yng dibu kriri konvrgni. Ad bnyk kriri konvrgni, dlm hl ini hny bbrp j yng kn dibh, dinr kriri konvrgni yiu:.4.. T Rio uji bnding dri d Almbr Torm: Jik Jik dr konvrgn Jik dr divrgn Jik uji nibh idk mmbri kimpuln Conoh:. Slidiki konvrgni dr: Pnylin: 8
Jdi dr ini dr divrgn.. Slidiki konvrgni dr: Pnylin: Jdi dr ini konvrgn. 9
.4.. T Ingrl Torm: infini k brhingg dr divrgn fini brhingg, dr konvrgn Conoh: Slidiki konvrgni dr: Pnylin: Dimbil fungi hingg unuk x dn divrgn Brri Jdi dr.4.. Uji Bnding Khuu Diinju dr poiif
Jik dr poiif konvrgn dn dr konvrgn. Jik dr poiif divrgn dn dr divrgn..5 Dr Bolk-blik Alrning Sri Dr bolk-blik dlh dr yng ukuukuny brgni nd cr rur poiif dn ngif. Bnuk umum:.4 Dngn mbrng Dr bolk-blik, dngn poiif, konvrgn jik mmnuhi du yr briku:. Sip uku-uku dr ini cr numrik kurng dri uku-uku blumny, u
b. Conoh:. Slidiki konvrgni dr: Pnylin:. } b. Kdu yr dipnuhi, mk dr ini konvrgn.. Slidiki konvrgni dr: Pnylin: Drny:. }
b. Krn yr b k dipnuhi, mk dr ini divrgn.6 Dr Pngk Scr umum, dr pngk dp diulikn bgi.5 dngn dlh pn yng bolh brnili nol dn conoh: dibu kofiin dr pngk. Sbgi.. Sbuh fungi dp dikmbngkn k dlm dr Tylor dngn mnggunkn rumu
Jik =, urin dr Tylor brubh mnjdi dr Mclurin:.7 Conoh:. Drkn fx =. Dikir c = b. Dikir c = Pnylin:. f = f x = Jdi Dn runy brulng b. f = f = dn runy brulng 4
Bbrp dr Mclurin dri fungi dr yng ring digunkn dlm fiik dlh 4 5 dr binomil Nwon Dngn mnggunkn bbrp dr fungi dr di, ki dp mmprolh dr dngn mudh. Prhikn bbrp conoh briku: 5
SOA-SOA ATIHAN Crilh Jumlh dr briku, dngn mnjdikn ip uku pchn. b. c. Crilh Jumlh dr briku:. b. c. Slidiki konvrgni dr dngn uku umum! 4 Slidiki konvrgni dr:! 5 Slidiki konvrgni dr :! 6
6 Drkn fungi-fungi Mclurin briku:. b. c. 7 Drkn dikir 8 Drkn dikir 9 Drkn dikir Slidiki pkh dp didrkn mnjdi dr Mclurin unuk mu x rl. 7
Bb ii METODE APROKSIMASI UNTUK MENYEESAIKAN PERSAMAAN DEFERENSIA ORDE SATU Pmbhn pd Bb ini difokukn pd pnylin prmn difrnil ord u. Mkipun dmikin, dlm bb ini kn dipprkn dr pngk dn pnylin prmn difrnil ord u dr bgi pnylin prmn difrnil PD. Pmprn diwli dngn pnjln mod dr pngk, ggn mod dr pngk dn mod dr pngk bgi pnylin PD dngn diri conoh.. Mod Dr Pngk Powr Sri Mod dr pngk powr mrupkn mod dr ndr unuk mnylikn prmn difrnil linr dngn kofiin yng brubh vribl cofficin. 8
Dfinii : Dr pngk dlh dr k hingg dlm x - x yng brbnuk:. dngn,,, dlh konn dn mrupkn kofiin dr iu. x = konn dn dibu pu dr x = vribl dr. Bil pu dr, mk dr pngk dibu dr pngk dlm x Powr Sri Mhod of x. Bhn ini dibi dngn mngumikn bhw mu konn dn vribl dlh bilngn rl. Conoh conoh dr pngk yng lh diknl dlh dr Mclurin yiu: 9
. Ggn Mod Dr Pngk Bil dibrikn prmn difrnil briku:. Prm, nykn px dn qx dngn dr pngk x. Kmudin ki umikn uu pnylin dlm bnuk dr pngk dngn kofiin yng idk dikhui hingg diprolh:
Dn diurunkn ip-ip ukuny mnjdi bgi briku:.4.5 dn runy.... Mod dr ku bgi pnylin prmn difrnil Ggn pnurunn prmn. dn.4 di dp dimnfkn unuk pnylin prmn difrnil. Prhikn conoh briku : Conoh.Slikn prmn difrnil
Pnylin: Apbil y' ui prmn.4 dn y ui prmn. diubiuikn k prmn, mk diprolh: = Kumpulkn uku-uku yng drj, diprolh Prmn rkhir pi bnr p bil ip konn dn kofiin brnili nol, mnjdi dngn mmchkn prmn prmn rbu kn diprolh
Jdi diprolh bnuk umum pnylin prmn difrnil bgi briku: dn bil diubiui hil rkhir mnjdi :. Slikn Pnylin:
Mk,....Slikn + 4. +... + dn dlh mbrng. Mk: 4
Dri prmn Mclurin diprolh: 5
Sol-ol ihn: Sliknlh ol-ol briku dngn mnggunkn dr ku unuk pmchn prmn difrnil!. y = y. y = xy. y = xy 4. + x y = y 5. y + y = 6. x y = y 7. x y = y 8. y = ky, unuk k ε R. 9. y = y. y = 4 y. y + 9y = 6
Bb iii MASAAH NIAI AWA DAN SYARAT BATAS Bb ini kn mmprkn nng mlh nili wl dn yr b. Mlh nili wl dn yr b dlh uu mri yng brhubungn dngn olui prmn difrnil cr khuu dimn kondii wl yng dibrikn mrupkn yr wl hingg mndpkn olui khuu yng dibu yr b. Pmprn diwli dngn mrviw kmbli gmbrn cr umum nng prmn difrnil dngn diri conoh. Pmprn wl ini cukup pning unuk mmprmudh pmhmn pokok bhn brikuny yng kn dibh dlm bb ini yiu mlh nili wl dn yr b.. Prmn difrnil Prmn difrnil dlh prmn yng mngndung bbrp urunn dri uu fungi. 7
Scr umum, prmn yng diulikn dlm bnuk briku.. Jik fungi yng idk dikhui mngndung u vribl bb mk urunn fungi iu dinmkn urunn bi dn prmn difrnilny dibu prmn difrnil bi. Jik fungi yng k dikhui mngndung du u lbih vribl bb mk urunnny kn brup urunn pril dn prmn difrnilny dinmkn prmn difrnil pril. Ord u ingk dri uu prmn difrnil dlh urunn yng ringgi dlm prmn difrnil iu. Drj u pngk dri uu prmn difrnil dlh drj ringgi dri urunn yng ringgi dlm prmn difrnil rbu. Dri bbrp ip prmn difrnil ord u yng mudh di likn d du yng prlu 8
mndp prhin yiu: prmn difrnil pubh rpih yiu prmn yng dp diuli dlm bnuk bgi briku.. Dn prmn difrnil linir dlh prmn yng dp di uli dlm bnuk umum:. Kduny ring muncul dlm pnrpn, dn bnyk ip prmn difrnil yng lin yng dp dirduki mnjdi lh u dri kdu ip iu. Dngn mnggunkn pmn yng drhn. Jik ru knn pd prmn difrnil linir di m dngn nol, mk dibu prmn difrnil homogn, dn jik idk mk dibu prmn difrnil k homogn. 9
Conoh :. dlh prmn difrnil bi ord, linir, k homogn. dlh prmn difrnil bi ordo, linir, homogn. dlh prmn difrnil pril ord, linir, k homogn 4. dlh prmn pril. Pro Mnyuun Prmn Difrnil Mnyuun prmn difrnil PD yiu mncri bnuk umum PD pbil primiifny himpunn pnylin umum yiu fungi yng mih mngndung kon lh dinukn. Prmn difrnil dlm prkkny dp diuun dri uu primbngn mlh fii. Scr mmi, prmn-prmn difrnil dp muncul mllui lngkh - lngkh briku :. Tnukn bnykny konn mbrng. Turunkn prmn bnyk konn mbrng
. Apbil konn mbrngny udh lnyp mk didp prmn difrnilny Adpun knunny bgi briku:. Jik rdp u kon diprlukn du prmn. Jik rdp du kon diprlukn ig prmn. Jik rdp n prmn diprlukn n+ prmn Conoh. Tinju y = A in x + B co x dimn d konn brng yiu A dn B, hingg prmn rbu di urunkn bnyk du kli yiu dn Au + y = y + y = Dri conoh di dp pul dikhui bhw uu prmn dngn du konn
mbrng kn mmbnuk prmn difrnil ord du.. Bnuklh buh prmn difrnil dri fungi y = x +, dikhui bhw d u konn mbrng, krn urunn dri prmn rbu idk idnik dngn prmn wlny, mk lngkh lnjuny dlh mncri brp nili A. Dri prmn wl : y = x + ki dpkn : = y x A = xy x Jik prmn wlny diurunkn mk, y = x +Ax - y = Ax - - Subiui nili A = xy- x k prmn urunn hingg diprolh : = = = x y +y = x
. Solui Prmn Difrnil Kjin rhdp prmn difrnil mmiliki du ujun um, yiu :. Mnmukn prmn difrnil yng dp mnjlkn kdn u fnomn ny rnu.. Mnmukn olui yng ui dngn prmn difrnil rbu. Solui dri prmn difrnil dlh bnuk fungi yng jik diubiuikn k fungi yng idk dikhui dlm prmn rbu kn mmbrikn uu kmn. Prhikn bnuk y = Fx,y, u dp pul diuli dlm bnuk lin, yiu : y = = Fx,y u dy = Fx,ydx kidh ini dp diprgunkn dlm pnydrhnn prmn difrnil.
Conoh:. Bukikn bhw y = x dlh olui dri prmn difrnil y y =. Buki : y = x, urunn prm yiu y = x urunn kduny yiu y = x Jik diubiuikn k prmn difrnil kn mnghilkn : y y = x - x =. Shingg rbuki bhw y = x dlh olui dri y y =.. Bukikn y = inx dlh olui dri prmn difrnil y + 4y =. Buki : y = inx, urunn prmny diprolh y = cox, urunn kduny yiu y = - 4 inx = - 4y, hingg didp kmn yiu y + 4y = 4
Jdi, rbuki bhw y = inx dlh olui dri y + 4y =. Trdp bbrp mod yng bi digunkn unuk mncri olui prmn difrnil. Pd drny, unuk mmprolh olui dri uu prmn difrnil digunkn knik pngingrln cr lngung dn mungkin pul rlbih dhulu mllui mod pmihn bru kmudin diingrlkn..4 Mlh nili wl Prhikn prmn briku : y = x + C. C mrupkn konn mbrng, brppun niliny prmn y = x + C p mrupkn olui dri prmn difrnil y y =. Solui ini dibu olui umum dri prmn difrnil, krn mngndung konn C brup nili khuu, milny,, -4,, dn bginy, mk kn diprolh olui khuu. Nili khuu yng dibrikn pd konn mbrng iu rgnung 5
pd pryrn wl yng dibrikn pd fungi olui rbu. Hl ini kn mnghilkn konp Mlh Nili Awl MNA. Mlh nili wl yiu uu prmn difrnil yng mmnuhi kondii wl rnu u yr wl yng dibrikn. Conoh:. Slikn mlh nili wl briku: y = cox ;jik dikhui y = 4? Pnylin: y = cox = cox dy = cox dx jik diingrlkn mk diprolh : = y = inx + C olui y = in x + C, mrupkn olui umum dri prmn difrnil di. Unuk mnylikn MNA, hru didpkn olui khuuny. Prhikn yr wl : y = 4, riny bhw pd x =, y = 4. 6
Shingg prmn olui mnjdi y = in x + C y = in + C = 4 + C = 4 C = 4 Dngn nili C = 4, mk diprolh olui khuu yng mrupkn pnylin dri MNA di yiu : y = in x + 4.. Slikn MNA briku ini : xy + y =, y = Pnylin: xy + y = xy = - y x = - y kn dilikn prmn difrnil di dngn mnggunkn mod pmih pubh: x = - y, kdu ru diklikn dngn hingg diprolh : x. = - y. = - lnjuny ingrlkn kdu ru : ln y + C = - ln x + C ln y = - ln x + C Dngn mnggunkn if ln mk didp : 7
ln y + ln x = C lny,x = C lny,x = c c = A y,x = A y = Unuk mnylikn MNA rbu mk dri yr wl y =, diprolh : y =, dngn y =, mk : = A = jdi, pnylin dri MNA xy + y =, y = dlh : y =. 8
Sol-Sol ihn:. Bnuklh prmn difrnil unuk y = Ax + Bx. Tnukn prmn difrnil, jik dikhui olui y = A x+b.. Apkh mlh nili wl = x xy, y = 6 mmpunyi olui yng unggl? 4. Crilh uu olui dri prmn difrnil = x mllui iik,4? 5. Apkh mlh nili wl, = y = mmpunyi olui yng unggl? 9
Bb IV DERET FOURIER Bb ini kn mmprkn nng mlh dr Fourir. Dlm bbrp prmlhn yng brhubungn dngn glombng glombng ur, ir, bunyi, pn, db pndkn dngn dr Fourir yng uku-ukuny mmu inu dn coinu ring digunkn. Dngn mngkpnikn k dlm bnuk dr Fourir ; uu fungi priodik bi dinykn bgi jumlhn dri bbrp fungi hrmoni, yiu fungi dri inu dn coinu fungi inuoidl. Pmprn dlm bb ini, di wli dngn mmbh fungi priodik, dr fourir, fungi gnp dn fungi gnjil r dr inu dn coinu ngh jngkun. 4. Fungi Priodik Fungi fx dikkn priodik dngn priod P, jik unuk mu hrg x brlku: f x + P = f x ; P dlh konn poiif. 4
Hrg rkcil dri P > dibu priod rkcil u ring dibu priod dri fx. Conoh :. Fungi in x mmpunyi priod π; 4 π; 6 π;... krn in x+ π = in x+4 π = in x+6 π =...= in x.. Priod dri in nx u co nx ; dngn n bilngn bul poiif dlh π /n.. Priod dri n x dlh π. 4. Fungi konn mmpunyi priod mbrng bilngn poiif. Gmbr grfik dri fungi-fungi yng priodik, milny : 4
Gmbr 4. Grfik Fungi Priodik Fungi fx dikkn koninu pd ip gmn picwi coninuou funcion, bil fx hny koninu pd inrvl-inrvl rnu dn dikoninu pd iik-iik yng bnykny brhingg. Hrg fx di iik-iik dikoninu dinukn dngn mnghiung hrg limi fungi fx unuk x mndki iik dikoninu ujung ming-ming inrvl. 4
Gmbr 4. Grfik Fungi Koninu 4. Dr Fourir Dfinii Dr Fourir : Jik fungi fx rdfinii pd inrvl -; dn di lur inrvl rbu fx priodik dngn priod ; mk dr Fourir u kpni Fourir dri fungi fx rbu di dfiniikn bgi :. dngn kofiin Fourir, dinukn olh :. 4
Jik inrvl ; mbrng dn fx mmpunyi priod mk :. 4. dngn C mbrng bilngn rl. Jik C = - mk rumu 4-4 dn 4-5 kn m dngn 4- dn 4-. Dr Fourir konvrgn bil mmnuhi yr/kondii Dirichl. Syr /Kondii Dirichl Torm : Jik, 44
. fx rdfinii dn brnili unggl, kculi pd bbrp iik yng bnykny brhingg pd inrvl -:.. fx priodik dngn priod..fx dn f x mrupkn fungi-fungi yng koninu pd ip gmn pd inrvl -;. Mk dr Fourir 4- dngn kofiin 4- dn 4- u 4-4 dn 4-5 konvrgn k :. fx ; jik x mrupkn iik koninu pd inrvl -; b. jik x dlh iik dikoninu. No Konp Dr Ingrl Pril D I fx vdx fx vdxdx 4 D D 45
Dimn D urunn dn I ingrl Conoh. D I x x x + x - x 4 + x Smr Soluion ny yiu: bri kolom D diklikn dngn bri k kolom I dimuli dngn nd +, kmudin bri k D dngn bri k I dngn nd - dn runy mpi d. Sblikny bil kolom D idk mk crny bgi briku :. D I x Co x x + ½ in x x - ¼ co x 46
= ½ x in x + ¼ x co x + ¼ = 4/ ½ x in x + ¼ x co x + C A = x co x dx B = ½ x in x + ¼ x co x Ingrl mnjdi A = B + ¼ A u A = 4/ B. D I ln x x 47
4. D ln x I x 5. D I x+5 x ½ x ¼ x = x + 5 x ¾ x + C = x + 7/4 x + C 48
Conoh :. Tnukn dr Fourir dri fungi fx yng didfiniikn bgi : di lur inrvl ini fx priodik dngn priod π. Pnylin : π π π π 49
Jdi dr Fourir dri fx yiu: π π π π π π π π π π π π π π + π π π + π Fungi f x pd conoh di bi dimilkn mrupkn uu pul vol yng priodik; dn uku-uku dri dr Fourir yng dihilkn kn brkin dngn frkuni yng brbd dri ru bolk blik yng dihubungkn pd glombng bujur ngkr dri vol di.. Tnukn dr Fourir dri : 5
dn bgimnkh f x hru dinukn pd x = -5 ; x = dn x = 5 gr dr Fourir rbu konvrgn k f x pd -5 < x < 5. Pnylin : Priod =. =5 π π π π Dr Fourirny : π π π π π π π π π 5
fx mmnuhi yr Dirichl, jdi dr Fourir kn konvrgn k: - F x ; jik x iik koninu - f x + + f x - ; jik x iik dikoninu iik-iik x = -5; dn 5 mrupkn iik-iik dikoninu dri f x pd inrvl -5,5 hingg : di x = -5 ; dr kn konvrgn k : di x = ; dr kn konvrgn k : di x = 5 ; dr kn konvrgn k : Dr Fourir di kn konvrgn k f x pd inrvl -5 x 5 pbil f x dinukn bgi briku:: { 5
dilur inrvl ini priodik dngn p =. Ekpnikn f x = x ; < x < kdlm dr Fourir jik f x Pnylin : Priodik dngn priod. Priod = = π π 5
= π π [ ] Dr fourir dri fx : = 4. Dngn mnggunkn hil dri conoh no., bukikn bhw : Pd x = ; dr Fourir dri fx = x konvrgn k fx = Pnylin : 54
Trbuki 4. Fungi Gnp dn Fungi Gnjil Fungi fx dibu fungi gnp jik f -x = f x unuk ip x. Conoh : 55
Polinomil dlm x yng uku-ukuny dlh x brpngk gnp mrupkn fungi gnp. Jik f x fungi gnp mk: Fungi f x dibu fungi gnjil jik f -x=-f x unuk mu x. Conoh : Polinomil dlm x yng uku-ukuny dlh x brpngk gnjil mrupkn fungi gnjil. Jik f x fungi gnjil mk: 56
4.4 Dr Sinu dn Dr Coinu Sngh Jngkun Hlf Rng briku: Dr fourir dri fungi gnp bgi Gnp Gnjil Gnp Gnp Gnjil Gnjil 57
Jdi, jik fx fungi gnp mk bn = ; hingg yng muncul hny uku-uku yng mngndung coinu j u uku-uku dri n. Dr fourir dri fungi gnjil bgi briku: Gnjil Gnp Gnjil Gnjil Gnjil Gnp 58
Jik fx fungi gnjil mk n = ; hingg yng muncul hny uku-uku yng mngndung inu j u uku-uku dri bn. Dr inu dn coinu ngh jngkun dlh uu dr Fourir yng hny mngndung uku inu u coinu j. Apbil diinginkn dr ngh jngkun yng ui dngn fungi yng dibrikn, fungi yng dimkud biny hny dibrikn dlm ngh inrvl dlh - ; yiu pd inrvl ; j. Sngh liny yiu -, dinukn brdrkn pnjln funginy gnp u gnjil. Dr inu ngh jngkun dlh dr Fourir dngn fx fungi gnjil: 4.8 Dr Coinu ngh jngkun dlh dr Fourir dngn: fx fungi gnp: 59
4.9 Conoh: Ekpnikn f x = x ; < x < k dlm :. dr inu ngh jngkun b. dr coinu ngh jngkun Pnylin :. dr inu ngh jngkun f x = x ; < x < diprlu dlm bnuk fungi gnjil pnjng inrvl- < x < dngn priod 4, bgi briku: Shingg : 6
[ ] [ ] Jdi dr inu: b. Dr coinu ngh jngkun 6
f x = x ; < x < diprlu dlm bnuk fungi gnjil pnjng inrvl- < x < dngn priod 4, bgi briku: [ ] [ ] bn = Jdi dr coinu: 6
[ ] [ ] [ ] 6
Sol-Sol ihn. Tnukn dr Fourir dri fungi :. Tnukn dr Fourir dri fungi :. Tnukn dr Fourir dri fungi : { 4. Tnukn dr Fourir dri fungi : 5. Urikn dlm dr Fourir inu. 64
6. Urikn Dlm dr :. Sinu Fourir b. Coinu Fourir 65
Bb V FUNGSI KHUSUS Fungi gmm dn b mrupkn fungifungi iimw yng ring muncul dlm pmchn prmn difrnil, pro fiik, prpindhn pn, gkn umbr bunyi, rmbn glombng, ponil gy, prmn glombng, mknik kunum, dn lin-lin. Fungi gmm dn b mrupkn fungi dlm bnuk prnyn ingrl dn mudh unuk dipljri. Kdu fungi ini biny dibh cr jl dlm fungi bilngn komplk. Dlm Bb ini hny dibh cr dfni dn if-if drhn yng dimiliki fungi rbu. 5. Fungi Gmm Fungi Gmm ng pning krn ring dijumpi dlm fiik lin mmik. Fungi Gmm dlh fungi yng diuli dngn dibc gmm n dn Didfiniikn dlm bnuk: 66
5. Hil ingrl mnykn bhw dibu jug fungi fcoril u prklin brlnju dngn n=,,,... Conoh: [ ] [ ] Rumu rkuri dri fungi gmm: Dimn 67
Conoh:... Bil n bilngn pchn poiif: dimn Conoh:... Bil n bilngn pchn ngif: u 68 m bilngn Bbrp hubungn dlm fungi Gmm :
Briku dijikn Tbl 5. nili fungi Gmm dn Gmbr 5. grfik fungi Gmm Tbl 5. Tbl Fungi Gmm n n,,,,954,,98,,8975,4,887,5,886,6,895,7,986,8,94,9,968,, 69
Gmbr 5. Grfik Fungi Gmm Conoh:. =. = 7
. Hiung Pnylin: Mil x = y dx = ½ dy Jik x =, mk y = Jik x =, mk y = 7
5.. Fungi B Fungi b mrupkn u dri rnformi ingrl yng pning dlm mmik, knik dn Fiik. Olh krn iu, mmpljri fungi b dn dp mnggunknny dlh uh yng dilkukn ki unuk mmhmi hkk mmik. Fungi b dlh kompoii du prmr yng didfiniikn dlm bnuk: konvrgn unuk m > dn n > 5. Sif : B m,n = B m,n Buki : 7
Trbuki Hubungn fungi B dn fungi Gmm: Conoh:.. 7
Sol-Sol ihn:. Slikn ol-ol briku dngn ori fungi Gmm!. b. c. d.. f.. Hiung, dngn ubiui.. Hiung, dngn ubiui lnx = u. 74
4. Slikn ol-ol briku dngn ori fungi B:. B/, b. B/,/ c. d. 75
Bb VI TRANSFORMASI APACE Bb ini kn mnjlkn nng Trnformi plc. Trnformi dlh knik u formul mmi yng digunkn unuk mngubh rprni prmn mmik dri u bnuk k bnuk rprni yng lin. Adny rnformi mnghrukn jug dny invr rnformi unuk mlkukn hl blikny. Trnformi plc ring diprgunkn unuk mngnli inyl dn im linir k ubh wku. Trnformi plc mmpunyi bnyk krkriik yng mmprmudh nli rbu. Trnformi plc jug ring digunkn unuk mnylikn prmn difrnil im. Pmprn diwli dngn mmbrikn gmbrn cr umum nng lr blkng pnggunn rnformi plc, dfinii rnformi plc, rumu-rumu 76
pmbukin rnformi plc, fungi drhn dn fungi priodik dngn diri conoh. 6. r Blkng Pnggunn Trnformi Trnformi diprlukn bgi l bnu unuk mmchkn proln mmik yng rumi. Pnggunn rnformi dn invrny dp diilurikn pd Gmbr 6. yng dijikn dibwh ini. Prmlhn dlm bnuk l Trnformi Solui Prmlhn dlm bnuk l Solui Trnformi Invr Trnformi Solui Prmlhn dlm bnuk l Gmbr 6. Pnggunn rnformi dn invr 77
Trnformi plc digunkn unuk mngubh fungi f yng brd dlm kwn wku k kwn. Solui didp dngn mngubh prmn difrnil yng mrupkn fungi wku dri kwn wku k kwn dngn mnggunkn rnformi plc yng dijikn pd Gmbr 6. di. 6.. Pngrin Trnformi plc Trnformi plc dlh pro mngubh fungi F dri fungi wku k fungi komplk f dri opri komplk S. Dfinii Milkn F uu fungi dn >, mk rnformi plc dri F dinoikn dngn {F} yng didfiniikn olh: ` { F } F d f dngn b di k hingg mk 78 6. Krn { F } dlh ingrl idk wjr
` { F } F d f im p p F d Trnformi plc dri F dikkn d, jik ingrlny konvrgn unuk bbrp nili, bil idk dmikin mk rnformi plc idk d. Slnjuny bil uu fungi dri dinykn dngn huruf br, milny W, G, Y dn runy, mk rnformi plc dinykn dngn huruf kcil yng brngkun hingg {W} = w, {G} = g, {Y} = y dn runy. Torm Jik F dlh fungi yng koninu cr bgin-bgin dlm ip inrvl N dn kponnil brord unuk > N, mk rnformi plc f d unuk ip >. 79
Brdrkn dfinii di, dp dinukn rnformi plc bbrp fungi drhn yiu bgi briku: Tbl 6. Fungi Dr Trnformi plc No. F { F } = F Syr... 4. n n! n =,,,,. n 5. 8 6. 7. in 8. co 9. inh. coh
Sbgi pmhmn bgi pmbc, briku ini dibrikn bbrp conoh rnformi plc uu fungi. Conoh: Tnukn rnformi plc fungi briku:. F ` { F } f im p p lim p lim p d p f 8
. F ` { F } d p lim. p d lim p p d p lim p p p p lim p p 8
8. F ` } { d F d p p lim p p lim lim p 4. F in d F in } { p p d im co p p d im co. co p p p d im. co. co p p d im in.. co
84 p p p d im. in in. co p p p im. in in. co p p p im. in in. co p p im. in. co..in. co
85 5. F co d F co } { p p d im in p p d im in. in p p p d im. in. in p p d im co.. in p p p d im. co co. in p p p d im. co co. in p p p im. co co. in
im p in. co. p in..co. Syr Cukup Trnformi plc Ad Jik F dlh koninu cr bginbgin dlm ip lng brhingg N dn kponnil brord unuk > N, mk rnformi plcny f d unuk mu >. Prlu diknkn bhw pryrn-pryrn yng dinykn dlh cukup unuk mnjmin bhw rnformi plc-ny d. Akn pi rnformi plc dp d u idk wlupun pryrn ini idk dipnuhi. 86
6. Mod Trnformi plc Unuk mmudhkn bgi pnggun mmik, rdp bbrp cr yng digunkn unuk mnnukn rnformi plc. Dinrny dlh:. Mod lngung, brkin dngn dfinii. Mod ini brkin lngung dngn dfinii { F } F d im p p F d Conoh { F } F d lim p p p d lim. p d lim p p d 87
p lim p f b. Mod Dr Mil F mmpunyi urin dr pngk yng dibrikn olh F... n n n Mk rnformi plcny dp diprolh dngn mnjumlhkn rnformi ip ukuny dlm dr, hingg: { F } { } { } { } { }... o!... 88
n n! n n, yr ini brlku jik drny konvrgn unuk > c. Mod Prmn difrnil Mod ini mnyngku mnmukn prmn difrnil yng dipnuhi olh F dn kmudin mnggunkn orm-orm di. Sif-if Trnformi plc Trnformi plc uu fungi mmpunyi bbrp if, if-if rbu nr lin: Sif linr Jik c dn c dlh brng konn, dngkn F dn F dlh fungi-fungi dngn rnformi-rnformi plc ming-ming f dn f, mk: { cf cf } c f c f 89
Buki: { c F c F } { cf cf } d c c F d cf d p F d c F c f c f d. { 5 } {5 } {5 } { } 5{ } {} 5 5. { 6in 5co } {6in } {5co } 6{in } 5{co } 6 5 4 4 9
9 4 5. } { } { 4 {} } { } { 4 {} } { } { 4! 4! 4 4 4 5 4. } co in 4 6 {4 5 {co } {in 4 } } {6 } {4 5 co in 4 6 4 5 4 4 4 6 5 4 4 6 5 4 Dngn mnggunkn if linr, nukn rnformi plc fungí briku.. F
. F 6in co. F in co 4. F coh inh 5. F 6. F in b Sif rnli u prgrn prm Jik { F } f mk { F } f Buki ` Krn { F } F d f, mk ` { F } F d f F d 9
Conoh:. Tnukn { F } jik { F } f Mnuru if di, { F } f Mk { F } f f. Tnukn { F }, jik { F } f Mnuru if di, { F } f Krn { F } f, mk { F } f. Tnukn Krn rnli prm f { F } jik {co } 4 {co } mk mnuru if 4 { F } f 9
{ F } 4 5 4. Tnukn { co 6 5in 6} M6nuru if linr, { co 6 5in 6} { co 6} { 5in 6} { co6 } 5{ in 6 } } 6 Krn {co 6 } dn {in 6 } 6 6 mk mnuru if rnli { co6 } f, 6 dn 5{ hingg 6 in 6 } 5 94
6 co 6 5in 6} 5 6 6 { 4 4 4 Sol - Sol ihn Tnukn rnformi plc fungi F in F F inh 5coh 4 F 5 F inh coh 6 F c. Sif rnli u prgrn kdu Jik { F } f dn F, unuk G, unuk mk 95
{ G } f Buki { G } G d G d d F d G d F d Mil u = - mk = u+ dn du = d, hingg F u d F u du u f F u du 96
Conoh Crilh { F } jik co, F, Mnuru dfinii rnformi plc { F } F d / d u / / u / co udu co udu co / d / d. Sif pngubhn kl Jik { F } f mk { F } f Buki 97
98 Krn d F F } { mk d F F } { Mil du d hingg d mk du u Mnuru dfinii { d F F du u F u du u F u f Conoh:. Jik 6 } { f F mk } { f F
6 6.9 6 /. Jik { F }, crilh { F } Jwb / Krn { F } f, 4 diprolh mk mnuru if { F } f Shingg { F} f Brdrkn if Jik { F } f mk { F } f if Mk { F } f 99
S Sol- Sol ihn:. Hiunglh { F } jik, F,. Jik { F }, crilh { F}. Trnformi plc dri urunn-urunn Jik { F } f mk { F' } f F Krn Krn { F } F d f, mk { F' } F' d df
p d F F d F F F f Jik } ' { F f F mk ' } '' { F F f F Buki " } '' { d F F ' F d ' ' d F F ' ' d F F ' F f F ' F F f Dngn cr yng m diprolh
d F F ''' } ''' { '' F d '' '' d F F '' ' ' d F F ' ' '' d F F F '' ' F F F f Akhirny dngn mnggunkn induki mmik dp diunjukkn bhw, jik } { f F mk... ' } { n n n n n F F F F f F Conoh Dngn mnggunkn if rnformi
plc dri urunn-urun, unjukkn bhw {in } f Mil F in diprolh F' co, F'' in hingg {in } { F'' Dngn mnggunkn if rnformi plc dri urunn-urunn diprolh {in } f F F' f
. Trnformi plc dri ingrl-ingrl Jik { F } f mk Buki: F u du f MilG F u du mk G ' F dn G Dngn mnrnformikn plc pd kdu pihk, diprolh: { G' } { F } { G } G{} f { G } f { G } f Jdi diprolh F u du f 4
Conoh. Crilh Mil Mk in u du u in F { F } rcn Shingg mnuru if rnformi di in u du u f rcn. Bukikn Buki: in u du u rcn in u Mil F du mk F u in F' dn F ' in Dngn mngmbil rnformi plc kdu bgin { F ' } {in } 5
d d f f d f rcn C Mnuru orm hrg wl, imf lim F F Shingg diprolh Jdi f rcn c. du u co u ln. Bukikn Buki: Mil u F co du mk u co F' u { F' } co { F' } { co } 6
d d u f d d f F f d c ln Mnuru orm hrg khir, lim f lim F, hingg c =. f u Jdi ln ln f f. Prklin dngn n Jik { F } f mk { n Buki. F n d d n n f f n Krn f F d mk mnuru urn ibniz unuk mnurunkn dibwh ingrl, diprolh: nd df d f ' d d F d 7
F d F d { F } d { F } df Jdi { F } f ' d Conoh. Tnukn { in } Jwb {in }, mk mnuru if prklin dri pngk n diprolh 8 { F } { in } n n n d f, hingg d d d
. Tnukn { co } Mnuru if di, { d co } d d d 6 g. Sif pmbgin olh F Jik { F } f mk f u du Buki: F Mil G mk F G Dngn mnggunkn dfinii rnformi plc unuk kdu bgin, mk diprolh bnuk 9
d { F } { G } u f { G } u d f dg d Slnjuny dngn mngingrlkn diprolh dg f. d g f u du f u du Jdi F f u du Sol-Sol ihn: Tnukn rnformi plc unuk fungi yng dibrikn. F co b. F in
c. F in co5 d. F in. F in f. F co g. F in, Jik F, Crilh { F'' }, Dikhui F,. crilh { F } b. crilh { F' } c. pkh { F' } f F brlku unuk ku ini 4 Tunjukkn bhw in d 5
5 Tunjukkn bhw u u du { u } 6 Prlihkn bhw. b b ln co co b b b. ln 7 Tunjukkn bhw:. u u u du ln b. Jik { F } f mk d F u du f
6.4 Trnformi plc Invr Dfinii Jik rnformi plc uu fungi F dlh f, yiu jik { F } f mk F dibu uu rnformi plc Invr dri f. Scr imboli diuli F { f }. dibu opror rnformi plc invr. Conoh.. Krn mk. Krn co mk. Krn co inh mk inh
Kunggln Trnformi plc Invr Mil N dlh uu fungi dn {N} = mk {F+N} = {F} Dngn dmikin dp diprolh du fungi yng brbd dngn rnformi plc yng m. Conoh F dn Mngkibkn unuk unuk F { F } { F } Jik ki mnghiung fungi-fungi nol, mk rlih bhw rnformi plc invr idk unggl. Akn pi pbil ki idk dp mmprhiungkn fungi-fungi nol yng idk muncul dlm ku-ku fiik mk i dlh unggl. Hilny dinykn olh orm briku. Torm rch Jik mmbi diri pd fungi-fungi F yng koninu cr bgin-bgin dlm ip lng brhingg 4
N dn kponnil brord unuk > N, mk invri rnformi lplc dri f yiu f F, dlh unggl. Jik idk d prnyn linny, mk ki llu mngnggp kunggln di. Brdrkn dfinii di, dp dinukn rnformi plc invr bbrp fungi drhn dibwh ini. Tbl 6. Trnformi plc invr pd fungi drhn Nomor f { f x} F..., n,,,,... n n! 4. 5. in 6. co 7. inh 5
8. 9. coh co 6.5 Sif-if rnformi plc Invr Bbrp if pning dri rnformi plc invr dlh: Sif inr Mil c dn c dlh brng bilngn konn, dngkn f dn f bruruuru dlh rnformi plc dri F dn F, mk: { cf cf } { cf } { cf } c { cf } { cf } { F } c { F } c f c f 6
7 Conoh 9 9 9 9 9 in co Sif rnli u prgrn prm Jik } { F f mk } { F f Conoh inh 9 mk inh 9 Sif rnli u prgrn kdu Jik } { F f mk unuk unuk F f,, } {
8 Conoh in mk,, in 9 unuk unuk 4 Sif pngubhn kl Jik } { F f mk k F k k f } { Conoh Krn co mk diprolh co 5 Trnformi plc invr dri urunnurunn Jik } { F f mk } { F f d d f n n n n Conoh
9 Krn in 4 dn 4 4 4 d d mk diprolh d d n n in in 4 4 4 6 Trnformi plc invr dri niurunnniurunn Jik } { F f mk F du u f Conoh Krn mk diprolh ` du u u 7 Sif prklin dngn n Jik } { F f mk ' } { F f
Dngn dmikin prklin dngn brkib mnurunkn F Jik f, hingg { f F} F' { f } F' F dngn dlh fungi dl Dirc u fungi impul un. Conoh r 5 in 5 5 dn in 5 mk 5 d in 5 5co 5 5 d 8 Sif pmbgin dngn Jik mk f F u du Jdi pmbgin dngn brkib mngkibkn ingrl F dri mpi dngn.
Conoh Krn in 4 mk diprolh co co in 4 u du u 9 Sif konvolui Jik } { F f dn } { G g mk G F du u G u F g f * } { F*G dibu konvolui u flung dri F dn G, dn ormny dinmkn orm konvolui u if konvolui. Conoh Krn 4 4 dn
mk diprolh 4 4u u 4 du 6.6 Mod Trnformi plc Invr Mnnukn rnformi plc dp dilkukn dngn bbrp cr, hingg dlm rnformi plc invr rdp bbrp mod yng dp digunkn, nr lin: Mod pchn pril P Sip fungi rionl, dngn P dn Q Q fungi pngk bnyk polinom dn drj P lbih kcil dri Q. Slnjuny P Q dp diuli jumlh dri fungi rionl yng mmpunyi bnuk A b r A B u b c dn runy, r r,,,...
Dngn mmprolh rnformi plc invr ip pchn prcil mk dp dinukn Q P Konn A, B, C, dp diprolh dngn mnylikn pchn-pchn dn mnymkn pngk yng m dri kdu ru prmn yng diprolh u dngn mnggunkn mod khuu. Conoh. Tnukn 6 6 Jwb 6 6 6 6 B A 6 B A 6 A B B A u A+B = dn B-A = 6 u
4 -A A=6 hingg didp A = - dn B = 5 5 6 5 4 4 5. Tnukn Jwb C B A C B A C B A ` C C B B A A A Shingg C A C B A B A
5 Diprolh A+B =, A+B+C=, A+C=- Au A = 5 4, B = 5 4, dn C = 5 Akhirny diprolh 5 5 4 5 4 5 4 5 4 5 5 4 5 4 co 5 4 5 4 Mod Dr Jik f mmpunyi u urin dri kblikn pngk dri yng dibrikn olh... 4 f o Mk dibwh pryrn-pryrn yng ui ki dp mnginvri uku dmi uku unuk mmprolh
6...!! F o Conoh Tnukn Jwb...!! =...!! 4 Shingg...!! 4 +... Rumu Pngurin Hviid Andikn P dn Q dlh fungi pngk bnyk polinom dn drj P lbih kcil dri
7 Q. Mil Q mmpunyi n kr-kr yng brbd yiu k, k=,,, 4,..., n. Mk n k k k k Q P Q P ' Buki rumu di diurikn bgi briku: Krn Q dlh polinomil dngn n kr brbd,,,..., n mk mnuru mod pchn-pchn pril diprolh n n k k A A A A Q P...... Dngn mnglikn kdu ru dngn - k dn mngmbil k dngn mnggunkn urn Hopil diprolh lim lim Q P Q P A k k k k k lim lim Q P k k k lim. Q P k k k ' Q P k...
8 Shingg dp diuli bgi n n n k k k Q P Q P Q P Q P Q P. ' '.... '. ' dngn dmikin n n n k k k Q P Q P Q P Q P Q P. '.... '.... '. ' n n n k k k Q P Q P Q P Q P. '.... '.... '. ' n n k k n k Q P Q P Q P Q P. '.... '.... '. ' n k k k k Q P ' 4 Fungi B Jik m> dn n> didfiniikn fungi b bgi Bm,n = du n u n m dn ki dp mmprlihkn if-if:., n m n m m n B., co in n m n m m n B d m m
9 Sol-Sol ihn. Tnukn,. 4 b. 9 5 c. 6 4 4 4 8 d. 7 5. f. 8 4 4 g. 8 h.
i. 8 4 5 j. 6 4 4 4 5 k. l. 4 4 m.. Bukikn bhw:. 5 6 6 b. c. 7 6 d. 5 5. co 9 4 7 4
f. 4 6 4 in4 co in 64 5 4 4co in 5 g.. Dngn mnggunkn rumu pngurin Hviid, unjukkn bhw. b. c. d. 9 7 6 5 6 6 6.7. Pnggunn pd Prmn Difrnil Prmn Difrnil dngn Kofiin Konn Trnformi plc dp digunkn unuk mnnukn lin uu prmn difrnil dngn kofiin konn.
Mil dinukn prmn difrnil d Y dx dy p qy F x u Y' ' py' qy F x dx dngn p,q dlh konn dn prmn rbu mmpunyi yr wl u b Y=A dn =B, A dn B dlh konn yng dibrikn. Slin prmn difrnil yng dikhui dp dinukn dngn cr mlkukn rnformi plc pd ming-ming prmn dn lnjuny gunkn yr wl yng dibrikn. Akibny diprolh prmn Aljbr Y x y. Slin yng diprlukn diprolh dngn mnggunkn rnformi plc invr dri y. Cr ini dp diprlu pd prmn-prmn difrnil ingk inggi. Conoh Tnukn lin prmn
difrnil briku. x Y Y ' ' dngn = dn =- Jwb Dngn rnformi plc ming-ming bgin dri prmn difrnil diprolh } { " } " { x Y Y Y Y Mnuru if 5 rnformi plc... " } { n n n n n n F F F F F F, hingg } { '} } { { x Y Y Y Y y y y y = =
4 Unuk mnnukn lin, gunkn rnformi plc invr Y x x x in co Unuk pmrikn jwb di x x Y in co x x Y co in ' x x Y in co ' ' x x x x x x Y Y in co in co ' ' dn =, =- x Y Y Y 4 ' ' ' dngn Y = - dn =5 Jwb Dngn rnformi plc ming-ming bgin dri prmn difrnil diprolh } {4 ' " x Y Y Y Mnuru if 5 rnformi plc
5... " n n n n n n F F F F f F, hingg } {4 ' " x Y Y Y 4 } { } { '} } { { x Y Y Y Y Y Y 4 } { 5} { y y y 4 4 y 4 4 y 4 4 4 7 Unuk mnnukn lin, gunkn rnformi plc invr 4 4 7 Y 4 4 7 x x x x 4 4 7
b Prmn Difrnil dngn Kofiin Vribl Trnformi plc jug dp digunkn unuk mnnukn lin prmn difrnil dngn kofiin vribl. Khuuny prmn difrnil n n yng brbnuk x Y x plc hingg rnformi diprolh m m n m d n x Y x Y x d m Hl ini ui dngn if rnformi plc Jik { F } f mk { n F } d d n n n f f n Unuk jlny prhikn bbrp conoh briku. Conoh Tnukn lin prmn difrnil xy '' Y ' xy dngn Y = dn Y = Jwb 6
Dngn rnformi plc pd mingming bgin prmn diprolh: xy" Y ' xy xy" Y' xy d d d d y y d y Y Y' y Y y d y y y dy d y' d d y y' y y' dy d y ' Diprolh y d rcn C Krn y bil ki dpkn hingg y rcn rcn c, 7
Akhirny didp mmnuhi Y = Y in rcn, hl ini Y '' xy ' Y, dngn = dn = Jwb Dngn rnformi plc pd mingming bgin prmn diprolh: Y " xy ' Y Y " xy ' Y y Y Y' d { y Y} y d d y. y y d Prmn di mrupkn prmn difrnil linr ingk u drj u dn dp diubh mnjdi: y y y' y' y' y 8
9 ' y y Fkor ingrl prmn di dlh ln d Mk y d d Shingg d y y c Akhirny diprolh y
Sol-ol ihn Tnukn lin prmn difrnil briku: Y' xy ' Y dngn = dn = xy '' x Y' Y dngn = dn = xy '' x Y' Y dngn Y = 5 dn Y = 4 Y' ' Y ' 4xY dngn = dn = 5 +4 = 9x dngn = dn =7 6 - + =4x+ x dngn = dn =- 7 Tnukn lin dri prmn briku:. +4 = 9x dngn = dn =7 b. - + =4x+ x dngn Y = dn =- 4
DAFTAR PUSTAKA Brcwll, R.N., Th Fourir Trnform nd I Aplicion, Third Ediion. Mc Grw Hill. E.J. Purcll dn D.Vrbrg.986, Klkulu dn Gomri Anliik. Jilid II. Edii IV. Jkr: Erlngg. Enginr nd Scini, Schum Oulin Sri Gzli, W. 7, Klkulu nju, Grh Ilmu. Gzli W, Soddymodjo. 7, Klkulu, Edii. Grh Ilmu. Murry R.Spigl. 985, Trnformi plc. Erlngg. 4
GOSARIUM Aprokimi Pndkn u pmbuln nili rhdp hil pngukurn dn idk brlku unuk hl yng ifny kk. Dr Fourir Pngurin fungi priodic mnjdi jumlhn fungi-fungi broili, yiu fungi inu dn coin, upun kponnil komplk. Dr Pngk Dr inu Divrgn Fungi Gnp Fungi Gnjil Dr Ku Mod Dr ndr unuk mnylikn prmn difrnil linir dngn kofin brubh. Dr inu ngh jngkun yiu dr fourir yng mngndung uku inu j. Kondii dimn mu dr k hingg idk bi dilikn. Fungi fx dimn f-x = fx unuk ip x. Fungi fx dimn f-x = -fx unuk ip x. 4
Fungi Gmm Fungi yng diuli dngn dibc gmm n dn didfiniikn dlm bnuk: Fungi B Kompoii du prmr yng didfiniikn dlm bnuk: konvrgn unuk m > dn n > Konvrgn Kondii dimn mu dr k hingg rlikn dn mnuju k uu nili yng mndki. Mlh nili wl uu prmn difrnil yng mmnuhi kondii wl rnu u yr wl yng dibrikn. Prmn difrnil T Rio Prmn yng mngndung vribl rbu. Uji bnding dri D Almbr 4
Trnformi plc Pro mngubh fungi F dri fungi wku k fungi komplk f dri opri komplk S. Uji Bnding Mmbndingkn dr yng u dngn dr lin yng lh dikhui kkonvrgninny. 44
INDEKS A. Aprokimi, 8 B. Brnd, 5 C. - D. Dr,,,,4,5,6,7,8,9,,,,,4,6,7,8,9,,,5,8,9,4,4,44,48,49,5,5,5,5,56,57,58, 59,6,6,6,6,87,88,,4,4. Dr Brnd, 5 Dr Binomil Nwon,5 Dr Bolk-blik, Dr Coinu, 6 Dr Gomri, 4,6,7. Dr Pngk, Dr Mclurin, 5,7 Dr Sinu, 6 Dr Tk hingg,. Dr Tylor,4 E. Ekponnil, 78,. F. Fungi B, 75,76,77,78 Fungi Gmm, 69,7,7,7 Fungi Gnjil, 59,6,6,6,6 Fungi Gnp, 59, 6, 6 G. Gomri, 4,6 45
H. Hlf Rng, 6 I. Invr, 75,76 J. Jngkun, 9,56,57,58,59,6 K. Konvrgn,,4,5,6,7,8,9,,,4,44,49,5,5,5,7, 78,88. Konvrgni,,4,5,6,7,8,9. Konn, 9,,,,5,4.. plc, 75,76,77,78,79,8. ibniz, 6 inir, 8,9 Hopil, M. Mclurin,,4,7. Mlh nili wl, 6,4,5,7,8. N. Numrik,, O. Ord, 8,7,8,9,. P. Prmn Difrnil,,8,,,,,5,6,7, 8,9,,,,4,5,6,7,6,74,76,87,9,,,,4. Prmn Pril, Polinomil, 56,57,8 Q. 46
R. Rio, 8 Rionl, S. Sigm, Suku,,,,6,,6,,4,5,56,57,58,59,89,7. T. T rio, 8 U. Uji bnding, 4, V. X. Y. Z. - 47
RIWAYAT PENUIS ik Slmin dilhirkn di Ach Br, M Dmbr 987. Slh m MAN Modl Bnd Ach IPA hun 6 mlnjukn udi k Univri Syih Kul pd Fkul Kgurun dn Ilmu Pndidikn FKIP Jurun Pndidikn