KOMPETISI MATEMATIKA 07 TINGKAT SMP SE-MANADO SOLUSI BABAK PENYISIHAN Rabu, Februari 07
. Banyaknya pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x = y + 7 adalah a. 0 b. c. d. 3 Jawab: x = y + 7 x - y = 7 (x y)(x + y) = 7 Karena x dan y bilangan asli, maka dapat dibuat beberapa kemungkinan dari (x y)(x + y) = 7, yaitu: (x y)(x + y) = 60 (x y)(x + y) = 30 (x y)(x + y) = 3 0 (x y)(x + y) = 5 (x y)(x + y) = 5 (x y)(x + y) = 6 0 Dengan metode eliminasi, maka diperoleh masing-masing nilai x adalah 5 3, 6,, dan 8. Jadi, banyaknya pasangan yang memenuhi adalah., 9, 7. Jika a, b, c dan d adalah bilangan bulat positif dibagi 7 berturut-turut bersisa, 9,, dan 7, maka 3a + b 3c + d dibagi 7 akan bersisa a. 3 b. 6 c. 9 d. Jawab: Misalkan a = 7p + b = 7q + 9 c = 7r + d = 7s + 7 3a + b 3c + d = 3(7p + ) + (7q + 9) 3(7r + ) + 7s + 7 = 7p + 36 + 7q + 36 7r 33 + 7s + 7 = 7p + 7q 7r + 7s + 6 Karena ditanyakan sisa pembagian maka cukup diambil 6, sehingga: 6 = ( 7) + Jadi sisa pembagian 3a + b 3c + d oleh 7 adalah.
3. Banyaknya pasangan bilangan asli m dan n yang memenuhi 3 m + n = adalah a. 0 b. 3 c. 6 d. 9 Jawab: Persamaan pada soal ekivalen dengan 3n + m = mn (m 3) (n ) = Dengan demikian m 3 dan n keduanya merupakan faktor dari. Karena m dan n bilangan asli maka m 3 > -3 dan n > - Maka m 3 =,, 3,, 6, atau. Jadi m =, 5, 6, 7, 9, atau 5. Jadi, pasangan (m, n) yang memenuhi adalah (, 6), (5,0), (6, 8), (7, 7), (9, 6), (5, 5) Sehingga banyaknya pasangan yang memenuhi ada 6.. x, y, z adalah bilangan Asli genap berurutan dan x < y < z. Hitunglah (z x)(y x)... z y a. b. 3 c. d. 3 Pembahasan : Karena x, y, z adalah bilangan Asli genap berurutan dan x < y < z, kita tulis: x = n, y = n +, dan z = n +, dengan n anggota bilangan Asli, sehingga: (z x)(y x) (n + n)(n + n) = = z y (n + (n + )) = 5. Diketahui x = 3y = z dan + + =. Nilai y = x y z a. 0 b. c. d. 3 Pembahasan : Karena nilai y yang ditanyakan, nyatakan secara eksplisit nilai x dan z dalam y! x = 3 y, dan z = 3 y, sehingga diperoleh : x + y + z = 3y + y + 3y = ( 3 + + 3 ) = y y = 3
6. Diketahui 3 x + 3 x = 8. Nilai dari 3 x 3 x = a. b. 3 c. d. 5 Pembahasan : 3 x + 3 x = 3 x + 3 x = (3x ) + ( 3 x) (3 x 3 x ) = (3 x 3 x) (3 x 3 x ) = (3 x ) + ( 3 x) (3 x 3 x ) = 8 (3 x 3 x ) = 6 (3 x 3 x ) = 7. Jika buah dadu dilempar bersamaan, maka peluang muncul jumlah angka kedua mata dadu merupakan bilangan komposit adalah a. b. c. d. 9 7 8 3 36 Tabel pelemparan dadu 3 5 6 3 5 6 7 3 5 6 7 8 3 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 Jadi, peluangnya adalah 36 = 7 3
8. Bangun-bangun di bawah dapat diisi dengan tetromino-t, tanpa ada penumpukan dan kotak yang tersisa, kecuali a. c. b. d.
9. Terdapat pasang suami istri yang akan duduk di 8 kursi secara memanjang. Berapa banyak cara mengatur tempat duduk sehingga setiap pasangan suami istri duduk berdampingan? a. 380 b. 38 c. 38 d. 386 Anggap suami dan istri sebagai satu kesatuan karena suami dan istri harus duduk berdampingan yang berarti akan diatur pasang pada tempat. Jadi, ada sebanyak 3 = cara. Setiap pasang suami istri bisa saling bertukar posisi (suami istri atau istri suami), maka ada total ada sebanyak = 6 = 38 cara. 0. Perhatikan gambar berikut. Keliling sebuah lingkaran adalah 6,8 cm dengan π = 3, maka luas daerah yang diarsir (garisgaris) adalah cm. a. 33 b. 3 c. 35 d. 36 5
Misalkan r adalah jari-jari lingkaran, d adalah diameter dan s adalah panjang sisi persegi EFGH. K = π d 6,8 = 3, d d = 0 cm r = 0 cm Jadi, s = 0 cm Dalam persegi EFGH terdapat buah lingkaran. L arsir = L EFGH L lingkaran L arsir = s π r L arsir = 0 3, 0 L arsir = 600 56 L arsir = 3. Jika diketahui gambar dibawah adalah sebuah persegi dengan panjang sisi 6 cm, maka luas bangun yang diarsir adalah cm a. 30 b. 9 c. 8 d. 7 6
Luas daerah yang diarsir = [ABCD] Luas daerah yang diarsir = 6 Luas daerah yang diarsir = 56 Luas daerah yang diarsir = 8 cm. Perhatikan gambar di bawah ini! Titik-titik sudut dari persegi adalah pusat dari lingkaran-lingkaran yang sebangun. Jika kelima lingkaran kongruen, berapakah perbandingan luas dalam persegi antara daerah yang diarsir dengan daerah yang tidak diarsir? a. :3 b. :3 c. :5 d. :5 Persegi dapat dipandang sebagai belah ketupat sehingga untuk mencari luas persegi dapat digunakan rumus luas belah ketupat. Diagonal belah ketupat adalah kalinya jari-jari lingkaran d = r 7
L = Luas belah ketupat = d d = r r = 6r = 8r L = Luas yang diarsir = luas lingkaran = πr = 7 r = 7 r L 3 = Luas yang tidak diarsir = L L = 8r 7 r = 56 7 r 7 r = 7 r L : L 3 = 7 r : 7 r = : = : 3 3. Jika R = {x 0 x 60, x bilangan prima}, maka pernyataan dibawah ini benar, kecuali a. {7} R b. Jika S = {p 3 p 59, p bilangan prima} maka S R c. n(r) = d. 53 R Penyelesaian R = {x 0 x 60, x bilangan prima} atau R = {, 3, 7, 53, 59} Uji pilihan : a. Benar karena 7 merupakan bagian dari R b. Benar karena S = {p 3 p 59, p bilangan prima} merupakan bagian dari R c. Salah karena banyaknya anggota himpunan R ada 5 d. Benar karena 53 merupakan anggota R. Pernyataan yang benar diantara pernyataan-pernyataan berikut adalah a. b. { } c. {a, b} {a, b, {{a, b}}} d. {a, } {a, {a, }} Penyelesaian Uji pilihan a. benar b. { } salah karena c. {a, b} {a, b, {{a, b}}} salah karena {a, b} {{a}, {b}, {a, b}} d. {a, } {a, {a, }} salah karena {a, } {, {a}} 8
5. Himpunan pasangan berurutan yang merupakan pemetaan adalah a. {(03, m), (05, t), (06, h), (07, h), (0, a)} b. {(05, a), (03, t), (06, m), (0, a), (05, m)} c. {(0, m), (07, h), (06, a), (03, m), (06, t)} d. {(07, a), (0, h), (06, t), (07, t), (05, m)} Penyelesaian Uji pilihan : a. {(03, m), (05, t), (06, h), (07, h), (0, a)} (pemetaan, karena setiap anggota domain memiliki kawan di domain) b. {(05, a), (03, t), (06, m), (0, a), (05, m)} (bukan pemetaan, karena ada anggota domain yang memiliki lebih dari satu kawan di kodomain) c. {(0, m), (07, h), (06, a), (03, m), (06, t)} (bukan pemetaan, karena ada anggota domain yang memiliki lebih dari satu kawan di kodomain) d. {(07, a), (0, h), (06, t), (07, t), (05, m)} (bukan pemetaan, karena ada anggota domain yang memiliki lebih dari satu kawan di kodomain) 9
6. Diagram Cartesius ini yang menunjukan fungsi adalah 5 3 3 () 0 0 3 5 (3) 0 0 3 5 3 3 () 0 0 0.5.5 () 0 0 6 a. () dan () b. () dan (3) c. () dan () d. (3) dan () Penyelesaian () Bukan pemetaan karena ada anggota domain yang tidak memiliki kawan di kodomain, dan ada anggota domain yang memiliki lebih dari satu kawan di kodomain. () Pemetaan karena setiap anggota domain memiliki kawan di kodomain. (3) Bukan pemetaan karena ada anggota domain yang tidak memiliki kawan di domain. () Pemetaan karena setiap anggota domain memiliki kawan di kodomain. 7. Berapa nilai dari a. b. c. d. 07 06 06 07 + + + = 3 06 07 Pembahasan : + 3 + + 06 07 = ( ) + ( 3 ) + + ( 06 07 ) + 3 + + 06 07 = 07 + 3 + + 06 07 = 06 07 0
8. Berapa nilai dari ( + ) ( + ) ( + ) = 7 8 07 a. 008 b. c. d. 08 07 08 7 07 08 Pembahasan : ( + 7 ) ( + 8 ) ( + 07 ) = (8 7 ) (9 8 ) (08 07 ) ( + 7 ) ( + 8 ) ( + 07 ) = 08 7 9. Empat tahun yang lalu umur Andi umur Dani. Empat tahun yang akan datang umur Andi 3 umur Dani. Umur Dani sekarang adalah. a. 8 tahun b. 0 tahun c. tahun d. 5 tahun Penyelesaian. a = (d ) a 8 = d a d = () a + = 3 (d + ) a 6 = 3d + a 3d = () Eliminasi a pada persamaan () dan () : a d = x a d = 8 a 3d = - x a 3d = - - d = Jadi, usia Dani sekarang adalah tahun. 0. Jika f() = 5 dan f(x + ) = f(x) maka f(7) = a. 60 b. 30 c. 60 d. 80 Penyelesaian : f() = 5 f() = f() = 0 f(3) = f() = 0
Jadi 5, 0, 0, 0,. Berupa barisan geometri dengan rasio =. Rumus barisan geometri: U n = a. r n Sehingga, f(7) = U 7 = a. r 7 = 5 6 = 5 6 = 30. Dua botol yang berukuran sama berisi penuh dengan larutan gula. Rasio kandungan gula dan air pada botol pertama adalah : 5 dan pada botol kedua adalah 5 : 7. Jika isi kedua botol tersebut dicampurkan, maka rasio kandungan gula dan air hasil campurannya adalah... a. 55 : 03 b. 59 : 09 c. 55 : 09 d. 59 : 03 Botol I G I A I = 5 Botol II G II A II = 5 7 Misalkan: V botol = V Volume Gula dan Air dalam botol I dan botol II sebelum dicampur : G I = + 5. V = V 7 A I = 5 + 5. V = 5V 7 G II = 5 5V. V = 5 + 7 A II = 7 7V. V = 5 + 7 Volume Gula dan Air dalam botol I dan botol II setelah dicampur : G I+II = G I + G II = V 7 + 5V = V 8 + 35V 8 = 59V 8 A I+II = A I + A II = 5V 7 + 7V = 60V 8 + 9V 8 = 09V 8 G I+II A I+II = G I+II A I+II = 59V 8 09V 8 = 59V 8 8 = 59 09 09V Jadi, rasio kandungan gula dan air hasil campurannya adalah 59 : 09
. Rataan usia kelompok guru dan profesor adalah 0 tahun. Jika rataan kelompok guru adalah 35 tahun sedangkan rataan kelompok profesor adalah 50 tahun, perbandingan banyaknya guru dan profesor adalah... a. : b. : c. 3 : d. : 3 Definisikan : a banyaknya guru b banyaknya profesor Berdasarkan data pada soal diperoleh, 0 = 35a + 50b a + b yang sama artinya dengan 0a + 0b = 35a + 35b 5a = 0b Jadi, a b = 0 5 = 3. Perhatikan sistem persamaan berikut. a b a + b = { 5 0 (a b) 3(a + b) + 5 = 0 Nilai dari a + b = a. b. c. 3 d. a b 5 a + b = (a b) 5(a + b) = a + 9b = () 0 (a b) 3(a + b) + 5 = 0 a + 5b = 5 () a + 9b = a + 5b = 5 a + b = 6 a + b = a + 5b = 5 3
a + 5( ) = 5 a 0 = 5 a = 5 a + b = 5 =. Bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan x 8x 6 ada sebanyak a. 0 b. c. d. 3 Penyelesaian. x 8x 6 (x ) 0 Karena bilangan kuadrat lebih dari sama dengan 0, maka yang memenuhi hanyalah (x ) = 0 (x ) = 0 (x ) = 0 x = 0 (x )(x + ) = 0 x = atau x = Jadi, bilangan bulat x yang memenuhi ada sebanyak. 5. Rata-rata nilai ujian dari murid perempuan di suatu kelas adalah 8,5. Setelah nilai mereka digabung dengan 0 murid laki-laki yang nilai rata-ratanya adalah 7,5 maka nilai rata-rata kelas itu sekarang adalah 8,0. Banyaknya murid perempuan dalam kelas itu ada orang a. 0 b. 5 c. 0 d. 5 Penyelesaian : 8,0 = 8,5x + 7,5.0 x + 0 8x + 60 = 8,5x + 50 0 = 0,5x x = 0
6. Rataan dari p, q + 3, r + 5 dan s adalah 5. Rataan dari dari p +, q 6, r + 8 dan s 3 adalah a. b.,8 c. 5 d. 5,7 (p ) + (q + 3) + (r + 5) + (s ) = 5 p + q + r + s + 5 = 0 p + q + r + s = 5 (p + ) + (q 6) + (r + 8) + (s 3) = p + q + r + s + = 5 + = 6 = 7. Berapakah nilai a jika diketahui a > 0 dan a. 6 b. c. 36 d. 8 + + =? log a log 3 a log 6 a log a + log 3 a + log 6 a = log a + log a 3 + log a 6 = log a ( 3 6) = log a 36 = a = 36 a = 6 8. Nilai dari (6 log 6 07 ) 3 = a. 6 3 b. 07 c. 07 3 d. 6 07 5
(6 log 6 07 ) 3 = ((6 3 ) log 6 07 ) 3 = (6 3 log 6 07 ) 3 = 6 3 log 6 07 3 = 6 log 6 07 = 07 9. Jika diketahui (cd ) (c d) (d )(c ) a. b. c. 3 d. Gunakan rumus a b = (a + b)(a b) (cd ) (c d) (d = 5 )(c ) (cd + c d)(cd c + d) = 5 (d )(d + )(c ) (cd + c d)(cd c + d) = 5 (d )(cd + c d) cd c + d = 5(d ) cd c + d 5d + 5 = 0 cd c d + = 0 c(d ) (d ) = 0 (c )(d ) = 0 c = atau d = = 5 maka berapakah nilai d? 30. Diketahui x x = 0, maka berapakah salah satu nilai dari x + x? a. 8 b. 6 c. 0 d. x x = 0 (x ) 3 = 0 (x ) = 3 x = ± 3 x. = ± 3 (x ) = + 3 + 3 = + 3 (x ) = + 3 3 = 3 Untuk x = x maka 6
x + x = + 3 + + 3 x + x = + 3 + + 3 3 3 x + ( 3) = + 3 + x 6 x + = + 3 + 3 = 8 x 7