3 3 DATA BERPASANGAN & PERSAMAAN GARIS LURUS 1. GARIS RESISTEN 2. PROSES ITERASI DALAM GARIS RESISTEN D10F-3003 / 4 (3-1) SKS ADE (Analisis Data Eksplorasi) Tim Teaching ADE
DATA BERPASANGAN & PERSAMAAN GARIS LURUS Berbagai metode telah dikembangkan untuk menjelaskan hubungan antara dua peubah Y dan X melalui persamaan garis lurus: Persoalan ini muncul bila kita memiliki data berpasangan (x i,y i ) yang merupakan hasil pengamatan terhadap dua ciri sekaligus. Perubahan yang terjadi pada Y sehubungan dengan berubahnya nilai X menjadi inti persoalan dalam banyak masalah penelitian. Page 2
DATA BERPASANGAN & PERSAMAAN GARIS LURUS Untuk X yang bersifat kategori (nominal atau ordinal), perbedaan karakteristik Y dapat dilihat melalui box-plot. Untuk X berupa hasil pengukuran dan bersifat kontinu, kita dapat merumuskan pola hubungan Y dan X secara lebih kuantitatif dalam bentuk persamaan garis, sehingga dapat dilihat besarnya perubahan Y untuk setiap perubahan nilai X. Bahkan dengan adanya persamaan garis dapat dilakukan interpolasi atau menduga nilai Y untuk X tertentu yang tidak diamati tetapi masih berada dalam selang X yang diteliti. Page 3
DATA BERPASANGAN & PERSAMAAN GARIS LURUS Langkah awal dalam penelusuran pola hubungan Y dengan X adalah melalui scatter plot (x i,y i ). Beberapa kemungkinan tampilan yang nampak: Titik-titik memencar di sekitar garis lurus tertentu, Titik-titik berpencar mengikuti suatu kurva, Titik-titik berpencar tak beraturan Sebagian besar dari titik-titik membentuk pola garis atau kurva, dengan beberapa penyimpangan dari pola utamanya. Page 4
DATA BERPASANGAN & PERSAMAAN GARIS LURUS Jika berdasarkan pencaran titik terlihat adanya suatu pola garis lurus tertentu, pertanyaan yang muncul adalah: APAKAH BENAR POLA TERSEBUT MERUPAKAN GARIS LURUS? Untuk memeriksa apakah pola tersebut lurus atau lengkung, diperlukan paling sedikit i tiga titik ii yang dapat mewakili seluruh titik-titik yang ada. Dengan menghubungkan ketiga titik tersebut dengan dua penggalan garis, masing-masing menghubungkan dua titik yang berdekatan, pola garis lurus itu dapat diperiksa. Page 5
DATA BERPASANGAN & PERSAMAAN GARIS LURUS Pemeriksaan: Jika rasio koefisien b kedua penggalan garis tersebut, sangat jauh dari nilai 1, maka hal tsb. menunjukkan adanya pola lengkung. Jika semua titik-titik (x i,yy i ) mengumpul di sekitar garis lurus, maka perhitungan koefisien a dan b dapat dilakukan dengan Metode Kuadrat Terkecil (Draper dan Smith, 1981) yang merupakan metode baku dalam analisis regresi Teknik eksplorasi data sangat berguna sebagai pendahulu bagi analisis regresi terutama dalam keadaan beberapa pengamatan berada di luar pola utamanya atau kelurusannya tidak terlalu jelas terlihat di dalam scatter plot nya. Page 6
GARIS RESISTEN Pembahasan pola hubungan antara Y dan X disini, lebih mentikberatkan pada bentuk dan arti hubungan itu sendiri. Prosedur perhitungan yang ditempuh adalah sbb. : 1. Urutkan data (x i,y i ) menurut besarnya nilai X. 2. Bagilah kumpulan pasangan (x i,y i ) yang telah diurutkan menjadi tiga bagian yang kurang lebih sama banyaknya, sehingga membentuk kelompok B (bawah), T (tengah) dan A (atas). Aturan sederhana untuk pembagiannya adalah sbb: Page 7
GARIS RESISTEN Aturan pembagian 1/3 data: Pertigaan atas dan bawah masing-masing harus mengandung paling banyak sepertiga dari seluruh titik. Pertigaan atas dan bawah masing-masing harus mempunyai rentang kurang dari setengah rentang keseluruhan X. Bila ada beberapab titik yang sama harganya, maka titik-titik tersebut harus dimasukkan ke dalam kelompok yang sama. Selama masih memenuhi ketiga aturan di atas, masukkan sebanyak mungkin titik-titik pada pertigaan atas dan bawah (karena kedua bagian ini merupakan bagian terpenting). ti Page 8
GARIS RESISTEN 3. Carilah titik yang mewakili setiap kelompok (gunakan Me), sehingga nilai Me X dan Me Y dari masing-masing g kelompok sebagai koordinat titik-titik tersebut, yaitu : (x B,y B ), (x T,y T ) dan (x A,y A ). Titik-titik ini belum tentu berupa titik pengamatan, karena penentuan median X dan Y dilakukan secara terpisah. 4. Hitung koefisien b berdasarkan dua titik yang mewakili bagian A dan B, sehingga mencerminkan rentang nilai X yang paling besar, melalui: 5. Hitung koefisien a, sehingga diharapkan garis tersebut melalui titik (x T,y T ), yaitu melalui perumusan sbb: Page 9
GARIS RESISTEN Akan tetapi untuk menghindari nila a terlalu dipengaruhi oleh nilai pengamatan dalam kelompok T, maka digunakan ketiga titik sebagai patokan, dan nilai a ditentukan sebagai rata-rata dari ketiganya, sehingga didapat : a B = y B b x B a T = y T bx T a A = y A bx A, Selanjutnya menghasilkan : a =(a B + a T + a A )/3 Adapun persamaan taksiran regresinya adalah : Ŷ = a + bx Persamaan garis yang didapat dengan cara di atas, disebut GARIS RESISTEN (Tukey, 1977). Page 10
CONTOH Data berikut menunjukkan Berat Badan (kg) dan Lingkar Dada (cm) kerbau jantan yang tidak dikebiri pada saat gigi seri belum ada, yang telah diteliti oleh Putra (1985) dalam tesis S2 di Fak. Pasca Sarjana IPB. Data dalam Tabel 1. ini telah disusun berdasarkan Lingkar Dada, sehingga membentuk tiga kelompok, yaitu kelompok B (bawah), T (tengah) dan A (atas). Page 11
CONTOH Tabel 1. Berat Badan (Y) dan Lingkar Dada (X) kerbau jantan yang tidak dikebiri (gigi seri belum ada) Kelompok B T A X Y X Y X Y 149 245 161 260 169 350 150 200 161 275 169 335 153 200 162 295 170 345 154 200 163 310 170 335 155 265 164 280 170 340 156 220 164 330 170 320 156 265 165 330 172 345 156 225 166 300 173 350 157 265 167 325 175 325 158 270 168 295 175 340 159 255 168 305 176 365 160 275 168 300 176 345 160 305 168 315 177 360 160 290 Median X 156 165 172 Median Y 260 300 345 Page 12
PLOT DATA TABEL 1. 400 300 BERAT BADAN 200 100 140 150 160 170 180 LINGKAR DADA Page 13
INTERPRETASI Berdasarkan pencaran titik pada Gambar 1, nampak adanya suatu pola garis lurus tertentu Dengan tahapan untuk memperoleh garis resisten, didapat koefisien b adalah sbb. : b = (345 260) / (172 156) = 5,3 a = [ (260+300+345) 5,3 (156+165+172) ] / 3 = 569,3 Sehingga persamaan garis resisten yang diperoleh adalah sbb: Ŷ = 569,3 + 5,3 X Page 14
GARIS RESISTEN Untuk pemeriksaan kelengkungan garis, dapat dilihat dari rasio kelengkungan dua penggalan garis berikut: Penggalan garis sebelah kiri (yang menghubungkan titik B dengan T) adalah : b B = 40/9 = 4,4 Penggalan garis sebelah kanan (yang menghubungkan titik T dengan A) adalah : b A = 45/7 = 6,4 Rasio kelengkungan = b A /b B = 1,45. Nilai rasio ini tidak memberikan indikasi cukup kuat akan adanya kelengkungan, g hal ini dapat pula dilihat dari scatter plot pada Gambar 1. Page 15
GARIS RESISTEN Selanjutnya masihkah perlu untuk memeriksa ketepatan model tersebut terhadap data yang dimiliki? Proses ini dapat pula diartikan sebagai cara penguraian komponen data menjadi : Data = dugaan + residu, atau Y i = (a + bx i ) + (Y i a bx i ) Ketepatan model disini sangat dipengaruhi oleh asumsi keaditifan dan komponen taksirannya merupakan persamaan garis lurus. Page 16
GARIS RESISTEN Komponen residu (Y Ŷ) dapat digunakan untuk memeriksa berbagai ketidakcocokan antara data dengan model, melalui antara lain : 1. Plot antara sisa dengan X atau dengan nilai taksiran, untuk memeriksa apakah keseluruhan keragaman Y telah dapat diterangkan oleh keragaman X, atau untuk memeriksa apakah rentang penyebaran residu dipengaruhi oleh besarnya nilai dugaan? (Keheterogenan Varians). 2. Diagram dahan-daun atau box-plot dari nilai residu dapat digunakan untuk memeriksa kesimetrikan bentuk sebarannya, yang akan diperlukan dalam tahap konfirmasi model atau uji hipotesis dalam analisis statistika parametrik. Page 17
GARIS RESISTEN Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam plot antara residu dengan nilai taksiran atau dengan peubah X adalah : 1. Adanya beberapa nilai residu yang relatif besar dibandingkan dengan yang lainnya. 2. Adanya bentuk kurva antara residu terhadap taksiran Y atau terhadap X, dan 3. Adanya kecenderungan bahwa residu membesar sehubungan dengan nilai taksiran atau dengan peubah X. Jika model yang dipakai sudah tepat, maka pola keragaman Y dapat diterangkan sepenuhnya oleh keragaman X dan sisanya sudah tidak memiliki pola hubungan lagi dengan X. Page 18
PROSES ITERASI DLM GARIS RESISTEN Persamaan garis resisten yang didapat melalui prosedur di atas, memiliki kelemahan dalam penaksiran koefisien a dan b. Kedua nilai ini sering kali bukan taksiran yang paling cocok. Kekurangan ini dapat diperbaiki dengan melakukan iterasi. Proses iterasi melibatkan nilai residu, karena dalam komponen ini masih tersisa informasi yang dapat digunakan untuk memperbaiki nilai taksiran a dan b. Page 19
PROSES ITERASI DLM GARIS RESISTEN Proses iterasi dapat dilakukan sebagai berikut : Tahap pertama : Setelah mendapatkan nilai residu atau r i = Y i Ŷ i, susun pasangan data baru berupa (x i,r i ) dan kembali lakukan penaksiran garis. Jika nilai b nya nol, atau relative kecil sekali, maka proses inii selesai, artinya nilai i taksiran a dan b pada tahap pertama sudah cukup tepat. Dalam prakteknya sering ditemukan bahwa taksiran a dan b yang berasal dari pasangan (x i,r i ) tidak sama dengan nol, meskipun kemungkinan besar memiliki nilai yang lebih kecil dari nilai taksiran sebelumnya. Seandainya pada tahap awal didapat penaksir a 1 + b 1 X,dengang residu r (1) = Y a 1 b 1 X. Berdasarkan pasangan baru (x,r (1 )) kemudian didapatkan a 1 danb 1, sehingga nilai taksiran yang sudah diperbaiki menjadi : a 2 = a 1 + a 1 dan b 2 = b 1 + b 1 Page 20
PROSES ITERASI DLM GARIS RESISTEN Tahap kedua : Didapat nilai taksiran beserta residunya, sbb. : Ŷ (2) = a 2 + b 2 X dan r (2) = Y Ŷ (2) yang menghasilkan pasangan baru (x, r (2) ) yang dapat dipergunakan untuk proses iterasi selanjutnya. Akan tetapit untuk beberapab kasus tertentu, t t perubahan nilai i tersebut dapat berjalan sangat lambat sekali, atau berfluktuasi karena nilai b selalu berganti tanda dengan besaran yang kurang lebih sama. Page 21
PROSES ITERASI DLM GARIS RESISTEN Untuk mengatasi hal tersebut, diperlukan penyesuaian, yaitu setelah mendapatkan b 2, maka : b 3 = b 2 b 2 [ ( b 2 b 1 ) / ( b 2 b 1 ) ] atau secara umum b n+1 = b n b n [ ( b n b n-1 ) / ( b n b n-1 ) ] Proses iterasi ini dapat dihentikan jika nilai b n+1 sudah cukup kecil. Sebagai patokan, jika nilainya sudah lebih kecil dari 1% kali nilai b awal. Page 22
PROSES ITERASI DLM GARIS RESISTEN Lihat contoh yang lalu : Tahap I : Ŷ = 569,3 + 5,3 X Tahap II : Pasangkan (x,r (1 ) sehingga didapat : X r (1) 156 0,9 165 9,0 172 2,4 b 1 = 3,3 / 16 = 0,20 b 2 = 5,3 + 0,2 = 5,5 Page 23
PROSES ITERASI DLM GARIS RESISTEN Tahap III : r (2) = Y ( 569,3 + 5,5 X) sehingga didapat pasangan: X r (2) 156 32,7 165 41,2 172 32,2 2 b 2 = 0,5 / 16 = 0,03 (sudah < 1 % dari b awal ) b 3 = b 2 b 2 [ ( b 2 b 1 ) / ( b 2 b 1 ) ] = 5,5 + 0,03 = 5,53 Page 24
PROSES ITERASI DLM GARIS RESISTEN Tahap IV : r (3) = Y ( 569,3 + 5,53 X) sehingga didapat pasangan: X r (2) 156 32,7 165 41,2 172 32,22 Sehingga didapat model : Ŷ = 569,3 + 5,53 X + ( 37,47 46,03 37,39) / 3 Atau : Ŷ = 609,59 + 553 5,53 X Page 25