TUGAS FILSAFAT ILMU, ETIKA, SEJARAH MATEMATIKA PARADOKS ZENO

TUGAS FILSAFAT ILMU, ETIKA, SEJARAH MATEMATIKA PARADOKS ZENO Disusun oleh : Anisa Rahmawati 12/331118/PA/14455 Zainab Mursyidah 12/331194/PA/14492 Vivien Tiara Dewi 12/331291/PA/14568 Kholida Khoirunnisa 12/331359/PA/14622 Dia Primasari 12/331378/PA/14636 Sintya Sucofiana 12/334604/PA/14837 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA 2015

A. BIOGRAFI ZENO DARI ELEA Zeno adalah seorang filsuf Yunani yang diperkirakan lahir pada tahun 490 SM. Zeno merupakan anak dari Teleutogoras dan tinggal di Magna Graecia (Elea), Italy. Semasa mudanya Zeno merupakan murid sekaligus teman dari Parmenides dan tergabung dalam Eleatic School. Menurut catatan Plato, yang merupakan temannya pada masa itu, guna melindungi Parmenides dari para pengkritiknya, Zeno melalui ide-idenya membuat banyak sekali paradoks yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka di Yunani saat itu. Melalui paradoks tersebut, Zeno berusaha menyatakan bahwa semua gerak dan perubahan di dunia ini bersifat semu. Baik Zeno maupun Parmenides berpendapat bahwa alam semesta sebenarnya tunggal, diam dan seragam. Hanya tampak luarnya saja yang mengesankan perbedaan atau perubahan. Meskipun begitu, di masa kini hampir tidak ada karya asli Zeno dan Parmenides yang bertahan. Buku yang berisi 40 buah paradoks hilang dicuri orang. Hanya beberapa kutipan dari filsuf sepantaran mereka yang memberi petunjuk. Salah satu pendapatnya tertuang dalam buku Physic yang dicatat oleh Aristoteles. Melalui catatan tersebut, orang dapat membaca pemikiran Zeno. Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks ini menjadi sangat termasyhur karena terus mengganggu pemikiran para matematikawan dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks lomba lari Achilles dan kura-kura.

Di penghujung hayatnya, Zeno menghadapi permasalahan yang serius. Sekitar tahun 430 SM, Zeno bersekongkol untuk menggullingkan tirani Elea saat itu, yaitu Nearchus. Zeno membantu penyelundupan senjata dan mendukung pemberontakan. Namun Nearchus mengetahui skenario itu dan akhirnya Zeno ditangkap. Meskipun Zeno telah wafat, namun hasil dari pemikiran-pemikirannya membuahkan inspirasi pada konsep limit dan deret tak hingga. 1 B. PARADOKS ZENO TENTANG GERAK Pada buku Physics karya Aristoteles subbab 6.9, menyatakan bahwa Zeno mempunyai empat pendapat mengenai gerak yang sulit dipecahkan. Aristoteles mengungkapkannya dalam bentuk parafrase dan memberikan pandangannya sendiri. Pendapat-pendapat tersebut selanjutnya disebut Paradoks. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, Paradoks merupakan pernyataan yang seolah-olah bertentangan (berlawanan) dengan pendapat umum atau kebenaran tetapi kenyataannya mengandung kebenaran. 2 Berikut adalah keempat paradoks yang termuat dalam buku Physics 1. Paradoks Dikotomi (Dichotomy Paradox) There is no motion because that which is moved must arrive at the middle of its course before it arrives at the end. Physics, Aristoteles Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah mencapai tujuan. Pertamatama benda harus menempuh segmen setengah perjalanan. Lalu sesudah itu dia masih harus melewati banyak segmen: seperempat, seperdelapan, seperenambelas, sepertigapuluhdua dan seterusnya sedemikian hingga jumlah perjalanannya menjadi tak-hingga. 1 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/biographies/zeno_of_elea.html 2 http://kbbi.web.id/paradoks

Karena mustahil melakukan perjalanan sebanyak tak-hingga, maka benda takkan pernah sampai tujuan. 2. Paradoks Anak Panah (Paradox of Arrow) If, says Zeno, everything is either at rest or moving when it occupies a space equal to itself, while the object moved is in the instant, the moving arrow is unmoved. Physics, Aristoteles Misalnya kita membagi waktu sebagai deretan masa-kini. Kemudian kita lepaskan anak panah. Di setiap masa-kini anak panah menduduki posisi tertentu di udara. Oleh karena itu anak panah dapat dikatakan diam sepanjang waktu. 3. Paradoks Stadion (Stadium Paradox) concerning the two rows of bodies, each row being composed of an equal number of bodies of equal size, passing each other on a race-course as they proceed with equal velocity in opposite directions, the one row originally occupying the space between the goal and the middle point of the course and the other that between the middle point and the starting-post. This...involves the conclusion that half a given time is equal to double that time. Physics, Aristoteles

B dan C bergerak saling mendekati dengan kecepatan yang sama (hendak bersejajar dengan barisan A). Antara Sebelum dan Sesudah, titik C paling kiri melewati dua buah B, tetapi cuma satu buah A. Berarti waktu C untuk melewati B = setengah waktu untuk melewati A. Padahal A dan B adalah unit yang identik! Mungkinkah setengah waktu = satu waktu? 4. Paradoks Lomba Lari Achilles dan Kura-kura... the slower when running will never be overtaken by the quicker; for that which is pursuing must first reach the point from which that which is fleeing started, so that the slower must necessarily always be some distance ahead. Paradoks Zeno dalam buku Physics karya Aristoteles Achilles (Pahlawan Yunani dalam Perang Troja/Trojan War) dan kurakura akan berlomba lari. Achilles dapat berlari dengan kecepatan 10 meter per detik, sedangkan kura-kura hanya mampu berlari 1 meter per detik.

Achilles selain manusia perkasa juga sportif berbaik hati memberikan keuntungan start bagi sang kura-kura 10 meter di depannya. Tidak masalah, mungkin begitu pikir Achilles. Jadi, siapa yang menang? Kura-kura memulai start 10 meter di depan Achilles. Keduanya lalu mulai berlari. - Setelah satu detik, Achilles telah mencapai tempat di mana kura-kura memulai start-nya. Sedangkan sang kura-kura sudah berlari 1 meter di depan. - Achilles berlari lagi dan berhasil mencapai tempat kura-kura berada tadi. Sedangkan sang kura-kura telah berlari 0.1 meter di depan. - Achilles masih dengan semangat berlari lagi untuk meraih selisih 0.1 meter ini. Di saat yang bersamaan, sang kura-kura telah berlari 0.01 meter di depan. Hal ini berlangsung terus-menerus. Setiap kali Achilles berhasil mencapai tempat di mana kura-kura berada beberapa saat yang lalu, sang kura-kura lagi-lagi telah menempuh sedikit jarak dan tetap berada di depan Achilles. Pada makalah ini, paradoks lomba lari akan dibahas lebih lanjut. Sedangkan ketiga paradoks lainnya secara analog memiliki penyelesaian seperti paradoks lomba lari. Selanjutnya dalam makalah ini, paradoks lomba lari ini disebut Paradoks Zeno. C. PENYELESAIAN PARADOKS ZENO Berikut adalah beberapa variasi penyelesaian paradox Zeno. Semua penyelesaian di bawah ini ditemukan setelah Zeno wafat. Dasar penyelesaian ini adalah penyelesaian dengan deret tak hingga oleh Augustin-Loius Cauchy (dibahas pada poin ketiga). Sedangkan dua penyelesaian lainnya yang akan dibahas, merupakan variasi penyelesaian. 1. Penyelesaian dengan Mempertimbangkan Finish Dahulu, Zeno memiliki kesulitan tentang notasi dan simbol matematika karena pada jamannya notasi dan simbol matematika belum berkembang dan hanya tersedia bahasa saja. Berbeda dengan sekarang yang

notasi dan simbol matematika sudah sangat berkembang. Maka, untuk menyelesaikan paradoks Zeno ini, kita akan memanfaatkan notasi aljabar sederhana. Perhatikan gambar berikut. Finish 10 meter Karena titik start kura-kura berada pada 10 meter didepan achilles, maka jika finish di 10 meter, kura-kura langsung menang bahkan sebelum kurakura bergerak. Finish 11 meter Achilles berlari dengan kecepatan 10 m/s dan kura-kura bergerak dengan kecepatan 1 m/s, maka pada detik pertama, Achilles menempuh jarak 10

meter, sedangkan kura-kura telah menempuh jarak 11 meter. Jadi, kurakura menang karena mencapai finish terlebih dahulu dengan waktu 1 detik. Finish 12 meter Dengan kecepatan 1 m/s, untuk mencapai finish 12 meter, kura-kura membutuhkan waktu 2 detik, padahal dengan waktu 2 detik, Achilles telah menempuh 20 meter. Jadi sebelum kura-kura menempuh jarak 12 meter, Achilles telah menyalip kura-kura. Finish lebih dari 12 meter Untuk finish yang lebih dari 12 meter, Achilles akan terus menang karena selalu dapat mencapai finish terlebih dahulu.

Lalu, bagaimana proses Achilles menyalip kura-kura? Achilles akan menyusul kura-kura saat Achilles menempuh jarak yang sama dengan jarak yang ditempuh kura-kura. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut. Jarak tempuh Achilles = jarak tempuh kura kura 10. t = 10 + 1. t 9. t = 10 t = 10 9 (detik) Jadi pada saat t = 10 9 detik Achilles berhasil menyusul kura-kura. Jarak tempuh Achilles = 10 10 = 100 9 9 Jarak tempuh kura-kura = 10 + 1 10 = 100 9 9 11,111 meter. meter = 11,111 meter. meter = Jadi, Achilles mulai menyalip kura-kura pada jarak 11,111 meter. Dengan demikian, untuk jarak finish yang kurang dari 11,111 meter, maka kura-kura akan menang. Akan tetapi, untuk jarak finish yang lebih dari 11,111 meter, maka Achilles lah yang akan selalu menang. 2. Penyelesaian dengan Konsep Himpunan Didefinisikan himpunan (interval waktu) : A = {t 0 t < 10 9 } B = {t t = 10 9 } C = {t t > 10 9 } Jelas bahwa ketiga interval waktu di atas saling asing. Selanjutnya, dengan hitungan aljabar sederhana, dapat dihitung jarak tempuh kura-kura dan Achilles, yaitu Jarak tempuh kura-kura : 10 + t

Jarak tempuh Achilles : 10t Selisih jarak tempuh (s(t)) : (10 + t) 10t = 10 9t Perhatikan bahwa interval waktu di atas menunjukkan selisih jarak tempuh yang berbeda. a. Untuk t A, 0 t < 10 9 0 9t < 10 10 9t > 0 s(t) > 0 Selisih jarak tempuh bernilai positif. Artinya, jarak yang ditempuh kurakura lebih jauh daripada jarak yang ditempuh Achilles, sehingga kura-kura menang. b. Untuk t B, t = 10 9 s(t) = 10 9t = 10 (9 10 ) = 10 10 = 0 9 Selisih jarak tempuh bernilai nol. Artinya, keduanya seri. c. Untuk t C, t > 10 9 9t > 10 10 9t < 0 s(t) < 0 Selisih jarak tempuh bernilai negatif. Artinya, jarak yang ditempuh kurakura lebih pendek daripada jarak yang ditempuh Achilles, sehingga Achilles menang. Zeno mengatakan bahwa setiap Achilles mendekati kura-kura, maka kura-kura telah melangkah sedikit ke depan, sehingga kura-kura menang. Hal ini bernilai benar untuk interval waktu A. Sedangkan dalam intuisi kita, mengatakan bahwa Achilles pada akhirnya akan menang. Hal ini benar untuk interval waktu C. Kedua kondisi pada interval waktu A maupun pada

interval waktu C sama sama bernilai benar, namun bertentangan sehingga memunculkan paradoks Zeno. Mengingat interval waktu A dan interval waktu C saling asing, maka A C =. Tidak mungkin ada kejadian yang terjadi pada interval waktu yang berupa himpunan kosong. Artinya, tidak mungkin kura-kura dan Achilles sekaligus kedua-duanya menang. Jadi, paradoks Zeno ini muncul karena menganggap ada kejadian yang dapat terjadi pada interval waktu yang berupa himpunan kosong. Dengan demikian, solusinya adalah kura-kura menang pada interval waktu A dan Achilles menang pada interval waktu C. 3. Penyelesaian dengan Limit Tak Hingga Pandangan Zeno terhadap cerita di atas adalah bahwa setiap kali Achilles mencapai tempat siput, maka siput sudah maju sedikit lebih di depan Achilles. Menurut Zeno pula hal tersebut akan berlaku untuk waktu yang tak terhingga, karena 1 + 0,1 + 0,001 + akan menuju tak hingga. Hal tersebut terjadi karena pada zaman tersebut belum mengenal adanya konsep deret tak hingga. Paradoks tersebut masih meresahkan para matematikawan sampai 2000 tahun. Hingga akhirnya pada abad ke-19 ahli matematika dunia bernama Augustin-Louis Cauchy dapat menyelesaikan paradoks Zeno dengan sangat memuaskan. Cauchy menemukan solusi dengan deret tak hingga. adalah, Dihitung dari titik awal, maka jarak yang ditempuh oleh kura-kura 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + = S k (1) Kalikan kedua ruas dengan 0,1 maka diperoleh 0,1(10 + 1 + 0,1 + 0,01 +... ) = 0,1 S k 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + = 0,1 S k (2) Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1), sehingga hasilnya menjadi 10 = S k 0,1 S k = 0,9 S k atau S k = 10 0,9 = 100 9 meter

Sementara itu, jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + = S A Dengan cara yang sama diperoleh jarak yang ditempuh Achilles adalah, S A = 100 9 meter Karena jarak Achilles pada akhirnya sama dengan jarak yang ditempuh oleh kura-kura maka Achilles berhasil menyamai kura-kura pada jarak S k = S A = 100 9 meter Permasalahan selanjutnya adalah apakah Achilles memiliki cukup waktu untuk berada di depan kura-kura. Perhatikan kembali bahwa Achilles membutuhkan waktu 1 detik untuk mencapai 10 meter, 0,1 detik untuk 1 meter, 0,001 detik untuk 0,1 meter, dan seterusnya. Menurut anggapan Zeno, karena perubahan waktu tersebut akan memberikan perubahan posisi pada kura-kura untuk tetap berada depan Achilles. Hal tersebut akan terjadi untuk waktu yang tak hingga. Akan tetapi perhatikan deret berikut: t A = 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + (3) Kalikan kedua ruas dengan 0,1 maka diperoleh, 0,1 t A = 0,1 + 0,01 + 0,001 + (4) Dengan mengurangi persamaan (3) dengan persamaan (4) diperoleh: t A 0,1 t A = 1 0,9 t A = 1 t A = 1 0,9 = 10 9 Artinya bahwa Achilles mampu menyamai kedudukan kura-kura dalam waktu yang singkat, yaitu 10 detik atau 1,111 detik (merupakan bilangan yang berhingga). 9 Dari pembuktian dengan menggukan deret tak hingga tersebut, terlihat bahwa Achilles mampu menyamai kedudukan kura-kura pada jarak 100 9 meter dari garis start, dan akan berada di depan kura-kura pada jarak selanjutnya. Waktu yang dibutuhkan Achilles pun tidak banyak, yaitu sekurang-kurangnya 1,111 detik untuk berada di depan kura-kura.

D. PENGARUH PARADOKS ZENO TERHADAP MATEMATIKA Keberadaan paradoks Zeno yang meresahkan para filsuf dan matematikawan membuat mereka bertanya-tanya bagaimana cara membuktikan kebenarannya. Selama berabad-abad mereka berusahan melakukan berbagai pendekatan hingga terbentuknya deret menuju tak hingga. Perkembangan tentang matematika yang cukup pesat menjadikan paradoks Zeno ini sebagai cikal bakal konsep limit menuju tak hingga. E. KESIMPULAN Paradoks Zeno terpecahkan karena dua nilai yang saling bertentangan akhirnya dapat dibuktikan bahwa masing-masing nilai tersebut benar dengan syarat tertentu. Dan melalui paradoksnya, Zeno mampu merangsang otak-otak kreatif matematikawan setelah zamannya sehingga memberi warna pada sejarah perkembangan matematika. F. DAFTAR PUSTAKA http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/biographies/zeno_of_elea.html diakses pada 3 Maret 2015 pukul 15.00 WIB http://m.kaskus.co.id/thread/5365cb306607e7b5098b4665/paradoks-zenoparadoks-yang-tidak-terselesaikan-selama-ribuan-tahun/ diakses pada 23 Februari 2015 https://zenosphere.wordpress.com/2011/01/28/empat-paradoks-zeno/ diakses pada 4 Maret 2015 pukul 11.30 WIB http://kbbi.web.id/paradoks diakses pada 22 Maret 2015 pukul 11.48 WIB