177 LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Memahami relasi dan fungsi C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat mendeskripsikan pengertian relasi dengan menggunakan kata-kata sendiri dan memberikan contohnya 2. Siswa dapat menyatakan relasi dalam bentuk diagram panah, diagram kartesius dan himpunan pasangan berurutan. 3. Siswa dapat menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi RELASI A. Pengertian Relasi Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Jika diketahui himpunan A = {Eko, Rina, Tono, Dika}; B = {Merah, Hitam, Biru}, maka relasi "suka dengan warna" himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus. B. Menyatakan Relasi dari himpunan A ke Himpunan B 1. Diagram panah Cara menyatakan relasi yang paling sederhana adalah dengan diagram panah. Misalkan A dan B masing-masing adalah himpunan. Untuk menyatakan relasi himpunan Adan B digunakan tanda panah ( ).
178 Misalkan diketahui himpunan A = {Eko, Rina, Tono, Dika}; B = {Merah, Hitam, Biru}, maka relasi "suka dengan warna" himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah seperti dibawah ini A B Eko Rina Tono Dika Merah Hitam Biru 2. Diagram Cartesius Cara menyatakan relasi yang kedua adalah degan diagram Cartesius. Diagram Cartesius biasanya dinyatakan dengan sumbu-x dan sumbu-y. Disini sumbu-x dan sumbu-y tidak dinyatakan atau ditulis, tetapi digantikan dengan nama himpunan-himpunan berelasi. Misalkan diketahui himpunan A = {Eko, Rina, Tono, Dika}; B = {Merah, Hitam, Biru}, maka relasi "suka dengan warna" himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram cartesius seperti dibawah ini 3. Himpunan pasangan berurutan Cara menyatakan relasi berikutnya adalah dengan cara pasangan berurutan, yaitu suatu pasangan berurutan dari dua buah elemen.
179 Misalkan diketahui himpunan A = {Eko, Rina, Tono, Dika}; B = {Merah, Hitam, Biru}, maka relasi "suka dengan warna" himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam himpunan pasangan berurutan seperti dibawah ini R = {(Eko, Merah), (Rina, Hitam), (Tono, Merah), (Dika, Biru)} C. Contoh masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi Dikelas 8 SMP belajar matematika terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran tertentu. berikut ke-4 anak tersebut : a. Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian b. Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga c. Vita menyukai pelajaran IPA, dan d. Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa ingris Buatlah relasi dari soal diatas dan disajikan menggunakan diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Jawab: Untuk mempermudah menjawab persoalan diatas gunakanlah permisalan seperti : Himpunan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, Himpunan B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan pelajaran yang disukai adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke B. 1. Diagram panah
180 2. Diagram cartesius 3. Pasangan Berurutan Himpunan pasangan berurutan dari soal diatas adalah : {(Buyung, IPS), (Buyung. Kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}
181 BAHAN AJAR II A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Memahami relasi dan fungsi C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat mendeskripsikan pengertian fungsi dengan menggunakan kata-kata sendiri 2. Siswa dapat memberikan contoh fungsi dan bukan fungsi. 3. Siswa dapat menentukan daerah domain, kodomain dan range dengan tepat. 4. Siswa dapat menyatakan fungsi dalam bentuk diagram panah, diagram cartesius dan himpunan pasangan berurutan. FUNGSI A. Fungsi a. Pengertian fungsi Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B dengan ketentuan setiap anggota himpunan A hanya dipasangkan tepat dengan satu anggota himpunan B dan semua anggota di A harus memiliki pasangan di B. Keterangan : Mengaitkan setiap anggota A artinya setiap anggota A harus mempunyai pasangan, dan ke tepat satu anggota B artinya setiap anggota A tidak boleh bercabang (mempunyai lebih dari satu pasangan). Pada pemetaan f:5 x, jika daerah asalnya { 3, 2, 1, 0. 1, 2, 3, 4}, maka daerah hasilnya adalah a. { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b. { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} d. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Pembahasan : f( 3) = 5 ( 3) = 8 f(1) = 5 1 = 4
182 f( 2) = 5 ( 2) = 7 f(2) = 5 2 = 3 f( 1) = 5 ( 1) = 6 f(3) = 5 3 = 2 f(0) = 5 0 = 5 f(4) = 5 4 = 1 Daerah Hasilnya = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b. Contoh fungsi dan bukan fungsi Perhatikan keempat gambar di atas : Gambar 1 : bukan fungsi karena anggota ada A yang tidak punya pasangan Gambar 2 : fungsi Gambar 3 : bukan fungsi karena anggota ada A yang mempunyai lebih dari satu pasang. Gambar 4 : fungsi Fungsi dari himpunan A ke B ditulis f: A B Himpunan A adalah himpunan dari Prapeta, dan himpunan B adalah himpunan Peta atau Bayangan. Sedangkan fungsi pada himpunan bilangan real, bisa ditulis Contoh : 1. Diagram di bawah ini bukan merupakan fungsi karena ada elemen A yang dipasangkan tidak secara tunggal dengan elemen pada B.
183 c. Menentukan domain, kodomain, dan range daru suatu fungsi Fungsi f: A B adalah fungsi dengan daerah asal himpunan A dan daerah kawan B. Daerah hasil tidak harus sama dengan himpunan B. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dengan gambar di bawah ini Pada gambar di samping : 1. A adalah daerah asal (Domain dari fungsi f) ditulis Df 2. B adalah daerah kawan (Kodomain dari fungsi f ) ditulis Kf 3. C adalah daerah hasil (Range dari fungsi f ) ditulis Rf 4. Daerah asal alami dari f(x) adalah daerah asal pada bilangan real dimana f(x) terdefinisi Contoh: 1. Diketahui: A={ 3, 2, 1,0,1,2,3}, B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dan f: A B. Jika f:x x 2, maka tentukan: a. Domain b. Kodomain c. Range Jawab: Untuk menjawab ketiga pertanyaan ini, akan lebih mudah kita gambar
184 diagram panahnya terlebih dahulu, a. Domain Domain dari fungsi f adalah A={ 3, 2, 1,0,1,2,3} b. Kodomain Kodomain dari fungsi f adalah B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} c. Range Range dari fungsi f adalah himpunan bagian dari Kodomain yang kena panah, Range = {0,1,4,9} B. Cara Menyatakan Fungsi Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Untuk memehami hal tersebut, perhatikan uraian berikut ini. Pengambilan data mengenai pelajaran yang disukai pada empat siswa kelas VIII diperoleh seperti table berikut: Nama siswa Buyung Doni Vita Putri Pelajaran yang disukai IPS, Kesenian Keterampilan, Olahraga IPA Matematika, Bahasa Inggris
185 Table diatas dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan seperti dibawah ini. Misalkan: A= {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B= (IPS, Kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan pelajaran yang disukai adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B. a. Diagram Panah Gambar Dibawah menunjukkan relasi yang disukai himpunan A ke himpunan B. arah panah menunjukkan anggota-anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota-anggita tertentu pada himpunan B. b. Diagram Cartesius Relasi antara himpunan A dan himpunan B dapat dinyatakan dengan diagram cartesius. Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B pada sumbu tegak. Setiap pasangan anggota himpunan Ayang berelasi dengananggota himpunan B dinyatakan dnegan titik atau noktah. Gambar dibawah ini menunjukkan diagram cartesius dari relasi pelajaran yang disukai dari data dari table diatas.
186 c. Dengan himpunan pasangan berurutan Himpunan pasangan berurutan dari data pada table diatas sebagai berikut: {(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}.
187 BAHAN AJAR III A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Menentukan nilai fungsi C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat menyatakan suatu fungsi dengan notasi 2. Siswa dapat menghitung nilai suatu fungsi NOTASI DAN NILAI FUNGSI A. Notasi dan Rumus Fungsi Suatu fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f, g, h, k, atau l. Jika x merupakan anggota himpunan A dan fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B, maka peta atau bayangan x oleh f dinotasikan dengan f (x). Perhatikan gambar berikut ini. Gambar di atas memperlihatkan fungsi himpunan A ke himpunan B berdasarkan aturan f :x 5x + 1 (dibaca: fungsi f memetakan x ke 5x + 1). x merupakan anggota daerah asal f dan 5x + 1 merupakan daerah hasilnya. Oleh karena itu, bayangan x oleh fungsi f adalah 5x + 1, dapat dituliskan dengan f(x) = 5x + 1. f (x) = 5x + 1 inilah yang merupakan rumus fungsi f
188 tersebut. Jadi, dapat kita simpulkan bahwa rumus umum fungsi f, dengan f : x ax + b, x anggota domain f adalah f (x) = ax + b. Contoh : 1. Diketahui fungsi f : x 3x + 1. Tentukan rumus fungsi tersebut. Penyelesaian : Berdasarkan aturan penulisan rumus fungsi, yaitu f : x ax + b dapat dituliskan dengan f (x) =ax + b, maka rumus fungsi dari fungsi f : x 3x + 1 adalah f (x) = 3x + 1. B. Menghitung Nilai Fungsi Untuk fungsi f : x ax + b, setiap nilai variabel x akan menghasilkan nilai y atau f(x). Nilai y atau f(x) bergantung pada nilai variabel x. 1. Variabel x disebut variabel bebas 2. Variabel y atau f(x) disebut variabel tergantung Jika diketahui rumus fungsi f(x), maka dapat ditentukan nilai fungsinya dengan cara mensubstitusikan nilai x pada rumus fungsi tersebut, yaitu dengan mengganti setiap x pada rumus fungsi dengan nilai x yang diketahui. Contoh : 1. Diketahui f(x) = 5x + 5. Tentukan nilai fungsi tersebut untuk x. Penyelesaian : Dengan mengganti setiap x pada rumus fungsi dengan nilai x yang diketahui, diperoleh: f (x) = 5x + 5 f(1) = 5(1) + 5 f(1) = 10 Jadi, nilai fungsi f(x) = 5x + 5 untuk x = 1 adalah 10. Nilai fungsi juga dapat dinyatakan dengan tabel fungsi. Tabel fungsi memuat anggota-anggota daerah asal (domain) dan bayangannya. Pada
189 tabel fungsi, dapat dilihat nilai variabel bebas yang mempengaruhi perubahan nilai fungsinya. Untuk memahaminya, perhatikan contoh berikut. Contoh : 2. Fungsi f(x) = 3x+ 1 mempunyai daerah asal {1, 2, 3}. Tentukan nilai fungsi tersebut dan nyatakan dalam tabel fungsi. Penyelesaian : Mula-mula, tentukan nilai fungsi masing-masing daerah asal. x = 1 f(1) = 3(1) + 1 = 4 x = 2 f(2) = 3(2) + 1 = 7 x = 3 f(3) = 3(3) + 1 = 10 Kemudian, buatlah tabel fungsi f dengan menuliskan anggota daerah asal pada baris pertama dan rumus fungsi yang memuat variabel pada baris selanjutnya. Kemudian, tuliskan penjumlahan atau pengurangan dengan konstanta, jika ada. Pada baris akhir tabel, tuliskan nilai fungsinya. Tabel fungsi dari fungsi f(x) = 3x+ 1 adalah sebagai berikut. Amati nilai fungsi yang diperoleh pada tabel di atas: a. Jika nilai x bertambah, dari x= 1 ke x = 2, maka nilai f(x) juga bertambah, dari 4 ke 7. b. Jika nilai x bertambah, dari x = 2 ke x = 3 maka nilai f(x) juga bertambah, dari 7 ke 10. Artinya, setiap penambahan satu nilai x memberikan penambahan 3 pada nilai f(x) tersebut.
190 BAHAN AJAR IV A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat cartesius C. Tujuan Pembelajaran Siswa dapat menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui NILAI FUNGSI A. Bentuk Fungsi Jika Nilai dan Data Fungsi Diketahui Jika nilai dan data fungsi diketahui, maka dapat ditentukan bentuk fungsi denga menggunakan rumus fungsi f : x ax + b. Contoh : 1. Diketahui f(1) = 4, f(2) = 7. Tentukan rumus fungsi tersebut jika fungsi f pada himpunan riil ditentukan oleh rumus f(x) = ax + b, dengan a dan b bilangan bulat. Penyelesaian : Diketahui: f(x) = ax + b Oleh karena f(1) = 4, maka f(1) = a(1) + b = 4 a + b = 4... (1) Oleh karena f(2) = 7, maka f(2) = a(2) + b = 7 2a + b = 7... (2) Dari persamaan (1), diperoleh: a + b = 4 a = 4 - b Subsitusikan nilai a ke persamaan (2), diperoleh: 2a + b = 7 2(4 - b) + b = 7
191 8-2b + b = 7 -b = -1 b = 1 Subsitusikan nilai b = 1 ke persamaan (1), diperoleh: a + b = 4 a + 1 = 4 a = 3 Diperoleh nilai a = 3 dan b = 1. Jadi, rumus fungsinya adalah f (x) = 3x + 1. B. Menghitung Nilai Perubahan Fungsi Jika Nilai Variabel Berubah Kalian telah mempelajari bahwa suatu fungsi mempunyai variabel dan untuk nilai variabel tertentu, kita dapat menghitung nilai fungsinya. Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akan menyebabkan perubahan pada nilai fungsinya. Misalkan fungsi ditentukan oleh dengan domain. Nilai fungsi dari variabel adalah : Jika variabel x diubah menjadi maka kita harus menetukan nilai dari fungsi. Untuk menentukan nilai terlebih dahulu kalian harus menentukan variabel baru sebagai berikut.
192 Setelah kalian menentukan nilai-nilai variabel baru, yaitu = 2, 3, 4, 5, 6, tentukan nilai-nilai berdasarkan pemetaan Dengan demikian, diperoleh Nilai perubahan fungsi dari menjadi yaitu selisih antara dan, dituliskan. Untuk menentukan nilai perubahan fungsi dapat dinyatakan seperti table berikut. -1 0 1 2 3-2 3 8 13 18 2 3 4 5 6 13 18 23 28 33 15 15 15 15 15 Berdasarkan tabel di atas tampak bahwa untuk semua nilai domain, nilai perubahan. Cara lain utuk menentukan nilai perubahan fungsi sebagai berikut. Tentukan terlebih dahulu fungsi. Diketahui maka:
193 Nilai perubahan fungsi dari menjadi adalah selisih antara dan sebagai berikut:
194 BAHAN AJAR V A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat cartesius C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi 2. Siswa dapat menggambar grafik fungsi pada koordinat cartesius A. Grafik Fungsi 1. Tabel Fungsi GRAFIK FUNGSI Kalian dapat membuat tabel dari suatu fungsi. Tabel fungsi dibuat untuk lebih mempermudah melihat hubungan antara domain dan hasil fungsi, misalnya f(x) = x + 1 dengan domain x = 1, 2, 3, 4, 5. Tabel fungsi dapat dibuat dengan menentukan nilai-nilai fungsi terlebih dahulu. Untuk x = 1 nilai fungsi adalah f(1) = 1 + 1 = 2 Untuk x = 2 nilai fungsi adalah f(2) = 2 + 1 = 3 Untuk x = 3 nilai fungsi adalah f(3) = 3 + 1 = 4 Untuk x = 4 nilai fungsi adalah f(4) = 4 + 1 = 5 Untuk x = 5 nilai fungsi adalah f(5) = 5 + 1 = 6 Nilai x dan nilai fungsi x dapat dibuat dalam tabel sebagai berikut. Contoh: 1. Buatlah tabel fungsi dari f(x): x x +2 untuk x = {1, 2, 3, 4, 5}. Penyelesaian: Tabel fungsi f(x): x x +2 untuk x = {1, 2, 3, 4, 5}, yaitu sebagai berikut. 1 2 3 4 5 3 4 5 6 7
195 2. Grafik Fungsi Suatu pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke B dapat dibuat grafik pemetaannya. Grafik suatu pemetaan (fungsi) adalah bentuk diagram cartesius dari pemetaan (fungsi). Contoh: 1. Gambarlah grafik fungsi dengan domain a. bilangan bulat} b. bilangan real} penyelesaian : untuk memudahkan menggambar grafik fungsi, buat terlebih dahulu table yang memenuhi fungsi tersebut, sehingga diperoleh koordinat titik-titik yang memenuhi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (0,3) (1,4) (2,5) (3,6) (4,7) (5,8) (6,9) (7,10) (8,11) a. grafik fungsi, untuk bilangan bulat} Berdasarkan grafik diatas, tampak bahwa grafik fungsi dengan, berupa titik-titik (noktah) saja.
196 b. grafik fungsi, untuk bilangan real} 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 Pada gambar garfik diatas, tampak grafik fungsi dengan bilangan real}. Titik-tiik yang ada dihubungkan hingga membentuk kurva/garis lurus.