Proyeksi Stereografi Proyeksi Stereografi Proyeksi Stereografi merupakan salah satu aplikasi dalam geometri yang bisa diartikan sebagai sebuah pemetaan khusus (fungsi) yang memproyeksikan sebuah bola (sphere) kedalam sebuah bidang (plane). Pendahuluan Proyeksi stereografi senggunakan setengah bola. Oleh karena itu proyeksi dapat diaplikasikan pada belahan bola sebelah bawah (lower hemisphere) atau belahan bola sebelah atas (upper hemisphere). Proyeksi yang sering digunakan adalah bagian bola sebelah bawah (lower hemisphere). Gambar pertama diatas menunjukkan sebuah sesar normal yang terjadi menghasilkan sebuah slickensides. Gambar kedua menunjukkan sebuah proyeksi stereografi pada bagian lower hemisphere. Proyeksi bidang ditunjukkan oleh lengkungan pada bidang ekuator bola (berwarna biru) sedangkan proyeksi sebuah garis ditunjukkan oleh sebuah titik pada bidang ekuator bola. Ingat, bidang akan diproyeksikan menjadi sebuah garis sedangkan garis akan diproyeksikan menjadi sebuah titik. Untuk sebuah bidang dapat kita tarik informasi arah jurus batuan (strike), kemiringan batuan (dip) dan arah kemiringan (dip direction). Untuk sebuah garis dapat kita tarik informasi arah (azimuth) dan penunjamannya (plunge). Gambar yang kedua menunjukkan unsurunsur bidang dan garis yang diproyeksikan pada setengah bola lower hemisphere (2). Proyeksi pada stereonet ditarik dari titik zenith yang merupakan puncak dari sebuah bola. Garis atau bidang diproyeksikan melalui bidang ekuator (1). Gambar ketiga menunjukkan representasi
3D dari sebuah bidang dan sebuah garis didalam sebuah bidang yang datar (bidang ekuator dari low hemisphere) atau 2D. Proyeksi stereografi dapat membantu kita didalam menganalisis struktur- struktur geologi dan permasalahan- permasalahan yang berhubungan dengan geometri struktur geologi. Misalnya untuk menginterpretasikan arah tegasan yang bekerja pada suatu area dengan menggunakan perhitungan arah kekar yang dominan secara statistik, menginterpretasikan plunge dari sebuah lipatan, menginterpretasikan jenis sesar dari data kekar ataupun arah garis gores (slicken line) yang terdapat pada singkapan batuan yang ada dilapangan. Gambar diatas menunjukkan proyeksi stereografi dengan memakai jaring sama luas (Lambert Equal-Area atau Schmidt Net) Dip dan Apparent Dip Dip merupakan kemiringan suatu lapisan batuan. Dip dihitung pada arah tegak lurus strike, jika dip tegak lurus dengan strike maka disebut kemiringan yang sebenarnya (true dip), jika pengukuran kemiringan tidak tegak lurus strike maka sudut yang dibentuk akan selalu lebih kecil daripada true dip. Apparent dip merupakan kemiringan semu dimana kemiringan tersebut tidak diukur tegak lurus strike. Contoh soal - Tentukan besar kemiringan semu pada arah N80 o E dari suatu bidang N50 o E/50 o SE! Pembahasan : 1. Gambarkan terlebih dahulu bidang dengan azimuth N50 o E/50 o SE pada Schmidt net. Hasilnya berupa sebuah lingkaran besar (great circle) dengan azimuth N50 o E dan kemiringan 50 o berarah SE. 2. Gambarkan bidang dengan azimuth N80 o E. Hasilnya akan berupa garis lengkung dengan azimuth N80 o E. Karena yang dicari hanya kemiringan semu, maka bidang ini digambarkan tegak lurus (kemiringan 90 o ). 3. Setelah bidang digambarkan pada stereonet, kembalikan posisi stereonet ke posisi semula.
4. Perpotongan 2 garis lengkung tersebut adalah kemiringan semunya. Perpotongan tersebut ditandai oleh sebuah titik. Namun pada kenyataannya (ruang 3 dimensi) adalah sebuah garis perpotongan 2 bidang. Garis ini memberikan informasi azimuth dan plunge. Pada kasus ini plunge memberikan informasi kemiringan semunya. 5. Didapat plunge = kemiringan semu = 31 o Gambar diatas menggambarkan bidang dengan azimuth N50 o E/50 o SE dan bidang dengan azimuth N80 o E. Perpotongan tersebut menghasilkan sebuah garis yang diproyeksikan menjadi sebuah titik.
Gambar diatas menunjukkan kenampakan bidang dan garis secara oblique. Table menunjukkan informasi bidang (strike dan dip) dan garis (azimuth dan plunge). Informasi garis (azimuth/plunge) menunjukkan plunge 31 o. Plunge dalam kasus ini merupakan apparent dip dari bidang N50 o E/50 o SE jika dilalui oleh sebuah bidang dengan azimuth N80 o E. Kenampakan oblique proyeksi garis pertemuan dua bidang menjadi sebuah titik pada bidang ekuator. Informasi azimuth dan plunge dapat diketahui dari posisi titik tersebut. Sekilas penjelasan tentang salah satu kegunaan stereonet dalam memberikan solusi atas masalah struktur geologi. Untuk selanjutnya akan dibahas stereonet lebih lanjut. Terima kasih semoga bermanfaat. Lalu, apa itu Proyeksi Stereografis? Menurut Ragan (1985), proyeksi stereografis adalah gambaran dua dimensi atau proyeksi dari permukaan sebuah bola sebagai tempat orientasi geometri bidang dan garis. Dengan demikian, proyeksi stereografis adalah suatu metode proyeksi dengan bidang proyeksi berupa permukaan setengah bola. Biasanya,yang dipakai adalah permukaan setengah bola bagian bawah (lower hemisphere). Proyeksi stereografis dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan geometri berupa besaran arah dan sudut dalam analisa geomoetri struktur geologi karena proyeksi ini dapat menggambarkan geometri kedudukan atau orientasi bidang dan garis dalam bidang proyeksi yang digunakan. Macam-Macam Proyeksi Stereografis Proyeksi stereografis terdiri dari beberapa macam, antara lain :
1. Equal Angle Projection 2. Equal Area Projection 3. Orthogonal Projection 4. Polar Projection Masing-masing dari proyeksi stereografis ini memiliki ciri dan hasil proyeksi yang berbeda-beda, namun dalam analisa geometri struktur geologi, tak jarang dibutuhkan kombinasi dari keempatnya untuk menghasilkan analisa geometri yang akurat dan lebih praktis. 1. Equal Angle Projection Proyeksi ini pada dasarnya memproyeksikan setiap titik pada permukaan bola ke bidang proyeksi pada suatu tutuk zenith yang terletak pada sumbu vertikal melalui pusat bola bagian puncak. Bidang-bidang dengan sudut yang sama akan digambarkan semakin rapat ke arah pusat. Hasil penggambaran pada bidang proyeksi disebut sebagai stereogram. Hasil dari equal angle projection adalah Wulff Net. 2. Equal Area Projection Proyeksi ini lebih umum digunakan dalam analisis data statistik karena kerapatan hasil ploting menunjukkan keadaan yang sebenarnya. Proyeksi equal area merupakan proyeksi yang akan menghasilkan jarak titik pada bidang proyeksi yang sama dan sebanding dengan sebenarnya. Hasil dari equal area projection adalah suatu stereogram yang disebut dengan Schmidt Net. 3. Orthogonal Projection Proyeksi ini merupakan kebalikan dari equal angle projection karena pada proyeksi ortogonal, titik-titik pada permukaan bola akan diproyeksikan tegak lurus pada bidang proyeksi dan lingkaran hasil proyeksi akan semakin renggang ke arah pusat. Stereogram dari proyeksi ortogonal disebut sebagai Orthographic Net 4. Polar Projection Pada proyeksi ini, baik unsur garis maupun bidang tergambar sebagi suatu titik. Stereogram dari proyeksi kutub ini adalah Polar Net atau Billings Net. Polar Net ini diperoleh dari equal area projection,
sehingga apabila ingin mendapatkan proyeksi bidang dari suatu titikpada Polar Net, harus menggunakan Schmidts Net. Contoh Soal : 1. Gambarkan struktur garis 30 / N 90 E 2. Gambarkan struktur bidang N 90 E / 30 3. Gambarkan garis dengan trend N 70 E pada bidang N 90 E / 30 4. Tentukan rake dan plunge-nya 5. Tentukan apparent dip pada bidang N 60 E / 50 pada arah N 100 E 6. Pada suatu lapisan terdapat 2 apparent dip yaitu 30 / N 40 W dan 25 / N 50 E. Tentukan strike dan dip nya 7. Diketahui 2 bidang lapisan dengan strike dip N 30 E / 40 dan N 50 W / 20. Tentukan kedudukan 2 garis potong bidang dan rake-nya. 8. Tentukan sudut yang dibentuk antara bidang N 30 E / 40 dan dan N 50 W / 20 Proyeksi Stereografi, dan Schmidt Net, Stereography Projection (Proyeksi Stereografi) 1. Pengertian Proyeksi Stereografi Sebuah proyeksi yang memproyeksikan poin pada permukaan bola dari lingkup kutub utara ke titik dalam bidang bersinggungan dengan kutub selatan (Coxeter 1969, hal 93). Dalam proyeksi
yang memproyeksikan bola ke sebuah bidang datar. Proyeksi didefinisikan pada seluruh wilayah, kecuali pada satu titik titik proyeksi. Apabila didefinisikan, pemetaan yang halus dan bijektif. Hal ini konformal, artinya mempertahankan sudut. Hal ini tidak isometrik: artinya, tidak menjaga jarak atau bidang angka. Secara intuitif, proyeksi stereografik adalah cara membayangkan bola sebagai Bidang datar, dengan beberapa aturan yang harus diikuti. Dalam prakteknya, proyeksi dilakukan oleh komputer atau dengan tangan menggunakan jenis khusus dari kertas grafik disebut stereonet atau Wulff net dan Schmidtt Net. 2. Cara Kerja Proyeksi Stereografi Di bola tiga dimensi R-3 adalah himpunan titik (x, y, z) sedemikian rupa sehingga x 2 + y 2 + z 2 = 1. Biarkan N = (0, 0, 1) menjadi kutub utara, dan biarkan M sisa bola. Bidang datar z = 0 berjalan melalui pusat sphere, yang khatulistiwa adalah persimpangan lingkup dengan Bidang datar ini. Untuk setiap titik P di M, ada garis yang unik N dan P, dan garis ini memotong Bidang datar z = 0 dalam tepat satu titik P. Tentukan proyeksi stereografik P menjadi titik P di Bidang datar. Dalam koordinat Cartesian (x, y, z) pada bidang dan (X, Y) di Bidang datar, proyeksi dan invers yang diberikan oleh rumus Dalam koordinat bola (φ, θ) pada bidang (dengan φ pada sudut zenith, 0 φ π, dan θ yang azimut, 0 θ π 2) dan koordinat polar (R, Θ) di Bidang datar, proyeksi dan invers adalah Di sini, φ dipahami memiliki nilai π apabila R = 0. Juga, ada banyak cara untuk menulis ulang formula ini menggunakan identitas trigonometri. Dalam koordinat silinder (r, θ, z) pada bola dan koordinat kutub (R, Θ) di Bidang datar, proyeksi dan invers perusahaan Proyeksi stereografik berkaitan dengan inversi Bidang datar dengan cara yang sederhana. Misalkan P dan Q adalah dua titik pada bola dengan proyeksi P dan Q di Bidang datar. Kemudian P dan Q adalah gambar inversive satu sama lain dalam gambar lingkaran khatulistiwa jika dan hanya jika P dan Q adalah cerminan dari satu sama lain dalam bidang ekuator. Dengan kata lain, jika: P adalah titik pada bola, tapi tidak a N kutub utara dan bukan nya antipoda, yang kutub selatan S, P adalah gambar dari P dalam proyeksi stereografik dengan titik proyeksi N dan P adalah gambar dari P dalam proyeksi stereografik dengan proyeksi titik S, maka P dan P adalah gambar inversive satu sama lain dalam lingkaran satuan. 3. Kegunaan Proyeksi stereografi dalam struktur geologi Para peneliti di struktur geologi prihatin dengan orientasi dari Bidang datar dan baris untuk sejumlah alasan. foliasi dari batu adalah struktur planar yang sering berisi struktur linier yang disebut Lineasi. Demikian pula, sebuah kesalahan Bidang datar adalah struktur planar yang
mungkin berisi struktur linier seperti slickensides. Orientasi ini garis dan Bidang datar pada berbagai skala dapat diplot dengan menggunakan metode-metode Visualisasi garis dan Bidang datar bagian atas. Seperti dalam kristalografi, Bidang datar biasanya diplot oleh tiang mereka. Tidak seperti kristalografi, belahan bumi selatan digunakan sebagai ganti dari utara (karena struktur geologi di bawah permukaan terletak pertanyaan bumi). Dalam konteks ini proyeksi stereografik sering disebut sebagai menurunkan proyeksi belahan bumi-sama-sudut. Yang sama-area yang lebih rendah-proyeksi belahan bumi ditentukan oleh azimut sama-daerah proyeksi Lambert juga digunakan, terutama ketika plot harus dikenakan analisis statistik selanjutnya seperti kepadatan contouring. Ø Lambert Equal Area (schmidtt net) Defenisi Lambert equal area atau schmidtt net digunakan untuk memproyeksikan peta kesamaan daerah dalam proyeksi stereografi A cross sectional melihat lingkup dan Bidang datar bersinggungan dengan di titik S. Setiap titik pada bidang (kecuali antipoda) adalah diproyeksikan untuk Bidang datar sepanjang busur lingkaran berpusat pada titik singgung antara lingkungan dan Bidang datar. Untuk menentukan azimut proyeksi Lambert, bayangkan Bidang datar satu set bersinggungan dengan bola di beberapa titik S pada bola. Misalkan P akan ada titik pada bola selain antipoda S. Biarkan d menjadi jarak antara S dan P dalam dimensi ruang tiga (bukan jarak sepanjang permukaan bola). Kemudian proyeksi mengirim P ke titik P pada bidang yang merupakan jarak d dari S. Untuk membuat ini lebih tepat, ada yang unik lingkaran berpusat di S, melewati P, dan tegak lurus ke Bidang datar. Ini memotong Bidang datar di dua titik, marilah P menjadi lebih dekat ke P. Ini adalah titik diproyeksikan. Lihat gambar. The antipoda S dikeluarkan dari proyeksi karena lingkaran yang diperlukan tidak unik. Kasus S merosot; S diproyeksikan pada dirinya sendiri, sepanjang lingkaran 0 jari-jari. [5] formula eksplisit diperlukan untuk melakukan proyeksi pada komputer. Pertimbangkan proyeksi berpusat di S = (0, 0, -1) pada bidang unit, yang adalah himpunan titik (x, y, z) dalam ruang tiga dimensi sehingga x 2 + y 2 + z 2 = 1. Dalam koordinat Cartesian (x, y, z) pada bidang dan (X, Y) di Bidang datar, proyeksi dan inversenya kemudian dijelaskan oleh Dalam koordinat bola (φ, θ) pada bidang (dengan φ dan θ zenit azimut) dan koordinat polar (R, Θ) pada disk, peta dan invers yang diberikan oleh [5] Dalam koordinat silinder (r, θ, z) pada bola dan koordinat kutub (R, Θ) di Bidang datar, peta dan invers yang diberikan oleh Proyeksi dapat berpusat pada titik-titik lainnya, dan didefinisikan pada bola dengan jari-jari lain dari 1, menggunakan rumus yang sama.
Cara Kerja Schmidt Net Proyeksi Lambert azimut dapat dilakukan oleh komputer menggunakan rumus eksplisit seperti dijelaskan diatas. Namun, untuk grafik dengan tangan formula ini yang berat, melainkan, sudah umum untuk menggunakan kertas grafik, yang disebut Stereo Net atau Wulf net dan Schmidt Net, dirancang khusus untuk tugas tersebut. Untuk membuat kertas grafik, Pertama tempatkan grid paralel dan meridian di belahan bumi, dan kemudian proyeksikan kurva ini ke lingkaran. Dalam gambar, bagian baru daerah-proyeksi tersebut dapat dilihat dengan membandingkan sektor grid dekat pusat Net dengan satu di ujung kanan yang Net. Kedua sektor memiliki wilayah yang sama di lingkungan dan daerah yang sama pada lingkaran. Properti sudut-distorsi bisa dilihat dengan memeriksa garis-garis grid; kebanyakan mereka tidak berpotongan pada sudut kanan di Schmidt Net. Untuk contoh penggunaan Schmidt Net, bayangkan bahwa kita memiliki dua salinan pada kertas tipis, satu di atas yang lain, selaras dan ditempelkan di pusat bersama mereka. Misalkan kita ingin plot titik (0,321, 0,557, -0,766) di belahan unit yang lebih rendah. Titik ini terletak pada baris yang berorientasi 60 berlawanan dari sumbu x positif (atau 30 searah jarum jam dari sumbu-y positif) dan 50 di bawah bidang horizontal z = 0. Setelah sudut ini diketahui, ada empat langkah: 1. Menggunakan garis grid, yang berjarak 10 terpisah pada gambar di sini, tanda titik pada tepi Net yaitu 60 berlawanan arah jarum jam dari titik (1, 0) (atau 30 searah jarum jam dari titik, (0 1 )). 2. Putar Net atas sampai titik ini sejalan dengan (1, 0) di internet bawah. 3. Menggunakan garis-garis grid di internet bawah, tanda titik yang 50 menuju pusat dari titik itu. 4. Putar Net atas malah untuk bagaimana hal itu diputar sebelumnya, untuk membawanya kembali ke keselarasan dengan Net bawah. Titik hanya ditandai ini kemudian proyeksi yang kita inginkan. Proyeksi Stereografi Dan Proyeksi Kutub 2.1 Proyeksi Peta secara Umum Berdasarkan bidangnya, dibagi menjadi 3 yaitu proyeksi Azimut atau Zenithal, proyeksi silinder, dan proyeksi kerucut. a. Proyeksi azimut / zenithal adalah bidang proyeksi yang menyinggung bola pada kutub. proyeksi azimuth normal adalah proyeksi menyinggung bola bumi bagian kutub apabila menyinggung bola bumi diantara equator dan kutub proyeksi disebut proyeksi oblique. Dan yang menyinggung bola bumi bagian equator disebut proyeksi azimut transversal. b. Proyeksi sillinder adalah bidang proyeksi yang menyinggung bola bumi pada lingkaran tertentu.proyeksi sillinder transversal adalahsillindernya menyinggung bola bumi dikutub apabila sillindernya menyinggung bola bumi diantara ekuator dan kutubdisebut proyeksi oblique. jika sillindernya menyinggung bola bumi ekuator disebut proyeksi normal.
c. Proyeksi kerucut adalah kerucut yang menyinggung lingkaran paralel.proyeksi kerucut normal adalah sumbu kerucut berimpit dengan sumbu bumi apabila sumbu kerucut tegak lurus dengan sumbu bumi disebut proyeksi kerucut transversal. dan proyeksi kerucut oblique jika menyinggung bola bumi antara kutub dan equator. Macam-Macam Proyeksi -Proyeksi Sinusoidal (Peta Homolografik) Merupakan jenis proyeksi peta yang serupa dengan irisan kulit jeruk. atau juga nama lainnya yaitu peta homolografik, sanson flamsteed atau mercator equal area projection. menunjukkan proyeksi peta dalam bentuk garis lurus kathulistiwa dengan garais melengkung dengan meridian digunakan untuk memetakan tropis latitude. - Proyeksi Globe dari irisan globe Proyeksi Globe adalah proyeksi kartografi yang berasal dari bola bumi yang apabila diris menjadi beberapa bagian akan terbentuk irisan globe. menurut sejarah, proyeksi ini dahulu disebut dengan analemma yang pertama kali menemukan adalah Albrecht Duner. -Proyeksi Fuller (Proyeksi Dymaxion) Merupakan proyeksi diatas permukaan polihedron yang dibuat oleh Buckminster Fuller karena itu Proyeksi ini sering disebut dengan Proyeksi Fuller. -Proyeksi Oronteusfinnaeus Merupakan proyeksi hasil karya dari oroteus finaeus yang sampai sekarang terus menjadi misteri, karena pada zaman itu belum ada yang pernah ke benua termuda yaitu benua antartika namun beliau dapat mengetahui ada daerah yang selama ini ditutupi oleh salju abadi. -Waterman Butterfly Projection Benhard J.S. Canhill merupakan orang yang pertama kalinya menemukan proyeksi tersebut. -Proyeksi Stereografi Proyeksi stereografi merupakan metode pendeskripsian geometri yang mampu menunjukkan hubungan antara besar sudut dan kedudukan dari garis atau bidang. -Proyeksi Azimuthal Stereografik Titik sumber proyeksi di kutub berlawanan dengan titik singgung bidang proyeksi dengan kutub bola bumi. Jadi jarak antara lingkaran paralel tergambar semakin membesar ke arah luar. Pada Proyeksi Stereografi langkah-langkah pengerjaan yang harus dilakukan yaitu,cara penggambaran unsur struktur dengan jaring stereografi Meredian (Wulfnett) :
1. Letakkan kalkir di atas jaring dan gambarkan lingkaran luarnya. Beri tanda N, E, S, W dan pusat lingkaran. 2. Gambarkan jurus melalui pusat lingkaran sesuai harga jurusnya. 3. Putar kalkir sehingga jurus berhimpit dengan jurus Utara-Selatan dimana titik utama jaring berhimpit dengan harga jurusnya. 4. Gambarkan garis lengkung merediannya sesuai dengan besarnya kemiringan dengan ketentuan 0 0 dipinggir dan 90 0 di pusat lingkaran. 5. Stereogram bidang yang dimaksud dapat di lihat bila Utara kalkir berhimpit dengan Utara net. -Proyeksi Kutub Aplikasi ilmu geologi dalam pengolahan sumber daya alam, didasarkan pada hukum-hukum alam, sebagai calon ahli geologi dituntut untuk penguasaan pengetahuan dasar geologi, kemampuan menganalisis dan menginterpretasikan data yang selanjutnya akan diterapkan dalam penelitian geologi. Secara sederhana dapat dikatakan bahwa dalam membuat peta kita hanya dapat menggambar beberapa bagian permukaan bumi. Untuk dapat membuat peta yang meliputi wilayah yang lebih luas atau bahkan seluruh permukaan bumi. Untuk dapat membuat peta yang meliputi wilayah yang lebih luas atau bahkan seluruh permukaan bumi kita harus mengadakan kompromi antara ketiga syarat di atas. Sebagian dampak kompromi tersebut, keluarlah bermacam-macam jenis proyeksi peta. Masingmasing proyeksi mempunyai kelebihan dan kelemahan sesuai dengan tujuan peta dan bagian mukabumi yang digambarkan. Bila diminta untuk memetakan seluruh permukaan bumi, maka Kita dituntut harus tepat dalam memilih proyeksi yang digunakan. Pemilihan proyeksi tergantung pada bentuk, luas dan letak daerah yang dipetakan, ciri-ciri tertentu/ciri asli yang akan dipertahankan.