BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN

BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000? 0,999,997 0,99,970 0,9,70 f() Dri tbel dn grfik: nili f() dpt dibut sedekt mungkin ke 3, dengn cr mengmbil ng cukup dekt ke, tetpi. Notsi: lim f( ) 3 Deprtemen Mtemtik IPB

Definisi: [Limit fungsi di sutu titik] Mislkn fungsi f terdefinisi pd selng terbuk I ng memut, keculi mungkin di. Limit f() ketik mendekti sm dengn L, ditulis lim f ( ) L pbil nili f() dpt dibut sedekt mungkin ke L, dengn cr mengmbil nili ng cukup dekt ke, tetpi. Cttn:. Notsi lin untuk limit f() ketik mendekti sm dengn L dlh f() L, bil.. Fungsi f tidk hrus terdefinisi di. 3. Jik f terdefinisi di, f() tidk hrus sm dengn L. L = f() L = f() L = f() f() = L f() L f() tidk terdefinisi lim f ( ) L lim f ( ) L Contoh: Tentukn limit berikut. 6. lim. lim 0 3 3 3. lim 4. lim lim f ( ) L Deprtemen Mtemtik IPB

7.. Limit stu sisi Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik dri stu rh sj, kiri tu knn Illustrsi: Dikethui: f() =, [-,) Dri grfik: - 0 - = f() nili f() dpt dibut sedekt mungkin ke -, dengn cr mengmbil ng cukup dekt ke 0 dri rh kiri dn 0. Situsi ini dilmbngkn lim f( ). 0 nili f() dpt dibut sedekt mungkin ke 0, dengn cr mengmbil ng cukup dekt ke 0 dri rh knn dn 0. Situsi ini dilmbngkn 0 lim f( ) 0. Deprtemen Mtemtik IPB 3

Definisi: [Limit knn] Mislkn fungsi f terdefinisi pd selng [,b), keculi mungkin di. Limit knn f() ketik mendekti (tu Limit f() ketik mendekti dri sisi knn) sm dengn L, ditulis lim f ( ) L pbil nili f() dpt dibut sedekt mungkin ke L, dengn cr mengmbil nili ng cukup dekt ke dn >. Definisi: [Limit kiri] Mislkn fungsi f terdefinisi pd selng (b,], keculi mungkin di. Limit kiri f() ketik mendekti (tu Limit f() ketik mendekti dri sisi kiri) sm dengn L, ditulis lim f ( ) L pbil nili f() dpt dibut sedekt mungkin ke L, dengn cr mengmbil nili ng cukup dekt ke dn <. Teorem: [Hubungn limit di sutu titik dengn limit stu sisi] lim f ( ) L jik dn hn jik lim f ( ) L lim f ( ). Contoh: Tentukn limit berikut.. lim f ( ). lim f ( ) 3. lim f ( ) 4. lim f ( ) 3 5. lim f ( ) 6. lim f ( ) = f() 3 3 Deprtemen Mtemtik IPB 3 4 5 3

7..3 Limit tkhingg Menggmbrkn perilku nili fungsi ng membesr tu mengecil tnp bts jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui: f( ) = f() 0 Dri grfik: nili f() dpt dibut sebesr mungkin, dengn cr mengmbil ng cukup dekt ke 0, tetpi 0. Notsi: lim f( ) 0 Definisi: Mislkn fungsi f terdefinisi pd selng terbuk I ng memut, keculi mungkin di.limit f() ketik mendekti sm dengn, ditulis lim f( ) pbil nili f() dpt dibut sebesr mungkin, dengn cr mengmbil nili ng cukup dekt ke, tetpi. Cttn: Notsi lin untuk limit f() ketik mendekti sm dengn dlh f(), bil. Deprtemen Mtemtik IPB 5

Illustrsi: Dikethui: f( ) 0 = f() Dri grfik: nili f() dpt dibut sekecil mungkin, dengn cr mengmbil ng cukup dekt ke 0, tetpi 0. Notsi: lim f( ) 0 Definisi: Mislkn fungsi f terdefinisi pd selng terbuk I ng memut, keculi mungkin di.limit f() ketik mendekti sm dengn -, ditulis lim f( ) pbil nili f() dpt dibut sekecil mungkin, dengn cr mengmbil nili ng cukup dekt ke, tetpi. Cttn:. Notsi lin untuk limit f() ketik mendekti sm dengn - dlh f() -, bil.. Definisi serup dpt diberikn untuk limit tk hingg stu sisi:. lim f ( ) b. lim f ( ) c. lim f ( ) d. lim f ( ) Deprtemen Mtemtik IPB 6

Contoh: Tentukn limit berikut.. lim. lim 3. lim 3 3 ( )( ) ( ) 7. DEFINISI TEPAT LIMIT FUNGSI Illustrsi: Dikethui f( ) 3 f(), 3,30,0 3,030 f() = f(),00 3,003,000? 3 f() 0,999,997 0,99,970 0,9,70 Dri tbel dn grfik:,70 < f() < 3,30 jik 0,9 < <, dn,970 < f() < 3,030 jik 0,99 < <,0 dn,997 < f() < 3,003 jik 0,999 < <,00 dn mengkibtkn: f() 3 < 0,3 jik 0 < - < 0, f() 3 < 0,03 jik 0 < - < 0,0 f() 3 < 0,003 jik 0 < - < 0,00 Deprtemen Mtemtik IPB 7

Jrk f() dpt dibut sedekt mungkin ke 3, jik jrk ke cukup dekt dn. Notsi jrk f() dpt dibut sedekt mungkin ke 3: > 0, f() - 3 < Notsi jrk ke cukup dekt dn : () > 0, 0 < - < Perhtikn bhw dlm hl ini = /3 Notsi jrk f() sellu dpt dibut sedekt mungkin ke 3, jik jrk ke cukup dekt & > 0, () > 0, sehingg berlku: lim f( ) 3 jik 0 < dn - hn < jik f() - 3 < > 0, () > 0, sehingg berlku: 0 < - < f() - 3 < Definisi: [Limit fungsi di sutu titik] Mislkn fungsi f terdefinisi pd selng terbuk I ng memut, keculi mungkin di. Limit f() ketik men-dekti sm dengn L, ditulis lim f ( ) L jik dn hn jik > 0, () > 0, sehingg berlku: 0 < - < f() - L < Deprtemen Mtemtik IPB 8

L+ L L- = f() L+ L L- = f() Diberikn > 0 sebrng L+ L L- - + d > 0 ng berpdnn dengn = f() - + sehingg 0 < - < f() - L < Contoh: Dengn menggunkn definisi - tentukn limit berikut.. lim. lim 7.3 HUKUM LIMIT Teorem: Mislkn c konstnt, n bilngn bult positif dn kedu limit lim f ( ) dn lim g( ) d, mk: Deprtemen Mtemtik IPB 9

.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0.. lim c lim c lim( cf ( )) c lim f ( ) lim( f ( ) g( )) lim f ( ) lim g( ) lim( f ( ) g( )) lim f ( ) lim g( ) lim( f ( ) g( )) lim f ( ) lim g( ) f( ) lim f( ) lim jik lim g ( ) 0 g( ) lim g( ) lim lim( n n n f ( )) lim f ( ) n n lim jik n genp, 0 n lim n f ( ) n lim f ( ) jik n genp, lim f ( ) 0 Contoh: Dengn menggunkn sift-sift limit, tentukn limit berikut:.. lim7 lim(( )( )) 3 3. lim 4. lim 3 4 3 Deprtemen Mtemtik IPB 0

Teorem: Jik f dlh polinom tu fungsi rsionl dn di dlm derh sl f, mk lim f ( ) f ( ). Contoh: Tentukn limit berikut. ( h). lim. lim 3. lim 0 h h 4 Teorem: lim f ( ) L jik dn hn jik lim f ( ) L lim f ( ). Contoh: Tentukn limit berikut jik d. Jik tidk d jelskn mengp.. lim. lim 3. lim 0 Teorem: Jik f() g() pd wktu dekt (keculi mungkin mendekti di, ) mk dn limit f dn g kedun d untuk lim f ( ) lim g ( ). Teorem: [Teorem pit / jepit] Jik f() g() h() pd wktu dekt (keculi mungkin di ) dn lim f ( ) L lim h( ), mklim g( ) L. Deprtemen Mtemtik IPB

Contoh: Tentukn limit berikut.. lim sin. lim +sin 0 0 3 3. Jik 3 f ( ) untuk 0, tentukn li m f ( ). 7.4 KEKONTINUAN FUNGSI Definisi: [Kekontinun di sutu titik] Mislkn fungsi f terdefinisi pd selng I ng memut. Fungsi f disebut kontinu di, bil lim f ( ) f ( ). Cttn:. Secr implisit definisi di ts mensrtkn:. f() terdefinisi b. lim f( ) d c. lim f ( ) f ( ).. Ciri fungsi kontinu di sutu titik dlh grfik fungsin tersmbung di titik tersebut. 3. Bil f tidk kontinu di, diktkn f diskontinu di. Contoh: Periks kekontinun fungsi f berikut. Di titik mn fungsi tersebut diskontinu, jelskn lsnn.. f( ) Deprtemen Mtemtik IPB 0 3 = f()

. f( ) 3 0 = f() 3. f( ) 4. f( ) 0 0 Deprtemen Mtemtik IPB 3 3 0 0 3 = f() = f() Jenis-jenis diskontinu:. diskontinu dpt dipindhkn : Contoh dn. diskontinu tk hingg: Contoh 3 3. diskontinu lomptn : Contoh 4 Definisi: [Kekontinun knn] Mislkn fungsi f terdefinisi pd selng [,b). Fungsi f disebut kontinu knn di, bil lim f ( ) f ( ). Definisi: [Kekontinun kiri] Mislkn fungsi f terdefinisi pd selng (b,]. Fungsi f disebut kontinu kiri di, bil lim f ( ) f ( ). 4

Definisi: [Kekontinun pd selng]. Fungsi f kontinu pd selng (,b), jik f kontinu di setip titik pd selng tersebut.. Fungsi f kontinu pd selng [,b], jik f kontinu di setip titik pd selng (,b), kontinu knn di dn kontinu kiri di b. Contoh: Tentukn derh kekontinun fungsi f, jik f ( ) Teorem: Jik fungsi f dn g kontinu di = dn c dlh konstnt, mk fungsi-fungsi berikut jug kontinu pd :. f + g. f - g 3. cf 4. fg 5. f/g, jik g() 0. Teorem: Fungsi-fungsi berikut kontinu pd derh sln:. polinom. fungsi rsionl 3. fungsi trigonometri 4. fungsi kr. Teorem: [Teorem limit fungsi komposisi] Jik f kontinu pd b dn lim g( ) b, mk lim f ( g( )) f (lim g( )) f ( b). Teorem: [Teorem kekontinun fungsi komposisi] Jik fungsi g kontinu pd dn f kontinu pd g(), mk fungsi komposisi f g kontinu pd. Deprtemen Mtemtik IPB 4

Contoh: Tentukn derh kekontinun fungsi berikut:. f ( ) sin( ). f ( ) 3 6 3. f ( ) 4. f ( ) Teorem: [Teorem Nili Antr] Jik fungsi f kontinu pd selng tertutup [,b] dn N dlh bilngn di ntr f() dn f(b), mk terdpt c (,b) sedemikin sehingg f(c) = N. f(b) N f() c = f() b f() N f(b) c c c 3 = f() Cttn: Slh stu kegunn Teorem Nili Antr dlh untuk menentukn kr sutu persmn. Contoh: Dengn menggunkn Teorem Nili Antr, tunjukkn bhw fungsi f() = 5-3 4-3 + + memiliki kr rel pd selng [0,]. b Deprtemen Mtemtik IPB 5

7.5 GARIS SINGGUNG, KECEPATAN DAN LAJU PERUBAHAN LAINNYA 7.5. Gris singgung Kurv C: = f() Titik P (,f()) dn Q (,f()) terletk pd kurv C P Q - = f() f()-f() f ( ) f ( ) Kemiringn tli busur PQ: mpq Titik Q titik P, diperoleh gris singgung f ( ) f ( ) Kemiringn gris singgung: mgs lim f ( h) f ( ) Jik h = -, mk mgs lim h0 h Persmn gris singgung kurv C di titik P (,f()): m ( ) f ( ) gs = f() Contoh: Tentukn persmn gris singung dri kurv C ng ditentukn oleh persmn = 3 - di titik (,-). Deprtemen Mtemtik IPB 6 P Q Tli busur Gris singgung

7.5. Keceptn Sutu bend bergerk sepnjng gris lurus Persmn gerk s = f(t) 0 f() f(+h) - f() s f() + h Keceptn rt-rt pd selng wktu [,+h]: Keceptn rt-rt h 0, diperoleh keceptn (sest) Keceptn pd st t = : Perpindhn f ( h) f ( ) Wktu h f ( h) f ( ) v ( ) lim h0 h Contoh: Sebuh bol dijtuhkn dri sutu menr ng tinggin 450 meter. Jik persmn gerk bol dlh s = 4,9 t, tentukn:. keceptn bol setelh 5 detik. b. seberp cept bol tersebut bergerk ketik menentuh tnh. Deprtemen Mtemtik IPB 7

7.5.3 Lju perubhn linn Mislkn peubh bergntung pd peubh : = f() Perubhn : = Perubhn : = Rt-rt lju perubhn terhdp : f ( ) f ( ), diperoleh keceptn perubhn (sest) terhdp Keceptn perubhn sest terhdp : f ( ) f ( ) Keceptn perubhn sest lim lim Contoh: Bi produksi (dlm rupih) unit komodits tertentu dlh C() = 5.000 + 0 + 0,005.. Tentukn rt-rt lju perubhn dri C terhdp ketik produksi diubh: (i). = 00 smpi = 05 (ii). = 00 smpi = 0. b. Tentukn keceptn perubhn sest dri C terhdp, untuk = 00. Deprtemen Mtemtik IPB 8