BAB I GAYA PADA BIDANG DATAR Pada bab ini, kita akan mempelajari pengaruh gaya gaya yang bekerja pada suatu partikel. Pemakaian kata partikel tidak berarti bahwa kita membatasi pelajaran kita pada benda yang kecil. Yang dimaksud di sini adalah ukuran dan bentuk benda yang ditinjau tidak banyak mempengaruhi penyelesaian masalah. Gaya termasuk besaran vektor. Sehingga pada materi ini kita akan lebih sering menggunakan istilah vektor sebagai pengganti besaran gaya. Karena gaya merupakan besaran vektor, maka sebuah gaya akan ditentukan oleh besar dan arahnya. Besarnya suatu gaya ditentukan oleh suatu satuan. Dalam SI, gaya mempunyai satuan Newton(N), sedang sistem satuan Amerika menggunakan satuan pound(lb). Arah gaya ditentukan dengan suatu tanda panah. Perjanjian tanda yang lazim untuk menyatakan arah gaya dapat dilihat pada gambar 1. Y(+) X(-) X(+) Y(-) Gambar 1. Perjanjian tanda arah gaya A. GAYA PADA BIDANG DATAR Dua buah vektor, seperti tampak pada gambar 2a dan b, yang mempunyai besar dan garis aksi yang sama tetapi arah berbeda, akan memberikan efek yang berlawanan bila bereaksi pada sebuah benda. 1
30 30 (a) (b) Gambar 2 Dua buah vektor P dan Q yang bekerja pada sebuah benda A (gambar 3a) dapat digantikan dengan sebuah vektor tunggal R yang akan memberikan efek yang sama pada benda tersebut (gambar 3c). Vektor ini disebut vektor resultan dari vektor P dan Q. P P R R Q A A Q A (a) (b) (c) Gambar 3 Dua buah vektor yang besar dan arahnya sama disebut kedua vektor itu sama, tidak tergantung apakah keduanya mempunyai titik aksi yang sama atau berbeda (gambar 4). Dua vektor yang besarnya sama, garis aksi sejajar tetapi berlawanan arah disebut kedua tersebut berbeda (gambar 5). Gambar 4. Dua vektor yang sama Gambar 5. Dua vektor yang berbeda 2
B. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN GAYA Dua buah vektor gaya A dan B bekerja pada satu titik tangkap dan membentuk sudut apit θ. Resultan atau jumlah kedua vektor tersebut dicari menggunakan hukum jajaran genjang (gambar 6a dan b). B B R θ (a) A θ (b) A Gambar 6. Besarnya resultan dapat dihitung menggunakan persamaan sebagai berikut : R = A B = A B 2AB cos θ (1) Dari hukum jajaran genjang, dapat diturunkan cara lain untuk menentukan jumlah dua buah vektor gaya. Metode ini dikenal dengan hukum segitiga (gambar 7a, b, dan c) B B A A+B ATAU A+B B A A (a) (b) (c) Gambar 7. 3
Gambar 8 Gambar 9 Pengurangan vektor gaya didefinisikan sebagai penjumlahan suatu vektor yang sama dengan arah berlawanan. Gambar 10 memperlihatkan pengurangan dua vektor A dan B. B θ α A -B A-B Gambar 10 Besarnya A B dihitung menggunakan persamaan berikut ini : A B = A B 2AB cos α (2) Dimana α = 180 θ dan cos (180 θ) = cos θ, sehingga persamaan 2 dapat diubah menjadi : A B = A B 2AB cos θ (3) Rumus hukum segitiga yang sering digunakan dalam perhitungan adalah sebagai berikut : 4
α c β a sin β b sin α c sin γ a γ b Contoh 1. Dua buah gaya P dan Q beraksi pada suatu paku A. Tentukan resultannya. Penyelesaian : R Q = 60 N 25 P = 40 N 20 R = P Q 2PQ cos α = 40 60 2 40 60 cos 25 = 97.73 N 5
Contoh 2. 30 Sebuah tiang pancang ditarik dari tanah dengan memakai dua tali seperti tampak pada gambar. a. tentukan besar gaya P sehingga gaya resultan yang timbul pada tiang mengarah vertikal. b. Berapa besar resultan tersebut?. Penyelesaian : Karena resultan kedua gaya pada tiang harus vertikal, maka gambar gaya di samping dapat diubah seperti tampak pada gambar berikut. a. Dengan menggunakan persamaan hukum segitiga diperoleh persamaan sebagai berikut. P 120 = sin 25 sin 30 sehingga : b. P = 120 x 120 = sin 30 sin 25 sin 30 R sin 125 = 101,43 N R = 196,6 N 6
Contoh 3. Tentukan dengan trigonometri besar dan arah resultan dua gaya seperti tampak pada gambar di samping. Penyelesaian : 25 45 2 2 R = 200 + 300 + 2 200 300 cos 70 = 413,57 lb 300 lb 200 lb R α R a 45 300 lb 110 25 200 lb Untuk menghitung arah resultan gaya digunakan hukum segitiga. 200 413,57 = sin a sin 110 diperoleh a = 27 sehingga arah resultan gaya α = 45 + 27 = 72 7
Contoh 4. Sebuah mobil mogok ditarik dengan dua tali seperti tampak pada gambar. Tegangan di AB sebesar 400 lb dan sudut α sebesar 20. Diketahui resultan dari dua gaya tersebut bekerja di A diarahkan sepanjang sumbu mobil. Tentukan dengan trigonometri (a) tegangan pada tali AC, (b) besar resultan kedua gaya yang beraksi di A. Penyelesaian : a. Gunakan hukum segitiga : AC 400 = sin 30 sin 20 AC = 584,76 lb b. Gunakan hukum segitiga : R 400 = sin 130 sin 20 R = 895,9 lb C. KOMPONEN TEGAK LURUS SUATU GAYA Sebuah vektor gaya dapat diuraikan dalam sebuah bidang Cartesian dalam komponen F x sepanjang sumbu x dan F y sepanjang sumbu y seperti tampak pada gambar 11. Dimana : F x = Fcos θ (4) F y = Fsin θ (5) Gambar 11 8
Begitu juga sebaliknya, jika diketahui dua komponen gaya F x dan F y yang saling tegak lurus, maka dapat dihitung resultan kedua gaya dan arah resultan gaya tersebut menggunakan persamaan berikut : Fy tan θ = (6) Fx F + 2 2 = Fx Fy (7) D. RESULTAN GAYA DENGAN MENAMBAH KOMPONEN X DAN Y Tiga buah gaya F 1, F 2, dan F 3 bekerja pada suatu bidang kartesian pada satu titik tangkap seperti ditunjukkan pada gambar 12. Y F 2 F 2y F 1 F 1y F 2x θ 2 θ 1 θ 3 F 1x F 3x X F 3y F 3 Gambar 12. Untuk mencari resultan ketiga gaya tersebut, maka harus diuraikan masingmasing gaya terhadap sumbu x dan y sehingga terdapat komponen gaya gaya : F 1x = F 1 cos θ 1 F 1y = F 1 sin θ 1 F 2x = F 2 cos θ 2 9
F 2y = F 2 sin θ 2 F 3x = F 3 cos θ 3 F 3y = F 3 sin θ 3 Dari komponen komponen gaya di atas, dapat dijumlahkan secara aljabar terhadap sumbu x dan y, yaitu : dan ΣF x = F 1x F 2x + F 3x (8) ΣF y = F 1y + F 2y F 3y (9) sehingga resultan ketiga gaya dicari menggunakan persamaan : Contoh 5. 2 2 R = Fx + Fy (10) Tentukan komponen x dan y setiap gaya pada gambar di samping. Penyelesaian : Y 45 lb 60 lb Besar(lb) Sumbu X(lb) Sumbu Y(lb) 60 60cos 35 = 49,15 60sin 35 = 34,41 45 45cos 55 = 25,81 45sin 55 = 36,86 75 75cos 50 = 48,21 75sin 50 = 57,45 X 75 lb 10
Contoh 6. Silinder hidrolik GE menimbulkan suatu gaya P diarahkan sepanjang garis GE pada bagian DF. Diketahui P harus mempunyai komponen tegak lurus DF sebesar 600 N. Tentukan : a. besar gaya P. b. komponennya yang sejajar terhadap DF. Penyelesaian : D 600 N 30 E P F a. P y = Psin 30 600 = 0,5P P = 1200 N b. P x = Pcos 30 = 1200 cos 30 = 1039,23 N G 56 Contoh 7. Tegangan pada kabel penguat tiang telepon sebesar 370 lb. Tentukan komponen horizontal dan vertikal gaya yang ditimbulkan pada penambat di C. 11
Penyelesaian : R = 6 2 + 17,5 2 = 18,5 ft T x = - Tcos θ 6 = - 370 x = - 120 lb 18,5 = 120 lb (ke kiri) T y = Tsin θ 17,5 = 370 x = 350 lb 18,5 E. KESETIMBANGAN SUATU PARTIKEL Bila resultan semua gaya yang bekerja pada suatu partikel adalah nol, maka partikel tersebut dalam keadaan setimbang. Syarat untuk mencapai keadaan setimbang secara matematis dapat ditulis sebagai berikut ini : ΣF x = 0 dan ΣF y = 0 (11) contoh 8. Dua kabel diikatkan bersamasama di C dan diberi beban seperti terlihat pada gambar. Tentukan tegangan di AC dan BC. 12
Penyelesaian : Y T AC T ACSIN 50 T BC T BCSIN 30 T ACCOS 50 50 30 T BCCOS 30 X 400 ΣF x = 0 T BC Cos 30 T AC Cos 50 = 0 0,87 T BC = 0,64 T AC T BC = 0,74 T AC (a) ΣF y = 0 T AC Sin 50 + T BC Sin 30 400 = 0 0,77 T AC + 0,5 T BC = 400 (b) Substitusikan (a) ke dalam (b) : 0,77 T AC + 0,5 (0,74 T AC ) = 400 1,14 T AC = 400 T AC = 350,88 lb Masukkan T AC ke dalam (a) : T BC = 0,74 x 350,88 = 259,65 lb 13
Contoh 9 : Hitung tegangan tali T 1, T 2, dan T 3 pada gambar berikut ini jika titik A setimbang. W adalah berat benda. 30 60 A Penyelesaian : Diagram gaya gaya yang bekerja : W = 20 N 30 60 T 1 T 2 A T 3 W = 20 N Tinjau benda W : Benda ini berada pada keadaan setimbang sehingga : T 3 = W = 20 N Tinjau titik A : Karena titik ini setimbang, maka berlaku syarat kesetimbangan. 14
Y T 1 T 1 sin 30 T 2 sin 60 T2 T 1 cos 30 30 60 T 2 cos 60 X T 3 ΣF X = 0 T 2 cos 60 T 1 cos 30 = 0 1 1 T 2 = T1 3 2 2 T 2 = T 1 3 (1) ΣF Y = 0 T 1 sin 60 + T 2 sin 30 T 3 = 0 1 1 T 1 3 +T 2 = T3 (2) 2 2 Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), kita peroleh : 1 1 T 1 3 + (T 1 3 ) = 20 2 2 T 1 3 = 20 T 1 = 20 N 3 Subtitusikan nilai T 1 ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai T 2 T 1 = 20 N 15
Contoh 10. Suatu kotak yang dapat digerakkan berikut isinya mempunyai 960 lb. Tentukan panjang rantai terpendek ACB yang dapat digunakan untuk mengangkat beban kotak tersebut bila tegangan pada rantai tidak melebihi 730 lb. Penyelesaian : Karena berbentuk simetris, maka T AC = T BC = T. ΣF y = 0 2T sin θ - 960 = 0 2 x 730 x sin θ = 960 sin θ = 0,658 θ = 41,1 13,75 sehingga R = = 18,33 in cos 41,1 maka panjang rantai minimum =2 x 18,33 = 36,67 in 16
LATIHAN 1. Determine the magnitude of the resultant force F R = F 1 + F 3 and its direction, measured counterclockwise from the positive x axis. 2. Determine the magnitude of the resultant force F R = F 1 + F 2 and its direction, measured counterclockwise from the positive x axis 3. Resolve the force F 1 into components acting the u and v axes and determine the magnitudes of the components 17
4. The plate is subjected to the two forces at A and B as shown. If θ = 60, determine the magnitude of the resultant of these forces and its direction measured from the horizontal 5. Determine the magnitudes of F 1 and F 2 so that the particle P is in equilibrium 6. Determine the magnitude and direction θ of F so that the particle is in equilibrium 18
7. The device shown is used to straighten the frames of wrecked autos. Determine the tension of each segment of the chain, i.e., AB and BC if the force which hydraulic cylinder DB exerts on point B is 3,50 kn, as shown 8. Determine the force in cables AB and AC necessary to support the 12 kg traffic light 9. Coeds AB and AC can each sustain a maximum tension of 800 lb. If the drum has a weight of 900 lb, determine the smallest angle θ at which they can be attached to the drum 19
10. The 500 lb crate is hoisted using the ropes AB and AC. Each rope can withstand a maximum tension 2500 lb before it breaks. If AB always remains horizontal, determine the smallest angle θ to which the crate can be hoisted 20