TEKNIK MEMBILANG Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh anggota ruang sampel tersebut. A. Prinsip Perkalian I Perhatikan ilustrasi berikut ini andaikan a 1 c 1 b T U V W c 2 a 2 c 3 H1 = {a 1 a 2 } adalah macam jalur jalan dari kota T ke V H2 = {b} adalah macam jalur jalan dari kota U ke V H3 = {c 1 c 2 c 3 } adalah macam jalur jalan dari kota V ke W Macamnya jalur jalan yang dapat dilewati dari kota T ke kota W melewati kota U dan V adalah S={a 1 bc 1, a 1 bc 1, a 1 bc 1, a 1 bc 1, a 1 bc 1, a 1 bc 1 } = H 1. H 2. H 3 perhatikan bahwa banyaknya jalur yang dimaksudkan adalah n(s) = 5 =2. 1. 3 = n(h 1 ). n(h 2 ). n(h 3 ). Dengan gambaran tersebut kesimpulan yang diperoleh adalah Jika ada 2 jalur dari kota T ke U 1 jalur dari kota U ke V 3 Jalur dari kota V ke W Maka ada 2. 1. 3 = 6 jalur jalan yang dapat ditempuh dari kota T ke kota W melewati kota U dan V secara umum berlaku prinsip perkalian. 1
B. Prinsip Perkalian II Jika adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan Maka ada : adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan cara untuk mengambil semua keputusan. Setelah mengenai prinsip perkalian ini, perhitungan ruang sampel untuk 2 contoh sebelumnya, dapat digambarkan seperti berikut : Dari Obyek Eksperimen * + 1) Membuat nomor undian terdiri dari 3 angka 2) Menyusun bilangan-bilangan terdiri dari 3 angka yang angka-angkanya saling berlainan. Untuk Contoh 1 5 cara 1 5 cara 2 5 cara 1 1 2 3 3 4 5 * + 2 3 4 5 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 S 5 2
Perhatikan bahwa : dapat diperoleh dari urutan pertama 5 cara dikalikan urutan kedua 5 cara dan urutan ketiga 5 cara, yakni : Untuk contoh 2 4 cara 3 cara 5 cara 2 3 123 = e 1 3 1 2 4 4 5 5 124 = e 2 125 = e 3 H= {1,2,3,4,5} 3 1 4 2 5 1 3 2 4 541 = e 58 542 = e 59 Diagram 2.2 543 = e 60 3 S Perhatikan bahwa : dapat diperoleh dari urutan pertama 5 cara dikalikan urutan kedua 4 cara dan urutan ketiga 3 cara, yakni : Contoh Penggunaan Prinsip Perkalian Lainnya Ada berapa cara kita dapat menyusun bilangan genap terdiri dari 4 angka yang angka-angkanya saling berlainan? Jawab : 3
Pada soal tersebut yang dimaksud dengan objek eksperimen adalah * + dan eksperimennya adalah menyusun nomor undian berupa bilangan genap tiga angka yang angka-angkanya saling berlainan. Untuk mempersingkat penjelasan dan mempermudah pemahaman diambil kesempatan bahwa penulisan himpunan seperti { 0, 1, 2, 3 } yang dimaksud adalah sama dengan { 0, 1, 3, 4 }. Jika u 1, u 2, u 3, u 4 berturut-turut menyatakan urutan angka-angka yang mungkin pada urutan pertama, kedua, ketiga, dan keempat maka u 4 yang mungkin adalah angka-angka 0, 2, 4, 6, 8. u 1 u 2 u 3 u 4 0 2 4 6 8 Diagram 3 Cara 1 ( dengan penalaran lengkap ). Jika maka untuk menuliskan angka-angka pada ada 9 cara sebab * + ada 8 cara sebab salah satu unsur dari * yang menempati. ada 7 cara sebab 2 unsur diantara * yang menempati dan. + sudah ada + sudah ada Jika maka untuk menuliskan angka-angka pada ada 8 cara sebab * + ada 8 cara sebab salah satu unsur dari * nol sudah ada di + selain 4
ada 7 cara sebab unsur dari * + selain nol sudah ada yang menempati dan. Demikian seterusnya. Jika maka untuk menuliskan angka-angka pada ada 8 cara sebab * + ada 8 cara sebab salah satu unsur dari * + selain nol sudah ada di ada 7 cara sebab unsur dari * + selain nol sudah ada yang menempati dan. Demikian seterusnya. Dengan demikian maka : Jika maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam 9. 8. 7 504 cara. Jika maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam 8. 8. 7 448 cara. Jika maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam 8. 8. 7 448 cara. Jika maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam 8. 8. 7 448 cara. Jika maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam 8. 8. 7 448 cara. Kesimpulan : banyaknya cara yang dimaksud Artinya banyaknya cara adalah n (S) cara. cara Cara 2 (cara singkat) Untuk maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam 9 x 8 x 7 cara 504 cara. Sedangkan untuk 0 maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam 8 x 8 x 7 cara sehingga untuk itu ada 4 x 8 x 8 x 7 1792 cara Total : n (S) 5
PERMUTASI DAN KOMBINASI A. Notasi Faktorial Notasi faktorial merupakan materi penunjang yang diperkenalkan pada siswa untuk memudahkan mereka memahami penurunan rumus permutasi dan kombinasi. Contoh yang diberikan misalnya adalah sebagai berikut: Keterangan : dibaca lima faktorial dibaca empat faktorial B. Penurunan Rumus Permutasi Kasus permutasi adalah eksperimen terhadap suatu obyek berupa himpunan H yang menghasilkan ruang sampel dimana titik-titik sampelnya tidak memungkinkan pengulangan elemen-elemen dalam H namun urutan elemen-elemen H pada setiap titik sampelnya diperhatikan. Misalkan ada 3 regu peserta tebak tepat tingkat SMA akan bertanding di babak final yang menyediakan 3 macam kategori hadiah (hadiah I, II, dan III). Ada berapa cara hadiah itu dapat diberikan? Jika regu A, B, dan C adalah obyek-obyek yang dimaksud, maka yang dimaksud sebagai himpunan obyek eksperimennya adalah H = {A, B, C}. Eksperimen yang dimaksud adalah melakukan lomba tebak tepat kepada ketiga regu tersebut. Ruang sampel dari eksperimen itu adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi. Urutan I II III B C A C B * + B A C C A S C A B B A 6
Perhatikan bahwa susunan elemen seperti ABC, ACB, hingga CBA masing-masing disebut permutasi. Selanjutnya diperoleh ruang sampel * + sehingga. Dilihat dari diagramnya, Banyaknya permutasi 3 hadiah dari 3 peserta Apabila pesertanya 3 orang sementara hadiahnya hanya 2 macam (hadiah I dan hadiah II) maka gambaran ruang sampelnya adalah seperti berikut. I II III B A C * + B A C S C A B Diagram 4 Ruang sampel * + sehingga Dilihat dari diagramnya, 3 cara 2 cara banyaknya permutasi 2 hadiah dari 3 peserta 7
Dari kedua contoh sederhana tersebut mudah dibayangkan bahwa apabila pesertanya 10 orang sementara hadiahnya 3 macam, maka ruang sampel S mempunyai anggota sebanyak n(urutan I) n(urutan II) n(urutan III) 10 (cara) 9 (cara) 8 (cara) Secara umum menggunakan prinsip perkalian, banyaknya permutasi dari n obyek yang berlainan ada ( ) ( ) sedangkan banyaknya permutasi r obyek yang dipilih dari n obyek yang berlainan ada : ( ) ( ) ( ( )) Dengan begitu banyaknya permutasi r obyek dari n obyek yang berlainan diberikan lambang dengan Dibaca n faktorial dan ( )( ) Contoh 1 Hitunglah: a. b. Jawab a. Dengan penalaran langsung, yaitu,, dan 8
Maka, Jika menggunakan rumus, maka : b. Dengan penalaran langsung diperoleh : Contoh 2 Misalkan suatu sayembara memperebutkan 3 hadiah (hadiah I, II, dan III masing-masing sebesar 10.000 rupiah, 7.500 rupiah dan 5.000 rupiah) diikuti oleh 7 orang peserta. Untuk menentukan pemenangnya dilakukan dengan mengacak nomor undiannya. Ada berapa cara hadiah-hadiah itu dapat diberikan? Jawab: Perhatikan bahwa cara undian seperti itu tidak memungkinkan seseorang mendapatkan lebih dari 1 hadiah (pengulangan elemen H dengan n(h) = 8 tidak dimungkinkan). Selain itu jika pemenangnya ABC artinya A dapat hadiah I, B dapat hadiah II, dan C dapat hadiah III, oleh sebab itu jelas hasil seperti dan lain-lain. Kesimpulannya eksperimen seperti itu merupakan kasus permutasi. Maka banyaknya cara adalah 3 faktor C. Penurunan Rumus Kombinasi Perlu diingat bahwa kasus kombinasi adalah eksperimen terhadap suatu obyek berupa himpunan H yang menghasilkan ruang sampel dimana titiktitik sampelnya juga tidak memungkinkan pengulangan elemen-elemen H tetapi urutan elemen H pada setiap titik sampelnya tidak diperhatikan. Misalkan dari 4 bersaudara Ali (A), Budi (B), Cahya (C), dan Doni (D) diundang 2 orang diantaranya untuk rapat keluarga. Ada berapa cara undangan itu dapat dipenuhi? Bagaimana pula jika yang diundang adalah 3 orang dari 4 bersaudara itu? 9
Dari permasalahan tersebut yang dimaksud dengan obyek eksperimennya adalah H = {A, B, C, D} sedangkan eksperimennya adalah mengundang hadir dalam rapat keluarga sebanyak 2 orang wakilnya. Sesudah itu eksperimennya diganti mengundang hadir dalam rapat keluarga sebanyak 3 orang wakilnya. Ruang sampel dari masing-masing eksperimen itu adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi pada eksperimen itu. Penalaran selengkapnya adalah seperti berikut. No Obyek Eksperimen Cara Eksperimen Hasil-hasil yang Mungkin mengundang 2 orang wakilnya untuk rapat 1. * + keluarga 2. * + mengundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga Rangkaian hasil-hasil eksperimen yang mungkin terjadi seperti misalnya AB, AC, AD pada contoh 1 di atas disebut kombinasi 2 elemen dari 4 elemen. Sedangkan ABC, ABD, ACD, BCD pada contoh 2 disebut kombinasi 3 elemen dari 4 elemen. Banyaknya kombinasi adalah banyaknya semua rangkaian elemen-elemen dalam H yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu. Banyaknya kombinasi 2 elemen dari 4 elemen yang tersedia dilambangkan dengan atau atau. /. Dari kedua contoh itu diperoleh dan Selanjutnya dalam hubungannya dengan permutasi dan penggunaan notasi faktorial penurunan rumusnya dilakukan seperti berikut. 10
Untuk (kombinasi 2 dari 4) Macam Kombinasi Jika Elemen-elemen Kombinasi itu dipermutasikan Banyaknya Permutasi 2 faktor Untuk (kombinasi 3 dari 4) Macam Kombinasi Jika Elemen-elemen Kombinasi itu dipermutasikan ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB Banyaknya Permutasi 3 faktor Perhatikan bahwa Dengan pemikiran yang sama, ternyata secara umum berlaku bahwa : Contoh : Dalam suatu arisan masih ada 12 orang yang belum mendapatkan hadiah. Sementara itu dalam setiap pertemuan arisan ditetapkan 4 peserta berhak mendapat hadiah masing-masing sebesar Rp 75.000,00. Jika diadakan undian, ada berapa cara hadiah arisan itu dapat diberikan? 11
Jawab : Perhatikan bahwa dengan aturan undian seperti itu tidak mungkin seseorang untuk mendapatkan hadiah lebih dari satu kali (pengulangan elemen H dengan tidak dimungkinkan). Karena hadiahnya sama bagi para pemenang maka jika pemenangnya ABCD maka A, B, C, dan D masing-masing akan menerima hadiah yang sama (yakni sebesar Rp 75.000,00), itu berarti hasil seperti dan lain-lain. Artinya urutan pemenang tidak diperhatikan, sehingga eksperimen seperti itu merupakan kasus kombinasi. Maka banyaknya cara adalah D. Segitiga Pascal Segitiga Pascal ialah segitiga yang dibentuk oleh bilangan-bilangan yang bersesuaian dengan koefisien-koefisien pangkat bulat non negatif dari suatu suku dua Perhatikan bahwa...dan seterusnya... Koefisien-koefisien pangkat bulat non negatif dari seperti dan seterusnya hingga untuk dan seterusnya itulah yang kemudian membentuk pola bilangan yang terkenal dengan nama segitiga Pascal, suatu penghormatan kepada matematikawan Perancis bernama Blaise Pascal yang hidup pada tahun 1623 1662. Dengan memperhatikan nilai koefisiennya saja untuk pangkat bulat nonnegatif dari nol hingga lima akan diperoleh segitiga Pascal seperti yang ditunjukkan berikut. 12
Dengan adanya kesesuaian itu maka perhitungan-perhitungan kombinasi yang hanya melibatkan bilangan-bilangan kecil langsung dapat dilakukan berdasarkan kesesuaiannya dengan bilangan yang ada pada segitiga Pascal. Contoh Jawab: 13
PIGEONHOLE PRINCIPLE (Prinsip Sarang Merpati) Teorema : Jika merpati ditempatkan dalam sarang dengan, maka paling sedikit ada satu sarang yang berisi dua atau lebih merpati. Bukti : Burung merpati diberi nomor dari 1 sampai n dan sarangnya diberi nomor dari 1 sampai m. Sekarang masukan merpati nomor satu ke sarang nomor satu, merpati nomor 2 ke sarang nomor 2, dan seterusnya hingga merpati nomor n ke sarang nomor m sehingga tersisa ( ) merpati yang belum mendapat sarang. Oleh karena itu, pasti ada paling tidak satu sarang yang memuat dua atau lebih merpati. Jika dikaitkan dengan fungsi : Suatu fungsi dari satu himpunan berhingga ke suatu himpunan berhingga yang lebih kecil tidak mungkin menjadi fungsi satu-satu. Ada sekurang-kurangnya dua elemen dalam domain yang mempunyai image yang sama dalam kodomain. Contoh 1. Diantara delapan orang, pasti ada dua orang yang lahir pada hari yang sama. Bukti : Nama hari ada 7, nyatakan delapan orang dengan simbol. dan definisikan suatu fungsi A dari himpunan orang ke himpunan tujuh hari seperti di tunjukan dalam diagram berikut: Orang (merpati) A Hari (sarang) Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu 14
Jadi, terdapat sekurang-kurangnya dua panah yang mengarah pada hari yang sama. Oleh karena itu sekurang-kurangnya terdapat dua orang yang dilahirkan pada hari yang sama. 2. Dari delapan bilangan asli yang pertama, ada 4 pasang yang jumlahnya sembilan, tentukan : a. Buktikan. b. Bagaimana bila lima bilangan dipilih secara sembarang dari delapan bilangan asli tersebut. Ada berapa pasang yang jumlahnya sembilan dan ada berapa bilangan yang jumlahnya sembilan. Penyelesaian : a. Bukti : Jadi TERBUKTI. b. Jawaban : Kesimpulan : Dari lima bilangan asli dipilih akan membentuk minimal 1 pasang yang berjumlah sembilan dan maksimal 2 pasang yang berjumlah sembilan, apabila terbentuk 1 pasang maka ada dua bilangan dan apabila terbentuk 2 pasang maka ada empat bilangan. 3. Misalkan terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola biru di dalam sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak (tanpa melihat ke dalam kotak) untuk menjamin bahwa sepasang bola yang berwarna sama terambil. Penyelesaian : 15
Jika setiap warna dianggap sebagai sarang merpati, maka n = 3. Karena itu, jika orang mengambil paling sedikit n + 1 = 4 bola (merpati), maka dapat dipastikan sepasang bola yang berwarna sama ikut terambil. Jika hanya diambil 3 buah, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu sama lain. Jadi 4 buah bola adalah jumlah minimum yang harus diambil dari dalam kotak untuk menjamin terambil sepasang bola yang berwarna sama. 4. Misalkan sebuah turnamen basket diikuti oleh n buah tim yang dalam hal ini setiap tim bertanding dengan setiap tim lainnya dan setiap tim menang paling sedikit satu kali. Tunjukkan bahwa paling sedikit ada 2 tim yang mempunyai jumlah kemenangan yang sama. Penyelesaian : Jumlah kemenangan setiap tim paling sedikit 1 kali dan paling banyak kali. Angka berkorespondensi dengan buah sarang merpati untuk menampung n ekor merpati (tim basket). Jadi, paling sedikit ada 2 tim basket yang mempunyai jumlah kemenangan sama. 5. Dalam sekumpulan n orang di mana setiap orang minimal kenal dengan satu orang di kelompok tersebut, terdapat dua orang yang memiliki banyaknya kenalan di kelompok tersebut yang sama. (Contoh: ada dua orang yang samasama memiliki 20 kenalan dalam kelompok tersebut) Penyelesaian : Dalam kasus ini jelas bahwa banyaknya kenalan sebagai sarang merpati dan banyaknya orang sebagai merpati. Sekarang kita buktikan bahwa sarang lebih sedikit daripada merpatinya. Setiap orang minimal kenal dengan satu orang, maka banyaknya kenalan yang mungkin adalah 1 kenalan, 2 kenalan, 3 kenalan, dan seterusnya sampai kenalan. Sehingga ada kemungkinan banyaknya kenalan pada orang di dalam kelompok tersebut. Karena ada orang, maka jelas bahwa pasti terdapat dua orang yang memiliki banyak kenalan yang sama. 16
INDUKSI MATEMATIKA Induksi matematika adalah metode yang dipakai untuk membuktikan pernyataan-pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif. Prinsip induksi matematika berbunyi : Misalkan P(n) adalah bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.untuk membuktikannya kita hanya perlu menunjukan bahwa : 1. P(1) benar 2. P(n) benar, maka P(n+1) juga benar untuk setiap n 1. sehingga P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Contoh : 1. Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah : Penyelesaian : Misalkan P(n) menyatakan jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah Akan dibuktikan untuk benar, yaitu kita peroleh karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1. Misalkan benar, perhatikan bahwa: Jadi kita dapat asumsikan bahwa: adalah benar. Akan dibuktikan bahwa juga benar, yaitu : hal ini dapat kita tunjukan sebagai berikut: Ruas kiri Ruas kanan, - 17
2. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif! Bukti : Langkah 1 Akan diperlihatkan pernyataan benar untuk, untuk maka :. Langkah Induksi Akan ditunjukkan pernyataan benar untuk setiap bilangan bulat, apabila pernyataan benar untuk maka pernyataan benar untuk. Jika diasumsikan pernyataan benar, maka ( ) Karena kedua langkah induksi telah terpenuhi maka untuk setiap bilangan positif berlaku bahwa : 3. Buktikan bahwa banyak buah bilangan bulat positif ganjil pertama adalah Bukti : Misalkan merupakan pernyataan yang menyatakan bahwa jumlah buah bilangan bulat positif ganjil pertama adalah maka : Langkah 1 Untuk maka maka benar, karena banyak buah bilangan ganjil positif pertama adalah Langkah Induksi Untuk 18
Andaikan untuk pernyataan benar, maka akan ditunjukkan bahwa :, yaitu *+ 19
FORMULA DISKRIT BAGIAN 01 Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari suatu fungsi adalah menggunakan konsep Deret Taylor disekitar, secara umum, yaitu : Jika diekspansikan menjadi: Contoh : 1. Tentukan fungsi pembangkit dari... Jadi fungsi pembangkitnya adalah : 2. Tentukan fungsi pembangkit dari... 20
Jadi fungsi pembangkitnya adalah : Kesimpulan dari kedua contoh diatas adalah : 21
FORMULA DISKRIT BAGIAN 02 Contoh : 1. Tentukan fungsi pembangkit dari... Jadi fungsi pembangkitnya adalah : 2. Tentukan fungsi pembangkit dari... 22
Jadi fungsi pembangkitnya adalah : Kesimpulan dari kedua contoh diatas adalah : 23
FORMULA DISKRIT BAGIAN 03 Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari adalah menggunakan konsep Deret Taylor disekitar, dirumuskan sebagai berikut : Jika di ekspansikan menjadi: Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi pembangkit dari, dengan teorema Binomilia. Berikut adalah langkah-langkahnya :. /. / {. /. /. /. /. / Menentukan fungsi pembangkit dari. / 24
Kesimpulan :. /. / Contoh soal : Tentukan fungsi pembangkit dari Penyelesaian:. /. /. /. /. / 25
FORMULA DISKRIT BAGIAN 04 Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari. / adalah menggunakan konsep Deret Taylor disekitar berikut : dirumuskan sebagai Jika di ekspansikan menjadi: Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi pembangkit dari. /. Berdasarkan formula diperoleh :. / Maka diperoleh :. / Kesimpulan :. / Contoh Soal : 1. Tentukan fungsi pembangkit dari. / Penyelesaian :. / 26
2. Tentukan fungsi pembangkit dari. / Penyelesaian :. / 27
FORMULA DISKRIT BAGIAN 05 Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari adalah menggunakan konsep Deret Taylor disekitar dirumuskan sebagai berikut : Apabila kita ekspansi Deret Taylor di atas, dapat diuraikan menjadi sebuah deret sebagai berikut : Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi pembangkit dari. Berdasarkan formula diperoleh : Maka diperoleh : Kesimpulan : Contoh Soal : Tentukan fungsi pembangkit dari Penyelesaian : 28
29
FORMULA DISKRIT BAGIAN 06 Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari adalah menggunakan konsep Deret Taylor disekitar dirumuskan sebagai berikut : Jika di ekspansikan menjadi: Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi pembangkit dari. Berdasarkan formula diperoleh : Maka diperoleh : Kesimpulan : Contoh Soal : Tentukan fungsi pembangkit dari Penyelesaian : 30
FORMULA DISKRIT BAGIAN 07 Dengan konsep Deret Taylor di dapat fungsi pembangkit dari bentuk umum : Contoh : Cari fungsi pembangkit dari : Penyelesaian : ( ) 31
BARISAN DARI SUATU FUNGSI PEMBANGKIT BIASA DAN FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL Misal adalah suatu barisan. Fungsi pembangkit biasa dari didefinisikan sebagai berikut : Fungsi pembangkit eksponensial dari didefinisikan sebagai berikut : Simpulan : 1. Barisan dari suatu Fungsi Pembangkit Biasa adalah : 2. Barisan dari suatu Fungsi Pembangkit Eksponensial adalah : Contoh : 1. Carilah barisan dari fungsi pembangkit biasa (FPB) dari : Penyelesaian : 32
Misal : { Jadi barisannya adalah * + 2. Carilah barisan dari fungsi pembangkit biasa (FPB) Penyelesaian :. /. / 33
Misal :. / { Jadi barisannya adalah * + 3. adalah fungsi pembangkit biasa dari. Tentukan a. Fungsi Pembangkit Biasa Dengan Maka untuk Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa (FPB), maka diperoleh 34
b. Definisi FPB: maka untuk ( ) Berdasarkan definisi FPB, maka diperoleh c. Definisi FPB: Maka untuk 35
d. Definisi FPB: Maka untuk e.. / 36
f.. / 4. Carilah nilai jika p(x) merupakan FPE barisan a. Definisi FPE: Maka untuk Maka Diperoleh b. 37
( ) ( ) c. 5. Misal adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan. Tentukan. Penyelesaian : 38
Misal, Jelas bahwa ( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan adalah FPB dari barisan sehingga diperoleh Dengan demikian atau 2 39
FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL DARI SUATU BARISAN Misal : adalah suatu barisan. Fungsi pembangkit eksponensial dari didefinisikan sebagai berikut : Misalnya, Adalah fungsi pembangkit eksponensial dari barisan Simpulan : Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) dari suatu barisan adalah : Contoh : 1. Tulis fungsi pembangkit eksponensial dari barisan Penyelesaian : 2. Tulis fungsi pembangkit eksponensial (FPE) dari barisan : Penyelesaian : 40
* + * + * + * + 3. Tulis fungsi pembangkit eksponensial dari barisan berikut a. b. 41
c. Untuk Maka untuk 42
FUNGSI PEMBANGKIT BIASA (FPB) DARI SUATU BARISAN Misal : adalah suatu barisan. Fungsi pembangkit biasa dari didefinisikan sebagai berikut : Misalnya, Adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan. / Simpulan : Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) dari barisan adalah Contoh : 1. Tulis fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan Jadi fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan adalah: 2. Tulis fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan 43
Jadi fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan adalah: 3. Tulis fungsi pembangkit biasa dari barisan-barisan berikut. a. (0,0,0,1,1,1,1,...) b.. / ) c.. / 44
( ) d.. / e. 45
FUNGSI PEMBANGKIT BIASA UNTUK KOMBINASI DAN FUNGSI PEMBANGKIT BIASA DARI PENEMPATAN OBJEK IDENTIK KE KOTAK BERBEDA Ada tiga jenis huruf akan dibuat 4 huruf yang berasal dari huruf-huruf dengan syarat : Huruf a Terpilih paling banyak 2 Huruf b Terpilih paling banyak 3 Huruf c Terpilih paling banyak 1 Kemungkinan yang terjadi : { } Dapatkah cara ini diselesaikan dengan fungsi pembangkit? Kemungkinan : a. Tidak terambil b. Terambil sekali c. Terambil dua kali Fungsi pembangkit : 46
Koefisien menunjukkan banyaknya cara yang mungkin dalam menyusun n huruf, jika dan, maka : Fungsi pembangkit untuk adalah Dimana : ( ) Catatan : Fungsi pembangkit menentukan banyaknya cara memilih k obyek dari P tipe obyek 1. Tidak diperkenankan pengulangan. / Banyaknya cara memilih. /. / 2. Diperkenankan pengulangan. / Banyaknya cara memilih. /. / 47
Contoh soal : 1. Tentukan fungsi pembangkit untuk banyaknya cara memilih r obyek dari n obyek dimana pengulangan tidak diperkenankan. Jawaban : Terdapat n obyek, karena pengulangan tidak diperkenankan maka tiap obyek dapat dipilih 0 atau 1 kali saja. Sehingga fungsi pembangkit yang diminta adalah :. / 2. Dengan beberapa cara 60 obyek yang identik dapat ditempatkan didalam 4 sel (kotak) yang berbeda sedemikian sehingga setiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek. Jawaban : Karena ada 4 kotak dan tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek, maka fungsi pembangkit untuk permasalahan ini adalah :. /. / Jadi banyaknya cara memilih 60 obyek yang identik dalam 4 kotak yang berbeda sedemikian sehingga tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek :. /. / 48
FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL UNTUK PERMUTASI Ada tiga jenis huruf akan dibuat kata sandi yang terdiri dari 4 huruf yang berasal dari huruf-huruf dengan syarat : Huruf a Terpilih paling banyak 2 kali Huruf b Terpilih paling banyak 2 kali Huruf c Terpilih paling banyak 1 kali Kemungkinan yang terjadi : * + * + * + Total ada : 6 12 12 30 Dapatkah cara ini diselesaikan dengan fungsi pembangkit? a. Terpilih paling banyak 2 kali b. Terpilih paling banyak 2 kali c. Terpilih paling banyak1 kali A. Dengan FPB Banyaknya cara yang dimaksud ditunjukkan oleh koefisien. Sedangkan yang diharapkan 30 cara. Jadi, permasalahan diatas diselesaikan dengan FPB tidak cocok. dalam 49
B. Dengan FPE * + * + * + * + * + 0 1 Koefisien Sehingga, * + Jadi, koefisien dalam adalah : Kesimpulan : Dengan demikian FPE digunakan untuk menyelesaikan permasalahan PERMUTASI 50
Contoh soal : 1. Tentukan banyaknya kata sandi dengan panjang k yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pembentuk kata DISKRIT Jawaban : DISKRIT 6 huruf yang berlaku * + * + * + * + * + * + * + Jadi koefisiennya adalah 51
PRINSIP INKLUSI - EKSKLUSI Misalkan A dan B adalah sembarang himpunan, maka : A banyaknya elemen pada A B banyaknya elemen pada B banyaknya elemen pada Prinsip Inklusi Eksklusi dinyatakan dalam bentuk : Contoh soal : 1. Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa menyukai matematika diskrit, 13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 diantaranya menyukai keduaduanya. Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut : Jawab : A 25 B 13 8 Maka : Jadi, terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut. 2. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 7 atau 11? Jawab : Misalkan P himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 11. Dengan demikian adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11, dan P Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan habis dibagi 11. 52
Jadi, terdapat 220 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11. Ilustrasi dari penghitungan tesebut dapat dilihat pada diagram di bawah ini. P Q 3. Dalam sebuah program studi pendidikan matematika yang terdiri atas 350 mahasiswa, terdapat 175 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan 225 mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks, dan 50 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan analisis kompleks. Ada berapa mahasiswa di dalam perkuliahan itu jika setiap mahasiswa mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya? Jawab : Misalkan A adalah banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan B menyatakan mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks. Maka merupakan himpunan mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah tersebut. Banyaknya mahasiswa di dalam kelas itu yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya adalah 53
. Ini berarti, terdapat 350 mahasiswa di dalam kelas yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya. Karena banyaknya siswa keseluruhan di dalam kelas tersebut adalah 350 mahasiswa, artinya tidak terdapat mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari kedua konsentrasi itu. Perhatikan diilustrasi berikut. A B S 54