Catatan Kuliah Analisis Data Orang Cerdas Belajar Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013
Tentang Analisis Data A. Jadwal kuliah (total 40 jam): Senin, 08.00-selesai Rabu, 08.00-selesai B. Silabus: Statistika deskriptif Peluang Distribusi diskrit dan kontinu C. Buku teks: Ronald Walpole, Raymond Myers, Sharon Myers, Keying Ye, 2007, Probability and Statistics for Engineers and Scienctists. D. Penilaian: 1. Ujian 1 (30%) - Rabu, 4.12.2013 2. PR/Kuis (10%) 3. Praktikum (10%) D. Matriks kegiatan perkuliahan: Table 1: Matriks perkuliahan Analisis Data. Minggu- Materi Keterangan 1 Pengantar Penjelasan kuliah, motivasi (Kaprodi) 2 Statistika deskriptif 4 jam 3-4 Statistika deskriptif (lanjutan) 6+4 jam 5 Peluang 6+4 jam 6 Distribusi diskrit dan kontinu 6+4 jam 7 Kilas balik (review) 6 jam 7 Ujian Tengah Semester Rabu, 4.12.2013 Analisis Data i K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi 1 Statistika Deskriptif 1 1.1 Data, Jenis Data, Memahami Data................ 2 1.2 Ukuran Pusat/Lokasi dan Penyebaran.............. 3 1.3 Mengamati Observasi Luar..................... 6 1.4 Data Kelompok........................... 6 1.5 Memahami Grafik.......................... 7 2 Peluang 1 2.1 Ilustrasi............................... 1 2.2 Konsep Peluang........................... 2 2.3 Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes.............. 4 2.3.1 Teorema Bayes....................... 5 2.4 Topik Lanjut Peluang........................ 5 2.4.1 Peubah acak dan fungsi distribusi............. 6 3 Distribusi Diskrit dan Kontinu 1 3.1 Distribusi Diskrit.......................... 1 3.1.1 Distribusi Binomial..................... 1 3.1.2 Distribusi Poisson...................... 2 3.1.3 Distribusi Geometrik.................... 4 3.2 Distribusi Kontinu......................... 4 ii
BAB 1 Statistika Deskriptif Silabus: Jenis data, ukuran pusat/lokasi, ukuran penyebaran, koefisien variasi, observasi luar, data kelompok, distribusi frekuensi, grafik Statistika adalah ilmu yang digunakan untuk mengumpulkan, mengorganisasi, melakukan inferensi dan menafsirkan data. Secara singkat, statistika adalah ilmu/pekerjaan untuk meyimpulkan tentang suatu fenomena pada populasi menggunakan sampel. Kajian awal dan utama dalam analisis data adalah statistika deskriptif. Kita dapat menghitung berbagai statistik dan membuat grafik serta memberikan interpretasi. Kesimpulan yang diberikan dalam statistika deskriptif bersifat subyektif; walau demikian, kesimpulan yang salah akan terlihat. Tujuan yang ingin dicapai dalam memahami statistika deskriptif, secara detil, adalah 1. membedakan jenis data dan memahami data 2. menghitung dan memaknai ukuran lokasi/pusat 3. membedakan variansi dan koefisien variasi 4. mengamati observasi luar 5. memahami data kelompok 6. menentukan distribusi frekuensi 7. membuat dan menafsirkan grafik 1
1.1 Data, Jenis Data, Memahami Data Data adalah hasil observasi tunggal (datum) yang didapat baik secara langsung (observasi/survey, praktikum) ataupun tidak langsung (buku, koran, internet). Data merupakan sumber utama analisis data. Pengumpulan, pengorganisasian dan pengolahan data merupakan pekerjaan statistika yang menuntut kerapian dan detil. Dalam praktiknya, data yang kita kumpulkan dapat dikelompokkan menjadi data kategorik atau data numerik. Hal ini merujuk pada sifat data yang memiliki label (kategorik) atau memiliki nilai (numerik). Data dapat pula dibedakan menjadi jenis data berikut: nominal (jenis kelamin, golongan darah) ordinal (tingkat kecemasan, tingkat nyeri) rasio/interval (denyut nadi, tekanan darah, nilai ujian) Latihan: Perhatikan kalimat-kalimat berikut. Tentukan jenis datanya (nominal, ordinal, rasio/interval). (a) dr. KS, SpD. mengatakan bahwa penyakit Noor sudah kronis, bukan akut (b) Wanda dan Windi berdebat tentang harga mobil yang kiranya layak untuk mobil yang hendak mereka beli (c) Apakah anda lahir pada bulan September? Diskusi: Perhatikan data jarak tempuh (dalam meter) ke sekolah dari beberapa siswa di suatu daerah. Table 1.1: Data jarak tempuh ke sekolah dari beberapa siswa. Siswa- Jarak Siswa- Jarak Siswa- Jarak Siswa- Jarak 1 3265 6 3323 11 2581 16 2759 2 3260 7 3649 12 2841 17 3248 3 3245 8 3200 13 3609 18 3314 4 3484 9 3031 14 2838 19 3101 5 4146 10 2069 15 3541 20 2834 Analisis Data 2 K. Syuhada, PhD.
Apakah analisis data rasio/interval akan lebih kaya dibandingkan dengan data nominal/ordinal? Apa yang bisa kita katakan tentang data tersebut? Dapatkah data numerik diubah menjadi data kategorik? Diskusi: Data peserta ujian di beberapa sekolah di suatu kecamatan tercatat dalam diagram batang dan daun sebagai berikut. Untuk membaca data, kita perhatikan kolom disebelah kiri garis yang menyatakan angka puluhan dan angka-angka disebelah kanan garis yang menyatakan angka satuan. Sebagai contoh, 3 5 berarti jumlah peserta ujian di sekolahg tertentu adalah 35 orang. 0 357889 1 02 2 3 5 Apakah data dalam bentuk diagram batang dan daun cukup informatif? Dapatkah data numerik tersebut diubah menjadi data kategorik? 1.2 Ukuran Pusat/Lokasi dan Penyebaran Setelah data dikumpulkan dan diorganisasikan, kita dapat memberikan tafsiran sederhana melalui ukuran atau statistik. Beberapa ukuran yang dikenal antara lain mean dan variansi/deviasi standar yang menyatakan nilai tengah dan simpangan data. Ukuran atau statistik yang melekat pada data dapat dibagi menjadi Ukuran pusat/lokasi: mean (aritmetik), median, modus Ukuran penyebaran: jangkauan, variansi/deviasi standar, kuartil Misalkan data sampel adalah x 1, x 2,..., x n, dimana x i menyatakan titik sampel ke-i. Mean (aritmetik) didefinisikan sebagai x = n x i i=1 n. Analisis Data 3 K. Syuhada, PhD.
Sifat-sifat mean (a) Untuk suatu konstanta k, n k x i = i=1 (b) Jika y i = x i + k maka ȳ = x + k. Buktikan! (c) Jika y i = k x i maka ȳ =. Median atau median sampel seringkali dikatakan sebagai nilai tengah. Dengan demikian, menghitung median haruslah dilakukan pada data yang sudah diurutkan. Definisi median adalah (a) Observasi ke-((n + 1)/2), (n ganjil), atau (b) Nilai tengah dari observasi ke-(n/2) dan ke-((n/2) + 1), (n genap) Diskusi: Bagaimana (perbandingan) nilai mean dan median untuk data yang (i) simetrik, (ii) menceng ke kanan, (iii) menceng ke kiri? Modus atau Mode adalah ukuran pusat yang menyatakan nilai observasi yang paling sering muncul. Menentukan modus dapat dilakukan pada data tanpa diurutkan (meskipun lebih mudah apabila diurutkan lebih dahulu). Latihan: 1. Tentukan ukuran lokasi/pusat dari contoh data diatas 2. Diketahui suatu data tentang jumlah saudara (kandung, angkat, tiri) dari 20 orang siswa sekolah menengah. Apabila setiap titik data ditambah tiga maka nilai mean dan jangkauan menjadi... Ukuran penyebaran menyatakan seberapa jauh data menyebar dari mean. Misalkan kita memiliki dua data sampel. Kedua sampel memiliki mean yang sama, namun mungkin saja memiliki penyebaran data yang berbeda. Beberapa ukuran penyebaran yang dikenal antara lain: 1. Jangkauan (Range): R = x maks x min 2. Variansi atau variansi sampel: s 2 = n (x i x) 2 i=1 n 1 Analisis Data 4 K. Syuhada, PhD.
Catatan: Deviasi standar atau simpangan baku adalah akar kuadrat dari variansi. 3. Kuartil: Umumnya kita kenal kuartil pertama dan ketiga, dinotasikan dengan K 1 dan K 3. Apa yang dapat kita katakan tentang kuartil kedua atau K 2? 4. Kuantil atau persentil:... Sifat-sifat variansi: Diketahui data sampel x 1,..., x n memiliki variansi s 2 x. Jika data sampel (a) y i = x i + k, (b) y i = k x i, untuk suatu konstanta k, maka s 2 y =... Variansi versus Koefisien Variasi: Kita dapat menghitung suatu ukuran yang mengaitkan ukuran penyebaran (deviasi standar) dengan ukuran lokasi (mean), yaitu koefisien variasi (coefficient of variation atau CV): CV = 100% (s/ x) yang tidak dipengaruhi unit ukuran yang dipakai. CV bermanfaat untuk membandingkan variabilitas beberapa sampel yang berbeda relatif terhadap nilai mean-nya. Dapat pula kita membanding CV dari beberapa variabel. Latihan: Data pada tabel berikut menyatakan berbagai faktor yang mempengaruhi masalah pada sistem jantung dan peredaran darah anak. Tentukan CV dan berikan interpretasinya. Table 1.2: Faktor risiko kardiovaskular pada anak. n mean s CV(%) Tinggi (cm) 364 142.6 0.31 Berat (kg) 365 39.5 0.77 Tekanan darah (mm Hg) 337 104 4.97 Kolesterol (mg/dl) 395 160.4 3.44 Analisis Data 5 K. Syuhada, PhD.
1.3 Mengamati Observasi Luar Observasi luar atau pencilan atau outlier adalah nilai/observasi yang menyimpang dari nilai-nilai/observasi yang lain. Observasi luar dapat ditentukan/dihitung dengan melihat apakah ada nilai/observasi yang LEBIH BESAR dari K 3 + 1.5 (K 3 K 1 ) atau LEBIH KECIL dari K 1 1.5 (K 3 K 1 ), dengan K 1 dan K 3 adalah kuartil pertama dan ketiga seperti telah dijelaskan sebelumnya. Dalam praktiknya, observasi luar dapat menyatakan sesuatu yang baik/jelek. Misalnya, seseorang dengan tingkat kecerdasan (IQ) yang sangat tinggi (jauh diatas rata-rata alias observasi luar) adalah baik. Seringkali observasi luar diabaikan dalam analisis data meskipun sesungguhnya cara ini tidaklah tepat. Mendeteksi observasi luar adalah sesuatu yang sangat menantang dalam statistika. Diskusi: Sekelompok observasi x 1,..., x n memiliki observasi luar x j untuk suatu j. Dapatkah kita membandingkan mean dengan dan tanpa observasi luar? Mungkinkah terdapat lebih dari satu observasi luar? 1.4 Data Kelompok Pandang data sampel dengan 275 observasi. Ukuran sampel tersebut terlalu besar sehingga menampilkan data apa adanya menjadi tidak efisien. Dengan demikian, data sampel dapat dikelompokkan. Pengelompokan ini dapat pula terjadi (harus dilakukan) karena tingkat keakuratan data yang diambil tidak dapat diperoleh dengan baik. Pengelompokan data memberikan masalah: Berapa banyak kelompok atau interval kelas (class intervals) yang ingin kita buat? Berapa lebar interval (interval width)? Salah satu formula yang bisa kita pakai adalah Formula Sturges, dimana banyaknya interval kelas adalah k = 1 + (3.322 log 10 n), dimana n adalah besar sampel. Lebar intervalnya: w = R/k, Analisis Data 6 K. Syuhada, PhD.
dengan R adalah jangkauan. Untuk contoh data sampel dengan 275 observasi, kita peroleh: k 8, w = (63 18)/8 = 5.625 Dengan demikian, lebar kelas interval adalah 5 atau 10. Diketahui obervasi terkecil dan terbesar, berturut-turut, adalah 18 dan 63. Jadi, kelas interval yang bisa dibuat adalah: 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 1.5 Memahami Grafik Tampilan visual (baca: grafik) dari data merupakan salah satu cara untuk memahami dan menginterpretasi data. Grafik bersifat menarik, memudahkan dalam membentuk pola, dan prediktif. Beberapa tampilan visualn untuk data adalah diagram pencar (scatter diagram), diagram bar/batang (bar chart), diagram batang dan daun (stem-and-leaf plot), histogram, box-plot. Diagram pencar merupakan bentuk grafik yang sederhana namun cukup informatif. Diagram ini berupa titik-titik yang menggambarkan nilai observasi. Pola atau kecenderungan data dapat dilihat dengan melihat grafik ini. Diagram batang dan daun memiliki ke-khas-an berupa tampilan nilai utama/pertama (batang) dan nilai satuan/kedua (daun). Diagram ini membantu kita untuk menghitung kuantil/persentil data dengan mudah. Analisis Data 7 K. Syuhada, PhD.
BAB 2 Peluang Silabus: Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat, Teorema Bayes. Setelah kita mempelajari analisis data secara deskriptif, maka kajian berikutnya adalah melakukan perhitungan secara probabilistik. Hal ini berkaitan dengan konsep distribusi frekuensi relatif yang telah dibahas sebelumnya. Analisis data secara probabilistik memerlukan pemahaman tentang hal-hal yang belum terjadi atau yang bersifat percobaan. Secara khusus, kita akan membangun ruang sampel dan mendefinisikan kejadian. Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari peluang adalah: 1. Mendefinisikan ruang sampel dan kejadian 2. Menghitung peluang suatu kejadian 3. Mengkaji konsep dan menghitung peluang bersyarat 4. Memanfaatkan Teorema Bayes untuk menghitung peluang bersyarat suatu kejadian 2.1 Ilustrasi Sebagai pengantar, perhatikan ilustrasi-ilustrasi berikut. Pemahaman peluang memerlukan pengetahuan tentang cara menyusun atau kombinasi/permutasi. Secara khusus, kita dituntut untuk dapat membangun pertanyaan peluang. Ilustrasi-1. Tanti baru saja mengikuti tes mata. Ia masih teringat beberapa huruf yang muncul: A-E-M-R-S. Kini, Tanti mencoba menyusun kata-kata yang mungkin dari huruf-huruf tersebut. 1
Ilustrasi-2. Hanin bermaksud menyumbangkan darahnya di suatu tempat donor. Hanin terlebih dahulu harus dicek golongan darahnya. Golongan darah yang mungkin untuk Hanin adalah... Rupanya Hanin tidak sendirian. Ada Hana dan Hanan disana yang memiliki maksud yang sama dengan Hanin. Jika seorang diantara mereka dipilih secara acak menjadi pendonor, berapa peluang orang yang terpilih adalah Hana? Jika, diantara mereka bertiga, Hanan terpilih menjadi pendonor, berapa peluang golongan darah Hanan adalah B? Ilustrasi-3. B dan G pergi berburu dengan cara menembak. Pada waktu yang disepakati, B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B) mengenai sasaran adalah 0.4. Berapa peluang sebuah tembakan mengenai sasaran? Berapa peluang sasaran tertembak? Ilustrasi-4. Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku 2.2 Konsep Peluang Ruang sampel, S, adalah himpunan semua hasil mungkin dari suatu percobaan. Kejadian, E, adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian, P (E), adalah rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruang sampel, atau P (E) = n(e) n(s), dimana n(e) dan n(s), berturut-turut, adalah banyaknya titik kejadian dan ruang sampel. Peluang suatu kejadian haruslah memenuhi aksioma dan sifat-sifat berikut: 1. 0 P (E) 1 Analisis Data 2 K. Syuhada, PhD.
2. P ({}) = 0 3. P (S) = 1 4. Untuk kejadian A dan B, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5. Jika kejadian A dan B saling asing maka P (A B) = 0 6. Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika P (A B) = P (A) P (B) Definisi peluang yang lain merujuk pada frekuensi relatif. Misalkan suatu percobaan dengan ruang sampel S diulang-ulang. Misalkan n(e) banyaknya kejadian E yang terjadi selama n pengulangan. Peluang kejadian E adalah P (E) = lim n n(e) n Latihan: 1. Dalam suatu rapat yang terdiri dari 20 orang, setiap orang berjabatan tangan dengan orang lain diakhir rapat. Ada berapa banyak jumlah salaman yang terjadi? 2. Sebuah lift bergerak dari lantai dasar berisi 8 orang (tidak termasuk operator lift) dan orang-orang tersebut akan keluar hingga lift mencapai lantai paling tinggi yaitu lantai 6. Dalam berapa cara sang operator dapat mengenali orang-orang yang keluar dari lift jika semuanya nampak mirip bagi sang operator? Bagaimana jika 8 orang tersebut terdiri atas 5 pria dan 3 wanita dan sang operator membedakan pria dan wanita? 3. Lima orang siswa meletakkan tasnya masing-masing ketika memasuki perpustakaan. Kemudian, ketika mereka keluar dari perpustakaan mereka mengambil tasnya secara acak tanpa memperhatikan apakah tas yang diambil adalah benar-benar miliknya. Apakah ruang sampel percobaan diatas? 4. Setiap pagi Swarna meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swarna pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah Swarna memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika Analisis Data 3 K. Syuhada, PhD.
pulang, Swarna akan masuk lewat pintu atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan pelung sama. Jika dia memiliki 4 pasang sepatu olah raga, akan dihitung berapa peluang Swarna akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki. Pertanyaan awal, tentukan ruang sampelnya! 5. Bapak Kepala Sekolah mengundang guru-guru yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran. Seorang guru yang bernama Pak Jaim memiliki dua anak. Kita akan menghitung peluang bahwa kedua anak Pak Jaim adalah laki-laki, diberikan bahwa Pak Jaim diundang ke acara syukuran tersebut. Pertanyaan awal adalah apa ruang sampel percobaan diatas? 2.3 Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes Ilustrasi-1. Pandang Ilustrasi-3 diatas. Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan G? Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai sasaran? Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai sasaran? Ilustrasi-2. Seorang praktikan, Ega, tahu bahwa sebuah lembar kerja praktikum akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat lab yang ada. Misalkan p i adalah peluang bahwa Ega akan menemukan lembar kerja praktikum setelah mengecek kotak surat lab i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat lab i, i = 1, 2, 3. Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat. Berapa peluang hal itu akan terjadi? Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Peluang kejadian A, apabila kejadian B telah terjadi, adalah peluang bersyarat P (A B) yaitu: P (A B) = P (A B, P (B) Analisis Data 4 K. Syuhada, PhD.
asalkan P (B) > 0. P (A B) = P (A). Jelas bahwa jika kejadian A dan B saling bebas maka Perhatikan bahwa konsep peluang bersyarat dapat digunakan untuk menghitung peluang total: P (B) = P (B A)P (A) + P (B A c )P (A c ) Latihan: 1. Laila memiliki 2 buah koin; satu koin baik (memiliki sisi M dan B) dan satu koin tidak baik (memiliki dua sisi M). Sebuah koin dipilih secara acak, kemudian dilantunkan. Berapa peluang muncul M? 2. Laila memiliki 2 buah koin; satu koin baik (memiliki sisi M dan B) dan satu koin tidak baik (memiliki dua sisi M). Sebuah koin dipilih secara acak, kemudian dilantunkan. Muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin baik? 2.3.1 Teorema Bayes TEOREMA BAYES: Misalkan {B 1, B 2,..., B n } adalah partisi dari ruang sampel dan misalkan A adalah kejadian yang terobservasi. Peluang kejadian B j diberikan A adalah P (B j A) = P (A B j) P (A) P (A B j ) P (B j ) = n i=1 P (A B i) P (B i ) Latihan: Tes darah di suatu laboratorium akan 95% efektif dalam mendeteksi suatu penyakit tertentu jika penyakit itu ada. Namun demikian, tes tersebut juga memberikan hasil positif yang salah pada 1% orang sehat yang dites. Jika 0.5% dari populasi mengidap penyakit tertentu tersebut, tentukan peluang bahwa seseorang menderita penyakit itu jika hasil tes positif? 2.4 Topik Lanjut Peluang Ilustrasi-1. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai Analisis Data 5 K. Syuhada, PhD.
tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? Ilustrasi-2. Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengan kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang sama untuk dapat bertahan hidup sampai hari esok sebesar α. Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang masih hidup? Apa yang dapat anda katakan tentang soal-soal peluang pada ilustrasi-ilustrasi diatas? Mungkinkah kita mendefinisikan suatu kejadian? ruang sampel? Perlukah cara lain untuk memahami peluang suatu kejadian? 2.4.1 Peubah acak dan fungsi distribusi Apa yang dapat kita katakan tentang peubah acak? Peubah acak tidaklah acak dan bukanlah peubah Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota S ke bilangan real R Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {a i, i = 1, 2,... } sedemikian hingga P ( {X = a i } ) = P (X = a i ) = 1 i i Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. F X disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dari bilangan real dan barisan {p i, i = 1, 2,... } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga p i = 1 dan i F X (x) = a i x p i Analisis Data 6 K. Syuhada, PhD.
Jika diberikan himpunan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dan bilangan positif {p i, i = 1, 2,... } sdh i p i = 1, fungsi peluang p X (x) adalah p X (x) = p i = P (X = a i ), dengan x = a i Fungsi distribusi (kumulatif), F (x) = P (X x), memiliki sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun (b) lim F (x) = 1 x (c) lim F (x) = 0 x (d) F fungsi kontinu kanan Catatan: P (a < X b) = F (b) F (a) P (X b) P (X < b) P (X < b) = P ( { 1 }) lim X b n n = lim P ( X b 1 ) n n = lim F ( b 1 ) n n Latihan: 1. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut: p, x = 1.9 0.1, x = 0.1 0.3, x = 20p f(x) = p, x = 3 4p, x = 4 0, x yang lain Hitung P ( 1.9 X 3), F (2), F (F (3.1)) 2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < 3.1 3/5, 3.1 x < 0 F (x) = 7/10, 0 x < 1 1, 1 x Analisis Data 7 K. Syuhada, PhD.
BAB 3 Distribusi Diskrit dan Kontinu Silabus: Distribusi peubah acak, distribusi diskrit, distribusi kontinu. Peubah acak merupakan alat yang dapat digunakan untuk mempelajari konsep pada tingkat lanjut. Salah satu karakteristik utama peubah acak adalah memiliki distribusi. Distribusi diskrit adalah fenomena yang digambarkan oleh peubah acak diskrit melalui fungsi peluang/distribusi. Beberapa distribusi diskrit yang dikenal adalah binomial, Poisson dan geometrik. Distribusi uniform, eksponensial dan normal adalah contoh-contoh distribusi kontinu. 3.1 Distribusi Diskrit 3.1.1 Distribusi Binomial Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan sukses atau gagal dari suatu percobaan. Definisikan X(sukses) = 1 dan X(gagal) = 0 dan p X (1) = P (X = 1) = θ p X (0) = P (X = 0) = 1 θ dimana 0 θ 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter θ. Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, θ), dinotasikan X B(k; n, θ). Fungsi peluangnya adalah f(k) = p X (k) = C n k θ k (1 θ) n k 1
Latihan: 1. Misalkan X B(5, 0.2). Hitung: (a) P (0 < X 1) (b) P (X 1) 2. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? 3. Misalkan X peubah acak Binomial yang menyatakan banyak orang yang datang ke toko dan membeli barang. Diketahui nilai parameter sukses adalah 0.6. Jika 10 orang masuk toko, berapa peluang terjadinya maksimal sebuah sukses? 4. Tentukan mean dan variansi peubah acak Binomial dengan parameter (n, θ) 5. Suatu hasil produksi (misalkan sebuah TV) akan rusak dengan peluang 0.1. Hasil produksi saling bebas. Jika terdapat 3 hasil produksi (3 buah TV), berapa peluang bahwa paling banyak 1 TV rusak? 6. Empat buah koin dilantunkan. Asumsikan bahwa hasil lantunan saling bebas. Hitung peluang akan muncul 2 Muka dan 2 Belakang? 3.1.2 Distribusi Poisson Distribusi diskrit lain yang cukup dikenal adalah distribusi Poisson. Umumnya distribusi ini terlihat pada fenomena banyaknya telfon yang masuk pada suatu hari, banyaknya kendaraan yang lewat di jalanan pada periode waktu tertentu dsb. Perhatian kita adalah pada banyaknya sukses pada periode tertentu. Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang λ λi f(i) = p X (i) = e i!, untuk i = 0, 1, 2,... dan λ > 0. Peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ. Latihan 1. Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? Analisis Data 2 K. Syuhada, PhD.
2. Misalkan X peubah acak Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa P (X = i) naik secara monoton sebelum kemudian turun secara monoton untuk i semakin besar. Apa yang anda ketahui tentang pendekatan Poisson untuk Binomial? Misalkan X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, θ), P (X = x) = C n x θ x (1 θ) n x and misalkan λ = nθ. Maka, n! P (X = x) = x! (n x)! θx (1 θ) n x ( ) x ( n! λ = 1 λ ) n x x! (n x)! n n n(n 1) (n i + 1) λ x (1 λ/n) n = n x x! (1 λ/n) x =... λ λx e x! Petunjuk: Untuk n besar dan λ moderat (karena θ cukup kecil), ( 1 λ n) n n(n 1) (n i + 1) n x ( 1 λ n) x Latihan: 1. Misalkan peluang sebuah produk susu akan tercemar melamin adalah 0.1. Tentukan peluang bahwa paling banyak 1 produk susu yang tercemar dari sampel sebanyak 10 produk susu! (0.7361, 0.7368) 2. Misalkan X B(n, θ) dan Y P OI(λ). Cari hubungan antara f(k +1) dan f(k) untuk kedua peubah acak. Analisis Data 3 K. Syuhada, PhD.
3.1.3 Distribusi Geometrik Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses α. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter α. Fungsi peluangnya adalah f X (n) = p(n) = P (X = n) = (1 α) n 1 α, untuk n = 1, 2,... dan α > 0. Misalkan Y peubah acak yang menyatakan kegagalan yang sudah dialami sebelum mendapatkan sukses yang pertama; diketahui peluang mendapatkan sukses adalah α. Fungsi peluang untuk Y adalah f Y (k) = (1 α) k α, k = 0, 1, 2,... Diskusi: Apa yang dapat anda katakan tentang mean dan variansi untuk kedua peubah acak X dan Y tersebut? Apakah nilai mean lebih besar daripada variansi? Latihan: 1. Hitung momen pertama dan kedua untuk peubah acak Geometrik dengan parameter α 2. Tiga remaja makan disuatu restoran. Untuk menentukan siapa yang akan membayar, mereka sepakat untuk mengundi dengan melantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib membayar makanan yang telah dipesan. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan: a. P (X = 3) b. P (X > 4) 3.2 Distribusi Kontinu Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya F X dapat diturunkan. Fungsi peluang f X adalah turunan dari fungsi distribusi, f X (x) = d dx F X(x) Analisis Data 4 K. Syuhada, PhD.
atau dengan kata lain F X (x) = x f X (t) dt Catatan: 1 = F X ( ) = P (a X b) = F X (b) F X (a) = P (X = a) = a a f X (t) dt = 0 f X (t) dt b a f X (t) dt Latihan: 1. Diketahui f(x) = c e 2x, x > 0, Hitung (i) c, (ii) P (X > 2) 2. Suatu peubah acak X memiliki fungsi peluang f(x) = k (1 x 2 ), untuk 1 < x < 1. Tentukan F X (x) Distribusi Uniform Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi Uniform pada selang [a, b] jika fungsi peluang f X nya sebagai berikut f X (x) = 1 b a, a x b. Distribusi Normal Peubah acak kontinu X adalah peubah acak normal atau Gauss dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluangnya adalah ( 1 f X (x) = exp 1 ) (x µ)2, 2 π σ 2σ2 untuk x. Analisis Data 5 K. Syuhada, PhD.
Latihan: 1. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan P (X > 1/2) 2. Tentukan mean dan variansi dari peubah acak Uniform pada selang nol dan satu 3. Jika X N(1, 4), hitung P (2 < X < 3) 4. Peubah acak normal dengan parameter (0, 1) dikatakan sebagai peubah acak normal standar. Tentukan c sedemikian hingga P ( X < c) = 0.5 5. Diketahui fungsi peluang suatu peubah acak adalah f(x) = α e αx, x > 0 Hitung E(e ax ) 6. Tentukan fungsi distribusi dari peubah acak eksponensial dengan parameter λ Analisis Data 6 K. Syuhada, PhD.