MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 1 Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah Ilustrasi 8.1 Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan pada seseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaan juga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaan yang nilainya adalah peubah acak agamma dengan parameter s dan α. Jika seorang pemegang polis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, kita dapat menentukan peluang bersyarat dari parameter kecelakaannya. Selain itu, kita juga dapat menentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) pada tahun berikutnya. Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama (joint pmf) dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) = P (X = x, Y = y) Catatan. 1. Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti 2 peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama 2. {X = x, Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y Proposisi 8.1 Fungsi peluang bersama p X,Y memenuhi sifat-sifat berikut: 1. p X,Y (x, y) 0, (x, y) 2. (x, y) R 2 : p X,Y (x, y) 0 terhitung 3. x,y p X,Y (x, y) = 1 Proposisi 8.2 Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, p X (x) = y p X,Y (x, y), x R dan p Y (y) = x p X,Y (x, y), y R adalah fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y.
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 2 Diskusi. Fungsi peluang bersama dari 2 peubah acak diskrit menentukan fungsi peluang marginal dari peubah acak-peubah acak tsb. Apakah sifat ini berlaku sebaliknya? Latihan. 1. Diberikan data ttg jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual sbb (X kamar tidur, Y kamar mandi): 2 3 4 5 Total 2 3 0 0 0 3 14 12 2 0 28 4 2 11 5 1 Total 23 50 a. Hitung p X,Y (3, 2) b. Tentukan fungsi peluang bersama dari X dan Y X\Y 2 3 4 5 Total 2 0.06 0.00 0.00 0.00 0.06 3 0.28 0.24 0.04 0.00 0.56 4 0.04 0.22 0.10 0.02 0.38 Total 0.38 0.46 0.14 0.02 1.00 2. Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga X dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) = p 2 (1 p) x+y 2, x, y N dimana 0 < p < 1. Tentukan dan identifikasikan fungsi peluang marginal dari X dan Y. p X (x) = y p X,Y (x, y) = p 2 (1 p) x+y 2 y=1 = p 2 (1 p) x 2 (1 p) y = p (1 p) x 1 y=1 3. Diantara 8 orang politisi: 2 Golkar, 2 Demokrat, 4 PDIP. Tiga dari 8 politisi ini dipilih secara acak dengan pengembalian. Misalkan X adalah banyaknya Golkar, Y banyaknya Demokrat. Tentukan fungsi peluang bersama X dan Y. Hitung P (X = Y )
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 3 p X,Y (x, y) = C 3 x,y,3 x y (1/4) x (1/4) y (1/2) 3 x y, x, y = 0, 1, 2, 3 X\Y 0 1 2 3 Total 0 1/8 3/16 3/32 1/64 27/64 1 3/16 3/16 3/64 0 27/64 2 3/32 3/64 0 0 9/64 3 1/64 0 0 0 1/64 Total 27/64 27/64 9/64 1/64 1 4. Pandang keadaan pada soal 2. Tentukan peluang bahwa (a) kedua komponen elektronik tsb bertahan lebih dari 4 jam? (b) salah satu komponen bertahan setidaknya 2 kali dari komponen yang lain? p X,Y (x, y) = p 2 (1 p) x+y 2 x>4 y>4 x=5 y=5 = = (1 p) 8 P (X 2Y ) + P (Y 2X) = 2 P (X 2Y ) = 2 p 2 (1 p) x+y 2 = = y=1 x=2y 2(1 p) 3 3p + p 2 FUNGSI PELUANG/DISTRIBUSI BERSAMA (KONTINU) Definition. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama dari X dan Y, F X,Y adalah F X,Y (x, y) = P (X x, Y y), x, y R Contoh. Misalkan sebuah titik diambil secara acak dari {(x, y) R 2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1} Misalkan X dan Y menyatakan koordinat x dan y dari titik yang terpilih. Tentukan fungsi distribusi bersama dari X dan Y.
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 4 Jawab: Kasus 1: x < 0, y < 0 Kasus 2: 0 x < 1, 0 y < 1 Kasus 3: 0 x < 1, y 1 Kasus 4: x 1, 0 y < 1 Kasus 5: x 1, y 1 Proposisi 8.3 Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak terdefinisi di ruang sampel yang sama. Untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d, P (a < X b, c < Y d) = F X,Y (b, d) F X,Y (b, c) F X,Y (a, d) + F X,Y (a, c) Definisi 8.1 Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Fungsi non-negatif f X,Y adalah fungsi peluang bersama dari X dan Y untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d, Catatan. P (a X b, c Y d) = f X,Y (x, y) = b d 2 x y F X,Y (x, y) = a c f X,Y (x, y) dxdy 2 y x F X,Y (x, y) Latihan. Dapatkah kita mendapatkan fungsi peluang bersama dari contoh/latihan diatas? Proposisi 8.4 Suatu fungsi peluang bersama f X,Y (x, y) dari peubah acak X dan Y memenuhi 2 sifat berikut 1. f X,Y (x, y) 0 untuk semua (x, y) R 2 2. f X,Y (x, y) dxdy = 1 Proposisi 8.5 Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Maka dan f X (x) = f Y (y) = adalah fungsi peluang marginal dari X dan Y. f X,Y (x, y)dy, x R f X,Y (x, y)dx, y R
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 5 Latihan. 1. Misalkan X dan Y memiliki fungsi peluang bersama (i) f(x, y) = c (y 2 x 2 ) e y, y x y, 0 < y < (ii) f(x, y) = c x y 2, 0 x 1, 0 y 1 a. Tentukan c b. Tentukan fungsi peluang marginal X dan Y c. Hitung P (Y > 2X) d. Apakah X dan Y saling bebas? a. Untuk menentukan c: 1 = y 0 y c (y 2 x 2 ) e y dx dy = 8c Jadi c = 1/8. b. Fungsi peluang marginal: f X (x) = 1/4 e x (1 + x ) f Y (y) = 1/6 y 3 e y, y 0 c. P (Y > 2X) = y/2 0 y c (y 2 x 2 ) e y dx dy = d. X dan Y tidak saling bebas. Catatan: X dan Y saling bebas jika f(x, y) = f X (x) f Y (y) 2. Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidup X dan Y. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah f X,Y (x, y) = λ µ exp( λx + µy), x, y > 0 dimana λ > 0, µ > 0 a. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat t b. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang pertama kali rusak c. Tentukan peluang bahwa komponen B adalah komponen yang pertama kali rusak
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 6 a. P (X > t, Y > t) = t t = = e (λ+µ)t λ µ e (λ x+µ y) dy dx b. P (X < Y ) = 0 x = = λ λ + µ λ µ e (λ x+µ y) dy dx 3. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusahaan asuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besar nilai klaim yang akan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap, perusahaan harus melunasi pembayaran klaim sebesar Y. Perusahaan menentukan bahwa X dan Y memiliki fungsi peluang bersama f X,Y (x, y) = 2 x 2 (x 1) y (2x 1)/(x 1), x > 1, y > 1 a. Tentukan f X (x) b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluang bahwa klaim yang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3. a. f X (x) = 1 = b. P (1 < Y < 3 X = 2) = 2 x 2 (x 1) y (2x 1)/(x 1) dy 3 1 = = 8/9 ( fx,y (x, y) f X (x) ) dy X=2