BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Salah satu konsep yang sangat menarik untuk dikaji adalah konsep copula. Konsep ini banyak digunakan di bidang matematika dan statistika, bahkan aplikasinya mulai populer digunakan di bidang keuangan (finance) dan asuransi (insurance). Dalam teori aktuaria tradisional, setiap individu diasumsikan independen atau saling bebas. Namun, banyak kajian yang menemukan bahwa masing-masing individu memiliki dependensi satu sama lain. Dependensi tersebut dapat diukur menggunakan berbagai macam metode seperti regresi, korelasi, maupun copula. Kata copula pertama kali diperkenalkan dalam ilmu matematika atau statistika oleh Abe Sklar. Selanjutnya, konsep copula dalam konteks asuransi diperkenalkan untuk pertama kali oleh Wang [1998]. Fisher dalam Nelsen [2006] mengatakan bahwa ada dua alasan mengapa copula menarik perhatian statistikawan, yang pertama ialah karena konsep copula dapat digunakan untuk mempelajari ukuran dependensi dalam skala yang bebas, dan yang kedua karena konsep copula merupakan titik awal untuk menyusun keluarga-keluarga distribusi bivariat. Menurut Nelsen [2006], teori copula pada dasarnya merupakan fungsi gabungan atau couple fungsi distribusi marginal univariat menjadi fungsi distribusi multivariat. Keluarga copula yang umum dikenal ialah copula Elliptical dan copula Archimedean. Keluarga copula Elliptical terdiri dari copula Gaussian dan copula Student, sedangkan copula Archimedean terdiri dari copula Gumbel, copula Cook-Johnson, dan copula Frank. Copula Archimedean banyak dikaji dan dikembangkan karena beberapa alasan yaitu, (1) Karena merupakan copula multivariat kontinu yang bentuknya sederhana, namun memiliki range yang lebar untuk struktur dependensi; (2) Karena merupakan copula bivariat yang sederhana dalam menggambarkan de- 1
2 pendensi; (3) Karena merupakan pendekatan dependensi yang mudah diimplementasikan. Selain kedua keluarga copula yang umum diatas, dikenal pula keluarga copula Farlie-Gumbel-Morgenstern yang sering disingkat dengan copula FGM. Copula ini merupakan keluarga dari copula parametrik yang memiliki interval nilai rho Spearman dan tau Kendall yang terbatas. Sehingga saat ini, copula FGM mulai populer dan banyak dikembangkan atau digeneralisasi agar dapat digunakan dalam memodelkan dependensi yang tinggi. Selain memodelkan dependensi, konsep copula dalam bidang asuransi juga dapat digunakan dalam menentukan harga premi. Salah satu asuransi yang cukup menarik untuk dihitung preminya ialah asuransi pertanian. Di Indonesia sendiri, boleh dikatakan belum ada perusahaan asuransi yang menawarkan produk asuransi pertanian. Jika dilihat dari faktor resiko maka sektor pertanian memiliki resiko yang besar mengalami loss atau kerugian. Oleh karena itu, faktor loss perlu diperhatikan dalam memodelkan harga premi asuransi pertanian. Dalam memodelkan distribusi gabungan dari distribusi marginal yang tidak independen, pendekatan konsep copula menjadi alternatif yang dapat digunakan. Berkaitan dengan hal itu, konsep copula dapat digunakan dalam menggabungkan distribusi marginal antara luas lahan pertanian dengan besarnya hasil produksi. Oleh karena itu, pada tesis ini dibahas Generalisasi Copula Farlie-Gumbel-Morgenstern dan Penerapannya untuk Menentukan Harga Net Single Premi pada Asuransi Pertanian di Indonesia. 1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas maka dalam Tesis ini dibahas mengenai generalisasi copula FGM dan penerapannya pada asuransi pertanian. Adapun rumusan masalah dalam Tesis ini adalah: 1. Bagaimana bentuk generalisasi copula FGM. 2. Bagaimana interval nilai dan bentuk rho Spearman serta bentuk tau Kendall
3 pada generalisasi copula FGM. 3. Bagaimana menentukan harga net single premi pada asuransi pertanian yang berbasis copula. 1.3. Batasan Masalah Dalam Tesis ini, permasalahannya dibatasi pada bentuk generalisasi copula FGM dan karakteristik-karakteristiknya. Dari generalisasi copula FGM diperoleh bentuk rho Spearman dan tau Kendall yang baru. Diperoleh juga interval nilai rho Spearman yang semakin lebar, sehingga copula FGM dapat digunakan untuk mengukur dependensi yang tinggi. Selain itu, generalisasi copula FGM digunakan untuk menentukan harga net single premi pada asuransi pertanian dengan menggunakan data luas lahan dan hasil produksi jagung di Indonesia yang diambil dari data Badan Pusat Statistika (BPS). 1.4. Tujuan Penelitian Tujuan dalam penelitian ini adalah: 1. Untuk menjelaskan generalisasi copula FGM. 2. Untuk mejelaskan dan menjabarkan karakteristik-karakteristik copula FGM yang telah digeneralisasi. 3. Untuk menggambarkan interval nilai rho Spearman dan bentuk tau Kendall dari generalisasi copula FGM. 4. Untuk menentukan net single premi dari asuransi pertanian berbasis generalisasi copula FGM. 1.5. Manfaat Penelitian Dengan adanya penelitian ini diharapkan dapat: 1. Memberikan sumbangan dalam perkembangan ilmu pengetahuan khususnya
4 di bidang aktuaria. 2. Menambah wawasan pembaca dalam menggunakan copula utamanya copula FGM. 3. Memberikan informasi mengenai net single premi pada asuransi pertanian, sehingga dapat diterapkan baik oleh perusahaan asuransi maupun oleh pemerintah. 1.6. Tinjauan Pustaka Konsep copula telah dibahas oleh Sklar dalam sebuah teorema yang ditulis pada paper dengan judul Fonctions de repartition an dimension et leurs marges. Roger B. Nelsen [2006] dalam bukunya yang berjudul An Introduction to Copulas menjelaskan dengan detail definisi dan sifat-sifat dasar dari copula. Selain itu dijelaskan pula berbagai metode yang dapat digunakan untuk mengkonstruksi copula. Dalam buku yang sama, Nelsen juga memberikan gambaran dan penjelasan tentang rho Spearman, tau Kendall, dan hubungan antara keduanya. Denuit et al. [2005] dalam bukunya yang berjudul Actuarial Theory for Dependent Risks, Measures, Orders, and Models juga menjelaskan tentang copula dan aplikasinya dalam teori resiko. Model copula FGM pertama kali diperkenalkan oleh Morgenstern [1956] dan diekplorasi lebih lanjut oleh Gumbel [1960] untuk marginal eksponensial. Dalam paper yang ditulis Nelsen pada tahun 1994, dijelaskan karakteristik dari keluarga copula FGM sebagai terminologi dari nilai koefisien korelasi antar marginal. Huang dan Kotz [1999] mengembangkan tipe polinomial dengan single parameter yang memperluas distribusi bivariat FGM. Generalisasi copula FGM mulai dilakukan oleh banyak praktisi dan akademisi diantaranya, Bairamov et al. [2001] memberikan beberapa teorema yang menggambarkan karakteristik simetris untuk distribusi FGM yang telah dikembangkan Huang dan Kotz. Durante dan Jaworski [2009] menurunkan suatu karakteristik dari copula bivariat dengan menggunakan derivative Dini. Bekrizadeh et al. [2012]
5 memperumum copula FGM dengan menggeneralisasi sampai pangkat ke-n. Generalisasi yang diberikan Amblard dan Girard [2009] pada jurnal Metrika sangat kompleks dan memberikan bentuk yang sangat umum pada rho Spearman dan tau Kendall. Perhitungan harga net single premi untuk asuransi pertanian sudah banyak ditulis namun yang menggunakan konsep copula masih sangat jarang. Oleh karena itu, penentuan harga net single premi pada Tesis ini mengacu pada penentuan harga premi asuransi-cyber yang diberikan oleh Herath dan Tejaswini [2011] dalam papernya yang diberi judul Copula-Based Actuarial Model for Pricing Cyber- Insurance Policies. 1.7. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam penyusunan Tesis ini adalah dengan melakukan studi literatur dan bimbingan penuh dari dosen pembimbing. Mengacu pada konsep dan sifat-sifat dasar copula yang diberikan oleh Nelsen, dan beberapa generalisasi copula FGM yang dipaparkan dalam beberapa jurnal sebelumnya maka didefinisikan copula FGM baru sebagai generalisasi copula FGM. Selanjutnya, bentuk pdf generalisasi copula FGM dapat diperoleh dengan melakukan turunan parsial dari masing-masing variabel random. Bentuk pdf dari generalisasi copula FGM digunakan untuk menentukan bentuk tau Kendall. Selain tau Kendall dicari pula interval dan bentuk rho Spearman dari generalisasi copula FGM. Pada bagaian akhir dengan menggunakan data luas lahan dan hasil produksi jagung di Indonesia ditentukan net single premi asuransi pertanian berbasis generalisasi copula FGM. 1.8. Sistematika Penulisan Pada penulisan Tesis ini penulis menggunakan sistematika sebagai berikut, BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini disajikan latar belakang dan permasalahan, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi
6 penelitian, dan sistematika penulisan Tesis. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini disajikan landasan teori yang digunakan sebagai alat dalam pembahasan yang ada pada bab III. Landasan teori tersebut meliputi teori dasar yaitu variabel random, distribusi Gamma, distribusi Weibull, distribusi Poisson, distribusi gabungan yang terdiri atas distribusi gabungan diskrit dan kontinu, estimasi likelihood maksimum, konsep copula termasuk copula FGM, copula Clayton, dan copula Gumbel, konsep concordance, tau Kendall, rho Spearman, dan Deductible. BAB III GENERALISASI COPULA FGM Pada bab ini disajikan konsep copula semiparametrik, hasil dari generalisasi copula FGM, perluasan bentuk dan interval nilai rho Spearman, perluasan bentuk tau Kendall, dan aplikasi generalisasi copula FGM dalam menentukan net single premi pada asuransi pertanian. BAB IV STUDI KASUS Pada bab ini disajikan studi kasus berkaitan dengan penentuan harga net single premi asuransi pertanian. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Pada bab ini disajikan kesimpulan dari hasil penelitian, serta saran untuk pengembangan lebih lanjut.