BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kendali model prediktif termultipleksi atau Multiplexed Model Predictive Control (MMPC) merupakan pengembangan dari kendali model prediktif atau Model Predictive Control (MPC). Berdasarkan arti dari multipleks yaitu terpecah atau terbagi menjadi beberapa bagian, pengembangan MPC menjadi MMPC terletak pada cara mencari sinyal masukan yang baru untuk setiap waktu instan, yaitu dari pembaruan sinyal masukan secara simultan berubah menjadi pembaruan sinyal masukan secara bergantian dan siklis. MPC merupakan teknik kendali yang telah banyak diaplikasikan dalam dunia industri. Kendali MPC memperbarui sinyal kendali secara on-line, dengan menyelesaikan masalah optimalisasi berkendala untuk memperoleh barisan prediksi kendali optimal setiap waktu instan, dan hanya elemen pertama pada barisan optimal yang diaplikasikan ke dalam sistem. Penyelesaian masalah optimalisasi berkendala secara on-line akan menjadikan waktu untuk menemukan solusi menjadi salah satu faktor yang berpengaruh. Dengan demikian, semakin besar kompleksitas perhitungan yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimalisasi, semakin besar pula waktu yang diperlukan untuk menemukan solusi. Hal ini akan menjadi salah satu keterbatasan, apabila sistem membutuhkan solusi dalam waktu lebih cepat daripada waktu menemukan solusi. Pada masalah kendali multivariabel, besar dimensi vektor state dan sinyal masukan berpengaruh pada kompleksitas perhitungan. Sebuah ide yang disampaikan Ling et al (2006) bahwa kompleksitas perhitungan masalah optimalisasi dapat diturunkan dengan cara membagi masalah optimalisasi menjadi beberapa submasalah optimalisasi dengan cara memperbarui input secara bergantian. Ide ini menjadi dasar terciptanya pengembangan MPC yang dinamakan MMPC 1
2 (Multiplexed Model Predictive Control). Ide dasar pengembangan MPC menjadi MMPC terletak pada cara memperbarui sinyal kendali setiap waktu instan. Misalkan jumlah masukan yang akan diperbarui m dan interval antara waktu instan adalah T. Setiap waktu instan, kendali MPC memperbarui m masukan secara serentak, menggunakan satu masalah optimalisasi selama selang T. Di sisi lain, kendali MMPC menggunakan m sub masalah optimalisasi sehingga sinyal kendali akan diperbarui satu persatu setiap selang waktu T/m. Jika m sub masalah optimalisasi telah diselesaikan berarti satu siklus atau satu waktu instan telah dilewati. Dengan demikian, siklus untuk waktu instan 2T siap dimulai. Berdasarkan gambaran tersebut, kendali MMPC memiliki kelebihan dalam hal perhitungan dibandingkan MPC karena variabel keputusan masalah optimalisasi pada MMPC jauh menurun dibandingkan kendali MPC. Di samping itu, penurunan jumlah variabel keputusan pada masalah optimalisasi MMPC tidak banyak mempengaruhi cara membuat kendali MMPC ini menjadi kokoh terhadap gangguan. Dalam hal ini, apabila kendali MPC dapat dibuat menjadi kokoh dengan suatu metode, kendali MMPC juga dapat dibuat kokoh melalui metode yang sama dengan MPC namun dengan sedikit modifikasi. Ketidakcocokan antara keadaan sebenarnya dengan model matematika dari kondisi sebenarnya dikatakan sebagai gangguan. Gangguan ini terjadi diakibatkan asumsi-asumsi yang dibuat untuk menyederhanakan model matematika agar model tersebut bisa dianalisis. Perancangan kendali yang bertujuan menstabilkan trayektori state pada model belum tentu menghasilkan perilaku yang sama untuk kondisi sebenarnya. Oleh karena itu, kendali kokoh menjadi salah satu pembahasan yang penting agar perilaku state pada model berlaku untuk sistem sebenarnya. Dengan demikian, pada pembahasan MMPC nanti akan dijelaskan metode supaya didapatkan versi kokohnya. Kendali kokoh untuk MMPC ini dinamakan Robust Multiplexed Model Predictive Control (RMMPC). Metode yang digunakan untuk memperoleh RMMPC didasarkan atas metode yang diaplikasikan pada kendali Robust Model Predictive Control (RMPC), yaitu
3 metode penyempitan kendala (constraint tightening). Metode penyempitan kendala untuk MPC sendiri telah banyak diaplikasikan dalam berbagai model sistem, seperti yang tertera pada Richards (2005). Berdasarkan sifat fleksibilitas ini, untuk selanjutnya, metode penyempitan kendala dimodifikasi untuk memperoleh RMMPC. Teknik kendali prediktif yang dibahas di dalam tesis ini ada empat macam, yaitu: MPC, RMPC, MMPC, dan RMMPC. Berdasarkan empat kendali ini, permasalahan yang akan dikerjakan adalah 1. merumuskan kendali MMPC kemudian menyelidiki fisibilitas dan kestabilannya. 2. membuat teknik kendali MMPC menjadi kendali kokoh terhadap gangguan yang terbatas dalam interval tertentu lalu mengecek fisibilitas dan kestabilan kendalinya. 3. membandingkan performansi kendali MPC terhadap MMPC, serta performansi kendali MMPC terhadap RMMPC melalui simulasi contoh dengan menerapkan program Matlab. 1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan penelitian ini, selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-2 (S2) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, adalah untuk 1. menerapkan kendali MMPC ke dalam masalah sistem dengan kendali MPC dan menunjukkan performansi kendali MMPC lebih baik daripada MMPC, 2. menerapkan kendali RMMPC pada sistem yang tidak dapat mempertahankan kestabilan karena adanya gangguan yang terbatas dan menunjukkan bahwa trayektori sistem dengan gangguan terbatas tersebut menjadi stabil. Manfaat dari penelitian ini adalah 1. sebagai sumbangan terhadap teori teknik kendali diskrit, selain kendali penempatan kutub dan linier kuadratik, yang dapat diterapkan pada sistem multivariabel sebagai contoh kendali suhu pada semi kondukter multi-zone.
4 2. memberikan gambaran tentang cara memodifikasi suatu kendali, 3. program Matlab yang dibuat diharapkan dapat membantu untuk mensimulasikan aplikasi MMPC pada suatu sistem. 1.3. Tinjauan Pustaka Teknik kendali model prediktif termultipleksi atau MMPC diperkenalkan oleh Ling et al (2006) sebagai salah satu strategi untuk menurunkan kompleksitas perhitungan masalah optimalisasi pada sistem berkendali MPC dengan cara membagi masalah optimalisasi menjadi beberapa sub masalah optimalisasi melalui optimalisasi input secara bergantian. Ling et al (2010) menjelaskan secara lengkap mengenai kendali MMPC dan RMMPC. Pembahasan MMPC meliputi model prediksi, masalah optimalisasi, algoritma, serta teorema mengenai fisibilitas dan stabilitas. Semua uraian kendali MMPC berdasarkan pada teknik kendali MPC. Di sisi lain, pembahasan mengenai kendali RMMPC mencangkup metode penyempitan kendala, masalah optimalisasi, algoritma, serta teorema mengenai fisibilitas yang dapat dipertahankan meski terdapat gangguan yang terbatas dan terjadi secara terus menerus pada sistem. Penjelasan mengenai metode penyempitan kendala pada RMMPC ini berdasarkan pada penyempitan kendala pada RMPC. Dengan demikian, terdapat empat kendali prediktif yang dibahas dalam tesis ini, yaitu: MPC, RMPC, MMPC, dan RMMPC. Keempat macam kendali prediktif ini menggunakan masalah optimalisasi untuk menentukan kendali optimal. Prinsip kendali yang digunakan keempat kendali prediktif ini adalah membawa state awal menuju himpunan target. Setelah mencapai himpunan target, terdapat kendali lain yang membawa trayektori state menuju origin. Ada tiga komposisi penting yang diperlukan dalam masalah optimalisasi meliputi : terminal cost, terminal set atau himpunan target, serta kendali yang berlaku dalam himpunan target. Pada MPC, kendali dalam himpunan target adalah LQR horison tak berhingga sedangkan terminal cost merupakan solusi dari kendali LQR horison tak berhingga. Hal ini berdasar pada Sznaier dan Damborg (1987)
5 yang mengatakan bahwa pemilihan kendali LQR horison tak berhingga dapat mewakili solusi masalah optimalisasi horison tak berhingga. Pada MMPC, pemilihan terminal cost telah diuraikan oleh Ling et al (2010). Fungsi terminal cost ini bergantung pada kendali optimal di dalam himpunan target. Pada tesis ini, kendali dalam himpunan target yang menggantikan kendali MMPC dipilih kendali LQR horison tak berhingga sistem diskrit periodik. Hal ini berdasarkan pada kendali MPC, yaitu kendali dalam himpunan target merupakan kendali LQR horison tak berhingga. Diketahui bahwa fungsi terminal cost dan kendali dalam himpunan target hanya mendukung kestabilan state origin namun tidak mempengaruhi fisibilitas. Dengan demikian, pemilihan terminal cost dan kendali dalam himpunan target untuk RMPC sama dengan MPC, begitu pula untuk RMMPC sama dengan MMPC. Komposisi yang dibutuhkan selain terminal cost pada masalah optimalisasi MPC dan MMPC adalah terminal set atau himpunan target. Konsep mengenai penambahan himpunan target dalam masalah optimalisasi sebenarnya telah ada sebelum terminal cost. Pada Maciejowski (2002), fisibilitas dan kestabilan pada MPC didapatkan cukup dengan menambahkan himpunan target yang hanya berisi titik origin. Namun metode ini memiliki kelemahan yaitu menyempitnya daerah fisibilitas solusi. Pada laporannya mengenai perkembangan MPC, Mayne et al (2000) menjelaskan teorema mengenai fisibilitas dan kestabilan MPC didapatkan dengan menambahkan terminal cost dan terminal set. Himpunan target tidak hanya berupa origin namun juga mencangkup persekitaran origin sehingga masalah berkurangnya daerah fisibilitas dapat diatasi. Ide ini yang kemudian memunculkan konsep terminal cost. Menurut teorema yang dijelaskan dalam Mayne et al (2000) tentang MPC dan teorema yang dijelaskan dalam Ling et al (2010) tentang MMPC, ada beberapa sifat yang harus dipenuhi untuk himpunan target supaya fisibilitas dan kestabilan didapatkan. Sifat-sifat ini kemudian dicocokkan dalam teori yang ditulis Kerrigan (2000) mengenai himpunan invariant. Fungsi oinfsetcl dalam invariant toolbox for Matlab oleh Kerrigan (2000) dipakai untuk mencari himpunan target pada MPC
6 dan MMPC. Himpunan target mempengaruhi fisibilitas solusi sehingga pemilihan himpunan target untuk RMPC dan RMMPC tidak dapat mengabaikan faktor gangguan pada sistem meski gangguan itu nilainya terbatas. Metode penyempitan kendala untuk membuat kokoh kendali MPC telah dijelaskan dalam Richards (2005). Kendali RMPC diterapkan pada sistem linier invariant dengan tujuan membawa trayektori output menuju trayektori set point. Penyempitan kendala dilakukan pada kendala output dan ditentukan oleh matriks control policy K dan matriks transisi yang berasosiasi yaitu L. Terdapat beberapa cara yang dilakukan untuk menemukan matriks K dan L ini. Salah satunya adalah membuat matriks L nilpoten sehingga setelah waktu tertentu nilai L = 0. Metode pencarian matriks K sendiri ada beberapa macam. Richards (2005) menggunakan teknik penempatan kutub untuk contoh linier time invariant dengan dua state, satu input, dan tiga output. Pada kasus kendali pesawat luar angkasa (spacecraft control), Richards (2005) menerapkan aturan kendali bang-bang tiga langkah (three step bang-off-bang). Pada tesis ini, penyempitan kendala untuk RMPC dilakukan pada kendala state dan input. Matriks K ditentukan dengan teknik penempatan kutub agar mendapatkan matriks L nilpotent pada akhir horison prediksi. Sifat nilpotensi matriks L pada akhir horison prediksi ini akan berdampak pada himpunan target untuk MPC dapat digunakan untuk RMPC. Hal yang sama berlaku pula untuk RMMPC. Versi kokoh untuk MMPC telah dijelaskan secara rinci oleh Richards et al (2007) dan Ling et al (2010). Teknik yang dilakukan untuk mempertahankan fisibilitas solusi pada RMMPC berdasarkan pada RMPC yang dijelaskan oleh Richards (2005). Metode yang diterapkan adalah penyempitan kendala pada state dan input. Penyempitan kendala ini dipengaruhi oleh matriks K i dan L i namun bersifat periodik sebab persamaan keadaan untuk kendali MMPC bersifat periodik. Pada tesis ini, metode untuk mencari matriks K i supaya L N nilpotent, dengan N horison prediksi, adalah mengkonversi persamaan LTV periodik menjadi LTI. Dengan demikian, metode penempatan kutub dapat diterapkan.
7 1.4. Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan dalam pembuatan tesis yaitu metode literatur dan simulasi contoh. Metode penelitian yang pertama yaitu mempelajari teori-teori yang berhubungan dengan kendali MMPC dan RMMPC. Hal-hal yang dipelajari yaitu teori optimalisasi, teori sistem diskrit, teori kendali sistem diskrit, teori himpunan invariant, teori kendali prediktif (MPC), dan RMPC. Teori optimalisasi meliputi himpunan konveks, fungsi konveks, fungsi kuadratik, dan titik optimal global dalam fungsi konveks. Selanjutnya berkembang ke arah teori optimalisasi konveks, karena masalah optimalisasi dalam kendali MMPC ini masuk ke dalam masalah pemrograman konveks. Teori sistem diskrit dipelajari karena nantinya kendali MMPC akan diterapkan ke dalam contoh persamaan diskrit. Teori yang dipelajari mencakup dua hal pokok yaitu keterkendalian dan kestabilan. Pembahasan tentang kestabilan meliputi: titik kesetimbangan, kestabilan yang dilihat berdasarkan nilai eigen matriks state, dan kestabilan menggunakan fungsi Lyapunov. Teori kendali pada sistem diskrit yang dipelajari adalah kendali umpan balik penempatan kutub dan kendali linier kuadratik. Kendali umpan balik penempatan kutub digunakan untuk menentukan nilpotent control policy pada RMPC dan RMMPC. Kendali linear kuadratik diterapkan sebagai kendali yang berlaku dalam himpunan target dengan solusi optimalnya diterapkan sebagai terminal cost untuk MPC, RMPC, MMPC, dan RMMPC. Teori himpunan invariant yang dipelajari adalah one-step set, reach set, himpunan invariant positif, dan himpunan invariant kontrol. Keempat himpunan ini berperan dalam pencarian terminal set pada kendali MPC, RMPC, MMPC dan RMMPC. Teori berikutnya yang dipelajari yaitu MPC, meliputi strategi receding horison dan masalah optimalisasi. Selanjutnya, fisibilitas dan stabilitas teknik kendali MPC akan dijelaskan dengan melibatkan terminal set dan terminal cost dalam kendala dan fungsi obyektif masalah optimalisasi. Teori terakhir yang akan digunakan untuk penelitian ini adalah teori kendali
8 kokoh. Teori yang dibahas adalah metode penyempitan kendala pada masalah optimalisasi untuk memperoleh sifat kokoh kendali MPC. Teori ini akan dimodifikasi untuk mendapatkan sifat kokoh kendali MMPC. Metode penelitian kedua adalah simulasi contoh menggunakan program Matlab. Pada tesis akan diberikan contoh untuk membandingkan performansi sistem dengan kendali MPC dan MMPC kemudian contoh yang menunjukkan kestabilan asimtotik masih dapat dipertahankan meski terdapat gangguan pada sistem berkendali RMMPC. Beberapa fungsi pada Matlab yang dipakai antara lain Invariant set toolbox oleh Kerrigan (2000) digunakan untuk menyajikan himpunan polihedral, pencarian himpunan target, serta pontryagin diference. Fungsi dlqr untuk mencari kendali umpan balik linier kuadratik. Kemudian fungsi dpre dipakai untuk mencari persamaan Ricatti sistem periodik. Terakhir, fungsi fmincon digunakan untuk mencari solusi masalah pemrograman kuadratik. Bagan alur penelitian pada Lampiran A menjelaskan tentang fokus utama dari penelitian. Pada tesis ini, penelitian terpusat pada pencarian himpunan target (terminal set), terminal cost, dan metode penyempitan kendala. Tiga faktot tersebut mempunyai peranan besar dalam fisibilitas solusi dan kestabilan. Pencarian himpunan target untuk MPC dan MMPC diperoleh melalui sifat himpunan dengan definisi yang ditulis Kerrigan (2000). 1.5. Sistematika Penulisan Pada penulisan tesis ini, sistematika yang digunakan adalah sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang dan permasalahan, tujuan dan manfaat, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab II berisi landasan teori yang diperlukan untuk Bab III dan IV, mencakup: teori optimalisasi, teori persamaan sistem diskrit, kendali sistem diskrit, himpunan in-
9 variant, kendali model prediktif (MPC), dan RMPC. BAB III KENDALI MODEL PREDIKTIF TERMULTIPLEKSI Bab III berisi teori mengenai kendali model prediktif termultipleksi (MMPC), yaitu: model prediksi, masalah optimalisasi, cara untuk memperoleh fisibilitas dan kestabilan, bagaimana menentukan terminal cost dan himpunan target, serta simulasi contoh kendali MMPC untuk dibandingkan dengan MPC. BAB IV KENDALI MODEL PREDIKSI TERMULTIPLEKSI KOKOH BAB IV membahas tentang kendali model prediktif termultipleksi kokoh (RMM- PC) meliputi: metode penyempitan kendala, syarat untuk memperoleh fisibilitas kokoh, dan simulasi contoh kendali RMMPC untuk dibandingkan dengan MMPC dan RMPC. BAB V PENUTUP Bab IV adalah bab penutup yang terdiri atas kesimpulan dan saran.