ANALISIS DATA STATISTIK Ad Setawa Peerbt Tsara Grafka Salatga 017
Katalog Dalam Terbta 519.5 ADI Ad Setawa a Aalss data statstk/ Ad Setawa. -- Salatga : Tsara Grafka, 017. v, 5 p. ; 5 cm. ISBN 978-60-9493-5-8 1. Statstcs. I. Ttle. Cetaka pertama : September 017 Hak Cpta : Pada Peuls Dsa Sampul : Tsara Grafka Tata letak : Harre Sswato Percetaka : Tsara Grafka Peerbt : Tsara Grafka Hak Cpta dldug oleh Udag-udag Dlarag megutp atau memperbayak sebaga atau seluruh buku tapa sej peuls Dpoegoro 98 D SALATIGA - JAWA TENGAH Telp. 098-31798 Moble: 081 859 8985 Emal: harresswato@gmal.com
KATA PENGANTAR Buku dsusu berjudul Aalss Data Statstk utuk memeuh mata kulah Statstka Lajut. Statstk Dasar yag dpelajar dalam 3 sks serg kal belumlah mecakup bayak hal sehgga sagat kuragya latar belakag teor yag dguaka d dalam aalss data. Buku dsusu berdasarka pegalama megajar maupu dalam peelta serta membmbg mahasswa dalam melakuka peelta bak utuk mahasswa program stud S1 Matematka, S Magster Sas Pskolog maupu S Magster Sstm Iformas. Dalam abad data sekarag, metode ekstraks data mejad formas sagatlah petg sehgga aka dapat - utuk meghadap permasalaha-permasalaha yag aka mucul d kemuda har. Algortma yag efse dalam aalss data sagatlah dperluka d waktu medatag, amu dasardasar teor statstk yag kuat aka sagat bermafaat dalam megaalss data-data yag mak bayak jes da besara dataya. Krtk da sara yag membagu aka sagat kam harapka agar buku mejad semak bermafaat. Salatga, September 017 Peuls
v
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI v I PENDAHULUAN 1 II PENCARIAN DISTRIBUSI DATA SECARA EKSPLORATIF III UJI KECOCOKAN : DISTRIBUSI NORMAL 4 IV UJI KECOCOKAN:DISTRIBUSI MULTINOMIAL 41 V ANALISIS TABEL KONTINGENSI (TABEL k r) 51 VI ANALISIS VARIANSI 67 VII ANALISIS REGRESI LINEAR SEDERHANA 87 VIII ANALISIS REGRESI LINEAR GANDA 110 IX STATISTIKA NON PARAMETRIK 153 X UJI VALIDITAS DAN UJI RELIABILITAS 184 XI PENUTUP 0 DAFTAR PUSTAKA 03 LAMPIRAN-LAMPIRAN 05 v
BAB I PENDAHULUAN Mata kulah Statstka dalam peyajaya dapat terbag ke dalam Statstka Dasar da Statstka Lajut. Dalam Statstka Dasar dbahas tetag bagamaa mergkas data bak megguaka umerk maupu gambar atau grafk, dasar-dasar teor probabltas, dstrbus samplg, estmas da peguja hpotess. Dalam Statstka Lajut pada buku dbahas tetag pecara dstrbus bak secara eksploratf maupu secara formal, peguja kecocoka dstrbus multomal, peguja kecocoka dstrbus ormal, aalss tabel kotges, aalss varas, aalss regres lear bak sederhaa maupu gada, statstka o parametrk da statstka peddka yag membahas tetag uj valdtas da uj relabltas. Buku berjudul Aalss Data Statstk yag dapat dguaka sebaga mater utama mata kulah Statstka Lajut. Data-data ya dguaka berasal dar data-data Bada Pusat Statstk (BPS), data tess Magster Sas Pskolog da data-data fktf yag dguaka sebaga lustras. *** Aalss Data Statstk 1
BAB II PENCARIAN DISTRIBUSI DATA SECARA EKSPLORATIF Apabla dmlk suatu data maka selalu dapat dtayaka dar dstrbus maa data tersebut berasal. Salah satu jawaba yag serg dbuat adalah data sesua dega dstrbus yag basa dkeal. Sebaga cotoh adalah bahwa data berasal dar dstrbus ormal dega mea μ da varas. Masalah yag serg dhadap adalah bagamaa meetuka dstrbus dar suatu data. Dalam hal serg kal dguaka aalss data eksploratf da juga kemuda dguaka metode statstka formal. Dalam hal aka dbahas metode utuk meetuka dar dstrbus maa suatu data berasal. II.1 Fugs kuatl da keluarga Lokas-Skala Msalka F fugs dstrbus dar suatu dstrbus probabltas pada R. Jka dberka (0,1 ) maka terdapatlah dega tuggal x R sehgga F (x ) maka x dsebut kuatl- dar F. Dalam hal kuatl- dar F dguaka otas F - 1 (). Berdasarka pada otas dtetuka fugs kuatl yatu vers dar F asalka fugs tersebut terdefska dega bak (well defed). Fugs kuatl dar F secara umum ddefska sebaga F 1 ( ) f { F( x) } dega (0,1 ). Dalam kalmat hal dapat dyataka bahwa F -1 () adalah la terkecl x dega F(x). Cotoh II.1 Varabel radom X mempuya dstrbus ekspoesal dega mea 1 jka mempuya fugs kepadata probabltas Ad Setawa
f(x) = e -x utuk x > 0. Fugs dstrbus kumulatf dar varabel radom X adalah F(x) = 1- e -x utuk x > 0 da 0 utuk x 0. Gambar II.1 mempresetaska fugs dstrbus dar dstrbus eskpoesal dega mea/ rata-rata 1 atau laju (rate) 1. Fugs kuatl dar dstrbus ekspoesal tersebut adalah F 1 ( ) l(1 ) dega (0,1). Sebaga cotoh, utuk = 0,, dperoleh kuatl 0, atau kuatl 0% adalah F 1 (0,) l(1 0,) l(0,8) 0,31. Gambar II. mempresetaska fugs kuatl dar dstrbus ekspoesal yatu dega (0,1). F 1 ( ) l(1 ) 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 0 4 6 8 10 Gambar II.1 Fugs dstrbus dar dstrbus eskpoesal dega rate 1 atau mea/rata-rata 1 Aalss Data Statstk 3
0 1 3 4 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Gambar II. Fugs kuatl dar dstrbus eskpoesal dega rata-rata 1. Sebaga besara stokastk X mempuya dstrbus F da fugs dstrbus dar a + bx dapat dyataka sebaga x a F a, b ( y) F b dega a R, b > 0. Keluarga dstrbus probabltas { Fa,b a R, b > 0 } dsebut keluarga skala-lokas aggota F. Jka X mempuya mea E(X) = 0 da varas Var(X) = 1 maka mea da varas dar F a,b masg-masg adalah a da b. Dapat dbuktka bahwa fugs kuatl memeuh F 1 a, b ( ) a b F 1 ( ). 1 1 Dega kata la ttk-ttk ( F ( ), F a, b ( ) (0,1) terletak pada gars lurus y = a + bx. Cotoh II. Msalka varabel radom X mempuya dstrbus ekspoesal dega rata-rata 1. Jka varabel radom 4 Ad Setawa
Y = a + bx dega a, b R da b > 0 maka fugs dstrbus dar Y adalah yatu y a F Y ( y) P( Y y) P( ab X y) P( X ( y a)/ b) F b F Y y a ( y) 1 exp b utuk y > a da 0 utuk y 0. Fugs kuatlya adalah F 1 ( ) ( a b) l(1 ) dega (0,1). Hal tu berart memeuh F 1 a, b ( ) a b F 1 ( ). II. QQ-plot utuk pecocoka Msalka x 1,..., x replkas salg bebas (depedet) dar betuk dstrbus probabltas F. Statstk berurut ke- yatu x () mempuya suatu fraks sektar /(+1) dar pegamata atau sektar kuatl /(+1) dar pegamata. Oleh karea tu ttk 1 F, x( ) 1,,3,..., 1 ( ) dharapka terletak pada sektar gars lurus. Plot dar ttk tu dkeal dega ama QQ-plot. Cotoh II.3 Dega batua komputer dapat dbagktka 50 blaga radom dar dstrbus N(,4). Gambar 3. memberka QQplot utuk 50 blaga radom dega sumbu x meyataka kuatl N(0,1) da sumbu y meyataka statstk berurut (ordered statstcs) dar 50 blaga radom tersebut. QQplot terhadap dstrbus ormal dar data dalam paket program qqorm(u) dega u meyataka vektor data. Terlhat bahwa Aalss Data Statstk 5
grafk cederug membetuk gars lurus sehgga data cederug berdstrbus ormal. Normal Q-Q Plot Normal Q-Q Plot Normal Q-Q Plot Sample Quatles - 0 4 6 Sample Quatles -4-0 4 6 Sample Quatles - 0 4 6 - -1 0 1 Theoretcal Quatles - -1 0 1 Theoretcal Quatles - -1 0 1 Theoretcal Quatles Gambar II.3 Tga QQ-plot dar 50 ttk data dar N(,4) melawa N(0,1). QQ-plot memberka suatu metode pada mata utuk mela sampel berasal dar dstrbus maa yatu apabla plot tersebut berada d sektar gars y = x maka data berasal dar dstrbus F. Bla plot tersebut meympag dar gars y = x maka hal tu memberka suatu petujuk bahwa data berbeda dar dstrbus F atau data berasal dar keluarga lokas skala yag la. Jad pelaa dar QQ-plot adalah merupaka ketrampla megguaka mstar utuk melhat hasl pegamata kurag lebh terletak pada gars lurus. Hal meyataka bagamaa QQ-plot dla berdasarka alasa formal. Beberapa cotoh QQ-plot dberka pada Gambar II.4 Terlhat bahwa kuatl seragam U(0,1) melawa kuatl N(0,1) da kuatl ch-kuadrat melawa kuatl ormal tdak membetuk gars lurus sedagka kuatl seragam U(0,1) melawa kuatl seragam U(0,3) da kuatl N(3,5) melawa kuatl N(0,9) membetuk gars lurus. Hal tu berart bahwa QQplot dar data melawa kuatl yag mempuya keluarga skala-lokas yag sama aka membetuk gars lurus. 6 Ad Setawa
Kuatl N(0,1) - -1 0 1 0.0 1.0.0 3.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Kuatl U(0,1) 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Kuatl U(0,1) Kuatl N(0,9) -0 0 10 0 Kuatl N(0,9) -6-6 Kuatl U(0,3) 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Kuatl Ch-square 5-5 0 5 10 15 Kuatl N(3,5) Gambar II.4 Plot dar pasaga kuatl. Utuk sampel yag mempuya ukura kurag dar 30 sult utuk megguaka QQ-plot dalam peetua dstrbus data. Hal tu dgambarka pada Gambar II.5. Terlhat bahwa ttk-ttk pada ketga gambar cederug tdak membetuk gars lurus. Normal Q-Q Plot Normal Q-Q Plot Normal Q-Q Plot N(0,1) -1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Cauchy -10-5 0 5 10 15 Ekspoesal 0.0 0.5 1.0 1.5.0 - -1 0 1 Theoretcal Quatles - -1 0 1 Theoretcal Quatles - -1 0 1 Theoretcal Quatles Gambar II.5 QQ-plot dar 0 pegamata dar dstrbus N(0,1), Cauchy Stadard da Ekspoesal dega mea 1 melawa N(0,1). Aalss Data Statstk 7
Cotoh II.4 Tabel II.1 meyataka data flas bulaa asoal Idoesa mula Jauar 009 sampa dega Desember 011. QQplot dar data flas bulaa tersebut dyataka pada Gambar II.6, terlhat bahwa QQplotya cederug membetuk gars lurus sehgga data flas bulaa cederug berdstrbus ormal. Tabel II.1 Data flas bulaa mula Jauar 009 sampa dega Desember 011 BULAN INFLASI BULAN INFLASI BULAN INFLASI Jauar 009-0.07 Jauar 010 0.84 Jauar 011 0.89 Februar 009 0.1 Februar 010 0.3 Februar 011 0.13 Maret 009 0. Maret 010-0.14 Maret 011-0.3 Aprl 009-0.31 Aprl 010 0.15 Aprl 011-0.31 Me 009 0.04 Me 010 0.9 Me 011 0.1 Ju 009 0.11 Ju 010 0.97 Ju 011 0.55 Jul 009 0.45 Jul 010 1.57 Jul 011 0.67 Agustus 009 0.56 Agustus 010 0.76 Agustus 011 0.93 September 009 1.05 September 010 0.44 September 011 0.7 Oktober 009 0.19 Oktober 010 0.06 Oktober 011-0.1 November 009-0.03 November 010 0.6 November 011 0.34 Desember 009 0.33 Desember 010 0.9 Desember 011 0.57 Normal Q-Q Plot Sample Quatles 0.0 0.5 1.0 1.5 - -1 0 1 Theoretcal Quatles Gambar II.6 QQplot data flas bulaa melawa dstrbus ormal 8 Ad Setawa
II.3 QQ-plot utuk uj smetrk Besara stokastk X dsebut mempuya dstrbus smetr sektar jka X- da -X mempuya dstrbus yag sama. Jka X berdstrbus kotu maka X berdstrbus smetr sektar da fugs kepadataya smetr sektar. Dstrbus smetr dpadag lebh sederhaa dar pada dstrbus asmetr. Utuk mela bahwa data berasal dar dstrbus smetr dapat dguaka batua hstogram atau stem-ad-leaf plot. Demka juga dega megguaka parameter kemecega merupaka petujuk yag bak, parameter kemecega sama dega ol belum berart bahwa suatu dstrbus ampak smetr. Cara yag lebh kuat adalah dega meetuka selsh atara mea da meda dar suatu dstrbus yag meceg. Kemecega dapat juga dla dar fugs kuatl, dega mudah dapat dtujukka bahwa fugs kuatl memeuh F 1 (1 ) F 1 ( ) dega (0,1 ). Kesamaa berlaku utuk setap dstrbus smetr F. Hal berart utuk suatu dstrbus smetr ttk-ttk F 1 ( ), F 1 (1 ) (0,1) terletak pada gars lurus. Utuk data-data X 1, X,..., X berasal dar suatu dstrbus smetrk da dharapka bahwa ttk-ttk { ( X (), X ( 1) ) = 1,,..., } aka terletak pada suatu gars lurus juga. Plot dar ttk tersebut dkeal dega ama plot smetrk (symmetrc plot atau symplot). Cotoh II.5 Gambar II.7 mempresetaska plot smetrk utuk data dar dstrbus ekspoesal. Terlhat bahwa tdak megkut gars lurus sehgga cederug tdak smetrs sepert juga dtujukka dega hstogramya. Aalss Data Statstk 9
Hstogram of x Frequecy 0 5 10 15 0 0 1 3 4 0 1 3 4 x Gambar II.7 Hstogram da Plot smetrk dar data berdstrbus ekspoesal Cotoh II.6 Berdasarka data pada Cotoh II.4, dapat dbuat hstogram da plot smetrk dar data flas bulaa tersebut yag dyataka pada Gambar II.8. Terlhat bahwa data flas bulaa tersebut kurag smetrk karea ttk-ttk cederug tdak terletak pada gars lurus, tetap apabla kta membuag outler maka aka dperoleh hasl pada Gambar II.9 yag cederug lebh smetrk. Frequecy 0 1 3 4 5 6 7 0.0 0.5 1.0 1.5 0 1 3 4 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Gambar II.8 Hstogram da Plot smetrk dar data pada Cotoh II.4 10 Ad Setawa
Frequecy 0 1 3 4 5 6 7-0. 0. 0.6 1.0 0.0 0.5 1.0-0. 0. 0.6 1.0 Gambar II.9 Hstogram da Plot smetrk dar data pada Cotoh II.4 tapa megkutsertaka outler *** Aalss Data Statstk 11
SOAL & PENYELESAIAN Soal 1 Varabel radom X berdstrbus ekspoesal dega mea b sehgga mempuya fugs kepadata probabltas 1 x / b f ( x) e b utuk x > 0. Tetuka fugs dstrbus da fugs kuatlya. Peyelesaa Fugs dstrbus dar varabel radom X adalah F(x) = 0 utuk x < 0 da x 1 t / b t / b x x / b F( x) e dt e 1 e 0 b 0 utuk x > 0. Akbatya, fugs kuatl dapat dperoleh dega sehgga atau e y 1 e x / b x b 1 y x / b l( 1 y). Akbatya, dperoleh fugs kuatl F ( ) l(1 ) utuk (0,1). Soal Varabel radom X berdstrbus seragam pada (a,b) dega a,b R da b > a sehgga mempuya fugs kepadata probabltas f ( x) 1 b a utuk a < x < b. Tetuka fugs dstrbus da fugs kuatlya. 1 Ad Setawa
Peyelesaa Fugs dstrbus dar varabel radom X adalah F(x) = 0 utuk x a da F( x) a x 1 dt b a t b a x 0 x a b a utuk a < x < b serta F(x) = 1 utuk x b. Akbatya, fugs kuatl dapat dperoleh dega sehgga atau x a y b a ( b a) y x a x a ( b a) y. Akbatya, dperoleh fugs kuatl F( ) a ( b a) utuk (0,1). Soal 3 Varabel radom X mempuya fugs kepadata probabltas f ( x) k x utuk 0 < x <. Tetuka k sehgga f(x) merupaka fugs kepadata probabltas, fugs dstrbus da fugs kuatlya. Peyelesaa Kostata k dtetuka sehgga atau 1 0 f ( x) dx 1 x k x dx k k atau k = ½. Fugs dstrbus dar varabel radom X adalah F(x) = 0 utuk x 0 da 0 Aalss Data Statstk 13
F( x) 0 t dt t x 0 x 4 utuk 0 < x < serta F(x) = 1 utuk x. Akbatya, fugs kuatl dapat dperoleh dega sehgga atau x y 4 4y x x 4y. Akbatya, dperoleh fugs kuatl utuk (0,1). Soal 4 F ( ) 4 Varabel radom X berdstrbus N(0,1) da Y = X + 1 maka tetuka grafk fugs dstrbus dar X da Y. Tetuka juga grafk dar fugs kuatl dar varabel radom X da fugs kuatl varabel radom Y. Peyelesaa Karea varabel radom X berdstrbus N(0,1) maka varabel radom Y berdstrbus ormal dega mea E[Y] = E[ X + 1 ] = E[X] + 1 = (0) + 1 = 1 da varas adalah V[Y] = V[ X + 1 ] = 4 V[X] = 4 (1) = 4. Grafk fugs dstrbus X da Y dyataka pada Gambar II.10. 14 Ad Setawa
Gambar II.10 Grafk fugs dstrbus varabel radom X da Y (grafk ttk-ttk) Soal 5 Varabel radom X mempuya dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas sehgga mempuya fugs kepadata probabltas dega 1 / 1 x/ f ( x) x e / ( / ) utuk x > 0. Gambarka grafk dar f(x), F(x) da fugs kuat F -1 (). Peyelesaa Grafk fugs kepadata probabltas ch-kuadrat dega derajat bebas 5 da fugs dstrbusya dyataka pada Gambar II.11. Aalss Data Statstk 15
f(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 0 x 0 5 10 15 0 x Gambar II.11 Grafk fugs kepadata probabltas dar dstrbus chkuadrat dega derajat bebas 5 da fugs dstrbusya. F-1(alfa) 0 5 10 15 F(x) 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Gambar II.1 Grafk fugs kuatl dar dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas 5. Soal 6 Varabel radom X mempuya dstrbus Beta dega parameter = 3 da = 4 sehgga mempuya fugs kepadata probabltas (7) 31 41 3 f ( x) x (1 x) 60x (1 x) (3) (4) utuk 0 < x < 1. Gambarka grafk dar f(x), F(x) da fugs kuat F -1 (). alfa 16 Ad Setawa
Peyelesaa Grafk fugs kepadata probabltas dar dstrbus Beta dega parameter = 3 da = 4 da fugs dstrbusya dyataka pada Gambar II.13. f(x) 0.0 0.5 1.0 1.5.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.4 0.8 x 0.0 0.4 0.8 x Gambar II.13 Grafk fugs kepadata probabltas dar dstrbus Beta dega parameter = 3 da = 4 da fugs dstrbusya. F-1(alfa) 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 F(x) 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Gambar II.14 Grafk fugs kuatl dar dstrbus Beta dega parameter = 3 da = 4. Soal 7 Apabla dbagktka sampel ukura 50 dar dstrbus ekspoesal dega mea 3 maka bagamaakah grafk QQplot sampel melawa dstrbus teortsya? alfa Aalss Data Statstk 17
Peyelesaa Grafk pada Gambar II.15 meyataka grafk QQ-plot sampel ukura 50 dar dstrbus ekspoesal dega mea 3 melawa dstrbus teortsya. Terlhat bahwa ttk-ttk dalam QQ-plotya cederug membetuk gars y = x. Sample Quatles 0 5 10 0 5 10 Theortal Quatles Gambar II.15 QQplot Sampel Ukura 50 dar Dstrbus Ekspoesal dega mea 3 melawa dstrbus Ekspoesal dega mea 3 Soal 8 Apabla dbagktka sampel ukura 50 dar dstrbus Beta dega parameter = 3 da = 4 maka bagamaakah grafk QQ-plot sampel melawa dstrbus teortsya? Peyelesaa Grafk pada Gambar II.16 meyataka grafk QQ-plot sampel ukura 50 dar dstrbus Beta dega parameter = 3 da = 4 melawa dstrbus teortsya. Terlhat bahwa ttk-ttk dalam QQ-plotya cederug membetuk gars y = x. 18 Ad Setawa
Sample Quatles 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Theortal Quatles Gambar II.16 QQplot Sampel Ukura 50 dar Dstrbus Beta dega parameter = 3 da = 4 melawa dstrbus Beta dega parameter = 3 da = 4 Soal 9 Gambarka grafk dar fugs kuatl dar dstrbus N(5,4) 1 yatu F ( ) melawa F 1 (1 ) dega (0,1). Grafk damaka plot smetrk. Peyelesaa 1 Grafk dar fugs kuatl dar dstrbus N(5,4) yatu F ( ) melawa F 1 (1 ) dega (0,1) dyataka pada Gambar II.17. Terlhat bahwa grafkya membetuk dar lurus sehgga terlhat bahwa dsrbus N(5,4) smetrk. Aalss Data Statstk 19
Fugs kuatl 1-alfa dar N(5,4) 0 4 6 8 10 Gambar II.17 Grafk plot smetrk. Soal 10 Berka cotoh-cotoh la dar dstrbus N(5,4) yag smetrk maupu yag tdak smetrk da gambarka plot smetrk masg-masg. Peyelesaa 0 4 6 8 10 Fugs kuatl alfa dar N (5,4) Fugs kuatl 1-alfa N(0,1) - -1 0 1 - -1 0 1 Fugs kuatl alfa N(0,1) Fugs kuatl 1-alfa ch-kuadrat dg df=5 0 5 10 15 0 5 10 15 Fugs kuatl alfa ch-kuadrat dg df=5 Fugs kuatl 1-alfa Beta(3,3) 0.0 0.4 0.8 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Fugs kuatl 1-alfa Exp(1/4) 0 5 10 15 0 5 10 15 Fugs kuatl alfa Beta(3,3) Fugs kuatl alfa Exp(1/4) Gambar II.18 Grafk plot smetrk 0 Ad Setawa
Grafk dar fugs kuatl F 1 (1 ) F 1 ( ) melawa fugs kuatl dega (0,1) dar berbaga dstrbus dyataka pada Gambar II.18. Terlhat bahwa grafkya membetuk dar lurus utuk dstrbus N(0,1) da Beta(3,3) sehgga kedua dstrbus smetrk. Pada grafk dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas 5 da dstrbus ekspoesal dega mea 4 masg-masg grafkya tdak membetuk gars lurus sehgga kedua dsrbus tdak smetrk. Aalss Data Statstk 1
LATIHAN 1. Varabel radom X berdstrbus seragam pada (0,1). Tetuka fugs kepadata probabltas f(x), fugs dstrbus F(x) da fugs kuatlya.. Varabel radom X berdstrbus ekspoesal dega mea 3. Tetuka fugs kepadata probabltas f(x), fugs dstrbus F(x) da fugs kuatlya. 3. Varabel radom X mempuya fugs kepadata probabltas f ( x) k x dega 0 < x < 3. Tetuka k sehgga f(x) merupaka fugs kepadata probabltas, fugs dstrbus F(x) da fugs kuatlya. 4. Varabel radom X mempuya dstrbus Gamma dega parameter = 4 da = 3. Berka betuk fugs kepadata probabltas dar varabel radom X. Gambarka juga grafk fugs kepadata probabltas, fugs dstrbus da fugs kuatlya. 5. Varabel radom X mempuya dstrbus Beta dega parameter = 4 da = 3. Berka betuk fugs kepadata probabltas dar varabel radom X. Gambarka juga grafk fugs kepadata probabltas, fugs dstrbus da fugs kuatlya. 6. Apabla dbagktka sampel ukura 50 dar dstrbus Gamma dega parameter = 3 da = 4 maka bagamaakah grafk QQ-plot sampel melawa dstrbus teortsya? 7. Apabla dbagktka sampel ukura 50 dar dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas 5 maka bagamaakah grafk QQ-plot sampel melawa dstrbus teortsya? 8. Guaka plot smetrk utuk megecek apakah dstrbus Beta (4,3) smetrk atau tdak. Ad Setawa
9. Guaka plot smetrk utuk megecek apakah dstrbus Gamma(4,3) smetrk atau tdak. 10. Guaka plot smetrk utuk megecek apakah laju flas bulaa Kota Ambo perode Jauar 009 sampa dega Ju 013 smetrk. Ulag pertayaa yag sama utuk Kota Jayapura. Tabel II. Tabel laju flas Bulaa Kota Ambo da Kota Jayapura dar bula Jauar 009 s/d Ju 013. BULAN AMBON JAYAPURA BULAN AMBON JAYAPURA Jauar 009 1, -1,7 Aprl 011 0,09-0,4 Februar 009 0,71-0,44 Me 011 1,66 0,5 Maret 009 0,3 1,67 Ju 011 3,76 0,6 Aprl 009 0,4-0,03 Jul 011-1, 0, Me 009-0,11-1,31 Agustus 011 0,83 1,14 Ju 009 -,7 1 September 011-0,4-1,07 Jul 009 1,1-0,56 Oktober 011-0,67 0,0 Agustus 009 1,7 0,81 November 011-0,34 0,89 September 009-0,55 1,9 Desember 011 0,43 0,36 Oktober 009 0,76-0,64 Jauar 01 1,6 0,06 November 009 0,5 1,1 Februar 01 1,31 0,93 Desember 009 3,49 0,31 Maret 01 1,33-1,44 Jauar 010 3,3 1,8 Aprl 01 0,79 0,7 Februar 010-0,65-0,5 Me 01 0,06-0,94 Maret 010 0,7 0,56 Ju 01,39 0,96 Aprl 010-0,51-0,51 Jul 01 1,7 0,63 Me 010-0,07 0,71 Agustus 01 0,19 0,65 Ju 010 0,85 0,84 September 01-1,87 0,1 Jul 010 1,8 0,4 Oktober 01 -,44 0,15 Agustus 010,4 0,5 November 01 0,63 0,1 September 010 0,95 0,59 Desember 01 0,94,57 Oktober 010-0,9-1,5 Jauar 013 1,81 0,4 November 010-0,4 0,37 Februar 013 -,9 3,15 Desember 010 1,3 1,87 Maret 013 0,79 -,63 Jauar 011-0,83 1,79 Aprl 013 0,7-0,6 Februar 011 0,04-0,79 Me 013,5 0,97 Maret 011-0,46-0,03 Ju 013-0,15 0,5 Aalss Data Statstk 3
BAB III UJI KECOCOKAN : DISTRIBUSI NORMAL D sampg QQ-plot sepert yag telah djelaska pada Bab II, terdapat metode formal yag dapat dguaka utuk meguj apakah suatu data berasal dar dstrbus yag basa dkeal. Dalam pasal, aka dbahas tetag uj kecocoka. Uj utuk meguj hpotess ol bahwa data berasal dar suatu keluarga dstrbus, yatu H 0 : F F melawa hpótess alteratf A : F F 0 0. Beberapa uj yag serg dguaka aka dbahas dalam pasal berkut. III.1 Uj Kolmogorov-Smrov Msalka X 1,..., X depedet da berdstrbus detk. Dstrbus fugs emprk dar X 1,..., X fugs Fugs dkator 1 ^ ^ F { xjx} F ( x) sama dega #( X ( x) (1/ ) 1. artya 0 jka X j j { x x} j j x adalah. Besara stokastk x ) yatu bayakya datum yag kurag dar atau sama dega x. Peguja utuk hpotess ol bahwa dstrbus yag sebearya dar X 1,..., X ukura jarak atara F^ sama dega F ddasarka pada da F. Hpotess ol dtolak ddasarka pada jarak vertkal maksmal atara F^ da F : D sup ^ x F ( x) F ( x). 4 Ad Setawa
Hpotess ol aka dtolak utuk D la besar. Dstrbus D tdak terdstrbus sepert yag basa dkeal da la krtkya dapat dhtug dega komputer. Secara prakts statstc D dapat dhtug dega rumus 1 D max max{ F( X ( ) ), F( X ( ) ) }. Suatu sfat yag membuat uj Kolmogorov-Smrov sagat berla adalah bahwa dstrbus D d bawah hpotess ol utuk setap fugs dstrbus kotu aka sama. Karea D bebas dstrbus atas kelas dar fugs dstrbus kotu maka la krtk tdak tergatug pada F sehgga dega suatu tabel dapat dtetuka la krtkya (Tabel Kolmogorov- Smrov pada Lampra 1). Gambar III.1 memberka dstrbus emprk dar sampel yag dambl dar dstrbus N(0,1) (dalam betuk fugs tagga step fucto) da fugs dstrbus dar N(0,1) yag sebearya. ecdf(x) F(x) 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0-4 - 0 4 Gambar III.1 Dstrbus emprk data hasl pegambla sampel ukura 15 dar dstrbus ormal da fugs dstrbus yag sebearya x Aalss Data Statstk 5
Cotoh III.1 Msalka dbagktka sampel radom ukura 15 dar dstrbus ekspoesal stadard. Dega uj Kolmogorov- Smrov dapat duj apakah sampel radom tersebut memag berasal dar dstrbus ekspoesal stadard. Sampel radom tersebut dberka d bawah : 0.4568, 0.6690, 1.043, 0.4441, 0.175 1.0768.3655 0.101 1.0593 3.0576 1.8560 0.6053 0.0175 1.4469 1.570. Utuk medapatka la statstk uj Kolmogorov-Smrov dguaka batua Tabel III.1. Pada kolom pertama, data durutka dar la terkecl ke la terbesar. Dalam hal, F(x) adalah fugs dstrbus dar dstrbus ekspoesal dega rata-rata 1 yatu F(x) = 1-exp(-x) utuk x > 0. Tabel III.1 Tabel perhtuga statstk Kolmogorov-Smrov X () 0,0175 0,101 0,175 0,4441 0,4568 0,6053 0,6690 1,0593 1,0768 1,043 1,4469 1,570 1,8560,3655 3,0576 X ( b FX a F ) 0,0493 0,056 0,0045 0,0919 0,0334 0,0541 0,011 0,100 0,0593 0,0334 0,0314 0,0080 0,030 0,07 0,0470 ( ) 1 max { a, b } 0,0173 0,18 0,061 0,1586 0,1000 0,108 0,0878 0,1866 0,160 0,1000 0,0980 0,0587 0,0437 0,0394 0,0197 0,0493 0,18 0,061 0,1586 0,1000 0,108 0,0878 0,1866 0,160 0,1000 0,0980 0,0587 0,0437 0,0394 0,0470 D = 0,1866 6 Ad Setawa
Nla statstk uj Kolmogorov-Smrov tersebut dbadgka dega la krtk yag ddapat dalam tabel Kolmogorov- Smrov dua ss utuk ukura = 15 dega memlh =0,05 yatu 0,338. Karea D = 0,1866 lebh kecl dar la krtk yatu 0,338 maka hpotess yag meyataka bahwa la populasya ekspoesal stadard adalah bear. Grafk dstrbus emprk dar data tersebut dapat dlhat pada Gambar III.. ecdf(x) F(x) 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 3 4 5 Gambar III. Dstrbus emprk data hasl pegambla sampel ukura 15 dar dstrbus eskpoesal da fugs dstrbusya x Uj Kolmogorov-Smrov dapat dguaka utuk meguj ormaltas dar data. Hal tu dapat dyataka dalam cotoh berkut. Cotoh III. Msalka dmlk data 4, 46, 44, 48, 47, 48, 48, 57, 55, 55 Aalss Data Statstk 7
da aka duj apakah data megkut dstrbus ormal dega megguaka uj Kolmogorov-Smrov. Utuk membatu meetuka D dguaka Tabel III.. Dalam hal, F(x) adalah fugs dstrbus ormal dega mea 49 da smpaga baku 5,0111. Dperoleh bahwa D = 0,791 sedagka ttk krtsya adalah 0,409 dega tgkat keberarta = 5% sehgga H0 dterma. Hal tu berart bahwa data berdstrbus ormal dega mea 49 da smpaga baku 5,0111. Tabel III. Tabel perhtuga statstk uj Kolmogorov-Smrov. No Data Terurut a F F X ( ) b FX ( ) ( x ( ) ) 1 Max { a, b} 1 4 0.081 0.0188 0.081 0.081 44 0.159 0.0408 0.059 0.059 3 46 0.747 0.053 0.0747 0.0747 4 47 0.3449 0.0551 0.0449 0.0551 5 48 0.409 0.0791 0.009 0.0791 6 48 0.409 0.1791 0.0791 0.1791 7 48 0.409 0.791 0.1791 0.791 8 55 0.8844 0.0844 0.1844 0.1844 9 55 0.8844 0.0156 0.0844 0.0844 10 57 0.9448 0.055 0.0448 0.055 D = 0,791 Cotoh III.3 Berdasarka data pada Cotoh II.4, dperoleh statstk htug uj Kolmogorov-Smrov D = 0,1086 da dega tgkat keberarta 5% dperoleh ttk krts 0,1 sehgga H0 dterma berart data flas bulaa asoal Idoesa perode Jauar 009 sampa dega Desember 011 berdstrbus ormal dega rata-rata 0,3675 da smpaga baku 0,4337. 8 Ad Setawa
III. Uj Ch-kuadrat Sela uj Kolmogorov-Smrov dapat juga dguaka uj Ch-Kuadrat. Uj dlakuka dega mula membag gars dalam sejumlah terval tertutup I 1,, I K I1 I Ik.. Selajutya ddefska N pada terval I dega p harapa dar N da dhtug statstk X 1 k ] sebaga jumlah pegamata [ N p p probabltas atas F pada I sama dega F. Besara. Blaga p adalah jka dstrbus yag sebearya dar pegamata berapa frekues pegamata N X dbawah hpotess ol meetuka meympag dar harapa. Hpotess ol bahwa pegamata berasal dar F dtolak utuk X la besar. Dstrbus medekat dstrbus dega derajat bebas k-1 utuk besar. X Cotoh III.4 Lma puluh dua dgt dambl secara radom dar buku telepo. Blaga-blaga tu setelah durutka dapat dyataka sebaga berkut : 3 3 4 7 9 31 3 33 33 35 36 37 40 4 43 43 44 45 48 48 54 54 56 57 57 58 58 58 58 59 61 61 6 63 64 65 66 68 68 70 73 73 74 75 77 81 87 89 93 97. Dega megguaka uj ch-kuadrat aka dlakuka peguja hpotess bahwa dstrbusya ormal dega meaya 55 da devas stadard 19. Apabla dlakuka dega pembaga 6 terval maka ddapat pembaga terval sebaga berkut: Aalss Data Statstk 9
, 34,5], ( 34,5, 46,5 ], ( 46,5, 59,5 ], ( 59,5, 70,5 ], ( 70,5, 8,5 ], ( ( 8,5, ). Utuk medapatka la X dguaka Tabel III.3. Hpotess aka dtolak utuk tgkat keberarta = 0,05 jka X lebh besar dar la ch-kuadrat tabel dega dega derajat bebas 5 yatu 11,07 (lhat Lampra ). Karea lebh kecl dar la tabel maka hpotess ol tdak dtolak. Jad hpotess yag meyataka bahwa dstrbus populasya berdstrbus N(55, (19) ) tdak dtolak. Pada ss la, karea la harapa kelas ke-6 kurag dar 5, bla kelas ke-6 dgabug dega kelas ke-5 maka aka dperoleh X = 0,977 da ttk krts 9,4878. Akbatya H0 tetap dterma sehgga dstrbus sampel adalah ormal. X No Iterval Frekues (N 1 3 4 5 6, 34,5], ( ( 34,5, 46,5 ], ( 46,5, 59,5 ], ( 59,5, 70,5 ], ( 70,5, 8,5 ], ( 8,5, ) 9 9 11 11 6 4 ) Harapa (p 7 9,3 13,4 9,8 6,8 3,7 ) (N X - p ) 0,86 0,097 0,43 0,147 0,094 0,04 = 1,071 / p III.3 Uj Lllefors Dega uj ch-kuadrat, data yag dmlk harus dkelompokka sehgga haruslah cukup bayak utuk dapat dkelompokka dega bak. Satu kelemaha la dar metode chkuadrat adalah bahwa metode merupaka metode pedekata. Uj Lllefors dapat dguaka utuk sampel kecl da data tdak perlu dkelompokka. Uj dguaka utuk meguj ormaltas dar data. Prosedur uj Lllefors dapat djelaska berkut. Msalka dmlk sampel radom berukura yatu X1, X,, X yag dambl dar suatu 30 Ad Setawa
populas yag dstrbusya tdak dketahu. Dhtug mea sampel 1 X X 1 sebaga estmas dar mea populasya yag tdak dketahu da devas stadard sampel s 1 1 1 ( X X ) sebaga estmas devas stadard populas yag juga tdak dketahu. Selajutya dhtug la varabel ut stadard Z dega rumus X X Z s dega = 1,,.,. Nla statstk uj Lllefors dhtug dar la-la Z, = 1,,.,, dega lagkah-lagkah sebaga berkut : a) Hpotess : H0 : Sampel radom berasal dar populas ormal. H1 : Dstrbus populasya tdak ormal. b) Dplh tgkat keberarta α. c) Dguaka statstk uj yag ddefska sebaga jarak vertkal maksmum atara fugs dstrbus emprk sampel X1, X,, X dega fugs dstrbus ormal dega mea X da devas stadard s yak T max F *( x) S( x). x dega F*(x) merupaka fugs dstrbus kumulatf ormal stadard da S(x) adalah fugs dstrbus kumulatf emprk Z. Daerah krtk uj ormaltas adalah Ho dtolak jka la statstk uj T lebh besar dar la kuatl (1 - α). d). Perhtuga Berdasarka data sampel X1, X,, X dhtug mea X da devas stadard s. Selajutya data durutka dar kecl ke besar. Utuk tap-tap X yag telah terurut Aalss Data Statstk 31
tu kta htug harga Z da dstrbus ormal kumulatf yatu F*(x) da juga harga dstrbus kumulatf emprk S(x). Kemuda dhtug statstk uj T max F *( x) S( x) x yatu dcar selsh atara F*(x) da S(x) yag terbesar. e). Kesmpula Dega membadgka T dega daerah krtk maka dapat dambl kesmpula. Cotoh III.5 No Tabel III.3 Tabel perhtuga statstk uj Lllefors. Data Terurut Z F( Z ) S( } F ( Z ) S ( X ( ) ) X ( ) 1 4-1.3969 0.081 0.1000 0.0188 44-0.9978 0.159 0.000 0.0408 3 46-0.5987 0.747 0.3000 0.053 4 47-0.3991 0.3449 0.4000 0.0551 5 48-0.1996 0.409 0.5000 0.0791 6 48-0.1996 0.409 0.6000 0.1791 7 48-0.1996 0.409 0.7000 0.791 8 55 1.1973 0.8844 0.8000 0.0844 9 55 1.1973 0.8844 0.9000 0.0156 10 57 1.5965 0.9448 1.0000 0.055 T = 0.791 Dega megguaka data sepert pada Cotoh III., aka duj apakah data berdstrbus ormal dega megguaka metode Lllefors da tgkat keberarta 5%. Dar data dperoleh statstk uj Lllefors yatu T = 0,791 da ttk krts adalah 0,58 sehgga H0 dtolak sehgga data tdak berdstrbus ormal (lhat Lampra 3). 3 Ad Setawa
Cotoh III.6 Berdasarka data pada Cotoh II.4, dperoleh statstk htug uj Lllefors T = 0,1086 da dega tgkat keberarta 5 % dperoleh ttk krts 0,1477 sehgga H0 dterma berart data flas bulaa asoal Idoesa perode Jauar 009 sampa dega Desember 011 berdstrbus ormal dega rata-rata 0,3675 da smpaga baku 0,4337. Kesmpula yag sama juga dperoleh jka dguaka uj Kolmogorov- Smrov. *** Aalss Data Statstk 33
SOAL & PENYELESAIAN Soal 1 Dega tgkat keberarta 5%, ujlah apakah data laju flas bulaa d kota Ambo utuk perode Jauar 009 sampa dega Ju 013 mempuya dstrbus ormal dega metode Kolmogorov-Smrov. Peyelesaa Dega megguaka data pada Tabel II., dperoleh statstk Kolmogorov-Smrov D = 0,0836 sedagka ttk krts dperoleh dar Tabel Kolmogorov-Smrov (Lampra 1) dega ukura 1,36 sampel = 54 yatu 0, 1851 sehgga 54 D = 0,0836 < 0,1851. Akbatya H0 dterma sehgga data laju flas d kota Ambo berdstrbus ormal. Soal Dega tgkat keberarta 5%, ujlah apakah data laju flas bulaa d kota Ambo utuk perode Jauar 009 sampa dega Ju 013 mempuya dstrbus ormal dega metode Lllefors. Peyelesaa Dega megguaka data pada Tabel II., dperoleh statstk Lllefors T = 0,0836 sedagka ttk krts dperoleh dar Tabel 0,886 Lllefors dega ukura sampel = 54 yatu 0, 106. 54 Akbatya H0 dterma sehgga data laju flas d kota Ambo berdstrbus ormal. 34 Ad Setawa
Soal 3 Tabel III.4 meyataka data berkelompok. Dega tgkat keberarta 5% da metode ch-kuadrat, tetuka apakah data berkelompok pada Tabel III.4 berdstrbus ormal. Peyelesaa Berdasarka data pada Tabel III.4, mea utuk data berkelompok 56,7 da smpaga baku utuk data berkelompok adalah 15,3645 sehgga dapat dtetuka la harapa utuk masg-masg kelas sepert dyataka pada Tabel III.5. Nla harapa kelas pertama dapat dperoleh dar la Z1 dperoleh dar tep kelas atas pertama yatu 19,5 x 19,5 56,7 Z s 15,3645 1 sehgga dperoleh p P( Z z1) P( Z,41) 1,41 0,0077 (lhat Lampra 4) da la harapa kelas pertama sebesar p1 = 150(0,0077) = 1,160. Nla Z dperoleh 9,5 x 9,5 56,7 Z 1,7703 s 15,3645 sehgga dperoleh p P( z Z z) P( Z 1,7703) P( Z,41) 1 0,0306 da la harapa kelas kedua sebesar p = 150(0,0306) = 4,5906. Dega cara yag sama, dapat dperoleh la harapa utuk kelas ke-3 sampa dega kelas ke-8. Selajutya, la Z8 dperoleh sehgga Z 89,5 x 89,5 56,7 s 15,3645 8,1348 p 9 1 P( Z z8) 10,9836 0,0164 da la harapa kelas ke-9 adalah p9 = 150(0,0164) =,4584. Aalss Data Statstk 35
Namu demka, karea la harapa kelas pertama da kelas kedua kurag dar 5 maka keduaya dgabug mejad satu, demka juga utuk la harapa dar kelas ke-9 kurag dar 5 sehgga dgabugka dega la harapa kelas ke-8 sehgga dperoleh hasl sepert pada Tabel III.6. Akbatya, dperoleh statstk uj ch-kuadrat adalah X = 3,5754 da ttk krts utuk tgkat keberarta 5% adalah dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas 6 adalah 1,5916 sehgga H0 dterma. Hal tu berart bahwa data berkelompok dperoleh dar sampel yag berasal dar dstrbus ormal. Tabel III.4 Data Berkelompok pada Soal III.3 No Kelas Iterval Frekues (f) 1 10-19 1 0-9 6 3 30-39 9 4 40-49 31 5 50-59 4 6 60-69 3 7 70-79 17 8 80-89 10 9 90-99 Total 150 Tabel III.5 Data Berkelompok da Nla Harapaya pada Soal III.3 No Kelas Iterval Frekues (f) Nla Harapa (p) 1 10-19 1 1,1603 0-9 6 4,5904 3 30-39 9 13,9700 4 40-49 31 8,303 5 50-59 4 37,8943 6 60-69 3 33,7951 7 70-79 17 0,07 8 80-89 10 7,8785 9 90-99,4584 Total 150 36 Ad Setawa
Tabel III.6 Tabel Batu Perhtuga Statstk X pada Soal III.3 No Kelas Iterval Frekues (f) Nla Harapa (p) ( f p ) p 1 0-9 6 5,7508 0,714 30-39 9 13,9700 1,768 3 40-49 31 8,303 0,717 4 50-59 4 37,8943 0,4448 5 60-69 3 33,7951 0,0954 6 70-79 17 0,07 0,4563 7 80-89 10 10,3369 0,676 Total 150 150 3,5754 Soal 5 Dega tgkat keberarta 5% da dega megguaka metode ch-kuadrat, ujlah apakah data laju flas bulaa d kota Ambo dar perode Jauar 009 sampa dega Ju 013 berdstrbus ormal? Peyelesaa Utuk memudahka pemlha terval yag dguaka dalam pegguaa metode ch-kuadrat dbatu dega grafk hstogram yag dperoleh dar paket program R yag dyataka pada Gambar III.4 sehgga dapat dperoleh tabel data berkelompok pada Tabel III.7. Nla harapa dperoleh dar aggapa bahwa sampelya dambl dar dstrbus ormal. Tetap karea terdapat terval yag harga harapaya kurag dar 5 maka dgabugka mejad 1 yatu terval 1 dgabugka dega terval kedua sedagka terval 6 da 7 dgabugka dega terval ke 5 sehgga dperoleh hasl sepert pada Tabel III.8. Selajutya dapat dhtug X htug = 11,4040. Dega megguaka tgkat keberarta = 5 % dperoleh ttk krts dar dstrbus Ch-kuadrat dega derajat bebas 3 Aalss Data Statstk 37
yatu 7,81 (Lampra ) sehgga hpotess ol yag meyataka bahwa data flas bulaa kota Ambo berdstrbus ormal dtolak. Tabel III.7 Tabel Batu Perhtuga Statstk X pada Soal III.5 No Kelas Iterval Frekues (f) Nla Harapa (p) 1 Kurag dar -,00 3 1,85-1,99 s/d -1,00 7,3389 3-0,99 s/d 0,00 13 18,436 4 0,01 s/d 1,00 19 18,436 5 1,01 s/d,00 11 7,3389 6,01 s/d 3,00 3 1,1556 7 Lebh dar 3 3 0,079 Jumlah 54 Hstogram of ambo Frequecy 0 5 10 15-3 - -1 0 1 3 4 ambo Gambar III.4 Hstogram Data Iflas Bulaa Kota Ambo Jauar 009 sampa dega Ju 013 38 Ad Setawa
Tabel III.8 Tabel Batu Perhtuga Statstk X pada Soal III.5 Nla ( f p ) Harapa p No Kelas Iterval Frekues (f) (p) 1 Kurag dar -1,00 5 8,5674 1,4854-0,99 s/d 0,00 13 18,436 1,6011 3 0,01 s/d 1,00 19 18,436 0,0175 4 Lebh dar 1,00 17 8,5674 8,3000 Total 54 54 11,4040 Aalss Data Statstk 39
LATIHAN 1. Dega tgkat keberarta 10%, ujlah dega metode Kolmogorov-Smrov apakah data laju flas d kota Jayapura pada Tabel II. berdstrbus ormal.. Dega tgkat keberarta 10%, ujlah dega metode Llefors apakah data laju flas d kota Jayapura pada Tabel II. berdstrbus ormal. 3. Lakuka hal yag sama pada soal dega megguaka metode ch-kuadrat. 4. Guaka tgkat sgfkas 10% utuk meguj apakah data yag dyataka dalam Tabel III.7 mempuya dstrbus ormal. Tabel III.7 Tabel Dstrbus Frekues No Kelas Iterval Frekues ( f ) 1 3-4 5-6 3 7-8 8 4 9-10 11 5 11-1 6 6 13-14 1 5. Berdasarka pada soal 3, dega megguaka tgkat keberarta yag berbeda yatu 5% da 1%, apakah kesmpula yag sama juga dperoleh? ***** 40 Ad Setawa
BAB IV UJI KECOCOKAN : DISTRIBUSI MULTINOMIAL Dstrbus Multomal merupaka perumuma (geeralzato) dar dstrbus bomal yatu dega meloggarka krtera bayakya hasl (outcome) yag mugk dperoleh mejad lebh dar. Dalam hal, percobaa (expermet) tersebut damaka percobaa multomal sedagka dstrbus probabltas yag dperoleh damaka dstrbus multomal. Defs IV.1 Percobaa multomal terdr dar usaha (tral) da tap usaha meghaslka k hasl yag bereda yatu E1, E,..., Ek serta masg-masg dega probabltas p1, p,..., pk. Dstrbus multomal aka memberka probabltas bahwa E1 aka mucul sebayak y1, E aka mucul sebayak y kal da seterusya dalam pegambla salg bebas sebayak kal sehgga y1 + y +... + yk = sehgga y1 y f ( y1, y,..., yk; p1, p,..., pk ) p1 p... p y1, y,..., y k dega p1 + p +... + pk = 1 da y 0 utuk = 1,,...,k. Cotoh IV.1 Berdasarka teor geetka, perbadga seekor hamster beta aka melahrka aak dega bulu merah, htam da puth adalah 8:4:4. Tetuka probabltas bahwa aka lahr 8 ekor aak yag terdr dar 5 ekor merah, ekor htam da 1 ekor puth. Peyelesaa Berdasarka formas d atas dperoleh p1 = P( medapatka hamster merah) = 1/, p = P( medapatka hamster htam) = 1/4, p3 = P( medapatka hamster puth) = ½. y k k Aalss Data Statstk 41
Akbatya probabltas bahwa dar 8 ekor aak yag dlahrka aka terdr dar 5 ekor merah, ekor htam da 1 ekor puth adalah 8 5 1 f ( 5,,1;0,5,0,5,0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 5,,.1 = 0,080. Uj Kecocoka (Goodess of ft Test) Utuk melakuka uj kecocoka bahwa sampel atau hasl pegamata megkut dstrbus multomal dega parameter da p = (p1, p,...,pk) dega p1 + p +... + pk = 1 dguaka lagkah-lagkah sebaga berkut : Lagkah 1 Nyataka hpotess ol da hpotess alteratfya. Lagkah Dambl sampel radom da dtetuka frekues pegamata f utuk masg-masg k kategor. Lagkah 3 Dega megaggap H0 bear, frekues harapa e dhtug utuk tap kategor yatu dega megalka probabltas tap kategor dega ukura sampel (sample sze). Lagkah 4 Htug statstk uj dega X k ( f ) 1 e e f = frekues pegamata utuk kategor, e = frekues harapa utuk, k = bayakya kategor. Catata : Statstk tersebut mempuya dstrbus Chkuadrat dega derajat bebas k-1 asalka frekues harapa utuk semua kategor lebh dar 5. 4 Ad Setawa
Lagkah 5 Hpotess ol H0 dtolak jka la-p < dega tgkat keberarta atau jka X htug > ke-(1-) 100 %. ; k1 dega adalah kuatl Cotoh IV. Msalka seorag pegembag perumaha mejual 3 tpe rumah yatu tpe mawar, tpe meur da tpe melat. Apabla dar 100 rumah yag dmlk, 5 rumah tpe mawar, 35 rumah tpe meur da 40 rumah tpe melat, apakah ada tpe rumah yag lebh dsuka dbadgka dega tpe yag la? Guaka tgkat keberarta 5%. Peyelesaa Dalam permasalaha, dgka utuk meguj hpotess ol H0 : tdak ada tpe rumah yag lebh dsuka dbadgka dega tpe yag la (p1 = p = p3 = 1/3), hpotess alteratf H1 : ada tpe rumah yag lebh dsuka dbadgka dega tpe yag la, dega tgkat keberarta 5%. D bawah H0 bear maka e1 = e = e3 = 33,3333 sehgga dperoleh statstk uj X ( f e ) e (5 33,3333) 33,3333 (35 33,3333) 33,3333 k 1 (40 33,3333) 33,3333 = 3,5000. Hpotess ol dtolak jka X htug lebh besar dar ttk krts ; k1 yatu 5,9915. Akbatya hpotess ol H0 dterma sehgga tdak ada tpe rumah yag lebh dsuka dbadgka dega tpe yag la. Aalss Data Statstk 43
SOAL & PENYELESAIAN Soal 1 Dalam suatu populas, 70% populas tersebut meguaka taga kaa, 0% megguaka taga kr da 10% dapat megguaka kedua tagaya. Jka 10 orag dambl dar populas tersebut maka : a. Berapa probabltasya bahwa semuaya dapat megguaka taga kaaya? b. Berapa probabltasya bahwa 7 orag megguaka taga kaa, orag megguaka taga kr da 1 orag dapat megguaka kedua tagaya? Peyelesaa Percobaa tersebut termasuk dalam percobaa multomal dega parameter =10, p1 = 0,7, p = 0, da p3 = 0,1 sehgga jka dmsalka X1 = bayakya orag yag dapat megguaka taga kaaya, X = bayakya orag yag dapat megguaka taga krya da X3 = bayakya orag yag dapat megguaka kedua tagaya maka a. Probabltasya bahwa semuaya dapat megguaka kedua tagaya adalah P(X1 = 10, X = 0, X3 = 0) = 10 (0,7) 10 0,08. 10,0,0 b. Probabltasya bahwa semuaya dapat megguaka kedua tagaya adalah 10 7 1 P(X1 = 7, X =, X3 = 1) = (0,7) (0,) (01) 0,1186. 7,,1 Soal Mausa dapat dkasfkaska ke dalam gologa darah tpe O, A, B da AB. Dalam suatu populas, propors masgmasg gologa darah tersebut adalah 0,45, 0,40, 0,10 da 44 Ad Setawa
0,05. Msalka 6 orag dambl secara radom dar populas tersebut : a. Berapakah probabltas bahwa terdapat 3 gologa darah O da 3 gologa darah A? b. Berapa probabltasya tdak ada gologa darah AB? Peyelesaa a. Percobaa tersebut termasuk percobaa multomal dega parameter = 6, po = 0,45, pa = 0,4, pb = 0,1 da pab=0,05 sehgga jka dmsalka XO= bayakya orag gologa darah tpe O, XA = bayakya orag dega gologa darah tpe A, XB = bayakya orag dega gologa darah tpe B da XAB = bayakya orag dega gologa darah tpe B maka probabltasya bahwa semuaya dapat megguaka kedua tagaya adalah P(XO = 3, XA = 3, XB = 0, XAB = 0) 6 3 3 = (0,45) (0,4) 0,1166. 3,3,0,0 b. Percobaa tersebut termasuk percobaa bomal dega parameter = 6 da pab = 0,05 sehgga jka dmsalka X = bayakya orag gologa darah tpe AB maka probabltasya bahwa semuaya dapat megguaka kedua tagaya adalah 6 0 6 P(X = 0) = (0,95) (0,05) 0,7351. 0 Soal 3 Guaka statstk X dega tgkat keberarta 10% utuk meguj hpotess ol H0 : pa = 0,4, pb = 0,4 da pc = 0,, melawa hpotess alteratf H 1 : propors populas tdak p A = 0,4, pb = 0,4 da pc = 0,. Bla dmlk sampel ukura 00 da meghaslka 60 dalam kategor A, 10 dalam kategor B da 0 dalam kategor C. Aalss Data Statstk 45
Peyelesaa Dalam permasalaha, dgka utuk meguj hpotess ol H0 : pa = 0,4, pb = 0,4 da pc = 0,, melawa hpotess alteratf H1 : propors populas tdak pa = 0,4, pb = 0,4 da pc = 0, dega tgkat keberarta 10 %. D bawah H0 bear maka e1 = 00 (0,4) = 80, e = 00 (0,4) = 80, e3 = 00 (0,) = 40, sehgga dperoleh statstk uj X ( f e ) e (60 80) 80 (10 80) 80 (0 40) 40 k 1 = 35. Hpotess ol dtolak jka X htug lebh besar dar ttk krts ; k1 yatu 4,605. Akbatya hpotess ol H0 dtolak sehgga propors populas tdak pa = 0,4, pb = 0,4 da pc = 0,. Soal 4 Tahu lalu, pelaa mahasswa yag megambl mata kulah Statstka adalah 3% A, 8% B, 45% C da 4% E. Apabla tahu, dar 400 mahasswa yag megambl mata kulah Statstka terdapat 4 yag medapatka A, 14 yag medapatka B, 17 yag medapatka C da ssaya medapatka E, apakah pelaa tahu sama dega pelaa tahu lalu? Guaka tgkat keberarta 5%. a. Guaka cara la-p. b. Guaka cara ttk krts. Peyelesaa Dalam permasalaha, dgka utuk meguj hpotess ol H0 : pa = 0,03, pb = 0,8, pc = 0,45, pe = 0,4 melawa hpotess alteratf H1 : propors populas tdak pa = 0,03, 46 Ad Setawa
pb = 0,8, pc = 0,45, pe = 0,4 dega tgkat keberarta 5 %. D bawah H0 bear maka e1 = 400 (0,03) = 1, e = 400 (0,8) = 11, e3 = 400 (0,45) = 180, e4 = 400 (0,4) = 96, sehgga dperoleh statstk uj X ( f e ) e (4 1) 1 (14 11) 11 (17 180) 180 ( 80 96) 96 k 1 = 16,3079. Hpotess ol dtolak jka X htug lebh besar dar ttk krts ; k1 yatu 7,8147. Akbatya hpotess ol H0 dtolak sehgga propors tdak pa = 0,03, pb = 0,8, pc = 0,45, da pe = 0,4. Dalam hal, juga dapat dguaka cara la-p. Nlap dapat dhtug dega la-p = P( 3 > 16,3079) = 0,0010. Akbatya lebh kecl dar tgkat keberarta 5% sehgga H0 dtolak. Soal 5 Dar surve 5 tahu lalu dperoleh hasl bahwa 0 perse mejawab setuju, 70 perse mejawab tdak setuju da ssaya tdak mejawab utuk pertayaa tetag abors. Pada tahu dadaka surve da dar 1600 respode, teryata 400 respode mejawab setuju, 1100 respode da ssaya tdak mejawab. Guaka tgkat keberarta 10% utuk meguj apakah hasl surve tahu sama dega hasl surve 5 tahu lalu. Peyelesaa Dgka utuk meguj hpotess ol : ps = 0,, pts = 0,7 da pa = 0,1 melawa hpotess alteratf H1 : H0 tdak bear dega megguaka tgkat keberarta 10 %. Hpotess ol Aalss Data Statstk 47
dtolak jka X htug > ; k 1 0,1; 4, 605. D bawah H0 bear maka e1 = 1600 (0,) = 30, e = 1600 (0,7) = 110, e3 = 1600 (0,1) = 160, sehgga dperoleh statstk uj X ( f e ) e (400 30) 30 (110 110) 110 (100 160) 160 k 1 = 4,8571. Karea X htug lebh besar dar 4,605 maka hpotess ol H0 dtolak sehgga propors tdak ps = 0,, pts = 0,7 da pa = 0,1. 48 Ad Setawa
LATIHAN 1. Probabltas seseorag yag mederta sakt aka mejad sembuh, bertambah parah saktya atau tdak ada perubaha, masg-masg adalah 0,5, 0,3 da 0,. Apabla ada 5 orag yag damat maka berapakah probabltasya bahwa orag dataraya sembuh, orag bertambah arah saktya da seorag tdak ada perubaha? Guaka tgkat keberarta 5%.. Meurut teor hasl perslaga macam taama aka meghaslka taama dega sfat A, B da C dega perbadga 1::1. Dar perslaga 90 pasag taama dperoleh hasl taama dega sfat A, B da C berturutturut adalah 0, 50 da 0. Apakah hasl tersebut medukug teor? Guaka tgkat keberarta 10%. 3. Sebuah surve tahu 003 d suatu egara meyataka bahwa pembayara trasaks dega megguaka kartu kredt, kartu debet, cek da cash masg-masg adalah, 1, 18 da 39 (dalam perse). Pada tahu 015 dlakuka surve kembal da dar 0 respode yag dber pertayaa utuk hal tersebut d atas masgmasg adalah 46 respode dega kartu kredt, 67 repode dega kartu debet, 33 dega cek da ssaya dega cash. Apakah telah terjad pergesera cara pembayara dar tahu 003? Guaka tgkat keberarta 1%. 4. Guaka tgkat keberarta 10% utuk meguj apakah terdapat kesesuaa atara harapa dega keyataa pada tabel berkut : Kategor Harapa Keyataa A 40 % 19 B 0 % 11 C 0 % 10 D 10 % 5 E 10 % 5 Aalss Data Statstk 49
5. Sebuah surve dlakuka utuk meguj apakah ada m market yag lebh dsuka dbadgka dega yag la. Dar 5000 respode teryata meghaslka pegamata 000 meyuka betamart, 1500 gammamart, 1000 deltamart da ssaya kappamart. Guaka tgkat keberarta 10%. *** 50 Ad Setawa
BAB V ANALISIS TABEL KONTINGENSI (TABEL k r ) Secara umum tabel kotges dyataka pada Tabel V.1. Tabel V.1 meggambarka bahwa sejumlah obyek peelta atau pegamata terbag dalam kategor. Besara Nj adalah bayakya obyek pegamata dar kategor dalam peubah bars da kategor j dalam peubah kolom. Dalam hal N. berart jumlah frekues dalam bars ke-, N.j berart jumlah frekues dalam kolom ke-j da N.. adalah jumlah obyek total dalam seluruh pegamata. Uj yag dlakuka pada tabel kotges adalah utuk meguj apakah ada ketergatuga atara dua kategor yag berbeda dar peubah bars da peubah kolom. Utuk memberka gambara tetag pegguaa tabel k r dalam aalss data berkut dberka cotoh permasalahaya. Tabel V.1 Tabel kotges k r. A1 A.. A. A k B1 Bj.... Br....... Nj.... N.j Total.... N... N.. Aalss Data Statstk 51
Cotoh V.1 Tabel V.1 mempresetaska hasl peelta terhadap pegaruh kesukaa aka makaa mas terhadap kerputa d wajah pada usa 50 tahu dar 1000 orag yag dtelt. Aka dtetuka apakah ada keterkata dega kesukaa aka makaa mas-mas dega kemucula kerput pada wajah. Tabel V. Tabel Data Cotoh V.1 Ada Kerput Tdak Ada kerput Jumlah Suka mas 00 100 300 Tdak Suka Mas 00 500 700 Jumlah 400 600 1000 Cotoh V. Seorag sosolog tertark utuk megetahu apakah aak mempuya ketergatuga utuk memlh pekerjaa yag sama dega ayahya. Utuk meelt hal dambl sampel 500 lak-lak da dtaya pekerjaaya da pekerjaa ayahya. Rgkasa data yag berkeaa dega jawaba pertayaa tu dapat dlhat pada Tabel V.3. Tabel V.3 Tabel kotges hubuga atara pekerjaa lak-lak da pekerjaa ayahya Ayah Aak Bss Kecakapa Tapa Kecakapa Ta Bss 55 38 7 0 Kecakapa 79 71 5 0 Tapa 75 38 10 kecakapa Ta 15 3 10 3 5 Ad Setawa
V.1. Uj Ch-kuadrat Utuk Tabel k r Syarat awal dar aalss adalah objek pegamata besar. Sfat berkut dguaka sebaga dasar dalam melakuka uj k r utuk tabel kotges. Msalka k vektor stokastk berdstrbus multomal dega parameter, p1, p,..., pk yag memeuh pj > 0 utuk semua j da, maka utuk berlaku k j 1 ( N j p ) p j j k p j j 1 1 koverge dalam dstrbus ke dstrbus dega derajat bebas k-1. Aalss yag dlakuka dalam tabel k r tdak dapat dlepaska dar dstrbus multomal. Dalam aalss tabel kotges dkembagka tga model yag dapat djelaska sebaga berkut: Model A Berdasarka pada Cotoh V. dpuya sampel sebesar =500 yag dgologka ke dalam dua kategor yatu pekerjaa orag tua da pekerjaa aak. D bawah model matrks dar frekues sel mempuya dstrbus kr-multomal dega parameter, p11,..., pkr k N r N. j.. 1 j 1 Dalam model semua frekues N. da N.j adalah besara stokastk. Model B Tabel k r dapat juga dpadag sebaga k sampel depede yag dgologka ke dalam peubah kolom. D Aalss Data Statstk 53
bawah tabel k r megadug k sampel depede dar dstrbus r-omal dega sampel ke- mempuya parameter N, p1,..., pr utuk =1,,..., k. Dalam hal N1., N.,..., Nk. tdak lag merupaka besara stokastk. Model C Dalam model data dalam tabel berasal dar r sampel depede dar dstrbus k-omal dega parameter sampel ke-j adalah N.j, p1j,..., pkj utuk j = 1,,..., r da N.j sampel yag tdak stokastk. Berdasarka ketga model d atas berlaku : Model A : p 1 k r 1 j 1 j Model B : r p. p j utuk = 1,,..., k. j 1 Model C : k p. utuk j = 1,,..., r. j p 1 Dalam hal duj apakah ada ketergatuga atara peubah. Utuk model A hal merupaka hpotess dar ketakbergatuga peubah p p H0A : p j.. j utuk = 1,,..., k da j=1,,..., r. Dalam model B adalah hpotess dar k dstrbus r-omal yag detk p p... p p H0B : 1 j j utuk j = 1,,..., r. Dalam model C adalah hpotess dar r dstrbus k-omal yag detk p p... p p H0C : 1. utuk = 1,,..., k. Apabla sampel yag dmlk cukup besar maka utuk tga model d atas dapat dguaka uj ch-kuadrat. D bawah H0, dalam model A, H0A mempuya besara uj kj r j 54 Ad Setawa
X 1 j 1 ( N p k r j j ) yag utuk besar aka medekat dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas kr-1. Teorema berkut dguaka secara prakts dalam melakuka uj ch-kuadrat pada tabel kotges. Teorema V.1 D bawah hpotess ol H0A, H0B da H0C masg-masg dalam model A, B da C mempuya besara uj X p ^ k r ( Nj pj ) ^ 1 j 1 pj dega pj ddefska sebaga ^ N. N. p j j utuk cukup besar maka X medekat dstrbus dega derajat bebas (k-1)(r-1). Cotoh V.3 Berdasarka pada Cotoh V., dperoleh statstk uj X adalah 16,9841 dega ttk krts 3,81 jka dguaka tgkat keberarta 5%. Hpotess ol meyataka bahwa tdak ada keterkata atara kesukaa aka makaa mas dega muculya kerput pada wajah. Karea X htug lebh besar dar ttk krts maka H0 dtolak sehgga ada keterkata atara kesukaa aka makaa mas dega muculya kerput pada wajah. Cotoh V.4 Dalam Cotoh V., dapat dketahu bahwa data berasal dar satu sampel da aka dlakuka peguja terhadap hpotess ol bahwa tdak ada keterkata atara pemlha pekerjaa aak dega pekerjaa orag tua sehgga model yag tepat adalah model A. Hasl perhtuga utuk statstk uj X j Aalss Data Statstk 55
adalah X = 180,874 da la-p-ya adalah 4,486 10-7. Dega megguaka tgkat keberarta yag beralasa maka hpotess ol dtolak. Jad ada keterkata atara pemlha pekerjaa aak dega pekerjaa orag tua. V.. Idetfkas sel-sel dega la ekstrm Apabla hpotess ol dar ketdak-bergatuga atara dua kategor dtolak maka basaya dlakuka aalss berbetuk kebergatugaya yatu dega melhat sel maa yag merupaka sel dega la ekstrm. Suatu sel dega la ekstrm besar aka mejelaska bahwa ada keterkata postf atara kategor dar peubah bars da peubah kolom, sedagka suatu sel dega la ekstrem mejelaska bahwa aggota kategor tertutup satu sama la. Utuk melhat sel maa yag berla ekstrm dapat ddasarka pada resdu berdasarka peaksr kemugka maksmum (MLE-maxmum lkelhood estmator). Resdu terorma (kotrbus) ddefska sebaga C j N j p dega = 1,,..., k da j = 1,,..., r. Dega melhat kotrbus tersebut aka dapat dketahu sel maa yag memberka sumbaga besar pada besara uj. Dalam tabel kotges dega k r besar, utuk sel maa yag mempuya kotrbus yag berla ekstrm dapat dguaka box-plot sehgga data yag dgambarka sebaga ttk ekstrm oleh boxplot aka merupaka la ekstrem dalam aalss. Cotoh V.5 Pada aalss tabel kotges dapat dlakuka juga perhtuga resdu terorma utuk melhat kecederuga ^ p j ^ j 56 Ad Setawa
kategor maa yag sagat berkata erat. Pada tabel berkut dberka resdu terormaya utuk tap-tap sel. Dega batua boxplot dar resdu terorma maka dapat dlhat bahwa sel (4,4) mempuya resdu terorma yag ekstrm (outler). Hal berart bahwa pemlha pekerjaa peta oleh aak sagat erat kataya dega pekerjaa ayah sebaga peta. Tabel V.4 Resdu terstadard dar tabel kotges Cotoh V.3. Ayah Aak Bss Kecakapa Tapa Kecakapa Ta Bss 3,56-0,53 -,90 -,90 Kecakapa,47-0,17-0,57-3,83 Tapa 3,9 -,36 3,07-0,6 kecakapa Ta -,36-1,76-0,78 9,76 Gambar V. Boxplot dar resdu terstadard *** Aalss Data Statstk 57
SOAL & PENYELESAIAN Soal 1 Sampel dar 100 orag lak-lak usa 45 sampa dega 65 yag mempuya tekaa darah tgg da berpeyakt jatug dyataka pada Tabel V.5. Ujlah apakah ada keterkata atara orag lak-lak yag mempuya tekaa darah tgg dega orag berpeyakt jatug dega tgkat keberarta 5%. Tabel V.5 Tabel Data Soal V.1 Peyakt Jatug Ada Tdak Ada Jumlah Tekaa darah tgg Ada 3 39 71 Tdak Ada 64 64 38 Jumlah 96 303 399 Peyelesaa Utuk meguj apakah ada keterkata atara orag lak-lak yag mempuya tekaa darah tgg dega orag berpeyakt jatug dega tgkat keberarta 5% dguaka lagkah-lagkah berkut : a. Hpotess ol H0: tdak ada keterkata atara orag lak-lak yag mempuya tekaa darah tgg dega orag berpeyakt jatug, melawa hpotess alteratf H1: ada keterkata atara orag lak-lak yag mempuya tekaa darah tgg dega orag berpeyakt jatug. b. Tgkat keberarta = 5 %. c. Statstk Uj X. d. Hpotess ol dtolak jka X htug > kuatl 95% dar dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas 1 yatu 3,84. 58 Ad Setawa
e. Dar Tabel V.5 dperoleh X htug adalah 0,8667 sehgga lebh besar dar 3,84 da berart H0 dtolak. Dega kata la, ada keterkata atara orag laklak yag mempuya tekaa darah tgg dega orag berpeyakt jatug. Tabel V.6 meyataka kotrbus Cj utuk setap sel terhadap X htug. Terlhat bahwa sel (1,1) berla postf da relatf besar terhadap la sel la sehgga terdapat keterkata postf atara adaya tekaa darah tgg da peyakt jatug. Tabel V.6 Tabel Kotrbus Cj Soal V.1 Peyakt Jatug Ada Tdak Ada Tekaa darah tgg Ada 3,609 -,0315 Tdak Ada -1,679 0,945 Soal Ujlah keterkata atara varabel A dega varabel B utuk setap kasus berkut : a. Kasus 1 10 16 16 10 b. Kasus 100 106 106 100 c. Kasus 3 100 160 160 100 Aalss Data Statstk 59
Peyelesaa Pada kasus 1, selsh sel (1,1) dega sel (1,) adalah 6 tetap sel (1,) 60% relatf lebh bayak dar sel (1,1) sehgga dperoleh la-p 0,0961. Hal tu berart, hpotess ol dtolak jka dguaka tgkat keberarta 10% tetap jka dguaka tgkat keberarta 5%, hpotess ol dterma. Dalam hal la-p yag dperoleh tdak terlalu kecl karea ukura sampel haya =5. Pada kasus, selsh sel (1,1) dega sel (1,) haya 6 tetap sel (1,) da hal tu haya 6 % relatf lebh bayak dar sel (1,1) sehgga dperoleh la-p 0,5544. Hal tu berart, hpotess ol dterma jka dguaka tgkat keberarta yag basa dguaka yatu 1%, 5% atau 10%. Pada kasus 3, selsh sel (1,1) dega sel (1,) cukup besar yatu 60 sehgga sel (1,) laya 60 % relatf lebh bayak dar sel (1,1) sehgga dperoleh la-p 1,43 10-7. Hal tu berart, hpotess ol dtolak jka dguaka tgkat keberarta yag basa dguaka yatu 1%, 5% atau 10%. Dalam hal la-p yag dperoleh sagat kecl karea ukura sampel cukup besar yatu =50. Soal 3 Berkut dberka data tetag hasl peelta kategor la Matematka da la Kma dar 58 sswa yag dyataka pada Tabel V.7. Ujlah dega tgkat keberarta 1% apakah ada keterkata atara la Matematka dega la Kma. Tabel V.7 Tabel Data Soal V.3 Matematka Tgg Sedag Redah Kma Tgg 54 70 13 Sedag 48 164 40 Redah 15 4 8 60 Ad Setawa
Peyelesaa Utuk meguj apakah ada keterkata atara la Matematka dega la Kma pada sswa dega tgkat keberarta 1% dguaka lagkah-lagkah berkut : a. Hpotess ol H0 : tdak ada keterkata atara la Matematka da la Kma, melawa hpotess alteratf H1 : ada keterkata atara la Matematka da la Kma. b. Tgkat keberarta = 5 %. c. Statstk Uj X. d. Hpotess ol dtolak jka X htug > kuatl 99% dar dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas 4 yatu 13,767. e. Dar Tabel V.5 dperoleh X htug adalah 13,354 sehgga lebh besar dar 13,767 da berart H0 dtolak. Dega kata la, ada keterkata atara la Matematka da la Kma. Tabel V.8 meyataka kotrbus Cj utuk setap sel terhadap X htug. Terlhat bahwa sel (1,1) da (3,3) berla postf da relatf besar terhadap la sel la sehgga terdapat keterkata postf atara la tgg pada Matematka dega la tgg pada Kma serta la redah pada Matematka da la redah pada la Kma. Tabel V.8 Tabel Kotrbus Cj Soal V.3 Matematka Tgg Sedag Redah Kma Tgg 4,909-0,1907-3,70 Sedag -1,0493,8119-3,0437 Redah -,8471-3,5968 7,7933 Soal 4 Tabel V.9 meyataka apakah ada salg keterkata atara pegambl keputusa pjama d suatu bak dega keputus- Aalss Data Statstk 61
a dterma atau dtolakya pjama dega megguaka tgkat keberarta 10%. Tabel V.9 Tabel Data Soal V.4 Keputusa Dsetuju Tdak Dsetuju Pegambl Keputusa A 4 16 B 17 13 C 35 15 D 11 9 Peyelesaa Utuk meguj apakah ada keterkata atara pegambl keputusa da keputusa yag dambl dega tgkat keberarta 10 % dguaka lagkah-lagkah berkut : a. Hpotess ol H0: tdak ada keterkata atara pegambl keputusa da keputusa yag dambl, melawa hpotess alteratf H1: ada keterkata atara pegambl keputusa da keputusa yag dambl. b. Tgkat keberarta = 10%. c. Statstk Uj X. d. Hpotess ol dtolak jka X htug > kuatl 90% dar dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas 3 yatu 6,514. e. Dar Tabel V.5 dperoleh X htug adalah,063 sehgga lebh kecl dar 6,514 da berart H0 dterma. Dega kata la, tdak ada keterkata atara pegambl keputusa da keputusa yag dambl. Soal 5 Data pada Tabel V.10 merupaka hasl pegumpula selama waktu tertetu tetag bayakya paggla mobl ambula d suatu rumah sakt utuk setap harya dar har Se 6 Ad Setawa
sampa har Mggu da terbag ke dalam asal paggla yau dar desa atau kota. Ujlah apakah ada keterkata atara asal dega har paggla mobl ambula dega tgkat keberarta 10%. Tabel V.10 Tabel Data Soal V.5 Mggu Se Selasa Rabu Kams Jumat Sabtu Kota 61 48 50 55 63 73 43 Desa 7 9 16 13 9 14 10 68 57 66 68 7 87 53 Peyelesaa Utuk meguj apakah ada keterkata atara pegambl keputusa da keputusa yag dambl dega tgkat keberarta 10% dguaka lagkah-lagkah berkut : a. Hpotess ol H0 : tdak ada keterkata atara har dega asal paggla ambula, melawa hpotess alteratf H1 : ada keterkata atara har dega asal paggla ambula. b. Tgkat keberarta = 10%. c. Statstk Uj X. d. Hpotess ol dtolak jka X htug > kuatl 90% dar dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas 6 yatu 10,6446. e. Dar Tabel V.5 dperoleh X htug adalah 6,1745 sehgga lebh kecl dar 10,6446 da berart H0 dterma. Dega kata la, tdak ada keterkata atara har dega asal paggla ambula. Jka dguaka cara la-p maka dperoleh la-p adalah 0,4039 sehgga H0 dterma. Hal tu berart, keputusa yag sama bla dguaka cara ttk krts. Aalss Data Statstk 63
LATIHAN 1. Ujlah keterkata atara varabel A dega varabel B utuk setap kasus berkut : a. Kasus 1 8 8 8 16 b. Kasus 8 8 8 3 c. Kasus 3 8 8 8 48 d. Kasus 4 8 8 8 8 8 8 8 8 16 e. Kasus 5 8 8 8 8 8 8 8 8 3 f. Kasus 6 8 8 8 8 8 8 8 8 48. Dega megguaka Tabel V.11, buktka bahwa uj keterkata dar tabel kotges dapat dguaka ( ad bc) statstk uj W. m m 1 1 64 Ad Setawa
Tabel V.11 Tabel Data Soal Latha V. B B c Jumlah A a b 1 A c c d m 1 m 3. Tabel V.1 berkut data dar hasl peelta utuk meguj apakah raj atau tdakya orag berbadah aka tergatug pada usa. Ujlah dega tgkat keberarta 5 %. Tabel V.1 Tabel Data Soal Latha V.3 Raj Tdak Jumlah 0 s/d 9 31 69 100 30 s/d 39 63 87 150 40 s/d 49 94 106 00 50 s/d 59 7 78 150 Jumlah 60 340 600 4. Tabel V.13 meyataka hasl peelta bayakya barag yag rusak da yag tdak rusak dar setap shft yag dperoleh dar suatu dustr rumah tagga. Tabel V.13 Tabel Data Soal Latha V.4 Shft Bayak barag tdak cacat Bayak Barag Cacat Pertama 368 3 Kedua 85 15 Ketga 176 4 5. Tabel V.14 meyataka data tetag lebh suka tggal d daerah yag rama kehdupaya cepat atau lambat atau tdak ada yag lebh dplh dar 150 lak-lak da 150 perempua. a. Gabugka data lak-lak da perempua utuk memperkraka persetase dar masg-masg baga. Kesmpula apa yag ada peroleh? Aalss Data Statstk 65
b. Apakah ada keterkata atara jes kelam dega kesukaa tggal? Guaka tgkat keberarta 5%. Tabel V. 14 Tabel Data Soal Latha V.5 Tdak ada yag Lambat Respode lebh dsuka Cepat Lak-lak 10 9 39 Perempua 111 1 7 ***** 66 Ad Setawa
BAB VI ANALISIS VARIANSI Dalam bab, aka dbahas tetag aalss varas satu arah (oe-way aalyss of varace), aalss varas dua arah (two-way aalyss of varace) da aalss varas tga arah (three-way aalyss of varace). Aalss varas merupaka suatu metode utuk meguj hpotess kesamaa rata-rata dar tga atau lebh populas. VI.1 Aalss Varas Satu Arah Tabel VI.1 Tabel data utuk aalss varas satu arah Jumlah Sampel 1...... k x 11 x 1... x 1... x k1 x 1 x... x... x k... x 1 x 1...... T 1. T.... T. T k. Jumlah T.. Msalka dmlk k populas yag salg bebas da berdstrbus ormal dega rata-rata 1,,..., k da varas mereka sama yatu. Dgka utuk meguj hpotess ol H0 : 1 = =... = k melawa hpotess alteratf H1 : H0 tdak bear. Utuk meguj hpotess ol, dguaka k sampel dar k populas sepert dyataka pada Tabel VI.1. Dalam hal, T adalah jumlah semua pegamata sampel ke- utuk = 1,,..., k sedagka. Aalss Data Statstk 67
T.. adalah jumlah semua pegamata. Selajutya, dapat dhtug Jumlah Kuadrat Total (JKT) yatu JKT k 1 j 1 x j T.., k Jumlah Kuadrat Perlakua (JKP) yatu k T. 1 T.. JKP, k da Jumlah Kuadrat Galat (JKG) yatu JKG = JKT JKP. Tabel aalss varas dapat dyataka pada Tabel VI.. Dalam hal, KRP adalah Kuadrat Rata-rata Perlakua da KRG adalah Kuadrat Rata-rata Galat. Dega megguaka tgkat keberarta (level of sgfcace), hpotess ol dtolak jka Fhtug > F ; k1; k ( 1) atau la-p <. Dalam hal, la-p dhtug dega la p P ( F k 1; k ( 1) Fhtug ). Tabel VI. Tabel Aalss Varas Satu Arah Sumber Varas Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Rata-rata Perlakua k-1 JKP KRP = JKP/(k-1) Galat k(-1) JKG KRG = JKG/(k(- 1)) Total k-1 JKT Statstk F F = KRP/KRG Cotoh VI.1 Msalka seorag guru megadaka peelta tetag keuggula metode pembelajara. Apabla data yag dperoleh dyataka pada Tabel VI.3, dega megguaka tgkat keberarta = 5 % apakah ketga metode pembelajara mempuya rata-rata yag sama? 68 Ad Setawa
Tabel VI.3 Hasl la dar 3 metode pembelajara. Metode 1 Metode Metode 3 6 7 8 6 7 8 5 6 7 5 6 7 Peyelesaa Aalss varas satu arah dguaka utuk meguj hpotess ol H0 : 1 = = 3 melawa hpotess alteratf H1 : H0 tdak bear. Hpotess alteratf juga dapat dyataka dega H1 : 1 atau 3 atau 1 3. Hpotess ol aka dtolak dega tgkat keberarta =5% jka Fhtug > F F 4, 565 atau la-p < = 0,05. ; k1; k ( 1) 0,05;,9 Tabel VI.4 dguaka utuk membatu perhtuga JKT, JKP da JKG. Tabel dstrbus F yag dguaka ada pada Lampra 6. Tabel VI.4 Batua Perhtuga Metode 1 Metode Metode 3 Jumlah 6 7 8 6 7 8 5 6 7 5 6 7 Jumlah T T 30 T.. 78 T 6 1.. 3. Jumlah Kuadrat Total (JKT) dapat dhtug dega JKT k T.. xj 1 j 1 k 78 518 518 50711, 4(3) Aalss Data Statstk 69
Jumlah Kuadrat Perlakua (JKP) k T... 1 T 6 8 JKP 507 515 507 8, k 4 sehgga JKG = JKT JKP = 11-8 = 3. Tabel aalss varas dapat dyataka dalam Tabel VI.5. Karea Fhtug = 1 > 4,565 maka H0 dtolak sehgga H0 tdak bear. Dalam hal, juga dapat dperoleh la-p = P F F ) P( F 1) 0,009. ( k 1; k ( 1) htug, 9 Karea la-p < = 5 % maka H0 dtolak sehgga kesmpula yag sama juga dperoleh apabla megguaka cara ttk krts. Tabel VI.5 Tabel Aalss Varas Satu Arah Sumber Varas Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Rata-rata Statstk F Perlakua 8 KRP = 4 F = 4/(1/3) = 1 Galat 9 3 KRG = 1/3 Total 11 11 Apabla H0 dtolak maka lagkah selajutya adalah melakuka aalss pasca aava utuk mecar pasaga maakah yag berbeda yatu 1 atau 3 atau 1 3. Utuk tu dlakuka pembadga gada megguaka metode Scheffe yag dguaka utuk meguj hpotess: H0 : 1 = atau H0 : 1 - = 0 melawa hpotess alteratf yatu H 0 : 1 atau H 0 : 1-0. Statstk uj yag dapat dguaka yatu dega S X 1 SE X 70 Ad Setawa
SE 1 1 s s 1 1 1 da s adalah Kuadrat Rata-rata Galat (Mea Square of Error). Hpotess ol dtolak jka Shtug > S dega S ( k 1) F ; k1; ( k1) da F;k-1,-k meyataka kuatl ke-(1-) dar dstrbus F dega derajat bebas pemblag k-1 da derajat bebas peyebut -k. 1 Cotoh VI. Dalam Cotoh VI.1, dperoleh bahwa H0 dtolak. Maakah yag berbeda yatu 1 atau 3 atau 1 3. Peyelesaa Berdasarka data pada Tabel VI.3, dperoleh 1 = = 3 = 4, X 1 5,5, X 6, 5 da X 3 7,5. Dar tabel aava (Tabel VI.5), dperoleh s = 1/3 da S ( k 1) F k1; ( k1) (31) F0,05; 31,13 (4,6) ; Berdasarka perhtuga, dperoleh da SE S htug 1 1 s 1 X 1 X SE 1 1 (1/3) 0,408 4 4 5,5 6,5,4495. 0,408,9. Hal tu berart bahwa H0 : 1 = tdak dtolak. Demka juga dapat dperoleh S htug X 1 X SE 3 5,5 7,5 4,8990 0,408 sehgga H0 : 1 = 3 dtolak da berart 1 3. Selajutya Aalss Data Statstk 71
S htug X X SE sehgga H0 : = 3 tdak dtolak. 3 6,5 7,5,4495 0,408 Apabla ukura sampel dalam setap sampel tdak sama maka perhtuga JKT, JKP da JKG dapat dperoleh sebaga berkut : JKT JKP k 1 j 1 k 1 T x. j.. T N.. T N k 1 da JKG = JKT JKP dega N. Selajutya dperoleh tabel aalss varas utuk kasus tersebut pada Tabel VI.5. Dega megguaka tgkat keberarta, hpotess ol dtolak jka Fhtug > F atau la-p <. Dalam hal, ; k 1; N k la-p dhtug dega la p P ( F k 1; N k Fhtug,, ). Tabel VI.6 Tabel Aalss Varas Satu Arah Sumber Varas Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Rata-rata Perlakua k-1 JKP KRP = JKP/(k-1) Galat N-k JKG KRG = JKG/(N-k) Total N-1 JKT Statstk F F = KRP/KRG Cotoh VI.3 Msalka seorag guru megadaka peelta tetag keuggula metode pembelajara. Apabla data yag dperoleh dyataka pada Tabel VI.7, dega megguaka tgkat 7 Ad Setawa
keberarta = 5% apakah ketga metode pembelajara mempuya rata-rata yag sama? Tabel VI.7 Hasl la dar 3 metode pembelajara Metode 1 Metode Metode 3 6 7 8 6 7 8 5 6 7 5 6 5 Peyelesaa Dalam hal, dgka utuk meguj hpotess ol H0 : 1 = = 3 melawa hpotess alteratf H1 : H0 tdak bear. Hpotess alteratf juga dapat dyataka dega H1 : 1 atau 3 atau 1 3. Berdasarka Tabel VI.7, dperoleh k = 3, N k 1 5 431, da N-k = 1-3 = 9. Hpotess ol aka dtolak dega tgkat keberarta = 5% jka Fhtug > F F 4, 565 ; k1; N k 0,05;,9 atau la-p < = 0,05. Tabel VI.4 dguaka utuk membatu perhtuga JKT, JKP da JKG. Aalss Data Statstk 73
Tabel VI.8 Batua Perhtuga Jumlah Metode 1 Metode Metode 3 Jumlah 6 7 8 6 6 7 5 6 7 5 6 5 T 5 T T 1 7.. 3. T. 74. Jumlah Kuadrat Total (JKT) dapat dhtug dega JKT k T.. xj 1 j 1 N Jumlah Kuadrat Perlakua (JKP) JKP k 1 T... T N 7 5 5 4 74 466 466 456,3333 9,6667, 1 3 74 463,3833 456,3333 7,0500, 1 sehgga JKG = JKT JKP = 9,6667 7,0500 =,6167. Tabel aalss varas dapat dyataka dalam Tabel VI.9. Karea Fhtug = 1,1 > 4,565 maka H0 dtolak sehgga H0 tdak bear. Dalam hal, juga dapat dperoleh la-p = P F F ) P( F 1,1) 0,008. ( k 1; k ( 1) htug, 9 Karea la-p < = 5 % maka H0 dtolak sehgga kesmpula yag sama juga dperoleh apabla megguaka cara ttk krts. Tabel VI.9 Tabel Aalss Varas Satu Arah Sumber Derajat Jumlah Kuadrat Ratarata Statstk F Varas Bebas Kuadrat Perlakua 7,05 KRP = 3,55 F = Galat 9,617 KRG = 0,91 3,55/0,91 Total 11 11 = 1,1 74 Ad Setawa
Cotoh VI.4 Dalam Cotoh VI.3, dperoleh bahwa H0 dtolak. Dega megguaka tgkat keberarta 5 %, maakah yag berbeda yatu 1 atau 3 atau 1 3. Peyelesaa Berdasarka data pada Tabel VI.8, dperoleh 1 = 5, = 4, 3 = 3, X 1 6,75, X 6,5 dperoleh s = 0,91 da S da ( k 1) F k1; k k (31) F0,05; 31,13 X 3 5,5. Dar tabel aava, (4,6) ; Berdasarka perhtuga, dperoleh da SE S htug 1 1 s 1 X X 1 SE 1 1 (0,91) 0,3619 5 4 6,756,5 1,3817. 0,3619,9. Karea S htug = 1,3817 < S =,9 maka H 0 : 1 = tdak dtolak. Demka juga dapat dperoleh S htug X X 1 SE 3 6,755,5 3,4543 0,3619 sehgga H0 : 1 = 3 dtolak da berart 1 3. Selajutya S htug X SE sehgga H0 : = 3 tdak dtolak. VI. Aalss Varas Dua Arah X 3 6,55,5,076 0,3619 Aalss varas dua arah ddasarka pada model data yag dapat djelaska berkut. Msalka X j1, X j,..., X jk utuk = 1,,..., I da j = 1,,..., J adalah sampel-sampel yag salg bebas da dambl dar populas yag mempuya Aalss Data Statstk 75
mea j da varas. Dedefska rumus-rumus berkut : T I J K X jk 1 j 1 k 1, T C, IJK K T, T X, j X jk k 1 J K. j1 k 1 I K I 1 T. j X jk, JKA T. C, JK 1 JKB JKG k 1 1 IK I J j1 J j T. C, JKG K 1 j 1 k1 X jk C, I 1 J jk K 1 j 1 k1 JKAB = JK JKA JKB JKG. X jk 1 K I J 1 j 1 Tabel aalss varas dua arah dyataka pada Tabel VI.10. Sumber Varas T j Tabel VI.10 Tabel Aalss Varas Dua Arah Derajat Bebas Jmlh Kuadra t Kuadrat Rata-rata, Statstk F Faktor A I-1 JKA KRA = JKA/(I-1) FA = KRA/KRG Faktor B J-1 JKB KRB = JKB/(J-1) FB = KRB/KRG Iteraks AB (I-1)(J-1) JKAB KRAB = JKAB/(I-1) FAB = KRAB/KRG Galat IJ(K-1) JKG KRG = JKG/(IJ(K-1)) Dalam aalss varas dua arah, dgka utuk meguj hpotess ol hpotess ol berkut : H0A : tdak ada pegaruh faktor A, H0B : tdak ada pegaruh faktor B, H0AB : tdak ada teraks atara faktor A da faktor B, melawa hpotess alteratf hpotess alteratf : 76 Ad Setawa
H1A : ada pegaruh faktor A, H1B : ada pegaruh faktor B, H1AB : ada teraks atara faktor A da faktor B. Hpotess ol H0A dtolak jka FA htug > F ; I 1, IJ ( K 1) dega F meyataka kuatl ke-(1-) dar dstrbus F ; I 1, IJ ( K 1) dega derajat bebas pemblag I-1 da derajat bebas peyebut IJ(K-1). Selajutya, hpotess ol H0B dtolak jka FB htug > F ; J 1, IJ( K 1) dega F ; J 1, IJ( K 1) meyataka kuatl ke-(1-) dar dstrbus F dega derajat bebas pemblag J- 1 da derajat bebas peyebut IJ(K-1). Demka juga, hpotess ol H0AB dtolak jka FAB htug > ;( I 1)( J 1), IJ( K1) dega F ;( I 1)( J 1), IJ( K1) meyataka kuatl ke-(1-) dar dstrbus F dega derajat bebas pemblag (I-1)(J-1) da derajat bebas peyebut IJ(K-1). Cotoh VI.4 Msalka dberka hasl pelaa dar 3 sswa utuk taptap sel pada aalss varas dua arah. Faktor (varabel) yag pertama adalah metode pembelajara yatu ada metode pembelajara (metode 1 da metode ) sedagka faktor kedua adalah motvas belajar yag terdr dar 3 kategor yatu Tgg, Sedag da Redah. Tabel VI.11 meyataka data hasl la-la sswa. F Tabel VI.11 Tabel Aalss Varas Dua Arah Cotoh VI.4 Motvas Tgg Sedag Redah Metode Metode 1 9 8 7 8 7 6 7 6 6 Metode 7 6 7 6 5 6 5 4 4 Ujlah dega tgkat sgfkas 5% utuk pertayaa berkut: Aalss Data Statstk 77
a. apakah ada pegaruh metode pembelajara terhadap hasl la sswa? b. apakah ada pegaruh motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa? c. apakah ada teraks atara metode pembelajara da motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa? Peyelesaa Dalam aalss varas dua arah, dgka utuk meguj hpotess ol hpotess ol berkut : H0A : tdak ada metode pembelajara terhadap hasl la sswa, H0B : tdak ada pegaruh motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa, H0AB : tdak ada teraks atara metode pembelajara da motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa, melawa hpotess alteratf hpotess alteratf : H0A : ada metode pembelajara terhadap hasl la sswa, H0B : ada pegaruh motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa, H0AB : tdak ada teraks atara metode pembelajara da motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa, Hpotess ol H0A dtolak jka FA htug > F F 4,747. ; I 1, IJ( K1) 0,05; 1, 1 Hpotess ol H0B dtolak jka FB htug > F F 3,885. ; J 1, IJ( K 1) 0,05;, 1 Hpotess ol H0AB dtolak jka FAB htug > F F 3,885. ;( I 1)( J 1), IJ( K1) 0,05;, 1 Tabel aalss varas dua arah dar permasalaha d atas dapat dyataka pada Tabel VI.1. Berdasarka Tabel VI.1, H 0A da H 0B dtolak sedagka H 0AB dterma. Hal tu berart, ada pegaruh metode pembelajara terhadap hasl la sswa, da ada pegaruh motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa, tetap tdak ada teraks atara metode 78 Ad Setawa
pembelajara da motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa. Tabel VI.1 Tabel Aalss Varas Dua Arah Sumber Derajat Jumlah Kuadrat Rata-rata Statstk F Varas Bebas Kuadrat Metode 1 9,389 9,389 16,9 Motvas 10,111 5,056 9,1 Iteraks 0,111 0,056 0,1 Galat 1 6,667 0,556 Lagkah selajutya, adalah mecar datara kedua metode, maakah yag memberka rata-rata hasl la sswa yag lebh tgg. Metode 1 memberka rata-rata la sswa sebesar 7,11 sedagka metode memberka ratarata la sswa sebesar 5,67. Hal tu berart bahwa Metode 1 lebh bak (secara sgfka) terhadap Metode. Cotoh VI.5 Tabel VI.13 mempresetaska hasl la sswa d kota la dalam kasus yag sama sepert pada Cotoh VI.4. Ujlah dega tgkat sgfkas 5% apakah terdapat teraks atara metode pembelajara dega motvas belajar? Tabel VI.13 Tabel Data pada Cotoh VI.5 Motvas Metode Tgg Sedag Redah Metode 1 9 8 7 8 7 6 7 6 6 Metode 5 4 4 6 5 6 7 6 7 Peyelesaa Berdasarka Tabel VI.14, terlhat bahwa F AB htug adalah 9,1 sehgga lebh besar dar ttk krts 3,885 da berart H0AB dtolak. Akbatya, terdapat teraks atara metode pembelajara da motvas belajar sswa terhadap hasl la Aalss Data Statstk 79
sswa. Iteraks tersebut djelaska pada Gambar VI.1. Dar Gambar VI.1 terlhat bahwa, metode pembelajara Metode lebh cocok dguaka pada sswa dega motvas belajar redah sedagka Metode 1 lebh cocok utuk sswa laya. Sumber Varas Tabel VI.14 Tabel Aalss Varas Dua Arah Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Rata-rata Statstk F Metode 1 9,389 9,389 16,9 Motvas 0,111 0,056 0,1 Iteraks 10,111 5,056 9,1 Galat 1 6,667 0,556 Gambar VI.1 Grafk Hubuga Atara Metode Pembelajara da Rata-rata Sel 80 Ad Setawa
SOAL & PENYELESAIAN Soal 1 Guaka tabel dstrbus F utuk meghtug : a. b. c. F 0,05; 3, 5 F 0,10; 6, 8 F 0,90; 10, 8 Peyelesaa Dar tabel dstrbus F dperoleh a. F 5,4095. 0,05; 3, 5 b. F,6683. 0,10; 6, 8 c. F 0,407. 0,90; 10, 8 Soal Berdasarka dstrbus F dega derajat bebas pemblag v1 da derajat bebas peyebut v, tetuka : a. P( F < 3,84) utuk v1 = 5, v = 8. b. P( F > 3,19) utuk v1 = 15, v = 0. c. P( F 1,84) utuk v1 = 8, v = 4. Peyelesaa Dega megguaka paket program R, dperoleh a. P( F < 3,84) utuk v1 = 5, v = 8 adalah 0,9548. b. P( F > 3,19) utuk v1 = 15, v = 0 adalah 0,0084. c. P( F 1,84) utuk v1 = 8, v = 4 adalah 0,7091. Soal 3 Dadaka suatu percobaa utuk megetahu apakah suhu pembakara batu bata jes tertetu berpegaruh terhadap kepadata batu bata tersebut. Destas utuk 4 suhu pembakara yag dperhatka dapat dlhat pada Tabel VI.15. Guaka tgkat keberarta 10%! Aalss Data Statstk 81
Tabel VI.15 Tabel Data pada Soal VI.3 Suhu 100 o Suhu 15 o Suhu 150 o Suhu 175 o 0,8,8,8 1,8 0,9,9,9 1,9 1,7,3,3 1,7 0,9 3 3 1,9 0,8,1 1,8 Peyelesaa Dalam aalss varas satu arah, dgka utuk meguj hpotess ol berkut : H0A : tdak ada pegaruh suhu terhadap terhadap kepadata batu bata atau H0 : 1 = = 3 = 4, melawa hpotess aleteratf bahwa H1 : tdak ada pegaruh suhu terhadap terhadap kepadata batu bata. Dar perhtuga dperoleh tabel aalss varas satu arah pada Tabel VI.16. Dar Tabel VI.16 terlhat bahwa Fhtug =,498 lebh besar dar,498 sehgga H0 dtolak. Hal tu berart, Fhtug lebh dar Ftabel =,498 sehgga tdak ada apakah suhu pembakara batu bata jes tertetu berpegaruh terhadap kepadata batu bata tersebut Tabel VI.16 Tabel Aalss Varas Satu Arah Sumber Derajat Jumlah Kuadrat Ratarata Statstk F Varas Bebas Kuadrat Atar grup Dalam 10 8 18,737,617 KRP = 3,55 KRG = 0,91 F = 18,737/0,91 =,498 grup Total 11 11 8 Ad Setawa
Soal 4 Msalka dberka hasl pelaa dar 3 sswa utuk taptap sel pada aalss varas dua arah. Faktor yag pertama adalah metode pembelajara yatu ada metode pembelajara sedagka faktor kedua adalah motvas belajar yag terdr dar 3 kategor yatu Tgg, Sedag da Redah. Tabel VI.17 meyataka data hasl la-la sswa. Tabel VI.17 Tabel Data pada Soal VI.4 Motvas Metode Tgg Sedag Redah Metode 1 9 8 7 8 7 6 7 6 6 Metode 8 8 7 7 7 6 6 6 6 Ujlah dega tgkat sgfkas 5% utuk pertayaa berkut: a. apakah ada pegaruh metode pembelajara terhadap hasl la sswa? b. apakah ada pegaruh motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa? c. apakah ada teraks atara metode pembelajara da motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa? Peyelesaa Dalam aalss varas dua arah, dgka utuk meguj hpotess ol hpotess ol berkut : H0A: tdak ada metode pembelajara terhadap hasl la sswa, H0B: tdak ada pegaruh motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa, H0AB: tdak ada teraks atara metode pembelajara da motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa, melawa hpotess alteratf hpotess alteratf, H1A: ada pegaruh metode pembelajara terhadap hasl la sswa, Aalss Data Statstk 83
H1B : ada pegaruh motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa, H1AB : tdak ada teraks atara metode pembelajara da motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa, Hpotess ol H1A dtolak jka FA htug > F F 4,747. ; I 1, IJ( K1) 0,05; 1, 1 Hpotess ol H1B dtolak jka FB htug > F F 3,885. ; J 1, IJ( K 1) 0,05;, 1 Hpotess ol H1AB dtolak jka FAB htug > F F 3,885. ;( I 1)( J 1), IJ( K1) 0,05;, 1 Tabel aalss varas dua arah dar permasalaha d atas dapat dyataka pada Tabel VI.18. Berdasarka Tabel VI.18, H0A da H0AB dterma tetap H0B dtolak. Hal tu berart, tdak ada pegaruh metode pembelajara terhadap hasl la sswa, tdak ada pegaruh teraks atara metode pembelajara da motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa tetap ada pegaruh motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa. Tabel VI.18 Tabel Aalss Varas Dua Arah Sumber Derajat Jumlah Varas Bebas Kuadrat Kuadrat Rata-rata Statstk F Metode 1 0,889 0,889 1,6 Motvas 10,111 5,056 9,1 Iteraks 0,111 0,056 0,1 Galat 1 6,667 0,556 Lagkah selajutya, adalah mecar datara ketga motvas belajar sswa, maakah yag memberka rata-rata hasl la sswa yag lebh tgg. 84 Ad Setawa
LATIHAN 1. Guaka tabel dstrbus F utuk meghtug: a. b. c. F 0,01; 13, 15 F 0,10; 18, 1 F 0,99; 4, 8. Berdasarka dstrbus F dega derajat bebas pemblag v1 da derajat bebas peyebut v, tetuka : a. P( F < 3,84) utuk v1 = 5, v = 8. b. P( F > 3,19) utuk v1 = 15, v = 0. c. P( F 1,84) utuk v1 = 8, v = 4. 3. Seorag peelt g meetuka apakah ada pegaruh suatu obat terhadap lamaya waktu tdur (dalam jam). Utuk tu dberka doss obat tersebut pada sekelompok orag da dcek berapa lama waktu tdur masgmasg. Dega tgkat keberarta 10%, ujlah apakah ada pegaruh bayakya doss (Doss 0 ml, 5 ml, 10 ml, 15 ml) yag dberka terhadap lama waktu tdur. Jka ada pegaruh, maakah pasaga yag berbeda secara sgfka? Tdak mum : 4, 6, 5, 8, 3,, 5 ml : 6, 8, 9, 6, 8, 4, 10 ml : 7, 9, 6, 5, 4, 15 ml : 9, 8, 7, 6. 4. Msalka dberka hasl pelaa dar 3 sswa utuk tap-tap sel pada aalss varas dua arah. Faktor yag pertama adalah metode pembelajara yatu ada metode pembelajara sedagka faktor kedua adalah motvas belajar yag terdr dar 3 kategor yatu Tgg, Sedag da Redah. Tabel VI.19 meyataka data hasl la-la sswa. Aalss Data Statstk 85
Tabel VI.19 Tabel Data pada Soal Latha VI.4 Motvas Metode Tgg Sedag Redah Metode 1 9 9 9 9 8 9 5 6 5 Metode 5 6 5 6 7 6 7 8 7 Ujlah dega tgkat sgfkas 5% utuk pertayaa berkut : a. apakah ada pegaruh metode pembelajara terhadap hasl la sswa? b. apakah ada pegaruh motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa? c. apakah ada teraks atara metode pembelajara da motvas belajar sswa terhadap hasl la sswa? d. Gambarka teraks yag mucul. 5. Kekuraga Vtam A (KVA) merupaka masalah gz yag serg dtemuka pada aak-aak pra seolah. Keberadaa KVA dar 10 desa da 8 desa dhtug dalam Tabel V.0. Tabel V.0 Tabel Data pada Soal Latha VI.5 Letak Desa Prevales KVA (%) Jumlah Desa pata 3,4 6,1,8 5,6 4,5 37,9 1,9,7 3,6 1 4,1 Desa Pedalama,1 1,8 3,4 1,9 18,8 4,5 1,1 1,7,3 ****** 86 Ad Setawa
BAB VII ANALISIS REGRESI LINEAR SEDERHANA Aalss regres, basaya dguaka utuk memodelka respo kotu pada data eksperme. Daggap bahwa peubah respo (respos varable), tergatug pada la dar satu atau sejumlah peubah yag la, yag damaka peubah pejelas (explaatory varable). Respos yag damat daggap tdak tepat bear laya sepert pada pegamata tetap megadug suatu galat (error), sedagka la-la pada peubah pejelas daggap eksak. Hubuga atara peubah respo da peubah pejelas, dyataka dalam hubuga lear yag tergatug pada vektor parameter. Nla parameter dtaksr dega megguaka metode kuadrat terkecl (least square error method). Dalam aalss regres lear, daggap bahwa respo mempuya dstrbus ormal. ANALISIS REGRESI LINEAR SEDERHANA Aalss regres adalah suatu tekk statstk utuk pemodela da vestgas hubuga dua atau lebh peubah. Dalam aalss regres lear, ada satu atau lebh peubah bebas, predktor, atau pejelas yag basa dwakl dega otas X da satu peubah respo yag basa dwakl dega otas Y. Jka bayakya peubah pejelas yag dguaka haya satu maka model yag dguaka model regres lear sederhaa. Model regres lear sederhaa utuk pegamata da satu peubah pejelas adalah sebaga berkut: Y X e, 0 1 =1,,...,. Dalam hal Y adalah pegamata ke- da adalah peubah pejelas ke-, sedagka 0 da 1 X Aalss Data Statstk 87
merupaka parameter da pegamata ke-. e adalah error stokastk dar Asums yag dguaka adalah e berdstrbus N 0, utuk semua dega masg-masg error tdak bergatug dega error yag la. Utuk medapatka estmas dar parameter regres 0 da 1, dguaka metode kuadrat terkecl (least square method). Utuk setap pasaga observas ( X, Y ), dbetuk: D 1 e Y 0 X 1 1. Meurut metode kuadrat terkecl, estmas parameter 0 da 1 adalah harga dar b 0 da b 1 yag membuat D mmum. Nla D mmum jka dervatf parsal D terhadap yatu: D 0 Y 0 X 1 1 sama dega ol, sehgga: 1 D X Y 0 X 1 1 1 1 Y b X b 0 0 1 Y b X b 0 X. 0 1 0 da Sstem persamaa damaka persamaa ormal. Dega meyelesaka persamaa ormal tersebut dperoleh: da b 1 ˆ 1 1 X Y 1 X 1 X 1 X 1 Y 1, 88 Ad Setawa
Aalss Data Statstk 89. 1 1 ˆ 1 1 1 1 0 0 X b Y X b Y b Utuk memudahka perhtuga, sergkal ddefska, ) ( 1 1 1 X X X X SS XX Y X Y X Y Y X X SS XY 1 1 1 1 ) )( ( maka. ˆ1 1 XX XY SS SS b Jka harga-harga 0 b da 1 b telah dperoleh, maka persamaa estmasya sebaga berkut:. ˆ 1 0 X b b Y Parameter varas dapat destmas dega Ssaa Kuadrat Rata- rata (SKR) s dega rumus ˆ JKS s dega Jumlah Kuadrat Ssaa (JKS) Y Y JKS 1 ˆ. Utuk meghtug s dapat dguaka: ˆ 1 1 1 0 1 Y X b Y b Y s. Cotoh VII.1: Data tetag hubuga atara IPK (Ideks Prestas Komulatf) da IQ (Itelget Quotet) mahasswa dyataka pada Tabel VII.1.
Tabel VII.1 Tabel Hubuga atara IPK da IQ Mahasswa () 1 3 4 5 6 7 8 IQ 105 110 115 10 15 140 145 150 IP, 1,9,6,7 3,1 3,3 3,5 3,9 Scatter plot dar data tersebut dguaka utuk melhat apakah cukup beralasa utuk megguaka persamaa regres gars lurus dalam memodelka data. Gambar VII.1 meyataka scatter plot dar data tersebut da terlhat bahwa terdapat hubuga lear atara IQ da IP mahasswa. IPK.0.5 3.0 3.5 110 10 130 140 150 Gambar VII.1 Scatter plot data hubuga atara IQ da IP mahasswa Utuk meghtug b1 da b dguaka lagkahlagkah pada Tabel VII.1. IQ 90 Ad Setawa
Tabel VII.1 Tabel perhtuga jumlah kuadrat X Y X Y X Y 105 110 115 10 15 140 145 150, 1,9,6,7 3,1 3,3 3,5 3,9 31 09 9 34 387,5 46 507,5 585 1105 1100 135 14400 1565 19600 105 500 4,84 3,61 6,76 7,9 9,61 10,89 1,5 15,1 1010 3, 3005 19500 70,46 Hasl tersebut dguaka utuk meghtug b1 da b berkut: 8( 3005) 1010(3,) b 1 0,03839, 8(19500 1010 ) 3, 1010 b 0 0,03839 1,97673. 8 8 Persamaa regres estmasya adalah ^ Y 0,03839 x 1,97673 dega x = IQ da y = IP. dguaka rumus Utuk meghtug s dapat s 1 Y b 0 1 Y b 1 1 X Y 70.46 ( 1.97673) 3, 0,03839(3005) 0,04563941. 8 Iferes dalam Aalss Regres Sederhaa Apabla dguaka asums ~ N ormal maka: a. b. 0 y berdstrbus N b berdstrbus e 0, yatu error berdstrbus, dega 0 X 1., var(b ) dega N 0 0 Aalss Data Statstk 91
c. d. b 1 ^ Y k var( berdstrbus, var(b ) berdstrbus X 1 b 0). ( X X ) 1 N 1 1 var( dega b 1). 1 1 ( X X ) ^ N, var( Y k ) dega k ^ Y k b0 b1 X k var( 1 da k 0 1 X k. ( X X ) ^ ) k Y k, ( X X ) 1 Karea tdak dketahu maka basaya dguaka sebaga s estmasya. Utuk megestmas parameter 1 dapat dguaka sfat bahwa statstk b1 1 t s( b 1 ) 1 dega s( b1 ) s, mempuya dstrbus t ( X X ) 1 dega derajat bebas -. Iterval kofdes 95 % utuk 1 adalah b1 t 6; 0,05 s(b1) < 1 < b1 + t 6; 0,05 s(b1). Dalam hal b 0, 03839, t 6; 0,05 =,447 da 1 s 0,0463941 s ( b1 ) 0,00479. 1987,5 ( X X ) 1 9 Ad Setawa
sehgga dperoleh b1 t 0,05 s(b1) < 1 < b1 + t 0,05 s(b1) 0,03839 -,447 (0,0479) < 1 < 0,03839 +,447 (0,00479) 0,0651 < 1 < 0,04997. Dalam hal, apabla g meguj H0 : 1 = 0 yatu tdak terdapat hubuga lear atara IP da IQ mahasswa melawa H1 : 1 0 yatu terdapat hubuga lear atara IP da IQ mahasswa maka dapat dguaka statstk b1 1 t s( b 1 ) utuk melakuka peguja hpotess. Hpotess ol H0 dtolak dega tgkat keberarta = 0,05 jka thtug lebh besar dar t 0,05 =,447 atau lebh kecl dar - t 0,05 = -,447 (Lampra 5). Dalam hal : s 0,0463941 s ( b1 ) 0,00479. 1987,5 ( X X ) 1 Dar perhtuga dperoleh b 1 0,03839 0 t s( b 1 ) 0,00479 1 7,98 sehgga H0 dtolak atau terdapat hubuga lear atara IP da IQ mahasswa. Dar persamaa regres estmasya yatu ^ Y 0,03839 X 1,97673 dega x = IQ da y = IP. Apabla dgka utuk megestmas IP dar mahasswa yag mempuya IQ sebesar 130 maka Xk = 130 sehgga ^ Y 0,03839 (130) 1,97673 3,04 k da varas utuk destmas dega Aalss Data Statstk 93
s ( ^ Y k 1 ) 8 (130 1010 /8) 1987 sehgga stadard devasya adalah s Y k ) 0,07763947. ( ^ 0,0456391 0,00607887 Iterval kepercayaa 95 % utuk IP tersebut adalah atau 3,04,447 (0,07763947) < ^ Y k (0,07763947),85 < ^ Y k < 3,3. < 3,04 +,447 Pedekata Aalss Varas Sergkal aalss tetag kualtas regres dlakuka dega aalss varas. Utuk tu jumlah total devas kuadrat varabel bergatug/respos) dpecah mejad Jumlah Kuadrat Galat (JKG) da Jumlah Kuadrat Regres (JKR) sehgga 1 ( Y Y ) 1 ( Y Y ) ^ 1 ^ ( Y Y ) yatu JK = JKG + JKR. Dalam hal, JKG adalah besara varas data pegamata terhadap gars regres sedagka JKR adalah besara varas dalam data pegamata yag djelaska oleh model regresya. Karea JKG/ da JKR/ masg-masg adalah varabel ch-kuadrat salg bebas dega derajat bebas - da 1 maka JK/ juga merupaka varabel ch-kuadrat dega derajat bebas -1. Dapat dtujukka bahwa da E [ JKG /( )] E[ S ] E[ JKR /1] 1 1 ( X X ). 94 Ad Setawa
Apabla g meguj H0 : 1 = 0 melawa H1 : 1 0 maka dguaka trasformas JKG /1 JKG F JKS /( ) S yag berdstrbus F dega derajat bebas pemblag 1 da derajat bebas peyebut -. Akbatya H0 dtolak jka Fhtug > F(1, -; 1-). Karea E [ JKR /1] aka cederug lebh besar dar E[ S ] jka 1 tdak ol. Hal tersebut dapat drgkas dalam betuk tabel aalss varas berkut. Tabel VII. Aava utuk uj H 0 : 1 = 0 melawa H 1 : 1 0. Sumber Varas Derajat bebas Jumlah Kuadrat Kudrat Ratarata F-Raso Regres 1 JKR KRR = JKR/1 F = Galat - JKG S = JKG/(-) KRR/S Total -1 JK Utuk mempermudah perhtuga JKR da JKS dapat dguaka cara berkut : da JKG 1 X JKR b b 1 0 1 1 Y b X Y 1 1 X Y 1. X 1 Y Cotoh VII. : Berdasarka data pada cotoh d atas dapat dhtug JKR da JKG berkut : 1010(3,) JKR 0,038 3005,906 8 Aalss Data Statstk 95
da JKG 70,46( 1,977)(3,) 0,038(3005) 0,738. Selajutya, dperoleh tabel aava pada Tabel VII.3 Tabel VII.3 Aava utuk uj H 0 : 1 = 0 melawa H 1 : 1 0 pada Cotoh VII.. Sumber Varas Derajat bebas Jumlah Kuadrat Kudrat Rata-rata F-Raso Regres 1,906,906 Fhtug Sesata 6 0,738 0,0456 Total 7 =,906/0,0456 = 63,6760 Karea Fhtug = 63,6760 > 5,99 = F(1, 6; 0,95) = F(1, -; 1-) maka H0 dtolak sehgga terdapat hubuga lear atara IP da IQ mahasswa. Dapat juga dhtug la-p dar statstk htugya yatu : Nla-p = P( F(1, 6) > Fhtug ) = 1 - P( F(1, 6) Fhtug ) = 1-0,9998 = 0,000. Akbatya karea la-p < 0,05 maka H0 dtolak. Aalss Korelas pada Aalss Regres Lear Sederhaa Dalam aalss regres daggap bahwa varabel X kosta artya buka varabel radom. Jka varabel X da Y daggap mempuya dstrbus bersama maka dapat ddefska koefse korelas atara X da Y berkut Cov( X, Y) [ var( X ) var( Y)] 1/ E[( X E( X ))( Y E( Y))] [ E( X E( X )) E( Y E( Y)) ] Dapat dtujukka bahwa -1 1. Kuattas meujukka tgkat hubuga lear atara varabel radom X da varabel radom Y. Jka korelasya postf maka mak besar la X aka mak besar la Y da sebalkya jka korelasya egatf maka mak besar la X aka mak kecl la Y. 1/. 96 Ad Setawa
Jka dmlk sampel radom (X1, Y1), (X, Y),..., (X, Y), dar suatu populas maka r 1 1 ( X ( X X X ) )( Y Y 1 ) ( Y Y) damaka koefse korelas sampel atara X da Y yag merupaka estmas ttk dar koefse korelas populas. Demka juga, dapat dbuktka bahwa JKS JKR r 1 JK JK yag damaka koefse determas. Akbatya 0 r 1. Koefse determas dkalka 100 % megukur besarya prosetase data yag tdak dapat djelaska model regres sehgga (1 - r ) 100% meyataka besarya persetase data yag dapat djelaska model regres. Cotoh VII.3: Berdasarka data d atas, koefse determas : JKS JKR,90616 r 1 0,9139 JK JK,90616 0,7384 artya hubuga atara IQ da IP mahasswa dapat djelaska dega model regres lear atara IQ da IP mahasswa sebesar 91,39% sedagka ssaya sebesar 8,61% tdak dapat djelaska oleh model regres lear atara IQ da IP mahasswa. Dega kata la 91,39% varas dar IP karea hubugaya dega IQ. Apabla dgka utuk meguj hpotess H0 : = 0 melawa H 1 : 0 dapat dguaka statstk Z 1/ 3 (1 r)(1 0 ) l (1 r)(1 0) Aalss Data Statstk 97
yag daggap berdstrbus ormal baku. Akbatya utuk meguj ada tdakya korelas atara varabel X da varabel Y dapat dguaka statstk Z 3 1 r l 1 r yag lebh sederhaa da berdstrbus ormal baku. Cotoh VII.3 : Berdasarka data d atas, gka meguj hpotess ada atau tdakya korelas atara IQ da IP mahasswa. Utuk tu dlakuka peguja hpotess H0 : = 0 melawa H1: 0. Hpotess H0 aka dtolak tgkat keberarta = 0,05 jka Zhtug > 1,96 atau Zhtug < - 1,96. Berdasarka perhtuga dperoleh bahwa r = 0,956 sehgga 3 1 r 8 5 10,956 Z l l 4,4 1. r 1 0,956 Karea Z htug = 4,4 maka terdapat korelas atara IQ da IP mahasswa atau IQ secara sgfka berkorelas dega IP mahasswa. ***** 98 Ad Setawa
SOAL & PENYELESAIAN Soal 1 Tabel berkut dguaka sebaga alat batu dalam meghtug b1 da b0. Selajutya jawablah pertayaa berkut : a. Legkap tabel. b. Tetuka SSXY. c. Tetuka SSXX. d. Tetuka b1. e. Tetuka X da Y. f. Tetuka b0. g. Tetuka persamaa gars regresya. X 1 X Y X XY 7 4 4 5 5 1 7 1 6 3 4 Y 1 Peyelesaa a. Tabel perhtuga. 1 X 1 1 X Y X Y X XY 7 49 14 4 4 16 16 5 5 10 5 4 10 1 7 1 7 1 6 1 6 3 4 9 1 X 3 Y 30 X 105 X Y 75 1 1 1 Aalss Data Statstk 99
X Y 1 1 3(30) b. SS X Y 75 3, 5714 7. XY 1 X 1 3 c. SS XX X 105 9,486. 7 1 SS b XY d.. 3,5714 9,486 1 ˆ1 SS XX 0,8010 1 3 1 30 e. X X 3, 857, Y Y 4,857. 7 7 1 b ˆ Y b X 4,857 ( 1 0,8010)(4,857 f. ) 0 0 1 =6,9175. g. Persamaa gars regres : Y = 6,9175 0,8010 X. Soal Berdasarka Soal 1 da tabel berkut : a. Legkaplah tabel. b. Gambarka scatter plot da gars regres least square. Gambarka persamaa Y = 8-0,5 X pada bdag gambar yag sama. c. Tujukka bahwa JKG yag dperoleh lebh besar dar pada JKG gars regres least square. X Y ^ 7 4 4 5 5 1 7 1 6 3 4 Y 1 Y ^ Y ^ ^ ( ) Y Y ( Y Y ) ( Y Y ) 1 ^ 100 Ad Setawa
Peyelesaa a. X Y ^ Y Y ^ Y ^ ( ) Y Y 7 1,3105 0,6895 0,4754 4 4 3,7135 0,865 0,081 5,915-0,915 0,837 5 5,3155-0,3155 0,0995 1 7 6,1165 0,8835 0,7806 1 6 6,1165-0,1165 0,0136 3 4 4,5145-0,5145 0,647 1 ^ ( Y Y ) 0 ( Y Y ), 5485 1 ^ b. Gambar VIII. meyataka scatter plot, grafk gars regres least square (gars tapa putus) da grafk gars Y = 8-0,5 X (gars putus-putus). Dar Gambar VIII. terlhat bahwa JKG gars putus-putus lebh besar dar JKG gars least square. Gambar VIII. Tabel Data pada Soal Latha VI.5 Aalss Data Statstk 101
c. Dar tabel terlhat bahwa JKG utuk gars regres Y = 8 0,5 X adalah 35,35 sedagka JKG utuk gars regres least square adalah,5485. X Y ^ Y Y ^ Y ^ ( ) Y Y 7 4,5 -,5 6,5 4 4 6-4 5 5,5-3 1,5 5 7-4 1 7 7,5-0,5 0,5 1 6 7,5-1,5,5 3 4 6,5 -,5 6,5 1 ^ ( Y Y ) 0 ( Y Y ) 35, 5 1 ^ Soal 3 Htuglah JKG da s utuk masg-masg kasus berkut : a. = 30, SSYY = 95, SSXY = 50, 0, 75. b. = 40, ^ Y 860, Y 50, SSXY = 700, 1 0,. c. = 10, ( Y Y ) 58, Y 50, SSXY = 91, SSXX = 170. Peyelesaa ^ 1 a. Berdasarka rumus JKG dperoleh JKG SS YY SS ^ 1 XY 95 (0,75)(50) 95 37,557,5 sehgga s = JKG/(-) = 57,5/8 =,0536. b. Dhtug SS YY 1 Y Akbatya 1 Y 50 860 797,5. 40 10 Ad Setawa
JKG SS YY SS ^ 1 XY 797,5 (0,)(700) 797,5 540 57,5 sehgga s = JKG/(-) = 57,5/38 = 6,7763. c. Berdasarka rumus b1 dperoleh SS XY 91 b 1 ˆ1 0,3370. SS 70 Selajutya, akbatya JKG SS YY SS ^ 1 XY SS YY XX ( Y Y ) 58 58 (0,3370)(91) 58 30,6670 7,3330 sehgga s = JKG/(-) = 7,3330/8 = 3,4166. Soal 4 Kostrukska terval kepercayaa 95% utuk 1 pada masg-masg kasus berkut : a. ˆ1 31, s = 3, SSXX = 35, = 1. b. ˆ1 64, SSE = 1960, SSXX = 30, = 18. c. ˆ1 8, 4, SSE = 146, SSXX = 64, = 4. Peyelesaa a. Iterval kepercayaa 95% utuk 1 adalah (a,b) dega ^ s 3 a 1 t / ; 31,81 8,0107 SS 35 da ^ b t 1 / ; s SS XX XX 31,81 3 33,9893. 35 b. Karea JKG = 1960 maka s = JKG/(-) = 1960/16 = 1,5 sehgga s = 11,0680. Akbatya terval kepercayaa 95% utuk 1 adalah (a,b) dega ^ s 11,068 a 1 t / ; 64,1199 59,7163 SS 30 XX Aalss Data Statstk 103
da ^ b t 1 / ; s SS XX 11,068 64,1199 68,838. 30 Soal 5 Kotrukska scatterplot dar data berkut, kemuda htuglah r da r utuk masg-masg. a. x - -1 0 1 y - 1 5 6 b. x - -1 0 1 y 6 5 3 0 Peyelesaa a. Korelas atara x da y adalah r = 0,8835 da koefse determas r = 0,7805. Dar scatter plot da la r terdapat hubuga postf atara x da y. y1-0 4 6 - -1 0 1 Gambar VII.3 Grafk scatter plot atara x da y pada Soal VII.5.a x b. Korelas atara x da y adalah r = -0,7871 da koefse determas r = 0,6196. Dar scatter plot da la r terdapat hubuga egatf atara x da y. 104 Ad Setawa
y 0 1 3 4 5 6 - -1 0 1 Gambar VII.4 Grafk scatter plot atara x da y pada Soal VII.5.b x Aalss Data Statstk 105
LATIHAN 1. Dketahu hubuga x da y dyataka dalam tabel : x 0,5 1 1,5 y 1 3 a. Buatlah scatter plot da gars regres y = 3 x da y = 1 + x! b. Yag maakah gars yag seharusya dplh utuk meggambarka hubuga atara x da y? Jelaska! c. Tujukka bahwa jumlah error dar kedua gars tersebut sama dega 0. d. Gars yag maakah yag mempuya JKG lebh kecl? e. Carlah gars regres least square!. Msalka dketahu data tetag hubuga atara x da y yag dyataka pada tabel : x 5 3-1 7 6 4 y 4 3 0 1 8 5 3 a. Kostrukska scatter plot dar data. b. Apakah scatter plot meyaraka adaya hubuga atara x da y? c. Apabla dberka bahwa SSXX = 43,486, SSXY = 39,8571, Y 3, 486 da X 3, 7143, htuglah estmas least square dar 1 ˆ da 0 ˆ. d. Buatlah scatter plot da gars regres least square. Apakah gars yag dperoleh sesua. Berka pejelasa. e. Iterpretaska pada terval maa aka mempuya art. 106 Ad Setawa
3. Kostrukska terval kepercayaa 95% utuk 1 jka ˆ1 8,4, JKG = 146, SSXX = 64, = 4. 4. Jelaska apakah korelas r berkut meyataka hubuga atara y da x jka a. r = 1, b. r = -1, c. r = 0, d. r = 0,1, e. r = 0,9, f. r = - 0,88. 5. Kotrukska scatterplot dar data berkut, kemuda htuglah r da r utuk masg-masg. a. x - -1 0 1 y - 1 5 6 b. x - -1 0 1 y - 1 5 6 6. Gambarka grade dar gars regres least square jka: a. r = 0,7 b. r = -0,7, c. r = 0, d. r = 0,64. 7. Dketahu = 10, SSXY = 3, SSYY = 6, SSXY = 8. a. Tetuka persamaa gars regresya. b. Gambarka gars regresya. c. Htug JKG. d. Tetuka terval kepercayaa 90% utuk rata-rata la y jka x p =,5. e. Tetuka terval predks 99% utuk y bla xp = 4. Aalss Data Statstk 107
8. Bayakya bakter per satua volume dyataka dalam suatu kultur setelah x jam dyataka dalam tabel berkut : Bayakya jam (x) 0 1 3 4 5 Bayakya bakter 8 37 50 10 170 50 per satua volume Apabla dguaka model y=a x maka guaka regres lear utuk meetuka a da b. Perkraka y bla x = 7. 9. Tabel berkut hubuga atara la Matematka da la Kma dar mahasswa tahu pertama Fakultas Sas da Matematka UKSW. b. Apabla la Matematka mahasswa 70 maka berapakah la Kma yag dharapka utuk dperoleh. Nla Matematka 70 75 85 65 70 90 80 95 Nla Kma 60 70 70 60 60 80 70 90 10. Berkut pedapata dar tm bola basket asoal da kekayaa yag dmlk tm tersebut. a. Buatlah scatter plot dar data tersebut. b. Estmas gars regres yag meyataka hubuga atara pedapata yag dperoleh dega kekayaa yag dmlk. c. Apakah regres yag ada peroleh memeuh asums ormaltas dar resdu? 108 Ad Setawa
Nama Tm Pedapata (dalam mlyar rupah) Kekayaa (dalam mlyar rupah) Elag 10 Rajawal 3 11 Btag Tmur 3 13 Btag Pag 4 15 Permata Bum 5 0 Jamrud Nusatara 4 Ita Merdeka 5 3 Nusa Merdeka 6 4 Nusa Cedaa 7 1 Nusa Atara 6 *** Aalss Data Statstk 109
BAB VIII ANALISIS REGRESI LINEAR GANDA Aalss regres gada basaya dguaka utuk memodelka respos kotu pada data eksperme. Dalam pemodela daggap bahwa peubah respos (respose varable) tergatug pada la dar sejumlah peubah yag la. Dalam aalss regres gada, peubah terakhr basa damaka peubah pejelas (explaatory varable). Dalam model lear, dlakuka pegaggapa bahwa respo mempuya dstrbus ormal sedagka dalam kasus yag lebh umum dtemuka juga bahwa respo berasal dar dstrbus yag merupaka aggota keluarga eskpoesal. Hal dpelajar dalam model lear rampat (geeralzed lear models). VIII.1 Model Regres Lear Gada Model regres lear gada utuk pegamata da p peubah pejelas dega p < adalah Y X... X e 0 1 1 dega E( e ) = 0 da E( e ej ) = utuk = j da 0 utuk j dega, j = 1,,...,. Dalam hal Y adalah pegamata ke- da Xj adalah pegamata ke- da peubah pejelas kej, sedagka merupaka parameter da e merupaka kesalaha stokastk dalam pegamata ke-. Model tersebut dapat dyataka dalam otas matrks : Y X e dega E( e ) = da Cov( e ) = I. Dalam hal Y = (Y1, Y,..., Yp) T adalah vektor pegamata da X adalah matrx (p+1) dega bars ke- adalah p p 110 Ad Setawa
X T = (1, x1, x,..., xp) T. Vektor = (0, 1,, p) T adalah vektor parameter yag tdak dketahu da e = ( e1, e,..., e ) adalah vektor stokastk dar kesalaha da I adalah matrks dettas. Dalam pembahasa dbatas haya pada rak(x) = p + 1. Utuk meaksr vektor parameter dguaka metode kuadrat terkecl. Bla kesalaha mempuya dstrbus sela ormal sepert dstrbus Posso, Gamma da dstrbus yag smetrk dega ekor tebal maka dapat dguaka metode peaksr kemugka maksmum (maxmum lkelhood estmator method). Peaksr kuadrat terkecl utuk vektor parameter aka memmumka jumlah kuadrat resdu S( ) = (Y X ) T (Y X ). Berart ^ sehgga dperoleh Vektor resdu ke- adalah Fugs S d ttk ^ memeuh X T T T ( Y X ) 0 atau X X X Y ^ ^ T 1 T ( X X ) X Y. R Y Y dega ^ resdual sum of square) yatu ^ ^ ^ Y X da berart eleme T R Y Y Y X. ^ damaka jumlah kuadrat galat (JKG ^ T T JKG S( ) ( Y X ) ( Y X ) R R. Dapat dbuktka bahwa ^ merupaka peaksr tak bas utuk da berlaku Jka dguaka Cov( ^ ^ T 1 ) ( X X ). ^ JKG p 1 ^ ^ Aalss Data Statstk 111
sebaga peaksr maka matrks kovaras dar dapat dtaksr dega ^ Cov( ^ ^ T 1. ) ( X X ) D bawah aggapa bahwa e berdstrbus ormal maka ^ ( p 1) / mempuya dstrbus ch-kuadrat dega derajat bebas (p-1). Berkut dberka cotoh pegguaa metode kuadrat terkecl dalam peaksra parameter-parameter dalam aalss regres lear gada. Cotoh VIII.1 IPK teryata tdak haya dpegaruh oleh IQ tetap juga KE (Kecerdasa Emosoal) mahasswa. Tabel VIII.1 meyataka hubuga atara skor IQ, skor KE da IPK. Tetuka estmas parameter dega megguaka perkala matrks. Tabel VIII.1 Tabel Hubuga atara IPK, IQ da KE. Mahasswa () 1 3 4 5 6 7 8 IQ 105 110 115 10 15 140 145 150 IP, 1,9,6,7 3,1 3,3 3,5 3,9 KE 80 80 80 90 130 130 130 130 Peyelesaa IP.0.5 3.0 3.5 IP.0.5 3.0 3.5 110 10 130 140 150 IQ 80 90 100 110 10 130 KE Gambar VIII.1 Scatter plot hubuga atara IP dega IQ da IP dega KE. 11 Ad Setawa
Gambar VIII.1 meyataka scatter plot hubuga atara IP dega IQ da IP dega KE. Terlhat bahwa cederug terdapat hubuga lear atara IQ da IP sedagka utuk KE da IP tdak meujukka hubuga yag lear. Dalam perhtuga estmas parameter dega megguaka matrks, maka ddefska matrks, 1,9,6,7 3,1 3,3 3,5 3,9 da matrks X sebaga 1 105 80 1 110 80 1 115 80 1 10 90. 1 15 130 1 140 130 1 145 130 1 150 130 Akbatya, dperoleh estmas matrks parameter sebaga berkut: 1,5739 ^ 0,0308. 0,0054 D sampg tu, dperoleh JKG = 0,451 da ^ JKG 0,451 0,451 0,0490. p 1 8 1 5 Aalss Data Statstk 113
Demka juga, dperoleh dega Y,9 da,1011,551,409 ^,618 Y.,9918 3,4541 3,608 3,763 Y^ dapat dyataka Akbatya JK ( Y Y ) 3, 18, JKG ( Y Y ) 0, 451 da 1 JKR = JK-JKG = 3,18-0,451 =,9349. Selajutya dperoleh tabel aalss varas dalam aalss regres lear gada. 1 ^ Tabel VIII.1. Aava utuk uj H 0 : 1 = = 0 melawa H 1 : 1 0 atau 0. Sumber Derajat Jumlah Kudrat Ratarata Varas bebas Kuadrat F-Raso Regres JKR =,9349 KRR = 1,4675 F = KRR/S Galat 5 JKG = 0,450 S = 0,049 = 9.948 Total 7 JK = 3,1800 Berdasarka tabel aalss varas pada Tabel VIII.1, dperoleh Fhtug = 9,948 sedagka Ftabel adalah F 5,7861 sehgga H0 dtolak. Hal tu berart 1 0 atau 0,05;,5 0 sehgga model regres berart. Nla-p dar uj adalah Nla-p = P(F,5 > Fhtug) = 1 P(F,5 9,948) = 0,0016 sehgga H 0 juga dtolak dega megguaka metode lap. Pada ss la, estmas matrks kovaras dar parameter yatu 114 Ad Setawa
^ ^ ^ Cov( ) ( X T X ) 1 0,617 7,59410 3,3130 10 3 3 7,59410 1,186 10 4 6,949 10 3 5 3,3130 10 6,949 10 5,139 10 3 5 5. Stadard error dar estmas parameter 0, 1 da berturutturut adalah akar dar eleme dagoal matrks kovaras tersebut d atas yatu 0,7463, 0,0109 da 0,007. Akbatya, dapat dperoleh tabel perhtuga uj-t utuk masg-masg koefse parameter pada Tabel VIII.. Terlhat bahwa koefse yag sgfka hayalah koefse IQ sehgga varabel yag masuk ke dalam model seharusya hayalah varabel IQ. Apabla haya dguaka varabel IQ dalam model maka aka dperoleh hasl sepert pada Tabel VII.1. Tabel VIII. Tabel Estmas Parameter da Uj-t. Koefse Estmas Stadard Error t Nla-p Kostata -1,5739 0,787 -,0109 0,1005 IQ 0,0308 0,0109,857 0,0369 KE 0,0055 0,007 0,7639 0,4794 Dalam suatu kasus, perhtuga besara uj tdak selalu sesua, sebab sergkal sudah dapat dperkraka beberapa peubah pejelas yag petg sehgga dharapka Fhtug besar. Hal yag meark utuk dlakuka adalah meguj hpotess utuk melhat apakah semua peubah bersama-sama petg artya apakah semua d sampg X1, X,..., Xp juga Xp+1, Xp+,..., Xq dega q > p dapat dguaka sebaga peubah pejelas dalam model? Masalah sama artya dega meguj hpotess H0 : p+1 = p+ =... = q = 0 da 0, 1,..., q sebarag melawa alteratf Aalss Data Statstk 115
H1 : model (*) yag bear atau j 0 utuk j tertetu dega p+1 j q da 0, 1,..., q sebarag. Dalam hal, model (*) adalah Y 0 X... X e (*). 1 1 1 Utuk melakuka peguja terhadap hpotess tersebut dguaka prosedur berkut. Guaka model dega X1, X,..., Xp tetap tapa Xp+1, Xp+,..., Xq da tetuka jumlah kuadrat resdu JKGp. Guaka model dega X1, X,..., Xp da Xp+1, Xp+,..., Xq kemuda tetuka jumlah kuadrat resdu JKGq. p p Dalam hal (JKGp-JKGq) meyataka baga jumlah kuadrat dar Y yag djelaska oleh X p+1, X p+,..., X q da buka oleh X1, X,..., Xp. Jka ddefska F p,q = (-q-1) ( JKGp JKGq)/[(q-p) JKGq] da e1, e,..., ep depede da berdstrbus detk ormal maka d bawah hpotess F p,q berdstrbus F dega derajat bebas q-p da -p-1. Dega megguaka tgkat kepetga (level of sgfcace), hpotess ol aka dtolak jka F p,q F (q-p), (-q-p); 1- Uj dkeal dega ama uj F parsal. Cotoh VIII. Apabla dalam Cotoh VIII.1, haya dguaka dega peubah pejelas yag berpegaruh hayalah peubah IQ maka ddapat JKGp = 0,738 sedagka apabla dguaka peubah pejelas IQ da KE maka ddapat JKGq = 0,450. Dalam hal F htug parsal adalah (10--1) (0,738 0,450)/[(-1) 0,450] = (7) 0,088 / 0,450 = 0,088 da la-p-ya adalah 1-P(F 7,1 0,0581) = 0,9957. Berart hpotess ol dterma utuk tgkat kepetga = 0,05 116 Ad Setawa
sehgga varabel KE tdak berpegaruh besar dalam peetua IP. Cotoh VIII.3 Berdasarka pada Cotoh VIII.1, dperoleh koefse determas R = 0,99 da b0 = -1,5739, b1 = 0,0308 da b = 0,0055. Sumbaga efektf varabel IQ terhadap koefse determas R dapat dhtug dega rumus SE bx R ( 1 1)( ) 1 X X Y Y 1 76 X 0,0308(0,99) 1 JK Re g,9349 0,7361, da sumbaga efektf varabel KE terhadap koefse determas R adalah SE bx R ( )( ) X X Y Y 1 108 X 0,0055(0,99) JKRe g,9349 sehgga R SE X SE X. 1 0,1868 Cotoh VIII.4 Data pada Tabel VIII.3 meyataka data tetag pegukura Psychologcal Well Beg (PWB) remaja d SMPN 1 Kupag dkatka dega varabel Relgustas (RELIGI), Paret Adolescet Relatoshp (PAR), usa (UMUR) da jes kelam (JK1). Varabel PWB megukur kebahagaa remaja, varabel RELIGI megukur ketaata beragama, PAR megukur hubuga atara remaja dega orag tuaya, varabel UMUR adalah usa remaja pada saat pegukura da varabel JK1 berla 1 jka remaja lak-lak da 0 jka remaja perempua. a. Jka dguaka tgkat keberarta 5% maka varabel maakah yag dperluka dalam peyusua model regres gada yag palg sederhaa? b. Berka model regres terplh! Aalss Data Statstk 117
c. Berapa perse kotrbus tap-tap varabel dalam koefse determas? Peyelesaa a. Dalam pemlha model, perlu dhtug terlebh dahulu korelas atara varabel pejelas dega varabel respo. Korelas atara varabel PWB dega RELIGI, PAR, UMUR da JK1 berturut-turut adalah 0,558, 0,511, 0,07 da -0,07 dega la-p berturut-turut adalah 0, 0, 0,77 da 0,746. Msalka dketahu model-model yag aka dplh adalah Model 1 : PWB = 0 +, Model : PWB = 0 + 1 RELIGI +, Model 3 : PWB = 0 + 1 RELIGI + PAR +. Model 1, Model da Model 3 berturut-turut mempuya JKG1 = 14065,33, JKG = 9685,168 da JKG3 = 8656,048. Tabel VIII.3 Tabel Hasl Pegukura Pskolog NO PWB RELEGI PAR UMUR JK1 NO PWB RELEGI PAR UMUR JK1 1 14 11 110 14 1 73 139 117 106 14 1 138 111 10 14 1 74 109 106 70 13 1 3 130 116 111 13 1 75 99 108 106 13 1 4 135 117 14 14 1 76 10 104 107 1 0 5 139 118 14 13 0 77 13 1 14 13 1 6 113 111 101 14 1 78 11 108 115 13 0 7 113 108 98 1 0 79 113 108 99 13 0 8 13 11 116 13 0 80 15 116 115 14 1 9 17 113 10 14 1 81 14 114 11 13 1 10 17 110 10 14 0 8 13 115 113 14 1 11 114 119 119 13 0 83 114 109 106 14 0 1 116 11 119 15 0 84 19 114 116 13 1 13 11 10 111 15 1 85 136 116 110 14 0 14 17 10 10 13 1 86 16 113 11 1 0 15 1 106 117 13 1 87 108 106 104 14 0 16 16 117 114 13 1 88 103 106 95 14 1 17 10 105 105 14 1 89 15 1 14 14 0 118 Ad Setawa
18 10 105 106 13 1 90 14 117 93 13 0 19 10 115 85 1 0 91 10 116 96 14 1 0 16 117 11 13 0 9 119 114 116 13 0 1 10 105 94 13 1 93 103 108 116 13 0 113 109 118 13 1 94 18 114 100 14 1 3 11 107 109 13 1 95 110 114 107 13 1 4 11 107 86 13 1 96 15 111 1 13 0 5 11 107 101 13 1 97 14 10 117 13 0 6 116 11 99 14 1 98 17 117 110 14 0 7 14 117 118 13 1 99 17 117 106 13 0 8 11 106 103 13 1 100 1 119 118 14 0 9 137 113 118 13 1 101 105 107 101 13 0 30 17 99 111 13 1 10 131 116 106 13 1 31 114 116 9 14 1 103 103 106 108 13 1 3 13 119 13 13 1 104 133 118 118 14 1 33 11 116 105 15 0 105 1 113 111 13 1 34 108 108 106 14 0 106 108 97 104 13 0 35 141 14 13 13 0 107 131 15 15 13 0 36 11 114 110 13 0 108 117 11 113 13 0 37 19 117 73 13 0 109 137 13 119 13 1 38 16 118 10 13 0 110 113 108 111 14 1 39 134 119 13 13 0 111 1 111 116 14 1 40 117 107 98 14 0 11 105 115 108 14 1 41 130 116 117 13 1 113 116 110 101 15 0 4 116 115 11 14 1 114 97 95 98 14 0 43 114 13 109 13 1 115 130 15 15 13 0 44 114 108 106 13 1 116 10 11 114 14 0 45 133 116 115 14 0 117 138 113 118 13 0 46 134 10 116 14 0 118 134 111 111 15 1 47 14 119 103 13 1 119 139 106 10 14 1 48 13 109 11 13 0 10 1 107 113 13 1 49 118 104 108 13 1 11 139 117 13 13 1 50 107 11 107 14 0 1 117 98 100 13 0 51 113 93 100 14 1 13 115 118 111 14 1 5 134 11 116 14 1 14 133 117 14 13 1 53 14 107 108 14 0 15 137 15 15 14 0 54 10 111 108 13 1 16 147 11 117 14 0 55 10 107 98 13 0 17 19 113 10 14 0 56 130 118 119 14 1 18 14 11 11 14 0 57 114 118 117 14 0 19 133 113 110 13 0 58 17 11 114 14 0 130 131 116 109 13 0 59 117 117 111 14 1 131 13 106 87 14 0 Aalss Data Statstk 119
60 118 115 104 1 0 13 17 111 111 13 1 61 13 107 11 13 1 133 118 111 113 13 1 6 117 94 95 1 1 134 10 111 104 14 1 63 114 101 90 13 1 135 105 100 97 15 1 64 118 94 100 14 1 136 10 107 115 14 0 65 16 116 116 14 1 137 14 117 13 14 1 66 105 93 94 13 0 138 116 111 114 13 1 67 106 114 76 13 0 139 11 99 96 13 1 68 118 110 108 13 0 140 19 116 15 14 1 69 133 117 118 14 1 141 10 117 110 13 0 70 16 119 13 13 0 14 18 10 11 13 0 71 11 113 109 14 1 143 10 11 114 13 1 7 141 11 118 13 1 144 11 111 118 13 0 Msalka dgka meguj hpotess ol H0 : Model 1 yag bak dguaka melawa hpotess H1 : Model yag bak dguaka dega megguaka tgkat keberarta 5%. Uj statstk yag dguaka adalah uj F parsal. H0 dtolak jka Fhtug > F 3,9078. F ; 1,14411 0,05;1,14 Dar perhtuga dperoleh F p,q = (-q-1) ( JKGp JKGq)/[(q-p) JKGq] = (144-1-1)(14065,33-9685,168)/[(-1)*9685,168] = 64,0. Karea Fhtug = 64,0 > Ftabel = 3,9078 maka H0 dtolak sehgga Model yag lebh bak. Selajutya, aka dbadgka maakah yag aka dplh atara Model da Model 3 sehgga duj hpotess ol H0 : Model yag bak dguaka melawa hpotess H1 : Model 3 yag bak dguaka dega megguaka tgkat keberarta 5%. Hpotess H0 dtolak jka Fhtug > F 3,9083. F ; 1,1441 0,05;1,141 Dar perhtuga dperoleh F p,q = (-q-1) ( JKGp JKGq)/[(q-p) JKGq] = (144--1)( 9685,168-8656,048)/[(-1)*9685,168] 10 Ad Setawa
= 16,7635. Karea Fhtug = 16,7635 > Ftabel = 3,9083 maka H0 dtolak sehgga Model 3 yag lebh bak. Selajutya, ddefska Model 4 : PWB = 0 + 1 RELIGI + PAR + 3 UMUR +, Model 5 : PWB = 0 + 1 RELIGI + PAR + 3 JK1 +. Berdasarka perhtuga, dperoleh JKG4 = 8643,196 da JKG5 = 8497,717. Utuk memlh model terbak, selajutya dlakuka peguja hpotess ol H0 : Model 3 yag bak dguaka melawa hpotess H1 : Model 4 yag bak dguaka dega megguaka tgkat keberarta 5%. Hpotess H0 dtolak jka Fhtug > F 3,9087. F ; 1,14431 0,05;1,140 Dar perhtuga dperoleh F p,q = (-q-1) ( JKGp JKGq)/[(q-p) JKGq] = (144-3-1)( 8656,048-8643,196)/[(3-)* 8643,196] = 0,16. Karea Fhtug = 0,16 < Ftabel = 3,9087 maka H0 dterma sehgga Model 3 yag lebh bak dguaka. Demka juga, dlakuka peguja hpotess ol H0 : Model 3 yag bak dguaka melawa hpotess H1 : Model 5 yag bak dguaka dega megguaka tgkat keberarta 5%. Hpotess H0 dtolak jka Fhtug > F 3,9087. F ; 1,14431 0,05;1,140 Dar perhtuga dperoleh F p,q = (-q-1) ( JKGp JKGq)/[(q-p) JKGq] = (144-3-1)( 8656,048-8497,717)/[(3-)* 8497,717] =,6085. Karea F htug =,6085 < F tabel = 3,9087 maka H 0 dterma sehgga Model 3 yag lebh bak dguaka. Hal tu berart bahwa varabel yag perlu dmasukka ke dalam model adalah RELIGI da PAR. Aalss Data Statstk 11
b. Model yag terplh adalah : PWB = 3,819 + 0,590 RELIGI + 0,93 PAR. Hal tu berart, PWB dpegaruh secara postf oleh RELIGI da PAR artya jka skor relgustas sswa ak maka psychologcal well beg juga aka ak atau kesejahteraa aka ak da jka skor paret adolescet relatoshp ak maka PWB atau kesejahteraa sswa pu aka ak. c. Koefse determas R = 38,46% artya model dapat mejelaska data sedagka ssaya yatu 61,54% tdak dapat djelaska oleh model regres lear gada tersebut. Sumbaga efektf varabel RELIGI terhadap koefse determas R adalah,57 % sedagka sumbaga efektf varabel PAR terhadap koefse determas R adalah 15,89% sehgga total R adalah 38,46%. VIII. Dagoss dalam Regres Scatter Plot da Regres Ilustras berkut meggambarka bahwa scatter plot sagat bermafaat dalam pemlha suatu model yag beralasa. Cotoh VIII.5 Msalka dpuya 4 kelompok data berurut berkut : Hmpua Data X 1 X 3 10 8 13 9 11 14 6 4 1 7 5 Hmpua data Y 1 8,04 6,95 7,58 8,81 8,33 9,96 7,4 4,6 1 0,84 4,8 5,86 Hmpua data Y 9,14 8,14 8,74 8,77 9,6 8,10 6,13 3,10 9,13 7,6 4,74 Hmpua data Y 3 7,46 6,77 1,74 7,11 7,81 8,84 6,08 5,39 8,15 6,4 5,73 Hmpua data X 4 8 8 8 8 8 8 8 8 19 8 8 Hmpua data Y 4 6,58 5,76 7,71 8,84 8,47 7,04 5,5 1,50 5,56 7,91 6,89 1 Ad Setawa
y 0 5 10 15 y 0 5 10 15 0 x 0 5 10 15 0 x y 0 5 10 15 y 0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15 0 x 0 5 10 15 0 x Gambar VIII. Scatter plot dar data-data yag selalu meghaslka slope da tercept yag sama. Bla dguaka model regres lear sederhaa Y = 0 + 1 X1 + e. Utuk memodelka tap pasag data maka aka ddapat bahwa semua pasag data tersebut aka mempuya 0 = 3,0, 1 = 0,5, = 1,5 da R = 0,67. Nampakya dega haya melhat la besara R model regres lear sederhaa sesua utuk keempat pasag data tersebut. Tetap dega megguaka scatter-plot, hal tdak merestu kesmpula tersebut. Gambar VIII. meyataka scatter plot utuk keempat kasus tersebut d atas. Pada kasus pertama, model regres lear sesua dega yag dharapka da utuk kasus yag kedua model regres lear sederhaa tdaklah sesua da dega melhat scatterplot aka dplh model alteratf polomal kuadratk. Pada Aalss Data Statstk 13
kasus ketga meujukka bahwa model regres sederhaa aka mejad lebh bak bla dbuat tapa megkutsertaka satu ttk tertetu sehgga ddapatka model Y = 4,0 + 0,34 X, sedagka pada kasus keempat tdaklah cukup formas utuk megataka kualtas dar model. Grade gars regres haya dtetuka oleh Y8, tetap bla pegamata ke-8 dhlagka maka parameter tdak dapat dtaksr. Hal berart bahwa pada kasus keempat aalss haya tergatug pada salah satu ttk pegamata. Terlhat jelas bahwa scatter-plot merupaka alat batu yag sagat petg dalam pemlha model. Seberapa bak model utuk meggambarka data dapat dlhat dar koefse determas R da juga melhat sejumlah scatter-plotya. Pada regres lear sederhaa hal dapat dbuat scatter-plot Y melawa X = X1 utuk melhat apakah ada hubuga atara peubah respo Y da peubah X=X1, sedagka dalam regres lear gada tdaklah sesederhaa sepert pada regres lear sederhaa. Basaya dguaka scatterplot atara Y dega setap peubah pejelas utuk melhat apakah suatu peubah pejelas berpegaruh pada peubah respo. Plot Varabel Tambaha (Added Varable Plots) Msalka dmlk model Y = 0 1 + 0 X1 + 0 X +... + p Xp + e da aka damat dega batua grafk utuk melhat apakah ada hubuga yag kuat atara varabel Xk da Y yag dkorelaska dega varabel Xj yag la dega 1 k p. Prosedur yag dlakuka utuk membuat plot varabel tambaha adalah sebaga berkut: Guaka model regres lear dar Y dega megguaka semua peubah Xj kecual Xk da htug resduya da guaka otas vektor RY(Xk). Vektor meyataka 14 Ad Setawa
baga dar Y yag tdak djelaska oleh semua Xj kecual oleh Xk. Guaka model regres lear dar Xk dega varabel pejelas Xj yag la da resduya dotaska dega R X k. Vektor R X k djelaska oleh Xj yag la. meyataka baga dar Xk yag tdak Relas atara hmpua resdu tersebut dartka sebaga hubuga atara Y da Xk berkorelas dega Xj yag la. Grafk RY(Xk) melawa R X k damaka plot varabel tambaha utuk Xk. Kata yag kuat atara besara tersebut mejelaska bahwa ada kata yag erat atara Y da Xk. Msalka aka dlhat hubuga atara da dega model berkut : RY(Xk) = 0 + 1 R X k + e dega megguaka metode kuadrat terkecl parameter 0 aka destmas dega 0 = 0 da 1 = k dega merupaka estmator kuadrat terkecl dalam model Y = 0 1 + 0 X1 + 0 X +... + p Xp + e. Bla dguaka model tersebut maka plot varabel tambaha dapat dartka dega cara yag sama sepert scatter plot utuk regres lear sederhaa. Utuk meetuka apakah suatu peubah pegaruh harus dtambahka dalam model, plot peubah tambaha merupaka alat batu yag sagat formatf yag sesua dega besara uj F p, q yag megadug efek meyeluruh dar peambaha satu varabel sehgga dalam koteks besra uj utuk q = 1, plot varabel tambaha meujukka efek setap pegamata secara tersedr. Gambar VIII.3 adalah plot varabel tambaha utuk plot varabel tambaha utuk R Y (varabel bebas) melawa Rvarabel bebas pada Cotoh VIII.1. Terlhat bahwa plot peubah tambaha tersebut tdak meujukka hubuga lear atara keduaya sehgga varabel KE tdak perlu dmasukka dalam model. Aalss Data Statstk 15
R -10 0 10 0-0.4-0.3-0. -0.1 0.0 0.1 0. R1 Gambar VIII.3 Plot Peubah Tambaha RY(KE) versus R(KE). Resdu D sampg scatter plot dar Y melawa X yag berbeda, scatter plot dar X da plot varabel tambaha juga memberka kaja formas resdu atas kualtas dar model yag sesua. Resdu merupaka realsas dar kesalaha (error) e1, e,..., e sehgga QQplot dar resdu melawa dstrbus ormal merupaka aggapa yag masuk akal. Berkut dberka scatter plot la yag sagat formatf dalam pemlha varabel bebas yag perlu dmasukka ke dalam model. Resdu melawa setap peubah tak bebas dalam model. Apabla adaya grafk kurvalear memberka suatu petujuk bahwa model harus megguaka orde yag lebh tgg. Resdu melawa varabel bebas yag tdak berada dalam model. Apabla grafk memperlhatka kata 16 Ad Setawa
yag jelas maka varabel bebas tersebut harus dtambahka pada model. Resdu melawa varabel tak bebas. Apabla grafk memperlhatka relas o lear maka model yag dguaka perlu dtjau lag. Cotoh VIII.6 Gambar VIII.4 memperlhatka scatter plot resdu melawa IQ, resdu melawa KE da resdu melawa IP dar data pada Cotoh VIII.1. Terlhat bahwa tdak terdapat hubuga lear maupu o lear dalam scatter plot scatter plot tersebut sehgga varabel KE tdak perlu dmasuka dalam model terplh. IQ 110 10 130 140 150 KE 80 90 100 110 10 130 IP.0.5 3.0 3.5-0.4-0. 0.0 0.1 0. r -0.4-0. 0.0 0.1 0. r -0.4-0. 0.0 0.1 0. r Gambar VIII.4 Grafk scatter plot atara x da y pada Soal VII.5.b Pegacau (Outler) Pada aalss regres dlakuka pegaggapa bahwa model yag dguaka sesua utuk semua ttk pegamata. Aka tetap sergkal bahwa 1 atau lebh ttk pegamata mempuya respo yag tdak ampak berhubuga dega model utuk sebaga besar ttk-ttk yag la. Salah satu dagoss yag dlakuka dalam aalss regres adalah megdetfkas ttk pegacau. Aalss Data Statstk 17
Cotoh VIII.7 Seorag ahl Fska Skotlada sektar tahu 1850 megumpulka data megea ttk ddh ar pada tekaa yag berbeda d peguuga Alpe. Tujua dar percobaa adalah utuk meelt hubuga atara tekaa dega ttk ddh ar yag lebh sederhaa cara megukurya dbadgka cara megukur tekaa sehgga dega megetahu ttk ddh ar aka dapat dtetuka ketgga tempat percobaa tersebut dlakuka. Apabla varabel x meyataka ttk ddh ar dalam derajat Fahrehet da varabel y meyataka 100 l(tekaa) dalam ch 3 sehgga dalam hal varabel bebas tekaa dtrasformaska dega fugs 100 l (tekaa) da data tersebut dyataka pada Tabel VIII.4. Tabel VIII.4 Tabel Data pada Cotoh VIII.7 Ttk ddh 194,5 194,3 197,9 198,4 199,4 199,9 00,9 01,1 01,4 l(tekaa) 131,79 131,79 135,0 135,55 136,46 136,83 137,8 138 138,06 Ttk ddh 01,3 03,6 04,6 09,5 08,6 10,7 11,9 1, l(tekaa) 138,04 140,04 14,44 145,47 144,34 146,3 147,54 147,8 Gambar VIII.5 Meyataka grafk yag sesua utuk datadata tersebut. Dar grafk jelas terlhat hubuga lear yag kuat atara varabel da haya ada satu ttk yag tdak berada pada gars. Pada grafk resdu melawa la x dapat dlhat bahwa sebaga resdu kecl kecual pada pegamata ke-1 demka juga grafk hubuga atara resdu dega varabel y meghaslka kesmpula yag sama. Akhrya dega QQplot ormal dar resdu memberka restu utuk meghlagka pegamata ke-1. Pada Cotoh VIII.7 D atas meujukka bahwa sagatlah petg utuk terlebh dahulu membuat grafkgrafk yag dapat dguaka utuk melhat ada tdakya ata pegacau. Dalam masalah regres sederhaa sepert pada cotoh tersebut dapat dlakuka dega membuat scatter plot atara varabel bebas dega varabel respo. Dalam masalah aalss regres gada, hal dlakuka dega 18 Ad Setawa
membuat scatter plot atara varabel bebas da varabel tak bebas serta membuat plot varabel tambaha tetap hal tu mash sedkt formas yag dberka utuk meetuka pegacau. D sampg pegguaa grafk dapat juga dberka formas tetag ada tdakya pegacau dalam data dega megguaka uj pegacau. Sebelum ddefska secara formal uj tersebut, terlebh dahulu ddefska apa yag damaka pegacau. Msalka bahwa utuk yag memeuh Yj = (xj) T + ej utuk j, = (xj) T + + ej utuk j =, maka pegamata ke- damaka pegacau. Model tersebut damaka mea shft outler model. log.tekaa 135 145 r 0.0 1.0 195 00 05 10 ttk.ddh 195 00 05 10 ttk.ddh Normal Q-Q Plot r 0.0 1.0 Sample Quatles 0.0 1.0 135 140 145 log.tekaa - -1 0 1 Theoretcal Quatles Gambar VIII.5 Scatter plot data Forbes, resdu melawa x, resdu meawa y da QQplot dar resdu melawa dstrbus ormal baku. Utuk medefska secara formal uj pegacau, sebelumya ddefska vektor u dega uj = 0 utuk j da u = 1 sehgga model mejad Aalss Data Statstk 19
Y = X + u + e. Parameter da dtaksr dega megguaka metode kuadrat terkecl da kemuda dguaka utuk meguj hpotess ol H0 : = 0 dega sebarag melawa hpotess alteratf H1 : 0 dega sebarag. Utuk meguj hpotess tersebut dguaka uj t. Hasl output paket program R utuk pegguaa uj t dyataka dalam Gambar VIII.6 Terlhat bahwa la-p utuk parameter adalah 6,09 10-9 sehgga lebh kecl dar tgkat keberarta yag basa dguaka. Hal tu berart, 0 dega sebarag sehgga pegamata ke-1 merupaka ttk pegacau. Dega cara yag sama, juga dapat dperoleh la-p utuk peguja pegamata pertama yatu 0,489 sehgga H0 dterma berart = 0 dega sebarag. Hasl kesmpula yag sama juga dperoleh utuk pegamata yag la. Gambar VIII.6 Hasl output paket program R. Ttk Potesal da Matrks hat Pada data Forbes d atas, mudah dlhat bahwa pegamata ke-1 dkeluarka dar aalss data. Aka tetap, sult dlhat satu ttk dega la ekstrm pada varabel bebas. 130 Ad Setawa
Cotoh VIII.8 Data Huber dberka pada Tabel VIII.4 Gambar VIII.7 meujukka beberapa grafk dar data yat scatter plot dar x melawa y yag meyaraka utuk membuag pegamata ke-6 dega gars lurus sektar 5 ttk yag la merupaka model yag beralasa. Bla dguaka gars lurus utuk mecocoka model dega 6 ttk pegamata dperoleh gambar atas tegah. Grafk kaa atas adalah gars regres bla dguaka haya 5 ttk pertama. Gars kr bawah adalah resdu melawa la x. Dapat dlhat bahwa resdu terbesar ada pada pegamata pertama. Berdasarka pada hasl tersebut beralasa utuk meambahka kuadrat varabel bebas x ke dalam model. Grafk resdu model terakhr melawa x dyataka pada grafk tegah bawah. Tetap resdu pegamata keeam mash kecl. Grafk QQplot dar resdu melawa dstrbus ormal model terakr mash bak. Tabel VIII.4 Hubuga atara x da y dalam data Huber. x -4-3 - -1 0 10 y,48 0,73 0,04-1,44-1,3 0,00 y -1 0 1 y -1 0 1-1 0 1-4 - 0 4 6 8 10-4 - 0 4 6 8 10-4 - 0 4 6 8 10 x x x -1 0 1 y r Normal Q-Q Plot -0.6-0. 0.0 0. 0.4 Sample Quatles -0.6-0. 0.0 0. 0.4-4 - 0 4 6 8 10-4 - 0 4 6 8 10-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 x x Theoretcal Quatles Gambar VIII.7 Berbaga macam grafk utuk data Huber. Aalss Data Statstk 131
Cotoh d atas mejelaska bahwa besarya la resdu tdaklah cukup. Sesugguhya pegamata keeam layak utuk dsshka dalam aalss data. Pegamata keeam yag mempuya la resdu yag kecl. Msalka dmlk model Y = X + e dega E[e] = 0 da Cov[ e ] = I. Dega megguaka metode kuadrat terkecl dperoleh atau ^ Y H Y dega ^ ^ Y X X ( X H X ( X X ) T 1 X ) T 1 X T X T Y Y. Oleh karea tu vektor Y dtrasformaska oleh H mejad vektor estmas ^ Y yatu sehgga matrks H damaka matrks hat (hat matrx). Dalam hal, berlaku sfat da 1 h rak ( X ) p 1 1 Utuk vektor resdu berlaku, h 1. ^ RY Y ( I H Y. Jka e1, e, )..., e salg bebas da berdstrbus ormal maka R berdstrbus ormal da E[R] = 0 serta marks kovarasya Cov(R) = (I-H). Dalam hal, V ( R ) 1 h dega T h ( x ) ( X adalah eleme dagoal ke- dar matrks hat H. Dar persamaa terlhat bahwa la besar dar h yatu yag dekat dega 1 meyebahka V(R) kecl. Karea E[ R ] = 0 maka ttk-ttk yag mempuya la resdu kecl daggap tdak dhrauka. Ttk-ttk dega la h besar mejad ttk potesal (potetal pot) sedagka h T X ) 1 x 13 Ad Setawa
damaka potesal dar pegamata ke-. Jka h sama dega 1 maka sehgga regres sagat dpegaruh oleh ttk. Jka h dekat dega 1 maka umum berlaku ^ Y h Y j Y^ h Y j j dekat dega Y. Secara sehgga jka h besar tetap tdak tepat sama dega 1 maka regres sagat dpegaruh oleh ttk ke-. Oleh karea tu ttk dega potesal besar tdak harus berpegaruh besar aka tetap mempuya potes besar utuk berpegaruh. Cotoh VIII.9 Berdasarka data Huber, matrks hat aka dguaka utuk medeteks ttk potesal. Dalam regres lear sederhaa berlaku dega 1 x x 1 1 h ( x x) 1 ( x x). Bla x x maka h mempuya la mmum yatu 1/. Bla jarak atara x da x mejad besar maka h juga aka mejad besar. Matrks hat dar data Huber dyataka sebaga berkut 0,90 0,59 0,8 0,197 0,167 0,141 0,59 0,36 0,13 0,190 0,167 0,064 0,8 0,13 0,197 0,18 0,167 0,013 H. 0,197 0,190 0,18 0,174 0,167 0,090 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,141 0,064 0,013 0,090 0,167 0,936 Dapat dlhat bahwa h66 dekat dega 1, pegamata yag bersesuaa yatu pegamata ke-6. Karea x x maka h55 mempuya la mmum yatu 1/ = 1/6. Sebaga cotoh, Aalss Data Statstk 133
Hal tu berart bahwa la estmas dar y tergatug pada la-la y sedagka la estmas y6 haya tergatug pada y6. Utuk hmpua data yag besar aka lebh sederhaa membuat plot dar la potesalya. Gambar VIII. meyataka grafk dar ttk potesal. D sampg, hal d atas, mash ada alat yag bergua utuk mecar ttk yag perlu dsshka dalam aalss data. Ddefska resdu terstadar yatu dega ^ adalah estmator dar. D bawah aggapa model bear maka R R baku, ^ (1 h ) mempuya dstrbus Beta dega parameter ½ da (p-)/. QQplot dar resdu tersadard melawa dstrbus Beta aka memberka formas tetag kecocoka model. Nla Potesal 0. 0.4 0.6 0.8 1 3 4 5 6 Gambar VIII.8 Grafk la potesal utuk data Huber. Idex Ttk Pegaruh Suatu alasa utuk mecar efek ttk potesal pada prosedur pecocoka adalah mecar model yag sesua atau 134 Ad Setawa
tdak megguaka ttk tersebut. Bla salah satu dar ttk pertama sampa dega ttk kelma dabaka maka hampr tdak ada pegaruhya pada model sedagka bla ttk keeam dabaka maka hal tu sagat berpegaruh pada model. Suatu ttk yag sagat berpegaruh pada model damaka tt pegaruh (fluece pot). Telah dcatat d depa bahwa ttk dega potesal tgg tdak harus merupaka ttk potesal. Utuk mempelajar pegaruh dar ttk-ttk tertetu pada aalss statstk dguaka suatu besara yag dhtug dega megkutsertaka pegamata yag mejad perhata da dbadgka dega besar yag sama tetap perhtugaya tdak megkutsertaka ttk yag mejad perhata. Besra yag memeuh sfat adalah jarak Cook. Dalam pembahasa selajutya, () berart ttk pegamata ke- dabaka sebaga cotoh () adalah estmator dar yag dhtug tapa megguaka ttk ke-. Hal tu berart T 1 T X X X Y. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pegaruh dar ttk ke- dapat dtetuka dega membadgka da (). Utuk tu dguaka jarak Cook. Jarak Cook dar ttk ke- ddefska sebaga dega ^ ^ ( D ^ ( ) ^ T ) ( X T ^ ( p 1) ^ ^ X )( ^ ( ) ^ ) ( Y ( ) T Y) ( Y ( ) ^ ( p 1) Y) Y X da Y ( ) X ( ). Ttk-ttk dega jarak Cook besr mempuya pegaruh yag substasal pada. Dega megabaka ttk, kesmpula aalss statstk aka berbeda. Utuk tu sagatlah bergua utuk membuat tabel jarak ook utuk semua ttkya. Pertayaa yag basa dajuka adalah kapa la D besar? Basaya jarak Cook yag lebh besar dar 1 Aalss Data Statstk 135
dpadag sebaga ttk pegaruh. Secara tutf, hal tu dargumetaska sebaga berkut ^ ^ T T ( ) ( X X )( ) F ^ ( ( p 1) : p1),( p1); 1 Bdag kepercayaa utuk dega koefse kepercayaa sebesar (1 - ) 100%. Secara umum adalah bjaksaa utuk meghaslka regres yag megabaka ttk pegamata yag mempuya jarak Cook besar. Cotoh VIII.10 Jara Cook utuk beberapa hmpua data dyataka berkut : Data Forbes 0,06 0,005 0,00 0,000 0,001 0,001 0,001 0,006, 0,00, 0,005, 0,470, 0,000, 0,055, 0,051, 0,007, 0,009. Data Huber 0,513 0,014 0,003 0,315 0,099 6,431. Terlhat bahwa pada ttk ke-1 data Forbes sult dtemuka bahwa pegamata tersebut merupaka pegacau sedagka utuk data Huber jelas bahwa pegamata ke-6 merupaka pegacau.. 136 Ad Setawa
SOAL & PENYELESAIAN Soal 1 Msalka dketahu persamaa regres yag dguaka utuk estmas 10 ttk pegamata dyataka dega ^ y 9,170,5906 x 0,498 x JK = 674,15, JKR = 616,375, s 0, b 1 0813 da s 0, b 1 0567. a. Htug RKR da RKG. b. Htug Fhtug da lakuka uj F utuk tgkat keberarta = 0,05. c. Lakuka uj t utuk meguj petgya koefse 1 dega tgkat keberarta = 0,05. d. Lakuka uj t utuk meguj petgya koefse dega tgkat keberarta = 0,05. Peyelesaa a. JKG = JK-JKR = 674,15-616,375 = 507,75. RKR = JKR/ = 616,375/ = 3108,188. RKG = JKG/(--1) = 616,375/7 = 7,5357. b. Fhtug = RKR/RKG = 3108,188/7,5357 = 4,8505. Ftabel dega tgkat keberarta 5% adalah F 4,7374 sehgga H0 dtolak artya 1 0 atau 0,05;, 7 0. c. Thtug dperoleh dega rumus b 0,5906 T htug s 0,0813 b1 1 1 7,645 sedagka ttabel adalah t,3646. Akbatya H0 0,05; 7 dtolak artya koefse b1 merupaka koefse yag petg. d. Thtug dperoleh dega rumus b 0,4980 T htug 8,7831 s 0,0567 b Aalss Data Statstk 137
Soal sedagka ttabel adalah t,3646. Akbatya H0 0,05; 7 dtolak artya koefse b merupaka koefse yag petg. Gambar VIII.9 Hasl Perhtuga Data pada Soal VIII. Gambar VIII.9 meyataka hasl perhtuga data utuk memperoleh model regres lear gada yag meyataka hubuga atara pedapata (reveue) dega kla pada tv da kla pada surat kabar (ews). Berdasarka output paket program R pada Gambar VIII.9, jawablah pertayaa berkut : a. Bagamaakah model regres gada yag ada peroleh? b. Tetuka koefse determas! Apakah artya? c. Apakah asums resdu berdstrbus ormal dpeuh? Peyelesaa a. Model regres yag dperoleh adalah Reveue = 83,301 +,90 TV + 1,3010 News. Hal tu berart kla pada TV berpegaruh postf terhadap reveue da demka juga kla pada 138 Ad Setawa
ewspaper berpegaruh postf terhadap reveue. Jka kla TV ak sebesar 1 satua maka aka meakka reveue sebesar,90 satua sedagka jka kla pada Newspaper ak sebesar 1 satua maka aka meaka reveue sebesar 1,3010 satua. b. Koefse determas sebesar 91,9%. Hal tu berart bahwa model dapat meggambarka dataya sebesar 91,9% sedagka ssaya yatu sebesar 8,1% tdak bsa djelaska oleh model. c. Dega megguaka uj Kolmogorov-Smrov dega tgkat keberarta 5% dperoleh la-p = 0,501 sehgga asums ormaltas dar resdu dpeuh. Soal 3 Data pada Tabel VIII.4 meyataka data tetag hubuga skor self-estem SE, dukuga sosal tema sebaya DSTS da school coectedess SC serta jes kelam JK1 terhadap skor subjectve well-beg SWB dar sswa-sswa SMPN Tutag Kabupate Semarag. Dalam hal, 1 berart sswa lak-lak sedagka 0 berart sswa perempua. Tetuka model terbak yag meyataka hubuga atara varabelvarabel tersebut. Tetuka koefse determas dar model terbak tersebut da kotrbus dar masg-masg varabel. Peyelesaa Korelas Pearso atara SWB da SE adalah 0,56 sehgga dega ukura sampel = 10 sgfka. Dplh Model 1 : SWB = 0 + 1 SE +, Model : SWB = 0 + 1 SE + DSTS +, Model 3 : SWB = 0 + 1 SE + SC +, Model 4 : SWB = 0 + 1 SE + JK1 +. Model 1, Model, Model 3, Model 4 mempuya R berturutturut adalah R1 = 0,76, R = 0,76, R3 = 0,89 da R4 = 0,553. D sampg tu, Model 1, Model, Model 3, Model 4 mempuya JKG berturut-turut adalah JKG 1 = 78949,138, Aalss Data Statstk 139
JKG = 78948,95, JKG3 = 77515,399 da JKG4 = 48750,09. Utuk memlh model terbak dguaka lagkah-lagkah berkut. Lagkah 1 Dlakuka peguja hpotess ol H0 : Model 1 yag dplh, melawa hpotess alteratf H1 : Model yag dplh, dega tgkat keberarta 5%. Statstk yag dguaka adalah Fparsal. Hpotess H0 dtolak jka Fhtug lebh besar dar F F 3,8868. Dar perhtuga dperoleh ; 1, p1 0,05;1, 07 F htug atau Fhtug = dplh. ( q 1)( JKG1 JKG ( q p) JKG ) (10 1)(78949,138 78948,95) ( 1)(78948,95) 0,0005 sehgga H0 dterma artya Model 1 yag Lagkah Dlakuka peguja hpotess ol H0 : Model 1 yag dplh, melawa hpotess alteratf H1 : Model 3 yag dplh, dega tgkat keberarta 5%. Statstk yag dguaka adalah F parsal. Hpotess H0 dtolak jka Fhtug lebh besar dar F F 3,8868. Dar perhtuga dperoleh ; 1, p1 0,05;1, 07 F htug atau Fhtug = dplh. ( q 1)( JKG1 JKG3 ) (10 1)(78949,138 77515,399) ( q p) JKG ( 1)(77515,399) 3 3,887 sehgga H0 dterma artya Model 1 yag Lagkah 3 Dlakuka peguja hpotess ol H 0 : Model 1 yag dplh, melawa hpotess alteratf H1 : Model 4 yag dplh, dega tgkat keberarta 5%. Statstk yag dguaka adalah F 140 Ad Setawa
parsal. Hpotess H0 dtolak jka Fhtug lebh besar dar F F 3,8868. Dar perhtuga dperoleh ; 1, p1 0,05;1, 07 F htug ( q 1)( JKG1 JKG 4) (10 1)(78949,138 48750,09) ( q p) JKG ( 1)(48750,09) 4 atau Fhtug = 18,3 sehgga H0 dtolak artya Model 4 yag dplh. Selajutya ddefska Model 5 : SWB = 0 + 1 SE + JK1 + 3 SC +, Model 6 : SWB = 0 + 1 SE + JK1 + 3 SC + 4 DSTS +. Model 5 da Model 6 mempuya R berturut-turut adalah R5 = 0,569 da R6 = 0,570. D sampg tu, Model 5 da Model 6 mempuya JKG berturut-turut adalah JKG5 = 46956, da JKG6 = 46889,671. Lagkah 4 Dlakuka peguja hpotess ol H0 : Model 4 yag dplh, melawa hpotess alteratf H1 : Model 5 yag dplh, dega tgkat keberarta 5%. Statstk yag dguaka adalah F parsal. Hpotess H0 dtolak jka Fhtug lebh besar dar F F 3,8870. Dar perhtuga dperoleh ; 1, p1 0,05;1, 06 F htug atau Fhtug = dplh. ( q 1)( JKG 4 JKG5 ) (10 1)(48750,9 46956,) ( q p) JKG ( 1)(46956,) 5 7,8695 sehgga H0 dtolak artya Model 5 yag Lagkah 5 Dlakuka peguja hpotess ol H0 : Model 5 yag dplh, melawa hpotess alteratf H 1 : Model 6 yag dplh, dega tgkat keberarta 5%. Statstk yag dguaka adalah F parsal. Hpotess H0 dtolak jka Fhtug lebh besar dar F F 3,887. Dar perhtuga dperoleh ; 1, p1 0,05;1, 05 Aalss Data Statstk 141
F htug atau ( q 1)( JKG5 JKG6 ) (10 4 1)(46956, 46889,671) ( q p) JKG ( 1)(46889,671) 6 Fhtug = 0,9096 sehgga H0 dterma artya Model 5 yag dplh. Hal tu berart model yag terplh adalah SWB = 109,989 + 0,486 SE - 5,738 JK1 + 0,353 SC dega koefse determas R5 = 0,569. Koefse egatf pada varabel JK1 berart bahwa sswa perempua cederug mempuya SWB yag lebh tgg dbadgka sswa laklak. Masg-masg varabel, mempuya sumbaga efektf terhadap koefse determas utuk masg-masg varabel SE, JK1 da SC berturut-turut adalah 14,3%, 37,5% da 5,1%. Tabel VIII.4 Tabel Data pada Soal Latha VIII. NO SE DSTS SWB JK1 SC NO SE DSTS SWB JK1 SC 1 13 103 00 0 86 106 110 97 197 0 81 117 105 195 0 78 107 106 8 160 1 83 3 100 87 191 0 7 108 97 77 151 1 65 4 104 90 190 0 71 109 130 11 168 1 94 5 114 97 19 0 84 110 116 100 191 0 78 6 110 95 01 0 85 111 110 86 177 1 95 7 108 83 179 0 78 11 87 76 150 1 7 8 101 77 174 0 71 113 13 93 10 0 89 9 19 105 196 0 97 114 118 99 191 0 91 10 116 100 173 0 86 115 13 105 159 1 97 11 111 88 0 0 90 116 116 97 180 1 77 1 91 73 199 0 76 117 16 101 194 0 94 13 119 89 191 0 84 118 130 109 09 0 70 14 10 99 198 0 9 119 116 99 175 1 93 15 18 100 03 0 88 10 113 10 178 1 76 16 117 88 186 0 78 11 114 10 15 1 98 17 18 98 193 0 89 1 110 78 177 1 78 18 19 113 189 0 76 13 114 97 183 1 80 19 116 98 197 0 87 14 117 98 191 0 81 14 Ad Setawa
0 113 93 17 0 74 15 95 83 157 1 75 1 117 100 07 0 93 16 147 1 08 0 98 109 83 184 0 76 17 117 105 06 1 81 3 113 93 184 0 8 18 117 95 18 1 70 4 118 95 01 0 85 19 111 95 176 1 87 5 98 81 174 1 71 130 111 90 141 1 7 6 147 111 1 0 98 131 135 117 06 1 90 7 117 100 10 0 83 13 1 99 1 0 78 8 117 97 187 1 76 133 11 106 181 1 81 9 111 93 179 1 8 134 114 95 06 1 87 30 11 86 01 0 73 135 96 94 137 0 80 31 134 107 01 0 93 136 111 98 180 1 80 3 10 95 189 0 8 137 11 99 14 0 75 33 11 10 196 0 81 138 15 110 03 0 77 34 111 89 165 1 77 139 10 100 168 1 87 35 100 89 08 0 85 140 118 91 06 0 65 36 111 89 170 1 8 141 147 13 10 0 95 37 108 93 167 1 76 14 85 88 114 1 63 38 1 107 147 1 81 143 13 11 186 1 100 39 13 97 196 0 88 144 107 101 193 0 58 40 116 89 154 1 7 145 107 86 150 1 79 41 148 117 13 0 98 146 91 74 140 1 65 4 90 88 16 1 58 147 105 86 14 0 88 43 13 115 10 0 97 148 11 95 193 0 85 44 107 101 160 1 75 149 105 91 150 1 78 45 108 83 163 1 71 150 103 8 151 1 89 46 9 75 171 1 69 151 110 81 17 1 7 47 104 88 198 0 89 15 106 93 187 1 65 48 113 9 199 0 85 153 113 93 191 1 93 49 106 86 177 1 71 154 106 85 140 1 83 50 105 85 196 0 8 155 114 98 01 0 79 51 111 86 184 0 81 156 140 11 09 0 8 5 104 87 164 0 6 157 1 96 174 1 69 53 114 85 198 0 84 158 103 90 17 1 61 54 107 87 151 1 78 159 114 96 195 0 9 55 114 88 177 1 77 160 134 113 03 0 91 Aalss Data Statstk 143
56 139 110 3 0 95 161 11 103 167 1 79 57 1 10 185 0 77 16 1 113 01 0 76 58 106 9 191 0 63 163 14 114 1 0 80 59 111 93 151 1 8 164 136 117 07 0 84 60 13 101 04 0 8 165 106 90 151 1 68 61 11 10 138 1 79 166 13 110 0 80 6 11 108 170 1 84 167 101 83 153 1 93 63 11 10 147 1 73 168 14 101 05 0 93 64 133 107 179 1 80 169 107 81 176 1 86 65 107 94 173 1 68 170 9 79 154 1 86 66 130 106 149 1 85 171 14 14 17 0 85 67 105 79 0 0 87 17 10 87 149 1 85 68 14 10 10 0 89 173 10 96 01 0 6 69 105 80 148 1 71 174 137 100 190 0 94 70 93 75 169 1 77 175 100 81 175 1 74 71 141 119 10 0 95 176 1 94 174 1 91 7 107 85 09 0 79 177 135 117 190 0 81 73 119 99 191 0 74 178 130 108 11 0 91 74 139 10 3 0 73 179 94 71 148 1 86 75 100 78 173 1 74 180 1 106 176 1 9 76 13 99 179 1 93 181 101 84 155 1 76 77 134 100 149 1 67 18 106 84 156 1 74 78 19 110 16 0 89 183 15 104 161 1 91 79 101 73 180 0 88 184 90 65 154 1 69 80 14 101 16 0 90 185 98 106 144 1 74 81 101 84 181 0 71 186 105 94 181 1 70 8 108 83 181 0 63 187 99 9 15 1 73 83 17 91 10 0 83 188 118 104 07 0 77 84 93 67 181 0 71 189 116 104 18 1 84 85 99 98 144 1 70 190 91 71 148 1 61 86 105 89 19 0 69 191 111 93 195 0 67 87 100 89 169 0 67 19 114 104 176 1 74 88 116 97 195 0 84 193 13 115 3 0 83 89 116 100 196 1 8 194 101 87 158 1 94 90 94 77 168 1 6 195 10 88 196 0 8 91 111 89 147 1 66 196 90 83 156 1 8 144 Ad Setawa
9 113 91 148 0 71 197 13 103 16 0 90 93 13 115 03 0 9 198 108 91 14 0 77 94 107 93 198 0 94 199 11 99 06 0 66 95 10 84 196 0 77 00 14 110 198 0 66 96 9 86 01 0 75 01 14 88 161 1 76 97 14 101 1 0 94 0 14 103 199 0 71 98 109 89 199 0 8 03 10 98 0 0 71 99 11 97 171 0 7 04 16 99 1 1 75 100 119 101 167 1 75 05 119 97 180 0 70 101 1 104 180 0 85 06 13 93 18 0 76 10 119 94 00 0 68 07 18 9 144 0 79 103 98 84 191 0 70 08 15 96 147 0 63 104 103 88 18 0 66 09 10 98 161 0 77 105 115 99 191 1 76 10 16 105 185 1 75 Soal 4 Dketahu data hubuga atara x da y berkut : x 4 6 8 40 y 1 1 31 35 70 a. Gambarka scatter plot dar data tersebut. b. Tetuka estmas regres lear utuk hal tu. c. Htug leverage utuk masg-masg ttk. d. Htug jarak Cook utuk masg-masg ttk. Adakah ttk yag perlu dbuag? Aalss Data Statstk 145
Peyelesaa a. Scatter plot : y 10 0 30 40 50 60 70 5 30 35 40 x Terlhat bahwa ada satu ttk yag cederug jauh dar ttk-ttk yag la. b. Model regres yag dperoleh adalah y = 1934,4 + 4,38 x dega koefse determas R = 0,9876. Nla tercept da slope secara berart (sgfcat) berbeda dega 0. c. Leverage utuk masg-masg ttk berturut-turut adalah 0,38, 0,8, 0,, 0,0 da 0,9. Ttk terakhr dapat dpadag sebaga ttk yag mempuya la potesal jauh lebh besar dar yag la. d. Jarak Cook dar masg-masg ttk berturut-turut adalah 0,5994, 0,0043, 0,601, 0,077 da 11,0898. Hal tu berart, ttk terakhr atau ttk ke-5 perlu dbuag dalam aalss karea mempuya jarak Cook yag lebh dar 1. 146 Ad Setawa
Soal 5 Dketahu data hubuga atara x da y berkut : x 1 3 4 5 y 3 7 5 11 14 a. Gambarka scatter plot dar data tersebut. Dapatkah dtetuka adaya ttk pegacau? b. Guaka uj formal utuk mecar ttk pegacau. Peyelesaa a. Scatter plot : y 4 6 8 10 1 14 1 3 4 5 x Adaya ttk pegacau sult dtetuka dar scatter plot tersebut. Leverage dar masg-masg ttk berturut-turut adalah 0,6, 0,3, 0,, 0,3 da 0,6 sedagka jarak Cook dar masg-masg ttk berturut-turut adalah 0,0181, 0,1896, 0,340, 0,0119 da 0,903 sehgga tdak bsa dtetuka ttk pegacau. b. Apabla dguaka uj formal utuk meetuka adaya ttk pegacau dguaka lagkah-lagkah berkut: Model yag dguaka adalah Y = X + u + e. Parameter da dtaksr dega megguaka metode kuadrat terkecl da kemuda dguaka utuk Aalss Data Statstk 147
meguj hpotess ol H0 : = 0 dega sebarag melawa hpotess alteratf H1 : 0 dega sebarag. Utuk meguj hpotess tersebut dguaka uj t. Hasl output paket program R utuk masg-masg ttk berturut-turut adalah 0,910, 0,4569, 0,0475, 0,864 da 0,6410. Hal tu berart bahwa ttk ke-3 dapat dpadag sebaga ttk pegacau jka dguaka uj hpotess secara formal dega lagkah-lagkah d atas. 148 Ad Setawa
LATIHAN 1. Msalka dketahu persamaa regres yag dguaka utuk estmas 10 ttk pegamata dyataka dega ^ y 18,37,01x 0,474 x JK = 15.18,9, JKR = 14.05,, s 0, b 1 471 da s 0, b 1 9484 a. Ujlah keberarta hubuga atara y da x1 da x. b. Lakuka uj t utuk meguj petgya koefse 1 dega tgkat keberarta = 0,05. c. Lakuka uj t utuk meguj petgya koefse dega tgkat keberarta = 0,05.. Seorag fsologs aka meelt hubuga atara karakterstk fsk (usa, tgg bada, berat bada da lebar dada) dar aak lak-lak da pegambla oksge maksmal (dukur dalam mllter oksge per klogram berat bada). Tabel VIII.1 meujukka data hasl sampel radom dar 10 aak lak-lak. Buatlah model yag sesua utuk permasalaha tersebut da guaka tgkat keberarta 5%. 1 Tabel VIII.5 Tabel Data pada Soal Latha VII. Pegambla Oksge Maksmal Usa (Tahu) Tgg Bada Berat Bada Lebar Dada 1.54 8.4 13 9.1 14.4 1.74 8.7 135.5 9.7 14.5 1.3 8.9 17.7 8.4 14 1.5 9.9 131.1 8.8 14. 1.46 9 130 5.9 13.6 1.35 7.7 17.6 7.6 13.9 1.53 7.3 19.9 9 14 1.71 9.9 138.1 33.6 14.6 1.7 9.3 16.6 7.7 13.9 1.5 8.1 131.8 30.8 14.5 Aalss Data Statstk 149
3. Data pada Tabel VIII.5 meyataka data hubuga atara skor Pola Asuh Otorter (PAO), Kosep dr (KS) da jes kelam JK1 dega skor perlaku agresf (PA) sswa SMAN 4 Ambo Maluku. Tetuka model terbak tetag hubuga tersebut, koefse determas da sumbaga efektf masg-masg varabel bebas dalam model terbak terhadap varabel tak bebas. NO PAO KS PA JK1 NO PAO KS PA JK1 1 114 133 118 0 76 109 11 10 0 90 107 95 0 77 107 113 107 0 3 93 89 101 0 78 118 134 114 0 4 93 14 99 0 79 105 17 107 0 5 75 105 79 0 80 104 117 107 0 6 90 104 89 0 81 111 140 10 0 7 79 100 83 0 8 98 114 101 0 8 73 100 83 0 83 11 143 115 0 9 6 10 78 0 84 98 143 11 0 10 9 116 88 0 85 95 13 110 0 11 93 106 99 0 86 98 16 108 0 1 104 118 94 0 87 103 13 100 0 13 101 10 90 0 88 90 115 100 0 14 89 18 97 0 89 100 117 108 0 15 95 148 94 0 90 97 113 10 0 16 75 116 80 0 91 106 1 100 0 17 87 108 95 0 9 108 13 107 0 18 94 145 100 0 93 103 119 107 0 19 10 145 108 0 94 114 135 110 0 0 91 107 98 0 95 10 99 134 0 1 99 114 9 0 96 103 14 107 0 99 118 107 0 97 119 11 1 0 3 107 119 111 0 98 118 139 11 0 4 104 11 107 0 99 117 18 14 0 5 10 16 105 0 100 18 13 131 0 6 99 11 108 0 101 95 17 107 0 7 110 116 11 0 10 98 11 10 0 8 19 110 119 0 103 103 17 101 0 9 108 10 106 0 104 111 10 95 0 30 96 116 10 0 105 106 116 101 0 31 98 147 103 0 106 118 106 99 0 3 91 14 94 0 107 109 118 79 0 33 94 19 99 0 108 107 10 89 0 34 110 130 116 0 109 107 18 83 0 150 Ad Setawa
35 100 141 108 0 110 119 148 83 0 36 97 115 107 0 111 113 116 78 0 37 104 15 11 0 11 101 108 88 0 38 99 16 114 0 113 108 145 99 0 39 111 119 117 0 114 9 118 94 0 40 106 17 113 0 115 19 13 90 0 41 107 16 109 0 116 117 14 97 0 4 119 19 115 0 117 18 150 94 0 43 113 104 10 1 118 95 141 80 1 44 101 13 104 1 119 98 18 95 1 45 108 11 107 1 10 103 118 100 1 46 9 1 100 1 11 111 135 108 1 47 19 147 13 1 1 106 99 98 1 48 117 1 113 1 13 9 14 9 1 49 114 15 10 1 14 19 11 107 1 50 13 11 13 1 15 117 139 111 1 51 106 1 113 1 16 114 18 107 1 5 109 13 113 1 17 13 19 105 1 53 103 10 103 1 18 106 130 108 1 54 99 17 100 1 19 109 141 11 1 55 103 118 109 1 130 9 115 119 1 56 99 130 106 1 131 19 15 106 1 57 13 150 137 1 13 117 16 10 1 58 99 17 105 1 133 18 119 103 1 59 100 11 100 1 134 95 10 94 1 60 105 17 113 1 135 98 13 99 1 61 9 105 10 1 136 103 13 116 1 6 96 19 99 1 137 111 14 108 1 63 107 11 113 1 138 106 18 107 1 64 107 117 109 1 139 9 15 108 1 65 107 136 106 1 140 19 134 113 1 66 103 114 105 1 141 117 141 119 1 67 103 118 99 1 14 114 16 113 1 68 113 13 18 1 143 90 119 111 1 69 99 14 117 1 144 93 16 110 1 70 108 150 116 1 145 93 115 10 1 71 103 141 116 1 146 75 1 113 1 7 119 18 18 1 147 90 16 111 1 73 111 118 105 1 148 79 13 18 1 74 106 11 107 1 149 73 117 108 1 75 118 136 110 0 150 19 16 98 1 Aalss Data Statstk 151
4. Dketahu data hubuga atara x da y berkut : x 1 1 3 4 4 5 15 y 18 1 1 3 4 6 39 a. Gambarka scatter plot dar data tersebut. b. Tetuka estmas regres lear utuk hal tu. Apakah ada perbedaa besar hasl estmas regres lear jka ttk ke-8 tdak dkutka dalam model? c. Htug la potesal ( leverage ) utuk masg-masg ttk. d. Htug jarak Cook utuk masg-masg ttk. Adakah ttk yag perlu dbuag? 5. Tabel berkut meyataka hubuga atara pedapata REV dega baya kla pada televs TV da baya kla pada surat kabar NEWS (semuaya dalam jutaa rupah). a. Buat scatter plot dar masg-masg varabel bebas melawa varabel tak bebas. b. Adakah ttk pegacau dalam data tersebut? c. Plhlah model terbak. Jka dguaka baya kla 3 juta da baya kla surat kabar 4 juta maka berapakah pedapata yag bsa dharapka? d. Apakah resduya memeuh asums ormaltas da tdak berkorelas? Pedapata Baya Ikla TV Baya Ikla Surat kabar 96 5 1,5 90 95 4 1,5 9,5,5 95 3 3,3 94 3,5,3 94,5 4, 94 3,5 *** 15 Ad Setawa
BAB IX STATISTIKA NON PARAMETRIK Apabla dstrbus populas berbeda dega dstrbus ormal maka metode bebas dstrbus merupaka salah satu alteratf d dalam melakuka peguja suatu hpotess. Dalam hal berturut-turut aka dbahas peguja hpotess utuk satu sampel da dua sampel. IX.1. Peguja Hpotess Satu Sampel Msalka X1, X,..., X besara stokastk yag depede da berdstrbus detk. Masalah berkeaa dega peguja dar hpotess megea lokas dar dstrbus. Model klask dar masalah adalah bahwa populas berdstrbus ormal N(m, ) da hpotess olya adalah H0 : m = m0. Uj yag palg bayak dguaka ddasarka pada besara t ( X m0) / S. Apabla aggapa ormaltas dar dstrbus populas tdak dpeuh maka dguaka uj berkut. Uj Tada Msalka bahwa dstrbus yag sebearya dar pegamata mempuya meda tuggal m da bahwa setap pegamata mempuya probabltas ol utuk sama dega meda. Hal tu berart dambl blaga tuggal m dega sfat P( X < m ) = P( X > m) = ½. Aka dlakuka peguja H 0 : m = m 0 melawa H 0 : m m 0 utuk suatu m0. Uj ddasarka pada besara uj Aalss Data Statstk 153
1{ X T ( X m ) m } #. 0 0 D bawah hpotess ol, X mempuya meda m sehgga T d bawah hpotess ol mempuya dstrbus Bomal dega parameter da ½. Dalam hal terlhat bahwa besara uj sama utuk setap kemugka dstrbus populas sehgga damaka bebas dstrbus. Jad T bebas dstrbus d bawah hpotess ol. Nla T yag relatf besar mejelaska bahwa meda yag sebearya lebh besar dar m0 sedagka la T yag kecl meujukka bahwa meda yag sebearya lebh kecl dar m0. Hpotess dtolak utuk la T yag terlalu besar atau terlalu kecl. Dalam termolog probabltas peolaka, H0 dtolak jka la pegamata t memeuh: ( T t) / atau P H 0 P H 0( T t) Besara yag ekuvale dega besara uj T adalah T 1 / sg( X m ) T. o Cotoh IX.1 Dalam suatu uja yag dkut oleh 15 aak ddapatka la uja sebaga berkut : 3,7 5, 6,9 7, 6,4 9,3 10 4,3 8,4 6,5 8,1 7,3 6,1 5,8 1 Berdasarka data tersebut aka dlakuka peguja terhadap hpotess ol dega tgkat = 5% bahwa meda dar hasl uja tersebut lebh kecl atau sama dega 6 melawa alteratf bahwa medaya lebh besar dar 6. Dar data tersebut ddapatka la T = 11 da dega meggat bahwa T berdstrbus Bomal dega parameter 15 da ½ pada Lampra 7 maka dperoleh la-p yatu PH0(T 11 ) = 1-PH0(T 10) = 0,059. 154 Ad Setawa
Karea la-p lebh besar dar = 5 % maka H0 tdak dtolak. Cotoh IX. Berdasarka data flas bulaa kota Ambo utuk perode bula Jauar 009 sampa dega bula Me 013, aka duj apakah hpotess ol yag meyataka bahwa meda flas bulaa adalah 0 melawa hpotess alteratf yag meyataka bahwa meda flas bulaa lebh dar 0 dega tgkat keberarta 5%. Dar data dperoleh T = 36 sehgga dperoleh la-p dega aggapa bahwa T berdstrbus Bomal dega parameter = 53 da p = 0,5 adalah PH0(T > 36 ) = 1- PH0(T 36 ) = 0,007. Karea la-p lebh kecl dar = 5 % maka H0 dtolak sehgga meda dar data flas bulaa berbeda secara sgfka dega 0. Uj Smetr Wlcoxo (Uj Tada Pergkat) Dalam uj tada la absolut dar smpaga X m0 tdak berpera. Uj smetr Wlcoxo megguaka lebh bayak formas dalam pegamata yatu dega megguaka pergkat (rak) dar smpaga X m0. Msalka bahwa X1, X,..., X mempuya dstrbus kotu F da aka dlakuka peguja terhadap hpotess H0 : F smetr d sektar m0 melawa H0 : F smetr d sektar m0. Dalam hal dbetuk Z = X m0. Karea F kotu maka la-la Z1, Z,..., Z berbeda dega probabltas 1. Msalka vektor dar omor pergkat Z1, Z,..., Z adalah (R1, R,..., R). Uj tada pergkat ddasarka pada besara uj Aalss Data Statstk 155
V 1 R sg( X m ). Setap tada sg(x m0 ) berla 1 atau -1. Nla 1 berart bahwa meda yag sebearya lebh besar dar m0 da petujuk dperkuat dega ukura X m0 da dalam hal berart R besar. Nla V yag relatf besar mejelaska bahwa dstrbus yag sebearya dar X1, X,..., X mempuya meda yag lebh besar dar m 0 sedagka la V yag relatf kecl aka meujukka sebalkya. Ttk krtk da probabltas peolaka dar uj tada pergkat telah dtabelka. Utuk besar dapat dguaka pedekata ormal dega meggat bahwa V berdstrbus ormal stadard. ( 1)( 1)/6 Cotoh IX.3 Msalka dmlk data 3,7 5, 6,9 7, 6,4 9,3 10 4,3 8,4 6,5 8,1 7,3 6,1. Aka duj hpotess bahwa dstrbus data F smetrs d sektar meda 6 melawa hpotess alteratf bahwa data F smetrs d sektar meda 6 dega megguaka uj smetrs Wlcoxo. Berdasarka data tersebut maka dapat dbuat barsa berurut dar la harga mutlak X m0 yatu 0,1, 0,, 0,4 0,5, 0,8, 0,9, 1,, 1,3 1,7,,1,,3,,4, 3,3. Uruta tersebut meghaslka vektor omor rak berturutturut sesua dega data yatu (11, 5, 6, 7, 3, 13, 9, 1, 4, 10, 8, 1, ). Nla statstk uj adalah v = 37 sehgga la-p yag dperoleh dega megguaka pedekata ormal adalah PH0( V 37) = 0,0980 da berart H0 dterma dega tgkat keberarta 5%. o 156 Ad Setawa
Dalam kasus terjadya ulaga maka semua pegamata yag berla Z = 0 dabaka. Nla-la yag tertggal dkeaka omor rak da setap eleme dar kelompok (ulaga) aka medapatka omor rak semu yatu ratarata bla mereka dber omor rak yag berbeda. Sebaga cotoh omor rak dar (3,,, 5, 3, 3) adalah aggota dar uruta (,, 3, 3, 3, 5) mejad (4, 3/, 3/, 6, 4, 4). Uj Wlcoxo dguaka dega V berdasarka hasl d atas. Cotoh IX.4 Berdasarka data flas bulaa kota Ambo utuk perode bula Jauar 009 sampa dega bula Me 013, aka duj apakah hpotess ol yag meyataka bahwa dstrbus data flas bulaa adalah smetrs d sektar meda 0 melawa hpotess alteratf bahwa dstrbus data flas bulaa tdak smetrs d sektar meda 0 dega tgkat keberarta 5%. Dar data dperoleh V = 651 sehgga dperoleh la-p adalah PH0(V 651 ) = 1- PH0(V < 651 ) = 0,005. Karea la-p lebh kecl dar = 5 % maka H0 dtolak sehgga dstrbus data flas bulaa tdak smetrs d sektar meda 0. IX.. Peguja Dua Sampel Msalka dmllk data yag tdak berpasaga da salg bebas yatu X1, X,..., X da Y1, Y,..., Y. Msalka X1, X,..., Xm da Y1, Y,..., Y masg-masg mempuya dstrbus yag sebearya F da G. Aka duj hpotess H0 : F = G melawa H1 : F G apabla aggapa ormaltas dar dstrbus populasya tdak dpeuh maka dguaka uj berkut. Aalss Data Statstk 157
Uj Ma-Whtey Pada uj dlakuka peggabuga sampel mejad satu sampel X1, X,..., Xm, Y1, Y,...,Y dega ukura sebesar N = m + da msalka omor pergkat dar Y1, Y,..., Y dalam sampel gabuga adalah R1, R,..., R. Jad membetuk hmpua baga dar { 1,,..., N }. Uj Ma- Whtey ddasarka pada besara W R 1 Hpotess ol aka dtolak jka W terlalu besar atau terlalu kecl. Nla krtk dtetuka dega batua tabel. Berkut lagkah-lagkah dalam uj Ma-Whtey. Lagkah 1 Hpotess yag aka duj adalah hpotess ol H0 : F = G melawa hpótess alteratf H1 : F G. Lagkah Memlh tgkat keberarta yag dguaka. Lagkah 3 Statstk uj yag dguaka adalah U = m(u1, U) dega 1 U1 m m( 1) S 1, 1 U m m( 1) S, S1 = jumlah ragkg kelompok 1, S = jumlah ragkg kelompok. Lagkah 4 Hpotess ol dtolak jka U lebh kecl dar Utabel dega megguaka Tabel Ma-Whtey (Lampra 1). Utuk memberka gambara hal tersebut, dberka cotoh berkut.. 158 Ad Setawa
Cotoh IX.5 Tabel IX.1 Tabel Hasl Tes Pskolog Hmpua kembar 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Lahr pertama X 86 71 77 68 91 7 77 91 70 71 88 87 Lahr kedua Y 86 77 76 64 96 7 65 90 65 80 81 7 Tabel IX. Tabel Batu Perhtuga Statstk Ma-Whtey Lahr Pertama Lahr Kedua No Nla Pergkat No Nla Pergkat 1 86 17 1 88 19,5 71 6,5 77 13 3 77 13 3 76 11 4 68 4 4 64 1 5 91,5 5 96 4 6 7 9 6 7 9 7 77 13 7 65,5 8 91,5 8 90 1 9 70 5 9 65,5 10 71 6,5 10 80 15 11 88 19,5 11 81 16 1 87 18 1 7 9 S 1 = 156,5 S = 143,5 Dua belas pasag kembar detk dber tes pskolog utuk megukur keagresfa mereka. Hasl tes tersebut dyataka pada Tabel IX.1. Aka duj apakah dstrbus la tes pskolog pasaga kembar yag lahr pertama sama dega dstrbus la tes pasaga kembar yag lahr kedua. Berdasarka data tersebut, dapat dbuat tabel peolog sepert pada Tabel IX.. Akbatya, dperoleh 1 1(13) U 1 m m( 1) S1 1(1) 156,5 65,5, 1 1(13) U m m( 1) S 1(1) 143,5 78,5, sehgga U = m{ 65,5, 78,5 } = 65,5. H0 dtolak jka U lebh kecl dar 37 (ttk krts dar Tabel Ma-Whtey dega Aalss Data Statstk 159
m==1). Hal tu berart H0 dterma sehgga dstrbus la tes pskolog pasaga kembar yag lahr pertama sama dega dstrbus la tes pasaga kembar yag lahr kedua. Uj Ma-Whtey utuk m da besar juga dapat dlakuka berkut. Pada uj dlakuka peggabuga sampel mejad satu sampel X1, X,..., Xm, Y1, Y,...,Y dega ukura sebesar N = m + da msalka omor pergkat dar Y1, Y,..., Y dalam sampel gabuga adalah R1, R,..., R. Jad membetuk hmpua baga dar { 1,,..., N }. Uj Ma-Whtey ddasarka pada besara W R 1 Hpotess ol aka dtolak jka W terlalu besar atau terlalu kecl. Nla krtk dtetuka dega batua tabel. Utuk m da besar dapat dguaka pedekata bahwa statstk W ( N 1) /. m( N 1) /1 medekat dstrbus N(0,1) asalka 0 < P( X < Yj ) < 1. Besara uj yag ekuvale dega besara tu adalah U m 1 j1 1 W ( 1) / { X Y } j D bawah hpotess ol U berdstrbus smetrk d sektar ½ m. Apabla ddapat perulaga dalam sampel total X1, X,..., Xm, Y1, Y,..., Y maka dapat dlakuka peguja dega lagkah-lagkah berkut. Pertama-tama pada sampel total dtada dega omor rak semu. Setap eleme dar ulaga medapat omor rak dar rata-rata bla eleme tersebut berbeda. Msalka R1, R,..., R adalah omor rak semu dar R1, R,..., R dalam sampel total X1, X,..., Xm, Y1, Y,..., Y. Besara uj utuk 160 Ad Setawa
W R 1 d bawah hpotess ol aka bebas dstrbus. Msalka dtemu K la yag berbeda dalam sampel total X1, X,..., Xm, Y1, Y,..., Y dega la terkecl mucul T1 kal, satu sesudah terkecl mucul T kal,..., da yag terbesar mucul TK kal. Dstrbus bersyarat dar (R1, R,..., R) dberka (K, T 1, T,..., T K ) d bawah Ho : F = G sama sepert dstrbus dar pemlha sebayak tapa pegembala blaga-blaga dar populas : T1 kal omor rak kecl, T kal omor rak terkecl kedua,... TK kal omor rak terbesar. Dstrbus bersyarat dar W R 1 dberka (K, T1, T,..., TK) d bawah hpotess ol aka mempuya dstrbus tertetu. Utuk m da besar dapat dguaka pedekata ormal yatu bla k = K, T1=t1, T=t,..., TK = tk) maka W ( N 1) / m( N 3 k 1 3 t ) /(1N( N 1)) koverge dalam dstrbus ke dstrbus ormal stadard. Berkut dberka lustras utuk metode d atas. Cotoh IX.6 Berdasarka data pada Cotoh IX.5, apabla dguaka aggapa ukura sampel m da besar. Sampel total berurut dar kedua sampel tersebut dapat dyataka sebaga berkut : 64, 65, 65, 68, 70, 71, 71, 7, 7, 7, 76, 77, 77, 77, 80, 81, 86, 86, 87, 88, 90, 91, 91, 96. Aalss Data Statstk 161
Daftar dar data pasaga kembar yag lahr pertama da omor pergkat (rak) dar pasaga kembar yag lahr pertama serta bayakya data berulag berturut-turut adalah 86, 71, 77, 68, 91, 7, 77, 91, 70, 71, 88, 87 da 17.5, 6.5, 13.0, 4.0,.5, 9.0, 13.0,.5, 5.0, 6.5, 0.0, 19.0, serta 1,,, 1,, 1, 1, 1, 1. Besara uj W=158,5. D bawah hpotess ol maka W berdstrbus ormal dega mea (N+1)/ yatu 150 da varasya adalah k 3 m ( N t ) /(1N( N 1)) 3,034. 1 3 Nla-p utuk uj adalah PH0( W > 158,5 ) = 0,636. Hpotess ol tdak dtolak utuk tgkat keberarta yag basa dguaka sehgga dstrbus keagresfa pasaga kembar yag lahr pertama sama dega dstrbus keagresfa pasaga kembar yag lahr kedua. Uj Kolmogorov-Smrov (Dua Sampel) Msalka Fm da G masg-masg adalah fugs dstrbus emprk dar X1, X,..., Xm da Y1, Y,..., Y. Uj dua sampel Kolmogorov-Smrov yag ddasarka pada besara D sup F ( x) G ( ) m, x m x. Cara yag lebh mudah utuk meghtug besara uj adalah sebaga berkut : D m, ^ ^ ^ ^ 1 max max F m ( Y( ) ) G ( Y( ) ), F m ( Y( ) ) G ( Y( ) 1 D bawah hpotess-hpotess ol dstrbus D, tdak tergatug pada dstrbus populas. Oleh karea tu uj m 16 Ad Setawa
dkataka uj bebas dstrbus. H0 dtolak utuk la besar dar D,. m Cotoh IX.7 Sampel radom ukura 9 dar populas pertama da sampel radom ukura 15 dambl dar populas kedua. Hpotess ol yag aka duj adalah bahwa kedua populas mempuya dstrbus yag detk. Bla dua sampel tersebut durutka dar yag terkecl ke terbesar da dstrbus emprk dar kedua sampel tersebut dbadgka maka aka dperoleh hasl sepert pada Tabel IX.3. Berdasarka pada Tabel IX.3 dperoleh la uj statstk dua ss D m, = /5 = 0,4. Bla dguaka Tabel Kolmogorov- Smrov dua sampel (Lampra 13) utuk tgkat keberarta = 0,05 maka aka dperoleh la krtsya yatu 8/15. Hal tu berart bahwa D, = 0,4 lebh kecl dar la krtsya m tdak ada alasa utuk meolak hpotess ol. 7,6 8,4 8,7 9,3 Tabel IX.3 Tabel perhtuga statstk Kolmogorov-Smrov. X Y S1(x)-S(x) X Y S1(x)-S(x) 5, 9,8 5,7 9,9 5,9 10,1 6,5 10,6 6,8 10,8 8, 9,1 0-(1/15) = -1/15 0-(/15) = -/15 0-(3/15) = -1/5 0-(4/15) = -4/15 0-(5/15) = 1/3 1/9-(5/15) = -/9 (1/9)-(6/15) = -13/15 (/9)-(6/15) = -8/45 (3/9)-(6/15) = -1/15 (4/9)-(6/15) = /45 (5/9)-(7/15) = 4/15 11, 11,3 11,5 1,3 1,5 13,4 14,6 (5/9)-(8/15) = 1/45 (6/9)-(8/15) = /15 (7/9)-(8/15) = 11/45 (8/9)-(8/15) = 1/45 (8/9)-(9/15) = 13/45 1-(9/15) = /5 1-(10/15) = 1/3 1-(11/15) = 4/15 1-(1/15) = 1/5 1-(13/15) = /15 1-(14/15) = 1/15 1-1 = 0 Aalss Data Statstk 163
Uj T Wlcoxo (Wlcoxo Match Pars Test) Uj T Wlcoxo dguaka pada data yag berskala ordal pada dua sampel yag salg terkat (related sample). Dua sampel dkataka salg terkat apabla sampel pertama merupaka sampel yag dperoleh sebelum adaya perlakua (treatmet) sedagka sampel yag la dperoleh sesudah adaya perlakua. Sebaga cotoh, dgka utuk megetahu mafaat sebuah metode pembelajara yag dkeaka pada sekelompok mahasswa. Kelompok mahasswa tersebut dber macam tes yatu tes awal (posttest) da tes akhr (posttest). Utuk tu aka dbadgka apakah hasl tes awal da tes akhr sama atau tdak. Uj yag dguaka bukalah uj Ma-Whtey karea sampel yag dmlk tdak salg bebas tetap megguaka uj T Wlcoxo. Lagkah-lagkah yag dguaka dalam uj adalah sebaga berkut : Lagkah 1 Dtetuka hpotess ol H0 da hpotess alteratf H1. Dalam hal, hpotess ol adalah meda sebelum da sesudah perlakua sama melawa hpotess alteratf bahwa meda sebelum da sesudah populas tdak sama. Lagkah Meetuka tgkat keberarta. Lagkah 3 Meghtug statstk uj T Wlcoxo dega cara : a. Meetuka selsh pasaga data. b. Meetuka uruta dar selsh pasaga data tapa memperhatka tada. c. Membedaka tada selsh postf da selsh egatf. d. Meetuka jumlah pergkat yag bertada postf (T1) da yag bertada egatf (T). e. Meetuka la terkecl dar T1 atau T sebaga Thtug. 164 Ad Setawa
Lagkah 4 Meetuka atura pegambla keputusa yatu bahwa H0 dtolak jka Thtug lebh kecl dar atau sama dega Ttabel dega Ttabel dperoleh dar Tabel uj T Wlcoxo (Lampra 8). Cotoh IX.8 Seorag guru g megetahu mafaat dar metode pembelajara yag dguaka. Utuk tu sebelum da sesudah pelaksaaa pembelajara dlakuka pembera tes awal da tes akhr bag sswa yag megkut pembelajara tersebut. Hasl tes awal da tes akhr dyataka dalam tabel berkut : Tes Awal Tes Akhr 5 4 5 6 6 7 6 8 6 9 7 10 6 10 Ujlah apakah meda hasl tes awal da meda tes akhr sama melawa meda hasl tes awal da meda tes akhr tdak sama dega tgkat keberarta 5%. Peyelesaa Dalam hal, dgka utuk meguj hpotess ol H0 : meda hasl tes awal da meda tes akhr sama melawa hpotess alteratf H1 : meda hasl tes awal da meda tes akhr tdak sama dega megguaka tgkat. Utuk mecar Thtug Wlcoxo dguaka tabel peolog berkut : Aalss Data Statstk 165
No. Tes Awal S 1 Tes Akhr S S -S 1 Pergkat Postf Negatf 1 5 4-1 5 6 1 3 6 7 1 4 6 8 4 4 5 6 9 3 5,5 5,5 6 7 10 3 5,5 5,5 7 6 10 4 7 7 T 1 = 6 T = Kolom pergkat dperoleh dega megurutka lala pada kolom selsh S -S 1 tapa melhat tada postf atau egatf da dega megabaka la 0. Selajutya, dperoleh T = m(t 1, T ) = m(6,) =. Dar Tabel uj T Wlcoxo dperoleh ttk krts utuk =7 da tgkat keberarta 5 % adalah sehgga H0 artya meda hasl tes awal da meda tes akhr tdak sama. Uj Ketakbergatuga Msalka bahwa (X1, Y1), (X, Y),..., (X, Y) adalah vektor stokastk yag salg tak bergatug dar dstrbus bvarat. Pertayaa yag serg mucul adalah apakah kedua peubah tersebut tdak salg bergatug (depedet). Msalka S1, S,..., S adalah omor rak dar X1, X,..., X dalam uruta X(1), X(),..., X() da ddefska aalog R1, R,..., R utuk Y1, Y,..., Y. Jka X da Y tdak bergatug maka omor rak utuk dua kelompok S da R aka salg tdak bergatug. Bla tdak ada ulaga maka aka memuat permutas dar blaga { 1,,..., }. Dua sampel tersebut aka salg bergatug postf sehgga dharapka bahwa bars omor rak aka paralel satu 166 Ad Setawa
sama la. Berart dalam hal dlakuka peguja utuk masalah : H0 : X da Y tdak salg bergatug utuk = 1,,...,, H1 : X da Y salg bergatug utuk = 1,,...,. Jka tdak dtemuka ulaga maka setap uj haya ddasarka pada vektor S1, S,..., S da R1, R,..., R yag bebas dstrbus d bawah H0. dalam kasus terjadya ulaga maka uj tersebut aka bebas dstrbus asalka megadug formula ulaga. Uj korelas pergkat Spearma Uj ddasarka pada koefse korelas dar omor rak utuk dua kelompok. Hpotess ol aka dtolak utuk la yag dekat dega -1 atau 1 utuk besara statstk l 1 1 ( r ( r r) r)( s 1 ( s s) s) dega 1 r s. Bla tdak ada ulaga dalam sampel tersebut maka { r1, r,..., r } = { s1, s,..., s } = { 1,,..., } da memeuh : 1 1 r ( r Dapat dbuktka bahwa ( 1)( 1)/6 r) ( 3 )/1 6 ( r s ) 1 l 1. 3 1/ Aalss Data Statstk 167
Apabla ada data berulag, koefse korelas Spearma ddefska sebaga A B l 1 R( X ) R( Y ) 3 3 dega A U X, B UY da adalah 1 1 bayakya ulaga dalam masg-masg kelompok ulaga 3 u u dar varabel X da U. 1 AB U X Cotoh IX.9 Msalka bahwa dmlk data bvarat sebaga berkut (1,), (0,1), (0,) da (1,4). Hal tu berart data X adalah { 1, 0, 0, 0, 1 } sehgga rakg utuk data X yatu R(X) adalah { 4,5,,,, 4,5 }. Karea terdapat ulaga yatu pada ragkg 4,5 da 3 pada ragkg maka dperoleh 3 3 (4,5) 4,5 U X,5. 1 1 Selajutya data Y adalah {, 1,,, 4 } sehgga R(Y) adalah { 3, 1, 3, 3, 5 } da U Y 3 3 3. 1 3 3 5 5 Akbatya, dperoleh A U X,5 7, 5 da 1 1 3 3 5 5 A U X 8 1 1 sehgga dperoleh koefse korelas Spearma l A B 1 R( X ) R( Y ) AB 7,5 85,5 0,6455. 7,5(8) 168 Ad Setawa
Cotoh IX.10 Berdasarka data pada Tabel IX.1, dgka utuk meguj hpotess ol bahwa ukura keagresfa d atara dua orag bersaudara kembar salg bebas melawa hpotess alteratf bahwa ukura keagresfa d atara dua orag bersaudara kembar salg bebas dega tgkat keberarta = 5%. Kembar yag lahr pertama dber pergkat datara mereka da juga utuk kembar yag lahr kedua. Hasl yag dperoleh dberka pada Tabel IX.4. Tabel IX.4 Tabel Perhtuga Statstk Uj T Hmpua kembar 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 R(X) 8 3,5 6,5 1 11,5 5 6,5 11,5 3,5 10 9 R(X) 10 7 6 1 1 4,5,5 11,5 8 9 4,5 [ R(X) R(Y) ] 4 1,5 0,5 0 0,5 0,5 16 0,5 0,5 0,5 1 0,5 Koefse korelas Spearmaya adalah 0,7355 dega ttk krts 0,5804 (Lampra 10). Hal tu berart bahwa hpotess ol dtolak sehgga tdak bear adaya kesalg-bebasa atara keagresfa kembar yag lahr pertama da yag lahr kedua. D sampg koefse korelas Spearma juga terdapat koefse korelas Kedall yag dapat djelaska sebaga berkut. Koefse korelas Kedall tapa pegulaga (tes) dapat dhtug dega megguaka rumus K (*) ( 1) dega K= sg( x x j )sg( y y j ) j da sg(x) = 1 jka x > 0, sg(x) = 0 jka x = 0 da sg(x) = 1 jka x < 0. Apabla terdapat pegulaga maka koefse korelas Kedall dhtug dega megguaka rumus Aalss Data Statstk 169
1 ( 1) U dega = 1,,...,, m = bayakya pegulaga, = ukura sampel, U X K 1 ( 1) X U Y adalah bayakya ulaga dalam masg-masg 3 u u kelompok ulaga dar varabel X da U. 1 Cotoh IX.11 Berdasarka data pada Cotoh IX.8 dperoleh data X yatu { 1, 0, 0, 0, 1 } da data Y yatu {, 1,,, 4} sehgga fugs sg(x-xj) sg(y-yj) utuk = 1,,..., 5 da j = 1,..., 5 dapat dyataka pada matrks 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 Akbatya j K= sg( x x )sg( y y ) 4 dperoleh yatu jumlah semua eleme matrks yag berada d bawah dagoal utama. Selajutya, dega megguaka persamaa (*), dperoleh koefse korelas Kedall yatu 0,617. Dega megguaka ukura sampel 5 da tgkat keberarta 5%, dar tabel ttk krts koefse korelas Kedall (Lampra 11) dperoleh ttk krts 0,8000 sehgga koefse korelas Kedall tersebut tdak sgfka. j j 170 Ad Setawa
Cotoh IX.1 Berdasarka data pada Cotoh IX.9 da tgkat berarta 5%, tetuka apakah ada kesalg-bebasa atara keagresfa kembar yag lahr pertama da yag lahr kedua. Peyelesaa Dar data, dperoleh koefse korelas Kedall adalah 0,5581 dega ttk krts 0,394 (dega ukura sampel =1 da tgkat keberarta 5%). Hal tu berart bahwa hpotess ol dtolak sehgga tdak bear adaya kesalg-bebasa atara keagresfa kembar yag lahr pertama da yag lahr kedua. IX.3 Peguja Lebh dar Dua Sampel Dalam pasal aka dbahas tetag peguja hpotess utuk data yag dperoleh dar lebh dar dua sampel yatu utuk sampel yag salg bebas dega megguaka uj Kruskal-Walls da utuk sampel yag tdak salg bebas dega megguaka uj Fredma. Uj Kruskal-Walls Uj dguaka utuk meguj hpotess komparatf apabla data berskala ordal atau dapat dyataka dalam skala ordal pada data yag terdr dar lebh dar sampel yag salg bebas. Utuk megguaka uj dguaka lagkah-lagah sebaga berkut: Lagkah 1 Tetuka hpotess ol da hpotess alteratfya. Dalam hal, hpotess olya adalah meda populas semua sama da hpotess alteratfya adalah ada meda yag berbeda dega yag la. Lagkah Dplh tgkat keberarta. Aalss Data Statstk 171
Lagkah 3 Dhtug statstk uj Kruskal-Walls dega rumus 1 H N( N 1) k 1 R 3( N 1) dega = ukura sampel, k = bayakya kelompok, = ukura sampel dalam kelompok ke-, R = jumlah pergkat dalam kelompok ke-, = 1,,..., k. Lagkah 4 Atura pegambla keputusa yatu bahwa H0 dtolak jka Hhtug > ; k1 dega tgkat keberarta da derajat bebas k-1. Pegambla keputusa juga dapat dlakuka dega megguaka la-p yatu bahwa jka la-p lebh kecl dar maka H0 dtolak. Dalam hal, la-p dapat dperoleh dega rumus la-p = P( k 1 > Hhtug). Cotoh IX.13 Seorag guru SMA megadaka peelta tetag keuggula metode pembelajara dega megguaka 3 metode da dperoleh hasl uja sepert dyataka pada tabel berkut : Metode A Metode B Metode C 70 65 67 76 70 66 77 74 50 76 67 57 67 57 89 Apabla daggap dstrbus hasl uja tdak berdstrbus ormal maka guaka statstk Kruskal-Walls dega tgkat 17 Ad Setawa
keberarta 10% utuk meguj apakah ketga meda hasl pembelajara tersebut sama. Peyelesaa Lagkah 1 Hpotess olya adalah meda populas semua sama da hpotess alteratfya adalah ada meda yag berbeda dega yag la. Lagkah Dplh tgkat keberarta = 10%. Lagkah 3 Metode A Pergkat Metode Metode Pergkat B C Pergkat 70 9,5 65 4 67 7 76 1 70 9,5 66 5 77 13 74 11 50 1 76 14 67 7 57,5 67 7 57,5 89 15 R 1 = 70,5 R = 34 R 3 = 15,5 Tabel d atas dguaka utuk membatu meghtug R1, R da R3. Dalam hal, 1 = 6, = 5, 3 = 4 da N = 15, selajutya dhtug statstk uj Kruskal-Walls dega rumus 1 H N( N 1) k 1 R sehgga dperoleh Hhtug = 7,9819. 3( N 1) Lagkah 4 Atura pegambla keputusa yatu bahwa H0 dtolak jka Hhtug > ; k 1 0,1; 4, 605 dega tgkat keberarta =10% da derajat bebas k-1 = 3-1 =. Karea lebh besar dar ttk krts yatu 4,605 maka H0 dtolak sehgga ada meda yag berbeda dega yag la. Aalss Data Statstk 173
Pegambla keputusa juga dapat dlakuka dega megguaka la-p yatu bahwa jka la-p lebh kecl dar = 10% maka H0 dtolak. Dalam hal, la-p dapat dperoleh dega rumus la-p = P( k1 sehgga H0 dtolak. > Hhtug) = P( > 7,9819) = 0,0185 Uj Fredma Uj Fredma dguaka utuk meguj hpotess apabla dataya berskala ordal utuk data yag dperoleh dar lebh dar sampel yag berkata. Utuk memberka gambara pegguaa metode, djelaska dalam lagkahlagkah berkut : Lagkah 1 Meetuka hpotess ol da hpotess alteratf. Lagkah Meetuka tgkat keberarta. Lagkah 3 Meghtug statstk uj Fredma yatu X htug dega rumus: k 1 X R 3( k 1) k( k 1) dega N = ukura sampel total, 1 R = jumlah pergkat dalam kelompok ke-. Lagkah 4 Atura peolaka H0 adalah jka Hhtug > ; k1. Pegambla keputusa juga dapat dlakuka dega megguaka lap yatu bahwa jka la-p lebh kecl dar tgkat keberarta maka H0 dtolak. 174 Ad Setawa
Cotoh IX.14 Msalka dalam sebuah pelatha yag dkut oleh 6 orag dlakuka tes awal, tes tegah da tes akhr. Ujlah apakah meda tes awal, tes tegah da tes akhr sama atau tdak dega megguaka tgkat keberarta = 1%. Hasl yag dperoleh dyataka pada tabel berkut : Tes Awal Tes Tegah Tes Tegah 4 5 6 4 5 6 5 6 7 5 6 7 6 7 7 6 7 7 Peyelesaa Lagkah 1 Hpotess olya adalah meda tes awal, tes tegah da tes akhr semua sama da hpotess alteratfya adalah H0 tdak bear. Lagkah Dplh tgkat keberarta = 1%. Lagkah 3 Metode A Pergkat Metode B Pergkat Metode C Pergkat 4 1 5 6 3 4 1 5 6 3 5 1 6 7 3 5 1 6 7 3 6 1 7,5 7,5 6 1 7,5 7,5 R 1 = 6 R = 13 R 3 = 17 Aalss Data Statstk 175
Tabel d atas dguaka utuk membatu meghtug R1, R da R3. Dalam hal, = 6, k = 3 da N = k = 18, selajutya dhtug statstk uj Fredma dega rumus X 1 6 13 17 3(6)(3 1) 1 k 1 R 3 ( 1) k k( k 1) 6(3)(3 1) sehgga dperoleh X htug = 10,3333. Lagkah 4 Atura pegambla keputusa yatu bahwa H 0 dtolak jka k Hhtug > ; 1 0,01; 9, 103 dega tgkat keberarta =1 % da derajat bebas k-1 = 3-1 =. Karea lebh besar dar ttk krts yatu 9,103 maka H0 dtolak sehgga tdak bear bahwa meda tes awal, tes tegah da tes akhr semua sama. Pegambla keputusa juga dapat dlakuka dega megguaka la-p yatu bahwa jka la-p lebh kecl dar = 1% maka H0 dtolak. Dalam hal, la-p dapat dperoleh dega rumus la-p = P( k 1 > X htug) = P( sehgga H0 dtolak. > 10,3333) = 0,0057 176 Ad Setawa
SOAL & PENYELESAIAN Soal 1 Berdasarka pada data flas bulaa kota Jayapura pada Tabel II., aka duj hpotess ol bahwa meda data flas bulaa kota Jayapura sama dega ol melawa meda data flas bulaa kota Jayapura lebh dar ol dega tgkat keberarta 5%. Peyelesaa Hpotess ol yag aka duj adalah bahwa meda data flas bulaa kota Jayapura sama dega ol melawa meda data flas bulaa kota Jayapura lebh dar ol. Statstk yag dguaka adalah T #( 0) 1{ X 0}. X Hpotess ol H0 aka dtolak jka la-p lebh kecl dar 5%. Dar data dperoleh T = 37 sehgga la-p adalah PH0(T > 37) = 0,0019 sehgga H0 dtolak artya meda data flas bulaa kota Jayapura lebh dar ol. Soal Berdasarka pada data flas bulaa kota Jayapura pada Tabel II., aka duj hpotess ol bahwa dstrbus data flas bulaa kota Jayapura smetrs d sektar 0 melawa dstrbus data flas bulaa kota Jayapura tdak smetrs d sektar 0 dega uj smetr Wlcoxo da tgkat keberarta 5%. Peyelesaa Hpotess ol bahwa dstrbus data flas bulaa kota Jayapura smetrs d sektar 0 melawa dstrbus data flas bulaa kota Jayapura tdak smetrs d sektar 0. Statstk yag dguaka adalah Aalss Data Statstk 177
V 1 R sg( X m ). Hpotess ol H0 aka dtolak jka la-p lebh kecl dar 5%. Dar data dperoleh V = 50 sehgga la-p adalah PH0(V > 50) = 0,05 sehgga H0 dtolak artya dstrbus data flas bulaa kota Jayapura tdak smetrs d sektar 0. Soal 3 Berdasarka pada data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura pada Tabel II., aka duj hpotess ol bahwa dstrbus data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura sama melawa dstrbus data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura tdak sama dega uj Ma-Whtey utuk ukura sampel besar da tgkat keberarta 5%. Peyelesaa Karea m==54 maka dapat dguaka uj Ma-Whtey pedekata sehgga dperoleh W = 3088. Dstrbus W medekat ormal dega mea 943 da smpaga baku 16,751 sehgga dperoleh la-p yatu 0,3730 sehgga H0 dterma. Hal tu berart dstrbus data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura sama. Soal 4 Berdasarka pada data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura pada Tabel II., aka duj hpotess ol bahwa dstrbus data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura sama melawa dstrbus data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura tdak sama dega uj Kolmogorov-Smrov dega tgkat keberarta 5%. Peyelesaa Dega megguaka statstk Kolmogorov-Smrov dua sampel dperoleh Dm, = 0,1667 sedagka ttk krts utuk m==54 da tgkat keberarta 5% adalah 0,613. Hpotess o 178 Ad Setawa
ol H0 dtolak jka lebh besar dar 0,613. Akbatya H0 dterma artya dega megguaka statstk Kolmogorov- Smrov, dstrbus data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura sama. Soal 5 Berdasarka pada data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura pada Tabel II., aka duj hpotess ol bahwa data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura salg bebas melawa data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura tdak salg bebas dega uj koefse korelas Spearma dega tgkat keberarta 5%. Peyelesaa Dega megguaka rumus koefse korelas Spearma dperoleh koefse korelas Spearma l = 0,1405. Dega tgkat keberarta 5%, hpotess ol dtolak jka l lebh besar dar 0,679. Akbatya data flas bulaa kota Ambo da kota Jayapura salg bebas. Soal 6 Sebuah pelatha metode peelta dlakuka evaluas awal, tegah da akhr. Guaka tgkat keberarta 10% utuk meguj apakah meda evaluas awal, tegah da akhr sama. Hasl evaluas pelaha metode peelta tersebut dyataka dalam tabel berkut: Tes Awal Tes Tegah Tes Tegah 7 8 8 7 9 7 8 7 8 9 10 8 7 10 8 8 9 10 Aalss Data Statstk 179
Peyelesaa Lagkah 1 Hpotess olya adalah meda evaluas awal, evaluas tegah da evaluas akhr semua sama da hpotess alteratfya adalah H0 tdak bear. Lagkah Dplh tgkat keberarta = 10%. Lagkah 3 Metode A Pergkat Metode Metode Pergkat B C Pergkat 7 1 8,5 8,5 7 1,5 9 3 7 1,5 8,5 7 1 8,5 9 10 3 8 1 7 1 10 3 8 8 1 9 10 3 R 1 = 9 R = 14,5 R 3 = 1,5 Tabel d atas dguaka utuk membatu meghtug R1, R da R3. Dalam hal, = 6, k = 3 da N = k = 18, selajutya dhtug statstk uj Fredma dega rumus X 1 9 (15,5) (1,5) 3(6)(3 1) 1 k 1 R 3 ( 1) k k( k 1) 6(3)(3 1) sehgga dperoleh X htug =,5833. Lagkah 4 Atura pegambla keputusa yatu bahwa H0 dtolak jka X htug > ; k 1 0,01; 4, 605 dega tgkat keberarta =1% da derajat bebas k-1 = 3-1 =. Karea X htug lebh kecl dar ttk krts yatu 4,605 maka H0 dterma sehgga meda tes awal, tes tegah da tes akhr semua sama. Pegambla keputusa juga dapat dlakuka dega megguaka la-p yatu bahwa jka la-p lebh kecl dar 180 Ad Setawa
= 10% maka H0 dtolak. Dalam hal, la-p dapat dperoleh dega rumus la-p = P( k1 > X htug) = P( >,5833) = 0,748 sehgga la-p = 0,748 lebh besar dar tgkat keberarta = 10 % da berart H0 dterma. Aalss Data Statstk 181
LATIHAN 1. Berkut data hubuga atara tgg ayah da tgg aak (dalam cm): Tgg ayah 165 160 170 163 173 157 178 168 173 170 175 180 Tgg aak 173 168 173 165 175 168 173 165 180 170 173 178 Ujlah apakah ada keterkata atara tgg aak dega tgg ayah dega megguaka uj koefse korelas Spearma dega tgkat keberarta 1%.. Berdasarka data pada o 1, ujlah dega uj Ma-Whtey apakah dstrbus tgg ayah da dstrbus tgg aak sama dega tgkat keberarta 5%. 3. Berdasarka data pada o 1, ujlah dega uj Kolmogorov- Smrov apakah dstrbus tgg ayah da dstrbus tgg aak sama dega tgkat keberarta 5%. 4. Ujlah dega uj smetr Wlcoxo bahwa data tgg ayah smetrs d sektar 160 cm dega tgkat keberarta 10% utuk data tgg ayah pada data o 1. 5. Ujlah dega uj tada bahwa meda data tgg ayah adalah 160 cm dega tgkat keberarta 5% utuk data tgg ayah pada data o 1. 6. Msalka dberka data bvarat (x,y) yatu (33, 6), (61, 36), (0, 65), (19,5) da (40,35). Ujlah hpotess tetag koefse korelas Spearma berkut : a. H0 : 0 dega tgkat keberarta = 5%. b. H0 : > 0 dega tgkat keberarta = 1%. c. H0 : < 0 dega tgkat keberarta = 10%. 7. Ujlah dega uj smetr Wlcoxo bahwa data flas bulaa Idoesa smetrs d sektar 0 perse dega tgkat keberarta 10% utuk data pada Tabel II.1. 8. Ujlah dega uj tada bahwa meda data flas bulaa Idoesa adalah 0 perse dega tgkat keberarta 5% utuk data pada Tabel II.1. 18 Ad Setawa
9. Ujlah dega uj Komogorov-Smrov bahwa dstrbus data flas bulaa Idoesa sama dega dstrbus data flas bula kota Ambo utuk perode Jauar 009 sampa dega Desember 011 pada Tabel II.1 da pada Tabel II. dega tgkat keberarta 5%. 10. Eam orag sswa megkut suatu peelta utuk meguj apakah metode pembelajara dega megguaka pembuata portofolo dapat megkatka pemahama sswa aka pembelajara dega megguaka tgkat keberarta 5%. Hasl pelaa yag dperoleh dyataka dalam tabel berkut : Pelaa 1 Pelaa Pelaa 3 Pelaa 4 4 6 6 6 4 6 6 6 5 4 6 7 5 4 6 7 5 5 5 6 5 5 5 6 *** Aalss Data Statstk 183
BAB X UJI VALIDITAS DAN UJI RELIABILITAS Dalam bab, aka dbahas tetag uj valdtas da uj relabltas yag bayak dguaka dalam peelta lmu sosal sepert d lmu peddka da lmu pskolog. Dalam peelta d bdag peddka, sergkal dgka utuk megukur motvas belajar, kecerdasa emosoal, kecerdasa sosal da la-la. Utuk tu perlu dbuat alat ukur yag mampu megukur varabel tersebut. Sebelum alat ukur tersebut dguaka, perlu duj valdtas da relabltasya. Hasl peelta yag vald apabla terdapat kesamaa atara data yag terkumpul dega data yag sesugguhya terjad pada objek yag dtelt. Hasl peelta yag relabel adalah apabla terdapat kesamaa data dalam waktu yag berbeda. Alat ukur (strumet) dkataka vald adalah apabla alat ukur yag dguaka utuk medapatka megukur apa yag aka dukur tersebut vald. Dalam hal, vald berart strume tersebut dapat dguaka utuk megukur apa yag seharusya dukur. Metera yag vald dapat dguaka utuk megukur pajag dega telt karea metera memag alat utuk megukur pajag. Alat ukur yag relabel adalah alat ukur yag bla dguaka beberapa kal utuk megukur obyek yag sama aka meghaslka data yag sama. Alat ukur pajag dar karet merupaka salah satu cotoh alat ukur yag tdak relabel/kosste. Istrume yag vald da relabel merupaka syarat mutlak utuk medapatka hasl peelta yag vald da relabel. Istrume yag berbetuk tes dguaka utuk megukur prestas belajar da strume yag otest utuk megukur skala skap. Istrume yag berupa test jawabaya adalah salah atau bear sedagka strume 184 Ad Setawa
skap jawabaya tdak ada yag salah atau bear tetap bersfat postf atau egatf. PENGUJIAN VALIDITAS DAN RELIABILITAS Peguja Valdtas Alat Ukur (Istrume) Pada setap strume bak tes maupu buka tes terdapat butr-butr (tem) pertayaa atau peryataa. Utuk meguj valdtas butr-butr strume lebh lajut maka setelah dkosultaska dega ahl (expert) yag terkat dega topk yag g dtelt dega megguaka strume tersebut, selajutya dujcobaka da daalss dega megguaka aalss butr (ítem aalyss). Aalss butr dlakuka dega meghtug koefse korelas Pearso atara skor butr strume dega skor total. Koefse korelas Pearso ddefska sebaga berkut. Msalka (X1, Y1), (X, Y),..., (X,Y) adalah sampel radom bvarat berukura yag dambl dar suatu populas. Koefse korelas Pearso dar populas ddefska sebaga E[ ( X X )( Y Y )] dega X E[X ], Y E[Y ], V(X), V(X) da estmas koefse korelas Pearso berdasarka sampel tersebut adalah sebaga berkut dega 1 X r X 1 da 1 1 ( X ( X 1 Y X X ) Y X X )( Y Y 1. Y ) 1 ( Y Y ) X Cotoh X.1 Seorag mahasswa melakuka peelta dega megguaka alat ukur (kuesoer) utuk megukur motvas Aalss Data Statstk 185
belajar 1 respode. Alat ukur tersebut terdr dar 10 butr yag megguaka skala Lkert yatu : 1 jka plhaya adalah sagat setuju, jka plhaya tdak setuju, 3 jka plhaya setuju, 4 jka plhaya sagat setuju. Tabel X.1 Hasl skor strumet motvas belajar dega 10 tem utuk 1 resepode Skor butr Respode 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Skor Total 1 3 4 3 4 4 3 3 3 3 3 33 4 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 3 1 4 3 4 4 3 3 3 4 3 3 4 34 5 3 4 3 3 3 4 3 4 4 3 34 6 3 4 4 3 4 4 3 4 4 35 7 3 3 4 4 4 3 4 3 3 8 1 1 1 3 4 3 1 9 4 3 3 4 1 1 4 4 8 10 3 3 3 4 4 4 4 4 3 3 35 11 4 4 3 4 4 3 4 4 4 36 1 3 1 3 1 1 3 3 1 Korelas 0,534 0,706 0,871 0,791 0,645 0,839 0,780 0,686 0,9-0,07 Setelah alat ukur ds oleh 1 respode dperoleh data yag dyataka pada Tabel X.1. Dperoleh koefse korelas atara skor butr pertama sampa dega skor butr kesepuluh dega skor total berturut-turut adalah 0,534, 0,706, 0,871, 0,791, 0,645, 0,780, 0,686, 0,9 da -0,07. Apabla dguaka tgkat keberarta 5% dega megguaka uj ss da ukura sampel = 1 maka dperoleh ttk krts 0,576 (lhat Tabel Korelas Pearso). Akbatya koefse korelas Pearso butr 1, 9 da 10 kurag dar ttk krts yatu 0,576 sehgga dapat dsmpulka bahwa butr tersebut tdak vald sehgga perlu dbuag (asalka tdak megurag mafaat alat ukur tersebut secara keseluruha) atau dubah dega 186 Ad Setawa
melakuka uj coba alat ukur kembal sebelum dguaka dalam peelta. Apabla bayakya butr yag dguaka dalam alat ukur tdak bayak maka sergkal dlakuka koreks dalam perhtuga koefse korelas yag dguaka dalam peetua apakah butr tersebut vad atau tdak. Hal dlakuka dega cara megkorelaska atara tap butr dega skor total tapa meghtug skor pada butr tersebut. Cara tersebut serg damaka dega corrected tem-total correlato. Sebaga cotoh, koefse korelas butr pertama dapat dhtug dega megguaka data pada kolom pertama pada Tabel X.1 da selsh atara data pada kolom terakhr (skor total) dkurag dega data pada kolom pertama sehgga dperoleh corrected tem-total correlato sebesar 0,411. Dega cara yag sama juga dperoleh utuk butr kedua sampa dega kesepuluh berturut-turut yatu 0,615, 0,6, 0,718, 0,560, 0,776, 0,676, 0,568, 0,187 da -0,138. Akbatya, jka dguaka tgkat keberarta 5% maka aka dapat dsmpulka bahwa butr 1, butr 5 da butr 10 tdak vald. Meskpu tabel korelas Pearso dapat dguaka utuk meetuka apakah koefse korelas Pearso suatu butr vald atau tdak, tetap kebasaa yag dguaka dalam peelta yatu megguaka batas ttk krts 0,3 tapa memperhatka ukura sampel atau bayakya respode yag dguaka dalam peelta. Peguja Relabltas Istrume Utuk meguj apakah alat ukur yag dguaka relabel, dguaka statstk alfa Crobach (Crobach s Alpha). Tabel X. dperoleh dar Tabel X.1 dega membuag butr 1, 5, 9 da 10 da dguaka sebaga alat batu utuk meghtug statstk alfa Crobach. Statstk alfa Crobach dhtug dega terlebh dahulu membuag butr yag tdak vald. Aalss Data Statstk 187
Rumus yag dguaka utuk meghtug statstk alfa Crobach adalah k b k 1 r 1 k 1 t dega r = koefse relabltas alat ukur (statstk alfa Crobach), k = bayakya butr yag vald pada alat ukur, k 1 t b = total varas butr, = varas skor total. Dalam hal, utuk meghtug varas butr (utuk kasus dguaka varas populas buka varas sampel) dguaka rumus x j 1 j x j j1 b, sehgga utuk butr ke- dperoleh varas 35 111 1 b 0,7431. 1 Dega cara yag sama dperoleh varas utuk butr ke- 3, ke-4, ke-6, ke-7 da ke-8 berturut-turut yatu 0,854, 0,854, 0,854, 0,9097, 1,3056, 1,0764 sehgga dperoleh jumlah varas butr k b 1 5,7431. Selajutya dperoleh varas dar skor total yatu t 1 1 X 1 1 1 X 1 (11) 3983 1 1,7431. 188 Ad Setawa
Akbatya dperoleh statstk alfa Crobach k r 1 k 1 k b 1 t 6 5,7431 1 0,8970. 6 1,7431 Tabel X. Tabel Alat Batu Perhtuga Statstk Alfa Crobach Respode 3 4 6 7 8 Skor Total Total kuadrat 1 4 3 4 3 3 3 0 400 3 3 4 3 3 3 19 361 3 1 3 3 1 1 144 4 4 4 3 3 4 3 1 441 5 4 3 3 4 3 4 1 441 6 4 4 4 4 3 1 441 7 3 3 4 4 3 4 1 441 8 1 1 3 11 11 9 3 3 1 1 1 144 10 3 3 4 4 4 4 484 11 4 3 4 3 4 4 484 1 1 1 1 9 81 Total 35 33 39 35 34 35 11 3983 Jumlah Kuadrat 111 101 137 113 11 115,7431 SgmaB 0,7431 0,854 0,854 0,9097 1,3056 1,0764 5,7431 0,8970 Utuk meetuka apakah alat ukur yag dguaka relabel atau tdak serg batas ttk krts 0,6 sehgga jka statstk alfa Crobach berla lebh dar atau sama dega 0,6 maka alat ukur yag dguaka relabel. Hal tu berart pada cotoh d atas strumet yag dguaka relable karea mempuya statstk alfa Crobach sebesar 0,897 sehgga lebh besar dar 0,6. Aalss Data Statstk 189
Tabel X.3 Hasl skor strumet dega 5 tem utuk 10 resepode. Respode 1 3 4 5 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 3 1 1 0 0 0 4 1 0 0 1 0 5 0 1 1 1 1 6 0 1 0 0 0 7 1 1 1 1 1 8 1 1 0 1 0 9 1 1 1 1 0 10 0 0 0 1 1 Uj valdtas utuk tpe data 0 atau 1 yag dperoleh dar data hasl evaluas belajar sepert dyataka pada Tabel X.3 dapat djelaska dalam lagkah-lagkah berkut. Pada Tabel X.3, bars pertama meyataka omor butr soal-soal. Aka duj apakah butr soal pertama sampa dega kelma vald utuk meguj kemampua sswa utuk mata pelajara yag dujka. Skor 0 berart respode salah mejawab butr soal tersebut sedagka skor 1 meyataka bahwa respode mejawab bear utuk butr soal tersebut. Lagkah 1 Meyapka tabel batu dega meghtug jumlah bars, jumlah bars dkuadratka, jumlah kolom, p da q utuk masg-masg kolom. Tabel batu perhtuga koefse korelas pot bseral. Dalam hal, p meyataka propors respode yag mejawab bear utuk butr soal tertetu sedagka q meyataka propors respode yag mejawab salah utuk butr soal tersebut. 190 Ad Setawa
Tabel X.4 Tabel Alat Batu Perhtuga Koefse Korelas Bseral Jumlah Kuadrat Respode 1 3 4 5 5 X 1 5 X 1 1 0 0 1 1 0 4 0 0 0 1 0 1 1 3 1 1 0 0 0 4 4 1 0 0 1 0 4 5 0 1 1 1 1 4 16 6 0 1 0 0 0 1 1 7 1 1 1 1 1 5 5 8 1 1 0 1 0 3 9 9 1 1 1 1 0 4 16 10 0 0 0 1 1 4 Jumlah N1 = 5 N = 6 N3 = 4 N4 = 8 N5 = 3 6 84 p 0,5 0,6 0,4 0,8 0,3 q 0,5 0,4 0,6 0, 0,7 Lagkah Mecar mea dar jumlah bars atau skor total yatu 1 M t X 1 6,6. 10 Lagkah 3 Meetuka smpaga baku (populas) yatu dega megguaka rumus sehgga dperoleh s 1 X 1 X Aalss Data Statstk 191
s 84 6 10 10 1,806. Lagkah 4 Meetuka Mp utuk butr soal 1 sampa dega butr soal 5. Utuk M1 dapat dperoleh dega megalka kolom butr soal 1 dega kolom jumlah kemuda haslya djumlahka utuk seluruh respode da kemuda dbag dega bayakya respode sehgga dperoleh 16 M 1 3,. 5 Dega cara yag sama dperoleh M = 3,1667, M3 = 3,75, M4 =,875 da M5 = 3,6667. Lagkah 5 Meetuka koefse korelas pot bseral dega rumus M r sehgga koefse korelas buseral utuk butr soal 1 adalah p 3,,6 r 1,806 s M t p q 0,5 0,4685. 0,5 Dega cara yag sama, juga dperoleh koefse korelas pot bseral utuk butr soal sampa dega 5 berturutturut adalah 0,5419, 0,733, 0,495 da 0,5453. Teryata, hasl yag dperoleh sama dega jka dguaka rumus koefse korelas Pearso. Selajutya, utuk meguj vald atau tdakya butr soal dguaka cara yag sama utuk data yag dperoleh dega megguaka skala Lkert. 19 Ad Setawa
SOAL & PENYELESAIAN Soal 1 Tabel X.5 berkut meyataka skor dar kuosoer dar 10 respode da 4 pertayaa dalam kuesoer dega skor megguaka skala Lkert dar 1 sampa 5. Maakah pertayaa-pertayaa yag vald? Tabel X.5 Tabel hasl skor dar koesoer Respode Pertayaa 1 Pertayaa Pertayaa 3 Pertayaa 4 1 4 4 3 4 3 3 4 4 3 1 4 4 3 4 4 4 5 3 4 4 5 6 1 3 3 4 7 3 3 5 8 4 4 4 4 9 4 4 4 4 10 4 4 4 4 Peyelesaa Berdasarka Tabel X.5, dapat dhtug skor total da koefse korelas mome Pearso atara skor pertayaa ke da skor total utuk = 1,, 3, 4 yatu berturut-turut adalah 0,86, 0,940, 0,88 da 0,087. Tabel X.6 meyataka hasl perhtuga utuk skor total. Ttk krts utuk ukura sampel = 10 dar Tabel korelas mome Pearso adalah 0,63 dega tgkat keberarta = 5%. Akbatya pertayaa-pertayaa yag vald adalah pertayaa 1, da 3 karea mempuya koefse korelas mome Pearso lebh besar dar ttk krts. Aalss Data Statstk 193
Tabel X.6 Tabel hasl skor dar koesoer Respode Pertayaa 1 Pertayaa Pertayaa 3 Pertayaa 4 1 4 4 3 4 15 3 3 4 4 14 3 1 4 9 4 3 4 4 4 15 5 3 4 4 5 16 6 1 3 3 4 11 7 3 3 5 13 8 4 4 4 4 16 9 4 4 4 4 16 10 4 4 4 4 16 Total Soal Apabla dguaka metode corrected tem-total correlato, maakah pertayaa yag vald? Peyelesaa Apabla dguaka metode corrected tem-total correlato maka aka dperoleh koefse korelas mome Pearso terkoreks berturut-turut yatu 0,570, 0,885, 0,717 da - 0,087. Dega megguaka ttk krts sepert pada Soal 1 maka pertayaa yag vald adalah omor da 3. Soal 3 Tabel X.7 berkut meyataka skor dar kuosoer dar 10 respode da 4 pertayaa dalam kuesoer dega skor megguaka skala 0 atau 1 (0 = Tdak da 1 = Ya). Maakah pertayaa-pertayaa yag vald? 194 Ad Setawa
Tabel X.7 Tabel hasl skor dar koesoer Respode Pertayaa 1 Pertayaa Pertayaa 3 Pertayaa 4 1 1 1 0 1 0 0 1 1 3 0 0 0 1 4 0 1 1 1 5 0 1 1 1 6 0 0 0 1 7 0 0 0 1 8 1 1 1 0 9 1 1 1 0 10 1 1 1 0 Peyelesaa Lagkah 1 Meyapka tabel batu dega meghtug jumlah bars, jumlah bars dkuadratka, jumlah kolom, p da q utuk masg-masg kolom. Tabel dguaka utuk membatu meghtug korelas pot bseral. Dalam hal, p meyataka propors respode yag mejawab Ya utuk pertayaa tertetu sedagka q meyataka propors respode yag mejawab Tdak utuk pertayaa butr tersebut. Lagkah Mecar mea dar jumlah bars atau skor total yatu 1 M t X 1 3,3. 10 Lagkah 3 Meetuka smpaga baku (populas) yatu dega megguaka rumus s 1 X 1 X Aalss Data Statstk 195
sehgga dperoleh s 61 3 10 10 0,9. Tabel X.8 Tabel Batu Perhtuga Koefse korelas pot bseral Respode Pertayaa 1 Pertayaa Pertayaa 3 Pertayaa 4 Jml Kuadrat 1 1 1 0 1 3 9 0 0 1 1 4 3 0 0 0 1 1 1 4 0 1 1 1 3 9 5 0 1 1 1 3 9 6 0 0 0 1 1 1 7 0 0 0 1 1 1 8 1 1 1 0 3 9 9 1 1 1 0 3 9 10 1 1 1 0 3 9 Jumlah N1 = 4 N = 6 N3 = 6 N1 = 7 3 61 p 0,4 0,6 0,6 0,7 q 0,6 0,4 0,4 0,3 Lagkah 4 Meetuka Mp utuk butr pertayaa 1 sampa dega butr peryataa 4. Utuk M 1 dapat dperoleh dega megalka kolom butr peryataa 1 dega kolom jumlah kemuda haslya djumlahka utuk seluruh respode da kemuda dbag dega bayakya respode yag mejawab Ya sehgga dperoleh 1 M 1 3. 4 Dega cara yag sama dperoleh M = 3, M3 = 3 da M4 =,149. Lagkah 5 Meetuka koefse korelas pot bseral dega rumus 196 Ad Setawa
M r p s sehgga koefse korelas bseral utuk butr peryataa 1 adalah 3,3 r 0,9 M t p q 0,4 0,6351. 0,6 Dega cara yag sama, juga dperoleh koefse korelas pot bseral utuk butr soal sampa dega 4 berturutturut adalah 0,956, 0,758 da -0,509. Dega megguaka tgkat keberarta = 5 % maka ttk krtsya adalah 0,63 sehgga peryataa yag vald adalah peryataa 1 sampa dega 3. Soal 4 Lakuka uj Chrobach s alfa utuk data pada Tabel X.7. Peyelesaa Utuk meguj apakah alat ukur yag dguaka relabel, dguaka statstk alfa Crobach (Crobach s Alpha). Tabel X.9 dperoleh dar Tabel X.7 dega membuag butr 4 da dguaka sebaga alat batu utuk meghtug statstk alfa Crobach. Varas utuk butr ke-1, ke- da ke-3 berturut-turut yatu 0,4, 0,4 da 0,4 sehgga dperoleh jumlah varas butr k b 1 0,7. Selajutya dperoleh varas dar skor total yatu t 1 1 X 1 1 X (16) 40 10 10 1,44. Aalss Data Statstk 197
Akbatya dperoleh statstk alfa Crobach k b k 1 3 0,7 r 1 1 0,75. 1 1 1,44 k t Karea statstc alfa Crobach lebh dar 0,6 yatu 0,75 maka strumet tersebut relabel. Tabel X.9 Tabel Alat Batu Perhtuga Statstk Alfa Crobach Respode Item Item tem Jumlah Jumlah Kuadrat 1 1 1 0 4 0 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0 4 0 1 1 4 5 0 1 1 4 6 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 8 1 1 1 3 9 9 1 1 1 3 9 10 1 1 1 3 9 Total 4 6 6 16 40 Jumlah Kuadrat 4 6 6 1,44 SgmaB 0,4 0,4 0,4 0,7 0,75 Soal 5 Berdasarka Tabel X.5 d atas, apabla dguaka koefse korelas Spearma, maakah pertayaa-pertayaa yag vald? Ulag pertayaa tersebut bla dguaka koefse korelas Kedall. 198 Ad Setawa
Peyelesaa Apabla dguaka koefse korelas Spearma maka aka dperoleh 0,6506, 0,586, 0,6913 da -0,516 berturut-turut utuk peryataa 1 sampa dega 4. Utuk = 10 da tgkat keberarta 5%, dperoleh ttk krts 0,564 sehgga peryataa yag vald adalah 1 da 3. Hasl tersebut berbeda dega hasl yag dperoleh jka dguaka koefse korelas Pearso. Apabla dguaka koefse korelas Kedall maka aka dperoleh 0,685, 0,5107, 0,6678 da -0,5039 berturutturut utuk peryataa 1 sampa dega 4. Utuk = 10 da tgkat keberarta 5 %, dperoleh ttk krts 0,551 sehgga peryataa yag vald adalah 1 da 3. Hasl tersebut aalog dega hasl yag dperoleh jka dguaka koefse korelas Spearma tetap berbeda dega hasl yag dperoleh jka dguaka koefse korelas Pearso. Aalss Data Statstk 199
LATIHAN 1. Berdasarka Tabel X.5 d atas, apabla dguaka koefse korelas Spearma, maakah pertayaapertayaa yag vald?. Ujlah valdtas da relabltas tes yag terdr dar 8 pertayaa da dujka pada 0 respode. Tabel X.9 Tabel Skor la 8 butr soal dar 0 respode. 1 3 4 5 6 7 8 A 0 1 0 0 0 1 0 0 B 1 0 1 0 1 0 1 1 C 0 1 0 1 1 0 0 1 D 1 1 1 1 1 1 1 1 E 1 0 1 1 0 1 0 1 F 0 1 0 0 0 1 0 1 G 1 0 0 1 1 1 1 1 H 1 0 1 1 1 1 1 1 I 0 1 0 1 0 1 0 1 J 1 1 1 1 1 1 1 1 K 0 1 1 1 1 1 1 0 L 0 1 1 0 1 0 1 0 M 0 1 0 0 1 0 1 1 N 1 0 1 1 0 1 0 1 O 1 0 0 1 1 1 1 1 P 0 1 0 1 0 1 0 1 Q 1 0 1 1 1 1 1 1 R 0 1 0 1 1 1 0 1 S 1 0 0 1 1 1 1 1 T 0 1 1 0 0 0 1 0 3. Apabla dguaka metode corrected tem-total correlato da dega megguaka korelas Spearma pada Soal 1 dalam Soal da Peyelesaa Bab X da pada Soal 1 d atas serta tgkat keberarta 5%, maakah pertayaa yag vald? 00 Ad Setawa
4. Apabla dguaka metode corrected tem-total correlato da dega megguaka korelas Spearma pada Soal 4 da dlajutya dega Soal 5 dalam Soal da Peyelesaa Bab X serta tgkat keberarta 5%, maakah pertayaa yag vald? 5. Ujlah valdtas da relabltas tes yag terdr dar 10 pertayaa da dujka pada 17 respode. Tabel X.10 Tabel Skor la 10 butr soal dar 17 respode Subjek Nomer Item 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 1 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 7 4 4 3 4 3 4 4 4 4 8 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 10 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 11 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 1 4 4 3 4 3 3 4 4 4 13 4 4 4 4 4 4 3 3 4 4 14 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 15 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 16 3 4 3 3 4 4 4 4 4 4 17 4 4 3 3 4 4 4 4 4 4 *** Aalss Data Statstk 01
BAB XI PENUTUP Aalss Data Statstk yag telah djabarka dalam buku hayalah aalss data bvarat atau multvarat yag dapat dsmpa dalam memor yag kecl. Saat telah bayak data multvarat da yag tersmpa dalam memor yag besar sehgga perlu aalss yag cepat da perlu algortma efse utuk aalss data sehgga formas yag terkadug dalam data metah cepat dapat dperguaka utuk pegambla keputusa. Demka juga berbaga software yag mak berkembag sepert paket program R atau Pytho yag semak meutut utuk mempelajar hal-hal baru sehgga tdak ketggala jama apa yag telah kta ketahu da kta kuasa. Dharapka dega mak legkapya kemampua mahasswa dalam teor maupu praktkum maka aka semak mampu meghadap persaga global. 0 Ad Setawa
DAFTAR PUSTAKA [1] Asmusse, S.. 003. Appled Probablty ad Queues. Sprger-Verlag, New York Ic, New York. [] Ba, L. J da M. Egelhardt. 199. Itroducto to Probablty ad Mathematcal Statstcs. Duxbury, Pasfc Grove. [3] Grossma, S. I da J. E. Turer. 1974. Mathematcs for the Bologcal Scece. Macmlla Publshg Co. Ic, New York. [4] de Gust, M. C. M., 1994, Statstsche Data Aalyse, Facultet Wskude e Iformatca, Vrje Uverstet, Amsterdam. [5] Medehall, W. da R. J. Beaver. 1991. Itroducto to Probablty ad Statstcs. PWS-Ket Pub. Co., Bosto. [6] Martoo, N., 010, Statstk Sosal: Teor da Aplkas Program SPSS, Peerbt Gava Meda, Yogyakarta. [7] Mahakea, A. N., 015, Pola Asuh Otorter da Kosep Dr Sebaga Predktor Terhadap Perlaku Agresf Ssw SMA Negr 4 Ambo, Tess Program Magster Sas Pskolog Fakultas Pskolog, Uverstas Krste Satya Wacaa Salatga. [8] Rada, M. R. Pegaruh Relgustas da Paret Adolescet Relatoshp pada Psychologcal Well Beg Remaja d SMP Neger 1 Kupag. Tess Program Magster Sas Pskolog Fakultas Pskolog, Uverstas Krste Satya Wacaa Salatga. [9] Spegel, M. R, J. Schller, R. A. Srvasa. 000. Probabltas da Statstk Eds Kedua (Terjemaha). Peerbt Erlagga, Jakarta. [10] Soejoete, Z., 1984, Buku Mater Pokok Metode Statstk II, Uverstas Terbuka, Jakarta. Aalss Data Statstk 03
[11] Wackerly, D. D, W. Medehall III, R. L. Schaeffer. 008. Mathematcal Statstcs wth Applcato. Thomso Brooks/Cole, Duxbury. [1] Wada, M. A., 016, Self-Esteem, Dukuga Sosal Tema Sebaya da School Coectedess sebaga Predktor Subjectve Well-Beg Sswa Kelas VIII SMP Tutag Dtjau dar Jes Kelam, Tess Program Magster Sas Pskolog Fakultas Pskolog, Uverstas Krste Satya Wacaa Salatga. ***** 04 Ad Setawa
LAMPIRAN-LAMPIRAN Aalss Data Statstk 05
06 Ad Setawa
Lampra 1 Tabel Kolmogorov-Smrov Satu Sampel. Aalss Data Statstk 07
Lampra Tabel Dstrbus Ch-Kuadrat 08 Ad Setawa
Lampra 3 Tabel Ttk Krts utuk Uj Llefors utuk Normaltas Aalss Data Statstk 09
Lampra 4 Tabel Dstrbus Normal 10 Ad Setawa
Lampra 5 Tabel Dstrbus t Aalss Data Statstk 11
Lampra 6 Tabel Dstrbus F 1 Ad Setawa
Aalss Data Statstk 13
14 Ad Setawa
Aalss Data Statstk 15
Lampra 7. Tabel Dstrbus Bomal 16 Ad Setawa
Aalss Data Statstk 17
18 Ad Setawa
Lampra 8 Tabel Ttk Uj T Wlcoxo Aalss Data Statstk 19
Lampra 9 Tabel Ttk Krts Koefse Korelas Pearso 0 Ad Setawa
Lampra 10 Tabel Ttk Krts Koefse Korelas Spearma Aalss Data Statstk 1
Lampra 11 Tabel Ttk Krts Koefse Korelas Kedall Ad Setawa
Lampra 1 Tabel Ttk Krts Uj Ma-Whtey Aalss Data Statstk 3
Lampra 13 Tabel Ttk Krts Kolmogorov-Smrov Sampel 4 Ad Setawa