BAB. I INTEGRAL A. Pendhulun.. Pengertin integrl. Integrl dlh lwn kelikn) dri diferensil. Dpt diumpmkn hw opersi diferensil itu, dikethui orng tuny, disuruh menri nkny, sedngkn opersi integrl, dikethui nkny, disuruh menri orng tuny. Amtilh : No. Fungsi yng diturunkn f) Fungsi turunn f ) Orng tuny) Ankny).... 5-7 65 5. - - 6. os - sin 7. sin os os sin 8. ) ) ) 9).
Dlm diferensil, jik F) n mk F ) n n -. F ) f ) dlh fungsi turunn dri fungsi F). Jik F) mk F ) f ) dn jik F) mk F ) f ). Untuk menentukn fungsi semul, yitu fungsi yng didiferensilkn yng diturunkn ),il dikethui fungsi turunnny mk menggunkn opersi lwn dri opersi diferensil, yng diseut hitung integrl. Contoh :. Jik F) ½ mk F ) f ). Jik F) ½ mk F ) f ). Jik F) ½ - 7 mk F ) f ). Jik F) ½ 5 mk F ) f )... Jik F) ½ mk F ) f ) Selikny : Jik F ) f ) mk F) ½ Fungsi F) ½ merupkn nti turunn dri fungsi F ) f ).
Fungsi F) diperoleh dengn mengintegrlkn fungsi F ) f ), ditulis dengn notsi : F ) F ). Integrl tk tentu F ' ) d f ) d d Untuk F) / yng turunnny dlh F ) F ' ) d d. Jik turunn sutu fungsi dlh F ) f ), mk fungsi yng diturunkn fungsi nti turunnny) dlh F), F), F) -, F) 5, ser umum dlh F), ini errti : F ) f ) d d yng diseut hsil dri integrl tk tentu. Rumus untuk integrl tk tentu dri f ) n dengn n Dri rumus diferensil : Jik F) n mk F ) n n, dpt dikemngkn : Jik F) n mk F ) n) n
n n n n n mkf n JikF ) ) ) ' ) ) ' ) untukn n d d F F n n F d f ) ) Selikny : Jik F ) n mk Ser umum, jik F) sutu fungsi nti turunn dri f ), mk : Yng merupkn himpunn semu fungsi nti turunn dri fungsi f ). Contoh : Contoh :. Integrlkn :.. / Penyelesin : d d d. d d 5 5 5
. Jik F ) 65 dn F-) 9 mk tentukn F)!. ) d 9) d 6 9 Penyelesin : F' ) d 6 F ) 5) d F) 5 F-).-) 5.- 9 0 7 F) 5 7 Ltihn. Integrlkn!.... 5 d. 8 e. p... 6. 5 d. 8 e... -. -. / d. 6 / 5 e. - / -6.. /5. /. ½ d. V e. / V
. Beerp penggunn integrl tk tentu Contoh :. Sutu kurv dengn persmn y f ). Pd setip titik,y) dri kurv itu, grdien gris singgungny dlh. Kurv itu mellui titik,-). Tentukn persmn kurv itu! Penyelesin : Dengn menggunkn notsi diferensil untuk grdien sutu kurv pd setip titik, dy y' f ' ) d y Kurv itu mellui titik,-) - - Persmn kurv itu dlh y - y f ) f ' ) d d
. Seuh end ergerk dengn keeptn v m / detik. Pd st t detik, keeptn dinytkn oleh persmn v t. Pd st t detik, end telh menempuh jrk 0 meter. Tentukn persmn gerk end itu! Penyelesin : Dengn menggunkn notsi diferensil pd mt peljrn fisik, jrk yng ditempuh oleh end dinytkn s f t) ds v s' f ' t) t dt dt f ' t) dt vdt s t) dt s t t s 0 untuk t 0.. 0 6 8 Jdi persmn gerk end itu, s - t t
. Integrl fungsi trigonometri Dri diferensil : Jik y sin mk y os Dri diferensil : Jik y os mk y - sin y y' d os d sin y y' d sin d. os d os Untuk f) sin f ). os f) / sin f ) /. os f) / sin f ) os os d sin sin d os sin d os Contoh :. os d sin. sin d os. sin π ) d. os π os π ). ) d os d sin os 5. sin os d sin 5 sin ) d os5 os 5 6. sin sin d os os ) d sin sin 8
B. Lus derh. Pengntr. Untuk derh yng erentuk tertentu dn ku seperti persegi, persegi-pnjng, segitig, trpesium dn lingkrn, r menghitung lus derhny dengn menggunkn rumus-rumus geometri. s Bentuk persegi, L s p l Bentuk persegi-pnjng, L p. l t Bentuk trpesium, L ½ ). t r Bentuk lingkrn, L π r
. Dengn menggunkn persegi stun. Untuk derh yng entukny tidk ku, ukn entuk seperti hsn., r menghitung lusny dengn menggunkn persegi-persegi stun A L i ) G. ii ) Pd G. i) kurv tertutup A memtsi derh yng lusny dinytkn L. Menri lus derh itu, dengn mengopy, ditruh di kerts petk dengn persegi stun, seperti pd G. ii). Dengn menghitung, d 6 uh persegi stun yng utuh dn 9 persegi stun tidk utuh, yng menutupi derh itu. Berrti lus derh itu ntr 6 persegi stun dn 65 persegi stun. 6 < L < 65 Perhitungn itu kn leih teliti il menggunkn kerts petk persegi yng ukurnny leih keil
. Dengn turn trpesium. Untuk menghitung lus derh seperti pd G., lsny digi menjdi sejumlh gin yng sm mislny 5), yng msing-msing lerny h stun Kemudin digmr gris-gris vertikl yng pnjngny y, y,y,...,y 6, sehingg lus derh itu tergi menjdi 5 pis. msing-msing pis lusny mendekti lus trpesium. Lus seluruh derh di y 6 y wh kurv dlh : y 5 y y y Contoh : h h h h h P 7 L / hy y )/ hy y ).. / hy 5 y 6 ) L / h[y y 6 ) y yy y 5 )] L h [/y y 6 ) y y y y 5 )] 80 C Lus derh ABCP dlh.. A 0 B
. Dengn notsi integrl. Derh yng ditsi oleh kurv y f ), sumu X, gris dn r menghitung lusny dlh : Y y f ) L f i ) f i ) o i n i X i Intervl [, ] digi menjdi n intervl dengn ler msing-msing,,,.., n dengn,,,.., n dlh koordint dri n titik Pd sumu X, yng msing-msing terletk dlm intervl itu, sehingg umumny titik i terletk dlm intervl yng pnjngny i
Kemudin diut n persegi-pnjng seperti gmr tdi. Pd gmr diseelh knn digmr persegi pnjng yng ke_i dengn skl esr. Tinggi persegi-pnjng dlh f i ) dengn nili f pd i, dn lerny Dengn demikin : Lus persegi-pnjng pertm Lus persegi-pnjng kedu Lus persegi-pnjng ketig. Lus persegi-pnjng terkhir f ). f ). f ). f n ). n Untuk menyingkt jumlh dri digunkn huruf esr Yunni sigm Ditulis dengn notsi : L n i f i ). i Untuk meneknkn hw pengmiln jumlh terseut meliputi intervl [, ], Relsi itu ditulis dengn notsi : L f ). Untuk fungsi yng dpt didiferensilkn, dpt ditunjukkn hw : i f ). dpt diut sedekt mungkin dengn L, dengn jln memut n ukup esr, Ini ekuivlen dengn memut ukup keil, sehingg dpt didefinisikn :
lim 0 L f ). Segi penyederhnn, entuk limit terseut dpt ditulis dengn notsi : L f ) d Di : Lus L sm dengn integrl f ) dri ke Contoh : y. L L Lus derh yng dirsir dinytkn : d y. L L o L 0 d. π L y sin π L π π sin d
. d digmr : y L 5. ) d L y - - D D 6 6 6 0 6 6 ) 6 L stunlus
C. Integrl tertentu.. Pengertin integrl tertentu Dri notsi integrl yng menytkn lus derh di wh kurv y f ) di ts sumu X, seelh kiri ditsi gris, seelh knn oleh gris seperti dlm hsn A. dlh : L f ) d Penyelesin integrl itu dlh : f ) d [ F )] F ) F ) Dengn F) merupkn nti-turunn dri f ) yng derh slny Penyelesin ini diseut nili integrl tertentu Contoh :. ) d [ ] ) ) 0 9 9 9 9. d d [ ] 9 5 5 ) d 9 ) d 6. [ ] 5.. 6.5-6.5.5) [.-) 6.-).-)] 75 50 0) - 8) 5 56 0
. Sift-sift integrl tertentu Perhtikn perhitungn integrl tertentu erikut ini : [ ] [ ] ) ) 9) 6 9) 8 7 5. d d I) d [ ] 6 5 Dri I) dn II) ternyt : Sift i ) ) f ) d. Hitunglh! d d d f f ) d d --- ii) Amtilh! 7 d. [ ]... ). 8 ). 7 Sift ii ). kf ) d k f ) d. [ ) 5)] d 6 5) d [ 5] Co eri ontoh lin! Butlh ontoh linny 77-5) -5) 6 Selesikn! Sift iii ) ) d 5) d [ ) g )] d f ) d f g ) d
5 d. Apkh? ) d ) d 5 Co yng lin! Sift iv ) ) d f f ) d e. t dt s ds d u du............ Lnjutkn! Sift v ). f ) d f t) dt f s) ds f u) du...
D. Isi end putr. Mm-mm end putr.. tung. kendng. uh pepy d. ol e. tempolong f. ngkir, ds.
. Rumus volum end putr. Y L f i ) o i y f ) X Derh L yng ditsi oleh kurv y f ) sumu X, gris dn gris diputr 60 0 mengelilingi sumu X Persegi-pnjng yng ke - i direhkn, diperesr seperti g. wh, diputr mengelilingi s. X, menjdi tung, dengn tinggi X i, dn jri-jri f i ), sehinggg isiny : V π[ f i )]. i V π[ f i )]. i. f i ) Bgimn untuk pemutrn terhdp sumu Y? i Volum end putr yng terjdi seluruhny dlh : lim 0 V π [ f )]. V π [ f )] d π y d
Contoh :. y V π d π π..0 ) π9 0) 9π 0 0 Perikslh dengn rumus 0 isi keruut!. Derh yng ditsi oleh kurv y, sumu Y dn gris y diputr 60 o mengelilingi sumu Y. V π π ydy 0 y 0 8 π
E. Integrl lnjutn. Integrl dengn sustitusi Ciri-iri dri integrl dengn sustitusi. dlh sutu permslhn integrl yng entukny segin merupkn turunn pertm dri gin lin Bentuk umum : f){f)} n d tu {f)} n.f ) d Contoh : du. ) ) d Dpt diliht hw ) merupkn turunn pertm u dri ) Dengn perumpmn : u ) u du/d - du ) d Sol eruh menjdi : 5 5 u du u ) 5 5
. sin.osd? ndikn t sin dengn dt os d t dt t sin 6 d? mislkn p dp d dp 6 d dp p dp. p p p ) ) d? Untuk U du 6 ) d - ½ du ) d U du U du. U 5 C. U ) ) 5 0
. Integrl prsil Bentukny : udv Dri turunn : y u. v y u. v u. v dy d Dengn u f) dn v f) du d. v u. dv d d Contoh :..os d? u, dv os d du d, dv os d v sin dy v. du u. dv dy v. du u. dv u. dv dy v. du dy u. dv v. du u. dv y v. du u. dv u. v v. du u. dv u. v v. du.sin sin d.sin - os ).osd.sin os Cr lin : kiri knn turunkn integrlkn.. os d? sin -) 0 - os sin os
. d? u, dv ) / dv du d u. dv u. v d, ) d v ) vdu. ) ) d. ) ). ) 5. ) ) ) 5 ) ) ) ) 5 8 { ) )}. ) 5 5 5 ) 5 5 5..sin 5) d? -/ os-5) -) -/9 sin-5) 0 /7 os-5).os 5).sin 5).os 5) 9 7 ).os 5).sin 5) 9 9 6 d )? du 6dv, v u 6, dv ) d. 6. ) ).6. d ) ) 6. ). ). ) 5 6 ). ) 5 5 8 6). 5
Piye! Mudheng or? mos, you
Ltihn : unjin nsionl 006). Nili dri os sin π 6... π π 6... d. e. lim. Slh stu gris singgung kurv y 0 5 di titik yng erordint, memotong sumu Y di titik. A. 0,7). 0,6). 0,- 8) d. 0,- ) e. 0, - ). Seuh tempt terut dri seng erentuk silinder tnp tutup, dengn volume 7 m. Supy lus seng yng diperlukn minimum, mk jri-jri silinder..... π m π.. π m. π. π m. π d. π π m. e. π m. π. Turunnper tmfungsi f ) sin 8 π 0dlhf ' ).... sin8 π ). 8sin8 π ). sin6 π ) d. 8sin6 π ) e. 6 sin6 π ) 5. Lus derh tertutup yng ditsi oleh kurv y 6 dn y - pd intervl 0 5dlh... stunlus. 0. 6. 6/ d. 50/ e. /
... ) 6 ) 6. d Hsildri C ) 6 8. C ) 6. C ) 6. C d ) 6. C e ) 6. d Hsildri sin ) 7. d Hsildri sin ) 7. sin ) )os. sin ) ) os. os ) )sin. d sin ) )os. e sin ) )os.
Ulngn Hrin 5. Tentukn f ) duntukf ) 7. Jikf ) sin mktentukn f ) d! 7. Hitung 5 ) d. Hitung lus derh di ntr kurv y dn y - 5. Hitung volum end putr yng terjdi jik derh yng ditsi oleh kurv y - dn sumu X diputr mengelilingi sumu X!