MATERI KULIAH STATISTIKA I PROBABLITAS (Nuryanto, ST., MT)
Pendahuluan Percobaan : proses yang menghasilkan data Ruang Contoh (S) : hasil percobaan himpunan yang memuat semua kemungkinan Kejadian = Event : himpunan bagian dari ruang contoh Misal : Dari sekumpulan 52 kartu bridge S : { sekop, klaver, hati, wajik }, kita hanya tertarik pada kejadian A munculnya kartu yang berwarna merah. A : {hati, wajik } Titik Contoh: Anggota Ruang Contoh/Kejadian Konsep Dasar (Klasik) Peluang
Peluang kejadian A dinotasikan sebagai P(A) Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka : P( A) n N n : banyak titik contoh penyusun Kejadian N : banyak titik contoh dalam Ruang Contoh (S) Nilai Peluang Kejadian A 0 P(A) 1 dan P (S) = 1 Peluang Kejadian yang pasti terjadi P ( ) = 0 Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi
Contoh Percobaan : Pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali S : {sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5, sisi-6} N = 6 Kejadian A: Munculnya sisi dadu bernilai GENAP dalam pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali A {sisi-2, sisi-4, sisi-6} n = 3 Peluang kejadian A: P ( n A ) N 1 2 05.
1. Kaidah Penggandaan = Kaidah Perkalian Kaidah Penggandaan: Jika Penghitungan Banyak Titik Contoh operasi ke-1 dapat dilakukan dalam n1 cara operasi ke-2 dapat dilakukan dalam n2 cara : : operasi ke-k dapat dilakukan dalam nk cara maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 n 2 nk cara
Contoh Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 3, 4, 6, 7, dan 8 a. jika semua angka boleh berulang? 5 5 5 5 = 625 b. jika angka tidak boleh berulang? 5 4 3 2 = 120 c. jika bilangan tersebut: GANJIL dan angka tidak boleh berulang? 4 3 2 2 = 48 d. Berapa peluang bilangan yang muncul adalah bilangan GANJIL dan angka tidak berulang (lihat Kejadian c) pada kondisi pembentukan bilangan 4 digit, angka boleh berulang (lihat Kejadian A) n = 48 N = 625 P(C) = n N 48 625
Permutasi Permutasi sejumlah obyek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan/posisi tertentu. Dalam permutasi urutan/posisi diperhatikan!!! Misal: Dari huruf A, B, C permutasi yang mungkin: ABC ACB BAC BCA CAB CBA. Permutasi = 6 = 3 2 1= 3! Dalil-1 Permutasi: Banyaknya Permutasi n benda yang berbeda adalah n! Konsep Bilangan Faktorial n! = n (n-1) (n-2)... 2 1 0! = 1 1! = 1 100! = 100 99! 100! = 100 99 98!, dst
Contoh Berapa cara menyusun bola lampu merah, biru, kuning dan hijau? Terdapat 4 objek berbeda : merah, kuning, biru dan hijau 4! = 4 3 2 1 = 24 Berapa peluang susunan lampu tersebut adalah Kuning-Biru- Hijau-Merah? P(KBHM) = 1 24
Permutasi Dalil-2 Permutasi : Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah : n Pr n! ( n r)! Perhatikan dalam contoh ini urutan/posisi obyek sangat diperhatikan! Contoh : Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang berbeda. Undian urutan pertama akan memperoleh rumah, undian urutan kedua memperoleh mobil dan undian urutan ketiga memperoleh paket wisata ke Eropa. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk? 40! 40! 40 39 38 37! P = 59280 ( 40 3)! 37! 37! 40 3 Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) =
Permutasi Dalil-3 Permutasi Melingkar: Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)! Contoh : Enam orang bermain bridge dalam susunan melingkar. Berapa susunan yang mungkin dibentuk? n = 6 maka permutasi melingkar = (6-1)! = 5! = 5 4 3 2 1 = 120 Sampai Dalil ke-3, kita telah membahas permutasi untuk benda-benda yang berbeda. Perhatikan permutasi ABC, terdapat 3 objek yang jelas berbeda. Bagaimana jika kita harus berhadapan dengan A1A2B1B2C1C2 dan A1=A2=A dan B1=B2=B dan C1=C2= C? Dalil-4 Permutasi Obyek yang Sama: Banyaknya permutasi untuk sejumlah n benda di mana jenis/kelompok pertama berjumlah n1 jenis/kelompok kedua berjumlah n2 : : : jenis/kelompok ke-k berjumlah nk
Kombinasi Kombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek adalah susunan r obyek tanpa memperhatikan urutan/posisi Misalkan: Kombinasi 3 dari 3 obyek A, B dan C adalah: ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA ( Hanya terdapat 1 kombinasi) Dalil-1 Kombinasi : Kombinasi r dari n obyek adalah C n r n! r!( n r)!
Contoh Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang sama. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk? 40 40! 40! C 3 3! ( 40 3)! 3! 37! 40 39 38 37! = 9880 3! 37! Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) =
Kaidah Perkalian & Kombinasi Dalam banyak soal, kaidah penggandaan/perkalian dan kombinasi seringkali digunakan bersama-sama. Contoh : Manajer SDM mengajukan 10 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 3 calon dari Kantor cabang dan 2 dari Program Pelatihan manajer. (a) Berapa cara Manajer SDM dapat memilih 6 manajer baru dengan ketentuan 3 berasal dari Kantor Pusat. 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan manajer? 5 Pemilihan 3 dari 5 calon dari Kantor Pusat = C 5! 3 3! 2! 10 3 Pemilihan 2 dari 3 calon dari Kantor Cabang = C 3! 2 2! 1! 3 2 Pemilihan 1 dari 2 calon dari Program Pelatihan = C 2! 1 1! 1! 2
Berapa cara memilih 6 dari 10 kandidat manajer? N = Pemilihan 6 dari 10 kandidat manajer = C 210 6 10 10! 6!4! Berapa peluang 6 manajer baru tersebut terdiri dari 3 dari Kantor Pusat, 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan? P(manajer) = n N 60 210
SOAL LATIHAN
3. Pengolahan Peluang 3.1 Konsep dasar Peluang n N Peluang Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka P( A) : banyak titik contoh penyusun Kejadian A : banyak titik contoh dalam Ruang Contoh (S) 3.2 Kaidah Penjumlahan Peluang Kejadian n N Dalil 1. Kaidah Penjumlahan Peluang Kejadian Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) atau P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) A B = kejadian A atau B A B = kejadian A dan B
Frekuensi Harapan Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut. F h = n P(A) Perhatikan contoh berikut untuk lebih memahami. Contoh Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} n(s) = 8 A = {AGG, GAG, GGA} n(a) = 3 Fh(A) = n P(A) = 240 ( ) ( ) = 240 x = 90 kali
Contoh : Menurut catatan sebuah Bank, peluang Industri Manufakturing memperoleh kredit adalah 0.35. Sedangkan peluang Industri yang Padat Karya = 0.45. Peluang Industri yang tergolong Manufakturing atau Padat Karya = 0.25. Berapakah Peluang Industri Manufakturing dan Padat Karya memperoleh Kredit? (0.35 + 0.45-0.25 = 0.55) Konsekuensi 1. Kaidah Penjumlahan Peluang Bila A dan B adalah kejadian Saling Terpisah (A B= ), maka :P(A B)=P(A)+ P(B) Contoh : Berapakah peluang munculnya kartu bernilai 7 berwarna merah (A) atau bernilai 7 dengan hitam(b) pada pengambilan sebuah kartu secara acak dari seperangkat kartu bridge? Pada pengambilan sebuah kartu tidaklah mungkin mendapatkan kartu bernilai 7 berwarna merah sekaligus berwarna hitam (A B= ) P( A B) 2 2 52 4 52 52 1 13
Konsekuensi 2. Kaidah Penjumlahan Peluang Bila A1, A2,..., Ak saling terpisah, maka : P(A1 A2... Ak) = P(A1) + P(A2) +... + P(Ak) Dalil 2. Kaidah Penjumlahan Peluang Jika A dan A' adalah 2 kejadian yang berkomplemen, maka : P(A) + P(A')= 1 Contoh : Peluang seorang mahasiswa tidak lulus ujian = 0.30, Peluang seorang mahasiswa lulus ujian = 1-0.30 = 0.70 karena: Jika kejadian A = TIDAK lulus ujian dan P(A) = 0.30 maka kejadian A = LULUS sehingga P(A) = 1 - P(A) = 1-0.30 = 0.70
3.3 Peluang Bersyarat Peluang Bersyarat berlaku untuk penetapan peluang kejadian yang tidak bebas. Kejadian-kejadian yang bergantung dengan kejadian lain disebut : Kejadian Tidak Bebas. Contoh kejadian tidak bebas : pengambilan sampel tanpa pemulihan Tanpa pemulihan = anggota sampel yang telah terambil tidak dikembalikan ke dalam ruang contoh (S). Kejadian yang terjadi tanpa bergantung dengan kejadian lain disebut Kejadian Bebas. Contoh kejadian bebas : pengambilan sampel dengan pemulihan Dengan pemulihan = anggota sampel yang telah terambil dikembalikan ke dalam ruang contoh (S)
Notasi Peluang Bersyarat : P(B A) Dibaca : "Peluang terjadinya B, bila A telah terjadi" atau Contoh : "Peluang B, jika peluang A diketahui Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan tanpa pemulihan Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM MERAH) = Peluang Bola ketiga berwarna Hitam = P (HITAM HITAM MERAH) = Peluang Bola keempat berwarna Merah = P(MERAH HITAM HITAM MERAH) =
Definisi Peluang Bersyarat secara umum : Perhatikan : P(B A) P(A B) P(A B) = P (B A) P( A B) P( B A) P( A) P(A) 0 Contoh : Peluang KRL berangkat tepat waktup(b) = 0.50 Peluang KRL datang ke tepat waktu P(D) = 0.40 Peluang KRL berangkat dan datang tepat waktu P(B D) = 0.30 Peluang KRL akan datang tepat waktu setelah berangkat tepat waktu? P( D B) P( B D) P( B) 0. 3 0. 6 0. 5 Peluang KRL akan berangkat tepat waktu setelah datang tepat waktu? P( B D) P( B D) P( D) 0. 3 0. 4 0. 75 Definisi : Dua Kejadian A dan B dikatakan bebas jika : P(BA) = P(B) atau P(AB) = P(A) Bila hal itu tidak dipenuhi, A dan B dikatakan tidak bebas
3.4 Kaidah Penggandaan Peluang = Kaidah perkalian peluang Penghitungan peluang beberapa kejadian yang dapat terjadi sekaligus. Dalil 1. Kaidah Perkalian Peluang Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B dapat terjadi sekaligus, maka : P(A B) = P(A) P(B A) = P(B A) = P(B) P(A B) Ingat : A B dibaca sebagai kejadian A dan B Contoh Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan tanpa pemulihan a) Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM MERAH) = Peluang Bola pertama Merah dan Bola kedua Hitam x =
Dalil 2. Kaidah Perkalian Peluang Kejadian Bebas Bila A dan B adalah kejadian bebas, maka : P(A B) = P(A) (B) Contoh : Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan dengan pemulihan Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM MERAH) = P(HITAM)= eluang Bola pertama Merah dan Bola kedua Hitam x = Kaidah Penggandaan Peluang (secara umum) Dalil 3. Kaidah Penggandaan Peluang (secara umum) Bila dalam suatu percobaan kejadian A1, A2,..., Ak, maka : P(A1 A2 A3... Ak) = P(A ) P(A2 A1) P(A3 A1 A2).... P(Ak A1 A2 A3... Ak-1)
1. Hitunglah frekuensi harapan pada percobaan pelemparan 2 buah dadu sekaligus sebanyak 108 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya A = {(x, y) x = 3}, x adalah dadu pertama dan y adalah dadu kedua. 2. Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya: a. nomor dadu ganjil, b. nomor dadu tidak ganjil? 3. Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang berurutan, sebuah kartu diambil dari dalam kantong secara acak, misal A adalah kejadian bahwa yang terambil kartu bernomor genap dan B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil. a. Selidiki apakah kejadian A dan B saling asing. b. Tentukan peluan kejadian A atau B. 4. Pada pelemparan sebuah dadu sekaligus. A adalah kejadian keluarnya dadu pertama angka 3 dan B adalah kejadian keluarnya dadu kedua angka 5. Berapakah peluang terjadinya A, B, dan A B. 5. Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil kedua-duanya bola merah. SOAL LATIHAN
SELAMAT BELAJAR!