MENYELESAIKAN PERSOALAN TRANSPORTASI DENGAN KENDALA CAMPURAN J. K. Sari, A. Karma, M. D. H. Gamal junikartika.sari@ymail.com Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (89), Indonesia ABSTRACT A new algorithm of transportation that is more-for-less (MFL) algorithm has been used to solve transportation problems with mixed constraints. The proposed of this transportation problem is to determine how many product that should shipped from each sources to each destination. Hence each demand from each destination can be fulflled with minimum total shipping cost. ywords: transportation problem, mixed constraint, more-for-less. PENDAHULUAN Persoalan transportasi adalah bentuk khusus dari persoalan program linear yang berhubungan dengan pengalokasian suatu komuditas tunggal dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Persoalan transportasi dapat ditemukan dalam industri, jaringan komunikasi, penjadwalan, jasa pengiriman dan lain-lain. Atas dasar kenyataan bahwa rute pengiriman yang berbeda akan menghasilkan biaya pengiriman yang berbeda, maka tujuan pemecahan persoalan transportasi adalah menentukan berapa banyak sejenis komuditas yang harus dikirim dari setiap sumber ke sejumlah tujuan sehingga permintaan dari setiap tujuan terpenuhi dengan total biaya pengiriman minimum. Dalam persoalan transportasi yang diinginkan adalah persoalan transportasi yang seimbang dengan jumlah persediaan sama dengan jumlah permintaan. Akan tetapi dalam kenyataanya tidak dapat dipastikan bahwa persoalan transportasi selalu seimbang, sebab sering dijumpai persoalan transportasi dengan jumlah persediaan melebihi permintaan atau sebaliknya. Persoalan yang demikian, dimana jumlah persediaan tidak sama dengan jumlah permintaan disebut ketidakseimbangan transportasi. Persoalan transportasi merupakan kasus khusus dalam masalah program linear yang dapat diselesaikan dengan metode simplex trasportasi. Untuk menentukan solusi awal dapat digunakan metode pojok barat laut, metode biaya minimum, atau metode Vogel. Disini penulis akan membahas tentang algoritma more-for-less untuk menyelesaikan persoalan transportasi dengan kendala campuran yang ditulis oleh Pandian dan Natarajan
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran dengan judul A New Approach for Solving Transportation Problems with Mixed Constraints [8] dan beberapa buku pendukung lainnya. Yang mana Pandian dan Natarajan mencari solusi yang optimal menggunakan metode pojok barat laut untuk menentukan solusi awal dan selanjutnya menggunakan uji optimalitas [8]. Sedangkan penulis menyelesaikan persoalan transportasi dengan kendala campuran dengan menggunakan VAM (method approximation Vogel) untuk menentukan solusi awal dan menggunakan indeks matriks variabel dual dan teorema MFL untuk menentukan solusi optimal. Algoritma ini mudah dimengerti dan diaplikasikan untuk menyelesaikan persoalan transportasi dengan kendala campuran.. PERSOALAN TRANSPORTASI DENGAN KENDALA CAMPURAN Dalam bab ini dibahas tentang penyelesaian persoalan transportasi dengan kendala campuran dengan menggunakan algoritma more-for-less. Pembahasan ini dimulai dengan menentukan solusi awal dengan menggunakan metode Vogel dan menggunakan indeks matriks variabel dual dan teorema MFL untuk menentukan solusi optimal. Pandian dan Natarajan[8] menyarankan sebuah masalah batas terkecil yang diperoleh dengan menukarkan semua pertidaksamaan pada kendala campuran diubah menjadi ke bentuk persamaan, dimana pada ruas kanan dari pertidaksamaan adalah nilai terkecil dari persediaan dan permintaan. Sehingga diperoleh model matematika masalah batas terkecil adalah sebagai berikut: min z = kendala i= c ij x ij j= x ij = s i,i U j= x ij =,i V j= x ij = s i,i W j= x ij = d j,j Q i= x ij =,j T i= x ij = d j,j S i= x ij, i =,,,m;j =,,,n. dengan U,V,W adalah himpunan terpisah dengan U V W = (,,...,m) dan Q,T,S adalah himpunan terpisah dengan Q T S = (,,...,n). Dalam menyelesaikan persoalan transportasi, terdapat banyak metode untuk menentukan solusi awal, antara lain metode pojok barat laut, metode biaya minimum, dan metode Vogel. prakteknya diketahui bahwa Vogel memberikan solusi awal yang ()
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran mendekati optimal, bahkan sering kali memberikan hasil yang optimal [4, hal:8]. Berikut dibahas metode untuk menentukan solusi awal, yaitu metode Vogel. Metode Vogel merupakan cara terbaik dibanding metode pojok barat ataupun metode biaya minimum. Berikut langkah-langkah yang ditempuh dalam penggunaan metode Vogel adalah. Hitung penalti untuk tiap kolom dan baris dengan cara mengurangkan biaya terendah pertama dengan biaya terendah berikutnya.. Selidiki kolom atau baris dengan penalti terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin pada sel dengan biaya terkecil, sesuaikan dengan persediaan dengan permintaan. mudian ditandai kolom atau baris yang sudah terpenuhi. Apabila terdapat dua buah kolom atau baris yang terpenuhi secara simultan, maka pilih salah satu yang ditandai sehingga persediaan atau permintaan pada baris atau kolom yang terpilih adalah nol. Setiap baris atau kolom dengan persediaan atau permintaan sama dengan nol, tidak akan terbawa lagi dalam perhitungan penalti berikutnya.. (a) Apabila tersisa satu kolom atau baris yang belum ditandai, stop. (b) Apabila tersisa satu kolom atau baris dengan persediaan atau permintaan positif belum ditandai, tentukan variabel basis pada kolom atau baris dengan metode biaya minimum. (c) Apabila semua baris dan kolom yang belum ditandai mempunyai persediaan dan permintaan sama dengan nol, tentukan variabel-variabel basis yang berharga nol dengan metode biaya minimum. mudian stop. (d) Jika a, b dan c tidak terjadi, hitung kembali penalti untuk baris atau kolom yang belum ditandai. mbali ke nomor. Setelah solusi awal dengan digunakan metode Vogel diperoleh selanjutnya menggunakan indeks matriks variabel dual u i dan v j yang berkorespondensi dengan sel (i,j), dengan menjumlahkan u i dan v j. Apabila terdapat u i +v j yang bernilai negatif maka dapat dibuat persoalan transportasi baru dengan kendala campuran [8].. ALGORITMA MORE-FOR-LESS Dalam persoalan transportasi yang diinginkan adalah persoalan transportasi yang seimbang dengan jumlah persediaan sama dengan jumlah permintaan yang mana kendalakendala persoalan transportasi seimbang. Akan tetapi dalam kenyataanya terdapat persoalan transportsi dengan kendala campuran, secara umum persoalan transportasi dengan
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran 4 kendala campuran dapat ditulis sebagai berikut [8]: min z = c ij x ij kendala i= j= x ij s i,i U j= x ij s i,i V j= x ij = s i,i W j= x ij d j,j Q i= x ij d j,j T i= x ij = d j,j S i= x ij, i =,,,m;j =,,,n. () dengan U,V,W adalah himpunan terpisah dengan U V W = (,,...,m) dan Q,T,S adalah himpunan terpisah dengan Q T S = (,,...,n). Persoalan transportasi dengan kendala campuran diselesaikan dengan menggunakan algoritma more-for-less. Secara ringkas, algoritma more-for-less untuk persoalan transportasi dengan kendala campuran adalah sebagai berikut: Langkah. Membuat model matematika dari persoalan transportasi dengan kendala campuran dengan bentuk umum program linear (). Langkah. Setelah diperoleh model matematika dari persoalan transportasi dengan kendala campuran, selanjutnya dibuat tabel persoalan transportasi dengan kendala campuran. Langkah. Membentuk masalah batas terkecil dari persoalan transportasi dengan kendala campuran.. Dimulai dengan membuat model matematika masalah batas terkecil dari persoalan transportasi dengan kendala campuran dengan menukarkan semua pertidaksamaan pada kendala diubah menjadi ke bentuk persamaan, dimana pada ruas kanan dari pertidaksamaan adalah nilai terkecil dari persediaan dan permintaan, bentuk umum program linear yang dapat dilihat pada persamaan ().. mudian dibuat tabel persoalan transportasi masalah batas terkecil dari persamaan (). Langkah. Menentukan solusi awal.. Sebelum menentukan solusi awal, pastikan persoalan transportasi tersebut adalah persoalan transportasi yang seimbang. Apabila terdapat persoalan transportasi yang tak seimbang dapat menambahkan sumber atau tujuan dummy agar metode dapat diterapkan.
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran 5. mudian dapat ditentukan solusi awal dengan menggunakan metode Vogel, proses penggunaan metode Vogel telah disajikan pada Bab sebelumnya. Langkah 4. Menguji keoptimalan solusi awal. Setelah diperoleh solusi awal dengan menggunakan metode Vogel, solusi awal tersebut dialokasikan ke bentuk tabel persoalan transportsi dengan kendala campuran. mudian ditentukan indeks matriks dari solusi awal dengan menentukan variabel dual u i dan v j yang berkorespondensi dengan sel (i,j), dengan menjumlahkan u i dan v j. Langkah 5. Dilakukan proses identifikasi u i +v j yang bernilai negatif pada sel (i,j). Apabila terdapat u i +v j yang bernilai negatif maka dapat dibuat persoalan transportasi baru dengan kendala campuran berdasarkan teorema MFL [8]. Langkah 6. Setelah diperoleh persoalan transportasi dengan kendala campuran yang baru, kembali ke langkah sampai langkah 4 untuk menguji keoptimalan solusi. Apabila tidak ada lagi u i +v j yang bernilai negatif, maka solusi dapat dikatakan sudah optimal. 4. CONTOH PERSOALAN TRANSPORTASI DENGAN KENDALA CAMPURAN Misalkan suatu perusahaan memiliki pabrik dan gudang di enam lokasi berbeda. Pabrik menyediakan barang sebanyak 6 unit. Terjadi peningkatan ketersediaan bahan baku hal ini menyebabkan pabrik dapat memproduksi lebih banyak barang dari biasanya yaitu unit. Sedangkan di pabrik, terjadi gangguan listrik yang mengakibatkan beberapa mesin tidak dapat bekerja hal ini menyebabkan pabrik hanya dapat memproduksi barang maksimal sebanyak unit. Pada gudang permintaan barang sebanyak 9 unit. Permintaan pada gudang setidaknya harus terpenuhi sebanyak unit. Dan karna keterbatasan kapasitas dari gudang, maka permintaan pabrik maksimal sebanyak unit. Biaya pengiriman satu jenis barang per unit antara pabrik dan gudang dapat dilihat pada Tabel. Tabel : Contoh Persoalan dari/ke Pabrik 4 Pabrik 6 Pabrik 8 9 9 Untuk menentukan solusi optimal persoalan tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan algoritma more-for-less. Untuk menyelesaikan persoalan transportasi tersebut dimulai dengan langkah nol. Langkah. Dibuat model matematika dari persoalan transportasi ini, dapat ditulis sebagai berikut: min z = x +x +4x +6x +x +x +8x +9x +x ndala pada persoalan transportasi terdiri dari beberapa kendala yaitu, kendala persediaan, kendala permintaan, dan kendala tak negatif dan integer.
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran 6 ndala persediaan: ndala permintaan: ndala tak negatif dan integer: x +x +x = 6 x +x +x x +x +x. x +x +x = 9 x +x +x x +x +x. x ij dan integer. Langkah. Setelah diperoleh model matematika dari persoalan transportasi dengan kendala campuran, selanjutnya dibuat tabel transportasi dengan kendala campuran seperti Tabel. Tabel : Contoh Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran Pabrik Pabrik Pabrik 4 6 8 9 = 6 Permintaan = 9 Langkah. Membentuk masalah batas terkecil.. Dimulai dengan membentuk model matematika masalah batas terkecil dari persoalan transportasi dengan kendala campuran dengan menukarkan semua pertidaksamaan pada kendala diubah menjadi ke bentuk persamaan, dimana pada ruas kanan dari pertidaksamaan adalah nilai terkecil dari persediaan dan permintaan. Dapat ditulis sebagai berikut: min z = x +x +4x +6x +x +x +8x +9x +x ndala pada persoalan transportasi terdiri dari beberapa kendala yaitu, kendala persediaan, kendala permintaan, dan kendala tak negatif dan integer. ndala persediaan: x +x +x = 6 x +x +x = x +x +x =.
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran 7 ndala permintaan: x +x +x = 9 x +x +x = x +x +x =. ndala tak negatif dan integer: x ij dan integer.. mudian dibuat tabel persoalan transportasi dari masalah batas terkecil yang dapat dilihat pada Tabel. Tabel : Contoh Masalah Batas Terkecil dari Persoalan Transportasi Pabrik Pabrik Pabrik 4 6 8 9 = 6 Permintaan = 9 = Langkah. Menentukan solusi awal.. Sebelum menentukan solusi awal, pastikan persoalan transportasi tersebut adalah persoalan transportasi yang seimbang. Apabila terdapat persoalan transportasi yang tak seimbang dapat menambahkan sumber atau tujuan dummy agar metode dapat diterapkan. Dalam persoalan transportasi ini permintaan melebihi persediaan, agar persoalan ini seimbang tambahkan satu baris sumber dummy dengan jumlah persediaan sebanyak unit dengan biaya sama dengan. Persoalan transportasi yang sudah seimbang dapat dilihat pada Tabel 4.
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran 8 Tabel 4: seimbangan Transportasi dengan Penambahan Sumber Dummy Pabrik Pabrik Pabrik Pabrik Dummy 4 6 8 9 6 Permintaan 9 Setelah persoalan transportasi diseimbangkan seperti terlihat Tabel 4 dapat ditentukan solusi awal menggunakan metode Vogel seperti terlihat pada Tabel 5. Tabel 5: Persoalan Transportasi dengan Menggunakan Metode Vogel Pabrik Pabrik Pabrik Pabrik Dummy 4 6 8 9 Penalti Baris 6 6 Permintaan 9 Pelati Kolom Sebagai contoh perhitungan penalti, pandang baris pertama. Nilai c ij terkecil pertama adalah untuk c. Dan nilai c ij terkecil kedua adalah untuk c. Sehingga penalti baris adalah selisih antara dua nilai, -=. Semua baris dan kolom yang lain dihitung dengan cara yang sama. Penalti terbesar pada tabel ini adalah 6 terdapat pada baris. Alokasikan sebanyak mungkin pada baris ini dengan biaya terkecil, dalam hal ini biaya terkecil adalah c. Dengan jumlah yang dialokasikan padax =min{,}. Sekarangtabelharusdisesuaikanuntukmenunjukkanpersediaan di pabrik telah terpakai habis dengan cara menghapus kolom. Tabel dapat disesuaikan dengan perhitungan ulang penalti dan alokasi kedua akan ditunjukkan pada Tabel 6.
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran 9 Tabel 6: Metode Vogel dengan Pengalokasiaan Pabrik Pabrik Pabrik Pabrik Dummy 4 6 8 9 Penalti Baris 6 - Permintaan 9 4 Pelati Kolom Selanjutnya pilih kolom untuk alokasi kedua karena kolom memiliki penalti, yaitu. Alokasikan sebanyak mungkin pada variabel x 4 karena memiliki nilai c ij terkecil yaitu. Jumlah yang akan dialokasikan ke x 4 =min{,}. Alokasi ini menghilangkan baris 4 dan mengurangi permintaan kolom menjadi 4. Proses alokasi dan penghitungan penalti diteruskan sampai semua persediaan dan permintaan terpenuhi. Sehingga diperoleh solusi awal dengan menggunakan metode Vogel adalah x =6, x =, x =4, x =, x =, x 4 = dan variabel lainnya adalah variabel nonbasis yang bernilai nol yang dapat dilihat pada Tabel 7. Tabel 7: Solusi Awal dengan Menggunakan Metode Vogel Pabrik Pabrik Pabrik Pabrik Dummy 6 4 6 4 8 9 6 Permintaan 9 Setelah diperoleh solusi awal bentuk tabel persoalan transportasi dengan kendala campuran dengan solusi awal yang telah diperoleh, dapat dilihat seperti Tabel 8.
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran Dengan total biaya transportasi adalah sebagai berikut: z = ().(6)+(6).()+().()+().()+().() = 6 Tabel 8: Solusi Awal Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran Pabrik Pabrik Pabrik 6 4 6 8 9 = 6 Permintaan = 9 Langkah 4. Menguji keoptimalan solusi. Pada tabel simplex z ij = u i +v j merupakan bagian dari baris. Pada baris merupakan variabel basis yang z ij c ij =. Seperti terlihat pada Tabel 8 sebagai solusi awal, maka untuk variabel basis diperoleh u i +v j = c ij u +v = u +v = 6 u +v = u +v = u +v =. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, tetapkan nilai salah satu dari variabel. Ditetapkan u =, maka dengan demikian diperoleh u = 4, u =, u =, v = 6, u =, u =. mudian bentuk indeks matriks variabel dual u i dan v j yang berkorespondensi dengan sel (i,j) yang telah diperoleh, selanjutnya dilakukan penjumlahan untuk u i dan v j yang dapat telihat pada Tabel 9. ()
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran Tabel 9: Indeks Matriks Variabel Dual Variabel Dual - - -4 6 7 4 6 Langkah 5. Terdapat u i +v j yang bernilai negatif pada baris, kolom, kolom maka diperoleh persoalan transportasi dengan kendala campuran baru berdasarkan teorema MFL [8]. Dengan model matematika sebagai berikut: min z = x +x +4x +6x +x +x +8x +9x +x ndala pada persoalan transportasi terdiri dari beberapa kendala yaitu, kendala persediaan, kendala permintaan, dan kendala tak negatif dan integer. ndala persediaan: ndala permintaan: ndala tak negatif dan integer: x +x +x 6 x +x +x x +x +x. x +x +x 9 x +x +x x +x +x =. x ij dan integer. Dengan tabel persoalan transportasi dengan kendala campuran baru dapat dilihat pada Tabel.
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran Tabel : Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran Baru Pabrik 4 6 Pabrik Pabrik 6 8 9 Permintaan 9 mudian kembali ke langkah sampai langkah 4 sehingga diperoleh solusi optimal berdasarkan indeks variabel dual u i dan v j yang berkorespondensi dengan sel (i,j) yang diperoleh dengan menjumlahan untuk u i dan v j yang dapat telihat pada Tabel. Tabel : Indeks Matriks Variabel Dual yang Bernilai Positif Variabel Dual 4 Dapat dilihat pada Tabel semua indeks matriks variabel dual bernilai positif, solusi dikatakan solusi optimal untuk persoalan transportasi kendala campuran baru. Hal ini menunjukkan bahwa berdasarkan teorema MFL [8] solusi optimal more-for-less untuk persoalan transportasi dengan kendala campuran adalah x =9, x =, x =, x =, x =. Dengan total biaya transportasi adalah 58. Kombinasi pabrik-gudang untuk perusahaan adalah pabrik -gudang dengan alokasi 9 unit produk, pabrik - gudang dengan alokasi unit produk, pabrik -gudang dengan alokasi unit produk, pabrik -gudang dengan alokasi unit produk, pabrik -gudang dengan alokasi unit produk dengan total biaya transportasi 58 (dalam satuan mata uang). 5. KESIMPULAN Dalam menyelesaikan persoalan transportasi dengan kendala campuran, dengan menggunakan sebuah algoritma transportasi yaitu algoritma MFL, yang bertujuan untuk menemukan sebuah solusi yang optimal sehingga diperoleh total biaya transportasi yang minimum.
Juni Kartika Sari et al. Persoalan Transportasi dengan ndala Campuran DAFTAR PUSTAKA [] Adlakha, V., Krzysztof, K, R.R. Vemuganti, & Benjamin, L. 6. More-for-less algorithma for fixed-charge transportation problems. International Journal of Management Science. 5:6-7. [] Adlakha, V., Krzysztof, K & Benjamin, L. 6. Solving transportation problems with mixed constrains. International Journal of Management Science. :47-5. [] Bazaraa, M., J. Jarvis, & H. D. Sherali. 99. Linear Programing and Network Flows. Wiley, New York. [4] Bronson, R. 996. Riset Operasi. Penerbit Erlangga, Jakarta. [5] Gamal, M. D. H. 7. Program Linear dan Integer. Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Riau, Pekanbaru. [6] Hillier, F. S. & G. J. Liberman. 99. Pengantar Riset Operasi Edisi kelima: Jilid. Terjemahan dari Introduction to Operations Research, oleh Gunawan, E. S & Wirda, A. M. Penerbit Erlangga, Jakarta. [7] Kakiay, T.J. 8. Pemograman Linear: Metode dan Problema. CV. Andi Offset. Yogyakarta. [8] Pandian, P & Natarajan, G.. A new approach for solving for transportation problems with mixed constrains. Journal of Physical Sciences. Vol 4: 5-6. [9] Taha, H. A. 996. Riset Operasi edisi kelima: jilid. Terj. dari Introduction to Research Operations, oleh Wirajaya, D. Penerbit Binarupa Aksara, Jakarta. [] Winston, W. L. 4. Operations Research: Applications and Algorithm. PWS KENT Publishing Company, Belmont, California.