ANALISIS BIAYA FUZZY DALAM SISTEM TRANSPORTASI FUZZY FUZZY COST ANALYSIS IN FUZZY TRANSPORTATION SYSTEM Gita Sari Adriani, Pardi Affandi, M. Ahsar Karim Program Studi Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat e-mail : gitamipamtk@gmail.com ABSTRAK Dalam kehidupan sehari-hari, baik disadari maupun tidak, orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhan. Dari masalah optimasi tersebut, banyak metode maupun teknik yang digunakan. Salah satu metode yang telah berkembang dalam teori optimasi adalah model transportasi fuzzy. Model transportasi fuzzy merupakan salah satu model optimasi yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk ke tempat tujuan secara optimal. Dimana parameter-parameternya seperti nilai permintaan dan penawaraya berupa bilangan fuzzy, sedangkan untuk biaya yang digunakan biasanya bilangan tegas. Penelitian kali ini mengangkat tentang model transportasi fuzzy yang mana semua parameter-parameternya akan dibawa ke dalam bentuk bilangan fuzzy. Tujuan penelitian ini adalah untuk memperoleh solusi penyelesaian analisis biaya fuzzy dalam menggunakan sistem transportasi fuzzy. Adapun metode penelitian, yaitu membawa nilai permintaan, penawaran dan biaya fuzzy kedalam bentuk αα cccccc dan γγ cccccc, kemudian mencari solusi awal dan solusi optimal masalah transportasi fuzzy menggunakan metode biaya terkecil dan metode stepping stone. Dari hasil penelitian menunjukkan bahwa analisis biaya fuzzy dapat dijadikan salah satu alternatife tambahan untuk menyelesaikan masalah transportasi fuzzy. Dengan menggunakan penyelesaian analisis biaya fuzzy hasil penyelesaian yang diperoleh lebih optimal dibandingkan dengan tanpa analisis biaya fuzzy. Kata kunci: Model Transportasi, Sistem Transportasi Fuzzy, Analisis Biaya Fuzzy 1. PENDAHULUAN Permasalahan transportasi merupakan permasalahan yang sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Masalah transportasi merupakan bentuk khusus dari program linear yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan transportasi untuk meminimalkan biaya, jarak tempuh dan sebagainya sehingga dapat memaksimalkan keuntungan yang diperoleh. Hal ini dikarenakan tujuan dari adanya masalah transportasi adalah untuk menentukan jumlah yang optimal dari barang yang akan diangkut dari berbagai sumber ke berbagai tujuan sehingga dapat meminimalkan total biaya transportasi. Adapun parameterparameter masalah transportasi, yaitu biaya, nilai permintaan dan penawaran. Apabila nilai parameter-parameter ini tidak dapat diketahui dengan pasti, maka salah satu solusinya dapat dicari dengan menggunakan operasi himpunan fuzzy (Dimyati, 1992). 2. TINJUAN PUSTAKA Model Transportasi Fuzzy Menurut Kusumadewi (2010), masalah transportasi fuzzy adalah masalah transportasi yang terjadi apabila jumlah pasokan dan permintaan adalah bilangan fuzzy, sedangkan untuk biaya yang digunakan adalah bilangan tegas. Pada sistem 8
transportasi fuzzy, akan dicari suatu nilai ZZ yang merupakan fungsi tujuan yang akan dioptimasikan pada batasan tertentu dan dimodelkan dalam himpunan fuzzy. Formulasi untuk transportasi fuzzy dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut : Minimumkan : ZZ = CC iiii XX iiii Kendala: XX iiii AA ii XX iiii BB jj Dengan XX iiii 0 dan integer. dimana : AA ii = menyatakan penawaran fuzzy dari sumber ke-i BB jj = menyatakan permintaan fuzzy dari tujuan ke-j CC iiii = menyatakan biaya pengiriman per unit dari sumber i ketujuan j XX iiii = menyatakan jumlah satuan yang dikirim (alokasi angkutan) dari sumber i ketujuan j Variabel keputusan berbentuk matriks berukuran, ii = 1, 2,, dan jj = 1, 2,,, AA ii dan BB jj adalah bilangan fuzzy yang berbentuk AA ii = (aa 1 ii, aa 2 ii, aa ii, aa 4 ii ) dan BB jj = (bb 1 jj, bb 2 jj, bb jj, bb 4 jj ). Operasi penjumlahan dan perkalian merupakan operasi aritmatika fuzzy dan bilangan fuzzy dilambangkan =. Tiaptiap kendala akan direpresentasikan dengan fungsi keanggotaan pada himpunan ke-ii adalah μμ AA ii dan himpunan ke-jj adalah μμ BB ii, sedangkan untuk fungsi goal (tujuan) adalah μμ GG (Mehmet, 2002).. METODE PENELITIAN Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dari berbagai sumber baik buku maupun jurnal yang menunjang dan relevan dengan penelitian yang dilakukan. Adapun prosedur penelitian yaitu mempelajari masalah transportasi biasa, logika fuzzy, himpunan fuzzy, model transportasi fuzzy. Selanjutnya diperoleh penyelesaian analisis biaya fuzzy dalam transportasi fuzzy. Solusi tersebut selanjutnya diaplikasikan pada contoh kasus analisis biaya fuzzy dengan sistem transportasi fuzzy sehingga diperoleh kesimpulan solusi optimal dari masalah biaya fuzzy. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Analisis biaya fuzzy dilakukan agar memperoleh solusi penyelesaian masalah biaya fuzzy dengan menggunakan transportasi fuzzy. Hal ini dikarenakan sistem transportasi fuzzy merupakan salah satu cara yang dapat digunakan apabila parameter-paremeter pada model transportasi biaya pengiriman, nilai permintaan dan penawaran tidak dapat diketahui dengan pasti. Masalah transportasi fuzzy adalah masalah dimana jumlah permintaan dan penawaran berupa bilangan fuzzy. Masalah awal transportasi fuzzy dapat dilihat pada Tabel 1. yang menunjukkan permintaan (demand) dan penawaran (supply) adalah himpunan fuzzy. 9
Tabel 1. Tabel awal masalah transportasi Ke TUJUAN Dari SUMBER 1 2 1 2 Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon SSSSSSSSSSSS XX 11 XX 12 XX 1 AA 1 CC 11 CC 12 CC 1 XX 21 XX 22 XX 2 AA CC 2 21 CC 22 CC 2 XX 1 XX 2 XX CC 1 CC 2 CC DDDDDDDDDDDD BB 1 BB 2 BB AA AA ii = BB jj Berdasarkan Tabel 1. diperoleh formulasi bentuk umum masalah transfotasi fuzzy sebagai berikut: ZZ = CC iiii XX iiii. (1) Kendala: XX iiii = AA ii ii = 1, 2,, XX iiii = BB jj jj = 1, 2,, XX iiii 0 untuk ii = (1,2, ) & jj = (1,2, ) dengan m untuk sumber dan n untuk tujuan. Analisis Biaya Fuzzy dalam Sistem Transportasi Fuzzy Analisis biaya fuzzy dalam sistem transportasi fuzzy dapat dipresentasikan dengan menggunakan himpunan fuzzy, CC iiii, AA ii, dan BB jj. Dengan fungsi keanggotaan μμ AA ii, μμ BB jj dddddd μμ CC iiii dimana: AA ii = aa ii, μμ AA ii (aa ii ) aa ii SSSSSSSS(AA ii) BB jj = bb ii, μμ BB jj (bb jj ) bb jj SSSSSSSS(BB jj ) CC iiii = cc iiii, μμ CC iiii (cc iiii ) cc iiii SSSSSSSS(CC iiii ) Sehingga Persamaan masalah (1). dapat ditulis kembali menjadi: Meminimumkan: ZZ = CC iiii XX iiii. (2) Kendala: 40
XX iiii AA ii, (ii = 1,2,, ) XX iiii BB jj, (jj = 1,2,, ) dengan XX iiii 0 dan integer. Semua unit biaya pengiriman, jumlah penawaran dan jumlah permintaan diasumsikan kedalam bilangan fuzzy, dimana AA ii = (aa 1, aa 2, aa ) dan BB jj = (bb 1, bb 2, bb ) adalah bilangan fuzzy segitiga yang dibawa kedalam bentuk αα cccccc dan untuk unit biaya transportasi yang berupa bilangan fuzzy CC iiii = (, aa 2, aa ) dibawa kedalam γ cccccc. αα cccccc dari AA ii, BB jj : LL UU AA ii αα = AA ii αα, AA ii αα = 2 [aa ii αα(aa 2 ii aa 1 ii ), aa ii αα(aa ii aa 2 ii )]; ii = 1, 2,, BB jj αα = BB jj αα LL, BB jj αα UU = bb jj 1 + αα bb jj 2 bb jj 1, bb jj αα bb jj bb jj 2 ; jj = 1, 2,, dan γγ cccccc dari CC iiii, sebagai: CC iiii γγ = CC iiii αα LL, CC iiii γγ UU = (, cc iiii γγ cc iiii cc iiii 2 ] Interval di atas menunjukkan dimana unit biaya pengiriman, penawaran, dan permintaan terletak pada rentang αα. Sehingga Persamaan masalah (2). dapat ditulis kembali menjadi: Maks : αα Dengan batasan : XX iiii [ AA ii αα ] ; ii = 1, 2,, XX iiii [ BB jj αα ]; jj = 1, 2,, XX iiii 0 dan integer. Untuk memperoleh fungsi keanggotaan μμ ZZ, cukup dengan mencari bentuk fungsi kiri dan fungsi kanan yang tepat dari μμ ZZ, yang setara dengan batas bawah ZZ αα LL dan batas bawah ZZ αα UU dari αα cccccc ZZ. Dimana ZZ αα LL adalah minimum dari ZZ(cc, aa, bb) dan ZZ αα UU adalah maksimum dari ZZ(cc, aa, bb) dapat diformulasikan menjadi: 41
maka diperoleh: Maks αα X ij untuk i = (1,2,) dan j = (1,2,) Fungsi keanggotaan untuk bilangan fuzzy AA ii, BB jj, dan CC iiii dapat ditulis sebagai : 0, AA ii AA ii1, AA ii AA ii AA ii AA ii1 μμ AA ii = AA ii2, AA ii1 < AA ii AA ii2 AA ii1 1 AA ii AA ii2 AA ii, AA ii2 < AA ii AA ii AA ii2 0, BB jj BB 1 jj, BB jj BB jj BB 1 jj BB jj μμ BB jj = BB 2 1 jj BB, BB 1 2 jj < BB jj BB jj jj 1 BB 2 jj BB jj BB 2 jj BB, BB 2 jj < BB jj BB jj jj μμ CC iiii = 1 1, CC iiii CC iiii 2 CC iiii CC iiii 2 CC iiii CC iiii 2, CC iiii 2 CC iiii CC iiii 0, CC iiii CC iiii Contoh Kasus Departemen Logistik mempunyai data sebuah PT.Kayson yang mempunyai pabrik yang berlokasi di kota berbeda dan memproduksi minuman ringan yang dibotolkan. Produk dari ketiga pabrik tersebut didistribusikan ke gudang yang terletak di tiga daerah distribusi. Biaya pengangkutan per krat minuman (dollar), jumlah suplai pada masing-masing pabrik (dalam ribu krat) dan daya tamping pada masing-masing gudang (dalam ribu krat) setiap hari. 42
Tabel 2. Kapasitas produksi di beberapa gudang Gudang Penawaran Minimal Standart Maksimum SS 1 2 9 11 SS 2 8 12 SS 4 9 14 Tabel. Kapasitas produksi yang dibutuhkan oleh perusahaan Daerah pemasaran Permintaan Minimal Rata-rata Maksimum DD 1 2 5 6 DD 2 14 15 17 DD 5 10 1 Tabel 4. Biaya pengiriman per unit dari lokasi sumber ke lokasi tujuan Tujuan Biaya transportasi Sumber DD 1 DD 2 DD SS 1 CC 11 (,,5) CC 12 (, 6,7) CC 1 (, 6,11) SS 2 CC 21 (, 7,9) CC 22 (, 9,15) CC 2 (, 10,18) SS CC 1 (, 9,1) CC 2 (, 9,16) CC (, 9,10) Penyelesaian: Langkah 1: Membuat masalah awal transportasi fuzzy Minimumkan : ZZ = CC iiii XX iiii = (,,5)XX 11 + (, 6,7)XX 12 + (, 6,11)XX 1 + (, 7,9)XX 21 + (, 9,15)XX 22 + (, 10,18)XX 2 +(, 9,1)XX 1 +(, 9,16)XX 2 +(, 9,10)XX Dengan kendala: XX 1jj AA 1 XX 11 + XX 12 + XX 1 (2,9,11) XX 2jj AA 2 XX 21 + XX 22 + XX 2 (,8,12) XX jj AA XX 1 + XX 2 + XX (4,9,14) XX ii1 BB 1 XX 11 + XX 21 + XX 1 (2,5,6) XX ii2 BB 2 XX 12 + XX 22 + XX 2 (14,15,17) 4
XX ii BB XX 1 + XX 2 + XX (5,10,1) XX 11, XX 12, XX 1, XX 21, XX 22, XX 2, XX 1, XX 2, XX 0 dan integer Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Langkah 2 : Membawa masalah awal kedalam bentuk αα cccccc dan γγ cccccc untuk nilai permintaan, penawaran, dan biaya fuzzy, diperoleh: AA 1 αα = AA 11 + αα AA 12 AA 11, AA 1 αα AA 1 AA 12 = [2 + 7αα, 11 2αα] aa 1 1 = 2 + 7αα & aa 2 1 = 11 2αα AA 2 αα = AA 21 + αα AA 22 AA 21, AA 2 αα AA 2 AA 22 = [ + 5αα, 12 4αα] aa 1 2 = + 5αα & aa 2 2 = 12 4αα AA αα = AA 1 + αα AA 2 AA 1, AA αα AA AA 2 = [4 + 5αα, 14 5αα] aa 1 = 4 + 5αα & aa 2 = 14 5αα BB 1 αα = BB 1 1 + αα BB 1 2 BB 1 1, BB 1 αα BB 1 BB 1 2 = [2 + αα, 6 αα] bb 1 1 = 2 + αα & bb 1 2 = 6 αα BB 2 αα = BB 2 1 + αα BB 2 2 BB 2 1, BB 2 αα BB 2 BB 2 2 = [14 + αα, 15 2αα] bb 2 1 = 14 + αα & bb 2 2 = 15 2αα BB αα = BB 1 + αα BB 2 BB 1, BB αα BB BB 2 = [5 + 5αα, 1 αα] bb 1 = 5 + 5αα & bb 2 = 1 αα γγ cccccc untuk nilai biaya fuzzy, maka diperoleh: CC 11 γγ =, CC 11 γγ CC 11 CC 11 = [, 5 2γγ] CC 12 γγ =, CC 12 γγ CC 12 CC 12 = [, 7 γγ] CC 1 γγ =, CC 1 γγ CC 1 CC 1 = [, 11 6γγ] CC 21 γγ =, CC 21 γγ CC 21 CC 21 = [, 9 2γγ] CC 22 γγ =, CC 22 γγ CC 22 CC 22 = [, 15 6γγ] CC 2 γγ =, CC 2 γγ CC 2 CC 2 = [, 18 8γγ] CC 1 γγ =, CC 1 γγ CC 1 CC 1 = [, 1 4γγ] CC 2 γγ =, CC 2 γγ CC 2 CC 2 = [, 16 7γγ] CC γγ =, CC γγ CC CC = [, 10 γγ] Langkah : Menentukan nilai αα dan γγ Dari permasalahan di atas terlihat bahwa aa ii bb jj yang berarti tidak seimbang, maka pada kolom tujuan akan ditambahkan duy, yaitu: bb 4 jj = aa ii bb jj = (7 11αα) (21 + 9αα) = 16 20αα ii jj Untuk γγ adalah titik perpotongan garis CC iiii = CC iiii (γγ) dan titik potong γγ yang berada di dalam [0,1] adalah 0, 1, 2, dan 1. Interval yang berulang adalah 4 0, 1 4, 1 4, 2, 2, 1 sekarang untuk interval γγ 0, 1 4, maka penyelesaian masalah transportasi dengan jumlah fuzzy. 44
Langkah 4 : Menentukan solusi awal masalah transportasi fuzzy dengan menggunakan metode biaya terkecil. Solusi awal menggunakan metode biaya terkecil ditentukan dengan mengisi sel kosong yang masih dapat diisi dengan biaya paling kecil. Jumlah yang dialokasikan pada sel kosong tersebut (XX iiii ) tidak boleh melebihi jumlah penawaran pada sumber i dan jumlah permintaan pada tujuan j. Diperoleh hasil yang ditunjukkan pada Tabel 5. Tabel 5. Nilai awal masalah transportasi fuzzy Demand Supply bb 1 jj = 2 + αα bb 2 jj = 14 + αα bb jj = 5 + 5αα aa ii 1 = 11 2αα aa ii 2 = 12 4αα aa ii = 14 5αα CC 11 = 5 2γγ CC 21 = 9 2γγ CC 1 = 1 4γγ CC 12 = 7 γγ CC 22 = 15 6γγ CC 2 = 16 7γγ CC 1 = 11 5γγ CC 2 = 18 8γγ Tabel 6. Solusi Akhir dengan menggunakan Metode Biaya Terkecil DD 1 DD 2 DD DD Penawaran 4 bb jj 4 = 16 20αα CC 14 = 0 CC 24 = 0 CC = 10 γγ CC 4 = 0 SS 1 2 5 9 7 11 0 11 SS 2 9 5 15 18 7 0 12 SS 1 16 5 10 9 0 14 Permintaan 2 14 5 16 Jadi biaya yang dikeluarkan adalah: Z = 2(5)+9(7)+5(15)+7(0)+5(10)+9(0)=198 Langkah 5 : Menentukan solusi optimal pada masalah transportasi diatas, dengan menggunakan metode Stepping Stone dan diperoleh hasil yang ditunjukkan pada Tabel 7. Tabel 7. Solusi Optimal dengan αα = 0 dan γγ [0,1/4] Demand Supply bb 1 1 = 2 + αα bb 1 2 = 14 + αα bb 1 = 5 + 5αα bb 1 4 = 16 20αα aa 2 1 = 11 2αα 11 2αα CC 11 = 5 2γγ CC 12 = 7 γγ CC 1 = 11 5γγ CC 14 = 0 aa 2 2 = 12 4αα 2 + αα + αα 7 10αα CC 21 = 9 2γγ CC 22 = 15 6γγ CC 2 = 18 8γγ CC 24 = 0 aa 2 = 14 5αα 5 + 5αα 9 10αα 45
CC 1 = 1 4γγ CC 2 = 16 7γγ CC = 10 γγ CC 4 = 0 Dari Tabel 7. diperoleh XX 24 = 7 10αα dan hal tersebut melanggar kondisi dimana nilai yang dihasilkan negatife. Dengan demikian, solusi optimal ini berlaku untuk selang αα [0, 7/10]. Jadi, solusi yang optimal dan layak untuk interval αα adalah 0, 7 dan [ 7, 8 ]. 10 10 10 Tabel 8. Solusi Akhir Masalah Transpotasi untuk γγ [ 1, 2 ] dan 4 [2, 1] γ αα [0, 1 4 ] [1 4, 2 ] [2, 1] 7 [0, 10 ] [ 7 10, 8 10 ] XX 12 = 11 2αα XX 12 = 11 2αα XX 11 = 2 + αα XX 21 = 2 + αα XX 21 = 2 + αα XX 12 = 9 5αα XX 22 = + αα XX 22 = + αα XX 22 = 5 + 6αα XX 24 = 7 10αα XX 24 = 7 10αα XX 24 = 7 10αα XX = 5 + 5αα XX = 5 + 5αα XX = 5 + 5αα XX 4 = 9 10αα XX 4 = 9 10αα XX 4 = 9 10αα XX 12 = 11 2αα XX 12 = 11 2αα XX 11 = 2 + αα XX 21 = 2 + αα XX 21 = 2 + αα XX 12 = 9 5αα XX 22 = 10 7αα XX 22 = 10 7αα XX 22 = 12 4αα XX 2 = 7 + 10αα XX 2 = 7 + 10αα XX 2 = 7 + 10αα XX = 5 + 5αα XX = 5 + 5αα XX = 5 + 5αα XX 4 = 16 20αα XX 4 = 16 20αα XX 4 = 16 20αα Langkah 6 : Menentukan nilai Z (fungsi tujuan) Dari hasil perhitungan solusi akhir masalah transpotasi untuk γγ [ 1, 2 ] dan 4 2, 1 pada Tabel 8. diperoleh hasil yang dapat dilihat pada Tabel 9. sebagai berikut : Tabel 9. Hasil nilai ZZ (fungsi tujuan) untuk γγ [ 1, 2 ] dan 4 [2, 1] γγ αα 0 1/4 2/ 1 0 190 179 164 149 7/10 265,6 250,5 227,2 208,7 8/10 277,4 261, 26,5 217,4 Dari tabel di atas terlihat bahwa semakin besar nilai γγ cccccc maka nilai ZZ (fungsi tujuan) semakin kecil begitu juga sebaliknya. Hal ini menunjukkan bahwa nilai γγ mengoptimalkan solusi akhir menjadi lebih optimal, jika dibandingkan tanpa adanya nilai γγ (biaya fuzzy). 46
5. KESIMPULAN Penyelesaian biaya fuzzy sama dengan penyelesaian sistem transportasi fuzzy pada umumnya. Biaya fuzzy dapat ditentukan dengan mengubahnya kedalam bentuk γγ cccccc sehingga menghasilkan persamaan analisis biaya fuzzy. Dari hasil perhitungang analisis biaya fuzzy menunjukkan bahwa semakin besar nilai γγ cccccc maka nilai ZZ (fungsi tujuan) semakin kecil begitu juga sebaliknya. Hal ini menunjukkan bahwa nilai γγ mengoptimalkan solusi akhir menjadi lebih optimal, jika dibandingkan tanpa adanya nilai γγ (biaya fuzzy). 6. DAFTAR PUSTAKA Dimyati, A. 1992. Operations Research : Model-model Pengambilan Keputusan. Bandung : Sinar Baru Algensindo. Kusumadewi, S & Hari. P. 2010. Aplikasi Logika Fuzzy untuk Pendukung Keputusan Edisi 2. Graha Ilmu. Yogykarta Mehmet, dkk. 2002. Transportation of the fuzzy amounts using the fuzzy cost. Journal of Marmara for Pure and Applied Sciences (2002) Vol. 18. Page.141-157. 47