K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn menggunkn teorem fktor. 3. Menentukn hsil gi dengn pemgin khusus suku nyk. 4. Mengusi konsep jumlh dn hsil kli kr-kr persmn suku nyk. p() = 0 (x ) fktor p(x) : (x ) x = kr n x n + n x n + n x n + n 3 x n 3 +... + 0 = 0 TEOREMA VIETTA TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR x x...x n x n = ( ) n 0 n x x + x x + x x 4 +... + x n x n = n n x + x + x 3 +... + x n = n n x n x n + x n... + n PEMBAGIAN KHUSUS x n + + n + x + x n n x x n n x + x n + x n + x n 4 +... + n x n x n + x n 3... + n
A. TEOREMA FAKTOR Jik suku nyk p(x) digi oleh (x k), mk (x k) dlh fktor dri p(x) jik dn hny jik p(k) = 0. Keterngn: x = k dlh kr dri p(x) = 0. Contoh Sol 3 Jik (x 5) dlh slh stu fktor dri x x 7x 5, mk nili dlh... Pemhsn: Misl p(x) = x 3 x 7x 5 Oleh kren x 5 dlh fktor dri p(x), mk: 3 5 ( 5) 7( 5) 5 = 0 5 5 35 5 = 0 5 + 75 = 0 = 3 Jdi, nili dlh 3. B. FAKTOR-FAKTOR LINEAR Fktor-fktor liner dlh fktor-fktor sutu suku nyk yng memiliki derjt tertinggi stu. Contohny dlh x 3, x, dn seginy. Sutu suku nyk p(x) erderjt n memiliki fktor liner mksiml senyk n fktor, dn tidk semu suku nyk memiliki fktor liner. n n n Misl p( x)= n x + n x + n x +... + 0. Lngkh-lngkh menentukn fktor liner dri p(x) dlh segi erikut.. Tentukn kr-kr dugn erdsrkn rumus k =± fktor 0. fktor. Uji kr dugn ke dlm skem Horner. Akr dugn k kn menjdi kr sutu suku nyk jik nili sisny dlh nol tu p(k) = 0. 3. Jik sudh didptkn kr pertm pd uji skem Horner, teruskn pengujin dengn menggunkn koefisien hsil gi dri skem Horner seelumny. 4. Jik sudh didptkn fktor pngkt du, mk fktor liner is dicri dengn proses fktorissi is tu menggunkn rumus kudrtis. n
Contoh Sol Tentukn fktor liner dri x 3 + x x 8! Pemhsn: Misl p(x) = x 3 + x x 8 Menentukn kr dugn: fktor( -8) k =± fktor() k =±, k =±, k =± 4, k =± 8 Uji kr dugn pd tel Horner: Uji k = - -8 k = 0 0 p() = -8 Oleh kren p() 0, mk x = ukn kr dn (x ) ukn fktor liner p(x). Uji k = - - -8 k = - 0 0 - p(-) = -6 Oleh kren p( ) 0, mk x = ukn kr dn (x + ) ukn fktor liner p(x). Uji k = - -8 k = 6 8 3 4 p() = 0 Oleh kren p() = 0, mk x = dlh kr dn (x ) dlh fktor liner p(x). Pencrin fktor liner lin dri fktor kudrt: Dri tel Horner terkhir, didptkn fktor liner yitu (x ) dn fktor kudrt yitu x + 3x + 4. Fktor kudrt x + 3x + 4 tidk dpt difktorkn dn tidk pul memiliki kr irrsionl, kren nili diskriminnny negtif (D < 0). Jdi, p(x) = x 3 + x x 8 hny memiliki stu fktor liner, yitu x. 3
Contoh Sol 3 Tentukn semu kr dn fktor liner dri x 4 + x 3 3x x +! Pemhsn: Misl p(x) = x 4 + x 3 3x x + Menentukn kr dugn: fktor ( ) k =± fktor () k =±, ±, ± 3, ± 4, ± 6, ± Uji kr dugn pd skem Horner: Uji k = -3 - k = - - - - p() = 0 Oleh kren p() = 0, mk x = merupkn kr dn (x ) merupkn fktor liner dri p(x). Uji k = - - - k = - - - - p(-) = 0 Oleh kren p(-) = 0, mk x = - merupkn kr dn (x + ) merupkn fktor liner dri p(x). Pencrin fktor liner lin dri fktor kudrt: Dri skem Horner terkhir, didptkn fktor kudrtny dlh x + x yng dpt difktorkn menjdi (x + 4)(x 3). Jdi, fktor-fktor liner dri p(x) = x 4 + x 3 3x x + dlh (x ), (x + ), (x 3), (x + 4). Contoh Sol 4 4 3 Jik slh stu kr dri x + mx + 37x 33x 0 dlh, mk tentukn nili m dn kr-kr persmn yng lin! 4
Pemhsn: 4 3 Mislkn p(x) = x + mx + 37x 33x 0 Oleh kren x = merupkn kr dri p(x), mk: 4 3 + m( ) + 37( ) 33 ( ) 0 = 0 6 + 8m + 48 66 0 = 0 8m + 88= 0 m = Dengn demikin, suku nykny menjdi: 4 3 p( x)= x x + 37x 33x 0 Untuk mencri kr-kr linny, gunkn skem Horner dengn menggunkn kr yng sudh dikethui, yitu x =. - 37-33 -0 x = -8 38 0-9 9 5 sis = 0 Dri skem Horner terseut, dpt dikethui hw hsil gi msih dlm fktor pngkt tig. Untuk itu, kit perlu menco dengn kr dugn yng lin. Setelh dico dengn kr dugn yng dimil dri fktor 5, didptkn kr lin yitu x = 5. -9 9 5 x = 5 5-0 -5-4 - sis = 0 Dri skem Horner terseut, dpt dikethui hw hsil gi sudh dlm fktor pngkt du, yitu x 4x. Untuk mencri kr dri x 4x = 0, dpt digunkn rumus kudrtis, dengn =, = -4, dn c = -. x x x x 34, 34, 34, 3, 4c = ± 4 4 4 = ( )± ( ) () 4 0 = ± 4 = ± 5 () ( ) 4 3 Jdi, kr-kr lin dri x + mx + 37x 33x 0 selin dlh 5, + 5, dn 5. 5
Contoh Sol 5 Jik x 4x + 4 dlh slh stu fktor dri x 4 7x 3 + mx + nx + 0. Nili m + n dlh... Pemhsn: Cr pertm: Bentuk fktor x 4x + 4 dpt dinytkn dengn (x )(x ). Dengn kt lin, x = dn x = dlh kr-kr dri x 4 7x 3 + mx + nx + 0 = 0 Gunkn x = pd skem Horner: -7 m n 0 x = -0 m 0 4m + n 40-5 m 0 m + n 0 4m + n 0 = 0 4m+ n 0 = 0 4m+ n= 0 m+ n= 0... () Gunkn x = pd skem Horner erikutny: sis -5 m 0-0 x = -6 m 3-3 m 6 m 4 = 0 m 4 = 0 m = 4 m = Sustitusi m = ke persmn () ( )+ n = 0 4 + n = 0 n = 3 Jdi nili m + n = + ( 3) =. sis 6
Cr kedu: Dengn menggunkn metode horner yng diperlus: -7 m n 0 4 x 4-4m 64 X -4 x x -4-4m + 64-3 m 6 4m + n 5-4m + 84 Hsil gi Sis gi Dengn demikin, sis gi dinytkn s(x) = (4m + n 5) + (-4m + 84) Oleh kren x 4x + 4 fktor, sehingg: 4m+ n 5= 0 4m+ n= 5...() Berlku jug: 4m + 84= 0 4m = 84 m =...() Sustitusikn m = ke persmn (): 4m+ n= 5 4( )+ n = 5 84 + n = 5 n = 3 Jdi, m + n = + (-3) = -. Contoh Sol 6 Jik x 5 + x 3 x 8x 36 mempunyi fktor x 3 + x + x + 6, mk slh stu fktor yng lin dlh... Pemhsn: Oleh kren x 3 + x + x + 6 sulit dikethui fktor-fktor linerny, mk gunkn skem Horner yng diperlus. 7
0 - -8-36 - - - - -6-6 6 6 - - 5-0 -6 4 Fktor pngkt du Sis pemgin S(x) = ( 5)x + ( 0)x + ( 6 4) Oleh kren x 3 + x + x + 6 fktor, mk: ( 5)x + ( 0)x + ( 6 4) 0x + 0x + 0 Dengn demikin, diperoleh: 5 = 0 = 5 Fktor kudrtny: x x ( ) Dengn sustitusi = 5 didpt fktor kudrt erikut. x x 6 = (x 3)(x + ) Jdi, fktor liner linny dlh (x 3) dn (x + ). Sis Contoh Sol 7 Bentuk x 4 + 7x + 6 dpt difktorkn menjdi... Pemhsn: Bil dik-dik menco dengn x yng merupkn fktor dri ±6, mk tidk kn ditemukn x yng memut suku nyk x 4 + 7x + 6 ernili nol. Untuk menyelesiknny, perhtikn cr erikut. ( ) + + 4 x + 7x + 6 = x + x+ x cx 4 4 3 6 x + 7x + 6 = x + c+ x ( ) + + + 6 + 6 + c x c x + 6 Dengn memndingkn koefisien suku-suku sejenis, didptkn: c + = 0 tu c = -...() 8
6 + c + = 7...( ) 6 + c = 0...(3) Sutitusikn persmn () ke persmn () dn (3), sehingg diperoleh: 6 + ( ) + = 7 6 + = 7...(4) 6 + ( ) = 0 6 = 0 6 = 6= 6 = 0 ( 6) = 0 ( 4)( + 4) = 0 Nili yng memenuhi persmn di ts dlh = 0 tu = 4 tu = 4. Untuk = 0, dri persmn () didpt c = 0. Dri persmn () didpt: 6 + 0 + = 7 7+ 6 = 0 Tidk d nili yng memenuhi, kren persmn kudrt di ts tidk memiliki kr penyelesin yng rel. Misl = 4 6 + = 7 4 + 4= 7 = =± 9
Untuk = 4, dri persmn (4) didpt: 6 + 4= 7 4 8 = 7 = =± Dri persmn (), untuk =, mk c =, sehingg didpt persmn: 4 6 x + 7x + 6 = ( x + x+ ) x + cx+ 4 x + 7x + 6 = x + x+ 4 x x+ 4 ( )( ) Hsil yng sm untuk = - dn c =. Sementr itu, untuk = -4, dri persmn (4) didpt: 6 4= 7 4 8 = 7 = 5 Tidk d nili yng memenuhi, kren hsil sellu leih esr tu sm dengn nol. Jdi, entuk x 4 + 7x + 6 dpt difktorkn menjdi ( x + x+4) ( x x+ 4). C. PEMBAGIAN KHUSUS SUKU BANYAK Berdsrkn teorem fktor dn skem Horner, diperoleh: n n x n n n n. = x + x + x 3 + +... x. 3. n n x x+ x n+ n+ + x+ n n n 3 n = x x + x... + Dengn n dlh ilngn sli. n n n n = x x + x... + 0
Contoh Sol 8 Tentukn hsil gi suku nyk:. (x 5 5 ) : (x ). (x 7 + 7 ) : (x + ) Pemhsn:. (x 5 5 ) : (x ) Dengn rumus pemgin khusus suku nyk, diperoleh: 5 5 x x 4 3 3 4 = x + x + x + x + 4 3 3 4 = x + x + x + x+ Dengn skem Horner, diperoleh: 0 0 0 0-5 3 4 5 3 4 0 Koefisien hsil gi 4 3 3 4 Jdi, hsil giny dlh x + x + x + x+. (x 7 + 7 ) : (x + ) Dengn rumus pemgin khusus suku nyk, diperoleh: 7 7 x + x+ 6 5 4 3 3 4 5 6 = x x + x x + x x + 6 5 4 3 3 4 = x x + x x + x 5 6 x+ Dengn skem Horner, diperoleh: 0 0 0 0 0 0 7 - - - 3 4-5 6-7 - - 3 4-5 6 0 Koefisien hsil gi 6 5 4 3 3 4 5 6 Jdi, hsil giny dlh x x + x x + x x+
Contoh Sol 9 p 4 4 p q + q =... Pemhsn: p 4 4 p q + q ( p ) ( q ) = p + q Mislkn p = x, q = y, mk entuk di ts dpt ditulis: x y x+ y 0 9 = x x y+ x y... + y p p 0 q p 9 = ( ) ( ) + ( ) ( q ) 0 8 4 = p p q + p q... + q... +( q ) Jdi, hsil p 4 4 p q + q dlh 0 8 4 p p q p q q + +. D. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN SUKU BANYAK. Persmn Suku Bnyk Persmn suku nyk P n (x) = 0 memiliki kr-kr x, x,..., x n. Jik nili-nili kr tidk mudh dikethui, opersi-opersi penjumlhn dn perklin tetp dpt mudh dilkukn dengn menggunkn teorem kr-kr viett. Opersi-opersi kr untuk persmn derjt, x + x + c = 0, dengn kr-kr x dn x dlh segi erikut.. x+ x = c. x x = Opersi-opersi kr untuk persmn derjt 3, x + x + cx + d = 0, dengn kr-kr x, x, x 3 dlh segi erikut.. x+ x + x3 =. xx + xx + x x = 3. xx x 3 3 3 = d c 3
. Persmn Suku Bnyk Berderjt n Persmn suku nyk erderjt n dinytkn segi: x + x + x +... + x+ = n n n n n n 0 0 Jik kr-kr suku nyk terseut dlh x, x, x 3,..., x n mk: n x+ x + x3 +... + xn = n xx + xx 3+... + xn xn = n n xx x3 + xxx4 +... + xn xn xn =... xx x3... xn = ( ) n Contoh Sol 0 0 n n 3 n 3 Jik kr-kr persmn suku nyk x + 4x 3x 5= 0 dlh x, x, x 3, mk hitunglh:. x + x + x 3. x x + x x 3 + x x 3 c. x, x, x 3 d. x + x + x e. 3 + + x x x3 Pemhsn: Dikethui: =, = 4, c = -3, dn d = -5. Dengn demikin, diperoleh:. x+ x + x3 = x+ x + x3 = 4 c. xx + xx + x x = xx + xx + x x = d c. xx x3 = xx x3 = 5 3 3 3 3 3 3
3 3 d. x + x + x = ( x + x + x ) ( xx + xx + x x ) e. 3 x + x + x = ( 4) ( 3) 3 x + x + x = 6 + 6 3 x + x + x = xx3 + xx 3+ xx 3 + + = = x x x xx x 5 3 3 3 3 Contoh Sol 3 Dikethui x, x, dn x 3 merupkn kr-kr persmn x 0x 74 x+ q= 0. Jik x = x + x 3, mk nili q dlh... Pemhsn: Dikethui: =, = -0, c = 4, d = q, dengn demikin diperoleh: x+ x + x3 = x+ ( x + x3) = 0 Oleh kren x = x + x 3 tu x + x 3 = x mk: x + x = 0 x = 0 x = 5 Oleh kren kr dikethui, sustitusikn dengn skem Horner -0-74 q -5-5 75-5 -5 q 5 = 0 Jdi, nili q 5= 0 q= 5. Contoh Sol 3 Jik α, β, dn γ merupkn kr-kr persmn x + p= 4x 36x dn α = β, mk α β γ =... Pemhsn: 3 3 Persmn x + p= 4x 36x dpt diuh menjdi x 4x 36x+ p= 0 4
Dikethui α = β sehingg α + β =0. Dengn teorem kr viett, diperoleh: α + β + γ = ( α + β) + γ = 4 0+ γ = 4 γ = 4 Oleh kren slh stu krny dikethui, mk nili p dpt ditentukn dengn skem Horner erikut. -4-36 p 4 4 0-44 0-36 p 44 = 0 Nili p = 7. Dengn demikin, nili dri α β γ dpt ditentukn segi erikut. α β γ d = = p = 44 Jdi, nili α β γ dlh 44. Contoh Sol 3 Dikethui x, x, x 3, dn x 4 merupkn kr-kr persmn x 30x + x x + c = 0. Jik x x= x3 x = x4 x3 = 3, mk tentukn nili,, dn c! Pemhsn: Oleh kren x x= x3 x = x4 x3 = 3 mk: x = x + 3; x = x + 3 4 3 x = x + 3= x + 6 3 x = x + 3= x + 9 4 3 Dengn teorem viett, diperoleh: x+ x + x3 + x4 = 30 x+ ( x+ 3) + ( x+ 6) + ( x+ 9) = 30 4x + 8= 6 4x = x = 3 5 4 3
Jdi, x = 3, x = 0, x = 3, x = 6. 3 4 Dengn teorem viett, nili dpt ditentukn segi erikut. c xx + xx 3+ xx 4 + xx3 + xx4 + x3x4 = ( 3) 0+ ( 3) ( 3) + ( 3) ( 6) + 0 3+ 0 6+ 3 6 = 9 = Dengn teorem viett, nili dpt ditentukn segi erikut. d xx x3 + xxx4 + xx 3x4 + xx3x4 = ( 3) 0 ( 3) + ( 3) ( 0) ( 6) + ( 3)( 3)( 6) + ( 0)( 3)( 6) = = 54 Dengn teorem viett, nili c dpt ditentukn segi erikut. e xx x3x4 = ( 3) ( 0) ( 3) ( 6) = c c = 0 Jdi, nili,, dn c erturut-turut dlh -9, -54, dn 0. Contoh Sol 4 3 Jik α, β, dn γ merupkn kr-kr persmn x 4 x + x + = 0 dengn α > β 3 3 > γ, α : β : γ, dn = 4: :, mk α β γ =... Pemhsn: α : β : γ γ = 4: : misl α = 4p; β = p; γ = p Dri teorem viett, diperoleh: α + β + γ = 4 4p+ p+ p = 4 7p = 4 p = Dengn demikin α = 8, β = 4, γ = 3 3 3 3 Jdi, α β γ = 8 4 = 8 6