Permutasi & Kombinasi Dr.Oerip S Santoso MSc
Aturan Pejumlahan dan Perkalian Aturan Penjumlahan Himpunan S dipartisi menjadi subset S1,S2, Sm Jumlah objek di S = jumlah objek dari semua subset Contoh 1: Jenis komputer IBM (3),Apple (2) dan HP (2) Jumlah pilihan ada 3 + 2 + 2 Aturan perkalian Himpunan A punya p elemen dan B punya q elemen Banyaknya kombinasi (a,b) = p x q ( masing2 kombinasi dianggap beda ) Contoh 2: Dua dadu (merah dan hijau) dilempar bersamaan Banyaknya hasil yang beda : 6 x 6 Bila hasilnya tidak boleh ganda : 6 x 5
Contoh 3 : Ada 5 buku berbahasa Spanyol, 6 Perancis dan 8 Cina Pilih 2 buku dari 2 bahasa yang berbeda : Gunakan aturan perkalian Spanyol & Perancis : 5 x 6 Spanyol & Cina : 5 x 8 Perancis & Cina : 6 x 8 Masing2 kemungkinan disjoint,gunakan aturan penjumlahan Jawaban akhir : 30 + 40 + 48 Bila memilih dua buku sembarang : 19 x 18
Jenis Persoalan ada dua yaitu penyusunan dan pemilihan : 1. Permutasi (terurut) : tanpa atau dengan pengulangan 2. Kombinasi (tak terurut) : tanpa atau dengan pengulangan Himpunan ganda (multiset) Seperti himpunan biasa tapi ada elemen yang sama { 3. a, 2. b, 4. c } dimana koefisien tersebut menyatakan bilangan pengulangan Bilangan pengulangan dapat tak terhingga artinya elemen tak terbatas Permutasi dan kombinasi dengan pengulangan = Permutasi dan kombinasi pada himpunan ganda
Contoh 4 : Tersedia enam huruf a, b, c, d, e, f Urutkan (permutasi) tiga huruf. Tanpa pengulangan 6 x 5 x 4 Boleh berulang 6 x 6 x 6 Tanpa pengulangan tapi e harus ada 3 x ( 5 x 4 ) Boleh berulang tapi e harus ada : posisi e ada 3,elemen lain 6 x 6, 3 x (6 x 6 ) salah yang betul adalah : 6 x 6 + 5 x 6 + 5 x 5 Ternyata dua soal yang mirip punya solusi yang sangat berbeda.
Contoh 5 : Hitung banyaknya bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 yang digitnya semua beda. Contoh 6 : 5 apel yang sama dan 8 jeruk yang sama. Hitung banyaknya himpunan tidak kosong yang dapat dibentuk Contoh 7 : Bilangan terdiri dari 7 digit masing2 digit antara { 1,2,..,9 } semua digit berbeda digit 5 & 6 tidak boleh berdekatan Hitung banyaknya bilangan tersebut.
Kombinasi tanpa pengulangan ( r-combination ) Pilih r dari sejumlah n objek, urutan tidak diperhatikan. C ( n, r ) = n! / [ r! ( n r )!], dimana r <= n Contoh 8 : Dari 52 kartu diambil 5 sembarang. Hitung banyaknya kemungkinan bila semuanya sejenis dan hitung juga bila harus ada tepat tiga As. Bila sejenis : 4. C ( 13, 5 ) Bila tepat 3 As : C ( 4, 3 ). C ( 48, 2 ) Contoh 9 : Ada 7 wanita dan 4 pria Pilih 4 tapi paling sedikit 2 wanita Pilih 2 pria dan 2 wanita tapi Mr X dan Mrs Y tidak boleh bersama -sama
Permutasi(penyusunan) dengan pengulangan Urutkan elemen dari multiser jika terdapat k jenis objek beda : Jika bilangan pengulangan tak terhingga,mengurutkan r elemen : k. k... k sebanyak r kali Jika bilangan pengulangan n1,n2,.nk dimana jumlah objek n = n1 + n2 +.+ nk, maka mengurutkan semua elemen P ( n; n1,n2, nk ) = n! / [ n1! n2! nk! ] Jika harus mengurutkan r objek dimana r < n jauh lebih sulit, harus menggunakan fungsi pembangkit Contoh 10 : Permutasikan semua huruf dari MISSISSIPPI Jawab : 11! / [ 1! 4! 4! 2! ]
Kombinasi Multiset Memilih r dari suatu multiset S dengan k jenis objek beda dan Bilangan pengulangan tak terhingga adalah C ( k + r 1, r ) Contoh 11 : Membeli selusin roti dari suatu toko roti yang menjual 8 jenis roti, kemungkinannya adalah C ( 8+12-1, 12 ) Bila diinginkan bahwa tiap jenis roti harus ada, kemungkinan adalah C ( 12 + ( r k ) 1, ( r- k ) ) = C ( r-1, k-1 ) Contoh 12 : Bola merah,biru dan kuning banyak sekali. Pilih 10 bola tapi bola merah paling sedikit 5 Pilih 10 bola tapi bola merah paling banyak 5
Distribusi Objek berbeda = penyusunan Sejumlah r objek beda didistribusikan ke n kotak beda Jika distribusi bebas jawabannya adalah n.n.n..n sebanyak r kali Jika masing2 kotak berisi paling banyak 1 objek, maka jawabannya adalah P ( n, r ) Jika kotak ke-1 isinya r1,.kotak ke-n maka jawabannya adalah P ( r ; r1,r2,,rn ) Contoh 13 : Ada 100 diplomat dikirim ke lima benua. Tentukan kemungkinannya bila distribusi bebas dan bila tiap benua ada 20 diplomat.
Distribusi Objek sama = seleksi Sejumlah r objek yang sama didistribusikan ke n kotak beda Jika masing2 kotak maksimum 1 objek maka jawabnya C ( n, r ) Jika masing2 kotak boleh > 1 objek maka jawabnya C ( r + n 1, r ) Contoh 14 : Membagi 20 bendera merah sama dan 15 bendera biru sama kepada 5 orang anak ada C ( 20 + 5 1, 20 ). C ( 15 +5 1, 15 ) kemungkinan
Contoh 15 : Banyaknya solusi dari persamaan x1 + x2 + x3 + x4 = 12 dimana xi integer positip adalah C ( 12 + 4 1, 12 ) Ekivalensi Memilih r objek dari sejumlah n jenis objek beda dimana bilangan pengulangan tak terhingga Mendistribusikan r objek sama ke n kotak beda Banyaknya solusi beda dari persamaan x1 + x2 +.+ xn = r,dimana xi integer positip