BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Analisis regresi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengetahui hubungan satu arah antara variabel prediktor dan variabel respon yang umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik. Cara untuk mengetahui hubungan antara variabel respon dan prediktor tersebut dapat dilihat melalui bentuk pola hubungan pada scatter plot. Apabila titik-titik data pada scatter plot mengelompok mendekati pola garis lurus, maka hubungan antara variabel prediktor dan respon dapat dikatakan linier, sehingga model regresi yang digunakan adalah model regresi linier. Berdasarkan banyaknya variabel yang dianalisis, analisis regresi linier dikelompokkan menjadi tiga kelompok, yaitu regresi linier sederhana, regresi linier berganda, dan regresi linier multivariat. Regresi linier sederhana merupakan analisis regresi yang menggunakan satu variabel prediktor dan respon. Apabila banyaknya variabel respon satu variabel dan banyaknya variabel prediktor lebih dari satu variabel, maka disebut regresi linier berganda. Regresi linier multivariat merupakan pengembangan regresi linier sederhana dan berganda yang menggunakan variabel prediktor dan respon lebih dari satu variabel. Selain untuk mengetahui pola hubungan antara variabel respon dan prediktor, tujuan lain dari analisis regresi adalah untuk mengestimasi parameter model yang menyatakan hubungan antara variabel prediktor dan variabel respon. Salah satu metode yang sering digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi adalah metode kuadrat terkecil (least square method). Akan tetapi metode kuadrat terkecil bukan metode yang robust terhadap adanya outlier (Rousseeuw dan Leroy [1987]). Metode robust adalah metode yang tidak terpengaruh oleh adanya outlier sehingga memberikan hasil yang terpercaya walaupun terdapat outlier pada data. 1
2 Hasil estimasi parameter dari metode kuadrat terkecil menjadi tidak sesuai meskipun hanya terdapat satu outlier dalam data, sehingga metode kuadrat terkecil bukan metode robust untuk mengestimasi parameter model regresi apabila terdapat outlier pada data. Menurut Ferguson [1961], definisi dari outlier adalah suatu data yang menyimpang dari sekumpulan data yang lain. Demikian pula menurut Barnett dan Lewis [1980] yang mendefinisikan outlier sebagai observasi yang tidak mengikuti sebagian besar pola dan terletak jauh dari pusat data. Salah satu cara untuk mendeteksi adanya outlier pada data adalah menggunakan diagnostik plot. Selain untuk mendeteksi outlier, diagnostik plot juga digunakan untuk memeriksa ketepatan model linier yang digunakan dan menganalisis adanya titik leverage (titik tertentu dari variabel prediktor yang memiliki efek yang besar terhadap nilai estimator dari parameter pada model regresi). Plot yang dimaksud untuk beberapa tujuan tersebut adalah residual plot dan respon plot yang digunakan untuk mengetahui ketepatan model linier yang digunakan dan plot jarak Mahalanobis dari variabel prediktor versus jarak Mahalanobis dari residual untuk mengetahui adanya outlier dari regresi dan titik leverage. Jarak Mahalanobis yang dihitung menggunakan estimator klasik akan menimbulkan adanya masking dan swamping, sehingga digunakan estimator robust untuk menghitung jarak Mahalanobis robust. Terdapat berbagai macam estimator robust untuk lokasi multivariat dan dispersi yang digunakan untuk menghitung jarak Mahalanobis. Salah satunya adalah estimator minimum covariance determinant (MCD) dari Rousseeuw yang merupakan estimator robust lokasi multivariat dan dispersi dengan high breakdown. Untuk meningkatkan efisiensi, digunakan versi reweighted dari estimator minimum covariance determinant (RMCD) untuk mencari estimator robust. Perhitungan estimator MCD membutuhkan waktu yang lama dan terbatas untuk sampel kecil, maka estimator MCD dihitung menggunakan algoritma C-step (Rousseeuw dan Driessen [1999]). Estimator MCD yang menggunakan C-step disebut dengan estimator fast minimum covariance determinant (FMCD). Untuk data kecil, estimator FMCD mampu menemukan estimator MCD secara te-
3 pat dan untuk data besar memberikan hasil yang lebih akurat. Akan tetapi menurut Olive dan Hawkins [2010] estimator FMCD bukan estimator high breakdown dan estimator tersebut hanya menggunakan satu kriteria untuk menentukan attractors yang digunakan yaitu kriteria dari MCD dispersi, sehingga dikembangkan estimator yang menggunakan dua kriteria yaitu kriteria dari dispersi dan lokasi yang disebut estimator reweighted multivariate normal (RMVN). Estimator reweighted multivariate normal (RMVN) adalah estimator yang berguna untuk mengestimasi matriks kovariansi ketika data berasal dari distribusi nomal multivariat, walaupun terdapat outlier dalam data. Oleh karena itu, estimator reweighted multivariate normal (RMVN) merupakan estimator robust. Jadi, untuk mengatasi masalah masking dan swamping yang disebabkan oleh estimator klasik pada pendeteksian outlier digunakan estimator reweighted multivariate normal (RMVN). Selain digunakan pada pendeteksian outlier, estimator reweighted multivariate normal (RMVN) juga digunakan dalam regresi linier multivariat untuk memperoleh hasil estimasi parameter apabila terdapat outlier pada data sebagai alternatif untuk mengatasi metode kuadrat terkecil yang tidak robust terhadap adanya outlier. Berdasarkan permasalahan tersebut, tesis ini membahas diagnostik plot pada regresi linier multivariat untuk memeriksa ketepatan model linier yang digunakan dan mendeteksi outlier serta penggunaan estimator reweighted multivariate normal (RMVN) untuk mengestimasi parameter regresi linier multivariat. 1.2 Tujuan dan Manfaat Penelitian Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dijelaskan di atas, maka tujuan penulisan tesis ini adalah: 1. Mengetahui model regresi linier multivariat beserta estimasinya menggunakan metode kuadrat terkecil. 2. Melakukan diagnostik plot pada model regresi linier multivariat untuk memeriksa ketepatan model linier yang digunakan dan mendeteksi outlier.
4 3. Menghitung estimasi parameter pada model regresi linier multivariat dengan menggunakan estimator reweighted multivariate normal (RMVN). Selanjutnya penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada pembaca dan penulis untuk menambah pengetahuan mengenai diagnostik plot pada regresi linier multivariat untuk memeriksa ketepatan model linier yang digunakan dan mendeteksi adanya outlier, serta mengetahui penerapan estimator reweighted multivariate normal (RMVN) pada model regresi linier multivariat untuk memperoleh estimasi parameter yang robust terhadap adanya outlier. Penelitian ini juga diharapkan dapat dijadikan sebagai bahan referensi untuk peneliti lain yang akan melakukan penelitian lebih lanjut. 1.3 Pembatasan Masalah Pada penelitian ini, batasan masalah sangat diperlukan supaya tidak terjadi penyimpangan dari tujuan awal penelitian. Oleh karena itu, pembahasan hanya difokuskan pada diagnostik plot pada model regresi linier multivariat untuk memeriksa ketepatan model linier yang digunakan dan pendeteksian outlier serta estimasi parameter model regresi linier multivariat menggunakan estimator reweighted multivariate normal (RMVN). 1.4 Tinjauan Pustaka Pembahasan mengenai regresi linier multivariat, penulis menggunakan referensi buku dan jurnal, antara lain Robust Multivariate Regression (Rousseeuw, Aelst, dan Agullo [2003]), Robust Covariance Matrix Estimation with Canonical Correlation Analysis (Olive, Ye, dan Zhang [2012]), Methods of Multivariate Analysis (Rencher [2002]), Linear Models in Statistics (Rencher dan Schaalje [2008]), Introduction to Probability and Mathematical Statistics (Bain dan Engelhardt [1992]), Visualizing and Testing the Multivariate Linear Regression Model (Don, Olive, dan Watagoda [2015]), dan Robust Multivariate Linear Regression (Olive [2013]). Selain itu, penulis juga menggunakan referensi tesis dari Universitas Gadjah Mada terkait penulisan tesis ini seperti tesis yang berjudul Mendeteksi
5 Outlier pada Data Multivariat dalam Beberapa Populasi oleh Noeryanti (2000) dan tesis berjudul Perbandingan Metode MVV dan FMCD dalam mendeteksi pencilan pada suatu observasi data Multivariat Normal oleh Moch. Faruk (2008). 1.5 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian adalah studi literatur. Dalam menganalisis diagnostik plot pada regresi linier multivariat dan penggunaan estimator reweighted multivariate normal (RMVN) untuk pendeteksian outlier serta estimasi parameter regresi linier multivariat yang dilakukan dalam penelitian ini digunakan referensi jurnal-jurnal dan buku-buku penunjang yang berhubungan dengan hal tersebut. Selanjutnya dilakukan studi kasus untuk model regresi linier multivariat yang meliputi diagnostik plot untuk memeriksa ketepatan model linier yang digunakan dan identifikasi adanya outlier, serta mencari estimasi parameter model regresi linier multivariat menggunakan estimator reweighted multivariate normal (RMVN). 1.6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan pada tesis ini terdiri dari lima Bab, yaitu BAB I PEN- DAHULUAN, BAB II LANDASAN TEORI, BAB III ESTIMASI REGRESI LI- NIER MULTIVARIAT, BAB IV STUDI KASUS, BAB V PENUTUP. Berikut ini uraian dari masing-masing bab. BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi Latar Belakang Masalah, Tujuan dan Manfaat Penelitian, Pembatasan Masalah, Tinjauan Pustaka, Metode Penelitian, dan Sistematika Penulisan. BAB II LANDASAN TEORI Bab ini berisi mengenai teori dasar yang menunjang dalam pembahasan penelitian ini, meliputi matriks dan vektor, distribusi kontinu, analisis regresi, pencilan (outlier), metode kuadrat terkecil, estimasi robust, breakdown point, ukuran kebaikan dan efisiensi estimator.
6 BAB III ESTIMASI REGRESI LINIER MULTIVARIAT Bab ini membahas mengenai estimasi regresi linier multivariat menggunakan metode estimasi kuadrat terkecil dan estimasi regresi linier multivariat menggunakan estimator reweighted multivariate normal (RMVN) apabila terdapat outliers pada data, uji diagnostik plot model regresi linier multivariat yang meliputi residual plot, respon plot, dan plot jarak Mahalanobis dari variabel prediktor versus jarak Mahalanobis dari residual menggunakan estimator reweighted multivariate normal (RMVN), dan uji overall model regresi linier multivariat. BAB IV STUDI KASUS Pada bab ini dibahas mengenai hasil penelitian yang telah dilakukan berupa studi kasus menggunakan data simulasi dan data asli dengan bantuan program R. Studi kasus ini menunjukkan bahwa estimator reweighted multivariate normal (RMVN) merupakan metode estimasi yang robust terhadap adanya outliers, membandingkan hasil estimasi parameter menggunakan metode estimasi kuadrat terkecil dan estimator reweighted multivariate normal (RMVN) pada regresi linier multivariat apabila terdapat outliers pada data dengan menggunakan data simulasi, serta pengaplikasian estimator reweighted multivariate normal (RMVN) tersebut untuk mendeteksi adanya outliers dan mengestimasi parameter regresi linier multivariat pada data asli. BAB V PENUTUP Pada bab ini berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran.