K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn mslh. 3. Dpt menggmbr grfik fungsi logritm berdsrkn fungsi tu grfik yng dikethui. 4. Memhmi sift-sift grfik fungsi logritm. 5. Dpt menentukn fungsi logritm dri grfik yng dikethui. 6. Dpt menentukn nili mksimum tu minimum fungsi logritm. A. Definisi Fungsi Logritm Msih ingtkh kmu dengn tngg nd? Slh stu contohny dlh tngg nd myor C D E F G A B C. Pd tngg nd tersebut, nd C (frekuensi 6,6 Hz) dn C (frekuensi 53, Hz) diktkn berjrk oktf. Du nd lin yng msing-msing berfrekuensi 440 Hz dn 0 Hz jug diktkn berjrk oktf. Ini berrti, oktf dlh jrk ntr du nd yng rsio frekuensiny du tu setengh. Penentun nili oktf dlh slh stu pliksi fungsi logritm dlm bidng musik. Bgimn cr memperoleh oktf dri nd C dn C menggunkn fungsi logritm? Mri simk penjelsn berikut.
Dikethui: frekuensi nd C = f = 6,6 Hz; dn frekuensi nd C = f = 53, Hz. f Dengn menggunkn rumus nili oktf = N = log, f₂ > f₁, diperoleh: f N = log 53, = log = oktf 6, 6 Jdi, jrk ntr nd C dn C dlh oktf. Rumus nili oktf diperoleh dri modifiksi bentuk umum fungsi logritm berikut. y = log x x = y dengn y = N, =, dn x = f. f Berdsrkn bentuk umumny, fungsi logritm merupkn invers (keblikn) dri fungsi eksponen, dn seblikny. Dengn demikin, definisi fungsi logritm dlh sebgi berikut. Fungsi f : x y = f(x) = log x disebut fungsi logritm, dengn: x sebgi numerus tu domin fungsi y = f(x). Syrtny x > 0 sehingg D f = {x x > 0; x R}; sebgi bsis (bilngn pokok) logritm. Syrtny > 0 dn ; dn y sebgi derh hsil (rnge) fungsi, yitu R f = {y y R}. B. Nili Fungsi Logritm Untuk menentukn nili sutu fungsi logritm, gunkn sift-sift logritm berikut. Sift-Sift Logritm Jik, b, c, x, y > 0 dengn, dn, b, c R, berlku: x. = b x = logb. logxy = log x + logy x 3. log = logx logy y m 4. log x = m.logx
m 4. log x = m.logx 5. log = log p log = log b b log = b p b log n m m 6. logb = logb n b 7. log b. log c = logc logb 8. = b 9. log = 0. log= 0 Contoh Sol f Intervl ntr du nili frekuensi dpt dinytkn sebgi nili oktf N = log, f dengn f₁ dlh frekuensi bwh dn f₂ dlh frekuensi ts. Tentukn intervl spektrum udio dengn frekuensi 800 Hz 6,4 khz! Pembhsn: Dikethui: f = 800 Hz; dn f₂ = 6,4 khz = 6.400 Hz. f Dengn menggunkn rumus N = log, diperoleh: f N = log 6.400 800 = log8 = log =3 3 Jdi, intervlny dlh 3 oktf. Contoh Sol Hubungn ntr hrg (h) dlm ribun rupih dn permintn x unit brng tertentu dinytkn dengn h(x) =.500.000log (x 8). Jik bnykny permintn 504 unit, tentukn hrg brng tersebut! 3
Pembhsn: Dikethui: h(x) =.500.000log (x 8) x = 504 Dengn mensubstitusikn nili x = 504 pd persmn tersebut, diperoleh: ( ) ( ) h 504 =.500.000log 504 8 =.500.000log.000 =.500.000log0 ( ) =.500.000 3 =8.500 Jdi, hrg brng tersebut dlh 8.500.000 rupih. 3 C. Grfik Fungsi Logritm. Grfik Fungsi y = log x dengn > Untuk mengethui sift-sift grfik fungsi y = log x dengn >, sert hubungnny dengn grfik fungsi y = x, mri simk urin berikut. Agr lebih sederhn, digunkn grfik fungsi y = log x dn y = x. Gmbrkn grfikny dengn cr tbel (substitusi/plot titik). Pd cr tbel, semkin bnyk titik yng digunkn, semkin bik hsil yng diperoleh. Untuk y = log x: x 8 4 4 8 y = log x log 3 = 3 0 3 (x, y) 8, 3 4,, (, 0) (, ) (4, ) (8, 3) 4
Untuk y = x : x 3 0 3 y = x = 3 8 4 4 8 (x, y) 3, 8, 4, (0, ) (, ) (, 4) (3, 8) Selnjutny, plot koordint titik dri fungsi y = log x dn y = x dlm bentuk nokth pd koordint Crtesius. Kemudin, hubungkn nokth-nokth tersebut dengn gris mulus, sehingg diperoleh grfik berikut. Grfik Fungsi y = log x Grfik Fungsi y = x y = log x 0 y = x 0 Grfik Fungsi y = log x dn y = x dlm Bidng Crtesius y = x y = x 0 y = log x 5
Berdsrkn grfik y = log x, dpt disimpulkn beberp sift dri grfik fungsi y = log x dengn > sebgi berikut.. Memotong sumbu- di titik (, 0). b. Terdefinisi untuk x > 0 kren sellu berd di sebelh knn sumbu-. c. Asimtot tegkny dlh gris x = 0 tu sumbu-. Asimtot merupkn gris lurus yng didekti tetpi tidk pernh dipotong oleh sutu kurv. d. Untuk x > x > 0, diperoleh y > y. Artiny, semkin besr nili x, semkin besr pul nili y (fungsi nik). Selnjutny, perhtikn grfik y = log x dn y = x yng digmbrkn dlm bidng Crtesius. Berdsrkn grfik tersebut, dpt dikethui bhw grfik fungsi y = log x merupkn hsil pencerminn dri grfik fungsi y = x terhdp gris y = x. Ini berrti, grfik fungsi y = log x dpt diperoleh dengn mencerminkn grfik fungsi y = x terhdp gris y = x, dn seblikny.. Grfik Fungsi y = log x dengn 0 < < Agr lebih sederhn, digunkn grfik fungsi y = logx. Gmbrkn grfikny dengn cr tbel (substitusi/plot titik). x 8 4 4 8 y = log x log 3 = 3 0 3 (x, y) 8, 3 4,, (, 0) (, ) (4, ) (8, 3) Selnjutny, plot koordint titik dri fungsi y = logx dlm bentuk nokth pd koordint Crtesius. Kemudin, hubungkn nokth-nokth tersebut dengn gris mulus, sehingg diperoleh grfik berikut. 0 y 6 = log x
Berdsrkn grfik y = logx, dpt disimpulkn beberp sift dri grfik fungsi y = log x dengn 0 < < sebgi berikut.. Memotong sumbu- di titik (, 0). b. Terdefinisi untuk x > 0 kren sellu berd di sebelh knn sumbu-. c. Asimtot tegkny dlh gris x = 0 tu sumbu-. d. Untuk x > x > 0, diperoleh y < y. Artiny, semkin besr nili x, semkin kecil nili y (fungsi turun). Jik grfik y = logx dn y = log x digmbrkn dlm bidng Crtesius, kn diperoleh gmbr berikut. y = log x 0 y = log x Berdsrkn gmbr tersebut, dpt dikethui bhw grfik fungsi y = logx merupkn hsil pencerminn grfik fungsi y = log x terhdp sumbu-. Ini berrti, grfik fungsi y = log x dengn 0 < < dpt diperoleh dengn mencerminkn grfik fungsi y = log x dengn > terhdp sumbu-, dn seblikny. Dengn demikin, sift-sift grfik fungsi y = log x dengn > 0 dn dlh sebgi berikut.. Memotong sumbu- di titik (, 0). b. Terdefinisi untuk x > 0 kren sellu berd di sebelh knn sumbu-. c. Asimtot tegkny dlh gris x = 0 tu sumbu-. d. Menghsilkn grfik y = x jik dicerminkn terhdp gris y = x. 7
e. Pencerminn grfik y = log x dengn 0 < < terhdp sumbu- menghsilkn grfik y = log x dengn >, dn seblikny. Sift-sift grfik fungsi y = log x dengn > 0 dn sngt berpern dlm menentukn fungsi logritm dri grfik yng dikethui. Contoh Sol 3 Gmbrlh grfik fungsi y = 3 log (x + ) dn identifiksi sift-siftny! Pembhsn: Gmbrkn grfikny dengn cr tbel (substitusi/ plot titik). x 7 9 5 3 7 y = 3 log (x + ) 0 7 (x,y) 9, 5 3, (, 0) (, ) (7, ) Dengn melukiskn titik-titik tersebut pd koordint Crtesius, diperoleh grfik y = 3 log (x + ) berikut. x = y = 3 log (x + ) 0 7 Kemudin, tentukn sift-sift grfikny. 8
Berdsrkn grfik tersebut, sift-sift grfik y = 3 log (x + ) dlh sebgi berikut.. Memotong sumbu- di titik (, 0). b. Terdefinisi untuk x >. c. Asimtot tegkny dlh gris x =. d. Untuk x > x >, diperoleh y > y (fungsi nik). D. Pergesern Grfik Fungsi Logritm Grfik fungsi y = log (x + b) + c dpt diperoleh dri grfik fungsi y = log x dengn turn pergesern berikut.. Jik grfik digeser ke knn sebesr b stun (serh sumbu- positif), nili b < 0.. Jik grfik digeser ke kiri sebesr b stun (serh sumbu- negtif), nili b > 0. 3. Jik grfik digeser ke ts sebesr c stun (serh sumbu- positif), nili c > 0. 4. Jik grfik digeser ke bwh sebesr c stun (serh sumbu- negtif), nili c < 0. Selin dengn cr tbel, fungsi logritm dpt digmbrkn dengn mencerminkn dn menggeser grfik fungsi linny. Contoh Sol 4 Dikethui grfik berikut. y = 3 x 0 Gmbrlh grfik fungsi y = 3 log (x ) + 4 dengn menggunkn grfik tersebut! 9
Pembhsn: Mul-mul, cerminkn grfik y = 3 x terhdp gris y = x. y = 3 x y = x 0 y = 3 log x Selnjutny, geser grfik y = 3 log x ke knn sejuh stun. x = 0 y = 3 log (x ) Setelh itu, geser grfik y = 3 log (x ) sejuh 4 stun ke ts, sehingg diperoleh grfik y = 3 log (x ) + 4 berikut. 0
x = 4 y = 3 log (x ) + 4 0 E. Menentukn Fungsi Logritm dri Grfik yng Dikethui Lngkh-lngkh menentukn fungsi logritm dri grfik yng dikethui dlh sebgi berikut.. Mislkn fungsiny dlh y = log (x + b) + c.. Substitusikn titik yng dillui grfik ke persmn pd lngkh untuk memperoleh nili, b, dn c. 3. Substitusikn kembli nili, b, dn c yng diperoleh ke persmn pd lngkh. Contoh Sol 5 Tentukn persmn grfik fungsi berikut! 9 8 7 6 5 4 3 4 3 3 4 5 6 7 8 3
Pembhsn: Mislkn fungsiny dlh y = log (x + b) + c... (i) Oleh kren simtotny x =, mk: + b = 0 b = Oleh kren grfik mellui titik (, ), (, ), dn (7, 3), mk substitusikn titik-titik tersebut ke persmn (i). Untuk (, ): = log ( + ) + c log = c c = Untuk (, ): = log ( + ) + log (3) = = 3 Jdi, fungsiny dlh y = 3 log (x + ) +. Super "Solusi Quipper" Lngkh-lngkh menentukn fungsi logritm dri grfik yng dikethui dlh sebgi berikut.. Mislkn fungsiny dlh y = log (x + b) + c.. Tentukn nili b dengn meliht simtotny. Jik simtotny gris x = x₁ mk b = x₁. 3. Tentukn nili linny dengn substitusi nili-nili yng diperoleh dn titik yng dillui kurv ke persmn pd lngkh. Cr ini digunkn untuk meminimlkn bnykny titik yng disubstitusikn.
F. Nili Mksimum tu Minimum Fungsi Logritm Nili mksimum tu minimum fungsi logritm lebih mudh ditentukn jik fungsiny bersl dri y = f(x) = log x dengn numerus berup fungsi g(x), yitu y = f(x) = log g(x). Nili mksimum tu minimum fungsi logritm tersebut dpt ditentukn berdsrkn nili bsisny (), yitu sebgi berikut.. Jik >, mk:. nili fungsi y minimum st numerus (g(x)) minimum; tu b. nili fungsi y mksimum st numerus (g(x)) mksimum.. Jik 0 < <, mk:. nili fungsi y minimum st numerus (g(x)) mksimum; tu b. nili fungsi y mksimum st numerus (g(x)) minimum. Contoh Sol 6 Tentukn nili minimum dri fungsi f(x) = log (x 6x + 5)! Pembhsn: Dikethui fungsi f(x) = log (x 6x + 5) Oleh kren bsis = >, mk f(x) minimum st g(x) = x 6x + 5 minimum. Dri g(x) = x 6x + 5, diperoleh ₁ =, b = 6, dn c = 5. Cttn: penggunn lmbng ₁ untuk menghindri keslhphmn dengn lmbng bsis logritm (). Fungsi g(x) = x 6x + 5 merupkn fungsi kudrt dengn ₁ = > 0 sehingg g(x) memiliki nili minimum. Nili x yng menyebbkn g(x) minimum dlh sebgi berikut. b 6 x = = =3 ( ) () Ini berrti, fungsi g(x) minimum pd x = 3. Selnjutny, tentukn nili minimum fungsi f(x) = log (x 6x + 5). 3
Dengn mensubstitusikn nili x = 3 ke fungsi f(x), diperoleh: ( ) ( ) ( ) f 3 = log 3 6 3 +5 = log 9 8+5 = log6 = log 4 ( ) ( ) =4 Jdi, nili minimum fungsi f(x) = log (x 6x + 5) dlh 4. 4