METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL LINEAR Azhrr Fortun Drno 1, Symsudhuh 2, Aziskhn 2 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus Binwidy Peknbru (28293), Indonesi zhrrfd10@gmil.com ABSTRACT This rticle discusses the ppliction of homotopy nlysis method to solve liner Volterr nd Fredholm integrl equtions of the first nd second kind. To see the dvntges, this method is pplied to the four exmples of liner Volterr nd Fredholm integrl eqution. The results show tht the convergence of the method is very fst to pproximte the exct solution. Keywords: Homotopy nlysis method, Volterr integrl eqution, Fredholm integrl eqution. ABSTRAK Artikel ini membhs penerpn metode nlisis homotopi untuk menyelesin persmn integrl Volterr dn Fredholm liner jenis pertm dn kedu. Untuk meliht kelebihnny, metode ini diterpkn untuk empt contoh persmn integrl Volterr dn Fredholm liner yng berbed. Dri hsil yng didpt terliht bhw konvergensi metode ini sngt cept ke solusi eksk. Kt kunci: Metode nlisis homotopi, persmn integrl Volterr, persmn integrl Fredholm. 1. PENDAHULUAN Dlm ilmu mtemtik sering kli ditemukn berbgi mcm permslhn dlm penyelesin sebuh persmn mtemtik. Slh stu permslhn yng muncul dlh berbentuk persmn integrl. Persmn integrl dlh slh stu lt mtemtik yng pling bergun pd mslh mtemtik murni dn terpn. Secr umum, terdpt du jenis persmn integrl [5, h. 33] yitu persmn integrl Volterr yng bts integrsi ny berup vribel dn persmn integrl Fredholm yng bts integrsiny berup konstnt. Persmn integrl yng kn di bhs dlm penelitin ini dlh persmn integrl Volterr dn Fredholm liner jenis pertm dn kedu. Repository FMIPA 1
Tidk semu permslhn yng dimodelkn ke bentuk persmn integrl dpt diselesikn dengn mudh, bhkn terdpt sutu persmn integrl yng tidk dpt diselesikn secr nlitik. St ini bnyk metode nlitik yng digunkn untuk menyelesikn persmn integrl liner kurng memuskn. Kren penyelesinny tidk dpt memberikn jminn kekonvergenn dri proksimsi derh penyelesinny. Sehingg perlu diperkenlkn sutu teknik nlisis bru yitu Metode Anlisis Homotopi (MAH). Beberp thun terkhir, metode nlisis homotopi sngt populer di klngn ilmuwn sebgi solusi pemechn mslh untuk memechkn persmn integrl [3]. Dlm menyelesikn persmn integrl liner, bnyk metode yng bis digunkn. Beberp metode yng bis digunkn seperti : domin decomposition method, modified decomposition method, vritionl itertion method, successive pproximtions method, dn sebginy yng telh dijelskn pd. Pd penelitin ini penulis kn menggunkn metode nlisis homotopi untuk menyelesikn persmn integrl liner. Artikel ini merupkn review dri rtikel yng ditulis oleh A. Adwi dn F. Awwdeh [1] yng berjudul A Numericl Method for Solving Liner Integrl Equtions. Pembhsn dimuli di bgin du dengn menjelskn metode nlisis homotopi. Selnjutny di bgin tig dibhs tentng metode nlisis homotopi untuk menyelesikn persmn integrl liner, kemudin di bgin empt menyelesikn persmn integrl Volterr dn Fredholm liner dri beberp contoh sol. 2. METODE ANALISIS HOMOTOPI Pd bgin ini dibhs bentuk umum metode nlisis homotopi. Metode nlisis homotopi [4, h. 301] dlh teknik semi nlitik untuk menyelesikn persmn diferensil liner dn nonliner. Metode ini menggunkn konsep homotopi dri topologi untuk menghsilkn solusi konvergen. Mislkn diberikn persmn diferensil N[y(x)] = 0, (1) dimn N dlh opertor nonliner, y(x) dlh fungsi yng tidk dikethui dn x vribel bebs. Kemudin diberikn bentuk homotopi seperti berikut Ĥ[ϕ(x; q); y 0 (x), S(x), h, q] = (1 q)l[ϕ(x; q) y 0 (x)] qhs(x)n[ϕ(x; q)], (2) dengn y 0 (x) menunjukkn pendektn wl dri solusi eksk y(x), h 0 dlh prmeter tmbhn, S(x) 0 dlh fungsi tmbhn, L opertor liner tmbhn dengn L[r(x)] = 0 bil r(x) = 0. Kemudin menggunkn q [0, 1] sebgi prmeter embedding. Mislkn Ĥ[ϕ(x; q), y 0 (x), S(x), h, q] = 0, Repository FMIPA 2
diperoleh persmn deformsi orde nol sebgi berikut (1 q)l[ϕ(x; q) y 0 (x)] = qhs(x)n[ϕ(x; q)]. (3) Berdsrkn persmn (3), ketik q = 0 diperoleh L[ϕ(x; 0) y 0 (x)] =Ĥ[ϕ(x; 0), y 0(x), S(x), h, 0], dn ketik q = 1, persmn (3) menjdi ϕ(x; 0) =y 0 (x), (4) hs(x)n[ϕ(x; 1)] =Ĥ[ϕ(x; 1), y 0(x), S(x), h, 1], ϕ(x; 1) =y(x). (5) Peningktn nili prmeter q dri 0 ke 1 merupkn peningktn dri pendektn wl y 0 (x) ke penyelesin eksk y(x). Dlm kjin topologi, hl ini dikenl dengn deformsi. Ekspnsi Tylor [2, h. 184] dri fungsi ϕ(x; q) menjdi sutu deret pngkt terhdp q ϕ(x; q) = y 0 (x) + y m (x)q m, (6) dengn y m (x) = 1 m! m=1 m ϕ(x; q) q m. (7) q=0 Jik tebkn wl y 0 (x), prmeter liner tmbhn L, prmeter tmbhn h yng bukn nol, dn fungsi tmbhn S(x) dipilih dengn benr, sehingg deret pngkt (6) dri ϕ(x; q) konvergen pd q = 1. Dengn menggunkn persmn (7), mk sumsi penyelesin dri deret (6) dlh Lebih singktny, definisikn vektor y m (x) = ϕ(x; 1) = y 0 (x) + y m (x). m=1 y m (x) = (y 0 (x), y 1 (x), y 2 (x),, y m (x)). Selnjutny jik kedu rus pd persmn (3) diturunkn terhdp q hingg m kli dn mengevlusi pd q = 0 kemudin dibgi oleh m!, mk diperoleh bentuk persmn deformsi orde ke-m berikut L[y m (x) X m y m 1 (x)] =hs(x)r m ( y m 1 (x)), (8) y m (0) =0, dengn R m ( y m 1 (x)) = 1 (m 1)! m 1 N[ϕ(x; q)] q m 1, (9) q=0 Repository FMIPA 3
dn X m = { 0, m 1 1, m > 1. ϕ(x; 1) = y(x) pd st q = 1, mk berdsrkn persmn (6) diperoleh y(x) = y 0 (x) + y m (x), (10) sehingg persmn (10) merupkn penyelesin mslh nonliner yng diberikn pd persmn (1). m=1 3. METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA DAN FREDHOLM LINEAR JENIS PERTAMA DAN KEDUA Pd bgin ini dibhs metode nlisis homotopi untuk menyelesikn persmn integrl Volterr dn Fredholm liner jenis pertm dn kedu. Diberikn bentuk persmn integrl Volterr dn Fredholm liner jenis pertm sebgi berikut g(x) = λ K(x, t)y(t)dt, (11) dimn bts ts dpt berup vribel tu konstnt, λ dlh bilngn kompleks, kernel K(x, t) dn g(x) dlh fungsi yng dikethui, sedngkn y(t) kn ditentukn. Mislkn N[y] = g(x) λ K(x, t)y(t)dt, (12) dri persmn (9) dn (12) diperoleh R( y m 1 (x)) = (1 X m )g(x) λ K(x, t)y m 1 (t)dt. Persmn deformsi orde ke m (8) tereduksi menjdi L[y m (x) X m y m 1 ] = hs(x)[(1 X m )g(x) λ K(x, t)y m 1 (t)dt]. (13) Kemudin mislkn Ly = y, y(x) sebgi pendektn orde nol untuk fungsi yng diinginkn, tebkn wl y 0 (x) = g(x), prmeter tmbhn h yng bukn nol dn fungsi tmbhn S(x), dpt dipilih h = 1 dn S(x) = 1. Kemudin disubstitusikn ke (13) untuk mendptkn rumus itersi sederhn untuk y m (x) y 0 =g(x), y m (x) =y m 1 (x) λ K(x, t)y m 1 (t)dt, m = 1, 2, (14) Repository FMIPA 4
sehingg didpt solusi y(x) dri (11) dlh y(x) = y m (x). m=0 Jik dilkukn itersi smpi n kli mk didpt solusi numerik tu solusi hmpirn untuk y(x) yng dinytkn sebgi berikut ŷ n (x) = n y m (x). m=0 Diberikn bentuk persmn integrl Volterr dn Fredholm liner jenis kedu y(x) = g(x) + λ K(x, t)y(t)dt, (15) dimn bts ts dpt berup vribel tu tetp, λ dlh bilngn kompleks, kernel K(x, t) dn g(x) dlh fungsi yng dikethui, sedngkn y(t) kn ditentukn. Mislkn N[y] = y(x) g(x) λ K(x, t)y(t)dt, (16) dri (9) dn (16) diperoleh R( y m 1 (x)) = y m 1 λ K(x, t)y m 1 (t)dt (1 X m )g(x). Sejln dengn ini persmn deformsi orde ke-m (8) memiliki bentuk L[y m (x) X m y m 1 (x)] =hs(x)[y m 1 (x) λ K(x, t)y m 1 (t)dt (1 X m )g(x)]. (17) Selnjutny, kn ditunjukkn bhw metode proksimsi digunkn untuk memechkn persmn (15), diperoleh dengn pendektn metode nlisis homotopi. Ambil tebkn wl y 0 (x) = g(x), opertor liner tmbhn Ly = y, prmeter tmbhn h yng bukn nol dn fungsi tmbhn S(x), dpt dipilih h = 1 dn S(x) = 1. Kemudin disubstitusikn ke (17) sehingg diperoleh y 0 (x) = g(x), y m (x) = λ K(x, t)y m 1 (t)dt, y(x) = y m (x). m=0 Repository FMIPA 5
Jik dilkukn itersi smpi n kli mk didpt solusi numerik tu solusi hmpirn untuk y(x) yng dinytkn sebgi berikut ŷ n (x) = n y m (x). m=0 4. CONTOH NUMERIK Pd bgin ini dipliksikn metode nlisis homotopi pd du buh contoh untuk memperlihtkn efisiensi solusi numerik metode nlisis homotopi. Contoh 1 Diberikn bentuk persmn integrl Volterr liner jenis kedu berikut y(x) = (1 + x) + x 0 (x t)y(t)dt. Dikethui solusi ekskny y(x) = e x. Pilih y 0 (x) = 1 + x. Solusi. Dengn menggunkn metode nlisis homotopi, mk diperoleh sehingg y 0 (x) = 1 + x y 1 (x) = 1 2 x2 + 1 6 x3 y 2 (x) = 1 24 x4 + 1 120 x5 y 3 (x) = 1 720 x6 + 1 5040 x7,. =. y(x) =y 0 (x) + y 1 (x) + y 2 (x) + y 3 (x) +. =1 + x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + 1 4! x4 + 1 5! x5 + 1 6! x6 + 1 7! x7 +. Perbndingn solusi eksk dn solusi numerik Contoh 1 ditunjukkn pd Tbel 1. Repository FMIPA 6
Tbel 1: Perbndingn solusi eksk dn solusi numerik Contoh 1 x y eksk ŷ 3 (x) Eror 0 1.00000000000000 1.00000000000000 0.00000000000000 0.1 1.10517091807565 1.10517091807540 0.00000000000025 0.2 1.22140275816017 1.22140275809524 0.00000000006493 0.3 1.34985880757600 1.34985880589286 0.00000000168315 0.4 1.49182469764127 1.49182468063492 0.00000001700635 0.5 1.64872127070013 1.64872116815476 0.00000010254537 0.6 1.82211880039051 1.82211835428571 0.00000044610479 0.7 2.01375270747048 2.01375115819444 0.00000154927603 0.8 2.22554092849247 2.22553636571429 0.00000456277818 0.9 2.45960311115695 2.45959126267857 0.00001184847838 1 2.71828182845905 2.71825396825397 0.00002786020508 Contoh 2 Diberikn bentuk persmn integrl Fredholm liner jenis pertm berikut 1 1 2 (e 2 1)ex = e x+t y(t)dt. 0 Dikethui solusi ekskny y(x) = e x. Pilih y 0 (x) = 1 2 (e 1)ex. Solusi. Dengn menggunkn metode nlisis homotopi, mk diperoleh y 0 (x) = 1 (e 1)ex 2 sehingg y 2 (x) = 1 2 (e 1)ex + 11 8 ex+1 5 8 ex 7 8 ex+2 + 1 8 ex+3 y 3 (x) = 1 2 (e 1)ex + 23 8 ex+1 19 16 ex 9 4 ex+2 + 5 8 ex+3 1 16 ex+4,. =. y(x) =y 0 (x) + y 1 (x) + y 2 (x) + y 3 (x) +. = 1 2 (e 1)ex + 1 2 (e 1)ex + 11 8 ex+1 5 8 ex 7 8 ex+2 + 1 8 ex+3 + 1 (e 1)ex 2 + 23 8 ex+1 19 16 ex 9 4 ex+2 + 5 8 ex+3 1 16 ex+4 +. Perbndingn solusi eksk dn solusi numerik Contoh 2 ditunjukkn pd Tbel 2. Repository FMIPA 7
Tbel 2: Perbndingn solusi eksk dn solusi numerik Contoh 2 x y eksk ŷ 3 (x) Eror 0 1.000000000000 0.999992188954 0.000007811046 0.1 1.105170918076 1.105162285535 0.000008632541 0.2 1.221402758160 1.221393217727 0.000009540433 0.3 1.349858807576 1.349848263767 0.000010543809 0.4 1.491824697641 1.491813044930 0.000011652711 0.5 1.648721270700 1.648708392463 0.000012878238 0.6 1.822118800391 1.822104567737 0.000014232654 0.7 2.013752707470 2.013736977956 0.000015729515 0.8 2.225540928492 2.225523544690 0.000017383802 0.9 2.459603111157 2.459583899084 0.000019212073 1 2.718281828459 2.718260595835 0.000021232624 y(x) ŷ 3 (x) Gmbr 1: Solusi eksk y(x) dn solusi numerik ŷ 3 (x). Repository FMIPA 8
Contoh 3 Selesikn persmn integrl Fredholm liner jenis kedu berikut y(x) = cos(x) + 1 2 π 2 0 sin(x)y(t)dt. Dikethui solusi ekskny y(x) = cos(x) + sin(x). Pilih y 0 (x) = cos(x). Solusi. Dengn menggunkn metode nlisis homotopi, mk diperoleh y 0 (x) = cos(x) y 1 (x) = 1 2 sin(x) y 3 (x) = 1 8 sin(x),. =. sehingg y(x) =y 0 (x) + y 1 (x) + y 2 (x) + y 3 (x) + + y 6 (x) +. = cos(x) + 1 2 sin(x) + 1 4 sin(x) + 1 8 sin(x) +. Perbndingn solusi eksk dn solusi numerik Contoh 3 ditunjukkn pd Tbel 3. Tbel 3: Perbndingn solusi eksk dn solusi numerik Contoh 3 x y eksk ŷ 3 (x) Eror 0 1.00000000000000 1.00000000000000 0.00000000000000 0.1 1.09483758192485 1.08235840484400 0.01247917708085 0.2 1.17873590863630 1.15390224228692 0.02483366634938 0.3 1.25085669578695 1.21391666995428 0.03694002583267 0.4 1.31047933631154 1.26180204352295 0.04867729278858 0.5 1.35700810049458 1.29707990816905 0.05992819232553 0.6 1.38997808830471 1.31939777913033 0.07058030917438 0.7 1.40905987452218 1.32853266361747 0.08052721090471 0.8 1.41406280024669 1.32439328888425 0.08966951136244 0.9 1.40493687789815 1.30702101419471 0.09791586370344 1 1.38177329067604 1.27658941757505 0.10518387310099 Repository FMIPA 9
y(x) ŷ 3 (x) Gmbr 2: Solusi eksk y(x) dn solusi numerik ŷ 3 (x). Dri contoh yng telh dikerjkn terliht bhw solusi numerik konvergen ke solusi eksk. Dn hl ini memperlihtkn bhw metode nlisis homotopi sngt bik dlm menyelesikn persmn integrl Volterr dn Fredholm liner jenis pertm dn kedu. DAFTAR PUSTAKA [1] Adwi, A. & F. Awwdeh. 2009. A Numericl Method for Solving Liner Integrl Equtions. Interntionl Journl of Contemporry Mthemtics Sciences, 10: 485 496. [2] Brtle, R. G. & D. R. Shebert. 1999. Introduction to Rel Anlysis, 3 rd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [3] Lio, S. J. 2004. On the Homotopy Anlysis Method for Nonliner Problems. Applied Mthemtics nd Computtion, 147: 499 513. [4] Sierdski, A. J. 1992. An Introduction to Topology nd Homotopy. PWS Kent Publishing Compny, Boston. [5] Wzwz, A. M. 2011. Liner nd Nonliner Integrl Eqution. Methods nd Applictions. Springer, Berlin. Repository FMIPA 10